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Problèmes de localisation

« Facility location problems »

2

Décisions à prendre ?

Quel est le rôle ou la mission d’un site?

Localisation des sites : Où?

Allocation de la capacité : Combien de capacité doit-on allouer à

chaque site?

Allocation (affectation) de l’offre et de la demande :

• Quels marchés devraient être desservis par chaque entrepôt?

• Quelles usines devraient desservir chaque entrepôt?

• Quels fournisseurs devraient desservir chaque usine?

Fournisseurs Usines CD Clients

3

Facteurs qui influencent la décision

4


Stratégiques et technologiques (proximité aux marchés,

fournisseurs, ressources, clusters,…)

Politique et Macroéconomique (réglementation, Impôts,

taxes, tarifs, …)

Infrastructure (gaz, électricité, eau, communication,

transport, ….)

….

Coûts associés à la logistique et à l’opération d’un site

5


Exemple :

6

Types de problèmes

Single-Facility Location Problems: détermination optimale de la

localisation d’un site.

Multi-Facility Location Problems : recherche simultanée de la

localisation de plusieurs sites (problème de localisation / allocation)

• Center of gravity method

• The p-Median Problem

• SS-Capacitated Facility Location Problem

• MS-Capacitated Facility Location Problem

• Multi-Commodity Network Design

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Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

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Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

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Région (Xi-Yi) Wi

A (11-22) 15

B (10-7) 10

C (4-1) 12

D (3-6) 4

Exemple

10

Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi

A (11-22) 15 165 330

B (10-7) 10 100 70

C (4-1) 12 48 12

D (3-6) 4 12 24

Total 41 325 436

10.641

436 ; 7.9

41

325

i

ii

c.g.

i

ii

c.g.

W

YWY

W

XWX

Exemple

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p-Median

p entrepôts (usines) à localiser sur un ensemble de m sites potentiels

pour livrer n clients.

Chaque client est livré par un seul entrepôt.

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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p-Median

p entrepôts (usines) à localiser sur un ensemble de m sites potentiels

pour livrer n clients.

Chaque client est livré par un seul entrepôt

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.


sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

13

p-Median

mjy

mj

nix

yx

Py

nix

xc

j

ij

jij

m

j

j

m

j

ij

n

i

m

j

ijij

,..,11,0

..,,1

..,,11,0

,

,

..,,1,1

:S.t

zMinimiser

1

1

1 1

14

SS-Capacitated Facilty Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour desservir n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i


15



potentiels pour desservir n clients.





sinon.,0


sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

16


mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11ou 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11

17

Mutli-Source Capacitated Facility Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts (usines) à localiser sur m sites

potentiels pour livrer n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt (usine) j et

celui-ci a une capacité maximale kj



18



potentiels pour livrer n clients.





Notons la fraction (pourcentage) de la demande du client i livrée à

partir de l’entrepôt (usine) j

Et

sinon.,0


ijx

19

mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11


20

Il existe une formulation forte du problème de localisation sans

capacités (uncapacitated facility location problem) lorsque la

capacité des entrepôts n’entre pas en jeu, alors la contrainte :

peut s’écrire

n

i

jjiji ykxd1

nimjyx jij ,..,1 ..,,1,


21

• C’est le problème dit de localisation simple

(formulation forte) :

njy

mix

yx

njx

xcyf

i

ij

iij

m

i

ij

m

i

n

j

ijiji

m

i

i

,,11ou 0

,,1,10

,0

,,1,1

:S.t

zMin

1

1 11

(FF):

22

On peut réduire le nombre de contrainte en adoptant une

formulation plus faible du problème de localisation simple.

En sommant sur les indices j de la contrainte

Elle devient

,0 iij yx

01

i

n

j

ij nyx

23

C’est la formulation faible du problème de localisation simple:

njy

mix

minyx

njx

xcyfz

i

ij

n

j

iij

m

i

ij

m

i

m

i

n

j

ijijii

,,11ou 0

,,110

,,1,0

,,1,1:(Ff)

:S.t

Min

1

1

1 1 1

24

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

Quel marché sera desservi par quel site?

Quelles sont les sources pour un site?

– m clients ou marchés potentiels

– n sites potentiels

– Dj : demande du client j

– Ki : capacité de l’usine i

25

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

0

..

1

1

1 1

x

Kx

Dx

xc

ij

i

m

jij

j

n

iij

n

i

m

jijij

ts

Min

xij = Qté livrée du site i au client j

26

Localisation multi sites

et allocation multi sources

coût fixe fi pour la localisation i

Max k sites parmi n

27



yi = 1 si le site (ou usine) i est utilisé, 0 si non

xij = Qté transportée du site i au client j

28



1 1 1

1

1

1

. .

; {0,1}

n n m

ij iji ii i j

n

jiji

m

iij ij

m

i ii

Min

s t

k

f y c x

x D

yx K

y y

29

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

Fournisseurs Usines CDs Clients

30



• j= 1,..,m clients ou marchés

• i=1,..,n sites potentiels pour les usines

• h=1,..,l fournisseurs potentiels

• e=1,..,w sites potentiels pour les CDs

• Dj : demande annuelle pour le client j

• Ki : capacité de l’usine i

• Sh : Capacité du fournisseur h

• We : Capacité du CD e

• Fi : Coût fixe de l’usine i

• Fe : Coût fixe du CD e

• Chi : coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i

• Cie : coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e

• Cek : coût de transport d’un produit du CD e au client k

31



• j= 1,..,m clients ou marchés

• i=1,..,n sites potentiels pour les usines

• h=1,..,l fournisseurs potentiels

• e=1,..,w sites potentiels pour les CD

• Dj – demande annuelle pour le client j

• Ki – capacité de l’usine i

• Sh – Capacité du fournisseur h

• We – Capacité du CD e

• Fi – Coût fixe de l’usine i

• Fe – Coût fixe du CD e

• Chi – coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i

• Cie – coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e

• Cek - coût de transport d’un produit du CD e au client k

• Variables de décision:– yi =1 si l’usine i est utilisée, 0

autrement

– ze =1si le CD e est utilisé, 0 autrement

– xcej : qté transportée du CD e

au client j

– xbie : qté transportée de l’usine

i au CD e

– xahi : qté transportée du

fournisseur h à l’usine i

32



1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1

1

. t

(1) , pour 1,...

(2) 0, pour 1,...

(3) , pour 1,...,

(4)

hi ie ej

hi

hi ie

ie

ie

n w l n n w w ma b c

i i e e hi ie ej

i e h i i e e j

na

h

i

l wa b

h e

wb

i ì

e

b

i

Min f y f z c x c x c x

s

x S h l

x x i n

x K y i n

x

1

1

1

0, pour e 1,...

(5) , pour e 1,...,

(6) , pour j 1,...,

(7) , z 0,1

ej

ej

ej

n mc

j

mc

e e

j

wc

j

e

i e

x w

x W z w

x D m

y

33

Quelques astuces pour la modélisation

• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j

• Traitement de différent modes de transport

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Quelques astuces pour la modélisation

• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j

• La fonction objectif devient

• Il faut aussi modifier l’équation de la demande

• Traitement de différent modes de transport– Utiliser une variable différente pour chaque mode

• x1ij, x

2ij

1 1 1 1 1

m n n n m

j ij ij iji ij i i i j

Max r x f y c x

1

pour 1,...n

ij j

i

x D j m

35

Problème d’allocation pure :

cas multi-produits

On veut distribuer des produits p: 1.. P à des points de demandes d :

1..D connus, soit : Directement à partir des sources d’approvisionnement

(fournisseurs, usines) ou par l’intermédiaire des entrepôts.

Chaque produit provient d’une source d’approvisionnement unique

qui a une capacité qui dépasse largement les besoins

Les entrepôts peuvent distribuer plusieurs produits et ont une

capacité limitée

Objectif :

• Déterminer quels produits et quels points de demande à affecter à chaque

entrepôt.

• Déterminer les flux annuels de marchandises entre les entrepôts et les

sources d’approvisionnements / clients

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Formulation mathématique

37


38

Coût unitaire de transport de

source d’approvisionnement

de P1 à l’entrepôt 1

Coût unitaire d’entreposage

dans l’entrepôt 1

Exemple

39

Exemple

40

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

Exemple :

– plusieurs produits (ou familles de produits) proviennent de sources

uniques

– Ces produits doivent être acheminés vers des zones de

consommation par le biais de chaînes d'approvisionnement qui

partent d’une usine et qui passent par un entrepôt

– Certaines usines et entrepôts existent déjà, mais on a identifié des

sites potentiels pour l’implantation de nouvelles installations

– Objectif :

• Choisir une chaîne pour l'approvisionnement de chaque produit dans

chaque zone

• Et déterminer quels usines/entrepôts devraient être ouverts, ou fermés

41

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

42


43


44

Variables de décisions


45

Exemple

Usine

potentielle

Usine

potentielle

Entrepôt

potentiel

46

Exemple

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