algèbre - livres, ebooks, romans, bd, polars et … · • en fin de chapitre, des exercices et...

MPSI / PCSI 1re ANNÉECet ouvrage, tout en couleur, développe une approche originale et

approfondie du programme d’algèbre de première année desclasses préparatoires.

• Cet ouvrage est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de première année.Il permet de revisiter le cours de mathématiques de façon imagée.

• Le texte écrit dans un style clair et détaillé permet à tous les étudiants, quelque soit leur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension des notions abordées.

• En fin de chapitre, des exercices et des problèmes de synthèse corrigés de façontrès détaillée permettent de vérifier les acquis et de s'entraîner dans l'optique desconcours.

• Des repères historiques accompagnent la progression : des théorèmes et résultats sont datés, des sources sont indiquées et des notices biographiquesévoquent les faits marquants de la vie de mathématiciens cités.

• L'ouvrage propose des compléments destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement du programme officiel.

L'ouvrage intéressera également les étudiants de licence ainsi que les candidatsau CAPES et à l'agrégation. AL

GÈBRE

NICOLAS BASBOISPIERRE ABBRUGIATI

ISBN : 978-2-8041-8180-2

PREALGE1Conc

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: Prim

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imo

9782804181802 www.deboeck.com

Nicolas Basbois, ancien élève de l'École normale supérieure de Cachan, est professeuragrégé de mathématiques en MPSI à l'Institut Stanislas de Cannes.

Pierre Abbrugiati est professeur agrégé de mathématiques en MPSI au lycée AlphonseDaudet de Nîmes.

Collection dirigée par Olivier Rodot

MPSI / PCSI

COURSEXERCICES CORRIGÉS

ALGÈBRE

< Dans la même collection

Conformeaux nouveauxprogrammes 2013

ANALYSE


GILLES COSTANTINI

1re ANNÉEMPSI / PCSI


+ Conforme aux nouveaux programmes 2013+ Plus de 100 exercices et 12 problèmes

de synthèse intégralement corrigés+ Texte abondamment illustré

pour faciliter la compréhension+ Tout en couleur

LES

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PREALGE1 ALGEBRE-Orange_Mise en page 1 02/09/13 14:18 Page1

ALGèBRE

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Collection Prépas Sciences

Dirigée par Olivier RODOt

BasBOis N. et aBBRugiati P., algèbre. 1re année

COstaNtiNi g., analyse. 1re année

RODOt O., analyse. 2e année

JaN C., Mathématiques. une approche imagée et synthétique. 2e éd.


ALGèBRE



© De Boeck Supérieur s.a., 2013 Rue des Minimes 39, B-1000 Bruxelles

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho-

tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris : septembre 2013 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2013/0074/172 ISBN : 978-2-8041-8180-2

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web: www.deboeck.com


Avant-propos

Cet ouvrage traite d’algèbre et d’algèbre linéaire, avec pour fil directeur les nouveaux

programmes des classes préparatoires mpsi et pcsi qu’il suit scrupuleusement. Il s’agit

d’un cours complet et détaillé, et les auteurs se sont efforcés d’en faire un traité autonome,

bien qu’ils n’hésitent pas à illustrer parfois certains résultats à l’aide d’exemples issus de

l’analyse. Une centaine d’exercices, ainsi que douze problèmes de synthèse, intégralement

corrigés, sont répartis en fin de chaque chapitre. Les auteurs ont essayé de trancher avec le

style austère habituellement utilisé dans ce type d’ouvrage : ils ont fait leur possible pour

introduire avec beaucoup de soin les concepts, les illustrer par de multiples exemples,

et en proposer de nombreuses applications. Ce choix pédagogique semble le plus adapté

au public d’aujourd’hui, comme les auteurs l’ont constaté dans leurs propres expériences

d’enseignement.

Bien que s’adressant en premier chef aux élèves de classe préparatoire, ce livre, par son

traitement approfondi des notions les plus fondamentales en algèbre, s’adresse plus gé-

néralement à tout étudiant de premier cycle, ou préparant des concours d’enseignement.

Il est important de disposer d’un cours profond qui puisse servir de référence, et aussi

de le travailler convenablement : les exemples peuvent et doivent être cherchés en direct,

au plus grand profit du lecteur, et c’est bien pourquoi ils sont proposés en quantité. Les

premiers chapitres posent des bases saines qui permettront au lecteur de disposer des

méthodes de raisonnement et des outils logiques importants pour réellement comprendre

les suivants ; c’est un appui solide pour les étudiants.

Dans la mesure du possible, les auteurs ont essayé de remettre les résultats de l’ouvrage

dans leur contexte historique. Les mathématiques ont une histoire, et celle-ci est éclai-

rante pour comprendre les concepts ayant émergé à l’issue d’un long processus. Ainsi, les

chapitres sur lesquels le programme met l’accent comptent en général une introduction

historique conséquente, du fait de l’importance historique des problèmes abordés et de

la richesse des réflexions qu’ils ont engendrées : les auteurs ont alors évité de traiter

le sujet de manière trop superficielle, à l’attention des lecteurs les plus intéressés par

les considérations historiques. Plus généralement, l’ensemble du livre est émaillé d’indi-

cations historiques : notices biographiques, références à des articles mathématiques ou

historiques, datation de certains théorèmes et exemples issus d’ouvrages d’époque. Cer-

taines notes historiques peuvent se révéler assez techniques ; le lecteur pourra alors y

revenir plus tard.

Cette part belle faite à l’histoire des mathématiques est une spécificité de cette collection.

Les chapitres sont structurés en sections (1., 2., ...), sous-sections (1.1, 1.2, ..., 2.1, 2.2,

...), et épisodiquement en paragraphes (1.1.a., 1.1.b., ...). Les numérotations des défini-

tions, propositions, etc., sont internes à chaque chapitre. Les programmes des classes de

mpsi et de pcsi se distinguent parfois, et certaines notions n’apparaissent que dans les

programmes de l’une ou l’autre. Ceci est indiqué précisément dans le corps de l’ouvrage,

à l’aide des balises MPSI et PCSI. L’évocation de certains approfondissements, non

explicitement au programme, a été parfois nécessaire : la balise Complément permet

de les repérer.

Un chapitre d’algèbre n’est pas traité dans ce livre, c’est le chapitre Espaces Euclidiens,

qui est relatif à l’algèbre bilinéaire. Le lecteur pourra trouver ce chapitre intégralement

traité dans C. Antonini, Algèbre. 2e année, De Boeck (2013), ce qui s’explique par le fait

que ce chapitre est intégralement repris dans les programmes de seconde année de cpge.

Les auteurs, soucieux de l’unité de la collection à laquelle cet ouvrage appartient, ont

préféré limiter les redites.

Remerciements

Nous commençons par remercier Fabrice Chrétien des éditions de Boeck pour l’oppor-

tunité qu’il nous a offerte avec ce projet. Notre reconnaissance va évidemment à Olivier

Rodot, directeur de la collection et auteur de l’ouvrage d’analyse de seconde année, pour

son soutien, ses conseils et critiques avisés et sa grande disponibilité. Merci également à

Gilles Costantini, rédacteur de l’ouvrage d’analyse de première année, pour son soutien

également, et ses conseils. Nous exprimons notre gratitude à François Pantigny qui s’est

chargé des espaces colorimétriques et des fonds perdus. Enfin, nous remercions pour leur

relecture attentive et leurs commentaires avisés Sébastien Duchâtel et Marie-Pierre Lo-

renzi. Nous sommes infiniment redevables à Ioana Paşca pour son investissement à nos

côtés, et à Christophe Antonini pour sa disponibilité sans failles et tout le profit que l’on

a pu tirer de ses compétences.

Nicolas et Pierre

Je profite de cette page pour remercier vivement Michel Schweitzer, qui m’a été d’une

aide précieuse pour ma première année d’enseignement en cpge. J’adresse un salut ami-

cal à mes collègues, qui m’ont encouragé et ont suivi l’avancée de mon projet. Enfin je

ne dirai jamais assez merci à mes amis et à mes proches, en particulier ma mère, dont le

soutien a été tellement important. Et j’adresse une pensée à mon père, qui reste présent

à mes côtés.

Nicolas

J’aimerais profiter de ces quelques lignes pour remercier Jérôme Isaia qui, dix ans après

m’avoir donné le goût des mathématiques alors qu’il était notre enseignant en mpsi, m’a

guidé avec sagesse alors que je débutais dans l’enseignement en classe préparatoire. Je

remercie vivement mes proches de m’avoir supporté, dans tous les sens du terme, pen-

dant l’écriture de cet ouvrage. Je pourrais remercier tout particulièrement Ioana Paşca

pour son support moral durant la rédaction de ce livre, mais cela ne serait pas correct ;

la vérité est qu’elle a très largement participé à cette rédaction.

Pierre.

Table des matières

1 Rudiments de rédaction mathématique

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Énoncés et expressions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Énoncés mathématiques : définition et exemples . . . . . . . . . . 1

2.2 Formalisme symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Principes élémentaires de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Schémas simples de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Analyse - Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Exemples de raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Raisonnement par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Logique, ensembles, applications, relations

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Énoncés quantifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Le paradoxe de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Deux méthodes de définition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . 52

ii TABLE DES MATIÈRES

3.3 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5 Opérations sur P(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1 Définition et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Structure catégorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Images directes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5 Indicatrice d’une partie d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6 Familles et opérations sur les familles d’ensembles . . . . . . . . . 95

5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2 Relations fonctionnelles et totales - Complément . . . . . . . . . 102

5.3 Relations d’équivalence et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . 103

6 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1 Majorant et minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Plus grand élément et plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


7.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.4 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3 Entiers naturels et récurrences

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2 Propriété du bon ordre et premières applications . . . . . . . . . . . . . . 133

2.1 Propriété fondamentale de N - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.2 Division euclidienne dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

2.3 Théorème de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3 Variations sur la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.1 Démonstrations par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2 Définitions par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


TABLE DES MATIÈRES iii

4 Nombres complexes

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.1 Une construction des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.2 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.4 Affixe et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.5 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.6 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3 Trigonométrie et nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . 180

3.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.2 Formulaire de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.3 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.4 Forme trigonométrique et arguments d’un nombre complexe . . . . 198

3.5 Exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4 Équations polynomiales du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.1 Équation à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2 Équation à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.3 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5 Racines n-ièmes d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.1 Racines n-ièmes dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.2 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.3 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 216

6 Applications des complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.1 Rotations et mesures d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2 Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


5 Arithmétique dans Z

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

1.1 Des origines lointaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

1.2 Le théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . 239

2 Divisibilité et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.1 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.2 Congruences - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2.3 Division euclidienne et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

iv TABLE DES MATIÈRES

3 Factorisation d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.2 Lemme d’Euclide et applications - MPSI . . . . . . . . . . . . . . 257

3.3 Théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . 261

3.4 Valuations d’un entier - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4.2 Coefficients de Bézout - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4.3 Nombres premiers entre eux - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

4.4 PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4.5 PGCD de plusieurs entiers - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5 Exercices corrigés - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6 L’espace Rn

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

2 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

2.1 Représentations d’un vecteur pour n ∈ {1, 2, 3} . . . . . . . . . . 314

2.2 Axiomes d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

2.3 Base canonique de Rn, bases de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3 Structure affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

3.1 Représentation d’un point pour n ∈ {1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . 323

3.2 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

3.3 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326


7 Systèmes linéaires

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

1.2 Un problème antique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

1.3 Le symbolisme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

1.4 La notion de systèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

2 Les systèmes 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

2.1 Résolution par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

2.2 Résolution par combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 338

2.3 Déterminant d’un système 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

3 Systèmes 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

TABLE DES MATIÈRES v

3.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

3.2 Déterminant d’un système 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

4 Systèmes de Cramer - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

5 Systèmes p × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

5.1 Systèmes non carrés avec p = 2 ou n = 2 . . . . . . . . . . . . . . 360

5.2 Systèmes échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5.3 Algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

5.4 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371


8 Structures algébriques

1 Introduction - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

2 Structures - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

2.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . . . . . . . . . 389

2.3 Éléments symétrisables pour une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

2.4 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

2.5 Règles de calcul dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

2.6 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

2.7 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

2.8 Divisibilité dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

2.9 Inversibles dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

2.10 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

2.11 Espaces vectoriels sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

2.12 Algèbre (unitaire, sur un corps) - Complément . . . . . . . . . . 415

3 Sous-structures et morphismes - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

3.1 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

3.2 Morphismes de groupes - Complément . . . . . . . . . . . . . . . 420

3.3 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

3.4 Structure catégorielle - Complément . . . . . . . . . . . . . . . . 427


9 Calcul matriciel

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

2 Espace vectoriel Mp,q(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

2.1 Matrices à p lignes et q colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

vi TABLE DES MATIÈRES

2.2 Opérations sur Mp,q(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

3 Anneau Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

3.1 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

3.2 Anneau des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

3.3 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

3.4 Sous-algèbres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

4 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

4.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

4.2 Matrices nilpotentes - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

4.3 Méthodes de calcul d’une puissance de matrice . . . . . . . . . . . 469

4.4 Suites récurrentes linéaires mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

4.5 Suites récurrentes linéaires multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

4.6 Une application en probabilités - Complément . . . . . . . . . . 480

5 Trace - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

5.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

5.2 Propriété fondamentale de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

6 Étude plus complète de M2(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

6.1 Déterminant d’une matrice 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

6.2 Matrices 2 × 2 inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

6.3 Sous-groupes remarquables de GL2(K) . . . . . . . . . . . . . . . 489


10 Polynômes et fractions rationnelles

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

2 Opérations sur les polynômes et structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

2.1 L’espace vectoriel K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

2.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

2.3 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

2.4 Applications polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

2.5 Composition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

3 Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

3.1 Divisibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

3.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

4 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

4.1 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

TABLE DES MATIÈRES vii

4.2 Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

4.3 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

4.4 Relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

5 Arithmétique dans K[X] - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

5.1 PGCD de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

5.2 Coefficients de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

5.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

5.4 PPCM de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

5.5 PGCD de plusieurs polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

6 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

6.1 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

6.2 Factorisation sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

6.3 Factorisation sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

7 Fractions rationnelles - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

7.1 Définition et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

7.2 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

7.3 Racines et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . 564

7.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

7.5 Méthodes de D.E.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569


11 Espaces Vectoriels

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

1.1 L’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

1.2 Un nouveau traitement de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . 591

1.3 L’apport de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

1.4 La part des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

1.5 L’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

1.6 Synthèse historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

1.7 Notations et terminologie du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . 597

2 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

2.1 Familles et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

2.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

2.3 Liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

2.4 Caractère générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

2.5 Bases, bases canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

viii TABLE DES MATIÈRES

3 Opérations sur les K-ev et sur les sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

3.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

3.2 Produits de K-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

3.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 617

3.4 Espaces vectoriels engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

3.5 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

3.6 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

3.7 Supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631


12 Espaces vectoriels de dimension finie

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

1.1 Le langage de la dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

1.2 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 650

1.3 L’évolution des concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

2 Le problème de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

3 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

3.2 Deux principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

3.3 Le théorème de la base incomplète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

4 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 660

4.1 Unicité du cardinal d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

4.3 Morphisme de décomposition dans une base . . . . . . . . . . . . . 666

5 Familles en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

5.1 Familles libres, familles génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . 669

5.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

5.3 Familles échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

6 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

6.1 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

6.2 Supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

6.3 Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

6.4 La formule de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

7 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

7.1 Systèmes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

7.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . 702

TABLE DES MATIÈRES ix

7.3 Équations différentielles linéaires homogènes d’ordre 1 et 2 . . . . 710


13 Applications linéaires

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

2.1 Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

2.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

2.3 (Co)restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

2.4 Stabilité par combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

2.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

2.6 Groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

3 Propriété fondamentale et théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . 739

3.1 Exemple de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

3.3 Définition par restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

3.4 Théorème d’isomorphisme - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

4 Noyau, image et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

4.1 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

4.2 Équation d’un hyperplan - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

5 Endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

5.1 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

5.2 Endomorphismes nilpotents - Complément . . . . . . . . . . . . 757

5.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

5.4 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

6 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

6.1 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

6.2 Caractérisation de l’{in/sur/bi}jectivité par le rang . . . . . . . . . 773


14 Matrices associées à une application linéaire

1 Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

1.1 Matrices associées à une famille finie de vecteurs de F . . . . . . . 787

1.2 Matrices associées à une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 789

1.3 Endomorphismes remarquables dans des bases remarquables . . . 791

x TABLE DES MATIÈRES

2 Isomorphismes structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

2.1 Bijection ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

2.2 Matrices d’une combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

2.3 Matrices d’une évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

2.4 Matrices d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

2.5 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

3 Application à l’étude de E∗ - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

3.1 Compléments sur les équations d’hyperplans . . . . . . . . . . . . 804

3.2 Définition d’un sous-espace de dimension q − m . . . . . . . . . . 805

4 Applications au calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

4.1 Inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

4.2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

4.3 Noyau et image d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

5 Équivalence et similitude - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

5.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

5.2 Représentants canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

5.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

5.4 Application à la trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . 815


15 Sous-espaces affines

1 Généralités - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

1.3 Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

1.4 L’exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

2 Exemples classiques de sous-espaces affines - MPSI . . . . . . . . . . . . 838

2.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

2.2 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

2.3 Suites récurrentes affines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

3 Barycentres - Complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842

3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842

3.2 Convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847


TABLE DES MATIÈRES xi

16 Opérations élémentaires sur les matrices

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

2.1 Traduction d’une opération élémentaire sur les lignes . . . . . . . . 860

2.2 Traduction d’une opération élémentaire sur les colonnes . . . . . . 863

2.3 Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864

3 Applications de l’algorithme du pivot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

3.1 Échelonnement d’une matrice - PCSI . . . . . . . . . . . . . . . . 866

3.2 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

3.3 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

3.4 Détermination d’une décomposition P JrQ - MPSI . . . . . . . . 879

3.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

4 Retour sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

4.1 Traduction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

4.2 Structure de l’ensemble des solutions et rang d’un système . . . . . 884

4.3 Systèmes à solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890


17 Groupe symétrique et déterminants

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

2 Groupe symétrique - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

2.2 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

2.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

3 Une approche des déterminants dans le plan et dans l’espace . . . . . . . 915

3.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

3.2 Dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

4 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

4.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

4.2 Applications multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

4.3 Antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

5 Déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . 926

5.1 Expression d’une forme n-linéaire alternée . . . . . . . . . . . . . . 926

5.2 Déterminant dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

5.3 Retour sur les dimensions 2 et 3 et orientation d’un R-ev . . . . . 932

6 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

xii TABLE DES MATIÈRES

7 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

7.2 Déterminants de matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . 939

8 Méthodes de calculs des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

8.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

8.2 Déterminant de Vandermonde - MPSI . . . . . . . . . . . . . . . 944

8.3 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . 947


CHAPITRE 1

Rudiments derédaction

mathématique

1 Introduction

L’objectif de ce chapitre est double :

• Présenter certaines techniques de raisonnement très utiles et que l’on utilisera tout au

long de l’ouvrage.

• Donner des éléments de langage élémentaires concernant la rédaction d’une démons-

tration.

2 Énoncés et expressions mathématiques

2.1 Énoncés mathématiques : définition et exemples

Le lecteur sait qu’en mathématiques on s’intéresse à certains types d’objets (nombres,

fonctions, ensembles, vecteurs...). On en définira précisément quelques-uns dans les cha-

pitres qui suivent. Pour l’instant, on part du principe que le lecteur a déjà rencontré des

concepts mathématiques et on donne la définition informelle suivante :

2 Chapitre 1. Rudiments de rédaction mathématique

Définition 1 (informelle)

Un énoncé mathématique (ou proposition mathématique) est un énoncé portant sur

certaines propriétés de certains objets ou concepts mathématiques.

Exemples 1

1. Le nombre 3 est un nombre impair.

2. Le nombre réel π est irrationnel.

3. La fonction exponentielle est une fonction continue de l’ensemble des réels vers l’en-

semble des réels.

4. Tout entier naturel est pair ou impair.

5. Dans tout triangle non aplati, les trois médiatrices sont concourantes.

6. Si 6 divise l’entier n, alors n est pair.

7. L’entier n est pair si et seulement si l’entier n + 1 est impair.

Les énoncés mathématiques des exemples 1 partagent tous un point commun : ils sont

vrais. On pourrait très facilement produire des énoncés mathématiques faux, mais les

auteurs ont fait leur possible pour s’en garder dans cet ouvrage1, sauf pour indiquer

explicitement qu’ils sont faux2.

Les deux derniers énoncés des exemples 1 partagent un point commun qu’ils ne partagent

pas avec les 5 premiers : ils comportent une variable libre. On reviendra en détail sur cette

notion dans le paragraphe 2.2.d, mais on peut déjà constater que la lettre n est utilisée

pour désigner un entier non spécifié dans ces deux énoncés. Lorsqu’un énoncé comporte

des variables libres, sa valeur de vérité peut dépendre de l’affectation des variables libres.

On utilisera dans ce chapitre les lettres P et Q pour désigner des énoncés quelconques.

Lorsqu’il est possible qu’une variable libre v apparaisse dans un énoncé, on pourra noter

ce dernier P (v) pour bien insister sur le rôle de cette variable.

2.2 Formalisme symbolique

Les énoncés des exemples 1 sont écrits en langue naturelle. C’est encore la meilleure

manière de les rendre clairs. Néanmoins, on sera parfois amené, au cours d’une démons-

1. Voir le conseil 22. Voir aussi la sous-section 4.3

2 Énoncés et expressions mathématiques 3

tration, à enchaîner une longue succession d’énoncés mathématiques en lien les uns avec

les autres : la langue française3 montre alors ses limites. On utilise alors le formalisme

symbolique dont la grande vertu est d’être plus synthétique. Dans les sous-sections qui

suivent, on présente atome par atome ce formalisme, mais on prendra garde qu’on ne

devrait pas mélanger langue naturelle et formalisme mathématique dans un

même énoncé. Dans l’idéal, lorsqu’on utilise le formalisme symbolique pour écrire un

énoncé, on devrait l’utiliser exclusivement ; et lorsqu’on écrit un énoncé en langue natu-

relle, il devrait être exclu d’en écrire une petite partie à l’aide du formalisme symbolique.

Pour des raisons de clarté et de lourdeur, il n’est pas toujours possible d’observer scupu-

leusement cette règle, mais les auteurs ont essayé de s’y tenir autant que possible.

a. Appartenance et inclusion

Notation 1

L’appartenance (d’un objet mathématique à un ensemble) est dénotée par le symbole ∈.

a ∈ A se lit « a appartient à A » et signifie que l’élément a appartient à l’ensemble A.

Exemple 2

L’énoncé n ∈ Z se lit « n est un entier relatif ».

En s’appuyant sur des notations que nous n’avons pas présentées, mais qui sont sans doute

connues du lecteur, on peut aussi traduire en formalisme symbolique certains énoncés des

exemples 1, dont beaucoup peuvent être interprétés en terme d’appartenance.

Exemples 3

1. L’énoncé de l’exemple 1.2 peut s’écrire « π ∈ R \Q ».

2. L’énoncé de l’exemple 1.1 peut s’écrire « 3 ∈ 2N + 1 ».

3. L’énoncé de l’exemple 1.3 peut s’écrire « exp ∈ C(R,R) ».

Il est entendu dans les exemples 3 que R \ Q dénote l’ensemble des réels irrationnels,

que 2N + 1 dénote l’ensemble des entiers naturels impairs, que exp dénote la fonction

exponentielle et que C(R,R) dénote l’ensemble des fonctions continues de R dans R. On

revient sur les deux premières notations dans le chapitre 2.

Notation 2

Lorsqu’il n’est pas vrai qu’un objet mathématique a appartient à un ensemble A, c’est-

à-dire lorsque a n’appartient pas à A, on note « a /∈ A ».

3. Ou toute autre langue.


Exemple 4

L’énoncé « π n’est pas rationnel » peut se réécrire « π /∈ Q ».

Remarque 1

Les ensembles sont eux mêmes des objets mathématiques ! On peut donc être amené à

écrire une expression de la forme « a ∈ A », où a est lui-même un ensemble ! Exemples :

• L’énoncé « N ∈ {7, exp,N} » signifie que l’ensemble N est un élément de l’ensemble

{7, exp,N}. L’ensemble {7, exp,N} est, par définition, un ensemble à trois éléments qui

sont l’entier 7, la fonction exponentielle, et l’ensemble N.

• En notant I l’ensemble de tous les intervalles de R, on a [0, 1[∈ I.

Attention pour autant à ne pas confondre appartenance et inclusion : l’ensemble N n’ap-

partient pas à R, l’intervalle [0, 1[ n’appartient pas à l’intervalle [0, 1]. Autrement dit

on a N /∈ R (l’ensemble des entiers naturels n’est pas un nombre réel) et de même

[0, 1[/∈ [0, 1] (aucun élément de [0, 1] n’est un intervalle !).

Définition 2

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tous les éléments

de A sont des éléments de B : ∀x ∈ A, x ∈ B.

On le note A ⊂ B (voire éventuellement B ⊃ A).

Exemples 5

1. On a N ⊂ R.

2. On a [0, 1[⊂ [0, 1].

Remarque terminologique :

• Pour indiquer qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B, on pourra aussi bien

écrire que B contient A.

• Pour indiquer qu’un élément a appartient à un ensemble A, on pourra aussi bien écrire

que A comprend a.

b. Connecteurs logiques

Notations 3

Les connecteurs logiques sont les symboles ⇒, ∧, ∨, ¬, ⇔.

• Le connecteur ⇒ dénote l’implication. Si P et Q sont des énoncés mathématiques,

P ⇒ Q se lit « P implique Q » ou « si P alors Q ».


• Le connecteur ∧ dénote la conjonction (le « et »). Si P et Q sont des énoncés mathé-

matiques, P ∧ Q se lit « P et Q ».

• Le connecteur ∨ dénote la disjonction (le « ou »). Si P et Q sont des énoncés mathé-

matiques, P ∨ Q se lit « P ou Q ».

• Le connecteur ⇔ dénote l’équivalence logique. Si P et Q sont des énoncés mathéma-

tiques, P ⇔ Q se lit « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q ».

• ¬ dénote la négation. Si P est un énoncé mathématique, ¬P se lit « non P ».

Remarque 2

Les symboles ∧ et ∨ sont surtout utilisés pour des formules propositionnelles (voir cha-

pitre 2). Dans tout autre énoncé mathématique, on pourra aussi bien utiliser les mots

« ou » et « et » qui sont tout aussi synthétiques et moins surchargés4.

Par exemple, on pourra écrire « a ∈ A ou a /∈ A » plutôt que « a ∈ A ∨ a /∈ A ».

Exemple 6

Les énoncés a /∈ A et ¬(a ∈ A) sont identiques : dans les deux cas ils se lisent « a

n’appartient pas à A ».

Exemples 7

1. En notant 6N l’ensemble des entiers naturels qui sont divisibles par 6 et 2N l’ensemble

des entiers pairs, l’énoncé de l’exemple 1.6 peut s’écrire « n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N »

2. Avec les notations déjà introduites, l’énoncé de l’exemple 1.7 peut s’écrire ainsi :

« n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1 ».

Rappelons qu’en mathématique, le « ou » est inclusif. Par exemple, l’énoncé de

l’exemple 1.4 n’exprime pas qu’il n’existe pas d’entier simultanément pair et

impair, mais seulement qu’il n’existe pas d’entier qui ne soit ni pair ni impair.

4. Un symbole est dit surchargé lorsqu’il a plusieurs dénotations, le contexte permettant en pratiquede lever les éventuelles ambiguïtés. Par exemple, on verra dans le chapitre 5 que le symbole ∧ peut aussidésigner le pgcd, alors que le symbole ∨ peut aussi désigner le ppcm. Ces symboles sont donc surchargés.


Comme on va le voir en détail dans les exemples de la section 3.2, l’implication

n’indique pas la causalité : un énoncé de la forme « P implique Q » signifie

simplement qu’on peut, par une suite de déductions logiques, montrer que Q est

vrai en supposant que P est vrai. Par exemple, l’énoncé suivant est vrai :

« S’il existe une infinité de couples de la forme (p, p + 2), avec p et p + 2

premiers, alors√

2 est irrationnel. »

En effet, on verra plus bas qu’on peut montrer que√

2 est irrationnel, donc on

peut en particulier le montrer en faisant l’hypothèse qu’il existe une infinité de

couples de la forme (p, p + 2), avec p et p + 2 premiers (il suffit de ne pas utiliser

cette hypothèse).

Remarque 3

Introduisons ici un peu de terminologie. Lorsqu’une implication P ⇒ Q est vraie, on ira

que Q est une condition nécessaire de P ou que P est une condition suffisante de Q. En

effet, dire que P implique Q, c’est dire qu’il suffit d’avoir P pour observer Q, et c’est

aussi dire qu’il est nécessaire d’avoir Q pour pouvoir observer P (si on n’a pas Q, on est

certain de ne pas avoir P puisque P implique Q).

On revient sur la sémantique précise des connecteurs logiques de façon plus technique

dans le chapitre 2, p. 42 et suivantes.

Introduisons un peu de terminologie concernant les implications, car celle-ci sera utile

dans la sous-section 4.1.

Définition 3

Étant donné une implication P ⇒ Q, on appelle

1. contraposée de P ⇒ Q l’énoncé ¬Q ⇒ ¬P ;

2. réciproque de P ⇒ Q l’énoncé Q ⇒ P .

On notera bien qu’on ne peut donc parler de contraposée ou de réciproque d’un énoncé

que lorsque cet énoncé est une implication.

Exemples 8

1. La contraposée de l’énoncé « si 6 divise l’entier n, alors n est pair » est l’énoncé « si

n n’est pas pair, alors 6 ne divise pas n ». Ici l’énoncé de départ était vrai, et sa


contraposée est vraie également : on verra dans la sous-section 4.1 que cela n’a rien

d’un hasard.

2. La réciproque de l’énoncé « si 6 divise l’entier n, alors n est pair » est l’énoncé « si n

est pair, alors 6 divise n ». Ici la réciproque n’est pas vraie, alors que de l’énoncé de

départ était vrai.

3. On peut s’amuser à considérer la contraposée de la réciproque de P ⇒ Q. Il s’agit de

l’énoncé ¬P ⇒ ¬Q et c’est aussi la réciproque de la contraposée de P ⇒ Q !

c. Quantificateurs

Notations 4

Les quantificateurs sont les symboles ∀, ∃, ∃!.

• Le symbole ∀ dénote la quantification universelle et se lit « pour tout » ou « quel que

soit ». Si P (x) est un énoncé mathématique, l’énoncé ∀x ∈ A, P (x) se lit « pour tout

x appartenant à A, on a P (x) ».

• Le symbole ∃ dénote la quantification existentielle se lit « il existe ». Si P (x) est un

énoncé mathématique, ∃x ∈ A, P (x) se lit « il existe x appartenant à A tel qu’on ait

P (x) ».

• Le symbole ∃! se lit « il existe un unique ». Si P (x) est un énoncé mathématique,

∃!x ∈ A, P (x) se lit « il existe un unique x appartenant à A tel qu’on ait P (x) ».

Exemple 9

L’énoncé de l’exemple 1.4 peut s’écrire ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1.

L’énoncé de l’exemple 1.5 est aussi une quantification universelle, mais n’est pas facile à

être traduit en formalisme symbolique, et ne gagne rien à l’être.

Exemple 10

Considérons les trois énoncés suivants. Attention, ils ne sont pas tous les trois vrais.

i. ∀x ∈ R, sin(2πx) = 0 ;

ii. ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 ;

iii. ∃!x ∈ R, sin(2πx) = 0.

Sur cet exemple :

i. Le premier énoncé est faux : pour x =13

, on a sin(2πx) = sin(

2π3

)=

√3

2�= 0.

On renvoie le lecteur sceptique qui n’aurait pas en tête les valeurs remarquables des

fonctions trigonométriques au chapitre 4.

ii. Le deuxième énoncé est vrai car pour x = 0 on a bien sin(2πx) = sin(0) = 0.


iii. Le troisième énoncé est faux car pour x = 1 on a sin(2πx) = sin(2π) = 0. L’égalité

est donc vérifiée pour au moins deux valeurs de x : il n’y a pas unicité.

Le premier énoncé ne doit pas être confondu avec l’énoncé ∀x ∈ Z, sin(2πx) = 0. Ce

dernier énoncé est vrai : cela résulte de la 2π-périodicité de la fonction sinus.

Remarque 4

On peut obtenir des énoncés mathématiques en emboîtant des quantifications, et consi-

dérer par exemple les énoncés :

1. ∀n ∈ N, ∃m ∈ N, n < m.

2. ∃m ∈ N, ∀n ∈ N, n < m.

Attention, le premier énoncé est vrai (il exprime qu’étant donné un entier, on peut

en trouver un autre qui soit plus grand) alors que le second est faux (il exprime

qu’il existe un entier plus grand que tous les autres). On touche du doigt dans

cet exemple le fait que deux quantifications de nature différente ne commutent

pas en général, ce qui est évident étant donné le sens des quantification5.

On peut évidemment, dans certains cas, être amené à emboiter de nombreuses quantifi-

cations.

d. Statut des variables dans les expressions et les énoncés

Dans les exemples évoqués jusqu’à présent, on a régulièrement désigné un objet ma-

thématique par une variable : une lettre, ou plus généralement un symbole, ou plus

généralement une succession de symboles, pourvu qu’elle reste atomique6. Examinons

les énoncés des exemples 1, à l’exception du 5-ième qui n’est pas facile à être traduit en

formalisme symbolique, et qui ne gagne rien à l’être.

1. 3 ∈ 2N + 1 ;

2. π /∈ Q ;

3. exp ∈ C(R,R) ;

4. ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1 ;

6. n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N ;

7. n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1.

Les énoncés 1., 2. et 3. ne comportent pas de variable : certains objets sont bien désignés

par des lettres, symboles ou succession de symboles, comme 3, π et exp, mais ces symboles

5. On lira avec profit la remarque 6.6. Une lettre indicée comme a42 par exemple.


dénotent des constantes mathématiques, qui sont bien déterminées.

Les énoncés 4., 6. et 7. comportent chacun exactement une variable : dans chaque cas,

cette variable est n ; on verra néanmoins dans la remarque 5.2 qu’on aurait pu nommer

différemment cette variable, du moins dans l’énoncé 4.

L’énoncé ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 de l’exemple 10.ii comporte lui aussi une unique variable :

cette variable est x. Les énoncés de la remarque 4 ont tous les deux deux variables : ces

variables sont m et n.

Pour autant, un objet mathématique n’est pas nécessairement dénoté par une variable

ou une constante mathématique, et le lecteur le sait bien : lorsqu’il lit une expression

de la forme x2 − 2x + 1, ou encore7 limx→+∞ f(x), il sait qu’il est question d’un objet

mathématique, sans que cet objet soit dénoté par une variable ou une constante. Plus

généralement, et en restant toujours très informel :

Définition 4 (informelle)Une expression mathématique est une expression qui dénote un objet mathématique.

Exemples 11

1. On peut considérer l’expression∫ b

a

f(t)dt.

2. On peut considérer l’expressionn∑

k=1

k qui dénote la somme 1 + 2 + · · · + n.

Notation 5

Une expression peut aussi dénoter un ensemble. Introduisons ici une notation importante :

lorsque P (a) est un énoncé mathématique pouvant éventuellement comporter a comme

variable libre, l’expression {a ∈ A, P (a)} désigne l’ensemble des éléments de A pour

lesquels l’énoncé P (a) est vrai 8. Par exemple :

1. L’expression {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k} désigne l’ensemble des entiers n pour lesquels

l’énoncé ∃k ∈ N, n = 2k est vrai : il s’agit à l’évidence des entiers pairs. On a donc,

avec les notations précédentes, 2N = {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}.

2. L’expression{n ∈ N,

√2 /∈ Q

}désigne l’ensemble des entiers n pour lesquels l’énoncé

√2 /∈ Q est vrai. Mais cet énoncé ne dépend pas de n : il est vrai ! Il est donc vrai

pour tout entier n. On a ainsi{n ∈ N,

√2 /∈ Q

}= N.

7. Attention à cet exemple qui n’en est un que pour certaines valeurs de f . Ainsi limx→+∞

sin(x) n’est

pas une expression mathématique correcte car la fonction sinus n’a pas de limite en + ∞.


Illustrons cette notation 5 à l’aide d’un autre exemple. On verra dans le chapitre 5 qu’un

entier naturel p est premier si et seulement s’il est plus grand que 2 et que tout entier qui

le divise est nécessairement égal à 1 ou p. En notant P l’ensemble des nombres premiers,

on peut ainsi écrire

P ={p ∈ N, p � 2 et

(∀d ∈ N, (∃k ∈ N, p = kd) ⇒ (d = 1 ou d = p)

)}.

Il est d’ailleurs possible sur le même principe de trouver d’autres expressions de cette

forme dénotant P , dont certaines plus simples. On invite le lecteur à en chercher.

À l’instar d’un énoncé, une expression mathématique peut comporter, ou pas, une ou

plusieurs variables. Les expressions des exemples 11 comportent tous des variables, mais,

par exemple, les expressions lim+∞ exp ou 1 + 2 + · · · + 100 n’en comportent pas.

Il convient de distinguer deux types de variables : les variables dites libres et les variables

dites liées (ou muettes). Donner une définition technique nous emmènerait trop loin, mais

on peut énoncer :

Définition 5 (informelle)

1. Une variable figurant dans un énoncé ou une expression est dite liée (ou muette)

lorsqu’elle est supportée par un ou plusieurs symboles qui l’introduisent manifes-

tement, dit symboles lieurs 9.

2. Lorsqu’une variable figurant dans un énoncé ou une expression n’est introduite par

aucun symbole, elle est dite libre.

Exemple 12

Les deux énoncés

6. n ∈ 6N ⇒ n ∈ 2N ;

7. n ∈ 2N ⇔ n + 1 ∈ 2N + 1.

ont exactement une variable qui, dans les deux cas, est n. Dans les deux cas, cette variable

n’est pas introduite, elle est libre.

Exemple 13

Les quantificateurs sont des symboles lieurs. Même lorsque la variable x est libre dans

l’énoncé P (x), elle devient liée (par le quantificateur considéré) dans les énoncés de la

forme ∀x ∈ A, P (x), ou ∃x ∈ A, P (x), ou ∃!x ∈ A, P (x). Ainsi, dans l’énoncé

8. On présente au chapitre 2 une notation alternative.9. On dit aussi symboles mutificateurs.


4. ∀n ∈ N, n ∈ 2N ou n ∈ 2N + 1,

la seule variable est n. Elle est liée (par le quantificateur ∀).

Si on réécrit cet énoncé sous la forme ∀n ∈ N, (∃k ∈ N, n = 2k) ou (∃� ∈ N, n = 2� + 1),

on obtient un énoncé avec trois variables n, k et �, qui sont toutes les trois liées (n par

le premier ∀, k par le premier ∃, � par le second ∃).

Exemples 14

On connaît de nombreux symboles lieurs dans les expressions. En dresser une liste ex-

haustive ne serait ni possible, ni souhaitable, mais on peut reprendre quelques exemples :

1. Dans l’expression∫ b

a

f(t)dt, il y a quatre variables a, b, f et t.

Les variables a, b et f sont libres.

La variable t est liée (par∫

· · ·dt).

2. Dans l’expressionn∑

k=1

k, il y a deux variables : n et k.

La variable n est libre.

La variable k est liée (par le symbole∑

).

Bien sûr, si l’on considère l’énoncé 10 ∀n ∈ N,

n∑k=1

k =n(n + 1)

2, on considère un énoncé

dont les deux variables n et k sont toutes les deux liées.

3. Dans l’expression {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}, il y a deux variables : n et k.

La variable k est liée (par le quantificateur ∃).

La variable n est liée (par { , }).

4. L’expression x → xn, qui désigne une application, comporte deux variables x et n.

La variable n est libre.

La variable x est liée (par →).

Remarques 5

1. Les variables liées sont finalement celles dont on pourrait se passer, quitte à rajouter

des constantes, comme l’illustre l’égalité 2N = {n ∈ N, ∃k ∈ N, n = 2k}. En parti-

culier, quand on sait réécrire un énoncé ou une expression qui comporte une variable

sans utiliser cette variable dans la réécriture, c’est que cette variable était liée. Ainsi :

a. La variable k est liée dans l’expressionn∑

k=1

k car cette expression peut se réécrire

1 + 2 + · · · + n et que k ne figure pas dans la seconde expression.

b. La variable x est liée dans l’expression limx→+∞ ex, car cette expression peut s’écrire

lim+∞ exp.

10. Cet énoncé est vrai ! Voir la bibliographie de Gauss dans le chapitre 8.


2. Lorsqu’on renomme une variable liée dans un énoncé11 (respectivement une expres-

sion), on obtient un énoncé (respectivement une expression) que l’on peut considérer

comme identique. En particulier les expressionsn∑

k=1k et

n∑�=1

� sont identiques, les énon-

cés ∃x ∈ R, sin(2πx) = 0 et ∃y ∈ R, sin(2πy) = 0 sont identiques. Il y a néanmoins

certains usages purement conventionnels : on utilise habituellement des majuscules

pour des variables de type ensemble, les lettres x, y, t, . . . pour des variables de types

réel, les lettres k, m, n, p, q, r, . . . pour des variables de type entier, etc.

Terminons cette section sur une mise en garde très importante :

Remarque 6

Le formalisme ne se substitue ni au sens, ni à la pensée. Lorsqu’on écrit des

énoncés ou des expressions à l’aide du formalisme symbolique, on doit toujours

être capable de les énoncer littéralement.

3 Principes élémentaires de rédaction

La section précédente était consacrée aux énoncés mathématiques. Mais l’enjeu du dis-

cours mathématique n’est pas tant de produire des énoncés mathématiques que de les

démontrer rigoureusement. Pour cela, on s’est donné un ensemble de règles qu’il convient

de suivre : cela permet de s’assurer de la clarté de son raisonnement et de sa capacité à

être communiqué à d’autres.

3.1 Remarques préliminaires

Cette sous-section s’adresse principalement aux étudiants devant passer des épreuves

écrites d’examens ou de concours. Les auteurs se permettent de leur adresser trois conseils.

Conseil 1

Se conformer aux règles de rédaction prescrites.

Conseil 2

Éviter (par ordre de gravité) :

• les assertions inutiles ;

• les assertions fausses ;

• les assertions qui n’ont pas de sens.

11. L’opération consistant à renommer les variables liées est appelée α-conversion.

3 Principes élémentaires de rédaction 13

Conseil 3

Identifier le niveau de détail attendu par le correcteur.

S’il est demandé de montrer un résultat complexe, il ne faut pas hésiter à utiliser sans

démonstration des points de cours ou des résultats élémentaires. S’il est demandé de

montrer un point de cours ou un résultat élémentaire, il faut le faire. L’expression « c’est

évident » n’est jamais la réponse attendue à une question d’examen ou de concours.

3.2 Schémas simples de démonstration

a. Préliminaires sur l’égalité

Une famille d’énoncés fondamentale est la famille des énoncés de la forme e1 = e2 où

e1 et e2 sont des expressions mathématiques. Un même objet mathématique peut avoir

plusieurs écritures syntaxiquement différentes, comme 2 + 2 = 3 + 1, et il convient donc

d’apporter quelques précisions sur le sens de de la relation d’égalité.

Pour éclairer ce sens, exposons ici un principe dû à Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-

1716) le principe d’identité des indiscernables, et d’indiscernabilité des identiques, qu’on

appelera ci-dessous simplement loi de Leibniz. Formulé de façon moderne, ce principe

peut s’énoncer ainsi : dire qu’un objet a est égal à un objet b, c’est dire que, pour tout

énoncé P (x), on a P (a) ⇔ P (b).

On peut déjà, à l’aide de la loi de Leibniz, montrer que certaines égalités permettent d’en

obtenir d’autres. Voyons tout d’abord trois propriétés fondamentales de l’égalité entre

éléments d’un même ensemble A :

• Elle est réflexive : ∀a ∈ A, a = a.

En effet, pour tout énoncé P (x), on a bien P (a) ⇔ P (a).

• Elle est symétrique : ∀a ∈ A, ∀b ∈ A, a = b ⇒ b = a.

En effet, considérons l’énoncé P (x) suivant : « x = a ». Cet énoncé est vérifié par a

par réflexivité, c’est-à-dire qu’on a P (a). Supposons maintenant avoir a = b. D’après

la loi de Leibniz, on a donc P (b), c’est-à-dire b = a.

• Elle est transitive : ∀a ∈ A, ∀b ∈ A, ∀c ∈ A, a = b et b = c ⇒ a = c.

Supposons en effet a = b et b = c, et considérons l’énoncé P (x) suivant : « x = c ».

Par hypothèse on a P (b), mais comme a = b, on a b = a par symétrie, et d’après la loi

de Leibniz, on a aussi P (a), c’est-à-dire a = c.

La loi de Leibniz éclaire les manipulations algébriques que l’on peut faire sur les éga-

lités. Sachant que a et b appartiennent à un ensemble A et que l’on a a = b, on peut

déduire f(a) = f(b) pour toute application de source A. En effet, l’énoncé P (x) défini


par « f(a) = f(x) » est vérifié par a par réflexivité, donc par b d’après la loi de Leib-

niz. En particulier, dans le cas où l’ensemble A est un ensemble de nombres, par exemple

l’ensemble des nombres réels, on obtient qu’on peut additionner, soustraire, ou multiplier

les deux membres d’une égalité, et qu’on obtient alors une égalité encore vraie : il suffit

de considérer des applications de la forme f = t → t + s, f = t → t − d, f = t → t × p.

On prendra garde qu’on vient seulement d’exposer comment obtenir des impli-

cations correctes entre égalités. Considérons un réel x pour lequel on a x = x2.

Cette égalité donne une information sur le réel x considéré 12. En multipliant

chaque membre par 0, on obtient l’égalité 0 = 0, qui ne donne plus aucune

information sur x.

Voyons maintenant comment obtenir des équivalences entre égalités portant sur des élé-

ments d’un ensemble de nombres, disons R. On admettra néanmoins les règles de calcul

connues du lecteur sur l’addition, la multiplication, la différence...

• on obtient un énoncé équivalent en ajoutant ou en soustrayant un même réel aux deux

membres de l’égalité ;

• on obtient un énoncé équivalent en multipliant ou en divisant par un même réel non

nul les deux membres de l’égalité ;

• on obtient un énoncé équivalent en appliquant une même application bijective13 aux

deux membres de l’égalité ;

• on peut appliquer une même application non bijective aux deux membres de l’égalité

mais on n’obtient pas alors un énoncé nécessairement équivalent (on peut perdre de

l’information) : il est alors nécessaire, pour obtenir un énoncé équivalent, de faire une

conjonction avec l’information perdue.

Par exemple on a√x − a = x − b ⇔

⎧⎨⎩ x − a = (x − b)2

x � b.

Cet exemple surprendra peut-être le lecteur, qui s’attendrait à ce que l’information per-

due soit x � a. Il est vrai que cette information figure dans l’égalité√x − a = x − b,

mais elle est conservée dans l’égalité x−a = (x−b)2, puisque celle-ci indique que x−a

est un carré, et qu’un carré est toujours positif. Il est donc inutile (quoiqu’inoffensif)

de la faire figurer après passage au carré. En revanche, l’information x − b � 0 figure

elle aussi dans l’égalité de départ, car une racine carrée est positive par définition,

mais elle ne figure plus en général dans l’égalité x − a = (x − b)2.

Cet exemple élémentaire ne doit pas faire oublier qu’il n’est pas toujours facile d’iden-

12. Laquelle ?13. Le lecteur pourra retrouver la définition de la bijectivité p. 77.


tifier l’information perdue, et qu’il est possible que toute l’information soit perdue (il

suffit d’appliquer une application constante).

Le troisième point s’obtient par définition de la bijectivité14 et le quatrième est informel.

Montrons les deux premiers.

• On a déjà vu que l’énoncé a = b implique l’énoncé a + s = b + s par application de la

fonction x → x + s. En utilisant les règles connues sur les opérations + et −, on sait

que, pour tout réel x, on a (x+s)−s = x. L’énoncé a+s = b+s implique donc l’énoncé

a = b par application de la fonction x → x − s. On a donc bien montré l’équivalence

entre ces deux énoncés. La démonstration est la même pour la différence au lieu de la

somme.

• On a déjà vu que l’énoncé a = b implique l’énoncé a × p = b × p par application de la

fonction x → x × p. Si p est non nul, on peut diviser par p. Les règles connues sur

les opérations × et ÷, on sait que, pour tout réel x, on a (x × p) ÷ p = x. L’énoncé

a × p = b × p implique donc l’énoncé a = b par application de la fonction x → x ÷ p.

On a donc bien montré l’équivalence entre ces deux énoncés. La démonstration est la

même pour le quotient au lieu du produit.

Remarque 7

Ce dernier point peut d’ailleurs être vu comme un cas particulier du fait qu’on obtient

un énoncé équivalent en appliquant une même application bijective. En effet, l’applica-

tion

⎧⎨⎩ R −→ R

x −→ x × pest bijective pour p �= 0, et il en est évidemment de même de

l’application

⎧⎨⎩ R −→ R

x −→ x ÷ p, pour p �= 0 toujours.

b. Implication

Pour montrer une implication, c’est-à-dire un énoncé de la forme P ⇒ Q, le schéma de

rédaction le plus simple est le suivant : on introduit l’hypothèse P , on forme une suite

de déduction logiques jusqu’à obtenir Q, puis on conclut.

• Supposons P .... (enchaînement de raisonnements valides)

• On a donc Q.

• On a bien montré Q sous l’hypothèse P , c’est-à-dire P ⇒ Q.

14. Il suffit même que f soit injective, voir p. 83.


Exemple 15

Montrons l’énoncé de l’exemple 1.6 : si 6 divise n, alors n est pair.

C’est bien un énoncé de la forme P ⇒ Q avec P l’énoncé « 6 divise n » et Q l’énoncé « n

est pair ».

On part de P[

Supposons que 6 divise n.

...

déductions logiques...

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣Alors il existe k ∈ N avec n = 6k.

On a donc n = 2 × 3 × k.

Donc n = 2(3k) = 2k′ en posant k′ = 3k,

qui est bien un entier naturel.

On obtient Q[

Donc n est pair.

On conclut[

On a donc bien montré l’implication demandée.

Bien sûr, l’énoncé à montrer était ici évident15.

c. Quantification universelle

Pour montrer une quantification universelle, c’est-à-dire un énoncé qui est de la forme

∀x ∈ A, P (x), le schéma de rédaction le plus simple est le suivant : on introduit la variable

x, on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir P (x), puis on conclut.

• Soit x ∈ A.... (enchaînement de raisonnements valides)

• On a donc P (x).

• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré ∀x ∈ A, P (x).

Exemple 16

Montrons ∀x ∈ [0, 1], x2 � x.

15. Voir conseil 3.


On introduit x[

Soit x ∈ [0, 1].

...

déductions logiques...

⎡⎢⎢⎣En particulier, on a x � 1.

Comme on a de plus x � 0, on peut multiplier l’inégalité

précédente par x et cela ne change pas son sens.

On obtient P[

On trouve bien x2 � x.

On conclut

⎡⎣ Ceci étant valable pour tout réel x de l’intervalle [0, 1], on

a bien montré l’énoncé demandé.

Bien sûr, l’énoncé à montrer était ici évident16.

Remarques 8

Montrer une quantification universelle revient à montrer une inclusion : par définition,

les énoncés « ∀x ∈ E, P (x) » et « E ⊂ {x ∈ E, P (x)} » sont équivalents. Ainsi, par

exemple, on vient de montrer qu’on a [0, 1] ⊂{x ∈ R, x2 � x

}.

Réciproquement, montrer une inclusion c’est montrer une quantification universelle : les

énoncés A ⊂ B et ∀x ∈ A, x ∈ B sont équivalents.

En particulier, le schéma de rédaction le plus simple pour montrer A ⊂ B est le suivant :

on introduit une variablex ∈ A, on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir

x ∈ B, puis on conclut.

• Soit x ∈ A.... (enchaînement de raisonnements valides)

• On a donc x ∈ B.

• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré A ⊂ B.

d. Implication sous quantification universelle et inclusion ensembliste

En synthétisant les deux paragraphes précédents, on obtient le schéma de rédaction le

plus simple pour montrer une implication sous quantification universelle, c’est-à-dire un

énoncé de la forme ∀x ∈ A, P (x) ⇒ Q(x) : on introduit la variable x et on suppose P ,

on forme une suite de déductions logiques jusqu’à obtenir Q(x), puis on conclut.

• Soit x ∈ A et supposons P (x).

16. Voir conseil 3.


... (enchaînement de raisonnements valides)

• On a donc Q(x).

• Ceci étant vrai pour tout élément x de A, on a montré ∀x ∈ A, P (x) ⇒ Q(x).

Exemples 17

1. On a a déjà essentiellement démontré l’énoncé « pour tout entier n, si 6 divise n alors

n est pair ». Il suffit de rajouter « soit n ∈ N » au début de la démonstration de

l’exemple 15.

2. Voyons un autre exemple : soit à montrer l’énoncé ∀x ∈ R, x � 2 ⇒ x3 � 7.[Soit x ∈ R et supposons x � 2.⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣L’application x → x3 étant croissante sur R,

on déduit de l’inégalité précédente l’inégalité x3 � 23,

c’est-à-dire x3 � 8.

Comme de plus on a 8 � 7, on conclut :[x3 � 7.⎡⎣ Ceci étant valable pour tout réel x tel que x � 2, on

a bien montré l’énoncé demandé.

Remarque 9

Montrer une implication sous quantification universelle ∀x ∈ E, P (x) ⇒ Q(x) équivaut

à montrer l’inclusion {x ∈ E, P (x)} ⊂ {x ∈ E, Q(x)}.

Par exemple, en gardant les notation précédemment introduites, on a démontré dans

l’exemple 17.1 l’inclusion 6N ⊂ 2N.

Remarque 10

En fait, les quantifications universelles « ∀x ∈ A, P (x) » peuvent toujours être vues

comme des implications sous quantification universelle. L’énoncé « ∀x ∈ A, P (x) » signi-

fie au fond « ∀x, x ∈ A ⇒ P (x) ». On évitera néanmoins dans cet ouvrage de manipuler

des quantification non bornées, c’est-à-dire qui ne sont pas de la forme « ∀x ∈ A, P (x) »,

qui du reste est la seule qui nous intéresse.


e. Équivalence et égalité ensembliste

On a au moins deux schémas de démonstration simples pour montrer une équivalence,

c’est-à-dire un énoncé de la forme P ⇔ Q.

La première méthode se base sur la remarque suivante : les énoncés « P ⇔ Q » et

« P ⇒ Q ∧ Q ⇒ P » sont équivalents. Ainsi, pour démontrer P ⇔ Q on peut démontrer

successivement P ⇒ Q puis Q ⇒ P . On dit qu’on procède par double implication, ou

encore par condition nécessaire et suffisante, en suivant la terminologie de la remarque 3.

Exemple 18

Soit à montrer l’énoncé suivant : un produit de deux entiers naturel est impair si et

seulement si ces deux entiers sont impairs.

On veut montrer ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ab ∈ 2N + 1 ⇔ a ∈ 2N + 1 et b ∈ 2N + 1.

Soit a ∈ N et b ∈ N. On veut montrer une équivalence. Procédons par double implication.

⇐ Supposons a et b impairs.

Par définition, il existe un entier k ∈ N tel qu’on ait a = 2k + 1, et il existe un entier

k′ ∈ N tel qu’on ait b = 2k′ + 1.

On a donc ab = (2k+1)(2k′+1) = 4kk′+2(k+k′)+1 = 2k′′+1 en posant k′′ = 2kk′+k+k′,

qui est bien un entier naturel. Donc ab est impair.

L’implication réciproque est établie.

⇒ Supposons ab impair.

Alors ab n’est pas pair et donc 2 ne divise pas ab. Donc 2 ne divise ni a ni b (sinon il

diviserait clairement leur produit).

Donc a est impair et b est impair. L’implication directe est établie.

Conclusion : On a donc bien montré, par double implication, l’équivalence demandée.

La seconde méthode, lorsqu’elle est possible, est de trouver une suite d’énoncés P0 = P ,

P1, P2, . . ., Pn = Q pour lesquelles chaque équivalence Pi ⇔ Pi+1 est claire (ou constitue

un résultat connu). On dit qu’on procède par équivalences successives.

Exemple 19

Soit à montrer n2 + 1 = 2n ⇔ n = 1.

On procède par équivalences successives. On a :


n2 + 1 = 2n ⇔ n2 − 2n + 1 = 0 en soustrayant 2n à chaque membre

⇔ (n − 1)2 = 0 en reconnaissant une identité remarquable

⇔ n− 1 = 0 car un produit est nul si et seulement si

l’un de ses facteurs est nul

⇔ n = 1 en ajoutant 1 à chaque membre.D’où l’équivalence demandée.

Remarque 11

Cet exemple montre que résoudre une équation c’est montrer une équivalence, à ceci près

qu’on ne nous donne pas, en général, le membre de droite de cette équivalence.

Plus généralement, on est parfois amené à résoudre un exercice de type : « trouver tous

les x ∈ E tels que P » (dans le cas d’une équation, P est une égalité). On présente dans

la sous-section 3.3 une troisième méthode adaptée à ce type de problèmes.

Remarque 12

Montrer que deux ensembles A et B sont égaux, où A et B sont tous deux inclus dans

un même ensemble E, c’est montrer une équivalence sous quantification universelle17 :

∀x ∈ E, x ∈ A ⇔ x ∈ B.

En particulier, pour montrer une égalité entre ensembles A = B on peut montrer succes-

sivement A ⊂ B puis B ⊂ A. On dit alors qu’on procède par double inclusion.

f. Égalité entre applications

Deux applications f et g de A dans B sont égales si et seulement si elles prennent les

mêmes valeurs en chaque point : ∀x ∈ A, f(x) = g(x).

Démontrer une égalité entre applications se ramène donc à démontrer une quantification

universelle. On pourra se référer à l’exemple 22.

g. Quantification existentielle

Pour montrer un énoncé de la forme ∃x ∈ A, P (x), on exhibe une valeur de x dnas A et

on démontre18 que l’énoncé P (x) est vrai pour cette valeur de x.

Exemple 20

Soit à montrer l’énoncé ∃n ∈ N, ∀x ∈ R, x � n ⇒ x3 � 7.

On peut rédiger la démonstration ainsi :

17. Voir proposition 10 du chapitre 2, p. 53.18. Correctement ! Il est donc indispensable d’avoir exhibé une valeur convenable de x et c’est en

général là que se trouve la difficulté.

Index

AAbel, 443, 905

absurde (raisonnement par l’–), 27

affixe, 169

Al-Khwarizmi, 502

Alembert (d’), 277, 503

notice biographique, 504

règle de –, 504

théorème de – -Gauss, 384

algèbre, 415

alternée (application multilinéaire –), 923

anneau, 403

de Boole, 430

des matrices, 460

intègre, 409, 413

intègre fini, 432

antécédent, 68

antisymétrique (application multilinéaire –), 924

application, 66

canoniquement associée à une matrice, 795

linéaire, 728

Argand, 164

argument, 198

Aristote, 27

associativité, 63, 75, 390, 458, 517

automorphisme, 732

BBézout, 904

coefficients de –, 275, 544


relation de –, 275, 544

théorème de –, 280, 546

Bachet de Méziriac, 237, 276

barycentre, 842

base, 608

adaptée, 634, 688

canonique, 321, 610

en dimension finie, 671, 672

extraite, 656

incomplète, 658, 660

Bellavitis, 592

Bernoulli

Daniel, 504

famille, 358

Jean, 194

bijectivité, 77

Bombelli, 162

bon ordre (propriété du –), 133

borne

inférieure, 111

supérieure, 111

Bourbaki, 385, 728

Brouwer, 28

CCardan, 502

formules de –, 502

Catalan (nombres de –), 150

Cauchy, 153, 164, 396, 445, 649, 904, 909


théorème de –, 909

Cauchy-Lipschitz linéaire (théorème de), 839

Cayley, 649


Chang Tsang, 355

Chasles (relation de), 830

coefficients d’un vecteur de Rn, 314

cofacteur, 947

colinéarité, 605

comatrice, 947

formule de la –, 951

combinaison linéaire, 244, 329, 338, 601

965

commutativité, 63, 390, 405, 420, 541

compatible (système –), 330

complémentaire, 61

composée, 73

composition, 74

conjugué

d’un complexe, 170

polynôme –, 557

contraposée, 6

contraposition

raisonnement par –, 25


convexe, 847

corestriction, 733

corps, 169, 412

cosinus, 180

Cramer, 903

formules de –, 359


système de –, 891

croissance, 112

cycle, 906

DDécomposition en éléments simples

sur C, 567

sur R, 568

décomposition primaire, 261

décroissance, 112

déterminant

d’un endomorphisme, 934

d’une famille de vecteurs, 928

d’une matrice 2 × 2, 488

d’une matrice n × n, 936

de Vandermonde, 945, 954

développement d’un déterminant, 949

De Morgan

lois de – ensemblistes, 63

lois de – propositionnelles, 47

Dedekind, 277

Descartes, 163, 332, 591

différence, 64

symétrique, 65

dilatation (matrice de –), 862

dimension

d’un espace vectoriel, 663

d’un sous-espace affine, 832

finie, 654

Diophante, 236, 330, 348, 502

Arithmétique, 236

direction, 827

Dirichlet, 443

discriminant, 203

disjonction des cas, 26

distributivité, 47, 63, 391, 458

divisibilité, 240

critères de –, 294

division euclidienne

dans N, 134

dans Z, 248

Dyck (mots de –), 150

Eéchange (lemme d’–), 660

échelonné(e)

famille, 680

matrice, 877

matrice – par lignes, 866

matrice – réduite par lignes, 868

système linéaire, 363

égalité

de deux sous-espaces vectoriels , 686

de Leibniz, 13

Eisenstein


endomorphisme, 730

canoniquement associé à une matrice, 795

équation

caractéristique, 704

d’un hyperplan, 750

diophantienne, 296, 303

équation différentielle

linéaire, 839

linéaire du premier ordre, 838

linéaire homogène du deuxième ordre à coeffi-

cients constants, 711

linéaire homogène du premier ordre, 711

équivalence

par colonnes, 865

par lignes, 865

matricielle, 810

Ératosthène (crible d’–), 253

espace vectoriel, 414

des matrices, 450

Euclide, 591

Éléments d’–, 235, 239

algorithme d’–, 272, 542

lemme d’–, 257, 551

Eudoxe, 235

Euler, 150, 238, 277, 589

formules d’–, 163, 195

identité d’–, 193


exemple fondamental de sous-espace affine, 836

966 Index

exponentielle complexe, 201

Ffactorielle, 144

famille, 96

de vecteurs, 598

génératrice, 606

liée, 603

libre, 603

Fermat, 237

descente de –, 237

grand théorème de –, 237


petit théorème de –, 259

Fibonacci (suite de), 145

forme

algébrique d’un complexe, 168

canonique, 203

linéaire, 731

trigonométrique, 198

formule

de changement de base, 802

de Cramer, 359

de De Moivre, 163, 196

de Grassmann, 695

de Legendre, 300

de Leibniz, 527

de Taylor pour les polynômes, 530

des probabilités totales, 481, 484, 485

du binôme de Newton, 466

du rang, 770

propositionnelle, 41, 113

formules

d’addition, 188

d’Euler, 195

de Cardan, 502

de duplication, 189

de linéarisation, 191

Fourier, 397, 590

Frobenius, 444

GGalois, 443, 590, 905


Gauss, 164, 355, 383, 396, 443, 503, 505, 649

Disquisitiones Arithmeticae, 384

Disquisitiones Arithmeticae, 238, 239

entier de –, 301, 383, 384

lemme de –, 282, 546


pivot de –, 348, 367

théorème de d’Alembert- –, 384

Gauss-Lucas (théorème de –), 849

Girard, 162, 503

Goldbach, 150

graphe

d’une application, 69

orienté pondéré, 481

Grassmann, 660, 661

formule de –, 695


Graves, 445

groupe, 398

des complexes de module 1, 180

des inversibles d’un anneau, 410

linéaire, 738

produit, 429

symétrique, 904

HHéron, 236

Halley, 358

Hamilton, 164, 445, 595

Hermite, 444

Hilbert, 386, 727

homothétie, 755

Huygens, 591

hyperplan, 635, 748

équation d’un –, 750

en dimension finie, 693

Iidempotente (application –), 762

image

d’un élément par une application, 68

d’un complexe, 169

d’un morphisme de groupes, 425, 426, 746

directe, 88

réciproque, 88

implication

contraposée, 6

réciproque, 6

inégalité

arithmético-géométrique, 152

triangulaire, 177

incompatible (système –), 330

inconnue

principale, 888

secondaire, 888

indicatrice d’une partie, 93

injectivité, 83, 426

intersection, 61, 98

de sous-espaces vectoriels, 617

involution, 767

967

irréductible

forme – d’un rationnel, 283

polynôme –, 549

isomorphisme, 731

de décomposition, 667, 668

de groupes, 423

théorème d’–, 745

JJordan, 445

KKlein, 386, 395

Kuratowski, 57

LLagrange, 238, 396, 904, 905

polynôme interpolateur de –, 780

Laguerre, 444

Laplace, 905

Legendre, 300, 396

formule de –, 300

Leibniz, 13, 358, 527, 591

égalité de –, 13

formule de –, 527

Liouville, 397

Liu Hui, 355

loi de composition

externe, 388

interne, 387

MMöbius, 592, 649

Maclaurin, 335, 347

majorant, 108

matrice, 447

élémentaire, 450

carrée, 447

d’une combinaison linéaire, 795

d’une famille finie de vecteurs, 787

de passage, 798

diagonale, 462, 465

identité, 459

inversible, 461

nilpotente, 467

nulle, 448

représentative, 789

triangulaire, 464

maximum, 109

mineur d’une matrice, 947

minimum, 109

minorant, 108

module, 172

Moivre (de)

formule de –, 163, 196

monotonie, 112

morphisme

de groupes, 421

morphisme de groupes, 421

multilinéaire (application –), 921

multiple, 240

Nnégation d’un énoncé, 47, 50

Newton (formule du binôme de –), 407, 466

nilpotent(e)

endomorphisme, 757

matrice, 467

Noether (Emmy), 385


Noether (Max), 386

noyau

d’un morphisme de groupes, 425, 426, 746

d’une matrice, 809

noyaux itérés, 783

nuée d’oiseaux, 435

Ooctonions, 445

opération élémentaire

sur les lignes d’une matrice, 860

sur un système linéaire, 349

sur une famille de vecteurs, 679

orbite, 911

PPacman, 848

partie

imaginaire, 168

réelle, 168

partie d’un ensemble, 54

Peano, 313, 650, 727

pgcd

de 2 entiers, 268

de 2 polynômes, 539

de n entiers, 288

de n polynômes, 547

pivot, 868

Poincaré, 482

Poncelet, 592

ppcm

de 2 entiers, 284

968 Index

de 2 polynômes, 546

précomposition, 736

premiers

polynômes – entre eux dans leur ensemble, 548

nombres –, 251

nombres – entre eux, 279

nombres – entre eux dans leur ensemble, 291

produit

cartésien, 58

de K-espaces vectoriels, 616

de matrices, 453

indexé par un ensemble fini, 148

projection, 759

propriété

du –, 133

propriété fondamentale des applications linéaires, 741

pseudo-homothétie, 782

pseudo-nilpotent (endomorphisme –), 781

Rrécurrence

construction par – simple, 142, 144

construction par – double, 145

construction par – forte, 146

ensembliste, 136

simple, 29, 136, 137

double, 137

forte, 139

réduite (matrice échelonnée – par lignes), 868

réunion, 60, 97

racine, 526

multiple, 532

racines

n-ièmes d’un complexe, 216

n-ièmes de l’unité, 213

carrées d’un complexe, 205

rang

d’un système linéaire, 885, 886

d’une application linéaire, 751

d’une famille, 674, 675, 678

d’une matrice, 808

théorème du –, 770

relation

antisymétrique, 103

binaire, 99

d’équivalence, 105

d’ordre, 105

d’ordre partiel, 106

d’ordre total, 106

fonctionnelle, 102

réflexive, 103

symétrique, 103

totale, 102

transitive, 103

relations coefficients-racines, 210, 537

repère, 834

restriction, 733

Riemann, 649

Russell (paradoxe de –), 52

SSchmidt, 727

Scipione del Ferro, 503

segment, 847

Segner (von), 150

semblables (matrices –), 814

signature, 911

similitude (relation de –), 814

similitude plane, 222

sinus, 180

somme

de matrices, 449

de sous-espaces vectoriels, 624

directe, 628–630

indexée par un ensemble fini, 148

sous-espace affine, 826

sous-espaces vectoriels, 611–614

engendrés, 619, 622

somme de –, 624

supplémentaires, 631

supplémentaires en dimension finie, 688, 691

sous-groupe, 416, 418, 419

de GL2(K), 489

de Z, 427

Steinitz, 385, 386, 661


Stirling, 358

structure affine (théorème de –), 374, 838

structure vectorielle (théorème de –), 372, 700

suite récurrente

définition d’une –, 142, 144–146

linéaire, 840

linéaire homogène, 479, 702

linéaire mutuelle, 476

supplémentaires (sous-espace vectoriels –), 631

surjectivité, 80, 426

Sylvester (notice biographique), 446

symétrie, 765

Ttangente, 184

Tartaglia, 503

Taylor, 530

formule de – pour les polynômes, 530

969

théorème

d’isomorphisme, 745

de Cauchy, 909

de Cauchy-Lipschitz linéaire, 839

de contraposition, 25, 46

de d’Alembert-Gauss, 501, 553

de division euclidienne dans N, 134

de division euclidienne dans Z, 248

de Gauss-Lucas, 849

de la base extraite, 656

de la base incomplète, 658, 660

de récurrence, 29, 136, 137, 139

de Steinitz, 660

de structure affine, 374, 838

de structure vectorielle, 372, 700

des deux carrés, 312

du rang, 770

fondamental de l’algèbre, 384, 501, 504, 553, 704

fondamental de l’arithmétique (TFA), 239, 261

tiers exclu, 28

trace, 486

transformation du plan, 218

translation, 324, 825

transposition, 451, 452, 906

matrice de –, 862

transvection (matrice de –), 862

triangulaire (inégalité), 177

trigonométrie, 180

Uunion, 60, 97

Vvaluation p-adique, 264

Vandermonde, 904

déterminant de –, 945, 954

Viète, 332

WWaerden (van der), 385

Weierstrass, 445

Weil, 385, 728

Wessel, 164

Weyl, 414

Wiles, 237

MPSI / PCSI 1re ANNÉECet ouvrage, tout en couleur, développe une approche originale et

approfondie du programme d’algèbre de première année desclasses préparatoires.

• Cet ouvrage est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de première année.Il permet de revisiter le cours de mathématiques de façon imagée.

• Le texte écrit dans un style clair et détaillé permet à tous les étudiants, quelque soit leur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension des notions abordées.

• En fin de chapitre, des exercices et des problèmes de synthèse corrigés de façontrès détaillée permettent de vérifier les acquis et de s'entraîner dans l'optique desconcours.

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• L'ouvrage propose des compléments destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement du programme officiel.

L'ouvrage intéressera également les étudiants de licence ainsi que les candidatsau CAPES et à l'agrégation. AL

GÈBRE


ISBN : 978-2-8041-8180-2

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9782804181802 www.deboeck.com

Nicolas Basbois, ancien élève de l'École normale supérieure de Cachan, est professeuragrégé de mathématiques en MPSI à l'Institut Stanislas de Cannes.

Pierre Abbrugiati est professeur agrégé de mathématiques en MPSI au lycée AlphonseDaudet de Nîmes.

Collection dirigée par Olivier Rodot

MPSI / PCSI


ALGÈBRE

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