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Problèmes de localisation

« Facility location problems »

2

Décisions à prendre ?

Quel est le rôle ou la mission d’un site?

Localisation des sites : Où?

Allocation de la capacité : Combien de capacité doit-on allouer à

chaque site?

Allocation (affectation) de l’offre et de la demande :

• Quels marchés devraient être desservis par chaque entrepôt?

• Quelles usines devraient desservir chaque entrepôt?

• Quels fournisseurs devraient desservir chaque usine?

Fournisseurs Usines CD Clients

3

Facteurs qui influencent la décision

4

Facteurs qui influencent la décision

Stratégiques et technologiques (proximité aux marchés,

fournisseurs, ressources, clusters,…)

Politique et Macroéconomique (réglementation, Impôts,

taxes, tarifs, …)

Infrastructure (gaz, électricité, eau, communication,

transport, ….)

….

Coûts associés à la logistique et à l’opération d’un site

5

Facteurs qui influencent la décision

Exemple :

6

Types de problèmes

Single-Facility Location Problems: détermination optimale de la

localisation d’un site.

Multi-Facility Location Problems : recherche simultanée de la

localisation de plusieurs sites (problème de localisation / allocation)

• Center of gravity method

• The p-Median Problem

• SS-Capacitated Facility Location Problem

• MS-Capacitated Facility Location Problem

• Multi-Commodity Network Design

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Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

8

Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

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Région (Xi-Yi) Wi

A (11-22) 15

B (10-7) 10

C (4-1) 12

D (3-6) 4

Exemple

10

Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi

A (11-22) 15 165 330

B (10-7) 10 100 70

C (4-1) 12 48 12

D (3-6) 4 12 24

Total 41 325 436

10.641

436 ; 7.9

41

325

i

ii

c.g.

i

ii

c.g.

W

YWY

W

XWX

Exemple

11

p-Median

p entrepôts (usines) à localiser sur un ensemble de m sites potentiels

pour livrer n clients.

Chaque client est livré par un seul entrepôt.

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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p-Median

p entrepôts (usines) à localiser sur un ensemble de m sites potentiels

pour livrer n clients.

Chaque client est livré par un seul entrepôt

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

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p-Median

mjy

mj

nix

yx

Py

nix

xc

j

ij

jij

m

j

j

m

j

ij

n

i

m

j

ijij

,..,11,0

..,,1

..,,11,0

,

,

..,,1,1

:S.t

zMinimiser

1

1

1 1

14

SS-Capacitated Facilty Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour desservir n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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SS-Capacitated Facilty Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour desservir n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

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SS-Capacitated Facilty Location

mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11ou 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11

17

Mutli-Source Capacitated Facility Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts (usines) à localiser sur m sites

potentiels pour livrer n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt (usine) j et

celui-ci a une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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Mutli-Source Capacitated Facility Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour livrer n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

Notons la fraction (pourcentage) de la demande du client i livrée à

partir de l’entrepôt (usine) j

Et

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

ijx

19

mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11

Mutli-Source Capacitated Facility Location

20

Il existe une formulation forte du problème de localisation sans

capacités (uncapacitated facility location problem) lorsque la

capacité des entrepôts n’entre pas en jeu, alors la contrainte :

peut s’écrire

n

i

jjiji ykxd1

nimjyx jij ,..,1 ..,,1,

Mutli-Source Capacitated Facility Location

21

• C’est le problème dit de localisation simple

(formulation forte) :

njy

mix

yx

njx

xcyf

i

ij

iij

m

i

ij

m

i

n

j

ijiji

m

i

i

,,11ou 0

,,1,10

,0

,,1,1

:S.t

zMin

1

1 11

(FF):

22

On peut réduire le nombre de contrainte en adoptant une

formulation plus faible du problème de localisation simple.

En sommant sur les indices j de la contrainte

Elle devient

,0 iij yx

01

i

n

j

ij nyx

23

C’est la formulation faible du problème de localisation simple:

njy

mix

minyx

njx

xcyfz

i

ij

n

j

iij

m

i

ij

m

i

m

i

n

j

ijijii

,,11ou 0

,,110

,,1,0

,,1,1:(Ff)

:S.t

Min

1

1

1 1 1

24

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

Quel marché sera desservi par quel site?

Quelles sont les sources pour un site?

– m clients ou marchés potentiels

– n sites potentiels

– Dj : demande du client j

– Ki : capacité de l’usine i

25

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

0

..

1

1

1 1

x

Kx

Dx

xc

ij

i

m

jij

j

n

iij

n

i

m

jijij

ts

Min

xij = Qté livrée du site i au client j

26

Localisation multi sites

et allocation multi sources

coût fixe fi pour la localisation i

Max k sites parmi n

27

Localisation multi sites

et allocation multi sources

yi = 1 si le site (ou usine) i est utilisé, 0 si non

xij = Qté transportée du site i au client j

28

Localisation multi sites

et allocation multi sources

1 1 1

1

1

1

. .

; {0,1}

n n m

ij iji ii i j

n

jiji

m

iij ij

m

i ii

Min

s t

k

f y c x

x D

yx K

y y

29

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

Fournisseurs Usines CDs Clients

30

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

• j= 1,..,m clients ou marchés

• i=1,..,n sites potentiels pour les usines

• h=1,..,l fournisseurs potentiels

• e=1,..,w sites potentiels pour les CDs

• Dj : demande annuelle pour le client j

• Ki : capacité de l’usine i

• Sh : Capacité du fournisseur h

• We : Capacité du CD e

• Fi : Coût fixe de l’usine i

• Fe : Coût fixe du CD e

• Chi : coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i

• Cie : coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e

• Cek : coût de transport d’un produit du CD e au client k

31

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

• j= 1,..,m clients ou marchés

• i=1,..,n sites potentiels pour les usines

• h=1,..,l fournisseurs potentiels

• e=1,..,w sites potentiels pour les CD

• Dj – demande annuelle pour le client j

• Ki – capacité de l’usine i

• Sh – Capacité du fournisseur h

• We – Capacité du CD e

• Fi – Coût fixe de l’usine i

• Fe – Coût fixe du CD e

• Chi – coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i

• Cie – coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e

• Cek - coût de transport d’un produit du CD e au client k

• Variables de décision:– yi =1 si l’usine i est utilisée, 0

autrement

– ze =1si le CD e est utilisé, 0 autrement

– xcej : qté transportée du CD e

au client j

– xbie : qté transportée de l’usine

i au CD e

– xahi : qté transportée du

fournisseur h à l’usine i

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Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1

1

. t

(1) , pour 1,...

(2) 0, pour 1,...

(3) , pour 1,...,

(4)

hi ie ej

hi

hi ie

ie

ie

n w l n n w w ma b c

i i e e hi ie ej

i e h i i e e j

na

h

i

l wa b

h e

wb

i ì

e

b

i

Min f y f z c x c x c x

s

x S h l

x x i n

x K y i n

x

1

1

1

0, pour e 1,...

(5) , pour e 1,...,

(6) , pour j 1,...,

(7) , z 0,1

ej

ej

ej

n mc

j

mc

e e

j

wc

j

e

i e

x w

x W z w

x D m

y

33

Quelques astuces pour la modélisation

• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j

• Traitement de différent modes de transport

34

Quelques astuces pour la modélisation

• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j

• La fonction objectif devient

• Il faut aussi modifier l’équation de la demande

• Traitement de différent modes de transport– Utiliser une variable différente pour chaque mode

• x1ij, x

2ij

1 1 1 1 1

m n n n m

j ij ij iji ij i i i j

Max r x f y c x

1

pour 1,...n

ij j

i

x D j m

35

Problème d’allocation pure :

cas multi-produits

On veut distribuer des produits p: 1.. P à des points de demandes d :

1..D connus, soit : Directement à partir des sources d’approvisionnement

(fournisseurs, usines) ou par l’intermédiaire des entrepôts.

Chaque produit provient d’une source d’approvisionnement unique

qui a une capacité qui dépasse largement les besoins

Les entrepôts peuvent distribuer plusieurs produits et ont une

capacité limitée

Objectif :

• Déterminer quels produits et quels points de demande à affecter à chaque

entrepôt.

• Déterminer les flux annuels de marchandises entre les entrepôts et les

sources d’approvisionnements / clients

36

Formulation mathématique

37

Formulation mathématique

38

Coût unitaire de transport de

source d’approvisionnement

de P1 à l’entrepôt 1

Coût unitaire d’entreposage

dans l’entrepôt 1

Exemple

39

Exemple

40

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

Exemple :

– plusieurs produits (ou familles de produits) proviennent de sources

uniques

– Ces produits doivent être acheminés vers des zones de

consommation par le biais de chaînes d'approvisionnement qui

partent d’une usine et qui passent par un entrepôt

– Certaines usines et entrepôts existent déjà, mais on a identifié des

sites potentiels pour l’implantation de nouvelles installations

– Objectif :

• Choisir une chaîne pour l'approvisionnement de chaque produit dans

chaque zone

• Et déterminer quels usines/entrepôts devraient être ouverts, ou fermés

41

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

42

Formulation mathématique

43

Formulation mathématique

44

Variables de décisions

Formulation mathématique

45

Exemple

Usine

potentielle

Usine

potentielle

Entrepôt

potentiel

46

Exemple