1 académie de nancy-metzrentrée 2008 la notion de fonction au collège
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1Académie de Nancy-Metz rentrée 2008
La notion de fonctionLa notion de fonctionau collège au collège
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Objectifs - approcher la notion de fonction ;- acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ;- de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d’une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;- de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.
Organisation et gestion de données, fonctions
En rouge le socle
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• faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre ;
• exploiter des exemples issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires ;
• faire apparaître les fonctions linéaires et affines comme des exemples particuliers de tels processus.
La notion de fonction
Objectifs
4
La notion de fonction
Capacités
• Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule.
• Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.
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Un fil rouge pour l’annéeUn fil rouge pour l’année
1. Approche de la notion de fonction
2. Proportionnalité et fonction linéaire
3. Fonctions affines
4. Systèmes d’équations
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I. Approche de la notion de I. Approche de la notion de fonctionfonction
Dès le début de l’année ………et même avant
Objectifs • Introduire la notion de variable
• Utiliser les trois registres- Tableaux de valeurs- Représentations graphiques- Expressions algébriques
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I. Approche de la notion de I. Approche de la notion de fonctionfonction
La notion de variable et de fonctionLa notion de variable et de fonction
Dépendance entre deux grandeurs
Programme de calcul
En fonction de
Avant la troisième
La notion de fonction et d’image en géométrie
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I. Approche de la notion de I. Approche de la notion de fonction fonction
SVT en sixième
Physique en quatrième
Dans les autres disciplines
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I. Approche de la notion de I. Approche de la notion de fonctionfonction
Notion de variableNotion de variable
Volume 1
En troisième
Voyage Nancy-Metz
Fonction carré
Notion de fonction Notion de fonction
Volume 2
Équation x²=a
I. Approche de la notion de fonctionI. Approche de la notion de fonction
Objectifs Modéliser une situationMettre en évidence la variation d'une grandeur
en fonction d'une autreUtiliser une fonction non affineUtiliser les différents registres des fonctions
pour résoudre un problème
Activité d’introduction
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Pour fabriquer une boîte, on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm .
On veut fabriquer une boîte de volume maximal.
Activité d’introduction
Un problème d’optimisation : le volume de la boîteUn problème d’optimisation : le volume de la boîte
I. Approche de la notion de fonction
x
20 cm
x
…….
…….
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I. Approche de la notion de fonction
Activité d’introduction : déroulement
Construction de boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées et calcul des volumes.
Tableau de valeurs sur tableur
Représentation graphique sur tableur
Volume en fonction du côté de la découpe carrée
Réponse au problème posé
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Registre numériqueRegistre numérique
côté de la découpe carrée
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
volume de la boîte
0 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0
Registre algébriqueRegistre algébriquex le côté de la découpe carréeV(x) le volume de la boîteV(x) = x(20 – 2x)(20 – 2x) V: x x(20 – 2x)(20 – 2x)
Registre graphiqueRegistre graphique
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
côté de la découpe carrée
vo
lum
e d
e la b
oît
e
14
x 20 - 2x V(x) =x(20 - 2x)²0 20 0
0,5 19 180,51 18 324
1,5 17 433,52 16 512
2,5 15 562,53 14 588
3,5 13 591,54 12 576
4,5 11 544,55 10 500
5,5 9 445,56 8 384
6,5 7 318,57 6 252
7,5 5 187,58 4 128
8,5 3 76,59 2 36
9,5 1 9,510 0 0
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5
côté de la découpe carrée
volu
me
de
la b
oît
e
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Un autre exemple
ABCD est un rectangle tel que AB=12 cm et AD=8cm.AE=BF=CG=AHOù placer les points E, F, G, H respectivement sur [AB], [BC], [CD], [AD] pour que l’aire de EFGH soit minimale ?
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I. Approche de la notion de I. Approche de la notion de fonctionfonction
Quelle synthèse dans le cours ?
Exemple
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2. Proportionnalité et fonction linéaire
Deuxième temps: avant Noël
Objectifs•Opérer une synthèse des différents aspect de la proportionnalité rencontrés depuis la sixième•Exprimer ces aspects dans un nouveau langage•Modéliser les situations de proportionnalité
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2. Proportionnalité et fonction linéaire2. Proportionnalité et fonction linéaire
Capacités • Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné.• Déterminer une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image.• Représenter graphiquement une fonction linéaire.• Lire sur une telle représentation l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.
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Fonction linéaire : un exemple d’activité en classe
Pour les soldes, un commerçant décide d’appliquer à la caisse un rabais de 40% sur le prix marqué en rayon.
Comment calculer le prix payé à la caisse à partir du prix marqué ?
Comment retrouver le prix marqué connaissant le prix payé à la caisse ?
2. Proportionnalité et fonction linéaire2. Proportionnalité et fonction linéaire
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2. Proportionnalité et fonction linéaire2. Proportionnalité et fonction linéaire
Références
Documents d'accompagnement :
« grandeurs et mesures », paragraphe 7 page 35
« proportionnalité-fonctions »
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3. Fonctions affines
Capacités •Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée par une fonction affine. •Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images (en partie 4).•Représenter graphiquement une fonction affine.•Lire sur une telle représentation l’image d’un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.
Troisième temps : deuxième trimestre
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3. Fonctions affines
Utilisation MEP
rôle des coefficients a et b
Imagiciel rôle des coefficients a et b
Coefficient directeur
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4. S4. Systèmes d'équationsystèmes d'équations
Capacité• Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.•Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images.
Quatrième temps : troisième trimestre
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4. S4. Systèmes d’équationsystèmes d’équations
Exemples d’activités•Vérifier la vraisemblance d'une solution obtenue algébriquement.• Donner une solution graphique évidente et la vérifier algébriquement.• Donner une solution approchée, précédant une éventuelle résolution algébrique.
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A suivre
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Dépendance entre deux grandeurs Dépendance entre deux grandeurs
Des situations variées à exploiter dès la sixième
Ex 1: 3 kg d’oranges valent 7,5 €Poser des questions dont la réponse peut-être donnée à partir de cette information.
Ex 2: Étude des rectangles de longueur L, de largeur l et d’aire 120.
Ex 3: Étude de l’aire d’un carré en fonction de son côté
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ProportionnalitéProportionnalité
Utilisation d’expressions du type
« prix de 7,5 kg vaut 26 €»
« p. de 7,5 kg = 26 € »
« p(7,5 kg )=26 €»
cf. document d'accompagnement « proportionnalité »
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En fonction de En fonction de
Figure composée d’un rectangle et d’un triangle rectangle
x
5 cm 5 cm
En cinquième
Exprimer l’aire de la figure en fonction de x
En quatrième
Exprimer la longueur DN à l’aide de x sachant que N est le milieu de [DF]
x y
D E N F
5
29
Programmes de calculProgrammes de calcul
Choisir un nombre
Lui ajouter 4
Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi
Ajouter 4 à ce produit
Écrire le résultat
(x+4)x x +4
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Programmes de calculProgrammes de calcul
Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :Calculer23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 723 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7Résumer la consigne
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Image en géométrieImage en géométrie
Symétrie
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En SVT sixièmeEn SVT sixième
33
En physique quatrièmeEn physique quatrième
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Exemple de fonctionsExemple de fonctions
cycliste Bcycliste A
Distance en km
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
20
30
40
50
0 10
10
Temps en minutes
Deux cyclistes A et B se rendent de Metz à Nancy en prenant le même chemin. Ils partent en même temps de Metz. La longueur du parcours est 50 km.Les deux courbes représentent la distance parcourue par chacun des deux cyclistes en fonction du temps.
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Pour chaque question, proposer une réponse puis donner une explication. 1) Lequel des deux cyclistes roule le plus vite pendant la première demi-heure ? 2) Que se passe-t-il au bout d’une heure ?3) Lequel des deux cyclistes est devant l’autre durant la deuxième heure ?4) Lequel des deux cyclistes arrive le premier et au bout de combien de temps arrive-t-il ?5) Que se passe-t-il pour le cycliste B entre 40 min et 70 min de parcours ?6) Le cycliste A roule-t-il à la même vitesse durant tout le parcours ? 7) Pourquoi peut-on dire que le cycliste B va moins vite les 20 derniers km que les 30 premiers ?8) Calculer la vitesse moyenne en km/h de chaque cycliste sur l’ensemble du parcours.
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