Histoire des Maths _ Théorème de Thalès Page 1

Histoire des Mathématiques

Atelier 4 : Des anecdotes de l’Antiquité

Partie 2 : Découvrir la hauteur de la pyramide de Kheops avec Thalès.

Vidéo : Animation : L’ombre de Thalès plane sur la grande pyramide !

Activité d’approche : La pyramide de Kheops

Thalès de Milet appelé communément Thalès serait né vers 640 avant J.-C., à Milet,

ville principale de la côte ionienne (Turquie actuelle).

Thalès est présenté comme un mathématicien, physicien, astronome et philosophe grec.

Il existe une anecdote, rapportée par un historien Grec,

qui dit que Thalès de Milet, au cours de l’un de ses

voyages en Egypte, rencontra le Pharaon Amasis, qui

voulut le mettre à l’épreuve en lui demandant de

déterminer la hauteur de la Grande Pyramide de Kheops...

Comment a-t-il procédé pour trouver la hauteur de la

pyramide ?

………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Voici comment Thalès aurait procédé :

A un moment ensoleillé il planta un bâton dans le sol (représenté par le segment [MN]) de telle sorte que son

ombre coïncide avec celle de la pyramide. Il a pu sans problème mesurer certaines longueurs.

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…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

BD = 115 m;

AB = 280, 8 m;

AM = 24, 34 m;

MN = 12, 5 m.

Remarque : Thalès se servit de sa propre

taille comme unité de mesure, nous

adapterons ici la situation pour qu’elle

soit compréhensible par tous : nous

utiliserons le mètre comme unité de

mesure, mètre dont l’invention ne

remonte qu’à 200 ans environ...

B D M A

C

Soleil

N

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Expliquer pourquoi les droites (MN) et (BC) sont parallèles :

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………

Comment Thalès a-t-il obtenu la hauteur de la Pyramide ? Exploitation mathématique :

Nous allons utiliser la figure construite avec le logiciel GeoGebra.

Que vaut la longueur du segment [BC] ? BC = ………………………….

Ainsi la pyramide a une hauteur de …………………….

Mais comment Thalès a trouvé ce résultat vu que les ordinateurs étaient loin d’exister ?

Pour essayer de comprendre, calculer les rapports (arrondir à 3 décimales) :

MN

BC =

………

……… = ……………….

AM

AB =

………

……… = ……………….

Que remarquez-vous ?

…………………………………………………………………………………………………………………

Sachant que AN = ……………………… et AC = ………………………, calculer AN

AC =

……………

Comment pourrions-nous retrouver les valeurs de AN et AC ?

…………………………………………………………

Histoire des Maths _ Théorème de Thalès Page 3

Quelle relation avons-nous vérifié ?

……………………………………………………………………………………………………………

A votre avis est-ce toujours vrai ? ………………

La relation est-elle vraie si les droites (BC) et (AB) ne sont pas perpendiculaires ? ………………

Nous allons vérifier la relation grâce au logiciel Geogebra :

Trois configurations possibles :

Histoire des Maths _ Théorème de Thalès Page 4

Quelle condition semble suffisante pour que ces rapports soient égaux ?

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…………………………………………………………

Les longueurs des côtés parallèles des triangles AMN et ABC sont proportionnelles

A RETENIR : Propriété de Thalès

Soient d et d' deux droites sécantes en A.

Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont ………………………………… alors :

Les longueurs des côtés du triangle ABC sont ……………………………………………… aux

longueurs des côtés du triangle AMN.

Remarque : il faut toujours commencer par le sommet opposé aux côtés parallèles

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Objectifs:

_ Réinvestir le théorème de Pythagore.

_ Réinvestir l’application du théorème de Thalès.

_ Résolution à l’aide du logiciel Géogébra, puis à la main.

Enoncé :

Le Téléphérique de Grenoble Bastille relie le centre-ville de Grenoble à la colline de la Bastille sur un

dénivelée de 266 mètres. Il se déplace à une vitesse constante de 2,9m/s. Le trajet entier dure 4 min.

Les pompiers de Grenoble ont participé avec succès au sauvetage de 37 personnes bloquées, le dimanche

29 juin 2014, dans les bulles de la Bastille.

Pascal, qui se trouvait dans la 5ème

et dernière bulle souhaite savoir à quelle hauteur il se trouvait au

moment du sauvetage. Il se rappelle avoir pris les œufs à 11h10 et être arrêté 2 minutes plus tard.

Indication : on considère que le point de départ des œufs est à 0m (côté centre-ville).

1. Faire un schéma à main levée de cette situation. La compléter au fur et à mesure des

questions.

2. Calculer la longueur du téléphérique : du centre-ville à la bastille.

3. En déduire la longueur au sol du téléphérique.

4. A quelle distance du point de départ se trouvait Pascal au moment du sauvetage ?

5. Résoudre le problème de Pascal à l’aide d’un théorème que vous nommerez.

6. Réaliser une figure à l’aide de GeoGebra représentant la scène.

Comparer votre résultat obtenu à l’aide du logiciel avec celui obtenu à la main.

Aide : Utiliser l’onglet « cercle centre-rayon » pour tracer un segment de longueur donné.

Opération sauvetage dans les œufs

Application du théorème de Thalès