Cycle prparatoire 2me anne

Algbre linaire et bilinaire Notes de cours

Romain Dujol

2013 2014

Table desmatires

0 Rvisions dalgbre linaire 40.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.2 Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.3 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.3.1 Application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.3.2 Sous-espaces particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Rduction des endomorphismes 121.1 lements propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 Valeur propre. Vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Sous-espace propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Polynme caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Rduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Rduction des endomorphismes, techniques avances 222.1 Polynme annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Polynme dendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Polynme annulateur. Polynmeminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Sous-espaces caractristiques. Forme de JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Sous-espace caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Forme de JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Romain Dujol 1

3 Rduction des endomorphismes, applications 323.1 Puissances entires dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Mthode par rduction dendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Mthode par division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Suites rcurrentes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Suites vectorielles rcurrentes dordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 Suites rcurrentes linaires dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Systmes diffrentiels linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Mthode par rduction directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Mthode par exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Formes bilinaires. Formes quadratiques 404.1 Forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.3 Matrice dune forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.3 Matrice dune forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.4 Rduction dune forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Espaces euclidiens 585.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.2 Familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.3 Procd dorthonormalisation de SCHMIDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Thorme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Endomorphismes remarquables dun espace euclidien 706.1 Endomorphismes orthogonaux. Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.1.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.1.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2 Endomorphismes autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.1 Adjoint dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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6.2.2 Endomorphisme autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.3 Endomorphisme anti-autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Espaces prhilbertiens complexes 787.1 Forme sesquilinaire. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1.1 Forme sesquilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.1.2 Forme sesquilinaire hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.1.3 Forme quadratique hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.1.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2 Endomorphismes remarquables dun espace hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.1 Endomorphismes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.2 Endomorphismes hermitiens et anti-hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.3 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.1 Matrice dune forme sesquilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.2 Matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.3 Matrices hermitiennes et anti-hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Chapitre 0

Rvisions dalgbre linaire

0.1 Espaces vectoriels

Dfinition 0.1 (Espace vectoriel). Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur K ouK-espace vectoriel est un ensemble E muni :

dune loi de composition interne + telle que (E ,+) est un groupe ablien ; dune loi de composition externe : KE E

(,x ) 7 xtelle que :

1. x E , 1K x = x2. K, K, x E , ( x ) = () x3. K, K, x E , (+) x = x + x4. K, x E , y E , (x + y ) = x + y

Les lments de E sont appels des vecteurs. Les lments deK sont appels des scalaires.

Remarque. Les proprits 1 et 2 indiquent que est une action gauche du groupeK sur E .

Proposition 0.1. SoitK un corps commutatif et E unK-espace vectoriel. Alors :

1. K, 0E = 0E2. x E , 0K x = 0E3. x E , (1K) x =x

Proposition 0.2 (Exemples fondamentaux). Soit n un entier naturel non nul.

1. LensembleKn =K K (n fois) des n-uplets valeurs dansK est unK-espace vectoriel.2. LensembleK[X ] des polynmes coefficients dansK est unK-espace vectoriel

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Dmonstration.

1. Kn est unK-espace vectoriel pour les oprations

+ : Kn Kn Kn(x1, . . . ,xn ), (y1, . . . ,yn )

7 (x1+ y1, . . . ,xn + yn ) et + : KKn Kn

, (x1, . . . ,xn ) 7 (x1, . . . ,xn )

2. K[X ] est unK-espace vectoriel pour les oprations

+ : K[X ]K[X ] K[X ] p

k=0

a kXk ,

qk=0

bkXk

!7

max(p ,q )k=0

(a k +bk )Xk

et + : KK[X ] K[X ] ,

pk=0

a kXk

!7

pk=0

(a k )Xk

Remarque. R et C sont des corps commutatifs et sont les corps les plus frquemment utiliss.

0.2 Sous-espace vectoriel

Dfinition 0.2 (Sous-espace vectoriel). Soit E unK-espace vectoriel.F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

(F est inclus dans E ) et (F est unK-espace vectoriel)

Proposition 0.3 (Caractrisation dun sous-espace vectoriel). Soit E unK-espace vectoriel.Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si

x F, y F, x + y F et K, x F, x Fou si et seulement si

K, x F, y F, x + y F

Proposition 0.4. Soit n un entier naturel. Alors lensemble Kn [X ] des polynmes coefficientsdansK de degr au plus n est un sous-espace vectoriel deK[X ].

0.2.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels

Dfinition 0.3 (Somme. Somme directe). Soit E un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E . On dfinit la somme de F etG , note F +G par

F +G = {x + y , x F,y G }La somme F +G est dite directe si et seulement si tout lment de F +G admet une et une

seule dcomposition comme somme dun lment de F et dun lment deG . La somme est alorsnot F G.

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Proposition 0.5. Soit E un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E . AlorsF +G est un sous-espace vectoriel de E .

Remarque. On peut tendre cette dfinition plus de deux sous-espaces vectoriels.

Proposition 0.6 (Caractrisation).Soit F et G deux sous-espaces vectoriels duK-espace vectoriel E .Alors F et G sont en somme directe si et seulement si F G = {0E }.

Dfinition 0.4. Soit E unK-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E .F et G sont dits supplmentaires dans E si et seulement si E = F G.

0.2.2 Famille de vecteurs

Dfinition 0.5 (Combinaison linaire). Soit E unK-espace vectoriel.Un vecteur x de E est une combinaison linaire des vecteurs x1, . . . , xn si et seulement si ilexiste des scalaires 1, . . . , n tels que x =1x1+2x2+ +nxn .

Dfinition 0.6 (Sous-espace vectoriel engendr). Soit E unK-espace vectoriel.Le sous-espace engendr par x1, . . . , xn est lensemble des combinaisons linaires des vecteursx1, . . . , xn , not Vect(x1, . . . ,xn ).

Dfinition 0.7 (Famille gnratrice). Soit E unK-espace vectoriel.Une famille (x1, . . . ,xn ) de vecteurs de E est dite gnratrice si et seulement si tout lment de Eest une combinaison linaire des vecteurs x1, . . . , xn , i.e. E Vect(x1, . . . ,xn ).

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Dfinition 0.8 (Famille lie. Famille libre). Soit E unK-espace vectoriel.Une famille (x1, . . . ,xn ) de vecteurs de E est dite lie si et seulement si il existe des scalaires1, . . . , n non tous nuls tels que

1x1+2x2+ +nxn = 0E

Une famille libre est une famille non lie.

Proposition 0.7 (Caractrisation). Soit E unK-espace vectoriel.Une famille (x1, . . . ,xn ) de vecteurs de E est lie si et seulement si

(1, . . . ,n )Kn , 1x1+2x2+ +nxn = 0E =1 = =n = 0

Dfinition 0.9 (Base). Une base est une famille libre et gnratrice.

0.2.3 Espace vectoriel de dimension finie

Dfinition 0.10 (Espace vectoriel de dimension finie). Un espace vectoriel est dit de dimen-sion finie si et seulement il admet une famille gnratrice finie.

Thorme (Dimension). Tout espace vectoriel E de dimension finie admet au moins une base.Toutes les bases de E ont le mme nombre de vecteurs : cet entier commun est appel dimensionde E , note dimE .

On convient que dim{0E }= 0.

Proposition 0.8.

1. Kn est unK-espace vectoriel de dimension n.

2. Kn [X ] est unK-espace vectoriel de dimension n +1.

3. K[X ] nest pas de dimension finie.

4. F (K,K) nest pas de dimension finie.

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Dmonstration.

1. Une baseB = (e i )1in deKn est dfinie par e i = (i j )1jn o i j =(1 si i = j

0 si i 6= j . Elle est appele

base canonique deKn .

2. Une base deKn [X ] est (X i )0in . Elle est appele base canonique deK[X ].

3. Supposons par labsurde queK[X ] est de dimension finien : soit alorsB une base den polynmes.On note d =max

PBdegP le plus haut degr des polynmes deB : alorsK[X ] = Vect(B )Kd [X ]. Or

X d+1 K[X ]\Kd [X ], ce qui est impossible.On conclut queK[X ] nest pas dimension finie.

4. F (K,K) contient lensemble des fonctions polynmiales surK. Comme cet ensemble nest pas dedimension finie,F (K,K) non plus.

Remarque. La notation i j est communment appele symbole de KRONECKER.

Proposition 0.9 (Dimension dun sous-espace vectoriel).Soit E unK-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E . Alors dimF dimE .

De plus F = E si et seulement si dimF = dimE .

Proposition 0.10 (Dimension dune somme).Soit E unK-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Alors

dim(F +G ) = dimF +dimG dim(F G )

En particulier dim(F G ) = dimF +dimG.

Dfinition 0.11 (Rang). On appelle rang dune famille finie de vecteurs la dimension du sous-espace engendr par cette famille de vecteurs.

Proposition 0.11. Une famille (finie) de vecteurs est libre si et seulement si son rang est gal aunombre de vecteurs qui composent cette famille.

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0.3 Applications linaires

0.3.1 Application linaire

Dfinition 0.12. Soient E et F deuxK-espaces vectoriels. Une application f de E dans F est ditelinaire si et seulement si :

elle est un morphisme du groupe (E ,+) dans (F,+) ; K, x E , f ( x ) = f (x )

Lensemble des applications linaires de E dans F est notL (E ,F ).Un endomorphisme de E est une application linaire de E dans E .Un isomorphisme de E dans F est une application linaire bijective de E dans F .Un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif de E .Une forme linaire sur E est une application linaire de E dansK.

0.3.2 Sous-espaces particuliers

Dfinition 0.13 (Noyau. Image). Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f une application li-naire de E dans F .

On appelle noyau de f , not Ker f , le sous-espace vectoriel de E dfini par

Ker f = f 1(0F ) = {x E , f (x ) = 0F }

On appelle image de f , not Im f , le sous-espace vectoriel de F dfini par

Im f = f (E ) = { f (x ), x E }

Si F est de dimension finie, alors Im f aussi et on dfinit le rang de f comme tant gal ladimension de Im f .

Proposition 0.12 (Caractrisation rapide de linjectivit). Soit E et F deuxK-espaces vectorielset f une application linaire de E dans F . Alors :

f est injective si et seulement si Ker f = {0E }.Thorme (Formule du rang). Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f une application li-naire de E dans F . Alors

dimE = dim(Im f )+dim(Ker f )

Corollaire (Corollaire fondamental). Soit E et F deuxK-espaces vectoriels de mme dimension(finie) et f une application linaire de E dans F . Alors

f injective f surjective f bijectiveRemarque. Ce corollaire est donc valable en particulier si E = F .

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Rvisions dalgbre linaire : Exercices

Exercice 0.1.

1. La famille de vecteurs {(1,2,3), (1,2,3), (1,4,3)} est-elle libre dans R3 ?2. La famille de vecteurs {(2, i ,4,i ), (i ,1,i ,1), (0,3,i ,1)} est-elle libre dans C4 ?

Exercice 0.2. Soit n un entier naturel non nul et (a i )1in un n-uplet de nombres rels distinctsdeux deux rangs dans lordre croissant :

(i , j ) J1,nK2 , (i < j ) a i < a j

1. Montrer que la famille {x 7 e a i x }in est libre dansF (R,R) :(a) lorsque tous les coefficients a i sont des entiers naturels ;

(b) lorsque tous les coefficients a i sont des nombres rels quelconques.

2. En dduire queF (R,R) est de dimension infinie.

Exercice 0.3. Soit f une application linaire de R4 dans R3 dont la matrice dans les deux bases

canoniques respectives est

11 7 0 30 1 11 21 0 7 1

.1. Dterminer le rang de f .

2. Dterminer une base de Ker f .

3. Dterminer une base de Im f .

Exercice 0.4. On considre lapplication U : R3[X ] R3[X ]P 7 P +P

.

1. Vrifier que lapplicationU est bien dfinie et quil sagit dun automorphisme de R3[X ].

2. crire la matrice deU dans la base canonique de R3[X ].

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Exercice 0.5. Soit m un nombre rel. Dterminer le rang des matrices suivantes :

1.

1 1 1m1+m 1 22 m 3

2.

1 1 1 m1 1 m 11 m 1 1m 1 1 1

Exercice 0.6. Calculer les dterminants suivants :

1.

1 cos(t ) cos(2t )

cos(t ) cos(2t ) cos(3t )cos(2t ) cos(3t ) cos(4t )

2.

a a a aa b b ba b c ca b c d

o a , b , c et d sont des rels quelconques

Exercice 0.7. Soit E un espace vectoriel de dimension trois etB = (e1,e2,e3) une base de E .Soit un nombre rel et f lendomorphisme de E tel que sa matrice dans la baseB soit

A =

0 1 sin1 0 cossin cos 0

1. Montrer que f 3 = f f f = 0.2. On note e 1 = (cos ) e1+(sin ) e2, e 2 = f (e1) et e 3 = f (e2).

(a) Montrer queB = (e 1,e 2,e 3) est une base de E et dterminer la matrice de passage deB dansB .

(b) En dduire la matrice de f dansB .

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Chapitre 1

Rduction des endomorphismes

Dans ce chapitre,K dsigne un corps commutatif (dans la pratique, on prendraK=R ou C).

1.1 lements propres

1.1.1 Valeur propre. Vecteur propre

Dfinition 1.1 (Valeur propre, vecteur propre dun endomorphisme). Soit E un K-espacevectoriel et f un endomorphisme de E .

Un scalaire K est une valeur propre de f si et seulement il existe un vecteur non nul xde E tel que

f (x ) = xAuquel cas, x est un vecteur propre de f associ la valeur propre .

Lensemble des valeurs propres de f est appel spectre de f et not Sp f .

ATTENTION. Le vecteur nul nest JAMAIS un vecteur propre.

Remarque. Lquation f (x ) = x est parfois appel quation aux valeurs propres.

Dfinition 1.2 (Valeur propre, vecteur propre dunematrice carre). Soit n un entier natu-rel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

Un scalaire K est une valeur propre de A si et seulement il existe une matrice-colonnenon nulle X telle que

AX =X

Auquel cas, X est un vecteur propre de A associ la valeur propre .

Lensemble des valeurs propres de A est appel spectre de A et not SpA.

Romain Dujol 12

Thorme 1.1 (quivalence des formulations).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

SoitB une base de E et A la matrice de f dansB . Alors :1. est une valeur propre de f si et seulement si est valeur propre de A ;

2. x est un vecteur propre de f associ la valeur propre si et seulement si X =matB xest un vecteur propre de A associ la valeur propre .

DONC TOUS LES RSULTATS NONCS DANS CE CHAPITRE PEUVENT TRE TRANSPOSS DANS UNEFORMULATION MATRICIELLE AVEC LES SUBSTITUTIONS SUIVANTES :

f A , x X , idE In (matrice identit)Proposition 1.1 (Caractrisation de la valeur propre). Soit E unK-espace vectoriel et f un en-domorphisme de E . Alors :

Sp f Ker( f idE ) 6= {0E } ( f idE ) nest pas injectifDmonstration. On part de la dfinition de la valeur propre :

Sp f x E\{0E }, f (x ) = x x E\{0E }, f (x ) x = 0E x E\{0E }, ( f idE )(x ) = 0E Ker( f idE ) 6= {0E } ( f idE ) nest pas injectif

Corollaire (Valeur propre dun automorphisme). Soit E un K-espace vectoriel et f un endo-morphisme de E . Alors f est bijective si et seulement si 0 nest pas valeur propre de f .

Dmonstration. Cest lapplication de la proposition prcdente avec = 0 et le fait que f est injective si

et seulement si elle est bijective.

1.1.2 Sous-espace propre

Dfinition 1.3 (Sous-espace propre). Soit E unK-espace vectoriel.Soit f un endomorphisme de E et une valeur propre de f . On appelle sous-espace propre

de f associ la valeur propre , not E( f ) ou SEP( f ,) par

E( f ) =Ker( f idE ) = {x E , f (x ) = x }

Lorsquil ny a pas dambigit, on notera E au lieu de E( f ).

Romain Dujol 13

Proposition 1.2. Soit E unK-espace vectoriel.Soit f un endomorphisme de E et une valeur propre de f .

1. E( f ) est un sous-espace vectoriel de E .

2. E( f ) est compos de lensemble de tous les vecteurs propres de f associs et de 0E .

Proposition 1.3. Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E .Soit1 et2 deux valeurs propres distinctes de f . Alors E1 ( f ) et E2 ( f ) sont en somme directe.

Dmonstration. Soit x E1 ( f )E2 ( f ), alors : x E1 ( f ), donc f (x ) =1x x E2 ( f ), donc f (x ) =2x

Donc 1x =2x et (12)x = 0. Comme 1 et 2 sont distincts, il vient que 12 6= 0, puis que x = 0.On en dduit que E1 ( f )E2 ( f ) = {0E } et que E1 ( f ) et E2 ( f ) sont en somme directe.

1.2 Polynme caractristique

1.2.1 Dfinition

Proposition 1.4 (Introduction du polynme caractristique). Soit E un K-espace vectoriel dedimension finie et f un endomorphisme de E . Alors

Sp f det( f idE ) = 0

Dmonstration.

Sp f ( f idE ) nest pas injectif ( f idE ) nest pas bijectif det( f idE ) = 0

Dfinition 1.4 (Polynme caractristique dun endomorphisme). Soit E un K-espace vecto-riel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

Lexpression det( f X idE ) [o X est ici lindtermine des polynmes] est un polynme coefficients dansK appel polynme caractristique de f , not f .

Dfinition 1.5 (Polynme caractristique dunematrice carre). Soit n un entier naturelnon nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

Lexpression det(A X In ) [o X est ici lindtermine des polynmes] est un polynme coefficients dansK appel polynme caractristique de A , not A .

Romain Dujol 14

1.2.2 Proprits

Corollaire (Caractrisation rapide dune valeur propre). Soit E unK-espace vectoriel de dimen-sion finie et f un endomorphisme de E .

Alors Sp f est lensemble des racines de f .

Proposition 1.5 (Coefficients du polynme caractristique). Soit E unK-espace vectoriel de di-mension n et f un endomorphisme de E . Alors f est un polynme de degr n et :

1. le coefficient dominant, i.e. de degr n, de f est (1)n ;2. le coefficient de degr n 1 de f est (1)n1 tr f ;3. le coefficient constant, i.e. de degr 0, de f est det f .

(On rappelle que tr f est la trace de lendomorphisme f .)

Corollaire. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E . Alors fadmet au plus n valeurs propres.

Dmonstration. Daprs le thorme de DALEMBERT-GAUSS, f admet au plus n racines distinctes (cer-

taines pouvant tre rptes). Comme les racines de f sont exactement les valeurs propres de f , on

conclut immdiatement.

Exemple. Dterminer les lments propres de A =

8 12 109 22 229 18 17

.

Dfinition 1.6 (Ordre demultiplicit gomtrique. Ordre demultiplicit algbrique). SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E . Soit une valeurpropre de f .

Lordre de multiplicit gomtrique de est la dimension de son sous-espace propre, i.e.dimE( f ).

Lordre demultiplicit algbrique de est lordre demultiplicit de en tant que racine dupolynme caractristique f .

Une valeur propre est dite simple si et seulement si son ordre de multiplicit algbriqueest gal un. Une valeur propre est dite double si et seulement si son ordre de multiplicitalgbrique est gal deux, et ainsi de suite.

Exemple. Reprendre lexemple prcdent et dterminer les ordres demultiplicits gomtriqueset algbriques des valeurs propres de A.

Romain Dujol 15

Proposition 1.6 (Comparaison des ordres demultiplicit). Soit E un K-espace vectoriel de di-mension finie et f un endomorphisme de E . Soit une valeur propre de f dont on note lordrede multiplicit gomtrique et lordre de multiplicit algbrique. Alors

1

Corollaire. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E . Soit une valeur propre simple de f : alors dimE( f ) = 1.

Dmonstration. Onnote respectivement et les ordres demultiplicit gomtrique et algbrique de .

Comme est une valeur propre simple, = 1 et 1 1 : on en dduit que dimE( f ) = = 1.

1.3 Rduction des endomorphismes

1.3.1 Diagonalisation

Dfinition 1.7 (Endomorphisme diagonalisable).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.Un endomorphisme f de E est dit diagonalisable surK si et seulement si il existe une base

B de E telle que la matrice de f dansB soit diagonale.Auquel cas,B est appele la base de diagonalisation de f .

Dfinition 1.8 (Matrice carre diagonalisable). Soit n un entier naturel non nul.Une matrice A carre dordre n coefficients dans K est dite diagonalisable sur K si et

seulement si elle est semblable une matrice diagonale, i.e.

P GLn (K), D Dn (K), A = PDP1

Auquel cas, la donne du couple (P,D) constitue la diagonalisation de A .

Remarque.

1. On trouve parfois rduction la forme diagonale au lieu de diagonalisation.

2. Une diagonalisation nest pas unique : pour unematrice diagonalisable A donne, il existeplusieurs (une infinit) couples (P,D) possibles.

3. Diagonaliser A , cest trouver une diagonalisation de A.

Romain Dujol 16

Proposition 1.7. Toute matrice diagonale coefficients dansK est diagonalisable surK.

Dmonstration. Une matrice diagonale est semblable elle-mme, donc elle est diagonalisable. Donc

(I ,D) est une diagonalisation de la matrice diagonaleD.

Proposition 1.8 (quivalence des formulations).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

SoitB une base de E et A lamatrice de f dansB . Alors f est diagonalisable surK si et seulementsi A est diagonalisable surK.

Proposition 1.9 (Caractrisation de la diagonalisabilit). Soit E un K-espace vectoriel de di-mension n et f un endomorphisme de E . Alors les propositions suivantes sont quivalentes.

1. f est diagonalisable surK

2. Il existe une baseB de E constitue exclusivement de vecteurs propres de f .3. La somme (directe) de tous les sous-espaces propres de f est gale E .

4. La somme des dimensions de tous les sous-espaces propres de E est gale n.

Proposition 1.10 (Caractrisation rapide de la diagonalisabilit). Soit E unK-espace vectorielde dimension n et f un endomorphisme de E .Alors f est diagonalisable surK si et seulement si les deux propositions suivantes sont vrifies :

1. le polynme caractristique f de f est scind surK ;

2. pour chaque valeur propre de f , les ordres de multiplicit gomtrique et algbrique sontgaux, i.e. la dimension du sous-espace propre est gale son ordre de multiplicit dans f .

Corollaire (Condition suffisante de diagonalisabilit). Soit E un K-espace vectoriel de dimen-sion n et f un endomorphisme de E .

Si f admet n valeurs propres distinctes deux deux, alors f est diagonalisable surK.

Dmonstration. Donc f admet n valeurs propres simples : le polynme caractristique admet donc n racines simples : il est donc scind surK ; la dimension de chaque sous-espace propre est gale un : comme il y a n sous-espaces propres,la somme des dimensions de ces sous-espaces propres est gale n .

On en conclut que f est diagonalisable surK.

Exemple. Diagonaliser A =

2 0 11 1 12 0 1

.Proposition 1.11. Toutematrice coefficients rels diagonalisable surR est diagonalisable sur C.

Romain Dujol 17

1.3.2 Trigonalisation

Dfinition 1.9 (Endomorphisme trigonalisable).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.Un endomorphisme f de E est dit trigonalisable surK si et seulement si il existe une base

B de E telle que la matrice de f dansB soit triangulaire.Auquel cas,B est appele la base de trigonalisation de f .

Proposition 1.12. Tout endomorphisme diagonalisable surK est trigonalisable surK.

Dfinition 1.10 (Matrice carre trigonalisable). Soit n un entier naturel non nul.Unematrice A carre dordre n coefficients dansK est dite trigonalisable surK si et seule-

ment si elle est semblable une matrice triangulaire, i.e.

P GLn (K), D Tn (K), A = PTP1

Auquel cas, la donne du couple (P,T ) constitue la trigonalisation de A .

Proposition 1.13. Toute matrice carre diagonalisable surK est trigonalisable surK.

Remarque.

1. On trouve parfois rduction la forme triangulaire au lieu de trigonalisation.

2. Une trigonalisation nest pas unique : pour une matrice trigonalisable A donne, il existeplusieurs (une infinit) couples (P,T ) possibles.

3. Trigonaliser A , cest trouver une trigonalisation de A.

Proposition 1.14. Toute matrice triangulaire coefficients dansK est trigonalisable surK.

Dmonstration. Une matrice triangulaire est semblable elle-mme, donc elle est trigonalisable. Donc

(I ,T ) est une trigonalisation de la matrice triangulaire T .

Proposition 1.15 (quivalence des formulations).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

SoitB une base de E et A la matrice de f dansB . Alors f est trigonalisable surK si et seulementsi A est trigonalisable surK.

Romain Dujol 18

Proposition 1.16 (Caractrisation rapide de la diagonalisabilit). Soit E unK-espace vectorielde dimension n et f un endomorphisme de E .

Alors f est diagonalisable sur K si et seulement si le polynme caractristique f de f estscind surK.

Corollaire (Cas desC-espaces vectoriels).

1. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. Alors tout endomorphisme de E est trigo-nalisable sur C.

2. Toute matrice carre coefficients complexes est trigonalisable sur C.

Dmonstration. Daprs le thorme de DALEMBERT-GAUSS, tout polynme coefficients complexes est

scind sur C. Donc le polynme caractristique de tout endomorphisme est scind sur C, ce qui permet

de conclure.

Proposition 1.17. Toute matrice coefficients rels trigonalisable sur R est trigonalisable sur C.

Exemple.

1. Trigonaliser A =

4 0 20 1 05 1 3

.

2. Trigonaliser A =

2 1 215 6 1114 6 11

.ATTENTION.

1. Il existe des endomorphismes/matrices carres non diagonalisables/trigonalisables.

2. Changer le corps K peut modifier le caractre diagonalisable/trigonalisable dun endo-morphisme/dune matrice carre.

Exemple.

A =

1 11 1

1 10 1

0 11 0

A est-elle diagonalisable sur R ? OUI NON NONA est-elle diagonalisable sur C ? OUI NON OUIA est-elle trigonalisable sur R ? OUI OUI NONA est-elle trigonalisable sur C ? OUI OUI OUI

Romain Dujol 19

Rduction des endomorphismes : Exercices

lements propres

Exercice 1.1. Soit n un entier naturel non nul et A et B deux matrices carres dordre n coeffi-cients dansK.

1. Montrer que les polynmes caractristiques de A et tA sont gaux.Ces deux matrices ont-elles les mmes sous-espaces propres et les mmes valeurs propres ?

2. Montrer que AB et BA ont les mmes valeurs propres.

Exercice 1.2. Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficientsdansK telle que la somme des coefficients de chaque ligne vaut K.

Montrer que est valeur propre de A.

Exercice 1.3. Soit n un entier naturel non nul et f : M n (K) M n (K)M 7 tA

.

1. Vrifier que f est un endomorphisme deM n (K).2. Dterminer les valeurs propres de f .

Exercice 1.4. On considre lapplication f : R[X ] R[X ]P 7 (X +1)(X 3)P XP

.

1. Vrifier que f est un endomorphisme de R[X ].

2. Dterminer les lments propres de f .

Romain Dujol 20

Diagonalisation

Exercice 1.5. Diagonaliser les matrices suviantes :

1. A1 =

0 1 01 0 10 1 0

2. A2 =

11 5 55 3 35 3 3

3. A3 =

1 a a2

0 0 a0 0 1

, a R

4. A4 =

0 1 1(a +1) a a +1a a a +1

, a R

5. A5 =

1 2 2 43 4 2 10 0 2 30 0 4 5

6. A6 =

1 3 0 04 2 0 01 1 5 32 0 4 2

Trigonalisation

Exercice 1.6. Diagonaliser les matrices suviantes :

1. A1 =

5 17 252 9 161 5 9

2. A2 =

2 0 11 1 01 1 3

Romain Dujol 21

Chapitre 2

Rduction des endomorphismes,techniques avances

Dans ce chapitre,K dsigne un corps commutatif (dans la pratique, on prendraK=R ou C).

2.1 Polynme annulateur

2.1.1 Polynme dendomorphisme

2.1.1.1 Dfinition et proprits

Dfinition 2.1 (Polynme dendomorphisme).

Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E . Pour tout polynme P =pi=0

a iXi

coefficients dansK, on dfinit lendomorphisme P( f ) de E par

P( f ) =pi=0

a i fi

Dfinition 2.2 (Polynme dematrice carre).Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n. Pour tout polynme

P =pi=0

a iXi coefficients dansK, on dfinit la matrice carre dordre n P(A) par

P(A) =pi=0

a iAi

Romain Dujol 22

Proposition 2.1 (quivalence des formulations).Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

SoitB une base de E et A la matrice de f dansB .Alors la matrice de lendomorphisme P( f ) dans la baseB est P(A).

Proposition 2.2 (Rgles opratoires). Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphismede E .Alors : K[X ] L (E )

P 7 P( f )est un morphisme dalgbres unitaire, cest--dire :

1. K, K, P K[X ], Q K[X ], (P +Q)( f ) =P( f )+Q( f )2. P K[X ], Q K[X ], (PQ)( f ) = P( f ) Q( f )3. 1( f ) = idE

Proposition 2.3 (Opration sur les vecteurs propres).Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E .Soit une valeur propre de f et x un lment de E( f ). Alors

P K[X ], P( f )(x ) = P() x

Dmonstration. Montrons dabord par rcurrence sur i que le rsultat demand est vrifi pour P = X i

pour tout entier naturel i . Si i = 0, alors (X 0)( f )(x ) = idE (x ) = x = 1 x =0x . Donc la proprit est vrifie au rang 0. Soit i un entier naturel tel que f i (x ) =i x . Alors

f i+1(x ) = f i ( f (x )) = f i (x ) = f i (x ) =(ix ) =i+1x

Donc la proprit est vraie au rang i +1.

Soit alors P =pi=0

a iX i un polynme quelconque coefficients dansK. Alors

P( f )(x ) =

pi=0

a i f i

!(x ) =

pi=0

a i f i (x ) =pi=0

a i (i x ) =

pi=0

a ii

!x = P() x

2.1.1.2 Noyau de polynmes dendomorphismes

Proposition 2.4 (Stabilit). Soit E unK-espace vectoriel de f un endomorphisme de E .Pour tout polynme P coefficients dansK, KerP( f ) est stable par f .

Dmonstration. Soit x KerP( f ). Alors P( f )[ f (x )] = P( f )[X ( f )(x )] = [P( f ) X ( f )](x ) = [P X ]( f )(x )= [XP( f )](x ) = [X ( f ) P( f )](x ) = X ( f )[P( f )(x )]= f (0E ) = 0E

Donc f (x )KerP( f ) et KerP( f ) est stable par f .

Romain Dujol 23

Thorme 2.1 (Thorme des noyaux). Soit E un K-espace vectoriel de f un endomor-phisme de E .

Soit P1, . . . , Pm des polynmes coefficients dansK deux deux premiers entre eux. Alors :

mi=1

Ker[Pi ( f )] =Ker

m

i=1

Pi

!( f )

Dmonstration. On effectuera la dmonstration pourm = 2. Soit alors P etQ deux polynmes premiersentre eux. Montrons que KerP( f )KerQ( f ) =Ker[(PQ)( f )] en deux tapes :

1. on vrifie que KerP( f ) et KerQ( f ) sont en somme directe ;

2. on montre que la somme de ces deux sous-espaces vectoriels est gale Ker[(PQ)( f )].

Daprs le thormedeBEZOUT, il existe deux polynmesA et B coefficients dansK tels queAP + BQ = 1.

1. Soit x KerP( f )KerQ( f ). Alors :

x = idE (x ) = 1( f )(x ) = (AP + BQ)( f )(x ) = [A( f ) P( f )](x )+ [B ( f ) Q( f )](x )= A( f )[P( f )(x )]+ B ( f )[Q( f )(x )] = A( f )(0E )+ B ( f )(0E ) = 0E

On en dduit que KerP( f )KerQ( f ) = 0E et que KerP( f ) et KerQ( f ) sont en somme directe.2. Montrons que KerP( f )+KerQ( f ) =Ker[(PQ)( f )] laide dune double inclusion.

Soit x KerP( f )+KerQ( f ) : alors il existe x1 KerP( f ) et x2 KerQ( f ) tel que x = x1+x2 et :

(PQ)( f )(x ) = (PQ)( f )(x1+x2) = (PQ)( f )(x1)+ (PQ)( f )(x2) = (QP)( f )(x1)+ (PQ)( f )(x2)

= [Q( f ) P( f )](x1)+ [P( f ) Q( f )](x2) =Q( f )[P( f )(x1)]+P( f )[Q( f )(x2)]=Q( f )(0E )+P( f )(0E ) = 0E

Donc x Ker[(PQ)( f )]. Soit x Ker[(PQ)( f )]. On note x1 = (BQ)( f )(x ) et x2 = (AP)( f )(x ). Alors : x1+x2 = (BQ)( f )(x )+ (AP)( f )(x ) = (BQ +AP)( f )(x ) = 1( f )(x ) = idE (x ) = x P( f )(x1) = P( f )[(BQ)( f )(x )] = [P( f ) (BQ)( f )](x ) = (PBQ)( f )(x )

= (BPQ)( f )(x ) = [B ( f ) (PQ)( f )](x ) = B ( f )[(PQ)( f )(x )] = B ( f )(0E ) = 0E Q( f )(x2) =Q( f )[(AP)( f )(x )] = [Q( f ) (AP)( f )](x ) = (QAP)( f )(x )

= (APQ)( f )(x ) = [A( f ) (PQ)( f )](x ) = A( f )[(PQ)( f )(x )] = A( f )(0E ) = 0EDonc x1 KerP( f ), x2 KerQ( f ) et x = x1+x2 KerP( f )+KerQ( f ).

Remarque. La relationKerP( f )+KerQ( f )Ker[(PQ)( f )] est valable pour tous polynmesP etQ(quils soient premiers entre eux ou non).

Romain Dujol 24

2.1.2 Polynme annulateur. Polynmeminimal

2.1.2.1 Cas gnral

Dfinition 2.3 (Polynme annulateur).Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E .Un polynme P coefficients dans K est dit polynme annulateur de f si et seulement si

P( f ) est lendomorphisme nul.

Proposition 2.5. Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E .Soit une valeur propre de f et P est un polynme annulateur de f . Alors est une racine de P.

Dmonstration. Soit x un vecteur propre de f associ . Alors P() x = P( f )(x ) = 0(x ) = 0.Comme x est un vecteur propre, cest un vecteur non nul : donc P() = 0.

Thorme 2.2 (Thorme de CAYLEY-HAMILTON). Soit E un K-espace vectoriel de dimen-sion finie et f un endomorphisme de E .

Alors le polynme caractristique de f est un polynme annulateur de f : f ( f ) = 0.

Thorme 2.3 (Polynmeminimal).Soit E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme de E .Si f admet un polynme annulateur non nul, alors il existe un unique polynme coef-

ficients dansK dont le coefficient de plus haut degr est gal un, not pi f , tel que

P( f ) = 0 P divise pi f

Le polynme pi f est appel polynmeminimal de f .

Dmonstration. ADMIS

Remarque. Donc, une constante multiplicative prs, pi f est le polynme annulateur de plusfaible degr.

Romain Dujol 25

Proposition 2.6 (Caractrisation rapide dune valeur propre). Soit E un K-espace vectoriel dedimension finie et f un endomorphisme de E .

Alors Sp f est lensemble des racines de pi f .

Corollaire (Forme gnrale du polynmeminimal). Soit E unK-espace vectoriel de dimensionfinie et f un endomorphisme de E .

Si le polynme caractristique de f scrit f = (1)npi=1

(Xi )i , alors le polynmeminimal

de f est de la forme pi f =pi=1

(X i )i avec i J1,i K pour i J1,pK.

Exemple. Dterminer le polynmeminimal des matrices suivantes :

1. A =

0 1 21 0 21 2 0

2. B =

1 1 11 1 11 1 1

Thorme 2.4.Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

1. f est trigonalisable surK si et seulement si pi f est scind surK.

2. f est diagonalisable surK si et seulement si pi f est scind surK et que toutes ses racinessont simples (i.e. de multiplicit un).

Corollaire. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .Alors f est diagonalisable surK si et seulement si il existe un polynme annulateur scind sur

K dont toutes les racines sont simples.

Remarque. On dit parfois dun polynme quil est scind simple sur K lorsquil est scind etque toutes ses racines sont simples.

Romain Dujol 26

2.1.2.2 Rduction des projecteurs linaires

Thorme (Rappels des proprits dun projecteur linaire). Soit E un espace vectoriel et F etG deux sous-espaces supplmentaires de E . On note p le projecteur sur F paralllement G .Alors :

1. p p = p ;2. F = {x E , p (x ) = x }=Ker(p idE ) ;3. G = {x E , p (x ) = 0}=Kerp.

Corollaire (Rduction dun projecteur linaire). Soit E un espace vectoriel de dimension finie.On note n = dimE et r = dimF = rgp.

1. Spp = {0,1} donc p nest pas bijective (sauf si r = n, cest--dire si F = E) ;2. E1(p ) = F et E0(p ) =G ;

3. pip = X (X 1), donc p est diagonalisable ;4. p = Xnr (X 1)r .5. SiBF etBG sont des bases de F et G respectivement, alorsB =BF BG est une base de E

etmatB p =

Ir 00 0

.

2.1.2.3 Rduction des symtries linaires

Thorme (Rappels des proprits dune symtrie linaire). Soit E un espace vectoriel et F etG deux sous-espaces supplmentaires de E . Soit la symtrie par rapport F paralllement G .Alors :

1. = idE ;2. F = {x E , (x ) = x }=Ker( idE ) ;3. G = {x E , (x ) =x }=Ker(+ idE ).

Remarque. Si p est le projecteur sur F paralllement G , alors= 2p idE .

Corollaire (Rduction dune symtrie linaire). Soit E un espace vectoriel de dimension finie.On note r = dimF .

1. Sp= {1,1} donc est bijective ;2. E1() = F et E1() =G ;

3. pi = (X +1)(X 1), donc est diagonalisable ;4. = (X +1)nr (X 1)r .5. SiBF etBG sont des bases de F et G respectivement, alorsB =BF BG est une base de E

etmatB p =

Ir 00 Inr

.

Romain Dujol 27

2.2 Sous-espaces caractristiques. Forme de JORDAN

2.2.1 Sous-espace caractristique

Dfinition 2.4 (Sous-espace caractristique). Soit E unK-espace vectoriel de dimension finieet f un endomorphisme de E .

Soit f un endomorphisme de E et une valeur propre de f dordre de multiplicitalgbrique . On appelle sous-espace caractristique de f associ la valeur propre , notN( f ) ou SEC( f ,) par

N( f ) =Ker( f idE )

Lorsquil ny a pas dambigit, on notera N au lieu de N( f ).

Thorme 2.5 (Dcomposition selon les sous-espaces caractristiques). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E .

Si f est scind surK, alors E est la sommedirecte de tous les sous-espaces caractristiquesde f .

Dmonstration. Alors on peut crire f = (1)nmi=1

(X i )i .

Comme les polynmes (Xi )i sont deux deux premiers entre eux, on peut appliquer le thormedes noyaux pour en dduire que Ker f ( f ) =

pi=1

Ker( f i )i . Or : daprs le thorme de CAYLEY-HAMILTON, Ker f ( f ) =Ker0L (E ) = E ; par dfinition, Ker( f i )i =Ni ( f ).

On en conclut donc que E =pi=1

Ni ( f ).

Romain Dujol 28

Corollaire (Diagonlisation par blocs). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f unendomorphisme de E .

On suppose que f est scind surK et quil scrit f = (1)nmi=1

(X i )i .

Pour tout entier i de J1,mK, il existe une base Bi de Ni ( f ) et une matrice A i triangulairesuprieure telle que la matrice de f dans la baseB = (B1, . . . ,Bm ) scrive :

matB f =

A1 0 00 A2

......

......

... 00 0 Am

Dmonstration. Soit i J1,mK. AlorsNi ( f ) est stable par f : donc on peut dfinir lapplication

f i : Ni ( f ) Ni ( f )x 7 f (x )

qui est un endomorphisme deNi ( f ). Son polynme caractristique f i = (1)i (X i )i est scind surK, donc f i est trigonalisable surK : on note alorsBi une base de trigonalisation de f i .

SoitB = (B1, . . . ,Bm ) : alorsB est une base de E et on obtient la dcomposition demande avecA i =matBi f i .

2.2.2 Forme de JORDAN

Il sagit alors de raliser une rduction de chaque bloc qui a un polynme caractristique dela forme (1)(X ).

Dfinition 2.5 (Bloc de JORDAN). Soit p un entier naturel non nul et K. On dfinit un bloc

de JORDAN de taille p , not Jp (), par Jp () =

1 0 00 1

......

......

...... 0

......

... 10 0

o est un lment deK.

Proposition 2.7. Soit p un entier naturel non nul et K.Alors est lunique valeur propre de Jp () et :

1. son ordre de multiplicit gomtrique est gal un, i.e. dimE(J ) = 1 ;

2. son ordre de multiplicit algbrique est gal p, i.e. J = (1)p (X )p .

Romain Dujol 29

Proposition 2.8. Soit E un K-espace vectoriel de dimension et f un endomorphisme de E quinadmet quune seule propre . On note = dimE( f ) et on crit :

le polynme caractristique f = (1)n (X ) ; le polynme minimal pi f = (X ) .

Alors il existe une baseB de E telle que la matrice de f dansB soit une diagonale de blocs deJORDAN de taille infrieure ou gale .

Thorme 2.6 (Dcomposition sous forme de JORDAN). Soit E unK-espace vectoriel de di-mension finie et f un endomorphisme de E .

On suppose que f est scind sur K et quil scrit f = (1)nmi=1

(X i )i . On suppose

galement que pi f scrit : pi f = (1)nmi=1

(X i )i .

Pour tout entier i de J1,mK, on note = dimEi ( f ) lordre demultiplicit gomtrique dela valeur propre i . Alors il existe une matrice A i , diagonale de i blocs de JORDAN de tailleinfrieure ou gale i , et une baseB de E telle que la matrice de f dans la baseB scrive :

matB f =

A1 0 00 A2

......

......

... 00 0 Am

Exemple. Trigonaliser A =

1 1 2 20 0 1 11 1 1 01 1 1 0

sous forme de JORDAN.

Romain Dujol 30

Rduction des endomorphismes, techniques avances : Exercices

Exercice 2.1. Soit E un espace vectoriel de dimension trois etB = (e1,e2,e3) une base de E .Soit un nombre rel et f lendomorphisme de E tel que sa matrice dans la baseB soit

A =

0 1 sin1 0 cossin cos 0

1. Lendomorphisme f est-il diagonalisable ?

2. Montrer queB = f 2(e3), f (e3),e3 est une base de E et dterminer lamatrice de f dansB .3. En dduire une trigonalisation de A.

Exercice 2.2. Soit a , b et c trois nombres rels quelconques et A =

1 a 10 1 b0 0 c

.1. Donner une condition ncessaire et suffisante sur a , b et c pour que A soit diagonalisable

sur R.

2. Diagonaliser ou trigonaliser A lorsque :

(a) a = 0, b = 1 et c = 2 ;

(b) a =b = c = 1.

Exercice 2.3. Diagonaliser ou trigonaliser les matrices suivantes :

1. A1 =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

2. A2 =

0 1 00 0 11 3 3

3. A3 =

0 3 22 5 22 3 0

Romain Dujol 31

Chapitre 3

Rduction des endomorphismes,applications

3.1 Puissances entires dunematrice

3.1.1 Mthode par rduction dendomorphisme

Proposition 3.1 (Puissances dunematrice carre trigonalisable). Soit A une matrice carre coefficients dansK et trigonalisable surK et (P,T ) sa trigonalisation. Alors :

k N, Ak = PT kP1

De plus, si A est inversible, alorsk Z, Ak = PT kP1

Dmonstration. Montrons par rcurrence que Ak = PT kP1 pour tout entier naturel k . Si k = 0, alors PT 0P1 = PP1 = I = A0. Donc la proprit est vraie au rang 0. Soit k un entier naturel tel que Ak = PT kP1. Alors :

Ak+1 = AkA = (PT kP1)(PTP1) = PT k (P1P)TP1 = PT k+1P1

Donc la proprit est vraie au rang k +1.Si A est inversible, alors A1 est galement trigonalisable et (P,T1) est une trigonalisation de A1.

Donc en appliquant le rsultat prcdent cette trigonalisation, il vient que

k N, Ak = (A1)k = P(T1)kP1 = PTkP1

ce qui permet dobtenir la relation pour les entiers naturels ngatifs.

Romain Dujol 32

Pour calculer Ak pour tout entier naturel k , on procde de la manire suivante.

tape no 1 Dterminer une trigonalisation (P,T ) de A.

tape no 2 Calculer T k pour tout entier naturel n .

tape no 3 Former et calculer le produit PT kP1.

Remarque. Cette mthode est particulirement adapte lorsque T est diagonale, cest--direlorsque A est diagonalisable car le calcul des puissances deD est immdiat :

D =

1 0 00

......

......

...... 0

0 0 p

k N, Dk =

k1 0 00

......

......

...... 0

0 0 kp

Exemple. Calculer les puissances de A =

0 8 61 8 71 14 11

.

3.1.2 Mthode par division euclidienne

Proposition 3.2. Soit A une matrice carre dordre n coefficients dansK et P un polynme an-nulateur de A.

Pour tout entier naturel n, on note Rn le reste de la division euclidienne du polynme Xn parP. Alors An =Rn (A).

Dmonstration. Soit n un entier naturel. Il existe un unique couple (Qn ,Rn ) de polynmes coefficientsdansK tels que degRn < degP et Xn = PQn +Rn .

Alors An = (Xn )(A) = (PQn +Rn )(A) = (QnP)(A)+Rn (A) =Qn (A)P(A)+Rn (A) =Rn (A).

Pour calculer Ak pour tout entier naturel k , on procde de la manire suivante.

tape no 1 Dterminer un polynme annulateur P de A.

tape no 2 Calculer le reste Rn de la division euclidenne de Xn par P pour tout entier naturel n .

tape no 3 Former et calculer Rn (A).

Remarque.

1. On utilisera souvent cette proprit avec P = f ou pi f .

2. Toute puissance de A est donc une combinaison linaire des degP 1 premires puis-sances de A. La mthode est alors dautant plus efficace que degP est petit : on en dduitque le choix optimal sera P =pi f .

Exemple. Calculer les puissances de A =

0 8 61 8 71 14 11

.

Romain Dujol 33

3.2 Suites rcurrentes linaires

3.2.1 Suites vectorielles rcurrentes dordre un

Proposition 3.3 (Suites vectorielles rcurrentes dordre un). Soit n un entier naturel non nulet A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

Soit (Xk )kN la suite de vecteurs-colonne dfinie par(X0 Mn ,1(K)k N, Xk+1 = AXk

Alorsk N, Xk = AkX0

Dmonstration. Montrons par rcurrence sur k que Xk = AkX0 pour tout entier naturel k . Si n = 0, alors A0X0 = I X0 = X0. Donc la proprit est vraie au rang 0. Soit k un entier naturel tel que Xk = AkX0. Alors : Xk+1 = AXk = A(AkX0) = Ak+1X0.Donc la proprit est vraie au rang k +1.

Pour dterminer lexpression de Xk en fonction de k , on procde de la manire suivante.

tape no 1 Calculer Ak en fonction de k .

tape no 2 Former et calculer le produit matrice-vecteur AkX0.

Exemple. Soit (uk )kN, (vk )kN et (wk )kN trois suites relles dfinies par :

u0 = 22 v0 = 22 w0 = 22

k N,

uk+1 =

2uk + vk +wk4

vk+1 =uk + vk +wk

3

wk+1 =uk + vk +2wk

4

1. Calculer uk , vk etwk en fonction de k N.2. En dduire ltude de la convergence des suites (uk )kN, (vk )kN et (wk )kN.

Romain Dujol 34

3.2.2 Suites rcurrentes linaires dordre suprieur

Proposition 3.4 (Suites rcurrentes linaires dordre suprieur). Soit p un entier naturel nonnul et (a i )0ip1 Kp . On considre la suite numrique (uk )kN dfinie par

(u i )0ip1 Kp

k N, uk+p =p1i=0

a iun+i

Soit (Xk )kN la suite de vecteurs-colonne dfinie par

k N, Xk = (uk+i )0ip1 =

ukuk+1...

uk+p1

Alors pour tout entier naturel k , Xk+1 = AXk avec A =

0 1 0 0...

......

......

......

... 00 0 1a 0 a 1 ap2 ap1

Pour dterminer lexpression de uk en fonction de k , on procde de la manire suivante.

tape no 1 Construire la matrice A.

tape no 2 Calculer Ak en fonction de k .

tape no 3 Former et calculer le produit AkX0 avec X0 = (u i )0ip1 =

u0u1...

up1

tape no 4 Le terme uk est la premire composante du produit ainsi obtenu.

Exemple. Soit (uk )kN la suite relle dfinie par :(u0 = 1 u1 = 5 u2 = 1

k N, uk+3 = uk+2+4uk+14uk

Calculer uk en fonction de k .

Romain Dujol 35

3.3 Systmes diffrentiels linaires

3.3.1 Mthode par rduction directe

Proposition 3.5 (Systmes diffrentiels linaires).Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

Soit X une application de R dansM p1(R) de classeC 1 sur R et (P,T ) une trigonalisation de A.Alors X est solution du systme diffrentiel X = AX si et seulement si Y : t 7 P1X (t ) est

solution du systme diffrentiel Y = TY .

Pour rsoudre le systme X = AX, on procde de la manire suivante.

tape no 1 Dterminer une trigonalisation (P,T ) de A.

tape no 2 Poser et rsoudre le systme Y = TY en fonction de Y (0) = P1X (0).

tape no 3 Former et calculer PY (t ) pour tout t R.

Exemple. Rsoudre le systme diffrentiel

x = x + y + z

y = 2y +2z

z = x y +3z.

3.3.2 Mthode par exponentielle

Proposition 3.6.Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

Alors la srie dapplicationskN

A 7 A

k

k !

converge normalement localement surM n (K).

Dfinition 3.1 (Exponentielle dematrice).Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.

On dfinit lexponentielle de A , note e A , par e A par e A =+k=0

Ak

k !.

On note exp lapplication dfinie par exp : M n (K) M n (K)A 7 e A

.

Romain Dujol 36

Proposition 3.7. Soit n N et A et B deux matrices carres dordre n coefficients dansK.1. Lapplication exp est continue surM n (K).2. Si A et B commutent, alors e A+B = e Ae B .

3. e 0n = In

4. e A est une matrice inversible ete A1

= eA .

Dmonstration.

1. La convergence normale locale de la srie dapplications qui dfinit la fonction exponentielle as-sure la continuit de cette dernire.

2. Comme A et B commutent et que les sries matricielleskN

Ak

k !etkN

Bk

k !sont absolument conver-

gentes, il vient que leur srie-produit lest galement et que la somme de cette dernire est galeau produit des sommes des deux sries, cest--dire e Ae B .

Or le terme gnral de la srie produit est :ki=0

A i

i !

Bki

(k i )! =ki=0

A i Bki

i ! (k i )! =ki=0

Cik

k !A i Bki =

1

k !

ki=0

Cik A

i Bki =(A + B )k

k !

Par dfinition, cette srie converge e A+B , ce qui permet de conclure.

3. Soit k un entier naturel. Alors0knk !

=

(In si k = 0

0n si k > 0. On en dduit alors que e 0n = In +

+k=1

0n = In .

4. Comme A et A commutent, il vient que In = e 0n = e A+(A) = e AeA .On en dduit que e A est inversible et que eA est son inverse.

Proposition 3.8 (Changement de base).Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.Pour toute matrice P carre dordre n coefficients dansK inversible, on a e P1AP = P1e AP.

Dmonstration. e P1AP =+k=0

(P1AP)k

k !=

+k=0

P1AkP

k != P1

+k=0

Ak

k !

!P = P1e AP

Proposition 3.9.Soit n un entier non nul et A une matrice carre dordre n coefficients dansK.Alors la solution du systme diffrentielle X = AX est X : t 7 e t AX (0).

Pour rsoudre le systme X = AX, on procde de la manire suivante.

tape no 1 Calculer lexponentielle de A :

(a) Dterminer une trigonalisation (P,T ) de A.

(b) Calculer e t T en fonction de t .

(c) Former et calculer le produit P1e t TP .

tape no 2 Former et calculer le produit e t AX (0)

Romain Dujol 37

Remarque. Cette mthode est particulirement adapte lorsque T est diagonale, cest--direlorsque A est diagonalisable car le calcul de lexponentielle deD est immdiat :

D =

1 0 00

......

......

...... 0

0 0 p

eD =

e 1 0 00

......

......

...... 0

0 0 e p

Exemple. Rsoudre le systme diffrentiel

x = x + y + z

y = 2y +2z

z = x y +3z.

Romain Dujol 38

Rduction des endomorphismes, applications : Exercices

Calcul des puissances dunematrice

Exercice 3.1. Soit m un rel non nul et A =

0 m m2

1/m 0 m1/m 2 1/m 0

.1. A est-elle diagonalisable ?

2. Calculer An pour tout entier naturel n.

Suites rcurrentes linaires

Exercice 3.2. Soit a et b deux nombres rels tels que a 6= 1.

Soit (uk )kN et (vk )kN deux suites relles dfinies par

u0 fix v0 fix

k N,(uk+1 = auk +bvk

vk+1 = vk

1. Calculer uk et vk en fonction de k N.2. En dduire ltude de la convergence des suites (uk )kN et (vk )kN.

Exercice 3.3. Soit (uk )kN une suite relle dfinie telle que :

k N, uk+3 = uk+2+4uk+14uk

Pour tout entier naturel k , on note Xk =

ukuk+1uk+2

.1. Montrer quil existe une matrice A (que lon explicitera) telle que Xk+1 = AXk pour tout

entier naturel k .

2. (a) Calculer A

111

(b) En dduire lexpression de uk en fonction de k lorsque u0 = u1 = u2.

(c) Que dire de

111

pour A ?3. (a) Diagonaliser A.

(b) Dcomposer le vecteur

111

dans la base de diagonalisation de A.(c) En dduire lexpression de uk en fonction de k lorsque u0 = 1, u1 = 5 et u2 = 1.

4. Est-il possible de trouver des valeurs de u0, u1 et u2 telle que u100 = u101 = 0 et u102 = 1012 ?Si oui, les dterminer.

Romain Dujol 39

Chapitre 4

Formes bilinaires. Formesquadratiques

4.1 Forme bilinaire

4.1.1 Dfinitions

Dfinition 4.1 (Forme bilinaire). Soit E un R-espace vectoriel.Une forme bilinaire sur E est une application f de E E dans R telle que :

1. pour tout vecteur x de E , y 7 f (x ,y ) est une forme linaire sur E , cest--dire :

R, x E , y E , y E , f (x ,y +y ) = f (x ,y )+ f (x ,y )

2. pour tout vecteur y de E , x 7 f (x ,y ) est une forme linaire sur E , cest--dire :

R, x E , x E , y E , f (x +x ,y ) = f (x ,y )+ f (x ,y )

Exemple.

1. E =R et f 1 : RR R(x ,y ) 7 xy

2. E =R2 et f 2 : R2R2 R(x1,x2), (y1,y2)

7 x1y2x2y13. E =C ([0,1],R) et f 3 : C ([0,1],R)C ([0,1],R) R

(,) 7 10

(t )(t )dt

Romain Dujol 40

Proposition 4.1. Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire sur E .

1. x E , f (x ,0E ) = 02. y E , f (0E ,y ) = 0

Dfinition 4.2 (Forme bilinaire symtrique. Forme bilinaire anti-symtrique).Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire sur E .

f est dite symtrique si et seulement si

x E , y E , f (y ,x ) = f (x ,y )

f est dite antisymtrique si et seulement si

x E , y E , f (y ,x ) = f (x ,y )

Exemple. En reprenant les exemples vus plus haut, les formes f 1 et f 3 sont symtriques et laforme f 2 est antisymtrique.

Proposition 4.2 (Caractrisation rapide).Soit E un R-espace vectoriel et f une application de E E dans R.Alors f est une forme bilinaire symtrique si et seulement si les propositions suivantes sont

vrifies :

1. pour tout vecteur x de E , y 7 f (x ,y ) est une forme linaire sur E , cest--dire :

R, x E , y E , y E , f (x ,y +y ) = f (x ,y )+ f (x ,y )

2. x E , y E , f (y ,x ) = f (x ,y )

Dmonstration. Soit alors un vecteur y de E : montrons que x 7 f (x ,y ) est une forme linaire sur E .Soit x et x deux vecteurs de E et un nombre rel. Alors f (x + x ,y ) = f (y ,x + x ) = f (y ,x ) +

f (y ,x ) = f (x ,y )+ f (x ,y ).

Remarque. La proposition est toujours valable si on remplace lhypothse de linarit f selon ypar lhypothse de linarit de f selon x .

Romain Dujol 41

4.1.2 Orthogonalit

Dfinition 4.3 (Vecteurs orthogonaux).Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire symtrique sur E .Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux pour f si et seulement si f (x ,y ) = 0.

Remarque. Si f nest pas symtrique, alors on peut avoir f (x ,y ) = 0 et f (y ,x ) 6= 0, ce qui com-plique la dfinition.

Dfinition 4.4 (Orthogonal dune partie).Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire symtrique sur E .

Pour toute partie A de E , on appelle orthogonal de A (pour f ), not A, le sous-espacevectoriel de E des vecteurs orthogonaux pour f tous les vecteurs de A :

A = {x E , y A, f (x ,y ) = 0}

Dmonstration. Montrons que A est bien un sous-espace vectoriel de E .

Soit x1 et x2 deux lments deA et un nombre rel. Pour tout y deA, on a f (x1+x2,y ) = f (x1,y )+

f (x2,y ) = 0. Donc x1+x2 est un lment de A.

Proposition 4.3. Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire symtrique sur E .Soit A et B deux parties de E .

1. Si A B, alors B A.2. A = (VectA)

3. (A B ) = A BDmonstration.

1. Soit x B et y A. Alors y B et f (x ,y ) = 0. Donc pour tout lment y de A, f (x ,y ) = 0 : x A.2. Montrons la double inclusion.

Soit x A et y Vect(A). Alors

p N\{0}, (i )1ip Rp , (yi )1ip Ap , y =pi=1

i yi

On en dduit que f (x ,y ) = f

x ,

pi=1

i yi

!=

pi=1

f (x ,yi ) = 0.

Donc pour tout lment y de VectA, f (x ,y ) = 0 : x (VectA). Comme A VectA, il vient que (VectA) A.

3. Soit x un vecteur de E . Alors

x (A B ) y A B , f (x ,y ) = 0 (y A, f (x ,y ) = 0y B , f (x ,y ) = 0 x A

B

Romain Dujol 42

Dfinition 4.5 (Noyau).Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire symtrique sur E .On appelle noyau de f, not N ( f ), le sous-espace vectoriel de E dfini par

N ( f ) = E = {x E , y E , f (x ,y ) = 0}

Dfinition 4.6 (Forme non dgnre).Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire symtrique sur E .On dit que f est non dgnre si et seulement si N ( f ) = {0E }.

Dfinition 4.7 (Rang).Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinaire symtrique sur E .On dfinit le rang de f , not rg f , par rg f = dimE dimN ( f ).

4.1.3 Matrice dune forme bilinaire

Proposition 4.4. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .La donne des valeurs f (e i ,e j ) pour tout (i , j ) J1,nK2 dfinit de manire unique la forme

bilinaire f .

Dmonstration. Soit x et y deux vecteurs de E que lon dcompose dans la baseB = (e1, . . . ,en ) :

x =ni=1

x i e i et y =nj=1

y j e j

Alors

f (x ,y ) = f

ni=1

x i e i ,nj=1

y j e j

= ni=1

x i f

e i , nj=1

y j e j

= ni=1

nj=1

x i y j f (e i ,e j )

Donc si les valeurs f (e i ,e j ) sont connues pour tout (i , j ) J1,nK2, alors f (x ,y ) est calculable de manireunique pour tous vecteurs x et y de E .

Romain Dujol 43

Dfinition 4.8 (Matrice dune forme bilinaire).Soit E un R-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .Pour toute forme bilinaire f sur E , on dfinit lamatrice de f dansB , notematB f par

matB f =f (e i ,e j )

(i ,j )J1,nK2

Corollaire. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .Si il existe des rels (a i j )(i ,j )J1,nK2 tels que pour :

x =ni=1

x i e i , y =nj=1

y j e j , f (x ,y ) =ni=1

nj=1

a i j x i y j

alorsmatB f = (a i j )(i ,j )J1,nK2 .

Exemple. Dterminer la matrice de f : R3R3 R(x1,x2,x3), (y1,y2,y3)

7 x1y2+7x3y14x3y3 .Proposition 4.5 (criturematricielle).

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .Soit f une forme bilinaire sur E et A la matrice de f dansB . Alors pour tous x et y vecteurs

de E , on a :f (x ,y ) = tXAY avec X =matB x et Y =matB y

Dmonstration. Soit x et y deux vecteurs de E que lon dcompose dans la baseB = (e1, . . . ,en ) :

x =ni=1

x i e i et y =nj=1

y j e j

Alors X =matB x =

x1...xn

et Y =matB y =y1...yn

. Donc AY = n

j=1

a i j y j

!1in

, puis

tX (AY ) =ni=1

x i

nj=1

a i j y j =ni=1

nj=1

a i j x i y j =ni=1

nj=1

x i y j f (e i ,e j ) = f (x ,y )

daprs les calculs prcdents.

Romain Dujol 44

Corollaire. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinaire sur E .

1. f est symtrique si et seulement si il existe une baseB de E telle quematB soit une matricesymtrique.

2. f est antisymtrique si et seulement si il existe une base B de E telle que matB soit unematrice antisymtrique.

Proposition 4.6 (Caractrisationmatricielle du noyau).Soit E un R-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .Soit f une forme bilinaire symtrique sur E et A la matrice de f dansB . Alors

x N ( f ) X =matB x KerA

Dmonstration.

Lemme. : M n1(R)2 R(X ,Y ) 7 tXY

est une forme bilinaire symtrique non dgnre.

Dmonstration. En exercice

Soit x un vecteur de E et X =matB x . Alors x N ( f ) y E , f (x ,y ) = 0 Y M n1(R), tXAY = 0 Y M n1(R), t( tXAY ) = 0 Y M n1(R), tY tAX = 0 Y M n1(R), tYAX = 0 Y M n1(R), (Y ,AX ) = 0 AX Ker = {0} X KerA

Do le rsultat demand.

Corollaire.Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinaire symtrique sur E .Alors f est non dgnre si et seulement si il existe une base B de E telle que matB f soit

inversible.

Dmonstration. On a alors KerA = {0n1}. Daprs ce qui prcde, on en dduit queN ( f ) = {0E }.

Proposition 4.7 (Formule de changement de bases pour les formes bilinaires).Soit E unR-espace vectoriel de dimension finie etB etB deux base de E . On note P = PB ,B

la matrice de passage deB dansB .Soit f une forme bilinaire sur E . On note A la matrice de f dans B et A la matrice de f

dansB . AlorsA = tPAP

Romain Dujol 45

Dmonstration. Soit x un vecteur de E . On note X =matB x et X =matB x : alors X = PX . Soit y unvecteur de E . On note Y =matB y et Y =matB y : alors Y = PY .

On a alors f (x ,y ) = tXAY = t(PX )A(PY ) = tX tPAPY . En identifiant avec lexpression

f (x ,y ) = tX AY pour toutes matrices-colonne X et Y , on en conclut que A = tPAP .

ATTENTION. Ce nest donc pas la mme formule que pour le changement de bases pour les ap-plications linaires (A = P1AP).

4.2 Forme quadratique

4.2.1 Dfinitions

Dfinition 4.9 (Forme quadratique). Soit E un R-espace vectoriel.Une application q de E dans R est une forme quadratique sur E si et seulement si il existe

une forme bilinaire f telle quex E , q (x ) = f (x ,x )

Auquel cas, q est appele forme quadratique associ f .

Proposition 4.8. Soit E unR-espace vectoriel, f une forme bilinaire sur E et q la forme quadra-tique associ f .

1. q (0E ) = 0

2. K, x E , y E , q (x +y ) =q (x )+ f (x ,y )+ f (y ,x )+2q (y )3. R, x E , q (x ) =2q (x )

Corollaire. Soit E un R-espace vectoriel, f une forme bilinaire symtrique sur E et q la formequadratique associ f . Alors

x E , y E , q (x + y ) =q (x )+2 f (x ,y )+q (y )

Proposition 4.9 (Forme polaire).Soit E un R-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E .Alors il existe une unique forme bilinaire symtrique f s , appele forme polaire de q , telle

que q est la forme bilinaire associe f . De plus

x E , y E , f s (x ,y ) =q (x + y )q (x )q (y )

2ou encore

x E , y E , f s (x ,y ) =q (x + y )q (x y )

4Ces deux relations sont appeles identits de polarisation.

ATTENTION. Si on enlve le terme symtrique , lunicit nest plus vrifie.

Romain Dujol 46

Dmonstration. Comme q est une forme quadratique, il existe une forme bilinaire f sur E telle queq (x ) = f (x ,x ) pour tout vecteur x de E .

Montrons que f s : E E R(x ,y ) 7 q (x + y )q (x )q (y )

2

est une forme bilinaire symtrique sur E .

Soit x et y deux vecteurs de E . Alors q (x + y ) =q (x )+ f (x ,y )+ f (y ,x )+q (y ), donc

f s (x ,y ) =q (y +x )q (y )q (x )

2=

f (x ,y )+ f (y ,x )

2

Soit x et y deux vecteurs de E . Alors f s (y ,x ) =f (y ,x )+ f (x ,y )

2=

f (x ,y )+ f (y ,x )

2= f s (x ,y ).

Soit x , y et y des vecteurs de E et un nombre rel. Alors

f s (x ,y +y) =

f (x ,y +y )+ f (y ,x +y )

2=

f (x ,y )+ f (x ,y )+ f (y ,x )+ f (y ,x ))

2

=f (x ,y )+ f (y ,x )

2+

f (x ,y )+ f (y ,x )

2= f s (x ,y )+ f s (x ,y

)

Soit x un vecteur de E , alors f s (x ,x ) =f (x ,x )+ f (x ,x )

2= f (x ,x ) = q (x ) : donc q est bien la forme

quadratique associe f s .

4.2.2 Orthogonalit

Proposition 4.10 (Thorme de PYTHAGORE). Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bili-naire symtrique sur E . On note q la forme quadratique associe f .

Alors x et y sont deux vecteurs orthogonaux de E si et seulement si q (x + y ) =q (x )+q (y ).

Dmonstration. On rappelle que q (x + y ) =q (x )+2 f (x ,y )+q (y ). Alors

x et y sont orthogonaux 2 f (x ,y ) = 0 q (x + y )q (x )q (y ) = 0 q (x + y ) =q (x )+q (y )

Dfinition 4.10 (Noyau. Rang). Soit E unR-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E .On dfinit le noyau de q , not N (q ), comme le noyau de la forme polaire de q.On dfinit le rang de q , not rgq, comme le rang de la forme polaire de q.

Dfinition 4.11 (Vecteur isotrope. Cne isotrope).Soit E un R-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E .On dit quun vecteur x de E est isotrope pour q si et seulement si q (x ) = 0.On appelle cne isotrope de q , not I (q ), lensemble des vecteurs isotropes de q.

Romain Dujol 47

ATTENTION. La partie I (q ) nest pas en gnral un espace vectoriel : ce nest donc pas la mmechose queN (q ).

Exemple. tudierN (q ) et I (q ) lorsque q est dfinie par q : R2 R(x1,x2) 7 x 21 x 22

.

Proposition 4.11. Soit E un R-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E .Alors N (q ) I (q ).

Dmonstration. On note f s la forme polaire de q .

Soit x N (q ) =N ( f s ). Alors pour tout vecteur y de E , on a f s (x ,y ) = 0. En particulier, si y = x , alorsq (x ,x ) = f s (x ,x ) = 0 et x I (q ).

Dfinition 4.12 (Forme quadratique positive, dfinie positive).Soit E un R-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E .On dit que q est une forme quadratique positive si et seulement si q (E ) R+, cest--dire

que q (x ) est un rel positif pour tout vecteur x de E , i.e. :

q est positive x E , q (x ) 0

On dit que q est une forme quadratique dfinie positive si et seulement si q est positive etque I (q ) = 0, i.e. :

q est dfinie positive (x E , q (x ) 0q (x ) = 0 x = 0

Remarque. Ondfinit demanire analogue une formequadratiquengativeoudfiniengative.

Thorme 4.1 (Ingalit de CAUCHY-SCHWARTZ). Soit E unR-espace vectoriel et f une formebilinaire symtrique dont la forme quadratique associe est positive. Alors :

x E , y E , | f (x ,y )| pq (x )q (y )

Dmonstration. On a :

x E , y E , R, 0q (x +y ) =q (x )+2 f (x ,y )+2q (y )Soit x et y deux vecteurs de E . Alors le trinme du second degr 7 q (x )+2 f (x ,y )+2q (y ) est positif :donc il ne peut avoir deux racines relles distinctes, ce qui implique que son discrimant = 4 f (x ,y )24q (x )q (y ) est ngatif ou nul.

Donc pour tous vecteurs x et y de E , f (x ,y )2 q (x )q (y ). On conclut en passant la racine carre(car q est positive).

Romain Dujol 48

Corollaire (Ingalit deMINKOWSKI). Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinairesymtrique dont la forme quadratique associe est positive. Alors :

x E , y E ,pq (x + y )

pq (x )+

pq (y )

Dmonstration. Soit x et y deux vecteurs de E . Alors daprs lingalit de CAUCHY-SCHWARTZ :

q (x + y ) =q (x )+2 f (x ,y )+q (y )q (x )+2pq (x )q (y )+q (y ) =

hpq (x )+

pq (y )

i2On conclut en passant la racine carre (car q est positive).

4.2.3 Matrice dune forme quadratique

Dfinition 4.13 (Matrice dune forme quadratique). Soit E un R-espace vectoriel de dimen-sion finie etB une base de E .

Pour toute forme quadratique q sur E , on dfinit lamatrice de q dansB , notmatB q par

matB q =matB f s

o f s dsigne la forme polaire de q.

Remarque. Comme f s est symtrique, il vient que la matrice dune forme quadratique est tou-jours symtrique.

Proposition 4.12. Soit E unR-espace vectoriel de dimension n etB = (e1, . . . ,en ) une base de E .Si il existe des rels (a i j )(i ,j )J1,nK2 tels que pour :

x =ni=1

x i e i , f (x ,y ) =

1ijna i j x ix j

alorsmatB q =

a 11a 122

a 1n2

a 122 a 22

......

......

... an1,n2

a 1n2

an1,n2 ann

.

Dmonstration. Soit f s : E E R(x ,y ) 7 q (x + y )q (x )q (y )

2

la forme polaire de q .

Soit k et l deux entiers de J1,nK. Alors, daprs la dfinition de la matrice de q , le coefficient en

position (k , l ) de matB q est f s (ek ,e l ) =q (ek + e l )q (ek )q (e l )

2.

Romain Dujol 49

Si x = ek , alors pour tout i J1,nK, x i =(1 si i = k

0 si i 6= k . Donc pour tous entiers i et j deJ1,nK,

x ix j =

(1 si i = k et j = k

0 si i 6= k ou j 6= k et q (ek ) = a kk .

Demme, q (e l ) = a l l .

Si x = ek + e l , alors pour tout i J1,nK, x i =(1 si i = k ou i = l

0 si i 6= k et i 6= l . On distingue alors trois cas :

si k = l , alors x = 2ek et q (x ) = 4q (ek ) = 4qkk ;

si k < l , alors pour tous entiers i et j de J1,nK, x ix j =

(1 si (i , j ) {(k ,k ), (k , l ), (l , l )}0 sinon

et q (ek +

e l ) = a kk +a k l +a l l de mme, si l < k , q (ek + e l ) = a l l +a l k +a kk .

Finalement : Si k = l , alors f s (ek ,ek ) =q (ek ) = a kk . Si k < l , alors f s (ek ,e l ) =

a kk +a k l +a l l a kk a l l2

=a k l2

.

Demme, si k > l , f s (ek ,e l ) =a l k2

.

4.2.4 Rduction dune forme quadratique

Thorme. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie.Toute forme quadratique sur E peut se dcomposer en une combinaison linaire de carrs de

formes linaires indpendantes.

Dmonstration. Soit n un entier naturel non nul. On dmontrera le rsultat pour E = Rn , le rsultatpouvant tre tendu par isomorphisme tout R-espace vectoriel de dimension n .

Montrons par rcurrence que pour tout entier naturel non nul n et pour toute forme quadratiquesur Rn , il existe une famille (i )1in de vecteurs indpndants de L (Rn ,R) et un n-uplet (i )1in denombres rels tels que

x Rn , q (x ) =ni=1

i(x )2

Si n = 1, alors il existe un nombre rel tel que q : x 7x 2. La dcomposition demande est alorsvidente et la proprit est vraie au rang 1.

Supposons que la dcomposition demande soit possible pour toute forme quadratique de Rn .Soit q une forme quadratique sur Rn+1 : alors il existe une famille (a i j )1ijn+1 de nombres relstels que :

x = (x1, . . . ,xn+1)Rn+1, q (x ) =

1ijna i j x ix j

Romain Dujol 50

On distingue deux cas. Si il existe i 0 J1,n +1K tel que a i 0i 0 soit non nul. Quitte rordonner les variables, on peutsupposer sans perte de gnralit que i 0 = 1. Alors on crit pour tout x = (x1, . . . ,xn+1) de Rn+1 :

q (x ) = a 11x21 +

ni=2

a 1ix1x i +

2ijna i j x ix j

= a 11

x 21 +

ni=2

a 1ia 11

x1x i

+

2ijna i j x ix j

= a 11

x1+

ni=2

a 1i2a 11

x i

!2

2ijn

2

a 1i2a 11

x i

a 1j2a 11

x j

+ 2ijn

a i j x ix j

= a 11

x1+

ni=2

a 1i2a 11

x i

!2

2ijn

a 1ia i j2a 11

x ix j +

2ijna i j x ix j

= a 11

x1+

ni=2

a 1i2a 11

x i

!2+

2ijn

a i j

1 a 1i

2a 11

x ix j

Soit lapplication q1 : Rn R(x2, . . . ,xn+1) 7

2ijn

a i j

1 a 1i

2a 11

x ix j

.

Alors q1 est une forme quadratique sur Rn et, daprs lhypothse de rcurrence, il existe unn-uplet (i )2in+1 de nombres rels et une famille (i )2in+1 de vecteurs indpendants deL (Rn ,R) tels que :

(x2, . . . ,xn+1)Rn , q1(x2, . . . ,xn+1) =n+1i=2

i i (x2, . . . ,xn+1)2

Pour tout entier i de J2,n +1K, on note i : Rn+1 Rx = (x1, . . . ,xn+1) 7 i (x2, . . . ,xn+1)

.

Alors la famille (i )2in+1 est indpendante dansL (Rn+1,R).

On note 1 = a 11 et 1 : Rn+1 R

x = (x1, . . . ,xn+1) 7 x1+ni=2

a 1i2a 11

x i

.

Alors 1 est une forme linaire surRn+1 et elle est indpendante des formes linaires 2, . . .n+1car elle seule dpend explicitement de x1.On dduit de tous ces lments que :

x = (x1, . . . ,xn+1)Rn+1, q (x ) =11(x )2+q1(x ) =11(x )2+n+1i=2

i i (x2, . . . ,xn+1)2

=11(x )2+

n+1i=2

ii (x )2 =

n+1i=1

ii (x )2

On obtient ainsi la dcomposition demande.

Romain Dujol 51

Si pour tout entier i de J1,nK, le coefficient a i i est nul, soit i 0 et j0 deux entiers de J1,nK tels quei 0 6= j0 et que le coefficient a i 0 j0 soit non nul 1.Quitte rordonner les variables, on peut supposer sans perte de gnralit que i 0 = 1 et j0 = 2.Alors on crit pour tout vecteur x = (x1, . . . ,xn+1) de Rn+1 :

q (x ) = a 12x1x2+ni=3

a 1ix1x j +ni=3

a 2ix2x j +

3ijna i j x ix j

= a 12

x1x2+ n

i=3

a 1ia 12

x1x j +ni=3

a 2ia 12

x2x j

+

3ijna i j x ix j

= a 12

x1+ n

i=3

a 2ia 12

x j

! x2+

ni=3

a 1ia 12

x j

!

ni=3

a 2ia 12

x j

!

ni=3

a 1ia 12

x j

!+ 3ijn

a i j x ix j

=a 124

x1+

ni=3

a 2ia 12

x j +x2+ni=3

a 1ia 12

x j

!2 x1+

ni=3

a 2ia 12

x j x2ni=3

a 1ia 12

x j

!2a 12

ni=3

a 2ia 12

x j

!

ni=3

a 1ia 12

x j

!+

3ijn

a i j x ix j

On procde comme dans le cas prcdent en appliquant lhypothse de rcurrence sur

q1 : Rn1 R

(x3, . . . ,xn+1) 7 a 12

ni=3

a 2ia 12

x j

!

ni=3

a 1ia 12

x j

!+

3ijn

a i j x ix j

pour obtenir une dcomposition de q1 de la forme :

x = (x1, . . . ,xn+1)Rn+1, q1(x ) =ni=3

ii (x )2

Par construction, 1 : Rn+1 R

x = (x1, . . . ,xn+1) 7 x1+ni=3

a 2ia 12

x j +x2+ni=3

a 1ia 12

x j

et

2 : Rn+1 R

x = (x1, . . . ,xn+1) 7 x1+ni=3

a 2ia 12

x j x2ni=3

a 1ia 12

x j

sont deux formes linaires ind-

pendantes entre elles et elles sont galement indpendantes des formes linaires 3, . . . , n+1car seules 1 et 2 dpendent explicitement de x1 et x2.On conclut comme prcdemment lexistence de la dcomposition demande et la propritest vraie au rang n +1.

Remarque. Lamthode de dcomposition prsente est appeledcompositiondeGAUSS de q .

1. Si deux tels entiers nexiste pas, alors q est la forme quadratique nulle. . . et la dcomposition est vidente !

Romain Dujol 52

Proposition 4.13 (Loi dinertie de SYLVESTER. Signature).Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et q une forme quadratique sur E .Pour toute dcomposition de q en combinaison linaire de carres de formes linaires

q =ni=1

i2, on note :

+ le nombre de coefficients i strictement positifs ; le nombre de coefficients i strictement ngatifs.

Les nombres+ et ne dpendent de la dcomposition choisie.Le couple (+,) est appel la signature de q .

Proposition 4.14. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et q une forme quadratiquesur E de signature (+,). Alors rgq =++.

Proposition 4.15 (Caractrisation rapide de la signature). Soit E un R-espace vectoriel de di-mension finie et q une forme quadratique sur E de signature (+,).

SoitB une base de E et A la matrice de q dansB . Alors :1. + est gal au nombre de valeurs propres strictement positives de A ;

2. + est gal au nombre de valeurs propres strictement ngatives de A.

Romain Dujol 53

Formes bilinaires. Formes quadratiques : Exercices

Formes bilinaires

Exercice 4.1. Soit f la forme bilinaire sur R3 dfinie par

f : R3R3 R(x1,x2,x3), (y1,y2,y3)

7 x1y1+6x2y2+56x3y32(x1y2+x2y1)+7(x1y3+x3y1)+18(x2y3+x3y2)1. crire la matrice de f dans la base canonique de R3.

2. (a) Montrer queB = (1,0,0), (2,1,0), (3,2,1) est une base de R3.(b) crire la matrice de f dans la baseB .

3. Soit q la forme quadratique q associe f .

(a) Donner lexpression de q dans la base canonique de R3.

(b) Donner lexpression de q dans la baseB .

Exercice 4.2. Soit E un R-espace vectoriel et f une forme bilinaire sur E telle que

x E , f (x ,x ) = 0 x = 0

SoitU une application de E dans E telle que

x E , y E , f U (x ),U (y )= f (x ,y )Montrer queU est un endomorphisme injectif de E .

Formes quadratiques

Exercice 4.3. Soit E unR-espace vectoriel, f une forme bilinaire sur E et q la forme quadratiqueassocie f .

1. Soit x et y deux vecteurs isotropes de q. Montrer que :

x + y est un vecteur isotrope de q x et y sont orthogonaux pour q

2. (a) Montrer que : x E , y E , q (x + y )+q (x y ) = 2q (x )+2q (y )(b) Montrer que : x E , y E , q (x + y )q (x y ) = 2 f (x ,y )+ f (y ,x )(c) Montrer que :

x E , y E , z E , q (x +y )+q (x +z )+q (y +z ) =q (x )+q (y )+q (z )+q (x +y +z )

3. Montrer que q est identiquement nulle si et seulement si f est antisymtrique.

Romain Dujol 54

Exercice 4.4.

1. Les applications suivantes sont-elles des formes quadratiques sur R[X ] ?

(a) 1 : P 7 P(0)P(1)(b) 2 : P 7 P(0)P(1)+P(0)(c) 3 : P 7 P(0)P(1)P(2)

2. Soit q : R2[X ] RP 7 P(0)P(1)

.

(a) Dterminer la forme polaire de q.

(b) Dterminer la matrice de q dans la base canonique de R2[X ].

Exercice 4.5. Soit q la forme quadratique sur R4 dfinie par

q : R4 R(x1,x2,x3,x4) 7 4x1x2+6x 23 +6x3x4+2x 24

1. (a) Dterminer la matrice de q dans la base canonique de R4.

(b) Dterminer lexpression de la forme polaire f de q.

(c) La forme bilinaire symtrique f est-elle dgnre ?

2. Dterminer les vecteurs de P = Vect{(1,0,0,0), (0,1,0,0)} isotropes pour q

Exercice 4.6.Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carre dordre n coefficients rels.

On dfinit lapplication f par f : M n1(R)M n1(R) R(X ,Y ) 7 tXAY

.

On note q la forme quadratique associ f .

1. Montrer que f est une forme bilinaire surM n1(R).2. (a) Quelle est la matrice de f dans la base canonique deM n1(R) ?

(b) Calculer la matrice de q dans la base canonique deM n1(R).

3. Soit A =

0 20 0

.

(a) Calculer les valers propres de A.

(b) Calculer les valeurs propres de la matrice de q dans la base canonique deM n1(R) eten dduire la signature de q.

(c) Que dire de lassertion Si A a toutes ses valeurs propres positives, alors X 7 tXAX estune forme bilinaire symtrique positive surM n1(R). ?Comparer par rapport la proposition 4.15 page 53.

Romain Dujol 55

4. Soit A =

2 40 1

.

(a) Calculer les valers propres de A.

(b) Calculer les valeurs propres de la matrice de q dans la base canonique deM n1(R) eten dduire la signature de q.

(c) Que dire de lassertion Si A a toutes ses valeurs propres strictement positives, alorsX 7 tXAX est une forme bilinaire symtrique dfinie positive surM n1(R). ?Comparer par rapport la proposition 4.15 page 53.

5. Montrer que une forme bilinaire est antisymtrique et seulement si sa forme quadratiqueassocie est nulle.

Rduction de formes quadratiques

Exercice 4.7. Pour chacune des formes quadratiques qi suivantes, dterminer : sa matrice A i dans la base canonique ; sa signature et son rang ; son noyau N (qi ).

1. q1 : M 2(R) RA 7 detA

2. q2 : R3 R(x1,x2,x3) 7 x 21 +2x 22 +2x 23 +2x1x24x1x36x2x3

3. q3 : R3 R(x1,x2,x3) 7 x 21 +x 22 2a (x1x2+x1x3+x2x3)

o a est un rel de ]0,1[

4. q4 : R3 R(x1,x2,x3) 7 x1x2+x1x3

5. q5 : R4 R(x1,x2,x3,x4) 7 x 21 +x 22 +2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4+4x3x4

6. q6 : R6 R(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 7 x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1

7. q7 : R2[X ] RP 7 P(0)P(1)

Pour P = 1+X +X 2, dterminer {P} puis {P}.

Romain Dujol 56

Exercice 4.8. Pour chacune des formes quadratiques suivantes, dterminer sa signature.

1. q1 : R3 R(x1,x2,x3) 7 x 21 +x 22 x 23 +2x1x3

2. q2 : R4 R(x1,x2,x3,x4) 7 2(x1x2+x3)(x1x3+x3x4)

o est unnombre rel quelconque

3. q3 : Rn R

(x1, . . . ,xn ) 7ni=1

x 2i +a

ni=1

x i

!2 o a est un nombre rel quelconque

4. q4 : Rn R(x1, . . . ,xn ) 7

1i

Chapitre 5

Espaces euclidiens

5.1 Produit scalaire

5.1.1 Dfinition

Dfinition 5.1 (Produit scalaire). Soit E un R-espace vectoriel.Un produit scalaire sur E est une forme bilinaire sur E symtrique dont la forme quadra-

tique est dfinie positive.

Proposition 5.1 (Norme euclidienne). Soit E un R-espace vectoriel.Soit f un produit scalaire sur E et q la forme quadratique associe f .

Alors N : E Rx 7

pq (x )

est une norme sur E et est appele norme euclidienne associe f .

Dmonstration. Montrons les trois proprits de la norme.

1. Soit x un vecteur de E . Comme q est dfinie positive, il vient que I (q ) = {0E } puis queN (x ) = 0 N (x )2 = 0 q (x ) = 0 x = 0E

2. Soit x un vecteur de E et un nombre rel. AlorsN (x ) =

pq (x ) =

p2q (x ) = ||

pq (x ) = ||N (x )

3. Comme f est symtrique et queq est une forme quadratique positive, on peut appliquer lingalit

de MINKOWSKI :N (x + y ) =pq (x + y )

pq (x )+

pq (y ) =N (x )+N (y ).

Dfinition 5.2 (Espace prhilbertien rel. Espace euclidien). Soit E un R-espace vectoriel.E est un espace prhilbertien rel si et seulement si il existe un produit scalaire sur E .E est un espace euclidien si et seulement si E est un espace prhilbertien rel de dimension

finie.

Romain Dujol 58

Corollaire. Tout espace prhilbertien rel (et donc tout espace euclidien) est un espace vectorielnorm.

Remarque. Sauf indication contraire, pour un espace prhilbertien rel, on notera (|) le produitscalaire et la norme euclidienne associe.

Proposition 5.2 (Identits de polarisation). Soit E un espace prhilbertien rel dont on note (|)le produit scalaire et la norme euclidienne associe. Alors

x E , y E , (x |y ) = x + y 2x2y 2

2=x + y 2x y 2

4

Dmonstration. Cest la transposition directe des identits de polarisation associes (|) et sa formequadratique associe 2.

Proposition 5.3 (Ingalit de CAUCHY-SCHWARTZ). Soit E