1 modifications controlées des implications de la base de guigues-duquenne limos –...

1

Modifications controlées des implications de la base de

Guigues-Duquenne

LIMOS – Clermont-Ferrand

Alain Gély

6 Février 2006

Séminaire Maison des Sciences Economiques

2

I. Représentation des systèmes de fermeture

II. Le problème du calcul d’une base minimale

III. Combinatoire & Eléments clones

IV. Influence des implications Unitaires

3

I. Représentation des systèmes de fermeture

4

5 6 7 8

1 2 3 4

2

23

3

34

134

1234

Système de fermeture

Eléments

inf-Irréductibles

134, 23, 34, 2

M(F) est une représentation de FD’autres représentations existent

FM(F)

Graphe Biparti

5

2

23

3

34

134

1234

Système de fermeture

Système d’implications

4 3

1 34

42 13

F

premise

conclusion

, une famille d’implications est une représentation de F.

Voyons les différences entre les deux représentations

6

Liens entre les représentations

7

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

4 1

1, 2, 3, 4

12, 13, 14, 23, 24, 34

123, 124, 134, 234

1234

1, 2, 3

12, 13, 14, 23,

123, 124, 134,

1234

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

8

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

13 24 1

1, 2, 3

12, 13, 14, 23,

123, 124, 134,

1234

1, 2, 3

12, 14, 23,

123, 124

1234

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

34 2

Implications redondantes \ {X Y} {X Y}

9

Ajouter 4 est possible

4 1

1, 2, 3

12, 14, 23,

123, 124,

1234 13 2

, 13, 134

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

1 2 3 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

Propriétés des systèmes de fermeture

Ajouter 34 est impossible

4 est un ensemble quasi-fermé

10

1 23 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

12

13

1234

24

12

123 124

4

134

3

13

1234

14

Pour les ensembles quasi-fermés ayant la même fermeture, les ensembles minimaux sont appelés

ensembles pseudo-fermés

3 13 12 1234 4 1234

11

II. Le problème du calcul d’une base minimale

12

1. Systèmes de fermeture & Systèmes d’implications

2. Problématique

3. Eléments clones

4. Influence des implications unitaires

Sortie : , une base d’implications minimum de FEntrée : M(F)

M(F) Algorithme

13

1. Systèmes de fermeture & Systèmes d’implications

2. Problématique

3. Eléments clones

4. Influence des implications unitaires

Pas d’algorithmes d’énumération polynomiaux connus

(Quasi-polynomial O(nlog(n)) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier)

[Mannila & Räihä, 92]

| | exponentiel par rapport à|M(F)|

Sortie : , une base d’implications minimum de FEntrée : M(F)

14

[Mannila & Räihä, 92]

| | exponentiel par rapport à|M(F)|

Complexité des algorithmes d’énumération

Un algorithme d’énumération est polynomial si sa complexité est polynomiale

en la taille de l’entrée (|M(F)|) et de la sortie ( | | )

O( (|M(F)| + | | )k )

15

Pas d’algorithmes d’énumération polynomiaux connus

(Quasi-polynomial O(nlog(n)) [Fredman & Khachiyan 95] pour un cas particulier)

5 6 7 8

1 2 3 4

2

23

3

34

134

1234

F

4 31 3442 13

M(F)

Polynomial

Polynomial

Polynomial

Polynomial?

?

16

Recherche d’un algorithme d’énumération polynomial

Rendre le calcul plus facile en modifiant les données

De nombreuses recherches sont faites dans plusieurs domaines

Clones

Implications Unitaires

EntréePré-traitement

Entrée modifiée + meta-information

17

III. Combinatoire & Eléments clones

18

1. Systèmes de Fermetures & Systèmes d’Implications

2. Problématiques

3. Eléments clones

4. Influence des implications unitaires

Généralité - Exemple

Soit J = { 1 , 2 , 3 , 12 , 13 , 23 , 123 } défini sur J={1,2,3}

φ1,2

12 3 12 23 13 123J’ = { , , , , , , } = J1 2 3 12 2313 123 Jr = { , , , , } + 1≈2

Famille réduite Méta-Information (classe d’équivalence)

19

1. Système de fermeture & Système d’implications

2. Problématique

3. Eléments Clones

4. Influence des implications unitaires

Généralités

J une famille d’ensembles sur J, et a,b J

Soit φa,b une fonction sur un ensemble, qui échange a et b

Soit J’ = { φa,b ( X ) | X J }

Si J= J’ alors a et b sont dit J-clones

Il y a une symétrie entre les éléments a et b

J’Jφa,b

φa,b

φa,b

20

Base minimum canonique (base de Guigues-Duquenne) [Guigues & Duquenne 86]

Soit F un système de fermeture

= { P P | P est un ensemble pseudo-fermé de F }est une base minimale d’implications pour F.

[Mannila et Räiha, 92]

| | exponentiel par rapport à |M(F)|

Y-a-t-il des éléments clones dans une base minimum ?

[Medina & Nourine 04] [Gély & al 05]

Il nous faut choisir une base minimum …

21

13

14

15

16

23

24

25

26

35

36

45

46

1234

125

1234

126

1234

1234

125

126

3456

3456

3456

3456

P-Clones : ExempleLes éléments P-Clones sont clones dans la famille des

ensembles pseudo-fermés

22

13

14

15

16

23

24

25

26

35

36

45

46

P-clones:

1 2

P-Clones : Exemple

23

13

14

15

16

35

36

45

46

P-clones:

1 2

P-Clones : Exemple

24

13

14

15

16

35

36

45

46

P-clones:

1 2

3 4

P-Clones : Exemple

25

13

15

16

35

36

P-clones:

1 2

3 4

P-Clones : Exemple

26

13

15

16

35

36

P-clones:

1 2

3 4

5 6

P-Clones : Exemple

27

13

15 35

P-clones:

1 2

3 4

5 6

P-Clones : Exemple

28

P-clones:

1 2

3 4

5 6

13

15 35

14

16

23

24

25

26

36

45

46

P-Clones : Exemple

1234

126

1234

1234

125

126

3456

3456

3456

1234

125 3456

29

Problème ouvert :– Entrée : M(F)– Question : a et b sont-ils P-clone ?

P-Clones

Expliquent l’exponentialité de [Mannila & Räihä92]

Nouveau problème :– Entrée : M(F)– Question : a et b sont-ils F-clone ?

30

F-Clones

Définition

Détection

Réduction

Reconstruction

Relation entre F-Clones et P-Clones

31

F- Clone1 3

1 2 3 4

12 23 14 34

123

1234

φ1,3

φ1,3

φ1,3

F-Clones : Définition & Exemple

32

F- Clone et P- Clone

B

F- CloneClone P- CloneClone

A

A B P

φa,b (P)P

P

φa,b (P)

φa,b (P)AB

φa,b (AB)

33

Théorème:

a et b sont F-clone ssi

a et b sont M(F)-clones

F-Clones : Détection

A B

34

• Le problème– Entrée : M(F)– Question: a et b sont-ils F-clones ?

• est polynomial

F-Clones : Détection

Trouver les classes de clones : J x || M(F) || [Medina & al 05]

L’image d’un élément inf-irréductible est un élément inf-irréductible

35

F-Clones : Réduction

1x

2 3 4x x123

12

23

1434

x xx x

x xxx

x

1 2 3 4

12 23 14 34

123

1234

36

F-Clones : Réduction

1 2 4

12 14

123

1234

1x

2 3 4x x123

12

23

1434

x xx

xxx

37

F-Clones : Reconstruction

1 2 4

12 14

123

1234

1

x2 3 4

x x123

12

14

x x2 x4 x

xx φ1,3

φ1,3

φ1,3

23 xx34 xx

38

M(F)Détection

Réduction

Clones

Calcul de la base

Reconstruction

39

F-Clones : Reconstruction de la base3 étapes

1 2 3 4

12 23 14 34

123

1234

3 12I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction

40

F-Clones : Reconstruction de la base3 étapes

I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction

II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction

BA

AB

41

F-Clones : Reconstruction de la base3 étapes

I. Retrait des implications artificiellement rajoutées lors de la réduction

II. Ajout des implications artificiellement écartés lors de la réduction

III. Application de la fonction φ

13

15 35

14

16

23

24

25

26

36

45

461234

126

1234

1234

125

126

3456

3456

3456

1234

125 3456

42

Théorème :

F’’ le système de fermeture après F–clone réduction

Est tel que|M(F’)| ≤ |M(F)|

F-Clones : Résultats

Théorème:

F-Clone P-clones

P-Clone F-clones

43

IV. Influence des implications Unitaires

44

P-Clone F-clone : Exemple

21

13

123

12 123

3 13

P-Clone : 1≈2F-Clone : 1≈2

φ1,2 (13)φ1,2

φ1,2

45

1. Systèmes de fermeture & Système d’implications

2. Problématique

3. Eléments Clones

4. Influence des implications unitaires

Implications Unitaires

Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues-Duquenne .

= J

Avec 1. = P P avec |P|>12. J = P P avec |P|=13. = P P avec |P|=0

46

1. Systèmes de fermeture & Système d’implications

2. Problématique

3. Eléments Clones

4. Influence des implications unitaires

Implications Unitaires

Soit F un système de fermeture sur J, et sa base de Guigues-Duquenne .

= J

Avec 1. = P P avec |P|>12. J = P P avec |P|=1

47

Implications Unitaires

Les implications de J sont

• Facile à calculer

• En nombre polynomial

Modifier J sans modifier

On recherche des systèmes de fermeture - équivalent

On note C(F) la famille des systèmes de fermeture - équivalents

48

21

13

12312 1233 13

3

23

Comment 1 et 2

Peuvent-ils devenir clones ?

Solution 1 : Retirer une implication / Ajouter des ensembles fermés.

1. Systèmes de fermeture & Système d’implications

2. Problématique

3. Eléments Clones

4. Influence des implications unitaires

49

Retrait d’une implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne

Retrait d’une Implication Unitaire

1 2 4

342414

1234134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

50

1 2 3 4

12 342413 14 23

234123 124 134

1234

1 2 4

342414

1234134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

51

1 2 3 4

12 342413 14 23

234123 124 134

1234134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

52

1 2 3 4

12 342413 14 23

234123 124 134

1234

234 1134 212 34

134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

53

1 2 3 4

12 342413 14 23

123 234124 134

1234134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

54

1 2 3 4

12 342413 14 23

123

1234

12 34

3 34

134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

55

1 2 3 4

12 342413 14 23

123

1234134 1234234 1234

3 34

J

12 1234

Copies d’ensembles fermés

56

1 2

13 24 25

1234

12345 12 1234245 12345

3 134 245 25

Base de Guigues-Duquenne

4

14

134

Calcul de F’ à partir de F

J

57

Retrait d’une implication unitaire & Duplication d’ensembles convexes

2

13

123

1

58

Retrait d’une implication unitaire & Duplication d’ensembles convexes

1 2

13

123

4

24

4

4

4

Duplication de convexe Retrait d’une implication unitaire

1 2

13

123

3

23

59

Retrait d’une implication unitaire de la base de Guigues-Duquenne

Le problème

Entrée : M(F), P P J

Sortie : M(F’), avec (F’) = (F) \ { P P }

est polynomial

Mais qu’en est-il de la taille de M(F’) ?

Résultat

60

12 1234245 12345

3 135 25Base de Guigues-Duquenne

Calcul de F’ depuis F

J

1 2

13 24 25

1234

12345

5 éléments Inf-irreductibles

4 24

61

1 2

13 24 25

1234

12345

12 1234245 12345

3 135 25Base de Guigues-Duquenne

4

14

134

Calcul de F’ depuis F

J

6 éléments Inf-irréductibles

4 24

1 2

13 24 25

1234

12345

5 éléments Inf-irréductibles

62

|M(F┬) | par rapport à |M(F)| ?

Soit

F un système de fermeture, et sa base de Guigues-Duquenne.

F┬ un système de fermeture tel que est sa base de Guigues-Duquenne

|M(F┬)| peut être exponentiel par rapport à |M(F)|

2 31

14 25 36

7

Retirer des implications n’est pas une solution

63

21

13

12312 123

3 133 23 123

Comment 1 et 2

Peuvent-ils devenir clones ?

Solution 2 : Retirer des ensembles fermés / Ajouter des implications

[Gély & Nourine 06]

1. Systèmes de fermeture & Système d’implications

2. Problématique

3. Eléments Clones

4. Influence des implications unitaires

64

Ajout de l’implication a b :

{a b} n’est pas forcément une base de Guigues-Duquenne

Ajout d’implications unitaires

12 123

12

123

1 23

2313

2 3

12

123

1 23

2313

J 2 23

J

65

Pour tout P P

Caractérisation : -équivalence en ajoutant a b

(i) Si a P alors b P

(ii) Si a P alors b P

(iii) Si a j , j P, alors (jb) ≠ P

Conclusion inchangéeReste un ensemble

quasi-fermé

Reste un ensemble quasi-fermé minimal

Résultat

a b peut être ajoutée sans modifications de ssi

66

Caractérisation : relation de couverture dans C(F)

(i) Pour tout P P , P ≠ a , Si a P alors b P

(ii) Pour tout P P Si a P alors b P

(iii’) Pour tout P P Si a P alors (ab) ≠ P

Résultat

a b peut être ajouté sans modification de ,

et F’ couvre F dans C(F) ssi

67

123

1 23

2313

123

1 2

23

123

1 2

123

1 2

13

12 123

12 123 3 13

12 123 3 23

12 123 3 123

3 2 3 1

3 1 3 2

1 2 3 2

3 1

68

123

1 2

12 124 1234 3 123

124 1234 3 123

14

1234

123

2 1

1224

1234

4 14 4 24

123

1 2

12 3 123

1234

4 1234

La famille des systèmes de fermeture -équivalent n’est pas un système de fermeture

La famille des systèmes de fermeture J - équivalent est un système de fermeture [Nation & Pogel 97]

69

Caractérisation : Relation de couverture C(F)

(i) Pour tout P P , P ≠ a , Si a P alors b P

(ii) Pour tout P P Si a P alors b P

(iii’) Pour tout P P , Si a P alors (ab) ≠ P

Résultat

a b peut être ajouté sans modification de ,

et F’ couvre F dans C(F) ssi

Conditions sur les implications

70

Caractérisation : relation de couverture de C(F)En utilisant M(F)

Résultat

Le problème:

• Entrée : M(F) , a b• Question :

F’ est-il le S.F. correspondant à {a b} tel que

F’ C(F) F couvre F’

est polynomial

Résultat

71

(i) et (ii)

Isomorphisme entre A et A*

système de fermeture – Ajout de a b

A la famille d’ensembles fermés F tels que a F et b F

A* la famille d’ensembles fermés F tels que A* F, a F et b F

A = aF B = bF

A* le prédécésseur immédiat de A dans F

12

123

1 23

2313

3 1

A =

B =

A* =

A

A*(iii’)

A (A* B) F F

72

Si F couvre F’ dans C(F) |M(F’)| ≤ |M(F)|

Résultat

Les éléments Inf-irreductibles d’un système de fermeture minimal

de C(F) peuvent être calculés en temps polynomial

Résultat principal

73

Il est possible d’ajouter une implication a b

Conditions nécessaires et suffisantes vérifiables en temps polynomial

Transformation des données en temps polynomial

Détection possible de plus de clones

La nouvelle donnée est plus petite que la donnée initiale

Le système de fermeture est plus petit que le système de fermeture initial

Méthode intéressante pour traiter les données

74

Entrée

Pré-traitement

(en temps polynomial)

• Réduction des clones

• Ajout d’implications unitaires

Utilisation de ces résultats ?

Datamining, énumération des ensembles fermés,

calcul d’une base minimum, …

75

Conclusions

• Eléments Clones pour réduire la combinatoire

• Implications Unitaires pour détecter plus de clones

• Implications Unitaires pour réduire le système de fermeture

Système d’Implications

76

Perspectives

• Liens entre les implications de et J

• Comportement pour d’autres bases ?

• Propriétés structurelles de C(F)

• Liens avec la duplication d’ensembles convexes [Day 70][Caspard 99]

• Algorithmes efficaces pour l’ajout d’implications

Systèmes d’Implications

77

Merci