Algbre de Boole Dfinition des variables et fonctions logiquesLes oprateurs de base et les portes logiques .Les lois fondamentales de lalgbre de Boole

1. Introduction Les machines numriques sont constitues dun ensemble de circuits lectroniques.Chaque circuit fournit une fonction logique bien dtermin ( addition, comparaison ,.)Pour concevoir et raliser ce circuit on doit avoir modle mathmatique de la fonction ralis par ce circuit .Ce modle doit prendre en considration le systme binaire.Le modle mathmatique utilis est celui deBoole.

2. Algbre de BooleGeorge Boole est un mathmaticien anglais ( 1815-1864).

Il a fait des travaux dont les quels les expressions ( fonctions ) sont constitus par des objets (variables) qui peuvent prendre les valeurs OUI ou NON.

Ces travaux ont t utiliss pour faire ltude des systmes qui possdent deux tats sexclus mutuellement :Le systme peut tre uniquement dans deux tats E1 et E2 tel que E1 est loppos de E2. Le systme ne peut pas tre dans ltat E1 et E2 en mme temps

Ces travaux sont bien adapts au Systmes binaire ( 0 et 1 ).

Exemple de systmes deux tats Un interrupteur est ouvert ou non

Une lampe est allume ou non

Une porte est ouverte ou non

Remarque :

On peut utiliser les conventions suivantes : OUI VRAI ( true ) NON FAUX ( false) OUI 1 ( Niveau Haut ) NON 0 ( Niveau Bas )

3. Dfinitions et conventions3.1. Niveau logique : Lorsque on fait ltude dun systme logique il faut bien prciser le niveau du travail.

Exemple :Logique positive : lampe allum : 1 lampe teinte : 0Logique ngative lampe allume : 0 lampe teinte : 1

3.2. Variable logique

Une variable logique ( boolenne ) est une variable qui peut prendre soit la valeur 0 ou 1 . Gnralement elle est exprimer par un seul caractre alphabtique en majuscule ( A , B, S , )

Exemple : Une lampe : allume L = 1 teinte L = 0

Premier interrupteur ouvert : I1 =1 ferm : I1 =0

2me interrupteur ouvert : I2=1 ferm : I2=0

3.3. Fonction logique

Cest une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble doprateurs logiques de base.

Dans lAlgbre de Boole il existe trois oprateurs de base : NON , ET , OU.

La valeur dune fonction logique est gale 1 ou 0 selon les valeurs des variables logiques.

Si une fonction logique possde N variables logiques 2n combinaison la fonction possde 2n valeurs.

Les 2n combinaisons sont reprsentes dans une table qui sappelle table de vrit ( TV ).

Exemple dune fonction logiqueUne table de vritF(A,B,C)=

4. Oprateurs logiques de base 4.1 NON ( ngation )NON : est un oprateur unaire ( une seule variable) pour rle dinverser la valeur de la variable .

F(A)= Non A = ( lire A barre )

Pour indiquer une inversion Une porte logique

4. Oprateurs logiques de base4.2 ET ( AND )Le ET est un oprateur binaire ( deux variables) , pour rle de raliser le Produit logique entre deux variables boolennes. Le ET fait la conjonction entre deux variables.Le ET est dfini par : F(A,B)= A . B

4.Oprateurs logiques de base4.3 OU ( OR )Le OU est un oprateur binaire ( deux variables) , pour rle de raliser la somme logique entre deux variables logiques.Le OU fait la disjonction entre deux variables.Le OU est dfini par F(A,B)= A + B ( il ne faut pas confondre avec la somme arithmtique )

Remarques Dans la dfinition des oprateurs ET , OU , nous avons juste donner la dfinition de base avec deux variable.

Loprateur ET pour raliser le produit entre plusieurs variables boolens ( ex : A . B . C . D ).

Loprateur OU peut aussi raliser la somme entre plusieurs variables logique ( ex : A + B + C +D).

Dans une expression on peut aussi utiliser les parenthses.

4.4 Prcdence des oprateurs ( priorit des oprateurs )Pour valuer une expression logique ( fonction logique) : on commence par valuer les sous expressions entre les parenthses. puis le complment ( NON ) , en suite le produit logique ( ET ) enfin la somme logique ( OU)

Exemple :

4.5 Lois fondamentales de lAlgbre de BooleLoprateur NON

4.5 Lois fondamentales de lAlgbre de BooleLoprateur ET

4.5 Lois fondamentales de lAlgbre de Boole Loprateur OU

4.5 Lois fondamentales de lAlgbre de BooleDistributivit

4.5 Lois fondamentales de lAlgbre de BooleAutres relations utiles

5. Dualit de lalgbre de BooleToute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.

Exemple :A + 1 = 1 A . 0 = 0 A + A = 1 A . A = 0

6. Thorme de DE-MORGANE

Le produit logique compliment de deux variables est gale au somme logique des complments des deux variables.

La somme logique complimente de deux variables est gale au produit des complments des deux variables.

6.1 Gnralisation du Thorme DE-MORGANE N variables

7. Autres oprateurs logiques 7.1 OU exclusif ( XOR)Il ny a pas de portes XOR plus de 2 entres

7. Autres oprateurs logiques 7.2 NAND ( NON ET )A BA / B

7. Autres oprateurs logiques 7.3 NOR ( NON OU ) A B

7.4 NAND et NOR sont des oprateurs universels

En utilisant les NAND et les NOR cest possible dexprimer nimporte quelle expression ( fonction ) logique.

Pour cela , Il suffit dexprimer les oprateurs de bases ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des NOR.

7.4.1 Ralisation des oprateurs de base avec des NORA = A + A = A A

A + B = A + B = A B = ( A B ) ( A B )

A . B = A + B = A B

7.4.2 Ralisation des oprateurs de base avec des NOR

ExerciceExprimer le NON , ET , OU en utilisant des NAND ?

7.4.3 Proprits des oprateurs NAND et NORA / 0 = 1 , A 0 = AA / 1 = A , A 1 = 0A / B = B / A , A B = B A

Les oprateurs NAND et NOR ne sont pas associatifs (A / B ) / C # A / (B / C)

(A B) C # A (B C)

7. Schma dun circuit logique ( Logigramme)

Dfinition textuelle dune fonction logique , table de vrit , forme algbrique , simplification algbrique, table de Karnaugh

1. Dfinition textuelle dune fonction logique

Gnralement la dfinition du fonctionnement dun systme est donne sous un format textuelle .

Pour faire ltude et la ralisation dun tel systme on doit avoir son modle mathmatique (fonction logique).

Donc il faut tirer ( dduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle.

Mais il faut dabord passer par la table de vrit.

Exemple : dfinition textuelle du fonctionnement dun systmeUne serrure de scurit souvre en fonction de trois cls A, B, C. Le fonctionnement de la serrure est dfinie comme suite : S(A,B,C)= 1 si au moins deux cls sont utilises S(A,B,C)= 0 sinon

S=1 serrure ouverte S=0 serrure est ferm

2. Table de vrit 2.1Rappel :Si une fonction logique possde N variables logiques 2n combinaisons la fonction possde 2n valeurs.

Les 2n combinaisons sont reprsentes dans une table qui sappelle table de vrit.

2. Table de vrit 2.2 ExempleMintermeMaxterme

2.3 Extraction de la fonction logique partir de la T.V

F = somme mintermes

F= produit des maxtermes

3. Forme canonique dune fonction logiqueOn appel forme canonique dune fonction la forme ou chaque terme de la fonction comportent toutes les variables.

Exemple :

Il existent plusieurs formes canoniques : les plus utilises sont la premire et la deuxime forme .

3.1 Formes canoniques Premire forme canonique Premire forme canonique (forme disjonctive) : somme de produits Cest la somme des mintermes.Une disjonction de conjonctions.

Exemple :

Cette forme est la forme la plus utilise.

3.2 Formes canoniquesDeuxime forme canoniqueDeuxime forme canonique (conjonctive): produit de sommesLe produit des maxtermesConjonction de disjonctions

Exemple :La premire et la deuxime forme canonique sont quivalentes .

Remarque 1 On peut toujours ramener nimporte quelle fonction logique lune des formes canoniques.

Cela revient rajouter les variables manquants dans les termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les termes non canoniques ).

Cela est possible en utilisant les rgles de lalgbre de Boole :Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1 Additionner un terme avec une expression qui vaut 0Par la suite faire la distribution

Exemple

Remarque 2Il existe une autre reprsentation des formes canoniques dune fonction , cette reprsentation est appele forme numrique.R : pour indiquer la forme disjonctiveP : pour indiquer la forme conjonctive.

Remarque 3 : dterminer F

Exercice 1 Dterminer la premire et la deuxime forme canonique partir de la TV suivante. Dterminer aussi la fonction inverse ?. Tracer le logigramme de la fonction ?

Exercice 2Faire le mme travail avec la T.V suivante :

4. Simplification des fonctions logiques

4. Simplification des fonctions logiquesLobjectif de la simplification des fonctions logiques est de :rduire le nombre de termes dans une fonction et de rduire le nombre de variables dans un terme

Cela afin de rduire le nombre de portes logiques utilises rduire le cot du circuit

Plusieurs mthodes existent pour la simplification : Mthode algbriqueMthodes graphiques : table de karnaughLes mthodes programmables

5. Mthode algbrique Le principe consiste appliquer les rgles de lalgbre de Boole afin dliminer des variables ou des termes. Mais il ny a pas une dmarche bien spcifique. Voici quelques rgles les plus utilises :

5.1 Rgles de simplification Rgles 1 : regrouper des termes laide des rgles prcdentes

Exemple

5.1 Rgles de simplification Rgles 2 : Rajouter un terme dj existant une expression

Exemple :

5.1 Rgles de simplificationRgles 3 : il est possible de supprimer un terme superflu ( en plus ), cest--dire dj inclus dans la runion des autres termes.

Exemple : soit lexpression suivante F(A,B,C) = A B + BC + ACSi B = 0 alors F=A . 0 + 1 . C + AC= C ( 1+A)= CSi B= 1 alors F = A.1 + 0. C + AC = A + AC = A

On remarque que le terme AC nintervient pas dans la valeur finale de la fonction alors il est superflus possible de lliminer.

5.1 Rgles de simplificationLe terme superflu

5.1 Rgles de simplificationRgles 4 : il est prfrable de simplifier la forme canonique ayant le nombre de termes minimum.

Exemple :

Exercice 1 Dmontrer la proposition suivanteDonner la forme simplifi de la fonction suivante :

Exercices 2

6.Tableau de Karnaugh

Les deux termes possdent les mme variables. La seule diffrence est ltat de la variable B qui change.Si on applique les rgles de simplification :Ces termes sont dites adjacents.Examinons lexpression suivante :

Exemple de termes adjacents Ces termes sont adjacentsAB + AB = B ABC + ABC = AC ABCD + ABCD = ABD Ces termes ne sont pas adjacents AB + AB ABC + ABC ABCD + ABCD

6.Tableau de KarnaughLa mthode de Karnaugh se base sur la rgle prcdente. La mthode consiste a mettre en vidence par une mthode graphique (tableaux )tous les termes qui sont adjacents (qui ne diffrent que par ltat dune seule variable).Un tableau de Karnaugh comportent 2n cases ( N est le nombre de variables )La mthode peut sappliquer aux fonctions logiques de 2,3,4,5 et 6 variables.

6.1 Description de la table de karnaugh

Description de la table de Karnaugh 5 variablesU = 0U= 1

6.2 Passage de la table de vrit la table de Karnaugh

00 01 11 10

01

AB C

1 111

6.3 Passage de la forme canonique la table de KarnaughSi la fonction logique est donne sous la premire forme canonique ( disjonctive), alors sa reprsentation est directe : pour chaque terme lui correspond une seule case qui doit tre mise 1.

Si la fonction logique est donne sous la deuxime forme canonique ( conjonctive), alors sa reprsentation est directe : pour chaque terme lui correspond une seule case qui doit tre mise 0 .

Exemple 00 01 11 10

01

AB C 00 01 11 10

01

AB C

1 111

000 0

6.4 Mthode de simplification Exemple : 3 variables

6.4 Mthode de simplification Remplir le tableau partir de la table de vrit.Faire des regroupements : des regroupements de 16,8,4,2,1Les mme termes peuvent participer plusieurs regroupements.Dans un regroupement :qui contient un seule terme on peut pas liminer de variables. Dans un regroupement qui contient deux termes on peut liminer une variable ( celle qui change dtat ).Dans un regroupement de 4 termes on peut liminer deux variables.Lexpression logique finale est la runion ( somme ) des groupements aprs simplification et limination des variables qui changent dtat.

Exemple : 4 variables

Exemple 5 variables U=01111111U=1

ExerciceTrouver la forme simplifi des fonctions partir des deux tableaux ?

6.5 Cas dune fonction non totalement dfinie Examinons lexemple suivant :

Une serrure de scurit souvre en fonction de quatre cls A, B, C D. Le fonctionnement de la serrure est dfinie comme suite : S(A,B,C,D)= 1 si au moins deux cls sont utilises S(A,B,C,D)= 0 sinonLes cls A et D ne peuvent pas tre utilises en mme temps.

On remarque que si la cl A et D sont utilises en mme temps ltat du systme nest pas dtermin.

Ces cas sont appels cas impossibles ou interdites comment reprsenter ces cas dans la table de vrit ?.

6.5 Cas dune fonction non totalement dfiniePour les cas impossibles ou interdites Il faut mettre un X dans la T.V .

6.5 Cas dune fonction non totalement dfinieIl est possible dutiliser les X dans des regroupements :Soit les prendre comme tant des 1Ou les prendre comme tant des 0

Exercice 1 Trouver la fonction logique simplifie partir de la table suivante ?

Exercice 2Faire ltude ( table de vrit , table e karnaugh , fonction simplifie) du circuit qui nous permet de passer du codage BCD au codage EXCESS 3 ?

Faire le mme travail pour le circuit qui permet le passage du codage EXCESS 3 au codage BCD ?

7. Exemple de synthse ( Exercice 10 TD5)

8. Conclusion Gnralement la description dun circuit est donne sous une forme textuelle. Pour faire ltude et la ralisation dun circuit il faut suivre le tapes suivantes :Il faut bien comprendre le fonctionnement du systme.Il faut dfinir les variables dentre.Il faut dfinir les variables de sortie.Etablir la table de vrit.Ecrire les quations algbriques des sorties ( partir de la table de vrit ).Effectuer des simplifications ( algbrique ou par Karnaugh).Faire le schma avec un minimum de portes logique.