agrégation math 2009

7/31/2019 Agrgation Math 2009

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MINISTRE DE LDUCATION NATIONALE

DIRECTION GNRALE DES RESSOURCES HUMAINES

RAPPORT DE JURY DE CONCOURS

AGRGATION DE MATHMATIQUES

CONCOURS EXTERNE

Session 2009

LES RAPPORTS DES JURYS DE CONCOURS SONT TABLIS SOUS LA RESPONSABILIT DES PRSIDENTS DE JURY


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Table des matires

1 Composition du jury 4

2 Droulement du concours et statistiques 7

2.1 Droulement du concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Statistiques et commentaires gnraux sur la session 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 preuve crite de mathmatiques gnrales 16

3.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Rapport sur lpreuve crite de mathmatiques gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 preuve crite danalyse et probabilits 43

4.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Rapport sur lpreuve crite danalyse et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 preuves orales : Algbre et Gomtrie ; Analyse et Probabilits ; Mathmatiques pour lInforma-tique. 63

5.1 Organisation des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Premire partie : prsentation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.2 Deuxime partie : le dveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.3 Troisime partie : questions et dialogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.4 Rapport dtaill sur les preuves orales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Remarques sur lpreuve de leon de mathmatiques - Option D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Remarques sur lpreuve de leon dinformatique - Option D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 preuve orale de modlisation 75

6.1 Organisation de lpreuve de modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Utilisation de loutil informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Option A : probabilits et statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.4 Option B : Calcul scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5 Option C : Algbre et Calcul formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.6 Option D : modlisation et analyse de systmes informatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.6.1 Remarques spcifiques sur lexercice de programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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Agrgation externe de mathmatiques Rapport du jury pour la session 2009

7 Annexe 1 : Leons doral (options A, B et C) proposes en 2009 84

8 Annexe 2 : Leons de mathmatiques pour linformatique et leons dinformatique 91

9 Annexe 3 : Le programme 2009 - 2010 96

9.1 Programme du tronc commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.1.1 Algbre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.1.2 Groupes et gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.1.3 Anneaux, corps, polynmes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.1.4 Formes bilinaires et quadratiques sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.1.5 Gomtries affine, projective et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.1.6 Analyse une variable relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.1.7 Analyse une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.1.8 Calcul diffrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.1.9 Calcul intgral et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.1.10 Analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.1.11 Gomtrie diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.2 preuves crites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.3 preuves orales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.3.1 preuves orales des options A, B, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.3.2 Modlisation : programme de la partie commune aux options A, B, C . . . . . . . . . . . 103

9.3.3 Programme spcifique de loption A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.3.4 Programme spcifique de loption B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.3.5 Programme spcifique de loption C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.4 preuves de loption D : informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.4.1 Algorithmique fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.4.2 Automates et langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.4.3 Calculabilit, dcidabilit et complexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.4.4 Logique et dmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10 Annexe 4 : La bibliothque de lagrgation 108

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Chapitre 1

Composition du jury

Directoire

Foulon Patrick, Prsident Professeur des UniversitsBoug Luc, Vice-prsident Professeur des UniversitsMoisan Jacques, Vice-prsident Inspecteur gnralTorossian Charles, Vice-prsident Inspecteur gnral

Van der Oord Eric, Vice-prsident Inspecteur gnral

Chevallier Jean-Marie, Secrtaire gnral Matre de confrences

Boisson Franois, Directoire Professeur de chaire suprieureDurand-Lose Jrme, Directoire Professeur des UniversitsGoudon Thierry, Directoire Professeur des Universits

Lvy Thierry, Directoire Charg de recherchesMestre Jean Franois, Directoire Professeur des UniversitsPetazzoni Bruno, Directoire Professeur de chaire suprieure

Abergel Luc Professeur de chaire suprieureBachmann Florence Professeure agrgeBarou Genevive Matre de confrencesBaumann Pierre Charg de rechercheBayle Lionel Matre de confrencesBechata Abdellah Professeur agrgBennequin Daniel Professeur des Universits

Bernis Laurent Professeur de chaire suprieureBertrand Pierre Directeur de rechercheBiolley Anne-Laure Professeure agrgeBlanloeil Vincent Matre de confrencesBonnaillie-Noel Virginie Charge de rechercheBonnefont Claire Professeure de chaire suprieureBorel Agns Professeure de chaire suprieureBouton-Drouhin Catherine Professeure de chaire suprieureBoyer Franck Professeur des UniversitsBremont Julien Matre de confrencesCadoret Anna Matre de confrences

Caldero Philippe Matre de confrences

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Cerf-Danon Hlne Professeure de chaire suprieureChabanol Marie-Line Matre de confrencesChafa Djalil Charg de recherchesChardin Marc Charg de recherchesChevallier Marie-Elisabeth Professeure de chaire suprieureChills Alain Professeur de chaire suprieure

Contejean Evelyne Charge de rechercheCori Ren Matre de confrencesCorreia Hubert Professeur de chaire suprieureCzarnecki Marco Professeur des universitsDe la Bretche Rgis Professeur des UniversitsDe Seguins Pazzis Clment Professeur agrgDomelevo Komla Matre de confrencesDozias Sandrine Professeure de chaire suprieureDumas Laurent Matre de confrencesFavennec Denis Professeur de chaire suprieureFeauveau Jean-Christophe Professeur de chaire suprieure

Fleurant Sandrine Professeure agrgeFontaine Philippe Professeur de chaire suprieureFontanez Franoise Professeure agrgeFort Jean-Claude Professeur des UniversitsGallois Mirentchu Professeure agrgeGamboa Fabrice Professeur des UniversitsGaudry Pierrick Charg de rechercheGaussier Herv Professeur des UniversitsGodefroy Gilles Directeur de rechercheGuelfi Pascal Professeur de chaire suprieureGuibert Gil Professeur agrg

Haas Bndicte Matre de confrencesHanrot Guillaume Charg de rechercheHarinck Pascale Charge de rechercheHernandez David Charg de rechercheHirsinger Odile Professeure agrgeHubert Evelyne Charge de recherchesIsaa Jrme Professeur agrgIstas Jacques Professeur des UniversitsJulg Pierre Professeur des UniversitsKostyra Marie-Laure Professeure agrgeLafitte Pauline Matre de confrences

Le Merdy Sylvie Professeure agrgeLefevre Pascal Professeur des UniversitsLvy Vhel Jacques Directeur de rechercheLoiseau Bernard Professeur de chaire suprieureMaggi Pascale Professeure de chaire suprieureMarchal Philippe Charg de rechercheMthou Edith Professeure agrgeMeunier Nicolas Matre de confrencesMzard Ariane Professeure des UniversitsMonier Marie Professeure agrgeNoble Pascal Matre de confrences

Paroux Katy Matre de confrences

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Pennequin Denis Matre de confrencesPeyre Emmanuel Professeur des UniversitsPhilibert Bertrand Professeur agrgPrieur Christophe Charg de recherchePrieur Clmentine Professeure des UniversitsRgnier Mireille Directrice de recherche

Risler Jean-Jacques Professeur des UniversitsSamson Adeline Matre de confrencesSauloy Jacques Matre de confrencesSauvageot Franois Matre de confrencesSauv Marie Professeure agrgeSeuret Stphane Matre de confrencesSidaner Sophie Professeure de chaire suprieureSuffrin Frdric Professeur agrgTaieb Franck Professeur de chaire suprieureTeillaud Monique Charge de rechercheTosel Emmanuelle Professeure agrge

Tosel Nicolas Professeur de chaire suprieureVernier le Goff Claire Professeure agrgeVincent Christiane Professeure de chaire suprieureWeil Jacques-Arthur Matre de confrencesZayana Karim Professeur agrgZeitoun Marc Professeur des UniversitsZwald Laurent Matre de confrences

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Chapitre 2

Droulement du concours et statistiques

2.1 Droulement du concours

Les preuves crites se sont droules selon le calendrier suivant :

preuve de mathmatiques gnrales : mardi 7 avril 2009 ; preuve danalyse et probabilits : mercredi 8 avril 2009 .

La liste dadmissibilit a t publie le mardi mardi 2 juin 2009.

Loral sest droul du 26 juin au 15 juillet au lyce Marcelin-Berthelot de Saint-Maur-des-Fosss. La listedadmission a t publie le lundi 17 juillet 2009.

Depuis 2006 le concours propose quatre options qui se distinguent seulement pour les trois premires A, B,C, par les preuves de modlisation et loption D (informatique) avec trois preuves orales spcifiques. En2009 comme en 2008, on peut constater que dans les trois premires options, les nombres dinscrits sontsimilaires ; ils sont toujours et cest bien comprhensible nettement infrieurs dans loption D. Dans les

quatre options, les pourcentages dadmis sont similaires. Nous continuons, tant que ces options ne sont passtabilises, ne pas donner de statistiques dtailles par option.

Le nom officiel, concours externe de recrutement de professeurs agrgs stagiaires , montre clairementque, par le concours dagrgation, le ministre recrute des professeurs agrgs destins, selon leur statut, lenseignement secondaire (lyces denseignement gnral et technologique et, exceptionnellement, col-lge) ou lenseignement suprieur (universits, instituts universitaires de technologie, grandes coles,classes prparatoires aux grandes coles, sections de techniciens suprieurs). lissue du concours, lescandidats admis sont normalement placs comme stagiaires. Les diffrentes possibilits de stage (stage enformation lIUFM, stage en situation dans un tablissement secondaire, stage en CPGE, stage commeATER, etc.) sont dtailles dans la note de service n2005-038 du 2 mars 2005.

Des reports de stage peuvent tre accords par la DGRH 1 pour permettre aux laurats deffectuer des tudesdoctorales ou des travaux de recherche dans un tablissement ou organisme public franais 2 ; les lves descoles Normales Suprieures en bnficient automatiquement pour terminer leur priode de scolarit.

Le programme, la nature des preuves crites et orales, font lobjet de publications au bulletin officiel duministre de lducation nationale (B.O.), et leur actualisation peut tre consulte sous forme lectroniquesur le site de la DPE, ladresse

http://www.education.gouv.fr/siac/siac2/default.htm

1. Directiongnrale des ressources humaines (personnelsenseignants de seconddegr) du ministre de lducation nationale.2. La DGRH demande une attestation de poursuite de recherches, ou dfaut une autorisation sinscrire dans une formation

de troisime cycle universitaire. Les candidats doivent se munir dune telle attestation et la fournir pendant loral.

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ou sur le site de lagrgation externe de mathmatiques, ladresse

http://www.agreg.org,

o se trouvent aussi tous les renseignements pratiques concernant les sessions venir.

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2.2 Statistiques et commentaires gnraux sur la session 2009

Aprs la diminution sensible du nombre de postes au concours 2006 (de 388 postes en 2005 290 postes en2006 et 2007 soit une diminution de plus de 23%), le nombre de postes proposs au concours a subi unenouvelle baisse de 13% en 2008 pour se stabiliser 252 en 2008 et 2009.

Laugmentation rgulire du nombre dinscrits constate depuis le concours 2004 a plafonn en 2006-07 .

Les nombres dinscrits et surtout les nombres de prsents aux deux preuves dcrit en 2008 et 2009 sont enbaisse sensible : cest certainement la consquence de la diminution du nombre de postes mis au concours.

Une analyse plus fine montre que cette diminution est due une diminution du nombre de candidats dansles catgories des tudiants hors ENS. 3

Anne Total Inscrits Total Prsentstudiants

PrsentsENSPrsents

Postes pourvoir

Prsents parposte

2001 2663 1828 857 105 310 5,92002 2343 1584 753 95 320 5,02003 2217 1463 657 93 360 4,12004 2333 1470 735 76 321 4,62005 2560 1644 795 105 388 4,22006 2849 1853 800 129 290 6,42007 2801 1722 800 106 290 5,92008 2491 1579 659 119 252 6,32009 2351 1384 585 116 252 5,5

volution du nombre de prsents aux deux preuves dcrit

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Effectifs Total Prsents

tudiants PrsentsENS PrsentsPostes pourvoir

3. dans cette population, sont regroupes les catgories tudiant et lve de 1r e anne dIUFM .

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lissue de la dlibration dcrit, 553 candidats ont t dclars admissibles ; le premier admissible avaitune moyenne de 20/20 et le dernier une moyenne de 8,5/20. Finalement, lissue des preuves orales, les252 postes offerts au concours ont t pourvus; le premier admis a une moyenne de 19,8/20, le dernieradmis une moyenne de 10,15/20.

On trouvera dans les pages qui suivent diffrents tableaux et graphiques constituant le bilan statistique duconcours selon diffrents critres (gographie, genre, catgorie professionnelle, ge). Dans ces tableaux,

tous les pourcentages sont calculs par rapport aux prsents.

CATGORIES INSCRITS PRSENTS ADMISSIBLES ADMIS % admissibles % admis

LVE IUFM 1re ANNE 135 95 10 2 10,5 2,1

LVE D'UNE ENS 123 116 114 98 98,3 84,5

TUDIANT 582 490 254 131 51,8 26,7

SALARI SECTEUR PRIV 86 31 14 4 45,2 12,9

SANS EMPLOI 102 39 12 4 30,8 10,3

ENSEIGNANT DU SUPRIEUR 21 12 4 1 33,3 8,3

AGRG 9 1 0 0 0,0 0,0

CERTIFI 848 411 99 5 24,1 1,2

PLP 39 7 0 0 0,0 0,0

AUTRE ENSEIGNANT 2nd DEGR 318 151 39 5 25,8 3,3

ENSEIGNANT 1er DEGR 4 0 0 0

AUTRE FONCTIONNAIRE 13 4 1 0 25,0 0,0

SURVEILLANT 27 13 1 0 7,7 0,0

AUTRE 44 14 5 2 35,7 14,3

TOTAL 2351 1384 553 252 40,0 18,2

Rsultat du concours par catgories professionnelles 4

0

100

200

300

400

500

600

LVE D'UNE

ENS

AUTRE

TUDIANT

ENSEIGNANT AUTRE

admis

admissibles non admis

non admissibles

Rsultat du concours par grandes catgories

Ces rsultats par grandes catgories confirment que le concours de lagrgation externe de mathmatiquesest, comme cest sa fonction, un concours de recrutement de nouveaux enseignants. La catgorie cumuledes tudiants (ENS et hors ENS) constitue en effet, comme en 2008, 92% de leffectif des admis.

4. Les catgories professionnelles listes ci-dessus correspondent aux dclarations des candidats lors de linscription : elles nefont lobjet daucune vrification et doivent tre considres avec prudence.

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Rpartition selon le genre

GENRE Inscrits Prsents Admissibles Admis % Admissibles % Admis

FEMMES 736 457 123 48 26,91 10,50

HOMMES 1615 927 430 204 46,39 22,01

TOTAL 2351 1384 553 252 39,96 18,21

Rsultat du concours par genres

non admissibles

73%

admissibles non

admises

16%

admises

11%

non admissibles

54%

admissible

s non

admis

admis

22%

FEMMES HOMMES

On constate une nouvelle baisse aprs le lger rquilibrage de la parit pour le succs au concours en2008 (17,62% dadmis pour 12,71% dadmises). Le rsultat est pour les femmes semblable aux pourcen-tages constats en 2007 (19,9% dadmis pour 10,9% dadmises). Ceci fait suite une baisse constate en2006 et 2007 alors que les taux de succs chez les femmes (23%) et chez les hommes (24%) taient prati-

quement identiques en 2005. Ces pourcentages sont analyser en tenant compte du fait que la diminutiondu nombre de places au concours entrane une diminution mcanique du pourcentage de reues parmi lesfemmes, puisquelles ne reprsentent quun faible pourcentage parmi les candidats issus dune ENS (10%cette anne, comparer aux 16% de 2008). Dans cette catgorie, on trouve en effet, en 2009, 39%, des reusau concours. Pour la catgorie lve dune E.N.S les taux de russite hommes, 84,6%, et femmes, 83,8%,ne sont pas significativement diffrents . Si on considre par contre la catgorie des tudiants hors ENS, ily a 31,2% dadmis et 19, 2% dadmises. Ce rsultat est assez surprenant puisquen 2008, pour la catgorietudiant hors E.N.S, la parit tait respecte dans les succs, avec 22% dadmis et 23% dadmises!

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Rpartition selon lge

TRANCHE D'GE

[20, 30[ 1288 950 429 196

[30, 40[ 747 304 90 43

[40, 50[ 244 95 24 9[50, 60[ 65 29 8 3

INSCRITS PRSENTS ADMISSIBLES ADMIS

Rpartition par tranches dge

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

[20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[

INSCRITSPRSENTSADMISSIBLESADMIS

Cette rpartition par tranches dge confirme que lagrgation externe permet de recruter des jeunes ensei-gnants. Les jeunes constituent en effet lessentiel des prsents mais surtout des admis au concours, 77% desreus ont moins de 30 ans. Fait nouveau, cette anne des candidats plus avancs en ge se sont prsentsavec succs. Il suffit pour sen convaincre de rappeler quen 2008, 96 %, des reus avaient moins de 30 ans.

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Rpartition selon lacadmie

Acadmie

AIX-MARSEILLE 121 68 19 7

AMIENS 56 33 8 3

BESANCON 27 16 5 3

BORDEAUX 90 63 26 7

CAEN 41 28 6 2

CLERMONT-FERRAND 22 10 4 2

CORSE 2 1 0 0

DIJON 37 24 9 1

GRENOBLE 78 40 21 11

GUADELOUPE 33 12 4 1

GUYANE 12 6 1 0

LA REUNION 50 27 6 0

N. CALEDONIE 14 6 1 0

POLYNESIE 19 6 2 0

MAYOTTE 6 5 0 0

LILLE 131 65 15 5

LIMOGES 17 9 1 0

LYON 126 96 54 28

MARTINIQUE 26 8 0 0

MONTPELLIER 67 26 10 4NANCY-METZ 80 51 19 3

NANTES 90 45 20 7

NICE 92 51 14 1

ORLEANS-TOURS 72 44 14 6

POITIERS 54 35 12 5

REIMS 46 31 16 7

RENNES 94 67 41 30

ROUEN 36 18 4 1

STRASBOURG 77 48 18 9

TOULOUSE 95 49 21 7

CRETEIL-PARIS-VERSAIL. 640 396 182 102

TOTAL 2351 1384 553 252

Inscrits Prsents Admissibles Admis

Rsultat du concours par acadmies

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Hors ENS

CRTEIL-PARIS-VERSAILLES 570 332 118 45

RENNES 68 41 16 9

LYON 100 71 30 8

ENS seulement

CRETEIL-PARIS-VERSAILLES 70 64 64 57

RENNES 26 26 25 21

LYON 26 25 24 20



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Reprsentation des rsultats par acadmies (y compris ENS)

0 100 200 300 400 500 600 700

AIX-MARSEILLE

AMIENS

BESANCON

BORDEAUX

CAEN

CLERMONT-FERRAND

CORSE

DIJON

GRENOBLE

GUADELOUPE

GUYANE

LA REUNION

N. CALEDONIE

POLYNESIE

MAYOTTE

LILLE

LIMOGES

LYON

MARTINIQUE

MONTPELLIER

NANCY-METZ

NANTES

NICE

ORLEANS-TOURS

POITIERS

REIMS

RENNES

ROUEN

STRASBOURG

TOULOUSE

CRETEIL-PARIS-VERSAIL.

Admis

Admissibles

Prsents

Inscrits

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Chapitre 3

preuve crite de mathmatiques gnrales

3.1 nonc

Notations et prliminairesTous les corps figurant dans le problme sont supposs commutatifs.

N dsigne lensemble des nombres entiers naturels N dsigne lensemble des nombres entiers naturels non nuls Pour tous entiers naturels aet btels que a b, lensemble [[a, b]] dsigne [a,b]N R dsigne lensemble des nombres rels R dsigne lensemble des nombres rels non nuls R+ dsigne lensemble des nombres rels positifs C dsigne lensemble des nombres complexes

C dsigne lensemble des nombres complexes non nuls Ktant un corps, on note K[X] lensemble des polynmes coefficients dans K, Kn[X] lensemble des

polynmes de degr n coefficients dans K, pour tout nombre entier naturel n Mn(K) dsigne lensemble des matrices carres de taille n 1 coefficients dans K GLn(K) dsigne lensemble des matrices inversibles de Mn(K). Si A GLn(K), on note A1 son inverse On dira que deux sous-espaces vectoriels V et W de lespace vectoriel Mn(K) sont conjugus sil existe

P GLn(K) telle queW = P1V P= {P1M P ; M V}.

In dsigne llment unit de Mn(K) . Pour A dans Mn(K) on dsigne par tA la transpose de A, trA la trace de A, detA le dterminant de Aet

PA son polynme caractristique sur Kcest--dire PA(X)=

det(A

X In) Pour E un K-espace vectoriel, on note L(E) lalgbre des endomorphismes de E et I dE lapplication

identit sur E. Si uest un endomorphisme diagonalisable dun K-espace vectoriel E de dimension finie, on pose Sp(u)

le spectre de u, cest--dire lensemble des valeurs propres de u. Pour u un endomorphisme dun K-espace vectoriel E de dimension finie et pour Sp(u) on pose

E(u) = Ker (u I dE) le sous-espace propre de uassoci .

Objet du problme

Dans ce problme, on se propose dtudier les sous-espaces vectoriels de Mn(K) constitus de matricesdiagonalisables.

Plus prcisment, si nest un entier 1 et Kun corps, on note MT(n,K) laffirmation suivante :

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Pour toutes matrices Aet B diagonalisables dans Mn(K), la proprit

(a) Aet B commutent

est quivalente la proprit

(b) Pour tout K, A+ B est diagonalisable dans Mn(K).Lun des objectifs de ce problme est de montrer que cette affirmation est vraie dans le cas complexe cest-

-dire que MT(n,C) est vraie pour tout n 1, qui est un rsultat d Motzkin-Taussky, 1952.Dans toute la suite, lorsquil sera demand dtudier laffirmation MT(n,K), il faudra examiner successive-ment si les implications (a) (b) et (b) (a) sont vraies.Les parties I,II et III peuvent tre traites de manire indpendante.

Partie I

I-A:Lesensdirectetlecas n= 2

1. Soit Kun corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie.On considre uet v deux endomorphismes diagonalisables de E qui commutent cest--dire tels queu v= vu.

(a) Montrer que les sous-espaces propres de v sont stables par u cest--dire que si F est un sous-espace propre de v, on a u(F) F.

(b) Montrer que uinduit sur chaque sous-espace propre de v un endomorphisme diagonalisable.

(c) En dduire lexistence dune base commune de rduction dans E pour les endomorphismes uet v, cest--dire quil existe une base B de E telle que celle ci soit une base de vecteurs propres la fois de uet de v.

2. Plus gnralement, on considre (ui)i

I une famille dendomorphismes diagonalisables de E.

On suppose en outre que ces endomorphismes commutent deux deux :

( (i,j) I2), ui uj = uj ui.

Montrer lexistence dune base commune de rduction dans E pour la famille (ui)iI cest--dire unebaseB de E qui est une base de vecteurs propres pour chaque endomorphisme ui, i I.(Indication: on pourra raisonner par rcurrence sur la dimension de E, en tudiant part le cas o(ui)iI est une famille dhomothties.)

3. Montrer que limplication (a) (b) est vraie dans laffirmation MT(n,K), pour tout entier n 1ettoutcorps K.

4. tudier limplication (b)

(a) dans laffirmation MT(2,R).

5. On tudie limplication (b) (a) dans laffirmation MT(2,C).Soit Aet B deux matrices diagonalisables de M2(C) satisfaisant la proprit (b) de MT(2,C).

(a) Montrer que lon peut se ramener au cas o Best une matrice diagonale de M2(C)avecaumoinsune valeur propre nulle.

(b) En supposant que B est une matrice diagonale non nulle avec une valeur propre nulle, dmon-trer lexistence dun nombre complexe 0 tel que A+ 0B ait une valeur propre double.

(c) En dduire que limplication (b) (a) dans MT(2,C) est vraie.6. On suppose ici K= Fp = Z/pZ, o pest un nombre premier et nun nombre entier 1.

(a) Montrer que A

Mn(Fp) est diagonalisable si et seulement si Ap

=A.

(b) Dmontrer laffirmation MT(n,F2).

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(c) Dmontrer laffirmation MT(2,Fp), dans le cas p 3.Indication: on pourra suivre le mme plan que dans le cas complexe rencontr la question

I-A-5

I-B : Application de la rduction simultane

1. (a) On suppose ici que Kest un corps de caractristique diffrente de 2.On considre un sous-groupe multiplicatif fini Gde GLn(K) o nest un entier 1.On suppose que :

( M G), M2 = In.Montrer que G est ablien de cardinal infrieur ou gal 2n.

(b) En dduire que pour tout (n,m) (N)2 les groupes multiplicatifs GLn(K) et GLm(K) sont iso-morphes si et seulement si n= m.

2. Dans cette question, K= C et nest un nombre entier 1.On considre Aet B deux matrices de Mn(C) et on introduit lendomorphisme de Mn(C)

A,B : M AM+ M B.(a) En supposant que Aest diagonalisable et que B= 0 , tablir que A,B est diagonalisable.(b) En supposant Aet B diagonalisables, tablir queA,B est diagonalisable.

(c) Dmontrer la rciproque, cest--dire que siA,B est diagonalisable, Aet B le sont.(Indication: On pourra utiliser la dcomposition de Jordan-Dunford de Aet B)

(d) Lorsque A et B sont diagonalisables, dterminer les lments propres de A,B en fonction deceux de Aet de tB.

3. Dans cette question, K= R et on note S2(R) lensemble des matrices symtriques relles de M2(R).Soit V un hyperplan vectoriel de M2(R) constitu de matrices diagonalisables sur R.

On se propose de montrer que V est conjugu S2(R).(a) Montrer que V contient la matrice I2.

(b) Montrer que V est conjugu au sous-espace vectoriel engendr par (I2,A, B) avec

A=

1 00 0

et B=

0 2

1 0

,

o est un nombre rel non nul.

(c) En dduire le rsultat.

4. Montrer que tout espace vectoriel form de matrices diagonalisables de M2(R) est conjugu unsous-espace vectoriel de S2(R).

Partie II : Le cas n= 3

On suppose que Kest un corps de caractristique nulle. On rappelle les dfinitions suivantes :- Pour les polynmes de K[X]

P=m

k=0akX

k et Q=n

k=0bkX

k

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o met nsont deux entiers 1, on dfinit le rsultant de P et Q par le dterminant de taille m+ n.

R(P,Q) =

am 0 0am1

. . .. . .

......

. . .. . . 0

..

.

. .. am... am1

......

a0...

0 a0...

.... . .

. . ....

0 0 a0

ncolonnes

bn 0 0bn1

. . .. . .

......

. . .. . . 0

..

.

. .. bn... bn1

......

b0...

0. . .

......

. . .. . .

...0 0 b0

mcolonnes

- Pour tout P K[X] de degr n 1 de coefficient dominant an, on dfinit le discriminant de P par

(P) = (1)n(n1)

2

anR(P,P).

1. On considre , et trois scalaires de K. Montrer que le discriminant du polynme

P= X3 +X2 + X+

est27 2 18 + 22 4 3+43.

2. On pose dans M3(K)

M= m1 m2 m3m4 m5 m6

m7 m8 m9

et N=

s 0 00 0 0

0 0 1

On suppose sdistinct de 0 et 1. Montrer que le discriminant du polynme caractristique de M+ Nest un polynme de degr six en dont le coefficient dominant est (s(1 s))2.

3. On pose dans M3(K)

B= b1 b2 b3b4 b5 b6

b7 b8 b9

et Q= 0 0 00 0 00 0 1

et on note

PB = X3 + aX2 +b X+ c.

(a) Montrer que si

b1 b2b4 b5= 0, on a :

( K), PB+Q = X3 + (a+ )X2 + (b (b1 +b5))X+c.

(b) Montrer alors que si en plus b1+

b5=

0, le discriminant de PB+

Q est un polynme de degr

quatre en et dterminer son coefficient dominant.

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4. Ici K= C ; on se propose de dmontrer limplication (b) (a) de laffirmation MT(3,C).Soit Aet Bdeux matrices diagonalisables de M3(C) satisfaisant la proprit (b) de MT(3,C) ; on noteF le C-espace vectoriel engendr dans M3(C) par I3,Aet B.

(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de matrices diagonalisables de M3(C) et que si ladimension deF est strictement infrieure 3, les matrices Aet B commutent.

(b) On suppose que la dimension deF est gale 3. Montrer que lon peut se ramener par conju-

gaison au cas o A= Diag(0,0,1) et B est un projecteur de rang 1.(c) En dduire que limplication (b) (a) de laffirmation MT(3,C) est vraie.

Partie III : Le cas gnral dans C

III-A : Bases holomorphes

1. Soit 0 un disque ouvert de C contenant lorigine ; on considre une application holomorphe M de0 dans Mn(C), cest--dire telle que chaque coefficient mi j de Mdfinisse une fonction holomorphede0 dans C, pour (i,j) [[1,n]]2.Pour tout z0\{0}, on note V(z) le noyau de la matrice M(z).

Dmontrer lexistence dun rel > 0 et dun entier m 0 tels que( z0), (0 < |z| < ) = (dim V(z) = m).

(Indication: on pourra considrer les mineurs de M(z).)

On suppose m 1 dans la suite.2. Sous les hypothses ci-dessus et avec les mmes notations, dmontrer lexistence dun nombre rel

r > 0 et de m fonctions 1, ,m, holomorphes sur Dr = {z0 ; |z| < r}, valeurs dans Cn, tellesque pour tout z Dr\{0}, les vecteurs 1(z), ,m(z) engendrent V(z) et 1(0), ,m(0) sont tousnon nuls.(Indication: on pourra commencer par trouver des vecteurs 1(z), ,m(z) mromorphes en z,qui engendrent V(z).)

3. Toujours avec les mmes notations, notons Z lensemble des couples (z,) 0 Cn tels que z= 0et V(z), Z ladhrence de Z dans0Cn et V(0) ( qui na pas encore t dfini) le sous-ensemblede Cn tel que

{0}V(0) = Z ({0}Cn).(a) On suppose que la famille (1(0), ,m(0)) est libre. Dmontrer que V(0) est un sous-espace

vectoriel de Cn de dimension m.

(b) Montrer quil existe une famille (1, ,m), comme la question III-A-2 telle que la famille(1(0), ,m(0)) soit libre et en dduire que V(0) est un sous-espace vectoriel de Cn de dimen-sion m.(Indication:partantdunefamillequelconque(1,

,m) vrifiant III-A-2, on pourra construire

des familles (1, ,k,k+1, ,m) par rcurrence sur k.)4. On considre une application holomorphe N dun ouvert U de C dans Mn(C), un point 0 de C et un

cercle centr en 0, orient dans le sens direct.On suppose que pour tout U, la matrice N() est diagonalisable, que :

( U), ( ), N() In GLn(C),

et on note R(, ) = (N()In)1.(a) Dmontrer que la formule suivante

() = 12i

R(, ) d

dfinit une application holomorphe de U dans Mn(C).

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(b) Soit 0 un point de U ; on suppose que 0 est lunique valeur propre de N(0) entoure par lecercle . Dmontrer que (0) est la projection sur E0 (N(0)), le sous-espace propre de N(0)associ 0, paralllement la somme des autres sous espaces propres de N(0).

5. Dmontrer que pour tout U, la matrice () est un projecteur, somme de projecteurs sur dessous-espaces propres de N() associs des valeurs propres entoures par .

Partie III-B : Courbes spectralesDans cette partie le corps de base est K= C et D dsigne le disque ouvert unit D= {z C ; |z| < 1}.Soit Aet B deux matrices dans Mn(C), pour n N ; on pose :

( (, ) C2), P(,) = PA+B() = det(A+ BIn).

Pour C, le polynme caractristique de A+ B sera not P.On dfinit lensemble

C = {(, ) C2 ; P(, ) = 0}.On appelle multiplicit (dans C) dun point x= (, ) de C, la multiplicit de la racine du polynme P,

note d(x).Nous admettrons le thorme suivant qui permet de paramtrer localement lensemble C par des injec-tions holomorphes de D dans C2 :

Quelque soit x0 = (0,0) C, il existe l N et deux familles finies dapplications holomorphes de D dansC, (f)1l et (g)1l, qui vrifient les conditions suivantes :

(i) ( [[1,l]]), f(0) = 0 et g(0) = 0(ii) ( zD), ( [[1,l]]), (f(z), g(z)) C

(iii) ( > 0),( (,) C),(| 0| , | 0| ) =

( [[1, l]]),(zD), = f(z) et = g(z)

(iv) (

[[1,l]]),(

(z, w)

D

2), (f(z)=

f(w), g(z)=

g(w))=

(z=

w)

(v) ( (,) [[1, l]]2), ( = ), (z, w) (D\{0})2 , (f(z), g(z)) = (f(w), g(w))

(vi) ( zD\{0}),( [[1,l]]), f(z) = 0.Nous noterons F = (f, g) les applications associes de D dans C2, pour tout [[1, l]].Remarque : la condition (ii) signifie que F(D) C, (iii) que lensemble

1l

F(D) contient un voisinage

de x0 dans C, (iv) que chaque F est injective et (v) que (F(D\{0}))1l est une famille densembles deux deux disjoints. La condition (vi) est particulire notre situation o chaque polynme P est de degr nen , pour tout C.Pour

[[1, l]], lensemble F(D) sappelle une branche locale deC en x0.

Nous admettrons que la multiplicit dansC est constante dans une branche pointe, cest--dire que d(x)ne dpend pas de xsi x= x0 et x F(D) ; on la notera d, pour tout [[1, l]].On appellera ramification e dune branche F(D) en x0 lordre du zro 0 de f 0, qui existe puisque fest non constante ; nous admettrons alors que pour tout C\{0} suffisamment proche de 0, le nombrede points x= (,) F(D) est exactement e, pour tout [[1, l]].Enfin, nous supposerons que pour 0 C fix, si 0 et 0 sont deux racines distinctes de P0 , les brancheslocales deC en x0 = (0,0) sont disjointes des branches locales de C en x0 = (0,0).

1. SoitF(D)

[[1,l]] la famille de branches locales de C en un point x0 = (0,0) deC.

Dmontrer que la multiplicit de x0 dansC vrifie

d(x0) =l

=1 ed.

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2. On suppose jusqu la fin du problme que A+ B est diagonalisable, pour dans C.Soit (F(D))[[1,l]] la famille de branches locales de C en x0 = (0,0) et zun point de D\{0}.On dfinit lespace vectoriel, pour [[1, l]]

V(z) = { Cn ; (A+f(z)B) = g(z)},

et lespace vectoriel associ V(0) comme en III-A-3.Nous admettons la relation suivante :

E0 (A+ 0B) =l

=1V(0).

Montrer alors que la ramification e de F(D) est gale 1, pour tout [[1, l]].3. (a) tablir lexistence de n fonctions entires i : C C telle que C concide avec la runion des

graphes de i, 1 i n.(b) Dmontrer lexistence de nombres complexes ai,bi,1 i n, tels que

(

i

[[1,n]]),(

C), i()

=ai

+bi.

4. Notation : pour i [[1,n]], C et r> 0, i(,r) dsigne le cercle de centre i() et de rayon r.(a) Dmontrer lexistence de rels > 0 et > 0 tel que, pour tout C et tout r> 0

(0 < r< ) et (|| >) = ( i [[1,n]]),( i(,r)), A+ B In inversible.

(b) On note R(, ) linverse de A+ B In lorsquil existe et on fixe 0 < r< .Dmontrer que pour tout j [[1,n]], la formule

j,r() = 1

2i

j(,r)

R(, ) d.

dfinit une fonction holomorphe de louvert U = { C ; || >} dans Mn(C).(c) Dmontrer que, si en plus B est diagonalisable, chaque j,r() admet une limite dans Mn(C)

lorsque || tend vers linfini, pour tout j [[1,n]].5. On considre Aet B deux matrices diagonalisables de Mn(C). On suppose que A+ B est diagonali-

sable, pour tout C. Dmontrer que Aet B commutent.

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3.2 Rapport sur lpreuve crite de mathmatiques gnrales

OBJET DU PROBLME

Lobjectif du problme, clairement nonc dans le prliminaire, tait dtablir dans une large mesure lethorme de Motzkin-Taussky (1952) :

Si A et B sont deux matrices diagonalisables de Mn(C) telles que pour tout C, la matrice A+ B estdiagonalisable, alors Aet B commutent.Plus prcisment, les parties I et II traitaient les cas n= 2 et n= 3, en tudiant des variantes pour dautrescorps que celui des nombres complexes. La partie III dveloppait quelques questions en direction de cersultat dans le cas n 1. Elle ne fournissait pas une preuve complte de ce thorme, comme on peut latrouver par exemple dans [2], mais elle contenait nanmoins le dbut et la fin de la preuve, reprsentantdj une difficult honorable pour un problme dagrgation.

Remarque 1 : la cl manquante pour une preuve complte est lgalit admise des sous-espaces

E0 (A+ 0B) etl

=1V(0) .

Dans lnonc, celle-ci sert tablir la question III-B-3, mais en ralit, il est plus naturel dtablir III-B-3et den dduire lgalit des dimensions (voir [2]).

Remarque 2 : il faut faire attention que le thorme et le rsultat admis rclament que pour tout C,A+ B et B soient diagonalisables, contrairement limpression que pourrait donner lnonc. En effet,dans lexemple suivant , on constate que

A=

1 00 0

et B=

0 10 0

ne commutent pas, alors que A

+B est diagonalisable, pour tout

C.

Dans la partie I-A, on tablit le rsultat dans le cas n= 2, et on tudie ce mme rsultat sur les corps R et Fp.Dans la partie I-B, on donne quelques applications de la rduction simultane et on sintresse au sous-espace vectoriel de M2(R) constitu dont les lments sont des matrices diagonalisables.Dans la partie II, on tablit le rsultat dans le cas n= 3.Dans la partie III-A, on tudie des bases de noyau de matrices dont les coefficients sont des fonctions holo-morphes sur un ouvert de C. On donne une expression intgrale des projecteurs spectraux de matrices dontles coefficients sont des fonctions holomorphes sur un ouvert de C.Dans la partie III-B, on tablit dans un certain cadre le thorme de Motzkin-Taussky pour n1.

Les ingrdients pour ce problme faisaient intervenir :

les notions de base de rduction dendomorphismes, en particulier dans les corps C,R et Fp, rduction

simultane, dcomposition de Jordan-Dunford, caractrisation de la diagonalisabilit dans Fp, rductionde matrices symtriques relles utilisation des rsultants et discriminants, caractrisation des projecteurs de rang 1 holomorphie, mromorphie, prolongement analytique, intgrale paramtre de la variable complexe,thorme de Liouville.

Remarques gnrales sur les copies

La plupart des remarques des annes prcdentes restent valables et peuvent tre lues avec profit par lescandidats. Nous dvelopperons cependant les points qui nous semblent plus particulirement utiles pour

les futurs candidats.

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La clart, la rigueur, la prcision et la concision de la rdaction sont des lments importants dapprciationdes copies. De nombreux candidats perdent des points prcieux dans les questions les plus accessibles duproblme par des dfauts de rdaction.Lutilisation des hypothses donnes dans lnonc doit tre signale au moment opportun et non en vracen dbut de question, afin de montrer larticulation du raisonnement.Il faut que les futurs candidats soient persuads quils ne perdront pas de temps ni de points, bien au

contraire, en proposant une rdaction complte et rigoureuse des questions quils auront rsolues (touten sachant rester concis...).

PARTIE I-A

Cette partie a t aborde par une grande majorit des candidats. On est conduit regretter un grandmanque de rigueur et de soin dans un dbut de problme. Il est bon de rappeler quen dbut de problme,il convient de mettre laccent sur le soin et la prcision. Les dbuts de problme ou de partie de problmesont des questions abordables pour la plupart des candidats. Il faut alors viter par exemple daffirmer queles proprits dmontrer sont videntes. Bien sr, il ne sagit pas non plus de trop dtailler et de redmon-

trer des rsultats de cours.Dautre part, les problmes dagrgation sont volontairement de difficult progressive et dcoups en par-ties largement indpendantes pour permettre aux candidats de mettre en valeur leurs capacits. Si le gra-pillage est dconseill, il est tout fait possible quun candidat se sente peu laise sur les notions dvelop-pes dans une partie ou soit bloqu aprs une recherche srieuse, lorsque la difficult devient trop leve.Le candidat a alors tout intrt soit regarder si les dernires questions de la partie, qui consistent sou-vent en une mise en application des rsultats thoriques de la partie sur un exemple et sont abordablesen admettant les rsultats en question, lui semblent accessibles, soit regarder si il se sent plus habile surles parties suivantes. Malgr la progressivit du problme, les premires questions des parties sont prioritoujours de difficult mesure et peuvent tre loccasion pour un candidat de montrer ses capacits.

La question I-A-1-aa t traite par la majorit des candidats. Par contre I-1-b a pos quelques difficults,les rponses ont t souvent laborieuses, les candidats nayant pas pens lutilisation dun polynme an-nulateur. En outre, certains candidats ne se relisent pas, en confondant P(u(x)) et P(u)(x).La question I-A-2 ncessitait une rcurrence soigne fournie clairement en indication par lnonc. Celle-cina pas toujours t initialise et le passage de n n+ 1 nest pas souvent clairement explicit. Le cas deshomothties, pourtant signal a t oubli ou mal cern par les candidats.La question I-A-3 na pas pos de difficults mais a mis en vidence un grand manque de rigueur de la partdes certains candidats, qui ont identifi matrice et application linaire canoniquement associe. ce stadedu problme, cela est trs maladroit compte tenu des questions prcdentes.La question I-A-4 a pos des difficults beaucoup de candidats. Un candidat lagrgation doit savoir quepour montrer quune proprit est fausse, il suffit dexhiber un contre exemple. Ici, il suffisait de trouverdeux matrices symtriques relles de Mn(R) qui ne commutent pas.La question I-A-5-aa t traite maladroitement, avec des confusions entre diagonale et diagonalisable.La question I-A-5-b a t souvent traite de manire trop calculatoire, alors quil suffisait de mettre en vi-dence un polynme non constant.La question I-A-5-c a t aborde mais le lien avec les questions prcdentes a rarement t fait.La question I-A-6-apourtant classique a pos des difficults, les ingrdients tant le morphisme de Frobe-nius et le petit thorme de Fermat.La question I-A-6-b a t traite par quelques candidats, qui ont su faire le lien avec la question prcdente.La question I-A-6-c a t trs peu aborde. Toutefois, quelques candidats ont su dgag que la discussionsarticulait autour du discriminant du polynme caractristique de A+ B, savoir si celui-ci est un carrdans Fp.

PARTIE I-B

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Cette partie a t aborde de manire significative par trs peu de candidats. Lingrdient de cette partie,qui tait clairement donn par son titre, tait la rduction simultane dune famille dendomorphismes.La question I-B-1-aa t traite partiellement par les candidats. Beaucoup de candidats ont omis de prci-ser que dans K, on a 1 = 1 pour des raisons de caractristique.La question I-B-1-b a t traitepartiellement par les candidats. Beaucoup de candidats ont omisde donnerun exemple de groupe Gde cardinal 2n, par exemple comme les matrices diagonalesde Mn(K) coefficients

diagonaux dans {1}.La question I-B-1-c a t partiellement traite par les rares candidats qui lont aborde. Il convient de rap-peler quune condition suffisante pour que la somme de deux endomorphismes nilpotents soit encore nil-potente est que ceux-ci commutent.Les questions I-B-3 et I-B-4 ont t abordes par assez peu de candidats. Cest dommage car celles-ci met-taient les candidats sur la piste pour rpondre la question I-A-4.

PARTIE II

Cette partie a t aborde par une grande majorit des candidats, qui ont surtout trait les premires ques-tions, les dernires tant un peu plus dlicates. Cette partie utilisait les proprits du rsultant et du discri-minant, notions clairement rappeles dans lnonc du problme.

La question II-1 a t aborde par la majorit des candidats. Elle a mis en vidence un calcul de dtermi-nant de taille 5, comportant suffisamment de zros pour se ramener au calcul de deux dterminants de tailletrois, dont le calcul tait facile. Dans cette question trs souvent aborde, on a observ des calculs longs etlaborieux mens sans explication. On peut raisonnablement attendre quun candidat lagrgation sachecalculer un dterminant de taille 3 en moins dune page.Signalons que quelques candidats ont utilis la calculatrice et ont obtenu le rsultat, sans rien expliquer.Bien entendu, ceux-ci ont t sanctionns.Les questions II-2 etII-3-b ont pos des problmes bon nombre de candidats, qui ont cru ncessaire derentrer dans les dtails de calcul pnible, alors quil suffisait dtudier qualitativement lexpression trouvedans II-1.La question II-3-aa aussi t traite de manire maladroite. La plupart des candidats qui lont traite, ont

cru bon dexpliciter PB pour en dduire le rsultat, alors quune simple observation de multilinarit four-nissait immdiatement le rsultat.La question II-4-aa t traite par quelques candidats, alors que II-4-b et II-4-c nont pas t abordes demanire significative.

PARTIE III-A

Cette partie a t aborde de manire significative par les meilleurs, lanalyse complexe ayant rebut lamajorit des candidats. Dans cette partie, le grapillage de point na pas t rcompens.Le principe des zros isols a t correctement appliqu dans les meilleurs copies la question III-A-1. Ony trouve aussi des pistes trs intressantes pour la rsolution de la question III-A-2.Quelques candidats ont bien abord la question III-A-4-a, en citant le thorme danalycit des intgrales

dpendant dun paramtre. Cependant le thorme des rsidus a t appliqu dans III-A-4-b comme silintgrande tait valeurs complexes.

PARTIE III-B

Cette partie a t trs peu tudie mais ceux qui lont aborde avec un minimum de raisonnement ont tbien rcompens, car celle-ci demandait dassimiler les proprits du prliminaire page 7.

Bibliographie

[1] T. S. Motzkin, O. Taussky : Pairs of matrices with property L. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 73, pp.108-114(1952) et vol. 80 pp.387-401 (1955)

[2] T. Kato : Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1966).

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3.3 Corrig

Corrig Problme

Thorme de Motzkin-Taussky

Partie I

I-A:Lesensdirectetlecas n= 21-a Stabilit des sous-espaces propres. Soit une valeur propre de v et E(v) le sous-espace propreassoci. Les endomorphismes v I dE et ucommutent.Donc Ker(v I dE) = E(v) est stable par u, do le rsultat.

1-b Les restrictions sont diagonalisables. Lendomorphisme u laisse stable chaque sous-espace proprede vdonc il induit sur chacun deux un endomorphisme. Comme uest diagonalisable, il existe un polynme

scind racine simple annulant u. Par restriction, ce polynme annule chaque endomorphisme induit parusur les sous-espaces propres de v, qui donc sont diagonalisables.

1-cExistence deB. Pour chaque Sp(v), on considreB une base de rduction de lendomorphismeinduit par usur E(v). Lendomorphisme v tant diagonalisable,

B =

Sp(v)B

est une base de E qui vrifie la proprit requise.

2 Gnralisation. On raisonne par rcurrence sur lentier n= dim E.Pour n1 le rsultat est vrai. Supposons le rsultat vrai jusquau rang n1.Considrons E un K-espace vectoriel de dimension n+ 1 et (ui)iI une famille dendomorphismes diago-nalisables de E commutant deux deux.Si cette famille ne contient que des homothties, B une base quelconque de E vrifie la proprit requiseet le rsultat est vrai au rang n+1.Sinon il existe i0 I tel que ui0 ne soit pas une homothtie. Fixons dans Sp(ui0 ).Pour tout i I, ui est diagonalisable et commute avec ui0 donc i, la restriction de ui E(ui0 ) constitue unendomorphisme diagonalisable deL(E(ui0 )).Alors (i)iI forme une famille dendomorphismes diagonalisables de L(E(ui0 )) qui commutent deux deux. Comme les proprits sur ui0 assure dim E(ui0 ) < dim E, il vient par hypothse de rcurrence lexis-tence deB une base commune de rduction dans E(ui0 ) de la famille (i)iI.

Lendomorphisme ui0 est diagonalisable doncB

= Sp(ui0 )B est une base de E qui vrifie la proprit re-quise alors, do le rsultat au rang n+1.Il est donc vrai pour tout n N.

3 (a) (b) dans MT(n,K). Considrons Aet B deux matrices diagonalisables de Mn(K) vrifiant lhypo-thse (a) dans MT(n,K). Introduisons u et v les endomorphismes canoniquement associs A et B dansK

n. Ces endomorphismes commutent et sont diagonalisables.IntroduisonsB une base commune de vecteurs propres uet v.AlorsB est une base de vecteurs propres de u+ v, pour tout K.Il en dcoule que A+ B est diagonalisable pour tout K, do limplication annonce.

4 tude de MT(2,R). Limplication (a)

(b) a lieu daprs ce qui prcde. Cependant la rciproque est

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fausse. Il suffit de prendre Aet B symtriques relles et qui ne commutent pas.Par exemple, on prend

A=

0 11 0

et B=

1 00 0

5-a tude de MT(2,C), premire tape. Remarquons que le problme peut se rsoudre une classe desimilitude prs. On peut alors supposer que B = Diag(, ) o et sont des complexes. On ne restreintpas la gnralit du problme en retranchant B une matrice scalaire, ce qui permet de se ramener B=Diag(,0), o C, do ce premier point.

5-b tude de MT(2,C), deuxime tape. On peut alors se ramener par exemple au cas o B= Diag(1,0).Montrons lexistence de 0 C tel que A+ 0B soit scalaire. Posons A=

a b

c d

Un calcul sans finesse

montre que le discriminant du polynme caractristique de A+ B scrit

(+ a d)2 +4bc.

Il existe un complexe 0 qui annule ce discriminant. La matrice A+

0Best diagonalisable dordre 2 valeurpropre double donc cest une matrice scalaire, do le rsultat annonc.

5-c MT(2,C) est vraie. Ce qui prcde montre que lon peut se ramener au cas o B= Diag(,0).Si = 0, les matrices Aet B commutent.Sinon on peut se ramener au cas = 1 ; alors il existe 0 C tel que A+0B soit scalaire ce qui assure que Aet B commutent. On en dduit que limplication (b) (a) est vraie dans laffirmation MT(2,C).

6-a CNS de diagonalisabilit dans Fp. Supposons A Mn(Fp) diagonalisable.Alors il existe P GLn(Fp) et D= Diag(1, , n) o (1, , n) Fnp telle que A= P1DP.On en dduit laide du petit thorme de Fermat

Ap

=P1DpP

=P1Diag(p

1

,

,pn)P

=P1Diag(1,

, n)P

=A.

Supposons rciproquement que Ap =A. Alors XpX est un polynme annulateur de A.Le petit thorme de Fermat assure la relation

XpX =X(X1) (X p+1) =p1k=0

(X k)

et donc Aest annul par un polynme scind racines simples sur Fp.

Il en rsulte que Aest diagonalisable.

6-b tude de MT(n,F2). Limplication (a) (b) a lieu daprs ce qui prcde.

Pour traiter la rciproque, considrons Aet B des matrices diagonalisables de Mn(F

2) satisfaisant (b).Le critre prcdent permet de voir que A,B et A+ B sont des matrices de projections.Il en dcoule

AB+ B A= 0 AB= B A,ce qui assure que laffirmation MT(n,F2) est vraie.

6-c tude de MT(2,Fp). Limplication (a) (b) a lieu daprs ce qui prcde.Pour traiter la rciproque, considrons Aet B des matrices diagonalisables de M2(Fp) satisfaisant (b).On mne une tude analogue au cas complexe.Il nous suffit de traiter le cas B= Diag(1,0). Nous conserverons les notations de I-A-5-b.Le discriminant du polynme caractristique de A+ B vaut

( + a d)2 +4bc

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et cest un carr dans Fp, pour tout choix de dans Fp.Il en dcoule que la fonction polynme dfinie sur Fp par

(+ a d)2 +4bc

prend ses valeurs dans lensemble des carrs de Fp. Donc la fonction polynme dfinie sur Fp par

: t t2 +4bc

prend ses valeurs dans lensemble des carrs de Fp. En outre, on a

( (t, t) F2p), (t2 +4bc= t2 +4bc) (t2 = t2) (t= t),

et comme p3

#(Fp) =p+1

2= #{carrs dans Fp}.

Donc le discriminant sannule dans Fp et on achve comme en I-A-5-c.

Partie I-B : Application de la rduction simultane

1-aG est ablien de cardinal 2n. On va raisonner sur les endomorphismes canoniquement associsdans E=Kn. On considre alors G un sous-groupe fini de GL(E) tel que :

(uG), u2 = I dE.

Alors G est ablien (classique) et par suite possde pour lments des symtries commutant deux deux.Remarque : Il est bien connu que #G est une puissance de deux, mais ici ce nest pas vraiment utile.Le corps K tant de caractristique diffrente de 2, ces lments sont diagonalisables et il existe alors B

une base de rduction simultane de ces lments. En particulier la matrice dun lment quelconque deGdans cette base est de la forme

Diag(1,1, ,1).Notons P la matrice de passage de la base canonique la baseB. Il apparat alors que Gest un sous-groupemultiplicatif de

n = {P Diag(1, ,n)P1 ; (1, ,n) {1}n}qui est naturellement isomorphe (Fn2 ,+). On en dduit que #G= 2s o s [[0,n]] cest dire #G2n, ce quitablit le rsultat.

1-bGLn(K) GLm(K) n=m. Si n= mon a clairement GLn(K) isomorphe GLm(K).

Traitons la rciproque. Considrons un isomorphisme de GLn(K

) sur GLm(K

).En conservant la notation de la question prcdente, n = (n) est un sous-groupe fini de GLm(K) vri-fiant :

( Mn), M2 = Im.Il en rsulte #n2

m ou encore 2n2m cest dire nm.Les entiers naturels net mjouant des rles symtriques, il vient n= met le rsultat annonc.

2-aA,0 est diagonalisable. Introduisons pour S Mn(C) lendomorphisme de L(Mn(C))

LS : M SM.

On a clairement, pour tout S

Mn(C)LS = 0 S= 0

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puis pour tout polynme P C[X]P(LS) = LP(S).

Ces proprits assurent que Set LS ont mme polynme minimal, pour tout S Mn(C).Donc Aest diagonalisable si et seulement si LA =A,0 est diagonalisable, do le rsultat.

2-bA,B est diagonalisable. Introduisons pour S Mn(C) lendomorphisme de L(Mn(C))

RS : M M S.

Lendomorphisme RS jouit des mmes proprits que LS et donc est diagonalisable si et seulement si Sestdiagonalisable, pour tout S Mn(C).Remarquons que pour tout (S,T) Mn(C)2 les endomorphismes LS et RT commutent avec :

( M Mn(C)), (LSRT)(M) = (RT LS)(M) = SMT.

Supposons Aet B diagonalisables.Alors LA et RB sont diagonalisables et commutent donc sont simultanment diagonalisables dans une baseB de Mn(C). Cette base B se trouve tre galement une base de rduction de lendomorphisme A,B =LA+ RB, do le rsultat.2-c tude de la rciproque. Supposons A,B diagonalisable.Considrons la dcomposition de Jordan-Dunford de Aet B dans Mn(C) :

A= DA+ NA et B= DB+ NB,

o DA, DB sont diagonalisables et NA, NB sont nilpotentes dans Mn(C) avec

DANA = NADA et DBNB = NBDB.

On peut crire

A,B =

DA,DB +

NA,NB.LendomorphismeDA,DB est diagonalisable daprs ce qui prcde. Par ailleursNA,NB est nilpotent commesomme de deux endomorphismes nilpotents qui commutent.En outre on a

DA,DB NA,NB = (LDA + RDB) (LNA + RNB)= LDA LNA + LDA RNB + RDB LNA + RDB RNB= LNA LDA + RNB LDA + LNA RDB + RNB RDB= (LNA + RNB) (LDA + RDB)=NA,NB DA,DB

Les galits du milieu dcoulant du fait des proprits vues plus haut et que DA et NA puis DB et NB com-mutent. On en dduit que les endomorphismes DA,DB et NA,NB commutent et reprsentent la dcompo-sition de Jordan-Dunford de A,B. Cet endomorphisme tant diagonalisable, il vient par unicit de cettedcompositionNA,NB = 0.La relationNA,NB(In) = 0 fournit NB = NA et par suite NA est dans le centre de Mn(C).La matrice NA est donc scalaire nilpotente, ce qui assure NA = NB = 0 et les matrices Aet B sont diagonali-sables.

Lquivalence se trouve ainsi tablie.Remarque : Cette quivalence subsiste pourK= R ou un corps de caractristique nulle.

2-d lments propres deA,B. La matrice B tant diagonalisable, tB est diagonalisable.Considrons (Xi)1in et (Yi)1in des bases de vecteurs propres de A et tB associs respectivement aux

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valeurs propres (i)1in et (i)1in. On notera P et Q les matrices de passage de la base canonique chacune de ces bases.Introduisons alors, pour (i,j) [[1,n]]2

Mi j =XitYj.On a alors, pour tout (i,j) [[1,n]]2

A,B(Mi j) =AXitYj +XitYjB=AXitYj +Xit(tB Yj)= iXitYj +jXitYj= (i + j)Mi j.

Par ailleurs, on a Mi j = PEi jtQ, pour tout (i,j) [[1,n]]2, o (Ei j)1i,jn dsigne la famille de matricescanoniques de Mn(C). Comme M P MtQest un automorphisme de Mn(C), il en rsulte que (Mi j)1i,jnconstitue une constitue une base de vecteurs propres deA,B associs aux valeurs propres (i+j)1i,jn.

3-aI2 V. Si I2 ntait pas un lment de V, lensemble M2(R) = RI2 V serait constitu de matricesdiagonalisables, ce qui est grossirement faux. Donc I2 est un lment de V.

3-b Adaptation de AetB. Considrons A1 une matrice non scalaire de V.La matrice A1 tant diagonalisable, en retranchant une matrice scalaire bien choisie, on peut se ramener aucas o A1 admet 0 comme valeur propre simple. Elle est alors semblable une matrice du type Ao estun rel non nul.Il en rsulte que V est conjugu un hyperplan V de M2(R) possdant I2 et A.Considrons (I2,A, B1) une base de V ; en combinant B1 avec I2 et A, on peut la ramener de la forme

B1 =

0 ba 0

,

o (a,b) sont des scalaires rels. Cette matrice tant diagonalisable non nulle, elle vrifie ab>

0 et donc est

proportionnelle une matrice du type B= 0 2

1 0

, avec = b/a.

En rsum V est conjugu un hyperplan engendr par les matrices (I2,A,B).

3-cV est conjugu S2(R). Il suffit dtablir que W =Vect(I2,A,B) est conjugu S2(R).On utilise pour cela la matrice de dilatation P= Diag (, 1). On a

P1I2P= I2, P1AP= A et P1B P=

0 0

,

ce qui fournit P1W P= S2(R) et le rsultat.

4 Gnralisation pourn= 2. Un tel sous-espace vectoriel est de dimension 3.Le cas de la dimension 3 relve de ce qui prcde.En outre, le rsultat est clair pour les espaces vectoriels de dimension 1.Considrons V1 =Vect (M, N), un plan vectoriel de matrices diagonalisables.Si I2 V1, il scrit Vect(I2,Q), o Q est une matrice non scalaire de V1.Introduisons P la matrice de passage de la base canonique vers une base de diagonalisation de Q.Alors P1V1Pest un sous-espace vectoriel de matrices symtriques, ce qui tablit le rsultat dans ce premiercas.Si I2 V1 alors cest un sous-espace vectoriel de lhyperplan de matrices diagonalisables Vect (I2, M, N) quiest conjugu S2(R). Ainsi V1 est conjugu un sous-espace vectoriel de S2(R), do le rsultat.

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Partie II : Le cas n= 31 Discriminant de X3 +X2 +X+. On a successivement

(

X3

+X2

+X

+)

=

1 0 3 0 0 1 2 3 0 2

3

0 20 0 0

=

1 0 0 0 0 1 3 0 2 2 3 3 20 0 0

=

1 3 0

2 2

3

3 2 0 0

et par suite

(X3 +X2 + X+) =

3 02 2 33 2

1 3 2 2 3

= 27 2 18 +22 4 3+4 3

ce qui constitue le rsultat.

2 Coefficient dominant demand. On a

PM+N =

m1 + sX m2 m3

m4 m5 X m6m7 m8 m9 X+

Ce dterminant est un polynme des variables X et dont le degr partiel par rapport nexcde pasdeux, le terme de degr deux en tant obtenu par le dveloppement de

(m1 + sX)(m5 X)(m9 X+ ).

Le coefficient de 2

est donc s(m5 X). Alors on peut crirePM+N = X3 +()X2 +()X+ ()

o (),() et () sont des polynmes en dont seuls () et ventuellement () contiennent un termede degr deux en , puisque sest non nul. Il en rsulte que le discriminant

27 2()18 ()() ()+ 2()2()43()()+43()

est de degr 6 en , le coefficient dominant tant donn par les termes 2()2()+43().Comme on a () =tr(M+ N), le coefficient de dans () vaut donc s+1.Celui de 2 dans () est s. On en dduit que le coefficient de 6 est

s2(s+1)2 4s3 = (s(s1))2 = 0,

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do le rsultat annonc.

3-a Expression dePB+Q. On a successivement

PB+Q =

b1 X b2 b3b4 b5 X b6b7 b8 b9

+

X

=

b1 X b2 b3

b4 b5 X b6b7 b8 b9 X

+

b1 X b2 0b4 b5 X 0b7 b8

= X3 + aX2 +b X+c+

b1 X b2b4 b5 X

et donc en utilisant les hypothses

PB+Q = X3 + (a+ )X2 + (b (b1 + b5))X+ c.

3-b Recherche du coefficient dominant. Pour K, le discriminant de PB+Q scrit

27 c2 18 c(a+ ) (b (b1 + b5))+ (a+ )2(b (b1 + b5))2 4(a+ )3c+4(b (b1 +b5))3.

On voit alors que cest un polynme en dont le degr est donn par le terme mdian qui est de degr 4 etdont le coefficient dominant est (b1 + b5)2 = 0.

4-a Premier rsultat sur F. La matrice B est diagonalisable et les autres matrices de F sont, unematrice scalaire prs, proportionnelles des matrices du type A+ B avec C, qui sont diagonalisables.Il en dcoule que F est un sous-espace vectoriel de matrices diagonalisables de M3(C).En outre, si dimF

0 tel que sur {z 0 ; 0 < |z| < },les mineurs non identiquement nuls ne sannulent pas. Sur cet ensemble, les matrices M(z) ont un rangconstant gale lordre maximum des mineurs non nuls.Il existe donc un entier naturel mtel que :

( z0), (0 < |z| < ) = (dim V(z) = m).

2 Existence de (i)1im. On va choisir r= .

Daprs la dfinition de r, sur lensemble Dr\{0}, la matrice M(z) est de rang p= n met lun des mineursdordre pde M(z) ne sannule pas. (le cas p= 0 est ais)Nous supposerons que cest le mineur principal dordre p, pour simplifier les notations.On a alors sur Dr\{0},( Cn),

( V(z))

m11(z)1 + + m1n(z)n= 0...

mp1(z)1 + + mpn(z)n= 0

m11(z)1 + + m1p(z)p = (m1(p+1)(z)p+1 + + m1n(z)n)...

mp1(z)1 + + mp p(z)p = (mp(p+1)(z)p+1 + + mpn(z)n).

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Posons sur Dr,U(z) = (mi j(z))1i,jp et S(z) = (mi j(z))(i,j)[[1,p]][[(p+1),n]].

La matrice U(z) est inversible sur Dr\{0} donc on a : ( Cn),

(

V(z))

1...

p= (U(z))

1S(z)p+1

...n

.Posons sur Dr\{0},

(U(z))1S(z) = W(z) = (wi j(z))(i,j)[[1,p]][[1,m]].La fonction W est mromorphe sur Dr et admet 0 pour seul ple ventuel, ceci en vertu des rgles de calculdinversion de matrices.En posant sur Dr\{0}, la matrice par blocs

H(z) =

W(z)Im

Mnm(C),

il vient

V(z) =

H(z)

1...

m

; (1, ,m) Cm

=Vect(1(z), , m(z)),

o j(z) dsigne le j-ime vecteur colonne de H(z),1jm.Pour z Dr\{0}, la famille (j(z))1jm constitue une famille gnratrice de V(z) qui est de dimension m;cest donc une base de V(z).En outre ces fonctions sont mromorphes, non nulles sur Dr, avec 0 comme seul ple ventuel.Si on pose rj lordre du ple (resp. zro) 0 dans j, la famille de fonctions (j(z))1jm dfinie par j(z) =zrjj(z)(resp. zrjj(z)), pour 1 j m, se prolonge holomorphiquement en 0 et vrifie les proprits

requises.

3-aV(0) est un espace vectoriel. On garde les notations prcdentes.Nous allons tablir que

V(0) =Vect(1(0), ,m(0)).Considrons a= a11(0)+ + amm(0) ; ce vecteur est limite de la suite de terme gnral

a11 (1/k)+ + amm(1/k) V (1/k) , pour kassez grand,

ce qui fournit Vect(1(0), ,m(0)) V(0).Pour linclusion inverse, considronsm+1, ,n des vecteurs de Cn tels que

(1(0), ,m(0),m+1, ,n)

forme une base de Cn et notons(z) la matrice de Mn(C) dont les vecteurs colonnes sont

(1(z), ,m(z),m+1, ,n), pour z Dr.

La fonction z det((z)) est holomorphe sur Dr et ne sannule pas sur un voisinage de lorigine.Il existe alors 0 < r < r tel que(z) soit inversible sur Dr .Introduisons un lment de V(0). Il existe donc une suite (zk)kN valeurs dans Dr\{0}, de limite nulle etune suite de terme gnral

k = 1k1(zk)+ + mkm(zk) V(zk)

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de limite . Remarquons que les suites (1k)kN, , (mk)kN sont convergentes.En effet, ((zk))kN est une suite de matrices inversibles qui converge vers la matrice inversible(0).On a donc

k =

(zk)

1k...

mk

0...0

1k...

mk

0...0

= (

(zk))1

k-

k+ (

(0))1

.

Si lon pose j = limk+

j k, pour 1jm, il vient

k -k+ 11(0)+ + mm(0) = ,

ce qui assure que Vect(1(0), ,m(0)). Il en rsulte que V(0) est un sous-espace vectoriel de Cn qui estbien de dimension m, do le rsultat dans ce cas.

3-b Cas gnral. Considrons 1,

, m des fonctions holomorphes sur Dr, valeurs dans Cn, telles quepour tout z Dr\{0}, les vecteurs 1(z), ,m(z) engendrent V(z) et 1(0), ,m(0) soient non nuls. Nousallons construire 1, ,m par rcurrence.Le vecteur 1(0)estnonnuldonconpeutposer1 = 1.Supposonsquepour k< m,lesfonctions 1, ,ksoient construites telles que (1(0), ,k(0)) soit libre et

V(z) =Vect1(z), ,k(z),k+1(z), ,m(z)

, z Dr\{0}.

Considrons pour z Dr, la matrice A(z) de Mn(k+1)(C) dont les colonnes sont respectivement

1(z), ,k(z),k+1(z).

La matrice A(z) est de rang k+1, pour zdans Dr\{0}.Donc lun de ses mineurs dordre k+ 1 ne sannule pas sur un voisinage point de lorigine Dr\{0} o0 < r < r. Nous supposerons que cest le mineur obtenu avec les k+1 premires lignes pour simplifier lesnotations et le noterons (z), pour z Dr .On a donc sur Dr ,

(z) = det1(z), , k(z),k+1(z)

o

1(z), ,k(z),k+1(z)dsignent les colonnes constitues des k+1 premires lignes de 1(z), ,k(z),k+1(z).Si (1(0), ,k(0),k+1(0)) est libre, alors on peut prendre k+1 = k+1.

Sinon supposons k+1(0) = 11(0)+ + kk(0).Alors 0 est un zro de et comme la fonction est holomorphe, non nulle sur Dr , ce point a un ordre finis1. La fonction dfinie sur Dr\{0} par

: z 1z

k+1(z) 11(z) kk(z)

est holomorphe et se prolonge de manire holomorphe lorigine.En outre, on a pour tout z Dr\{0},

Vect1(z), ,k(z),k+1(z)=Vect1(z), ,k(z),(z).

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Par ailleurs, avec des notations videntes, on a sur Dr

(z) = det1(z), ,k(z), z(z)

= zdet

1(z), ,k(z),(z)

(z)

o est une fonction holomorphe sur Dr .Si (

1(0),

,

k(0),(0)) est libre, on peut prendre

k+1 =.

Dans le cas contraire on recommence avec. la j-ime tape de ce type, on met en vidence une fonction , holomorphe sur Dr telle que

(z) = zj(z).

En particulier on a j s; il existe donc une tape o la fonction obtenue est telle que

(1(0), ,k(0),(0)) est linairement indpendant.

On choisit alors k+1 =, ce qui montre le rsultat au rang k+1 et achve la dmonstration.La question prcdente permet de dduire que V(0) est un sous-espace vectoriel de Cn de dimension m.

4-a Holomorphie de . Ceci est une consquence du thorme danalycit des intgrales dpendantdun paramtre.

4-b(0)estunprojecteur.Soit QlamatricedepassagedelabasecanoniqueunebasederductiondeN(0), obtenue en runissant successivement une base de E0 (N(0)) puis des autres sous-espaces propres.On a donc

N(0) = QDiag(0, ,0 r fois

, 1, ,s)Q1

o lentier r1 dsigne la multiplicit de la valeur propre 0 et 1, , s les autresvaleurs propres de N(0),qui par hypothse ne sont pas entours par .Pour tout

, on peut crire

R(0, ) = QDiag1/(0 ), ,1/(0 )

r fois

,1/(1 ), ,1/(s )Q1

Les hypothses fournissent

12i

d

0 = 1 et 1

2i

d

i = 0, 1 i s

et donc

(0) = 1

2i R(0,) d = QDiag

1, ,1 r fois

,0, , 0Q1,

qui est bien la projection annonce.

5() est somme de projecteurs. Cela sobtient par un calcul analogue ou tout simplement en utilisantle thorme de Cauchy.

Partie III-B : Courbes spectrales

1 Expression ded(x0). Notons 0,0, , (s)0 les racines distinctes de P0 et introduisons les points de C

x0 = (0,0), x0 = (0,0), , x(s)0 = (0,(s)0 ).

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Considrons d,d, ,d(s) lordre de multiplicit des racines 0,0, ,(s)0 de P0 , de telle manire avoirsur C

P0 () = (0 )d (0 )d ((s)0 )d

(s).

Appliquons les proprits admises au voisinage des points x0, x0, , x(s)0 .Fixons k [[0, s]] et assez proche de 0. Considrons (F(k) (D))1l(k) la famille de branches locales de C

au voisinage de x(k)

0 puis e(k)

et d(k)

les ramifications et les multiplicits associes, pour [[1, l(k)

]]. Daprsles hypothses, il existe e(k) points sur la branche F(k) (D).

Nous les noterons(, (k)1,,), , (,

(k)

e(k) ,,).

On peut alors crire, pour assez proche de 0

P =s

k=0Q,k o Q,k() =

l(k)=1

e(k)i=1

((k)i,, )

d(k) .

Chaque branche locale tant paramtre par une fonction continue, on peut faire tendre vers 0, le longde chaque branche, ce qui donne (k)

i,,

-

0

(k)

0

et par suite

P() -0s

k=0((k)0 )

l(k)=1 e

(k) d

(k) .

On en dduit alors en particulier, la relation

d(x0) = d=l

=1ed.

2 e = 1. Gardons les notations du dbut de cette partie.La matrice A+B tant diagonalisable, pour tout C, on peut crire

( zD\{0}), dim V(z) = d et dim E0 (A+ 0B) = d(x0).

Par ailleurs, la relation

E0 (A+ 0B) =l

=1V(0)

fournit

dim E0 (A+ 0B)l

=1dim V(0).

Mais daprs ce qui a t obtenu en III-A-3, on a

( [[1, l]]), dim V(0) = d.

Il en rsulte alors

d(x0)l

=1d

et par application de III-B-1l

=1ed

l=1

d.

Comme e 1, il vient e = 1, pour tout [[1, l]].

3-a Construction des i. Considrons un point x0 = (0,0) de C et F(D) une branche locale en ce

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point. Daprs ce qui prcde, on a e = 1.On en dduit que f(0) = 0 et que lon peut appliquer lorigine le thorme dinversion locale.Il existe alors un voisinage de lorigine dans D et un voisinage de 0 tel que z f(z) constitue un C-diffomorphisme de sur. Notons f1 la rciproque de cette fonction sur .Cette fonction est holomorphe et lon peut dfinir = g f1 , qui est holomorphe sur.Le graphe de est contenu sur la branche F(D) C. Montrons que lon peut prolonger en une fonction

entire dont le graphe est contenu dans C.La fonction est dveloppable en srie entire au voisinage de 0. Raisonnons par labsurde.Supposons que le rayon de convergence de cette srie entire soit un rel > 0.Elle dfinit une fonction holomorphe sur D(0,), le disque ouvert de convergence.La fonction concide avec sur un voisinage de 0. On a donc P(()) = 0 sur un voisinage de 0. Lafonction

P(()) = det(A+ B()In)tant holomorphe sur D(0,), nulle sur un voisinage de 0, elle est donc nulle sur D(0, ), ce qui assureque le graphe de est contenu dansC.Considrons 1 un point du cercle de convergence D(0,).Pour suffisamment proche de 1, le graphe de se trouve contenu sur lune des branches locales au voi-

sinage dun point deC dont la premire projection est 1 ; notons x1 ce point et G(D) cette branche locale.Il existe de mme une fonction 1, holomorphe sur un voisinage1 de 1 dont le graphe est contenu sur labranche G(D). La ramification le long de G(D) tant gale 1, les fonctions et 1 coincdent autour de1 dans D(0,)1.La fonction1 permet donc de prolonger de manire holomorphe la fonction sur un disque ouvert centren 1.On peut alors recouvrir le cercle D(0,) par un nombre fini de voisinage sur lequel admet un prolonge-ment holomorphe. On voit alors quil existe > tel que sur D(0,), le disque ouvert de centre 0 et derayon , la fonction admet un prolongement holomorphe.Ceci contredit la dfinition de , do labsurdit.On en dduit que est entire et constitue un prolongement de qui, comme on la vu prcdemment, a

son graphe contenu dans C.

On peut donc poser 1 = et avec les notations de III-B-1, en raisonnant sur chaque branche locale dechacun des points de C

x0 = (0,0), x0 = (0,0), , x(s)0 = (0,(s)0 ),on mettrait en vidence n fonctions entires 1, , n dont la runion des graphes est gale C, do lersultat.

3-b i est affine. Fixons un entier k dans [[1, n]]. Choisissons sur Mn(C) une norme N, subordonne une norme de Cn. On a alors, pour tout C

|k()

|N(A

+B)N(A)

+|

|N(B).

La fonction k est donc affine, daprs le thorme de Liouville, do le rsultat.

4-a Dtermination de et. Les valeurs propres de A+ B In sont, pour tout C

i() = ai + bi , 1 in.

On veut tablir lexistence de > 0 et de > 0 tel que : ( r> 0),( C)

(0 < r< ) et (|| >) = ( [0,2]),( (i,j) [[1,n]]2), ai + bi (aj + bj + r ei) = 0.

Fixons (i,j) dans [[1,n]]2. Une petite discussion lmentaire permet de mettre en vidence lexistence dei j > 0 et de i j > 0 tels que : ( r> 0),( C)

(0 < r< i j) et (|| >i j) = ( [0,2]), ai + bi (aj + bj + r ei) = 0.

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On obtient le rsultat souhait pour le choix de

= min(i,j)[[1,n]]2

i j et = max(i,j)[[1,n]]2

i j.

4-b Holomorphie dej,r. Ceci est une consquence du thorme danalycit des intgrales dpendant

dun paramtre.

4-cj,r admet une limite en +. Fixons j dans [[1,n]]. Daprs la dfinition de , le complexe j() estla seule valeur propre de A+ B entoure par j(,r), pour tout U.On en dduit que j,r() est le projecteur spectral sur Ej()(A+B).De la relation A+ B= (B+ 1A), on dduit que : ( U),

Ej()(A+ B) = E1j()(B+1A) = E(bj+1aj)(B+ 1A)

et par suite que j,r() est le projecteur spectral sur E(bj+1aj)(B+1A).Il sagit de montrer que j,r (1/s), le projecteur spectral sur E(bj+saj)(B+ s A), admet une limite lorsque stend vers 0. Posons

C = {(s, t) C2 ;PB+s A(t) = det(B+ s A t In) = 0}.Comme B est diagonalisable, lensemble C a des proprits analogues C ; ce qui prcde montre que C

est la runion des graphes des applications affines

ti(s) = bi + sai, 1 in.

On a donc

PB(t) =n

i=1(bi t) = (t0 t)d (t0 t)d

(t(k)0 t)d(k)

o {t0, t0, , t(k)0 } constitue lensemble des racines de PB, de multiplicit respective d,d, , d(k).Plaons nous au voisinage de y0

=(0, t0) dans C. Considrons (G(D))1l la famille de branches locales

en y0 dont les multiplicits respectives sont (d)1l.Il existe i [[1,n]] tel que la branche G(D) soit paramtre autour de lorigine par (s, ti (s)), pour tout1 l. Introduisons alors pour s= 0 suffisamment proche de lorigine W(s), le noyau de B+s A ti (s)Inet les sous-espaces vectoriels W(0) associs comme en III-A-3, pour tout 1 l.Sur un voisinage point de 0, les sous-espaces vectoriels (W(s))1l sont en somme directe.Par ailleurs, la matrice B tant diagonalisable, on peut crire

Et0 (B) =l

=1W(0).

Pour s= 0 assez proche de 0, on a d(s, ti (s)) = d et comme B+ s Aest diagonalisable, il vient

dim W(s) = d,do par III-A-3

dim W(0) = d, 1 l.Les questions III-B-1 et III-B-2 fournissent

d(y0) =l

=1d =

l=1

dim W(0).

La matrice B tant diagonalisable, on en dduit

dim Et0 (B) =l

=1 dim W(0)

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ce qui assure plus prcisment la somme directe

Et0 (B) =

1lW(0).

Onavudans III-A-3-b, quil existe d fonctions 1,2, ,d , holomorphes sur un voisinage de 0 tellesque

(s) = 1(s),2(s), , d (s)constitue une base de W(s),1 l.Sur un voisinage point de lorigine, la famille B0(s) =

1l

(s) constitue une base de

1lW(s), o

chaque W(s) constitue un sous-espace propre de B+ s A, pour 1 l.En outreB0 est holomorphe sur un voisinage de 0 avecB0(0) qui constitue une base de Et0 (B).

En travaillant de manire analogue au voisinage des points y0 = (0, t0), ,y(k)0 = (0, t(k)0 ) dansC

, on met envidence des fonctionsB1, ,Bk, holomorphes au voisinage de lorigine.La matrice B+ s Aest diagonalisable, pour tout s C ; on a alors sur un voisinage de lorigine

B(s) =k

i=0Bi(s)

qui forme une base de vecteurs propres de B+ s Adans Cn et est une fonction holomorphe de s.Notons Q(s) la matrice de passage de la base canonique B(s), pour ssuffisamment proche de 0.Alors s Q(s) est holomorphe sur un voisinage de 0, valeurs dans GLn(C). En outre, sur un voisinagepoint de lorigine, la matrice

D(s) = Q1(s)j,r(1/s)Q(s)est diagonale, avec des coefficients diagonaux contenus dans {0,1}. Comme Dest continue sur un voisinagepoint de lorigine, elle prend une valeur constante j.On a donc sur un voisinage point de lorigine,

j,r(1/s) = Q(s)jQ1(s),

fonction qui admet clairement un prolongement holomorphe en 0, ce qui constitue le rsultat.

5 (b) (a) dans MT(n,C). Fixons j dans [[1, n]] ; introduisons la fonctionj,r prcdente.Nous allons tablir que pour r> 0 assez petit, la fonction j,r se prolonge en une fonction entire.On a i : ai +bi, pour i [[1,n]]. Il est alors ais de constater que les seuls points o lon a un ventuelproblme sont les complexes o le cercle j(,r) rencontre une valeur propre de A+B.Notons(r) lensemble de ces complexes. On a prcisment : ( C),

(r))

(i [[1,n]]), |i() j()| = r (i [[1,n]]), |(ai aj)+ (bi bj)| = r.

Si bi = bj, pour tout i [[1,n]], on a alors en prenant r> 0 assez petit, j,r entire.Sinon pour i [[1,n]] tel que bi = bj,

|(ai aj)+ (bi bj)| = r aj aibi bj

= r|bi bj| On voit alors dans ce dernier cas, pour r> 0 assez petit, que (r) est une runion de cercles 1(r), ,k(r)dont les centres ne dpendent pas de r et les rayons sont respectivement

r

|bi1 bj|,

,r

|bik bj|,

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o{i1, , ik} = {i [[1,n]] ; bi = bj}.

Fixons un tel rel r ; considrons 0 un complexe de(r), distinct des centres des cercles de (r).On peut alors trouver 0 < r < r tel que 0 soit intrieur la composante connexe non borne de (r).Notons et lintrieur des composantes connexes non bornes respectives de (r) et(r).On a bien sur

; en outre j,r est holomorphe sur etj,r est holomorphe sur.Comme pour complexe de module assez grand, j,r() et j,r() reprsentent le projecteur spectral surEj()(A+B), les fonctions j,r etj,r coincdent linfini. On en dduit que ces fonctions coincdent sur. Ainsij,r constitue un prolongement holomorphe en 0 de la fonctionj,r.

Enfin, en chacun des centres des cercles de (r), on prolonge j,r holomorphiquement, de la mme ma-nire que lon a prolong

sj,r(1/s)en 0 dans la question prcdente.La fonction j,r peut tre prolonge en une fonction entire qui admet une limite quand || tend vers lin-fini. Elle est donc constante.Ainsi ce rsultat vaut pour chaquej,r,1jn, en prenant r

>0 assez petit ; considrons alors et deux

complexes distincts de module suffisamment grand.On sait que les ensembles

{j,r() ;1jn} e t {j,r() ;1jn}

dcrivent respectivement lensemble de tous les projecteurs spectraux de A+ B et de A+B.Les fonctionsj,r, 1jn, tant constantes, on en dduit que les matrices A+Bet A+Bont les mmessous-espaces propres.Il en rsulte que ces matrices commutent et par suite que Aet B commutent.

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Chapitre 4

preuve crite danalyse et probabilits

4.1 nonc

Notations, dfinitions et rappels

Soient S1 lecercle:{z C, |z| = 1}, Dledisque:{z C, |z| < 1}.OnnoteC la C-algbre des fonctions conti-nues de S1 dans C,C le groupe des inversibles de cette algbre, cest--dire lensemble des lments deC qui ne sannulent pas sur S1. LalgbreC est munie de la norme uniforme sur S1, dfinie par :

C, || = max|(z)| ; z S1

.

Si nest dans Z, soit en llment deC dfini par :

z

S1, en(z)

=zn.

Si fest une fonction de S1 dans C, on note fla fonction 2-priodique de R dans C dfinie par :

t R, f(t) = f(ei t).

Selon lusage, on identifie deux fonctions f1 et f2 de S1 dans C telles que les fonctions f1 et f2 soient

mesurables au sens de Lebesgue et concident sur le complmentaire dune partie ngligeable de [, ].On note L1 (resp. L2) lensemble des (classes de) fonctions fde S1 dans C telles que fsoit intgrable (resp.de carr intgrable) au sens de Lebesgue sur [,]. Pour fdans L1, soit :

f= 12

f= 12

f(ei t)dt.

Lapplication qui fdans L1 associe |f|1 = |f| est une norme sur L1. Si fest dans L1, on note fla fonction de Z dans C dfinie par :

n Z, f(n) =

f en =1

2

f(ei t) ei nt dt.

On rappelle que fest nulle si et seulement si fest llment nul de L1.

Pour f1 et f2 dans L2, on notera f1,f2 =

(f1 f2), dfinissant ainsi un produit scalaire hermitien sur L2.

La norme associe , est note | |2. Si fest dans L2, alors :

|f|2 =1

2

|f(ei t

)|2

dt.

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On rappelle que L2 est contenu dans L1, avec de plus :

f L2, |f|1 |f|2.

On rappelle galement que L2 est un espace de Hilbert complexe dont (en)nZ est une base hilbertienne. Si E est un espace vectoriel et F un sous-espace de E, on dit que F est de codimension finie

agrégation math 2009

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