al7 ma27tepa0009 sequence-02

SSéquence 2

� 43 �

Équations - Inéquations - Statistiques

Na

K

Mg

Ca

P

5

0Na K Mg Ca P

10

15

20

25

30

Éléments

%

Diagramme circulaire Histogramme

Éléments

%

Na

28,2

Mg

8

Ca

23,6

P

20,1

Cned – Académie en ligne

� 45 �

SS oo

ommaireSéquence 2

▼

Équations - Inéquations - Statistiques

Chapitre 1 ▼

Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

A - Connaissances indispensables

B - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

C - Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un

D - Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur

Chapitre 2 ▼

Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

A - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

B - Etudier le signe d’un produit ou d’un quotient

C - Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un

D - Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur

Chapitre 3 ▼

Statistiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

Chapitre 4 ▼

Statistiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

Q.C.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

Corrigés des exercices et du Q.C.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69


CC hapitre 1▼

� 47 �

Équations

A. Connaissances indispensables

� Savoir résoudre une équation simple du type ax = b ou a + x = b.

� Savoir résoudre une équation du type où A et B désignent deux expressions du premier degréde la même variable.

� Savoir factoriser.

� On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux membres d’une équation; on obtient une équa-tion ayant les mêmes solutions.

� On peut multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation ; on obtientune équation ayant les mêmes solutions.

B. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

Méthode

� On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans l’un des membres de l’équation. On se ramène ainsi àune équation de la forme : ax = b.�

Résoudre dans � l’équation : ax = b

Conditions Solution Ensemble solution

une seule solution

a = 0 et aucune solution

a = 0 et b = 0 tous les réels sont solutions S = �

A B× 0=

Exercice �

Les équations suivantes ont deux solutions.

A l’aide d’un calcul, les retrouver parmi les nom-bres :

0 ; 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; ; .

a) b) .

Exercice �

1) – 2 est-il solution de l’équation :

2) est-il solution de l’équation :2 2–

x2– 2+ x= x2 2=

x2– 6x 8+ + 0 ?=

3 17–

x2– 6x 8+ + 0 ?=

a 0≠ x ba---= S

ba---

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

b 0≠ S ∅=


Séquence 2 MA27

� 48 �

Exemples

Résoudre dans � :

C. Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un.

Méthode

Si on exclut les cas particuliers (exemple 3) et les « fausses équations du second degré » (exemple 4), laméthode à employer est la suivante :

– regrouper tous les termes dans le premier membre de l’équation de manière à avoir 0 dans le secondmembre,

– factoriser le premier membre,

– appliquer le théorème : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs estnul.

on réduit au même dénominateur

on multiplie les deux membres par 12

on développe chaque membre on développe chaque membre3x4

------ 2+ x3--- 1–=

9x12------ 24

12------+ 4x

12------ 12

12------–=

9x 24+ 4x 12–=

9x 4x– 12– 24–=

5x 36–=

x 365------–=

S 365------–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

5 x 1–( ) 2x+ 7 x 2+( )=

5x 5– 2x+ 7x 14+=

7x 7x– 5 14+=

0x 19=

S ∅=

7 x 5–( ) 15+ 4 x 5–( ) 3x+=

7x 35– 15+ 4x 20– 3x+=

7x 7x– 20 20–=

0x 0=

S �=

Exercice �

Résoudre dans � :a) b)

c) d)

e) f) .

Exercice �


a)

b)

c)

d) .

3x 2– 0= 1 2x– 0=

7x 0=13---x 8+ 9=

12---x 3x+ 2x 12–= x

2--- x

3---+ x 4+=

3 x 3+( ) 10– 2 x 4+( ) 5x–=

2x 1– 5 x 3+( )– 4 3x–=

6 3 2x–( ) 2 10x+ + 2 10 x–( )=

x 1–3

------------ x 2+4

------------– x 5–=


MA27 Séquence 2

� 49 �

Exemples

Exemple 1

Résoudre dans � .

Exemple 2


ou

ou

Exemple 3


Aucun facteur commun ne peut être mis en évidence.

On développe, puis on réduit le premier membre.

Or, pour tout réel x, est positif.

L’équation proposée n’admet aucune solution.

x2 9=

x2 9– 0=

x 3–( ) x 3+( ) 0=

x 3– 0 ou x 3+ 0= =

x 3 ou x 3–= =

S 3 3–;{ }=

2x x 2–( ) 4 x2–=

2x x 2–( ) x2 4–( )+ 0=

2x x 2–( ) x 2–( ) x 2+( )+ 0=

x 2–( ) 2x x 2+( )+[ ] 0=

x 2–( ) 3x 2+( ) 0=

x 2– 0= 3x 2+ 0=

x 2= x 23---–=

S 2 23---–;

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 2x 3+( ) 5 x 1–( )+ 2 3 4x–( )–=

x 2x 3+( ) 5 x 1–( ) 2 3 4x–( )+ + 0=

2x2 3x 5x 5– 6 8x–+ + + 0=

2x2 1+ 0=

2x2 1–=

2x2

S ∅=


Séquence 2 MA27

� 50 �

Exemple 4


On développe et on réduit le premier membre.

Les termes en disparaissent

D. Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur

Méthode

� Déterminer les contraintes de l’équation.

� Ramener l’équation à la forme .

� Résoudre l’équation .

� Vérifier que les valeurs trouvées conviennent.

x 1–( ) 3x 5+( ) 3x2 4+=

x 1–( ) 3x 5+( ) 3x2– 4– 0=

3x2 5x 3x– 5– 3x2 4––+ 0=

x2

2x 9– 0=

2x 9=

x 92---=

S92---

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

Exercice �


a)

b)

c)

d)

e) .

Exercice �


a)

b) .

➠ Aide : développer, les termes en x2 s’éliminent.

Exercice �

Soit

1) Développer et réduire .

2) Factoriser f(x).

3) Résoudre dans � les équations suivantes :

a) f(x) = 0

b) f(x) = –8

c)

➠ Aide : suivant l’équation à résoudre, il faut

choisir la forme qui est la plus pratique.

4x2 9– 0=

x 1+( )2 3– 0=

4 x 2+( )2 x 3+( )2– 0=

x2 16– 3 x 4+( ) x 1+( )=

4x2 4x 1+ + 2x 1+( ) x 5–( )=

x 3+( )2 7x– 12+ x2 4–=

x 5–( )2 9+ x 2+( )2=

f x( ) 3x 2–( )2 2 3x 2–( ) x 3–( )–=

f x( )

f x( ) x 4+=

ND---- 0=

N 0=


MA27 Séquence 2

� 51 �

Exemples

Exercice

Résoudre dans � les équations suivantes :

a) b) c) .


L’expression est définie pour toutes les

valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur.Or pour .

L’équation est donc définie pour .Pour tout réel x différent de 3,

Comme , l’équation admet une seule solu-tion : 8


Cette équation est définie pour .Pour tout réel x différent de –1,

On réduit au même dénominateur

Or l’équation n’est pas définie pour x = –1.Cette équation n’admet aucune solution.

2x 1–x 3–

--------------- 3=

2x 1–x 3–

---------------

x 3– 0= x 3=

x 3≠

2x 1–x 3–

--------------- 3– 0=

2x 1– 3 x 3–( )–x 3–

----------------------------------------- 0=

2x 1– 3x– 9+x 3–

------------------------------------- 0=

x– 8+x 3–

---------------- 0=

x– 8+ 0=

x 8=

8 3≠

S 8{ }=

1x 1+------------ x2

x 1+------------ x–=

x 1–≠

1x 1+------------ x2

x 1+------------ x+– 0=

1x 1+------------ x2

x 1+------------ x x 1+( )

x 1+--------------------+– 0=

1 x2 x x 1+( )+–x 1+

----------------------------------------- 0=

1 x2– x x 1+( )+ 0=

1 x2– x2 x+ + 0=

1 x+ 0=

x 1–=

S ∅=

2x 3+x 1+

--------------- 5= x 1–x

------------ 72---= x 1

x---+ 2=


CC hapitre 2▼

� 52 �

Inéquations

A. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Méthode

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue :

� On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans le premier membre de l’inéquation pour se ramener àune inéquation du type : .

� Si , on divise les deux membres par a en appliquant la règle suivante :

– Si a > 0, le sens de l’inégalité ne change pas.

– Si a < 0, le sens de l’inégalité change.

� Si a = 0, deux cas sont possibles :

– Soit l’inéquation n’a pas de solution.

– Soit tout réel est solution.

Exemples

Exemple 1Résoudre dans � .

Exemple 2


On multiplie les deux membres par 12 qui est strictement positif.

ax b (ou ax b ) ; ax b (ou ax b )>≥<≤

a 0≠

2x 4 x 2+( )– x 5–≤2x 4x– 8 x 5–≤–

2x 4x– x 5– 8+≤–

3x 3≤–

x 1–≥

–1 0 1

S [–1; +∞[=

7x 1+6

--------------- 3x 1–4

--------------->

14x 2+12

------------------ 9x 3–12

--------------->

14x 2 9x 3–>+

14x 9x 2– 3–>–

5x 5–>x 1–>

–1 0 1

S ]–1; +∞[=


MA27 Séquence 2

� 53 �

B. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient

Méthode

� Pour trouver le signe d’un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle dessignes.� Pour trouver le signe d’un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur,

puis procéder comme pour le signe d’un produit (le signe de est le même que le signe de ).

Exemples

Exemple 1

Etudier le signe de suivant les valeurs du réel x.

a) On étudie le signe de chaque facteur :


Comme 0 > 2, l’inéquation n’admet aucune solution.


Comme 0 > –3, tout réel est solution.S = �

équivaut à équivaut à



3 x 1–( ) x 4x 5–≤+

3x 3– x 4x 5–≤+

3x x 4x 5– 3+≤–+

0x 2–≤

S ∅=

2 x 1–( ) x 3x 5–>+

2x 2– x 3x 5–>+

2x x 3x 2 5–>–+

0x 3–>

Exercice

Résoudre dans � les équations suivantes :a)

b)

c)

d)

e)

Exercice �

Résoudre le système :

➠ Aide : Résoudre chaque inéquation puis cher-

cher les solutions communes.

3x 7 0≤+

2x 3 x 4–>+

2x3

------ 4 x 2+≥–

2 3x 7+( ) 4 x 1+( ) 2x 3–+>x 1–

2------------ x 2+

3------------– 5≤

5 2x 3+( ) x 2–( )+ 4 x 7–( )>2 8 x–( )

3-------------------- x 1–

6------------– x

3--- x 6+

2------------–≥

⎩⎪⎨⎪⎧

AB---- A B×

x 1+( ) 2x 3–( )

x 1+ 0= x 1–= 2x 3– 0= x 32---=

x 1+ 0> x 1–> 2x 3– 0> x32--->

x 1+ 0< x 1–< 2x 3– 0< x32---<


Séquence 2 MA27

� 54 �

b) On reporte les résultats dans un tableau de signes :

Sur la première ligne, onindique les valeurs de xqui annulent le produitpar ordre croissant.

c) Conclusion

lorsque ou

lorsque x appartient à

lorsque x appartient à .

Exemple 2

Etudier le signe de suivant les valeurs du réel x.

a) On cherche pour quelles valeurs de x le quotient est défini.

Le quotient est défini pour c’est-à-dire .

b) On étudie le signe du numérateur et du dénominateur.

équivaut à c’est-à-dire équivaut à



c) On dresse le tableau de signes :

Lorsque x = – 4, le quo-tient n’est pas défini : onindique ceci à l’aided’une double barre.

x –∞ -1 +∞

Signe de (x+1) – 0 + +

Signe de – – 0 +

Signe du produit + 0 – 0 +

32---

2x 3–( )

x 1+( ) 2x 3–( ) 0= x 1–= x 32---=

x 1+( ) 2x 3–( ) 0> ]–∞; –1[ ]32---; +∞[∪

x 1+( ) 2x 3–( ) 0< ]–1; 32---[

1 3x–x 4+---------------

x 4 0≠+ x 4–≠

1 3x– 0= 3x 1= x 13---= x 4+ 0= x 4–=

1 3x– 0> 3x 1–>– x13---< x 4+ 0> x 4–>

1 3x– 0< 3x 1–<– x13---> x 4+ 0< x 4–<

x –∞ –4 +∞

Signe de + + 0 –

Signe de – 0 + +

Signe du quotient – + 0 –

13---

1 3x–

x 4+


MA27 Séquence 2

�

55

�

d)

Conclusion

lorsque



Exercice

�

Etudier à l’aide d’un tableau le signe des produits ou quotients :

C. Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un

Méthode

�

Regrouper tous les termes dans l’un des membres de manière à faire apparaître 0 dans l’autre membre.

�

Factoriser le membre non nul.

�

Etudier le signe du produit obtenu.

�

Conclure en donnant l’ensemble des solutions.

Exemples

Exemple 1

Résoudre dans

�

.

S = [–4; 4]

1 3x–x 4+--------------- 0= x 1

3---=

1 3x–x 4+--------------- 0> ]–4;

13---[

1 3x–x 4+--------------- 0< ]–∞; –4[ ]

13---; +∞[∪

a)

b)

c)

d)

P x( ) 3x 2+( ) 1 5x–( )=

Q x( ) 5x 4+x 2–

---------------=

R x( ) 2x– 7+( ) x2 1+( )=

T x( ) 3x–

x 1–( )2-------------------=

x2 16≤

x2 16 0≤–

x 4+( ) x 4–( ) 0≤

x –∞ –4 4 +∞

Signe de – 0 + +



x 4+

x 4–


Séquence 2 MA27

�

56

�

Exemple 2

Résoudre dans

�

.

➠

Remarque

Ne vous laissez pas tenter par des simplifications abusives. En effet l’inéquation : n’est pas équivalente à l’inéquation :

. L’ensemble des solutions de la deuxième inéquation est l’intervalle ]–2; +

∞

[.

D. Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur

Méthode

�

Déterminer les contraintes de l’inéquation.

�

Ramener l’inéquation à la forme ou ou .

�

Factoriser N et D si nécessaire.

�

Etudier le signe du quotient .

�

Conclure en donnant l’ensemble des solutions.

x 4–( ) 2x 3+( ) x 4–( ) x 1+( )>

x 4–( ) 2x 3+( ) x 4–( )– x 1+( ) 0>x 4–( ) 2x 3+( ) x 1+( )–[ ] 0>

x 4–( ) 2x 3 x– 1–+( ) 0>x 4–( ) x 2+( ) 0>

x –∞ –2 4 +∞


Signe de – 0 + +


x 4–

x 2+S ]–∞; –2[ ]4; +∞[∪=

x 4–( ) 2x 3+( ) x 4–( ) x 1+( )>2x 3+( ) x 1+( )>

Exercice

Résoudre dans � les inéquations suivantes :

a)

b)

c)

d) .

Exercice �

Soit

1) Développer et réduire f(x).2) Factoriser f(x).3) Résoudre dans � les inéquations suivantes :

a) b) .

2x 1–( ) 4 5x–( ) 0≤

x2 3 0<–

2x 1+( ) x 4–( ) 4x2 1–≤

x 1–( )2 3x 1–( )2≥

f x( ) 2x 3–( )2 3 2x 3–( )– x 1+( ).=

f x( ) 0≤ f x( ) 18>

ND---- 0 ou

ND---- 0<≤ N

D---- 0≥ N

D---- 0>

ND----


MA27 Séquence 2

� 57 �

Exemples

Exercice �

Résoudre dans � les inéquations suivantes :

a)

b)

c) .

Exemple 1


Cette inéquation est définie pour

c’est-à-dire pour .

On réduit au même dénominateur.

Exemple 2


Cette inéquation est définie pour c’est-

à-dire pour .

On factorise le numérateur.

x 3–x 2+------------ 3≤

x 2+ 0≠x 2–≠

x 3–x 2+------------ 3 0≤–

x 3–x 2+------------ 3 x 2+( )

x 2+--------------------– 0≤

x 3– 3x– 6–x 2+

--------------------------------- 0≤

2x– 9–x 2+

------------------- 0≤

x –∞ –2 +∞

+ 0 – –

– – 0 +

Quotient – 0 + –

92---–

2x– 9–

x 2+

S ]–∞; 92---] ] 2;+∞[–∪–=

4x 1–------------ x 1–≤

x 1 0≠–

x 1≠4

x 1–------------ x 1–( )– 0≤

4x 1–------------

x 1–( )2

x 1–------------------- 0≤–

4 x 1–( )2–x 1–

---------------------------- 0≤

2 x 1–( )+[ ] 2 x 1–( )–[ ]x 1–

-------------------------------------------------------------- 0≤

x 1+( ) x– 3+( )x 1–

--------------------------------------- 0≤

x –∞ –1 1 3 +∞

– 0 + + +

+ + + 0 –

– – 0 + +

Quotient + 0 – + 0 –

x 1+

x– 3+

x 1–

S [–1; 1[ [3; +∞[∪=

2x 5+x 2+

--------------- 0<

x 1+3 x–------------ 2≤

x 2+1

x 2+------------≥


CC

hapitre 3

▼

�

58

�

Statistiques 1

Résultats essentiels

➠

Vocabulaire

1) Population et individu

La population est l’ensemble des individus sur lequel vont porter les observations.

Exemple

Si une étude porte sur la marque, la puissance fiscale et le kilométrage du parc automobile d’une agence delocation, la population est l’ensemble des voitures du parc, l’individu est la voiture.

2) Caractère

Le caractère est la propriété étudiée.

Le caractère est

qualitatif

s’il n’est pas une valeur numérique.

Le caractère est

quantitatif

s’il peut être mesuré :– il est

discret

s’il ne prend que des valeurs isolées (en général entières);– il est

continu

s’il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.

Exemple

Dans l’exemple du parc automobile :– la marque est un caractère qualitatif ;– la puissance fiscale est un caractère quantitatif discret ;– le kilométrage est un caractère quantitatif continu.

3) Modalités

Les modalités sont les valeurs prises par le caractère.

4) Effectifs - fréquences

�

L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus présentant cette modalité.

�

La fréquence d’une modalité est le rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total de la popula-tion. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est 1.

➠

Représentations graphiques

1) Diagramme circulaire

Lorsque l’étude statistique porte sur un caractère qualitatif, chaque valeur du caractère est représentée par unsecteur angulaire dont la mesure est proportionnelle à l’effectif.


MA27 Séquence 2

�

59

�

2) Diagramme en bâtons

Lorsque le caractère est discret, chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueurest proportionnelle à l’effectif.

3) Histogramme des effectifs ou des fréquences

Un histogramme des effectifs (ou des fréquences) est constitué de rectangles ayant pour bases les amplitudesdes intervalles et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de ceux-ci.

Exemples

Exemple 1 : caractère qualitatif

Voici les orientations en fin d’année des 32 élèves d’une classe de seconde.

� Diagramme circulaire

La mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la fréquence du caractère correspondant.

Exemple 2 : caractère quantitatif discret

Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.

« Valeurs » du caractère

L ES S STT STI

Effectifs

6 8 10 6 2

Fréquences

Fréquences en %

18,75 % 25 % 31,25 % 18,75 % 6,25 %

« Valeurs » du

caractère

0 1 2 3 4 5

Effectifs

6 5 2 6 4 2

Fréquences

Effectifs cumu-

lés croissants

6 11 13 19 23 25

632------ 0 1875,= 8

32------ 0 25,= 10

32------ 0 3125,= 6

32------ 0 1875,= 2

32------ 0 0625,=

L ES

S

STT

STI

625------ 0 24,= 5

25------ 0 20,= 2

25------ 0 08,= 6

25------ 0 24,= 4

25------ 0 16,= 2

25------ 0 08,=


Séquence 2 MA27

�

60

�

�

Diagramme en bâtons

Exemple 3 : caractère quantitatif continu

Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant en euros des chèques reçus.

On obtient le tableau suivant : les différentes valeurs sont regroupées en classes.

�

Histogramme

L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle àl’effectif. Les classes n’ayant pas la même amplitude,on prend une amplitude de 10

€

comme intervalleunitaire (IU).

« Valeurs » du

caractère

[0, 10[ [10, 50[ [50, 75[ [75, 100[ [100, 150[

Effectifs

15 25 30 25 5

Fréquences 0,15 0,25 0,30 0,25 0,05

Fréquences

cumulées

croissantes

0,15 0,40 0,70 0,95 1

Montants EffectifsNombres

de IUEffectifs/IU

[0, 10[ 15 1 15

[10, 50[ 25 4

[50, 75[ 30 2,5

[75, 100[ 25 2,5

[100, 150[ 5 5

1 2 3 4 50

Nombred'enfants

Nombrede familles

1

10 50 75 100 150

1

6,25

15

aire unitaire

254

------ 6 25,=

302 5,------- 12=

252 5,------- 10=

55--- 1=


MA27 Séquence 2

�

61

�

Exercice �

Un restaurant veut établir des prévisions de com-mandes. Le restaurateur note pendant une semaine les choix effectués par sa clientèle.

1) Compléter la colonne des fréquences.2) Calculer la mesure de l’angle correspondant àchaque secteur circulaire.3) Représenter cette série statistique par un dia-gramme à secteurs circulaires.

Exercice �

Voici la répar-tition, suivantleur âge, de400 person-nes ayantassisté à laprojectiond’un film.

Etablir le tableau statis-

tique indiquant les effectifs et les fréquences cor-respondant à chaque classe d’âge, ainsi que la valeur de l’angle au centre de chaque secteur.

Exercice �

Le diagramme en bâtons ci-dessus indique la mar-que de calculatrice utilisée par les élèves d’unlycée.

1) Calculer le nombre d’élèves de ce lycée (chaqueélève a une calculatrice !).

2) Etablir le tableau statistique indiquant les effec-tifs, les fréquences.

Exercice �

Dans une usine, on a étudié l’âge des personnels.

1) Combien d’employés ont 40 ans et plus ?

2) Combien ont moins de 30 ans ?

3) Calculer, par rapport à l’effectif total, lepourcentage d’employés appartenant à la classe[25; 30[.

4) Représenter les données par un histogramme.

Exercice �

Le tableau ci-dessous donne la répartition destailles des 80 joueurs de basket participant à uneépreuve de sélection.

1) Compléter le tableau.2) Tracer l’histogramme des effectifs.

Type de menu Effectif FréquenceMesure de

l’angle

Menus à 10 € 60

Menus à 12 € 70

Menus à 20 € 40

Menus à 25 € 30

15%

20%

10% 30%

25%

[55/80[

[0/25[

[45/55[ [30/45[

[25/30[

Texas Casio HP autre

50

100

150

200

250

300

Nombred'élèves

Âges Effectifs

[20; 25[ 50

[25; 30[ 25

[30; 35[ 83

[35; 40[ 68

[40; 45[ 100

[45; 50[ 64

[50; 55[ 18

[55; 60[ 12

Tailles en cm EffectifsFréquences

en %

Fréquences

cumulées

croissantes

en %

[170; 180 [ 6

[180; 185 [ 8

[185; 190 [ 20

[190; 195 [ 24

[195; 205 [


Séquence 2 MA27

� 62 �

Exercice �

Une entreprise de transport fait une étude statistique sur le kilométrage mensuel effectué par sa flotte de 60véhicules.

On donne l’histogramme suivant :

1) A partir de l’histogramme ci-dessus, compléter le tableau suivant :

2) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru moins de 15 000 km.

3) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru au moins 20 000 km.

Kilométrage

parcouruEffectif Fréquence

Effectif

cumulé

croissant

Fréquence

cumulée

croissante

[0; 5000[

[5000; 10 000[

[10000; 15000 [

[15000; 20000 [

[20000 ; 25 000 [

[25000; 30000 [

50000

2

10

20

Nombrede véhicules

10000 15000 20000 25000 30000 km


CC hapitre 4▼

� 63 �

Statistiques 2

Connaissances indispensables➠ Caractéristiques de position

1) Mode

Le mode est la valeur du caractère ayant le plus grand effectif. Dans le cas de répartition en classe, on définitla classe modale.

2) Médiane

La médiane est la valeur du caractère qui partage l’effectif total en deux parties de même effectif.

Dans le cas d’un caractère discret :

– Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.

– Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.

Dans le cas d’un caractère continu, la médiane peut être obtenue par la lecture, sur le polygone des effectifs

cumulés, de l’abscisse du point ayant pour ordonnée (N étant l’effectif total).

3) Moyenne

Si sont les valeurs du caractère étudié et les effectifs correspondants, la moyennede la série statistique est :

Si la série statistique est continue, représente le centre de la classe .

➠ Caractéristiques de dispersion

Étendue

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.

Exemples

Exemple 1

Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.

Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5

Effectifs 6 5 2 6 4 2

N2----

x1 x2 … xp, , , n1 n2 … np, , ,

n1x1 n2x2 … npxp+ + +

n1 n2 … np+ + +------------------------------------------------------------= =

nixii 1=

n

∑

nii 1=

n

∑--------------------.

xi


Séquence 2 MA27

� 64 �

� la série a deux modes : 0 et 3.

� Il y a 25 familles étudiées. La médiane est alors le nombre d’enfants de la 13e famille soit 2. Il y a 12familles qui ont au plus deux enfants et 12 familles qui ont plus de deux enfants.

� Calcul de la moyenne

� L’étendue est égale à c’est à dire 5.

Exemple 2

Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant des chèques reçus.

Classe modale : [50; 75 [.

Médiane : on trace le polygone des effectifs cumulés croissants.

La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 50. On obtient environ 58.

Montant des chèques [0; 25[ [25; 50[ [50; 75[ [75; 100[ [100; 150[

Effectifs 15 25 30 25 5

Effectifs cumulés croissants 15 40 70 95 100

x 6 0 5 1 2 2 6 3 4 4 2 5×+×+×+×+×+×25

--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 12,= =

5 0–( )

5 25 50 75 100 150

10

50

100


MA27 Séquence 2

� 65 �

� Calcul de la moyenne

On prend le centre de chaque intervalle.

� L’étendue est égale à 150.

➠ Échantillons et fluctuation d’échantillonnage

� Un échantillon issu d’une population est l’ensemble de quelques éléments de cette population.

� La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qui appartiennent à cet échantillon.

� Les distributions des fréquences associées à plusieurs échantillons correspondant à une même populationsont en général différentes : on dit que la distribution des fréquences fluctue d’un échantillon à l’autre.

� Lorsque l’on augmente la taille des échantillons, on diminue l’amplitude de la fluctuation des distributionsdes fréquences associées à ces échantillons.

x 15 12 5,× 25 37 5, 30 62 5, 25 87 5, 5 125×+×+×+×+100

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 58 125,= =

Exercice En vue de la fabrication de fromages, une laitière a relevé le taux de matière grasse MG (en grammes par litre) de différents échantillons recueillis.Le tableau ci-dessous donne les résultats arrondis à l’unité, de ce relevé.

1) Calculer la moyenne et l’étendue de cettesérie statistique.

2) Déterminer le nombre d’échantillons dont letaux de matière grasse appartient à l’intervalle :

Quel pourcentage du total représente ce résultat ?

Exercice

Dans un atelier, on a relevé, pour un type demachines, les temps d’intervention du service demaintenance. Les résultats sont les suivants :

1) Construire le polygone des effectifs cumuléscroissants.Echelles : – en abscisse, 1 cm pour 10 min.

– en ordonnée, 1 cm pour 20 interventions.

2) Déterminer graphiquement la médiane.

3) On affecte l’effectif de chaque classe au centrede cette classe.Calculer le temps moyen d’intervention , .

4) a) Déterminer, à l’aide du graphique, le nombred’interventions dont la durée est comprise entre

.

b) Exprimer ce nombre en pourcentage de l’effec-tif total.

c) Le travail du service de maintenance est jugéde bonne qualité si 95 % des interventions cou-rantes ont une durée appartenant à l’intervalle

.Le travail de ce service est-il de bonne qualité ?

Exercice

Un commerçant a relevé en décembre 1998 lemontant des ventes suivantes :

1) Tracer l’histogramme des effectifs.

2) Déterminer le montant moyen des ventes.

Taux de MG (g/l) 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Effectif 1 2 5 2 3 1 4 1 1

Durée

(min)[0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[

Effectif :

Nombre

d’inter-

ventions

5 20 40 100 20 15

21

x

29 5 ; 33 5,,[ ]

22

Montant

des

ventes

[0; 30[ [30; 60[ [60; 90[ [90; 120[ [120; 150[

Nombre

de

ventes64 40 78 52 16

x

22 ; 109[ ]

22 ; 109[ ]

23


Séquence 2 MA27

� 66 �

Exercice

On simule 1 000 tirages de deux dés. On obtient :

On s’intéresse au jeu suivant : à chaque tirage, on fait correspondre le chiffre des unités du produit des deuxnombres apparus sur les deux dés. Ainsi, au tirage « 3 et 4 », on associe le nombre 2 puisque 2 est le chiffredes unités de .

a) Quelles sont les valeurs du caractère ?

b) Calculer la fréquence de chacune de ces valeurs.

c) Préciser la fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 ».

Tirages 1 et 1 1 et 2 1 et 3 1 et 4 1 et 5 1 et 6 2 et 2

Effectifs 25 51 56 58 54 55 29


Effectifs 53 57 59 56 31 54 52


Effectifs 57 28 56 54 27 60 28

Exercice

Romain a lancé 50 fois une pièce de monnaie et aobtenu PILE avec la fréquence de 0,44.Florence a lancé 100 fois la même pièce de mon-naie et a obtenu PILE avec la fréquence de 0,55.Claire, sur 75 lancers, arrive, pour PILE, à une fré-quence de 0,4.Romain, Florence et Claire décident de regrouperleurs résultats pour disposer d’un échantillon detaille 225 des résultats que l’on peut obtenir en lan-çant cette pièce.

Quelle sera la fréquence d’obtention de PILE surcet échantillon ?

Exercice

En affichant l’instruction rand (Texas Instrument)ou Ran # (Casio), puis on appuyant plusieurs foissur la fonction d’entrée, on a obtenu les deuxécrans suivants :

Écran 1 Écran 2

On utilise ces deux écrans pour simuler 120 tiragesd’une boule avec remise dans une urne qui contienttrois boules vertes, deux boules rouges et cinq bou-les jaunes. On convient que les chiffres 0, 1 et 2correspondent au tirage d’une boule verte, 3 et 4d’une boule rouge et 5, 6, 7, 8 et 9 d’une boulejaune.

Calculer la fréquence d’apparition de chacune des couleurs.

Exercice

1) Lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce quipeut tomber uniquement sur « pile » désigné par Pou sur « face » noté F, quels sont les quatre cas quel’on peut rencontrer ?

2) On utilise les deux écrans de l’exercice précé-dent. Au premier écran, on associe le résultat dupremier jet et au second, le résultat du second ; deplus, à chaque nombre pair, on associe P et à cha-que nombre impair F.

Si on considère la première ligne des deux écrans, on obtient les cinq premiers résultats suivants : PP, FP, FP, PP, PF. Déterminer la fréquence d’appari-tion de chacun des quatre cas au cours des 60 lan-cers de la pièce deux fois de suite, lancers simulés par les deux écrans.

rand• 23 72 03 47 15• 44 00 16 30 73• 15 99 46 41 83• 84 23 93 34 41• 55 38 76 05 20• 84 76 91 29 52

rand• 80 26 37 84 67• 48 61 87 78 48• 63 76 68 85 45• 24 68 33 64 44• 67 98 31 98 89• 69 32 51 47 78

24

25

26

27

12 3 4×=


QQ .CC .MM .▼

� 67 �

Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.

Réponse

1

Réponse

2

Réponse

3

� L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution –1

� L’équation 7x = 0 a pour solution – 7 0

� L’équation a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1

� L’équation a pour solution –1 1 et –1pas de

solution

� L’équation a pour solution 3 et

� L’équation a pour solution –1 – 1 et 3 0

� L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0]

L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; [ ] ; +∞[ ] ; +∞[

L’inéquation a pour ensemble solution

]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[

� L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[

� Les équations x = 2 et sont équivalentes. vrai faux

L’équation admet deux solutions vrai faux

�Sur un histogramme les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs

vrai faux

�Sur un histogramme les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs

vrai faux

� Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai fauxcela

dépend� La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux

� L’étendue peut être négative vrai fauxcela

dépend

�La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20 est égale à :

10 10,5 11

�L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 est égal à

6 0 1

�La moyenne et la médiane de la série de valeurs : 6, 7, 8, 9, 10 sont égales.

vrai faux

23---– 3

2---–

17---

x x 1+( ) 0=

x2 1+ 0=

x2 6= 66–

6

x 1+x 3–------------ 0=

3x 0≤

3 2x 0>–32--- 2

3--- 3

2---

3x x 1–( ) 0≤

3xx 1–------------ 0≤

x2 4=

2x x 1–( )2 0=


CC orrigés des Exercices et du Q.C.M▼

� 69 �

Chapitre 1Exercice �

a) . 1 est solution de l’équation : .

. –2 est solution de l’équation : .

b) et

et sont solutions de l’équation : .

Exercice �

1) On remplace x par –2 dans le premier membre de l’équation.

.Le résultat étant différent de 0, –2 n’est pas solution.

2) .

Donc .

est solution de l’équation : .

Exercice �

a)

b)

c)

d) e) f)

1( )2 2+– 1– 2+ 1= = x2– 2+ x=

2–( )2– 2+ 4– 2+ 2–= = x2– 2+ x=

2( )2 2= 2–( )2 2=

2 2– x2 2=

2–( )2 6 2–( )×+– 8+ 4– 12– 8+ 8–= =

3 17–( )2– 6 3 17–( ) 8++ 9 6 17– 17+( )– 18 6 17 8+–+=

3 17–( )2– 6 3 17–( ) 8++ 26– 6 17+= 26 6 17–+ 0=

3 17– x2– 6x 8–+ 0=

3x 2– 0=

3x 2=

x 23---=

S23---

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

1 2x– 0=

2x– 1–=

x 12---=

S12---

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

7x 0=

x 0=

S 0{ }=

13---x 8+ 9=

13---x 9 8–=

13---x 1=

x 3=

S 3{ }=

12---x 3x+ 2x 12–=

12---x 6x

2------+ 4x 24–

2------------------=

x 6x+ 4x 24–=

3x 24–=

x 8–=

S 8–{ }=

x2--- x

3---+ x 4+=

3x6

------ 2x6

------+ 6x 24+6

------------------=

3x 2x+ 6x 24+=

x– 24=

x 24–=

S 24–{ }=


Séquence 2 - Corrigés MA27

� 70 �

Exercice �a) b)

Exercice �

c) d)

a) b)

c) d)

3x 9 10–+ 2x 8 5x–+=

3x 2x– 5x+ 8 9– 10+=

6x 9=

x 96--- 3

2---= =

S32---

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

2x 1– 5x– 15– 4 3x–=

2x 5x– 3x+ 4 1 15+ +=

0x 20=

L’équation n’a pas de solution

S ∅=

18 12x– 2 10x+ + 20 2x–=

12x– 10x 2x+ + 20 18– 2–=

0x 0=

Tous les réels sont solutions

S �=

4 x 1–( )12

-------------------- 3 x 2+( )12

--------------------– 12 x 5–( )12

-----------------------=

4 x 1–( ) 3 x 2+( )– 12 x 5–( )=

4x 4– 3x– 6– 12x 60–=

4x 3x– 12x– 4 6 60–+=

11x– 50–=

x 5011------=

S5011------

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

2x( )2 32– 0=

2x 3–( ) 2x 3+( ) 0=

2x 3– 0 ou 2x 3+ 0= =

2x 3 ou 2x 3–= =

x 32---= ou x 3

2---–=

S32--- ; 3

2---–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 1+( )2 3( )2– 0=

x 1 3–+( ) x 1 3+ +( ) 0=

x 1 3–+ 0 ou x 1 3+ + 0= =

x = 1– 3 ou x+ 1– 3–=

S 1 3+– ; 1– 3–{ }=

2 x 2+( )[ ]2 x 3+( )2– 0=

2 x 2+( ) x 3+( )–[ ] 2 x 2+( ) x 3+( )+[ ] 0=

2x 4 x– 3–+( ) 2x 4 x 3+ + +( ) 0=

x 1+( ) 3x 7+( ) 0=

x 1+ 0 ou 3x 7+ 0= =

x 1 ou 3x– 7–= =

x 1 ou x– 73---–= =

S 1 73---–;–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 4–( ) x 4+( ) 3 x 4+( ) x 1+( )=

x 4–( ) x 4+( ) 3 x 4+( ) x 1+( )– 0=

x 4+( ) x 4–( ) 3 x 1+( )–[ ] 0=

x 4+( ) x 4– 3x– 3–( ) 0=

x 4+( ) 2x– 7–( ) 0=

x 4 = 0 ou 2x– 7–+ 0=

x 4 ou 2x–– 7= =

x 4 ou x– 72---–= =

S 4; 72---––

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=


MA27 Séquence 2- Corrigés

� 71 �

e)

Exercice �

a) b)

Exercice �

1)

2)

3) a) b)

2x 1+( )2 2x 1+( ) x 5–( )=

2x 1+( )2 2x 1+( ) x 5–( )– 0=

2x 1+( ) 2x 1+( ) x 5–( )–[ ] 0=

2x 1+( ) 2x 1 x– 5+ +( ) 0=

2x 1+( ) x 6+( ) 0=

2x 1+ 0 ou x 6+ 0= =

x12--- ou x– 6–= =

S 12---– 6–;

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 3+( )2 7x– 12 x2 4+–+ 0=

x2 6x 9 7x– 12 x2 4+–+ + + 0=

x– 25+ 0=

x– 25–=

x 25=

S 25{ }=

x 5–( )2 9 x 2+( )2–+ 0=

x2 10x– 25 9 x2 4x 4+ +( )–+ + 0=

x2 10x– 25 9 x2 4x– 4––+ + 0=

14x– 30+ 0=

14x– 30–=

x 3014------ 15

7------= =

S157------

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

f x( ) 9x2 12x– 4+( )= 2 3x2 9x– 2x– 6+( )–

f x( ) 9x2 12x– 4 6x2 18x 4x 12–+ +–+=

f x( ) 3x2 10x 8–+=

f x( ) 3x 2–( ) 3x 2–( ) 2 x 3–( )–[ ]=

f x( ) 3x 2–( ) 3x 2– 2x– 6+( )=

f x( ) 3x 2–( ) x 4+( )=

f x( ) 0=

3x 2–( ) x 4+( ) 0=

3x 2– 0 ou x 4+ 0= =

3x 2 ou x 4–= =

x 23---= ou x 4–=

S23--- ; 4–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

f x( ) 8–=

3x2 10x 8–+ 8–=

3x2 10x 8– 8+ + 0=

x 3x 10+( ) 0=

x 0 ou 3x 10+ 0= =

x 0 ou x 103

------–= =

S 0; 103

------–⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=



� 72 �

c)

Exercice

c)

Cette équation est définie pour

Comme , l’équation admet une seule solution : 1.

f x( ) x 4+=

3x 2–( ) x 4+( ) x 4+( )– 0=

x 4+( ) 3x 2–( ) 1–[ ] 0=

x 4+( ) 3x 3–( ) 0=

x 4+ 0 ou 3x 3– 0= =

x 4 ou x– 1= =

S 4 1;–{ }=

a)

Cette équation est définie pour

Comme , l’équation admet une seule

solution : .

b)

Cette équation est définie pour .

Comme , l’équation admet une seule solu-

tion : .

2x 3+x 1+

--------------- 5=

x 1–≠2x 3+x 1+

--------------- 5– 0=

2x 3 5 x 1+( )–+x 1+

------------------------------------------ 0=

2x 3 5x– 5–+ 0=

3x– 2– 0=

3x– 2=

x 23---–=

23--- 1–≠–

23---–

S 23---–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 1–x

------------ 72---=

x 0≠x 1–

x------------ 7

2---– 0=

2 x 1–( ) 7x–2x

-------------------------------- 0=

2x 2– 7x– 0=

5x– 2– 0=

5x– 2=

x 25---–=

25--- 0≠–

25---–

S 25---–

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

x 1x---+ 2=

x 0≠

x2 1+x

--------------- 2xx

------=

x2 1 2x–+x

--------------------------- 0=

x 1–( )2 0=

x 1– 0=

x 1=

1 0≠

S 1{ }=



� 73 �

Chapitre 2Exercice

a) b)

c)

d)

e)

Exercice �On résout chaque inéquation.

3x 7+ 0≤3x 7–≤

x 73---–≤

S ]–∞; 73---]–=

2x 3 x 4–>+

2x x 4– 3–>–

x 7–>S ]–7; +∞[=

2x3

------ 4 x 2+≥–

2x3

------123------ 3x 6+

3---------------≥–

2x 12– 3x 6+≥2x 3x 6 12+≥–

x 18≥–

x 18–≤S ]–∞: –18]=

2 3x 7+( ) 4 x 1+( ) 2x 3–+>6x 14+ 4x 4 2x 3–+ +>6x 4x– 2x 4 3– 14–>–

0x 13–>Comme 0 13, tout réel est solution–>S �=

x 1–2

------------ x 2+3

------------– 5≤

3 x 1–( )6

--------------------2 x 2+( )

6-------------------- 30

6------≤–

3 x 1–( ) 2 x 2+( ) 30≤–

3x 3– 2x– 4 30≤–

x 37≤S ]–∞; 37]=

5 2x 3+( ) x 2–( )+ 4 x 7–( )>10x 15 x 2 4x 28–>–+ +

10x x 4x 15– 2 28–+>–+

7x 41–>

x 417------–>

S1 ]–417

------ ; ∞[+=

16 2x–3

------------------ x 1–6

------------– x3--- x 6+

2------------–≥

2 16 2x–( )6

-------------------------- x 1–6

------------– 2x6

------ 3 x 6+( )6

--------------------–≥

2 16 2x–( ) x 1–( ) 2x 3 x 6+( )–≥–

32 4x– x– 1 2x 3x– 18–≥+

4x– x– 2x– 3x 18– 32– 1–≥+

4x 51–≥–

x514------≤

S2 ] ∞; 514

------]–=



� 74 �

On cherche les solutions communes

L’ensemble des solutions du système est : .

Exercice �a)

b)

c) Pour tout réel x, est strictement positif

417

– 514

0 1 S2

S1

417

------–514

------;

x –∞ +∞

– 0 + +

+ + 0 –

– 0 + 0 –

23---–

15---

3x 2+

1 5x–

P x( )

x –∞ 2 +∞

– 0 + +

– – 0 +

+ 0 – +

45---–

5x 4+

x 2–

Q x( )

x2 1+

x –∞ +∞

+ 0 –

+ +

+ 0 –

72---

2x– 7+

x2 1+

R x( )



� 75 �

d)

Exercice

a)

b) On factorise

c)

x –∞ 0 1 +∞

–3x + 0 – –

+ + 0 +

+ 0 – –

x 1–( )2

T x( )

2x 1–( ) 4 5x–( ) 0≤

x –∞ +∞

– 0 + +

+ + 0 –

Produit – 0 + 0 –

12--- 4

5---

2x 1–

4 5x–

S ] ∞; 12---] [

45---;+∞[∪–=

x2 3–

x 3–( ) x 3+( ) 0<

x –∞ +∞

– – 0 +

– 0 + +

Produit + 0 – 0 +

3– 3

x 3–

x 3+

S ] 3 ; 3[–=

2x 1+( ) x 4–( ) 2x 1–( ) 2x 1+( )≤2x 1+( ) x 4–( ) 2x 1–( ) 2x 1+( ) 0≤–

2x 1+( ) x 4–( ) 2x 1–( )–[ ] 0≤2x 1+( ) x 4– 2x– 1+( ) 0≤2x 1+( ) x– 3–( ) 0≤

x –∞ –3 +∞

– – 0 +

+ 0 – –


12---–

2x 1+

x– 3–

S ]–∞; –3] [12--- +∞[;–∪=



�

76

�

d)

Exercice

�

1)

2)

3)

a)

b)

x 1–( )2 3x 1–( )2– 0≥x 1–( ) 3x 1–( )–[ ] x 1–( ) 3x 1–( )+[ ] 0≥

x 1– 3x– 1+( ) x 1– 3x 1–+( ) 0≥2x 4x 2–( )– 0≥

x –∞ 0 +∞

–2x + 0 – –

– – 0 +


12---

4x 2–

S 0 12---;=

f x( ) 4x2 12x– 9+( ) 3 2x2 2x 3x– 3–+( )–=

f x( ) 4x2 12x– 9+( ) 3 2x2 x– 3–( )–=

f x( ) 4x2 12x– 9 6x2 3x 9+ +–+ 2x2– 9x– 18+= =

f x( ) 2x 3–( ) 2x 3–( ) 3 x 1+( )–[ ]=

f x( ) 2x 3–( ) 2x 3– 3x– 3–( )=

f x( ) 2x 3–( ) x– 6–( )=

f x( ) 0≤2x 3–( ) x– 6–( ) 0≤

x –∞ –6 +∞

– – 0 +

+ 0 – –

– 0 + 0 –

32---

2x 3–

x– 6–

f x( )

S ]–∞; –6]= [32---; +∞[∪

f x( ) 18>

2x2– 9x– 18 18 0>–+

2x2– 9x 0>–

x 2x– 9–( ) 0>

x –∞ 0 +∞

x – – 0 +

+ 0 – –


92---–

2x– 9–

S ]-92---; 0[=



� 77 �

Exercice �

a)

Cette inéquation est définie pour .

b)


c)


2x 5+x 2+

--------------- 0<

x 2–≠

x –∞ +∞

– 0 + +

– – 0 +

Quotient + 0 – +

52---– 2–

2x 5+

x 2+

S ] 52--- 2–; [–=

x 1+3 x–------------ 2≤

x 3≠x 1+3 x–------------ 2 0≤–

x 1 2 3 x–( )–+3 x–

-------------------------------------- 0≤

x 1 6– 2x+ +3 x–

---------------------------------- 0≤

3x 5–3 x–

--------------- 0≤

x –∞ 3 +∞

– 0 + +

+ + 0 –

Quotient – 0 + –

53---

3x 5–

3 x–

S ]–∞; 53---] ]3 +∞[;∪=

x 21

x 2+------------≥+

x 2–≠x –∞ –3 –2 –1 +∞

– – – 0 +

– 0 + + +

– – 0 + +

Quotient – 0 + – 0 +

x 1+

x 3+

x 2+

x 21

x 2+------------ 0≥–+

x 2+( )2 1–x 2+

----------------------------- 0≥

x 2 1–+( ) x 2 1+ +( )x 2+

----------------------------------------------------- 0≥

x 1+( ) x 3+( )x 2+

---------------------------------- 0≥

S [–3; -2[ [–1; +∞[∪=



� 78 �

Chapitre 3Exercice �

Exercice �

Exercice �

1)

Il y a 800 élèves dans ce lycée.

Type de menu Effectif Fréquence Mesure de l’angle

Menus à 10 € 60

Menus à 12 € 70

Menus à 20 € 40

Menus à 25 € 30

Âge Effectif Fréquence Mesure de l’angle

[0; 25[ 0,20

[25; 30[ 0,25

[30; 45[ 0,30

[45; 55[ 0,10

[55; 80[ 0,15

60200--------- 0 30,= 360 0 3,× 108°=

70200--------- 0 35,= 360 0 35,× 126°=

40200--------- 0 20,= 360 0 20,× 72°=

30200--------- 0 15,= 360 0 15,× 54°=

Menuà 12 €

Menuà 10 €

Menuà 25 €

Menuà 20 €

400 0 2,× 80= 360 0 2,× 72°=

400 0 25,× 100= 360 0 25,× 90°=

400 0 3,× 120= 360 0 30,× 108°=

400 0 1,× 40= 360 0 10,× 36°=

400 0 15,× 60= 360 0 15,× 54°=

300 250 100 150+ + + 800=



� 79 �

2)

Exercice �

1) 100 + 64 +18 +12 = 194194 employés ont 40 ans et plus.

2) 50 + 25 = 7575 employés ont moins de 30 ans.

3) Effectif total : 50 + 25 + 83 + 68 + 100 + 64 + 18 + 12 = 420Pourcentage d’employés appartenant à la classe [25; 30[ :

Il y a environ 5,95 % d’employés appartenant à la classe [25; 30[.

4)

Exercice �1)

Marque de calculatrice Effectifs Fréquences

Texas 300

Casio 250

H.P. 100

Autre 150

Tailles Effectifs Fréquences en %Fréquences cumulées

croissantes en %

[170; 180[ 6 7,5 7,5

[180; 185[ 8 10 17,5

[185; 190[ 20 37,5

[190; 195[ 24 30 67,5

[195; 205[ 26 32,5 100

300800--------- 0 375,=

250800--------- 0 3125,=

100800--------- 0 125,=

150800--------- 0 1875,=

25 100×420

--------------------- 5 95,≈

200

101218

6468

83

100

25 30 35 40 45 50 55 60

80 0 2,× 16=



� 80 �

2)

Les classes n’ayant pas la même amplitude, on prend une amplitude de 5 cm comme intervalle unitaire.

Exercice �

1)

2) 2 + 8 + 10 = 20

20 véhicules ont parcouru moins de 15 000 km.

3) 20 + 4 = 24

24 véhicules ont parcouru au moins 20 000 km.

Kilométrage Effectif FréquenceEffectif cumulé

croissant

Fréquence cumu-

lée croissante

[0; 5000[ 2 2

[5000; 10000[ 8 10

[10000; 15000[ 10 20

[15000; 20000[ 16 36

[20000; 25000[ 20 56

[25000; 30000[ 4 60 1

170

23

10

13

20

aire unitaire

180 190 200

1

260------ 1

30------= 1

30------

860------ 2

15------= 10

60------ 1

6---=

1060------ 1

6---= 20

60------ 1

3---=

1660------ 4

15------= 36

60------ 3

5---=

2060------ 1

3---= 56

60------ 14

15------=

460------ 1

15------=



� 81 �

Chapitre 4

Exercice

1) Moyenne :

2) Étendue : 36 – 28 = 8.

Nombre d’échantillons appartenant à l’intervalle :

5 + 2 + 3 +1 = 11

Pourcentage :

Le pourcentage est de 55 %.

Exercice

1)

Voir graphique page suivante.

2) La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 100. On obtient environ 67.

3)

4) a) Nombre d’interventions dont la durée appartient à

192 – 8 = 184Il y a environ 184 interventions dont la durée est comprise entre 22 mn et 109 mn.

b) Pourcentage :

Le pourcentage cherché est de 92 %.

c) Puisque 92 < 95, le travail de ce service n’est pas de bonne qualité.

Durée [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[

Effectif 5 20 40 100 20 15

Effectif cumulé

croissant5 25 65 165 185 200

21

x 1 28 2 29 5 30 2 31 3 32 1 33 4 34 1 35 1 36×+×+×+×+×+×+×+×+×1 2 5 2 3 1 4 1 1+ + + + + + + +

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

x 63420--------- 31 7,= =

29 5 33 5,;,[ ]

11 100×20

--------------------- 55=

22

x 5 10 20 30 40 50 100 70 20 90 15 110×+×+×+×+×+×200

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 65 5,= =

22 109;[ ]

184 100×200

------------------------ 92=



� 82 �

Exercice

1)

10

20

8

100

200192

Nombred'interventions

2022

40 60 67 80 100 120 Durée (mn)109

23

300

10

16

40

52

60 90 120 150

64

78

Montant des ventes

Nombres de ventes



� 83 �

2)

Le montant moyen des ventes est de 64,92 €.

Exercice

Nombre de tirages « Pile » obtenus par Romain : .

Nombre de tirages « Pile » obtenus par Florence : .

Nombre de tirages « Pile » obtenus par Claire : .

La fréquence d’obtention de Pile sur cet échantillon de taille 225 est égale à :

c’est-à-dire 0,48 à 10-2 près.

Exercice

Exercice

1) Les quatre cas sont les suivants : PP, PF, FP, FF.

2)

Exercice

a) Les valeurs du caractère sont :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 9.

b)

c) 0, 3, 6 et 9 sont des multiples de 3.

La fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 » est donc égale à :

0,175 + 0,056 + 0,164 + 0,031 = 0,426.

Tirages boule verte boule rouge boule jaune

Effectifs 25 33 62

Fréquences

Résultats PP PF FP FF

Effectifs 22 7 14 17

Fréquences

Valeurs 0 1 2 3 4

Effectifs 25 56

Fréquences 0,175 0,025 0,161 0,056 0,141

5 6 8 9

31

0,133 0,164 0,114 0,031

x 64 15 40 45 78 75 52 105 16 135×+×+×+×+×250

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= x 64 92,=

24

0 44 50×, 22=

0 55 100×, 55=

0 4 75×, 30=

22 55 30+ +225

------------------------------ 107225---------=

25

25120--------- � 0 208,

33120--------- � 0 275,

62120--------- � 0 517,

26

2260------ � 0 367,

760------ � 0 117,

1460------ � 0 233,

1760------ � 0 283,

27

59 56 60+ + 175= 51 56 54+ + 161= 58 29 54+ + 141=

54 52 27+ + 133= 55 53 28 28+ + + 164= 57 57+ 114=



� 84 �

Q.C.M

Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.

Réponse

1

Réponse

2

Réponse

3

� L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution –1 �

� L’équation 7x = 0 a pour solution – 7 0 �

� L’équation a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1 �

� L’équation a pour solution –1 1 et –1pas de

solution�

� L’équation a pour solution 3 et

�

� L’équation a pour solution –1 – 1 et 3 0 �

� L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0] �

L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; [ ] ; +∞[ ] ; +∞[ �

L’inéquation a pour ensemble solution

]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[ �

� L’inéquation a pour ensemble solution ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[ �

� Les équations x = 2 et sont équivalentes. vrai faux �

L’équation admet deux solutions vrai faux �

�Sur un histogramme les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs

vrai faux �

�Sur un histogramme les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs

vrai faux �

� Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai fauxcela

dépend�

� La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux �

� L’étendue peut être négative vrai fauxcela

dépend�

�La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20 est égale à :

10 10,5 11 �

�L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 est égal à

6 0 1 �

�La moyenne et la médiane de la série de valeurs : 6, 7, 8, 9, 10 sont égales

vrai faux �

23---– 3

2---–

17---

x x 1+( ) 0=

x2 1+ 0=

x2 6= 66–

6

x 1+x 3–------------ 0=

3x 0≤

3 2x 0>–32--- 2

3--- 3

2---

3x x 1–( ) 0≤

3xx 1–------------ 0≤

x2 4=

2x x 1–( )2 0=


al7 ma27tepa0009 sequence-02

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