1. introduction : les trois types de systèmes automatisés

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ModéliserlesSystèmesMPSI/PCSISystèmesLinéairesContinusInvariants(SLCI)–SystèmesAsservis

1. Introduction:lestroistypesdesystèmesautomatisés

Un système automatisé est un systèmequi réalise, demanièreautonome, des opérations du processus detransformation de lamatière d’œuvre. L’intervention de l’homme est alors limitée à laprogrammation, lamiseenmarcheetlesréglagesdecertainsparamètres.

Unsystèmeautomatiséestutilisépourréaliserdestâches:

• tropcomplexesoudangereusespourl’homme:

• répétitivesetpénibles:Parmilessystèmesautomatisésondistingue:

1.1. Lessystèmeslogiques

Lagrandeurdesortiedusystèmeestélaboréeàpartird’unecombinaisondesgrandeursd’entrée.

1.2. Lessystèmesàévènementsdiscrets

Lagrandeurde sortiedu systèmeestélaboréeàpartird’une combinaisondesgrandeursd’entrée, mais prend également en compte la chronologie des évènements et l’étatprécédentdusystème.

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1.3. Lessystèmescontinus

Lesgrandeursdesortieévoluentdemanièrecontinueenfonctiondutemps.

2. Performancesdessystèmescontinus

Afin de répondre aumieux aux besoins de l’utilisateur, un système continudoitprésenterdesperformances lesplusprochespossibledecellesdéfiniesdanslecahierdeschargesfonctionnel.

Pourvérifiercesperformancesetdéterminer lesréglagespermettantde lesoptimiser,onutilisedifférentscritères.

2.1. Laprécision,caractériséeparl’erreur

Laprécisionestévaluéeparladifférenceentrelavaleursouhaitée(entrée)etlavaleurréellementatteinteenrégimepermanent(sortie)

NB: Régime permanent (ou établi): lorsque l’erreur entre l’entrée et la sortie n’évolue plus au

coursdutemps.Mathématiquementlorsque«ttendversl’infini»

NB:l’erreurestappeléeaussiécart

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2.2. Lerapiditécaractériséeparletempsderéponse

Larapiditéestévaluéeparletempsquemetlesystèmepourquelasortieatteignesavaleurfinale.

NB: Cen’est pas le tempsmis pour atteindre la valeur souhaitée (consigne) à±5%,mais bien lavaleurfinale.Ilnefauts’intéresserqu’àlacourbedesortie!

2.3. Lastabilitécaractériséeparlesdépassements

La stabilité est évaluée, lorsque l’entrée est constante, par la capacité de la sortie à converger vers unevaleurconstante

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NB: cene sontpas les dépassementspar rapport à la valeur souhaitée (consigne)mais bienpar

rapportàlavaleurfinaleatteinteparlasortie.Ainsi,commelorsquel’onévaluelarapidité,ilfautfaireabstractiondel’entréelorsd’uneétudedestabilité!

2.4. Signauxtestpermettantd’évaluerlesperformances

Pourévaluercesdifférentscritères,ilestnécessairedeprocéderàdestests,soitsurlesystèmeréel,soitensimulation. Dans le cas d’une simulation, on modélise le système et les entrées qui peuvent lui êtreappliquées.

Il est impossible d’envisager tous les types d’entrées qui sont susceptibles d’être mises en œuvre par lesutilisateursdusystème.Enpratique,onreconnaîtquatretypesd’entréesquipermettentdemieuxconnaîtrelesréactionsdusystèmeetdoncsesperformances.

Unefoiscessignauxtestappliqués,l’objectifestd’obtenir,àl’aidederéglages,lemeilleurcompromisentrelesdifférentscritèresdeperformancesévoquésci-dessus.

3. ModélisationdesSLCI

3.1. Consigne,réponseetmodèlesdeconnaissanceetdecomportement

Pourrépondrecorrectementaubesoinpourlequel ilaétéconçu,unsystèmedoit«produire»uneréponse(sortie)quirespecteaumieuxlaconsigne(entrée).Exemple:Étuvethermique

=Diracnoté𝜹(𝒕)

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Les grandeurs d’entrée et de sortie sont liées entre elles par une loi physique, traduite par une équationmathématiqueplusoumoinscomplexe,quiestlemodèledusystème:Onparlerademodèledeconnaissance lorsquelemodèleestdéterminéthéoriquementà l’aided’équationsdelaphysique,etdemodèledecomportementlorsquecelui-ciestdéterminéexpérimentalement.Étantdonnéquelemodèletraduitlarelationentrel’entréeetlasortie,laconnaissancededeuxd’entreeuxdoitpermettreladéterminationdutroisième.

L’étudedessystèmescontinuspeutdoncconduireàrencontrer3typesdeproblèmes:

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3.2. Limitesd’étude:SystèmesLinéaires,ContinusetInvariantsNous nous limiterons à l’étude des systèmes pour lesquels les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent demanièrecontinuedansletemps.

Nous ferons l’hypothèseque lemodèle, qui traduit lamanière dont se comporte le système, est invariant,c’estàdirequ’ilresteidentiqueetvalableàchaqueinstant.

Enfin,nousrestreindronsnosétudesaucasdessystèmeslinéaires,c’estàdireauxsystèmesquiconserventàleursortietoutecombinaisonlinéairedessignauxd’entrée.Danslagrandemajoritédescas,lemodèledeconnaissancedusystèmeestalorsuneéquationdifférentielleàcoefficientsconstantsdelaforme:

Lessystèmesréelsétudiésimpliquentm≤n;nestappeléordredusystème

NB:onselimiteraauxsystèmesd’ordre1ou2.Exemple:Dans certains cas, telsquedes constituantsélémentairesde systèmes, il existe simplementune relationdeproportionnalitéentrel’entréeetlasortie.Cecoefficientdeproportionnalitéseraappelégainduconstituant.Exemple:

Lors de l’étude des Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI), en particulier pour les problèmes deprédiction,onseraamenéàmanipuleretrésoudreceséquations.Mêmesileséquationsdifférentiellesàcoefficientsconstants(d’ordre1ou2)figurentparmilesplussimplesàappréhender, il est intéressant de disposer d’outils adaptés permettant d’effectuer rapidement etefficacementlesétudessystématiquesauxquellesnousallonsêtreconfrontés.LeplusefficacedanslescasquenousétudieronsestlatransformationdeLaplace.

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4. LatransformationdeLaplace

4.1. Définitionetintérêt

Soitf(t)unefonctionréelled’unevariableréelletellequef(t)=0pourt<0,ondéfinitsatransforméedeLaplaceL[f(t)]commelafonctionF(p)delavariablecomplexeptelleque:LatransformationdeLaplacepermetdetransformerleséquationsdifférentiellesenpolynômesetdefaciliterainsil’étudeducomportementdesSLCI.

4.2. TransforméesdeLaplaceusuellesLes transformées de Laplace des fonctions les plus fréquemment utilisées dans l’étude des SLCI sont àconnaîtreparcœur:

Attention:L[f(t).g(t)]n’estpaségaleàL[f(t)].L[g(t)]

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4.3. PropriétésetthéorèmesLes propriétés et théorèmes qui suivent sont fondamentaux car ils permettent de calculer facilement, sansutiliser la définition précédente, les transformées de Laplace de certains signaux. Ils sont doncà connaîtreparfaitement.Exemple:Danslecasoùlesconditionsinitialessontnulles:

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4.4.TransforméedeLaplaceinverseIlestpossible,àpartird’unefonctionF(p)deretrouverson«original»,autrementdit,lafonctionf(t)dontelleestlatransforméedeLaplace:

Enpratique,nousn’utiliseronsjamaiscetterelationmaisuneméthodenumérique(logicielScilabouMatlab).

Ou bien, lorsque cela est possible, on pourra utiliser le tableau des transformées de Laplace usuelles pourrepasserdansledomainetemporel.

CetteméthodeserapossiblelorsquelafractionrationnelleF(p)seradécomposéeenélémentssimples.(voirchapitre«Réponsetemporelledessystèmesasservis»)

5. ReprésentationdesSLCI:fonctiondetransfert

5.1. Existenced’unefonctiondetransfertseulementsilesconditionsinitialessontnulles

ConditionsdeHeavisideOnavuprécédemmentquelemodèletraduisantlarelationentrel’entréee(t)etlasorties(t)d’unSLCIétait,danslagrandemajoritédescas,uneéquationdifférentielle:

En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de cette équation et en considérant lesconditionsinitialesnulles,ona:Cettefractionrationnellededeuxpolynômesdevariablepestappeléefonctiondetransfertdusystème.Elleestnotée:

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Exemple:Moteuràcourantcontinu

5.2.Formecanonique:gainstatique,ordreetclasse,pôlesetzéros

Lafonctiondetransfertestunefractionrationnellededeuxpolynômesqu’ilestpossibledefactoriser:

H p =S(p)E(p)

= constante.p − z! . p − z!!! … p − z!p − p! . p − p!!! … p − p!

LeszérosetlespôlespeuventêtrecomplexesouréelsOnpeutmettrelafonctiondetransfertsoussaformecanonique:

𝐇 𝐩 =𝐒(𝐩)𝐄(𝐩) =

𝐊𝐩𝛂 .

𝟏 + 𝐁𝟏.𝐩 + 𝐁𝟐.𝐩𝟐 +⋯+ 𝐁𝐦.𝐩𝐦

𝟏 + 𝐀𝟏.𝐩 + 𝐀𝟐.𝐩𝟐 +⋯+ 𝐀𝐧!𝛂.𝐩𝐧!𝛂

avec: K:gainstatiquedusystème(sonunitédépenddecellesde l’entréeetdelasortie) α :classedusystème n:ordredusystème

NB: Lorsqueα=1onditque lesystèmepossèdeun intégrateur.Celavientdu faitque l’onpeutécrire𝐻 𝑝 = !

!. !(!)!(!)

,!!étantlatransforméedeLaplacedel’intégrale.

Exemple1:

zi:«zéros»delafonctiondetransfert

pi:«pôles»delafonctiondetransfert

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Exemple2:Moteuràcourantcontinu

5.3.Formecanoniquedessystèmesd’ordre1et2

Parconvention,onécriralafonctiondetransfertd’unsystèmed’ordre1souslaforme:

𝐇 𝐩 =𝐊

𝟏 + 𝛕.𝐩

Afind’évaluersesparamètrescaractéristiques:• K:gainstatique• τ :constantedetempsensecondes

Parconvention,onécriralafonctiondetransfertd’unsystèmed’ordre2souslaforme:

𝐇 𝐩 =𝐊

𝟏 + 𝟐𝛏𝛚𝟎

.𝐩 + 𝟏𝛚𝟎

𝟐 .𝐩𝟐

Afind’évaluersesparamètrescaractéristiques:• K:gainstatique• 𝝃:amortissement(sansunité,𝜉 ≥ 0)• 𝝎𝟎:pulsationpropreenrad.s

-1

6. SLCIasservis

6.1. Insuffisancedessystèmesenboucleouverte(BO)Unsystèmecontinupeut,dansunepremièreapproche,êtrereprésentédelafaçonsuivante:Unsystèmenonbouclé(enboucleouverteBO)estunsystèmequinecontrôlepaslamanièredontlaconsigneimposéeenentréeaétérespectée.Ilneprendpasencomptelaréactiondusystèmeàuneéventuellecauseexternequipourraitmodifierlarelationentrée/sortie.Unévénementextérieur(perturbation)peutalorsmodifierlasortieattenduedusystème.Exempledeperturbation:Pourqu’unsystèmerépondecorrectementauxbesoinsdel’utilisateur,ilestimportantquelasortienevariepasquelsquesoientlesphénomènesextérieursquipourraientlaperturber.Exemple: -vitessederotationd’unmoteurélectriquemalgrélesvariationsdel’effort(couple)résistant,

-capd’unbateaumalgrélesvaguesetlecourant.

Entrée Sortie

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6.2.LesSLCIasservisouenbouclefermée(BF)Pour limiter l’influence de ces perturbations, il faut observer en permanence l’état de la sortie du systèmepourlamodifieretlafairetendreverslaconsignedonnéeenentrée.Un système bouclé (ou enboucle ferméeBF) est un système dont la sortie estmesurée puis comparée àl’entrée.Cettedifférenceestappelée«erreur»ou«écart».Le but d’un tel système estd’annuler en permanence l’erreur entre l’entrée et la sortie, c’est pour cetteraisonqu’ilcomportetoujoursunebouclederetourcomprenantuncapteur.

On parle alors d’un «système asservi»mais c’est un abus de langage, c’est la grandeur de sortie qui estasservieàlagrandeurd’entrée.Lesqualitésd’untelsystèmeserontdoncmesuréesàpartirdesacapacitéàproduireunesortiequisuitlemieuxpossiblel’entrée.

6.3.SystèmesrégulateursousystèmessuiveursOn parle de système régulateur lorsque l’on désire que la sortie prenne une valeur précise et suive uneconsigned’entréefixe.Onparledesystèmesuiveurlorsquel’ondésirequelasortiesuiveuneconsigned’entréequivarieaucoursdutempsetdontl’évolutionn’estpastoujoursconnueàl’avance.

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6.4.Structureetreprésentationd’unSLCIasservi:schéma-bloc Notionsdechaînedirecte,chaînederetour,comparateur,erreuretimagedel’erreurLastructurecomplèted’unsystèmeasservipeutsereprésenterparleschéma-blocfonctionnelsuivant:

Le capteurmesureenpermanence la grandeurde sortiedu système (vitesseoupositionou températureou…).Cette imagede lasortieestensuitecomparéeà l’imagede laconsigned’entrée issuede l’interfaceH/Mafindepermettreàlapartiecommanded’apporterlescorrectionsnécessaires.Afinquelesystèmesoitcorrectementasservietqueε(t)soitbienuneimagedel’erreurer(t)ilfaut:

ε(t)=0quande(t)=s(t)

Cetteconditionpermettraderéglerlegaindel’IHMenfonctiondugainducapteur(voirexercice4duTD3).(Interprétation:quandlasortieest«égale»àl’entrée,lachainedirecten’estplusalimentée).Onpeutremarquerquelesystèmeasserviestconstituédedeuxchaînes:

• lachaînedirecteassurantlesfonctionsdecommandeetdepuissance.Onyretrouvecertainsconstituantsdelachaîned’énergie,

• la chaîne de retour assurant la fonction mesure. On y retrouve certains composants de lachaîned’information.

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7. Manipulationdeschémas-blocs

7.1.Élémentsdebase:bloc,comparateuretpointdeprélèvement

UnSLCIasservipeutêtrereprésentéparunschéma-blocfonctionneldontlestroisélémentsdebasesont:

NB: pourpouvoirêtrecomparés,lessignauxquiarriventaucomparateurdoiventêtredemêmenature.

7.2.Simplificationdeschémas-blocsélémentairesPour étudier ou prévoir le comportement d’un SLCI asservi, il est nécessaire de connaître sa fonction detransfertglobale.

Celle-ciestobtenueàpartirdesdifférentesfonctionsdetransfertdechacundesesconstituants. Ilestdoncindispensabledeconnaîtrelesrèglesd’associationetdesimplificationdesschémas-blocs.

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Exemple: Onchercheàdéterminerla

fonction de transfert dusystème représenté par leschéma-blocci-contre:

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Lorsque l’on travaille sur un schéma-bloc, il faut bien faire attention aux signes des comparateurs(sommateurousoustracteur)etadapterlesrèglesvuesprécédemment!Ilnefautpashésiteràaffecterunsigne«-»àcertainsblocspourretrouverlesrèglesducours:

Exemplespourlafonctiondetransfertenbouclefermée(FTBF):

7.3.Simplificationdeschémas-blocsavecbouclesimbriquéesL’objectifestd’isolerlesbouclesendéplaçantdesblocsetenfaisantensorteque2comparateurssoientcôteàcôteafindelespermuter.Lesmanipulationssuivantesnesontàeffectuerquelorsquelaprésencedebouclesimbriquéesestconstatée.

(

1):onutiliseracetterèglepour«désimbriquer»desbouclesdansunschéma-bloc

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8. Déterminationdel’erreurer

Laperformancedeprécisiond’unSLCIestévaluée,unefoisquelerégimepermanentestatteint,parl’erreur(ouécart)entrelaconsigned’entréeetlasortie.

Bienquecetteerreurer(t)soitengénéralfacileàdéterminerlorsquel’onconnaîtlescaractéristiquesdesréponsestemporellesdessystèmesrencontréesfréquemment,ilestparfoisnécessairedelacalculer.Celapeutêtreréalisé:

(2):attention,laFTBOn’est pas la fonctionde transfert dusystème s’il était enBO,c’estàdires’iln’yavaitpasdechaînederetour avec uncapteur!

Attention: Cela est sans gravité lorsqu’elle est nulle,mais il y a souvent une confusion entre l’erreur

er(t)etsonimageensortieducomparateurε(t).Demême,l’imagedel’entréee’(t)estsouventappelée«entrée».