AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale. Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm

❯ P❨❯

♦rt♦r ♥rétq t é♥q é♦rq t ♣♣qé ❯

tès

Prés♥té t s♦t♥ ♣q♠♥t ♦t♦r

♣♦r ♦t♥t♦♥ r

♦tr ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q ♦rr♥

♣été é♥q s tér①

♣r

r♥s♦

♦♠♦é♥ést♦♥ t♦♠tq ♠①

srts ♣ér♦qs ♣♣t♦♥s ① ♠♦sss

♣♦②♠èrs t ① ♠① ①étqs

rtr tès ♥r♥ç♦s

♦♠♣♦st♦♥ r②

♣♣♦rtrs Ptr ❯ Pr♦ssr s ♥rstés♠ rtr rr

①♠♥trs ② Pr♦ssr rtr ♦♥t ♦rt♦r érr ❯ Pr♦ssr ♠ért

té♣♥ t ❨♥♥

♠r♠♥ts

t♥s t♦t ♦r à ①♣r♠r ♠ ♣r♦♦♥ r♦♥♥ss♥ à ♥r♥ç♦s♥♦r q ♣té rr ♠♦♥ tr tès ♥ rs♦♥ ♠♦♥♠♣♦ à ♣♥ t♠♣s ♣r♦ssr ②é s Ps ♦♠r ♠ ♣rés♥ s♥ ♦rt♦r é♥q é♦rq t ♣♣qé ♥②♥ ♣ êtr réèr ♠s s♥tq ♥r♥ç♦s ss qtés ♠♥s s ♣t♥ t s♦♥ s♣rt t♦♦rs ♣♦st ♦♥t ♣é à é♦♥♠♥trr s♦s s rt♦♥ été ♥ r ♣sr

♣r♦♦♥ rtt à ♠ ♠♠ té♣♥ q r♥t s ♥♥és ♣té q sr à tt tès ♥ ♦♥♥ ♣rt ♥♦s s♦rés ♥st ♥s ♥s s♦♥ s♦t♥ ♥r ♠s ♠♥é à tr♠ s tr①

r♠r é♠♥t ♥ rr ♣♦r ♦♥♥ q ♠ té♠♦♥é♥ ♠ ♣r♦♣♦s♥t st tès

ssrs ♠ ♦rst t Ptr rtr ♦♥t ♣té r♣♣♦rtrsr tt tès ♥ ss ♣r♦♦♥é♠♥t ♦♥♦ré t s r♠r s♥èr♠♥t

s r♠r♠♥ts ♦♥t ss à réè♥ tr rs♣♦♥s éq♣ rr é♥q tér① t Pr♦éés rt♦♥ P ♦rt♦r P②sq t é♥q ①t ♦s ♣♦r ♠♦r t♦rséà tsr r éq♣♠♥t ♥♦r♠tq ♣♦r s s♠t♦♥s ♣r éé♠♥ts ♥sà ♦ qs

r♠r é♠♥t ♠ssrs ② ♦♥♥t t érr ♠r q ♦♥t♣té ♣rt♣r r② t q ♦♥t ♥ ♦ r qté ♠♦♥tr

t♥s à r♠rr é♠♥t t♦s ♠s ♦ès ♠é♥q t t♦♠ts♠ ♥str ♦♠r s s s♦♥t ♠♦♥trés ♥♥ts t ♦♠♣ré♥ss♦rsq ♥s s ♣ér♦s ♣r♦ts ♥strs ♥ ♣s ♣ êtr ss s♣♦♥ q rt été ♥éssr

♥♥ t ♥t t♦t t♥s à r♠rr ♦♥ ♦r t♦s ♠s ♣r♥tsrèrs s♦rs t ♠s ♣♦r r s♦t♥ ♥ét ♥s s ♦♥s ♦♠♠ s♠s ♦rs

s ♠tèrs

s ♠tèrs

♥tr♦t♦♥

♦r♣q sr s ♠ét♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q trs ♥tr♦t♦♥ sttt♦♥ ♥ ♠ srt r trs ♠♦sss ♣r ♥ ♠

♦♥t♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥t♥ éq♥t ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq ♦♥t♥ éq♥t ♣r s ♠♣s ♠♦②♥s ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

♦① s ②♣♦tèss ♦♠♥s ♣♣t♦♥ rtèrs ♦① ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s à s ♠① ♣ér♦qs srts trs ♦t♦♥ ♣ér♦té ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ❱♦♠ é♠♥tr ♣rés♥tt sé♣rt♦♥ é ♦st♦♥ ♠♠ ♦r♥s ❱♦t ss t s♥ tr♠♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s Pss ① ♠① srts ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s

♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s tr ♦♠♥♥t ♥s s trs ♣♦trs ♦♥s♦♥

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt t♦♠tst♦♥ ♠ét♦ ♥ ♠♦è ♣♦tr s♠♣é ♥tr♦t♦♥ t ♠♥ ♦r ♦ tts r♦♠ srt ♦♠♦♥③t♦♥

srt ♦♠♦♥③t♦♥ sr♣t♦♥ ♦ t ♠t♦ ♠① ①♦♥ ①t♥s♦♥ tt t t♦♦♥① tt ♣r♦♣♦s ♦r sst♦♥ ♦ tts t rs♣t t♦ r♦tt♦♥s

①t♥s♦♥ t♦ s ♦ t ♥ ♦♠s t ♦r ♦ t trïr trss ♥ ♦♠s ❱t♦♥ ② ♦♠♣rs♦♥ t ♥②t ♠♦s ♥ s♠t♦♥s

♦♥s♦♥s ♥ ♣rs♣ts ♠rqs ♦♠♣é♠♥trs

①♠♣s trs ♦♥s♦♥ sss♦♥

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt trs éstqs rs ♥ ♠ ♦♥t♥ ♠r♦♣♦r ♥tr♦t♦♥ tt♦♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥s s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés ♠é

t♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ r st♦rq s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés qt♦♥s s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r s ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r

①t♥s♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt s ♠r♦♣♦r Pr♥♣ é♥ér Pr♠èr ét♣ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥s éqr s♥t ♣♣

rîtr s trs ♦rts Si t s trs ♠♦♠♥ts µi ①è♠ ét♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ s éqt♦♥s éqr srèts ♠♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s ♦t♥s t rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s

①♠♣s ♣♣t♦♥s trs rré trs ①♦♥ ♣♣é ss ♥ ❱ért♦♥s s ♠♦s ♦t♥s

♦♥s♦♥ sss♦♥

♣♣t♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ① trs ①étqs ♥tr♦t♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r s trs ①étqs ♥tr♦s②♠étrqs

trs ①♦♥ ré♥tr♥t trs ①r trs ♠♥t r

♦♠♦é♥ést♦♥ rs ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t ♠♣t♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♥ ♦t♥r ♥ ♦

ssq trs t♦♥

♦♥s♦♥s sss♦♥

♣♣r♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♦♠♦é♥ésé ♥ trs ré♣étt à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥

♥tr♦t♦♥ ♦r♣ sr ♠♦ést♦♥ s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq

♦① ♠ét♦ ♠ts t ♦♠♥s tst♦♥ qt♦♥s ♦♥sttts à é ♠r♦s♦♣q

qt♦♥s à é ♠r♦s♦♣q ♠♦è ést♦♣stq ♥ ♣♦tr♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣

♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♦ é♠ ♥tért♦♥ ♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥

ét♦ Pr♥♣ é♥ér s srs r ♠t ♥ts ♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t ♣stq

♦ t ①♠♣s ♦rt♠ s srs rs ♥ts ♦rt♠ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq

♦♥s♦♥s sss♦♥

♦♥s♦♥ ♣rs♣ts

♦r♣

②♥tès té♦r s ♣♦trs ♥ ♣tts é♣♠♥ts t ②♣♦tès r♥♦ trtr s ♣r♦è♠s ♣♦tr Pss s éqt♦♥s ♦s ① éqt♦♥s ♦s ♣♣t♦♥ ♣r♥♣

s ♣ss♥s rts ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♣♣t♦♥ ① ♣♦trs

srétst♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ♣♦tr P♦tr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ P♦tr ♥ ①♦♥ tr rr éé♠♥tr ♥s r♣èr strtr ss♠ s ♠trs éé♠♥trs

①♣rss♦♥ t♦r s ♦rts ♥s r♣èr strtr

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ à ér♥ts trs ♥tr♦t♦♥ trs ♦♠

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥ éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

trs r♥r♥ éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥ éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs ①t éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥ éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs sqr éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥ éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs r♥ éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥ éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

trs tt éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

♦ s♦r ♣ é♦♣♣é à ♣rtr ♦rt♠ ♠r♦♣♦r t ♦rt♠ ssq ♦rt♠ ♠r♦♣♦r t ♦ s♦r ♣ ♦rrs♣♦♥♥t ♦ s♦r ♣ ♦rrs♣♦♥♥t à ♦rt♠ ssq

①♦♥ s♠♣ ♥ ♣♦trtrs ♠r♦♣♦r ♥tr♦t♦♥ ①♦♥ ♠r♦♣♦r s♠♣é

♥tr♦t♦♥

s strtrs s♦s ♦r♠s trs s♦♥t très tsés ♥ rs♦♥ rs ♠t♣s ♥ts ♦♥t ♥ ♦♥ r♣♣♦rt rté♣♦s s ♠é♥s♠s s♦r♣t♦♥ é♥r t ♣♦r♠ t ♣r♦tt♦♥ ♥s q♥ r♥ résst♥ ♣r r♣♣♦rt à rs ♦♠♦♦s♣♥s s s♦♥t tsés ♥str♠♥t ♣♥♥① ♣②♦♥s ♠tér① r♠♣ss♠s s♦♥t ss ♣rés♥t ♥tr♠♥t s♦s ♦r♠ ♠tér① rs ♠♦sss ♦s♦s trér ♠♠r♥s ♦♦qs é♦♣♣♠♥t ♥♦① ♣r♦éés rt♦♥ és ♣r♦t♦t②♣ r♣ é♦♣ sr ♠♣rss♦♥ ♣r♠t ♦t♥r strs s ♠r♦strtrs qs q♦♥qs ♥ s ♥♥és é♦♣♣♠♥t t♥qs ♥②s trs ②♥t s ♣r♦♣rétés ♣ ♦♠♠♥ ♦♠♠♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ❬Pr ♥ s ❪ ♥ stt♥ à q s ♥♦① ♠tér① ♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs ♣ ts t s ♣r♦♣rétés ♥♦rs♣érr ♥s rt♥s s r♠♥ts ts q s ♦♥ts ♦♥♥trt♦♥ ♦♥tr♥t réts ♥ t♦ér♥ ① ♣r♦rt♦♥s ♦ s ♣tés rs s♦r♣t♦♥ s♦s ❬♦②♦②♦ ♥ ❪ ét ♠é♥q s trs ♦ s strtrs rs st♥ ♣♥ r♦ss♥

♥♦♠rss ♠ét♦s ♣♦r ét ♠é♥q s trs ♦♥t été é♦♣♣és ét♥ ♦r rt ♣r éé♠♥ts ♥s ♠ré r♦ss♥ ♦♥st♥t ♣ss♥ s ♦r♥trs st à ①r ès ♦rs q ♦♥ ♣r trs qs ♥♥s s rss ♠ét♦séts tsés sqà ♣rés♥t ♦t♥t♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ sq① ♣♣r♦s s ♣r s ♣rés♥t♥t ♥ s ♥ts t s ♥♦♥é♥♥ts ♠s ♥ s ♠ét♦s à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥st ss♠♠♥t é♥ért t♦♠tsé t s♦rt q ♣ss êtr ts ♣r ♥ tstr ♠ s♥s♦♥♥ss♥ s♥tq ♣rtèr é é♣rt tr tès st ♦t♥r♥ ♠ét♦ ♥é ♣♦r trt♠♥t t♦♠tq trs t♦♣♦♦s t ♣r♦♣rétés ♠é♥qs rss ç♦♥ à ♦t♥r ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♦♠♦é♥ést♦♥t ♦t ♦♠♦é♥ést♦♥ r s♠♣♠♥t êtr ♠♥té ♣r ♥ r t①t ér♥t é♦♠étr t ♦♥♥tté trs été

♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q ♥ trs ♣t s r à s ♥①

♥ tsr ♥s tt tès tr♠ é♥ér trs ♣♦r és♥r t♦t ♠ srt q ♣t êtrss♠é à ♥ ss♠ ré♣étt ♣♦trs tr♥é ♦ ♥♦♥

♥ss rs t ♥s ér♥ts ♦♠♥s ♦ ♦♥t♦♥s r ♦s trtr♦♥s tr♦ss♣ts

♥ ♣r♠r ♥ ♥ss ♦t♥t♦♥ t♦♠tq ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♥t♥ ssq s ♠♦s ♠é♥qs ss♦és ♦♥ts ♠é ♠♦ éstq♦♥t P♦ss♦♥ ♥s ♦♠♥ éstq

♥ s♦♥ ♥ ♥ss ♥ s♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ t♦♠tq rs ♥ ♠ ré s♣érr ♠ ♠r♦♣♦r é♠♥t ♥s ♦♠♥ éstq

trt♠♥t ♥ ♦♠♥ é♦r♠t♦♥ ér♥t ♦♠♥ ♣stq ♥ sr à étr♠♥r ç♦♥ t♦♠tq ♦♠♥ résst♥ éstqs ♠ts éstqs t é♦t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t trs ♦♠♦é♥ésé ♣rès ♥ ét ér♦ss

s tr① sr♦♥t ♣rés♥tés ♠♥èr à ♣r♠ttr tr sr é♦t♦♥ ♥♦tr♦♠♣ré♥s♦♥ s ♣r♦è♠s ♣♦sés t s s♦t♦♥s ♣♣♦rtés

♥s ♣tr ♥ ♦♥ ♦r ♣r♦è♠ ♦① ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥♣rès ♥ rè ♥②s s ♠ét♦s s ♣s ♦r♥ts ♦♥ ♠♦♥trr ♣♦rq♦ ♠ét♦♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt é♦♣♣é ♥s ♦♥r ♥ r ❬❪ t♦r ❬❪ ♦r ss r t ❬❪ ♥♦s s♠é êtr ♣s ♣té t q ♦♥ sétt ①é ♥ é♦qr é♠♥t ♥s ♠ê♠ ♣tr s ②♣♦tèss s♦s♥ts à ♥ r♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ r s ♥♥♥t r♥♠♥t réstt ♥

P♦r tr r ét ♦♥ tsé ss♠♥t s trs s♣♥ t ❬❪♦r r ♣rés♥tt♦♥ ss♠♥t ♥ ① té♦rs ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♦ ①t♥s♦♥♥ st été ♥s ♠ê♠ ♣tr ♥ ♦♥ ② ♦tr ♥ tr♦sè♠té♦r s trs s♥s ♦♠♥♥t

♥s ①è♠ ♣tr ♥♦s ♦♥s t♦♠tsé rs♦♥ ♠ét♦ tsé ♣r♦r ❬❪ r t ❬❪ ♥ ♣♣♦rt♥t ♥ ♥♠♥t sr é♥t♦♥ s ♦rtstr♥srs ♦rt tr♥srs tsé ♣r ②♠♥ ♦r r♣♦s sr ♥ ②♣♦tès stt rstrt r♦tt♦♥ r s ♣♦trs ♦r r ♦s ♣réér♦♥s ♥♦ ♣s ssq ss ♠♦è ♣♦tr r♥♦ tt ♦ sr ♥é♥♠♦♥s tsé ♠♥èr s♠♣é ♥s ♣tr ① ♦r r

♥s ♣tr tr♦s ♦♥ ♣r♦♣♦s tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t ♦r r ♥s ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ésst ♥tr♦r ♥ s♦♥♣r♠ètr ♥é♠tq r♦tt♦♥ ♥♦s t ♥ s♦♥ sér éqt♦♥s éqréqr s ♠♦♠♥ts tst♦♥ ① ♣r♠ètrs sst s qst♦♥s q st ré ♥t é♦♣♣♠♥t t à q ♦rr srrèttr P♦r ♦rr ♣r♦è♠ ♦♥ t ♥ ♥t♦rs à ♣♦s♦♣ ♣rés♥t tst♦♥ s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tq♥ s♥t ♥ s♣♣♦st♦♥ sr ♠ à ♦t♥r ♦♠♠ trs ♥t ♥♦s ♥♦s ♦♥st♥ rs♦♥♥♠♥t s♥t ♥♦♠r ♣r♠ètrs ♥é♠tqs rt êtr ♥tqà é ♠r♦strtr t à é ♦♠♦é♥ésé ♠r♦s♦♣q ♦r r t r♠♥t ♥♦s ♦♥t à sr ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♦ ♦ssrt

r ①♠♣ trs ♦♠♥♥ts ér♥ts trs tr♥ à ♦♠♥♥t①t♥s♦♥♥ tr① ①♦♥ à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ t trs t♦♦♥ ①ts♥s ♦♠♥♥t

♦① ♥♦s ♣r♠s sttr sr ♦rr é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s ♣r♠ètrs t tsr s ♣r♦♣rétés q ♣♦ssè ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♥ st ♦r♠ rt♦♥ ♦♥tr♥té♦r♠t♦♥ ♥s s ♠① à s②♠étr ♥tr❬r♦s ♥ s♥ ❪

♣rès ♦r ♠♦♥tré q ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t ♦♥t à ① ♠① ♦♠♦é♥ésés ér♥ts s♥t ♦rr é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♦s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ②♣♦tès ♥ trs ♥tr♦s②♠étrq ♦ ♥ ♠ ssq ♥♦s ♦rs s♠é t érr t r t♥tq ♣♦ss s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥s t s ♦s s ♦t♥s st ♦t ♣tr qtr ♥s q ♥♦s rés♦♥s ♥ sér tsts sr ér♥ts trs ♦tr♥térêt ♣♦rté ♣s ♣rtèr♠♥t sr s trs à ♦♥ts P♦ss♦♥ ♥éts ♣♣ésss ①étqs ♦ ♦♥sérés ♦♠♠ ts s ♠♦s ♦♠♦é♥ésés s♦♥t ♦♠♣rés à ①♦t♥s ♣r s s♠t♦♥s éé♠♥ts ♥s ♥s qà s tsts ①♣ér♠♥t① s♣♦♥ ♥s ttértr

♥s ♣tr ♥q ♥♦s ♦r♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq s♦t sr r ♥t t s♦♥ é♦t♦♥ é à ér♦ss ♥②s st rstr♥t ① trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♥ t s s♠t♦♥s résés sr

Μ

u(O(b))

Fo

u(E(b))

FE

Μ ο

Me

T

O(b)

E(b)

TO(b)

E(b)

poutre non déformée

poutre déformée sans

rotation aux noeuds

u(O(b))

u(E(b))

e

o

Μ ο

Me

T

T

u(E(b))

O(b)

u(O(b))

E(b)

F

F

O(b)

E(b)

poutre non déformée

poutre déformée

r r♥ts ♠♦ès ♣♦trs é♦qés ♥s tt tès ♠♦è rt ❬❪ s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♦♥t♦♥s rt♦♥ ♥r ♥tr ① ♣♦trs rs ♠♦è r♥♦ s♠♣é ♥ ♥é♥t r♦tt♦♥ s ♥♦s ♠♦è r♥♦♦♠♣t

forme de la déformée

paramètres cinématiquesassociés

milieu continusuggéré

modèle barre (liaison pivot) modèle poutre (liaison rigide)

uuf1

f2

fu u,

Cauchy classique micropolaire (rotations et déplacements indépendant)

r s♦♥♥♠♥t st ♦♥s♥t à ss♦r s ♣r♠ètrs ♠♦è ♣♦tr ♠r♦strtr t ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♣rès ♦♦r ❬❪

s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♠♦♥tr s ♠♦s é♦r♠t♦♥ ♣stq ♦♠♣①s s ♣é♥♦♠è♥s rt♦♥ t ♦st♦♥ ❬♠r t ❪ ♣rès ♥ ét ér♦ss ♥ ♠♦♥tr ♦♠♠♥t ♦t♥r ♠♥èr t♦♠tq ♦♠♥ éstqsr rs ♥ts à ♣rtr s éqt♦♥s éqr ♦t♥s ♣r ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq

s♦♥ ♦t ♣tr tr♦r ♥ ♦rt♠ étr♠♥t♦♥ é♦t♦♥s srs rs t ér♦ss ♣rés♥t ♥ très r♥ ♥térêt ♣rtq ♦♠♠ ♠♦♥tr ét ♦r ❬❪ ♥ t ♥ t ♦rt♠ ♣r♠ttrt rér t♠♣s ♠♥èr ♦♥séq♥t ♣r r♣♣♦rt à s s♠t♦♥s ♥ éé♠♥ts ♥s st♥rsr très sts trs ♦rt♠ tsé st ♦♣ ♣s é♥ér q ♦r❬❪ t ♣r♠t trtr t♦s s trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♣rtr s éqt♦♥séqr ♦t♥s ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq ♥♦s ♦♥s ♣té ♠ét♦ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ é♦♣♣é ♣r ♠♦ ♥ s ❬❪ ♣♦r ♦♥strr t♦rt♠ é♦t♦♥ ♣stq

Chapitre 1 ♦r♣q sr s ♠ét♦s

♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q trs

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

sttt♦♥ ♥ ♠ srt r trs ♠♦sss ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♦é♥ést♦♥

♦♥t♥ éq♥t ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq

♦♥t♥ éq♥t ♣r s ♠♣s ♠♦②♥s

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

♦① s ②♣♦tèss ♦♠♥s ♣♣t♦♥

rtèrs ♦① ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqsrèt

♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s à s ♠①♣ér♦qs srts trs

♦t♦♥ ♣ér♦té ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥

❱♦♠ é♠♥tr ♣rés♥tt sé♣rt♦♥ é ♦st♦♥

♠♠

♦r♥s ❱♦t ss t s♥ tr♠♥

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s

Pss ① ♠① srts ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqs ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s

tr ♦♠♥♥t ♥s s trs ♣♦trs

♦♥s♦♥

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

♥tr♦t♦♥

♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s trs ♣t s r s♥t ♣srs ♣♣r♦s ér♥ts ♦♠♥ts ♦♥t ♥ s②♥tès s ♠ét♦s ♦♠♠ ♦♦r ❬❪ rtr ❬❪ ♦♥r ❬❪ ♦ ❱r♥ ❬❪ ♥ ♣t r♣r♥r sst♦♥ s ♠ét♦s ♥②s ét ♣r ♦♦r

♠ét♦ rt

♠ét♦ s ♠♣s srts

♣♣r♦ ♣r ♣ér♦té strtr

♣♣r♦ ♣r ♦♥t♥♠ éq♥t

♥térss♦♥s♥♦s à q ss ♠ét♦ s ♣♣r♦s rts ts q s ♥②ss♣r éé♠♥ts ♥s s♦♥t ♠tés à ♣tts strtrs st rrtt ♥ ♣s tsrs ♣r♦♣rétés ré♣éttté trs ♥ ♣t ♣rt♠♥t ♦♠♣♥sr ♣r♦è♠ ♣ss♥ ♥éssr ♥ r♥t s ♠ét♦s ♥♠érqs ♦♣t♠st♦♥ ♦rt♠ t ♦♥♥st♦♥ ♠s rst ♥é♥♠♦♥s ♠té ♣s rt♥s ♠ét♦s rét♦♥ t s ♠trs ♦♠♠ ♦♥♥st♦♥ sttq s♦♥t ss♣ts♥tr♦r s ♣♣r♦①♠t♦♥s ♦♥r ♥ r ❬❪ s ♥♦r♠t♦♥s♦t♥s ♣r ♥ ♠ét♦ éé♠♥ts ♥s s♦♥t très r♥s ♣sq ♦♥ ès ① ♠♣s♦① ç♦♥ très été ♥ ♦t s♦♥r ♥é♥♠♦♥s s♣t ♥ét s rrrs rést♥t ♥ trt♠♥t ♥♠érq q ♠♥t♥t t t ♥♦♥♥érté ♣r♦è♠ trté

♥s ①è♠ ss ♠ét♦ ♠ét♦ s ♠♣s srts rérté strtr st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥t♦♥ t ♥ ♥t♦♥ ❬❪ ♥ t r ❬❪ts♥t tt ♠ét♦ ♦♥sst à érr s éqt♦♥s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t téqr ① ♥♦s ♣♦r q rr Ps ♦♥ ♥tr♦t ♥ ♦♣értr ér♥t r♥t s é♣♠♥ts ♥ ♥♦ ♥ ♥♦ ♥♦ ♥s s♥t s éqt♦♥s ① ér♥s ♥s s♦♥t ♥st r♠♣és ♣r s éqt♦♥s ér♥ts ♥ ts♥t s é♦♣♣♠♥ts ♥ sér ②♦r q ♦♥ tr♦♥q à ♥ rt♥♦rr ♦♥r ❬❪ ♥s s tès tsé tt ♠ét♦ ♣♦r tr♦r s ♠♦s ♦♣s ♥ rt♦♥s trs ♣♦trs ét♥ ♥st tt ♠ét♦ à ♥ ♠♦ést♦♥♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ trs trs ♦♥t r♣rs s tr① ♥t♦♥ t ♥ r♣♦t ❬❪ r♣♦ ❬❪②♥ t ❬❪ ♠s ♥ ts♥t ér♥ts ♦♠♥s♦♥s ♥tr ♣♣r♦s ér♥ ♥ t ♠tr tr♥srt ♣r tr♥s♦r♠é ♦rrsrèt tt ♣♣r♦ ♦♥t♦♥♥ ♥ ♣♦r s s s♠♣s ♠s s♦♥ ♦♦r t rt ♥t à ♠ttr ♥ ♦r ♣♦r s é♦♠étrs ♦♠♣①s

tr♦sè♠ r♦♣ ♠ét♦s ♣♣é ♣♣r♦ strtr ♣ér♦q ♥❬❪ ❲♠s ❬❪ ♠t ♥ ♦r ♥ ♦♠♥s♦♥ éé♠♥ts ♥s t ♠tr tr♥srt

qtrè♠ r♦♣ ♠ét♦ ♦♣ ♣s ré♣♥ ♦r ♦♥sst à r♠♣r trs srt ♣r ♥ ♠ éq♥t ♦♥t♥ ♥ ♣t ♥♦tr ♣srs ♥ts ♣r

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r♣♣♦rt ① trs ♠ét♦s ♦t ♦r ♦r ♥ ♣♣r♦ ♣rtq t ♣♦r♥②sr s strtrs r♥ t st ♣rtèr♠♥t r ♣♦r s trs ♣♦trs♦ ♣qs ♦ ♥ sst♥t rét♦♥ ♥♦♠r rés rté ♣t êtr ♦t♥♥st ♣r♠t ♠♥èr s♠♣ ♦♠♣rr ér♥ts rtérstqs strtrs ②♥♠qs ♥ ♦♥t♦♥ é♦♠étr éé♠♥tr t s rt♦♥ss ♣r♦♣rétés ♠tér s ♠♦ éstq ♠t éstq ♥♥ ♦r♥t♥ ♠♦②♥ ♣♦r ♥tt♦♥ s ♣r♠ètrs ♥ s②stè♠ t ♥ ♠♦②♥ ♦♥trôrt ♦♣t♠sr ♦♥♣t♦♥ ♦ ♥ s②stè♠ ♥ ♥st ♣s ♦♥tr♥t ♦♥♥îtr ét ♠r♦strtr q ♦♠♣♦s♥t

♥ ♣t r ♥ r♠rq sr tr♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♣ trs ts♥t tr♠ é♥ér ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♦r és♥r s ♠ét♦s ♣r ♥♦ s ♠ét♦sq s s♦♥t é♦♣♣és ♥s ♦♠♥ ♠é♥q s ♠① étér♦è♥s ♠ét♦s♦♥sst♥t à r♠♣r ♠ étér♦è♥ ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♦è♥ éq♥té♥♠♦♥s ♦♠♠ s♦♥ rtr ❬rtr ❪ tr♠ é♥ér ♦♠♦é♥ést♦♥r♦r s ②♣♦tèss ♥ts très ér♥ts rtr ♣r♦♣♦s st♥r s ♠ét♦s ssttt♦♥ ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ s♥t s ②♣♦tèss ts

s ♠ét♦s ♦ù ♦♥ t ♥ ②♣♦tès ♣r♦r sr ♦r♠ ♠ ♦♥t♥ q♦♥ ♣t ♥♦♠♠r ♠ét♦s ♣r ♠ ♦♥t♥ éq♥t

s ♠ét♦s ♦ù ♦♥ ♥ ♣rés♣♣♦s ♣s ♠ ♦♥t♥ éq♥t q ♦♥ ♣t♥♦♠♠r ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥

♥s s tr① tt tès ♦♥ tsr ♥ ♠ét♦ ssttt♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq q ♣r♦r ♥ ♥ésst ♣s ♣rés♣♣♦sr ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♥sr ♥é♥♠♦♥s ♦♥tr♥t ♥s ♣tr trt♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r r s ②♣♦tèss s♠♣trs q♥t à ♦r♠ réstt à ♦t♥r

♥s q st ♦♥ ①♣♦sr t♦t ♦r s♦♠♠r♠♥t s ♣r♥♣s ♦♠♦é♥ést♦♥♣♦r s ♠① ♦♥t♥s ♣ér♦qs ♦♥t s ♠ét♦s srèts ♥♥ s♦♥t q♥ ①t♥s♦♥♥ ♣♦rr s r♣♦rtr à r ♣♦r ♥ s②♥tès s ♠ét♦s ét ♠é♥qs ♠① srts ♥♥ ♥♦s str♦♥s ♣r♦é♠tq s ②♣♦tèss és à s♠ét♦s

sttt♦♥ ♥ ♠ srt r trs♠♦sss ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♦é♥ést♦♥

r ♣rés♥t ♣r♥♣ é♥ér ssttt♦♥ ♥ ♠ srt ♣r ♥♠ ♦♥t♥ ♦s ♥ trtr♦♥s q s ♠① srts rs ♦ ré♣étts q st ♥ ♦♠♥ éà très st ♥ t ①st trs t②♣s ♠① srts tsq s ♠① r♥rs é♦♠tér① s à ♣rts q ts♥t trs sss ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦s é♥♦♥r♦♥s ♥s ♥ ♣rr♣ sé♣ré s ②♣♦tèssés ① ♠ét♦s r s ♦♥t ♥ très r♥ ♥♥ sr réstt ♦t♥

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

L

PP

W W*

V*

treillis périodiquemilieu homogénéisé

1

2

VER=cellule élementaire

coordonnées du point origine :

avec

Y

Y

r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ trs ♣ér♦q s éé♠♥tr

♦♥t♥ éq♥t ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq

♥ rtr♦ ♥s ♦♦r ❬❪ ♥ ①♣♦sé ♥ s ♠ét♦s sés sr éq♥é♥rétq r♣rs s♦s ♥ r♥t ♣r rrt ♥ rtr ❬❪ s ♣r♥♣sét♣s tt ♠ét♦ s♦♥t

②♣♦tès sr ♦r♠ ♠ ♦♥t♥ éq♥t

s♦r ♥ ♣ér♦

é♥r ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥é♠tq ♣ér♦

♥tr s é♦r♠t♦♥s ♠ ♦♥t♥ éq♥t

r ss rtérstqs ts ♥ ts♥t éq♥ é♥rétq

♣r♥♣ ♥♦♥é♥♥t tt ♠ét♦ st ♦r ♣rés♣♣♦sr ♠ ♦♥t♥ éq♥t

①st ♣srs r♥ts tt ♠ét♦ és ♣r♥♣♠♥t ♠♦ rés♦t♦♥s ♥♦♥♥s ♥s ♦ t ❬❪ ♦ ♥ r ❬❪ ♦♥ s♣♣♦s ♥ éq♥♥tr r ♠♦②♥♥ ♥sté é♥r ♥tr ♠ srt t ♦♥t♥ ♣r♥♣ ♦r ♣rr♣ ♥ ts ♣♦r rés♦r s ♥♦♥♥s té♦rè♠ r♥ ts éqt♦♥s t♦♥♥s s♥t é♦♠étr strtr s ♣♣r♦s s♠ss♦♥t tsés ♣r ♠r② t ❬ ❪ q ♣♣q♥t tt ♠ét♦ à s trsrs t

♥r t ❬❪ r t ❬❪ ♦ ❨♦♦ ♥ s ❬❪ ♣r♦♣♦s♥t s r♥ts ♥ ♦♠♥♥t ♥ ♣♣r♦ ♥②tq t ♥ s♠t♦♥ éé♠♥ts ♥s ♣♦r r ♥sté é♥r ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t

❬♠r ♥ ♦ ❪ é♥t ♥sté é♥r é♦r♠t♦♥ ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦r s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs s ♦♥tr♥ts t♦♣s ♦♥tr♥t s♦♥t ♥st érés tt ♥sté é♥r ♠ét♦ ♥ ♦♥t♦♥♥q ♣♦r s s éé♠♥trs à ♥ s ♥♦

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♥ ❱ ♥♥t ♥ s ♣♦tr ♦♥rt♦♥♥t ♥♦♥ é♦r♠é ♦♥rt♦♥ é♦r♠é s♦♥ ♦r ❬❪

Pr ♥ ❬❪ ♦r♥ ♥ ❬❪ ts♥t ① ss ♥sté é♥r é♦r♠t♦♥ s ♥♦♥♥s rt♦♥ ♦♥tr♥té♦r♠t♦♥ s♦♥t ♦t♥s ♣r ♠♥♠st♦♥ tt ♥sté é♥r s♦s ♦♥tr♥t à ♠t♣trs r♥

♦♥t♥ éq♥t ♣r s ♠♣s ♠♦②♥s

♥ ♥ ♦♥sèr ♣s ♥s s ♠ét♦s ♥ ♣♣r♦ é♥rétq ♠s ♥ éq♥s ♠♦②♥♥s é♦r♠t♦♥ t s ♦♥tr♥ts s♦♥t

εij =

ˆ

ΓV ER

1

2(uinj + ujni) dΓ =

1

V

ˆ

ΩV ER

εijdΩV ER

σij =

ˆ

ΓV ER

tixjdΓ =1

V

ˆ

ΩV ER

σijdΩV ER

Pr♠ s ♠ét♦s ♦♥ ♣t tr tsé ♣r ♦r ❬❪ q ♦♥sst à ♦♥sérr♥ é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ❱ ♦r r s♥ s♦♥ ♦r ❬❪q trs st ♥séré ♥s ♥ ♠tr ♥♥♠♥t ♠♦ t ♠♣q q s ♥♦s s♣♦trs s♦♥t t♦s stés sr s r♦♥tèrs ❱ t ❬❪ t ♥ ♣r♦♦♥♠♥t① trs ①♦♥ ♠s ♦♥tr♥t s ♥♦s ① r♦♥tèrs ①st ♥♦r ♥ q ♣rés♥tt♦♥ ♥ s♦t ér♥t ♦♥ ♠ê♠ t②♣ ♠ét♦ ♥s s♣♥ t ❬❪♥ ♥ ❲ ❬❪ ♥ t ❬❪ ♥ t ❬❪ t ♥ t ❬❪ ♥ ♥♦trss q s ♠ét♦s ♥ s♣♣q♥t qà s trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥

♥ q ♦♥ ♥ ♣ss ♣s ♣rr ssttt ♦♥t♥♠ ♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥♥ ♣t ♣ssr s♦s s♥ ♥♦♠r① trs tr① q ♦♥t ♣r♠s ér ♣r ♥ s ♣r s ♥ rt♥ ♥♦♠r ♦♥st♥ts éstqs ♠tér① rs♦s ♣♦♦♥s tr ♥s tt té♦r s tr① s♦♥ ♥ s② ❬❪ s♦♥❬❪ ❩ t ❬❪ t t ❬❪ ♣r ①♠♣ ♣r♥♣ ♦♥sst à rés♦r ♣r♦è♠ ♠é♥q ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♣♦trs à é ♥ éé♠♥tr♥ tr♦ s rt♦♥s ♥tr s é♣♠♥ts t s ♦rts sr s ♥♦s ① r♦♥tèrs st sr é♣♠♥t ♦ ♦rt srt ♣r sr r♣rés♥té ♣r

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

♣♦r ♦r é♦r♠t♦♥ t ♦♥tr♥t éq♥t str♥ t ❬❪ t ♥ ♣♣t♦♥ ♥r ♠ét♦ s ♦♥séré ♦♠♠ ♥ strtr r ①♦♥rst♥s♥ ❬❪ t st ♣srs trs t ♠♦s éstqs tr♦és ♥s ♥r ♣♣r♦ st ♥♦r tsé ♦r ♣r ①♠♣ ♥ t ❬❪

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

tt ♠ét♦ ②♦♥ ❬❪ ét s rt♦♥s r♠♦♥qs ♥ ♥♥étér♦è♥ à strtr ♣ér♦q P♦r tr♦r s rtérstqs ♠ ♦♥t♥ éq♥t é♦♣♣ t♦ts s ♥♦♥♥s ♣r♦è♠ ♥ é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs ♦r♠

u(x, y) = u0(x, y) + εu1(x, y) + ε2u2(x, y) + ...

ε ét♥t ♥ ♣tt ♣r♠ètr r♣rés♥t♥t r♣♣♦rt ♥tr ♣ér♦ t ♥ ♦♥r rtérstq ♠ ♦♥séré

tt ♠ét♦ s♦s s ♦r♠s éèr♠♥t ér♥ts sr tsé ♣r ♦r♥s t ♥t♥ P♥ sr ♣té ♣r ❱r♥ ❬❪ t r ① ♠① srts ♥♠♥èr ♣s é♥ér ♥s s tès ❱r♥ ét ♥ rt♥ ♥♦♠r trs t②♣♣♦tr trs trs ♦♥t é♠♥t trr s♣éq♠♥t sr s ♣♦trs ♣ér♦qséstqs r♦ t ❱ñ♦ ❬❪ ♦♣♦ ❬❪ ♠r♦ t ♦♣♦ ❬❪ ss② t ❬❪ ♥ tr♦r ♥s rtr ❬❪ ♥ ♣rés♥tt♦♥ ss③ ♦♠♣èt str① ♥s ♦♠♥

♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt ❱r♥ t r sr ♥st♠é♦ré t ①♣♦sé ♥s ♦♥r ♥ r ❬❪ ♥s q ♥s ♦r ♥ r❬❪ ♣♦r s trs ♣♦trs ♥ r♥s é♣♠♥ts ♠ét♦ st sé♠♥t ①♣♦t♣♦r s trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♦ Ps ♦r ❬❪ ét♥rtt ♠ét♦ s s ♠① r♥s ♥ r♥s é♦r♠t♦♥s t ♣r♦♣♦s ♥ s♦t♦♥♣♦r ♥tr♦t♦♥ ♦♥tr♥ts ♦♣ ♥tr ① ♣♦trs ♣♣qr tt ♠ét♦ àét ♠s rq t trs ①♦♥ s♦s ♦r♠ q ♣r♥♥♥t s ♥♥♦ts r♦♥ ♦r r t ❬❪ ❯♥ ①♣♦sé ♠ét♦ é♦♣♣é st é♠♥t♦♥♥é ♥s ♦t t ❬❪

♥ ♣t s♥r q ♣♦r s s s♠♣s trs à s ♥♦ ♣r tt♠ét♦ s r♣♣r♦ s♠♣ ♦♥t♥st♦♥ ♣r é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦rss ♥ tr♥ ❬❪

❯♥ s②♥tès t♦ts s ♠ét♦s st ①♣♦sé ♥s r

♦① s ②♣♦tèss ♦♠♥s ♣♣t♦♥

tr ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ st ♠♣♦rt♥t ♦♥♥îtr s ②♣♦tèss qs♦♥t tsés t ♠♣ ♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦r ①♣♦sé s ②♣♦tèss ♥s❱r♥ ❬❪ ♥ ♣t ♥♦tr ♣r ①♠♣ s ②♣♦tèss s♥ts q ♣♣rss♥t s♥ts ér♥ts t②♣s ♠ét♦s

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

Méthodes d'analyse statique des structures discrètes

Méthode directepar E.F.

ne tenant pas compte dela périodicité

tenant compte de la périodicité

Méthode des champs discrets

milieu continu équivalent homogénéisation

densité d'énergie équivalente champs moyens développement

asymptotique

Renton 1967Tollenaere 1994Karpov 2002

Noor 1988Burgardt Cartraud 1999Hohe 1999...

Gibson 1997Zhu 1997Mohr 2005Liu 2006...

Tollenaere etCaillerie 1998Mourad 2003Caillerie 2006...

r ♣r♥♣s ♠ét♦s ♥②s sttq strtrs srèts

forme de la déformée

paramètres cinématiquesassociés

milieu continusuggéré

modèle barre (liaison pivot) modèle poutre (liaison rigide)

uuf1

f2

fu u,

Cauchy classique micropolaire (rotations et déplacements indépendant)

r Pr♠ètrs ss♦és ♠♦è ♣♦tr ♦s t ♠ ♦♥t♥ q sèr♣rès ♦♦r ❬❪

②♣♦tès érté st ♥ ②♣♦tès ♥tr ♣tôt ♠té♠tq♠s ♥s ♣♣rt s s ♦♥ t ②♣♦tès érté s ♦♥t♦♥s tsés

②♣♦tès ♣r♠r ♦rr ❯♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♦♥t ♣♣s à s é♦♣♣♠♥ts ♥ sér ♦♥t ♦♥ ♥ ♦♥sèr é♥ér♠♥t q ♣r♠r ♦rr

②♣♦tès sr ♠ ♦♠♦è♥ éq♥t ♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♦♥♣rés♣♣♦s ♦r♠ ♠ à ♦t♥r q ♣r♠t r♥r rt♥s tr♠s ♥st ♦♥ s♠♣r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ Pr ①♠♣ s s♠ é♥t q strs s ♠♦ès rrs s♦♥t ♠♦ésés ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ①st♥ r♦tt♦♥ ① ♥♦s ♥s s trs ♥ ♠♦è ♣♦tr s♠ sèrr s rr rs ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♦r r ♦♠♠ ♥♦s é♦qr♦♥s♥s tt tès tt ②♣♦tès st rt

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

treillis avec sa déformée

cellule élémentaire

déformée prédite avecune déformationéquivalente uniforme

r ①♠♣ é♦r♠t♦♥s ♦s s ♥♦s ♥ ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t♣r s ♠ét♦s ♠♣♦s♥t ♥ é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♣rès ♦♦r ❬❪

②♣♦tès sr ♦♠♣♦rt♠♥t sttq②♥♠q ♥ s ♣ ♥ é♥ér ♥s ♥♦ tr s r

②♣♦tès ♦♠♣♦rt♠♥t é à ②♣♦tès t ❱♥♥t t ♣s é♥ér♠♥t sts ♦rs t ♦① s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♦♠♣♦rt♠♥t st s♦♥té ♣r r♣♣♦rt ♠ ♦r♣s ♦♥séré ♦♠♣♦rt♠♥t sr s ♦rs ♦ ①♥trs ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ♦ré♠♥t ért♠♥t à ♠ ♦♥t♥

②♣♦tès sr s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs à q ré étr t sqà q♦rr qs ♣r♠ètrs é♦♣♣r ② é♠♥t ♥ s♣♣♦st♦♥ ♦♥r♥ s ♦♥ é♦♣♣ à ♥ ♦rr n→ ∞ ♦♥t♦♥ ♦t ♦♥rr t ♥♦♥ rr

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠ éq♥t ♣rés♣♣♦sé éstq ést♦♣stq

②♣♦tèss sr ♦r♠ ♠té♠tq s ♠♣s é♣♠♥t ♦ é♦r♠t♦♥♠r♦s♦♣q ❯♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♣rés♣♣♦s ♥ ♠♣ é♣♠♥t♦ é♦r♠t♦♥ ♦ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ s♥ s ♦r srs

②♣♦tès sr ♥sté é♥r tr♠♦éstq ♠♠s♥é ss ♥ à étt r♣♦s q é♦r♠é q ♦t êtr ♥tq ♥s trs ♦r♥ ♦ s♦♥ éq♥t♦♥t♥ ♣r♥♣

s ♦♠♥s ♣♣t♦♥s ♦ s ♠tér① tsés ♦♥♥♥t ① à s r♥ts q♥t① ♠ét♦s tsés

②♣♦tès sr ♥tr s♦ ②♣r ②♣♦ sttq trs ♦♥séré sr ♥♦♠r rés rté ♦rés ① ♥♦s s♦♥ ♣♦t ♦ r s♣♥ t ❬❪ t t♥s♦♥ ♥ ❬❪

♥tr é♦♠étr ♠r♦s♦♣q ♠ ♦♠♦é♥ésé ♣♦tr ♦ ♣q trs ♦ ♦r r ②♣♦tès sr s ♥s ♥tr s ♣r♠ètrsé♦♠étrq Pr ①♠♣ ♣♦r s s ♣qs t ♣♦trs étt♦♥ ♥ ♥♥tr é♣ssr t rr s ♣♦trs

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

♣q ♣ér♦q ♣rès ❲❨❬❪

strtr ♣ér♦q ♣rès t ❬❪

♣♦tr ♣ér♦q strtr ♣ér♦q

♣♦tr ♣ér♦q

r ① ♣ér♦qs srts s é♦♠étrs ♠r♦s♦♣qs ér♥ts

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

②♣♦tèss sr s ♣rtrt♦♥s ♥s ré♣éttté é♦♠étr trs strt♦♥ ❱♦r♦♥♦ ❬♥rs ♥ s♦♥ ❪

②♣♦tèss sr ♦r♠ s ♠r♦strtrs st s♦♥t ♣♦r s trs ②♣♦tès♣♦tr q st ♦♥séré ♥ é♦♠étr st♦♥ ♦♥st♥t t ♦♠♠♥ ♠srt♥s ♠ét♦s ♦r ♣r ①♠♣ ♦r♥ ♥ ❬❪ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t♥ rt♦♥ é♦♠étr st♦♥ ♦ trs t②♣s éé♠♥ts ♦♠♠ ♥ss ♠♦sss à ♦rt ♥sté

rtèrs ♦① ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq srèt

♦s ♦♥s ♦s tsr ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt é♦♣♣é ♣r ♦♥r t r ♦♥r ♥ r ❬❪ ♦r ♥ r ❬❪♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦t t ❬❪ ♥ ♣t tr ss ♥ts ♣rr♣♣♦rt à trs ♣♣r♦s

st ♥ ♠ét♦ r♦rs q t♥t ♦♠♣t s é♦r♠t♦♥s ♦s é♣♠♥t♥ q ♥♦ s♥ ♥ éé♠♥tr

tt ♠ét♦ ♥ ♣rés♣♣♦s ♣s ♥ ♠ ♦♠♦è♥ éq♥t s ét réstt ♦♠♦é♥ést♦♥ t é♣♥ ss♥t♠♥t s ♣r♠ètrs ♥é♠tqstsés ♦rr é♦♣♣♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♣r♠ètr ε t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦strtr

s ♣rêt r♠rq♠♥t ♥ à ♥ trt♠♥t t♦♠tq q ♦♥stt♥ ♥♦s ♦ts ♥s ♣rés♥tt♦♥ q♥ t ♦r ❬❪ sr♣t♦♥♠té♠tq é♦♠étr trs s♦s s ♦rrs ♣♣r♥ts ♣r♠t ♦ t♦ts s♦rts trs s♦s ♦r♠ t① ♦ s ♣rêt sé♠♥tà ♥ trt♠♥t ♥♦r♠tq

st ♥ ♠ét♦ ♦rt ♥ s♥s q ♦♥ ♣t ♦sr t ♠♦r s rés ♥ss ét ♥ st♦♣♣♥t s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tq à ♥ ♦rr ♦♥♥é ♦♥ ♠♦r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠r♦strtr

♣t s♣tr ① trs t♦ts s♦rts ♦♥ ♣r♥♣ r♥tt éq♥ ♥sté é♥rétq

♥s st ♣tr ♦♥ ♠♦♥trr q tt ♠ét♦ st ss ♦♠♦é♥ést♦♥s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s

♦s r♦♥s ♥é♥♠♦♥s ♥ ♥t♦rs à tt rè ♥s ♣tr tr♦s ♥ s♥t ♥ ♣rtr ♠♠r♦♣♦r

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

dépl

acem

ent u

e

abscisse x sur la barre

déplacement homogénéisé

déplacement réel

M

M'

M''M

M*

r é♣♠♥t ♥ rr ♣ér♦q t rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr s♣♦♥ts ♦♥ts ♦ sé♣rés ♥ ♣ér♦

♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs♦♥t♥s à s ♠① ♣ér♦qs srtstrs

♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s sst ♦♥stté sr s s tr① és à ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① étér♦è♥s ♦r♣ sr qst♦♥ st♦♥♥t ♦♥ ♣t s réérr à ♦r♥rt t ❬❪ r♠♥ ❬❪ ♥③rt ♥♥③P♥ ❬❪ ♦ ♠♦ ♥ ♥ ❬❪ s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥t♥st été ét♥s ① ♠① srts ♣ér♦qs

♥ ♣rés♥tr qqs réstts és à ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♣ré♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♣s ♦♥ r ♥ s ♠① srts s ♥t t♦t♦♥ ♦♠♠♥r ♣r ♣rés♥tr qqs é♥t♦♥s és à ♥♦t♦♥ ♣ér♦té ♦s r♦♥s trrs ♥ ①♠♣ s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥

♦t♦♥ ♣ér♦té ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥

♥ ♣t ♦♥sérr ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ r ♠♦ ♥ ♥❬❪ ♣♦r strr ♥♦t♦♥ ♣ér♦té t s♦♥ ♥♥ sr s♦t♦♥ ♠té♠tq réstt ré

♦♥ ♦♥sèr ♥ rr ♥ér♠♥t éstq ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ rr k(y)♦♠♣♦sé ♣ér♦q♠♥t ① ♦♥stt♥ts ♦♠♦è♥s rr k1 t k2 ♥ ♣♦s♥t r ♠r♦s♦♣q y =

x

ε rr s rrs st t q

k(y) =

k1 ♣♦r 0 < y < l1

k2 ♣♦r l1 < y < l

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

milieu hétérogène périodique

e

L

W*lW

cellule élémentaire Y

D

D

1

2

r ①♠♣ ♠ étér♦è♥ à strtr ♣ér♦q

rr st s♦♠s à ♥ ♦r F à ①tré♠té x = L ♦r♥ x = 0 st ①é♥ s♣♣♦sr q ♥② ♣s ♦rs ♥éqs ♦rt ♥♦r♠ N ε ♥s rr t é♣♠♥t uε ér♥t

dN ε

dx= 0

N ε = k(x

ε

) duε

dx

uε (0) = 0 N ε (L) = F s♦t♦♥ s ♦♥strt ♣r ① ♥tért♦♥s ssss ♥ tré st ♦♥♥é ♥s

r ♥ ♦♥stt q ♦rsq ε t♥ rs s♦t♦♥ s r♣♣r♦ é♣♠♥t ♥

rr ♦♠♦è♥ rrL

k=L1

k1+L2

k2s♦♠s ① ♠ê♠s ♦♥t♦♥s s rt♦♥s ♣r r♣♣♦rt à é♣♠♥t

s♦♥t ♠♣t t ♣ér♦qs ♣ér♦ εL ♥ ♣t trr tt ♦♥sttt♦♥♥ ér♥t q uε st ♣♣r♦①♠t♠♥t é à

uε = u0(x) + εu1(x

ε

)

♦ u0r♣rés♥t é♣♠♥t ♠t t εu1(x

ε) q st ♣ér♦q ♣ér♦ εL

♣tt rt♦♥ ♣r r♣♣♦rt à u0(x) ♠ê♠ ç♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s ét♥r s ♥♦t♦♥s à ♥ éé♠♥t ♦♠ ♣ér♦q

♠s r♥ t ♦r r ♦♠♠ sr ①♣qé ♥s ♣rr♣ ♥ s♥s♣r♥t éqt♦♥ ♦♥ ♣t ♦rs é♦♠♣♦sr ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♦ε(u(x)) ♥ ♥ ♠♣ ♠♦②♥ ε q srt ♠♣ é♦r♠t♦♥ s ♠ étt ♦♠♦è♥t ♥ ♦rrt♦♥ t♥t ε′(x) q t♥t ♦♠♣t ♣rés♥ étér♦é♥étés

u(x) = ε.x+ u′(x) ε(u(x)) = ε+ ε(u′(x)) u′ ♣ér♦q

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r rs rrs ♥s ♥ rés ①♦♥ ér♥ts ♦① ♣♦sss ♣♦r s ♦r♥rt t ❬❪

❱♦♠ é♠♥tr ♣rés♥tt sé♣rt♦♥ é♦st♦♥

P♦r tr♦r s ♣r♦♣rétés ♦♠♦é♥ésés ♦♥ r♠♣ ét ♦r♣s Ω ♥tr ♣r♥ ♣♦rt♦♥ ss♠♠♥t r♥ ♣♦r ♥r s éts ♠r♦strtrtt ♣♦rt♦♥ ♦♥r rtérstq l ♦t ♥é♥♠♦♥s êtr ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r êtr♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♣♦♥t ♣r r♣♣♦rt à L tt ♣♦rt♦♥ ♦t ♦r ♣♣r♦①♠t♠♥t s♠ê♠s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs q ♦r♣s Ω ♥ ♣♣ ❱♦♠ é♠♥tr ♣rés♥tt❱ ♦ ❱ ♥ ♥s P♦r q ♦♠ éé♠♥tr s♦t r♣rés♥tt t ♦♥q ♦♥t♦♥ s♥t s♦t stst

l ≪ L

tt ♦♥t♦♥ st ♣♣é sé♣rt♦♥ é tt ♦♥t♦♥ st t♦♠tq♠♥tstst ♥s s ♠① ♣ér♦qs ♣r t q ♣r♠ètr l → 0

rtèr r♣rés♥tt ❱ ♠ért êtr s♦♥é ♦① éé♠♥trst s♦♥t rtrr ♥é♥♠♦♥s s♦t♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦t êtr ♥q ♦r r tt ♣r♦é♠tq ♦① éé♠♥tr ♣♦r s ♠① ♦♥t♥s♣ér♦qs s ♣♦s ♠ê♠ ç♦♥ ♥s s s ♠① ♣ér♦qs srts trs

♥ ♥♦♠♠ ♦st♦♥ ♠♦ ♥ ♥ ❬❪ ♣♣r♠♥ t ❬❪ ♣s étr♠♥t♦♥ s ♠♣s é♦r♠t♦♥ t ♦♥tr♥t ♥tr♥ ❱ t♥s q ♠♦②♥♥ s ♠♣s sr ♣♣é ♦rs ♣s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♣r♠♥ t ❬❪ r♣r♥♥t st♥t♦♥ ét ♣r qt ❬❪ ♥♦♠♠ ♦st♦♥ ♥♦♥tr♥t ♦♣ért♦♥ q ♦♥sst à ♦t♥r ♦♥tr♥t ♦ à ♣rtr ♦♥tr♥t ♠r♦s♦♣q t♥s q ♦♥ ♣t ♥♦♠♠r ♣r ♦st♦♥ ♥ é♦r♠t♦♥ ♣r♦ér q♦♥sst à étr♠♥r é♦r♠t♦♥ ♦ ♥s éé♠♥tr ♥ s♥t ②♣♦tès♥ ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♦r r

♥s ♥ ♠ étér♦è♥ ♦♥♥ss♥ strt♦♥ s étér♦é♥étés st s♦♥t sttstq ♥st ♣s ♣♦ss ♦rs étr♠♥r ♥ ♦st♦♥ ♥q ♦♥ ts♥ étr♠♥t♦♥ ♣r♦r ♦r♠ s ♠♣s é♦r♠t♦♥ t ♦♥tr♥t ♥tr♥

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

❱ t♥♥t ♦♠♣t ♠① ♦♥♥ss♥ s♣♦♥ ♠ tt é♠r♦♥t à ♠ét♦ ♥r♠♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♦ ♦♠♣♦rt♠♥trés♠é ♥s ♣rr♣

♠♠

♠♠ st ♥ réstt ♠♣♦rt♥t ♦♥r♥♥t s ♠♦②♥♥s s ♦♥tr♥ts ts é♦r♠t♦♥s t s é♥rs ♦rrs♣♦♥♥ts st srt♦t tsé ♥s s ♠ét♦s♦♠♦é♥ést♦♥ sttstqs ♠s st ss tsé ♥s s té♦rs ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠① ♣ér♦qs té♦r st sé sr ♦♥t♦♥ q st♣ q ♠♦②♥♥ é♥r é♦r♠t♦♥ à é ♠r♦s♦♣q st é à é♥r é♦r♠t♦♥ àé ♠r♦s♦♣q s♦s résr q ♦♥t♦♥ sé♣rt♦♥ é s♦t ststs éqt♦♥s s♥ts ♦♥t êtr ststs

⟨Wmicro

⟩= 〈Wmacro〉

1

2〈σ (x) : ε (x)〉 = 1

2〈σ (x)〉 : 〈ε (x)〉

〈σij〉 =1

VΩ

ˆ

Ω

σij (x) dV

〈εij〉 =1

VΩ

ˆ

Ω

εij (x) dV

♥ ♣t ét♥r ♣r♥♣ s ♣ér♦q t rstr♥r ♦♠ Ω à ♣ér♦té Y t ♠♦r ♥ ♦♥séq♥ s ♦♥t♦♥s ♠ts ♥ ♠♦♥tr ♠♦ ♥♥ ❬❪ q ♥s s ♥ ♠ ♣ér♦q ♣ér♦té Y ♦r r ♥ ♠♣ é♣♠♥t u é♥ sr Y t ér♥t ♦♥t♦♥ u(y)− u(y −∆i) = E.∆i

sr s ♦rs t E ♥ t♥sr ♦♥st♥t ♦♥

〈εij〉 = E

〈σij〉 : 〈εij〉 =1

VY

ˆ

Y

(σ : εij) dv

♦r♥s ❱♦t ss t s♥ tr♠♥

trt♠♥t s ♠① étér♦è♥s ét♦rs èr s ♠① ♣ér♦qs♦r♥rt t ❬❪ ♥ rs♦♥ rtèr ét♦r s étér♦é♥étés ❱ à ♦♥sérr st ♦♣ ♣s ♠♣♦rt♥t t ♣s ♦♠♣① ♦t t♥r ♦♠♣t strt♦♥s étér♦é♥étés ♥ ♥ r ♣s s♦t♦♥ ①t ♥ t♦t ♣♦♥t ♠s ♥ st♠t♦♥ s♦t♦♥ ♥ ♦r♥♥t réstt ♥ ♦t ♣♦r r s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs❯♥ t♥q ssq ♣♦r étr♠♥r s ♣r♦♣rétés s ♠tér① à ♠r♦strtrs st

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

s ♦r♥s s♣érrs t ♥érrs s♦♥ s tr① ❱♦t t ss té♦r st sé sr ♥ ♦r♠t♦♥ rt♦♥♥ éstté

st♠t♦♥ ❱♦t ♦♥ s♣♣♦s q étt é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q st ♥t♦t ♣♦♥t ♥tq t ♦♥ ♦♥st♥t

〈εij〉 = εij(x) = const

♣♣r♦①♠t♦♥ ❱♦t ♦r♥t ♥ ♦r♥ s♣érr ♣♦r s ♣r♠ètrs ♠é♥q♥ ♠tér

❯♥ ♣♣r♦ ♥♦ été ♥tr♦t ♣r ss ♠s ♦♥trr♠♥t à ❱♦t st étt ♦♥tr♥t q st s♣♣♦sé ♦♥st♥t

〈σij〉 = σij(x) = const

❯♥ ♥é s ♦r♥s été é♦♣♣é ♣r s♥ t tr♠♥ ♣r ♥ ♣♣r♦ rt♦♥♥ ♦♥s♥t ① ♦r♥s s ♣s étr♦ts ♣♦ss s ♦r♥s s♥tr♠♥ ♥s q s ❱♦t t ss s♦♥t s t♥qs ssqs ♣♦r s ♠r♦strtrs ♠t♣ss ♥ ♣♦rrt ♣♥sr ♣♣r♦r s ♠tér① rs ♣r s ♠ét♦s ♥ s♣♣♦s♥t q ♥ s ♣ss ♥ rr t♥♥t rs ③ér♦ s ♦♥ ♦♥sttrt♦rs q ♦r♥ ♠♥♠ srt é♠♥t ♥ rt♥s rts ♥é♥♠♦♥s s♣♥t ❬❪ ♦rqt♦ t ❬❪ t ❩♥ t ❬❪ trt♥ts s ♣r♦♣rétés ♠é♥qss trs s sr♥t s ♦r♥s s♥ t tr♠♥ ♦♠♠ ♥tr qté ♦♣t♠st♦♥ é♦♠étrq trs Ps rt♦ ♠♦ éstq trs♦r♥s s♣érr s♥tr♠♥ st ♣r♦ ♣s ♥ é♦♠étr ♦♣t♠sé ♥ ♣t ♦trq ♥s s ♠♦sss à ♦rt ♥sté ♦rsq ♠r♦strtr rss♠ ♣s à ♥ ♠térs♠♦♥t♥ qà s ♣♦trs s ♦r♥s ♣♥t ♦♥♥r ♦♥♥s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♣♦st ❬❪

♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs♦♥t♥s

♣r♥♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣têtr ①♣r♠é ç♦♥ s♥t ❯♥ ♦r♣s Ω ♥ ♦♥r rtérstq L st ♦♥séré ♦r r s ♦♥t♦♥s① ♠ts ♥ r♠♥t t ♦rts ♠♣♦sés ♦r♣s Ω st ♦♥stté ♥ ♠tér à♠r♦strtr ♥ ♦♥r rtérstq l P♦r ét à ♥ ♥ ♠r♦s♦♣q ♦♥♠♦és Ω ♣r ♥ ♦r♣s Ω∗ ♥ ♦♥sèr q ♦r♣s Ω∗st s♦♠s ① ♠ê♠s r♠♥ts①térrs t é♣♠♥ts ♠♣♦sés q Ω s ♦r♣s Ω∗st ♦♥stté ♥ ♠tér♦♠♦è♥ t ♦♠♦é♥ést♦♥ st r s ♣r♦♣rétés Ω∗ t s♦rt q ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s♦t éq♥t à Ω

♦rsq♦♥ ♠♣♦s ♥ é♣♠♥t ♥ u = ε.x ① ♦rs Ω é♦r♠t♦♥s ♦♠♦è♥s ♦♥t♦r étt é♦r♠t♦♥ q ♥ rést ♥s ♠tér ♦♠♦é♥ésé st ♥♦r♠ε = ε t étt ♦♥tr♥t st ss ♥♦r♠ σ = σ ♥s ♠ étér♦è♥♣ér♦q ré s ♠♣s ♦① ε t σ s♦♥t ♦s♥t t t♥t t♦r rs rs♠♦②♥♥s ε t σ ♦♥ ♦r ♦♥ ♣t r strt♦♥ ét s ♦♥t♦♥s ① ♠ts

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

♣r♥♣ t ❱♥♥t é♦♠étr st ♥r♥t ♣r tr♥st♦♥ ♦♥ s trs ♣ér♦té s s♦t♦♥s ε t σ ♣♦ssè♥t é♠♥t tt ♣r♦♣rété ♥r♥ s s♦♥t♣ér♦qs

P♦r ♥ ♠ éstq ♣ér♦té st trt ♣r é♣♥♥ s♣t ♣ér♦qs ♦♥ts éstté P♦r ssrr sé♣rt♦♥ é ♣r♠ètr l ♦t stsr ♦♥t♦♥ l ≪ L s ♠ét♦s ♠té♠tqs tr♥t ♣rt t q ♦♥ r ♥♠t ♦ ♥ ♦♥r♥ s ♠♣s é♣♠♥ts ♦♥tr♥t ♦rsq r♣♣♦rt

ε =l

L→ 0 s ♠ét♦s s♣♣♦s♥t ♦♥ q ε r st ♦♥ ♥s♣♥s é♥r

♦♠♣èt♠♥t strtr ♣r r♣♣♦rt à ♣tt ♣r♠ètr ε ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs été ♣♣qé à ♥♦♠r①

t②♣s ♣r♦è♠s t ♦♠♥s ♣②sq ♣r♦è♠s s♦♥ étr♦♠♥éts♠♠① ♣♦r① ♣stté

P♦st♦♥ ♣r♦è♠

♥ ét éqr ♥ ♠ ♦♣♥t ♥ ♦♠♥ s♣ Ω t ♦♥stté ♥♠tér éstq s♦♠s à ♥ ♥sté ♦r f t à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ss sr∂Ω é♣♠♥ts ♠♣♦sés sr ♥ ♣rt ∂Ω ♥sté ♦r sr ♥ tr ♣rt s♥♦♥♥s ♣r♦è♠ s♦♥t s ♠♣s é♣♠♥ts t ♦♥tr♥t q ♦♥ ♥♦♠♠ruε t σε ♣♦r s♥r r é♣♥♥ sàs ♣tt ♣r♠ètr ε s ♠♣s s♦♥ts♦t♦♥s s éqt♦♥s

divσε + f = 0

♥s Ω

σε = Σ(x

ε,∇uε

)

♥s Ω ss♦é à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sr ∂Ω Σ (y,∇uε) é♥ ♣♦r y ∈ Y tét♥ à s♣ ♥tr ♣r ♣ér♦té t st tr♦r s ♠ts uε t σε q♥ε t♥ rs

é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq

♥ s♥s♣r ♣♣r♦①♠t♦♥ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♠ét♦ é♦♣♣♠♥t ♥♦ é ♦♥sst à r uε t σε s♦s ♦r♠ é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs ♥♣ss♥ ε

uε = u0 (x) + εu1 (x,y) + ε2u2 (x,y) ...σε = σ0 (x) + εσ1 (x,y) + ε2σ2 (x,y) ...♥ ♥♦tr q s ♦♥t♦♥s u0 (x) t σ0 (x) s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ♥é♣♥♥t

r y ♦① sr sté ♣s ♦♥ s tr♠s s♦♥t ♦♥t♦♥s s rs x ∈ Ω t

r♣♣♦rt ♥st ♣s à ♦♥♦♥r t♥sr é♦r♠t♦♥ [ε] ♣♦r étr ♦♥s♦♥ rt♥strs ts♥t ♣tôt η ♦♠♠ ♣tt ♣r♠ètr ♦ ♥ e

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

y ∈ Y st é♥ ♣r y =x

ε r ① trt s rt♦♥s à r♥ é r

y trt s rt♦♥s à ♣tt é q s♦♥t ♣♣r♦①♠t♠♥t ♣ér♦qss éqt♦♥s t ♦♥t ♥tr♥r s ♦♣értrs ér♥ts q ♦♥t r sr

s rs x t y P♦r s st♥r ♦♥ ♥♦♠♠r divx t ∇x s ♦♣értrs ér♥tsrts à x t divy t ∇y s ♦♣értrs ér♥ts rts à y ♥ ♦rs

∇uε = ∇xu0 (x) +∇yu

1 + ε(∇xu

1 +∇yu2)+ ...

divσε =1

εdivyσ

0 + divxσ0 + divyσ

1 + ...

♦♥ r♣♦rt s é♦♣♣♠♥ts ♥s t ♦♥ ♦t♥t

1

εdivyσ

0 + divxσ0 + divyσ

1 + ...+ f = 0

σε = Σ(x

ε,∇xu

0 (x) +∇yu1)

+ ...

s é♦♣♣♠♥ts ♦♥t êtr érés q q s♦t r ε ♣r♦ ♣r♠t ♥tr tr♠ à tr♠ s ♦♥ts s ♣ss♥s ε tr ♣rt q♥ εt♥ rs r x/ε ♣r♥ t♦ts s rs ♥s éé♠♥tr q ♣r♠térr q s ♥tt♦♥s s♦♥t s ♣♦r t♦ts s rs x ∈ Ω t y ∈ Y ♥♦t♥t ① ♣r♠rs ♦rrs ε

divyσ0 = 0

divxσ0 + divyσ

1 + f = 0

qr t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦s♦♣q

P♦r s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s éqt♦♥ ♠♦♥tr q σ0 st ♥é♣♥♥t r y t st ♦① t ♣s t ♥ é♦♣♣♠♥t q ♦♠♠♥ ♣r ♥♦♥t♦♥ σ0 ♥é♣♥♥t ♣r♠ètr ♠r♦s♦♣q y s♦t σ0 = σ0 (x)

éqt♦♥ éqr ♠r♦s♦♣q st ♦t♥ ♣r ♥tért♦♥ éqt♦♥ sr Y ♥ rs♦♥ té♦rè♠ r♥ t ♣ér♦té ♠♣ σ1 sàs y ♥tér divyσ

1 sr Y s♥♥ ♣s ♦♠♠ s rs x t y s♦♥t♥é♣♥♥ts ♦♥ ♣t ♥rsr s ♦♣értrs ♥tért♦♥ ♣r r♣♣♦rt à y t ért♦♥♣r r♣♣♦rt à x ♦ù ♦♥ ♣t réérr éqt♦♥ s♦s ♦r♠

divxσ0 + f = 0

♥s Ω t♥sr ♠r♦s♦♣q s ♦♥tr♥ts σ st é♥ ♦♠♠ ♠♦②♥♥ σ0 sr réér♥ Y

❯♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥ ç♦♥ é♥ér ♥ rt♦♥ q r t♥sr s♦♥tr♥ts r♥t s é♣♠♥ts ♥s s s ♠① ♣ér♦qs tt rt♦♥

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

st ♦r♥ ♣r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ① ♠ts sr Y ♦♥stté s éqt♦♥s t t s ♦♥t♦♥s ♣ér♦té ♣♦rt♥t sr u1 t σ0 ♥ ♠♦♥tr q ♣r ♥ ♥♠♥t r ♣♣r♦♣ré ♣♦rt♥t sr u ♦♥ ♣t réérr ♣r♦è♠ t s♦rt q s♦t♦♥s♦t ♥q ♣♦r σ0 t étr♠♥é à ♥ ♦♥st♥t ♣rès ♣♦r u

♥ ♥♦tr q ♥s s ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs s♦t♦♥ s♦t♥t ♣r rés♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ sr réér♥ ♦r♥t ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦s♦♣q ♦rs q ♥s s ♠ét♦s sttstqs st ♥ é♥ér ♥éssr s ♦♥♥r ♥ ♦r♠ ♠té♠tq tt ♦

Pss ① ♠① srts ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s

♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs été ét♥ ① ♠① srts♣r ♦r ♥ r ❬❪ t ♦♥r ♥ r ❬❪ s ♠① s♦♥t srts♥ s♥s q s éqt♦♥s q s ♦r♥♥t ♣♦rt♥t sr s ♥s♠s srts rss é♣♠♥ts s ♥♦s t s t♥s♦♥s s rrs tt ①t♥s♦♥ r♣♦s sr qqsréstts t ♦♥stts ♣r♦♣rs ① ♠① srts ♥♦s ♦♥s s rés♠r ss♦s

P♦r é♥r s é♦r♠t♦♥s éq♥ts ♥s ♥ ♠ srt s é♦r♠t♦♥s s♦♥ts ① rt♦♥s é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t à ♥ tr ♠ ♥ ♦♥sèr ①♣♦♥ts stés ♥ x t x +X s ① ♣♦♥ts s♦♥t ♥s ♠ê♠ Y ♦r s ♣♦♥ts t ♥s r ♦rs rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr s ① ♣♦♥ts st

uε (x+X)− uε (x) ≈(∇xu

0 (x) +∇yu1).X

Pr ♦♥tr s ért X ♦r ♥ r♥ ♥♦♠r s éé♠♥trs ♣♦♥ts t

♥s r ♦rs ♥ rs♦♥ ♣ér♦té rt♦♥ à ♣tt éx

εst ♥é ♥t rt♦♥ à x t ♦♥

uε (x+X)− uε (x) ≈ ∇xu0 (x) .X

ért X ♥tr s ① ♣♦♥ts st ①t♠♥t ♥ ♣ér♦ ♣♦♥ts t r stàr s X = εYi ♦♥

uε (x+ εYi)− uε (x) ≈ ε∇xu0 (x) .Yi

tt r♥èr rt♦♥ ♠♦♥tr q r♥t ♠r♦s♦♣q ∇xu0 st ♦♥♥é ♣r

rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr ① ♣♦♥ts ♠ sé♣rés ♣r ♥ tr ♣ér♦té ♦♥♥ é♠♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts q ♦t érr ♠♣ é♣♠♥t sr♥ éé♠♥tr Y ♥ rtr♦ s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sr réér♥

st ♥éssr ♦♣tr ♥ sr♣t♦♥ é♦♠étrq trs ♥ ♥ étr ♣stt sr♣t♦♥ ♦r r q t ♥tr trs ♦t ♣tr sr s trs♥♦♥ ♣♦rs ♥ ♥♦tr ♣♦st♦♥ ♥ ♣♦♥t ♥s ♥

xεn = λ(ν1,ν2) + εy

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

ν1, ν2 s ♦♦r♦♥♥és ♥ ♥♦ n = (n, ν1, ν2) ♦♥séré ♦♠♠ ♣♦♥t ♦r♥ tt éé♠♥tr ♥ ♣t ♦rs ♣♦sr

λ(ν1,ν2) = ε (ν1Y1 + ν2Y2)

νi = (ν1, ν2) ∈ Z és♥♥t ♥s q s tr♦ ♥♦ ε ♣tt♣r♠ètr t εY1 t εY2 s ① trs ♣ér♦té trs ♦♥r s ♣♦trs♥s éé♠♥tr st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à l ♥ ♦♥r éé♠♥tr t s♦rt q l = εL

♥ ♠♦♥tr ♦♥r ♥ r ❬❪ q ♦♥ ♣t é♦♣♣r ♦♥t♦♥ é♣♠♥t s ♥♦s ♥ trs ♣ér♦q s♦s ♦r♠ ♥ st ♦♥t♦♥s é♣♥♥t♥q♠♥t r λ(ν1,ν2)

uεn(λ(ν1,ν2)) = u0(λ(ν1,ν2)

)+ εun1

(λ(ν1,ν2)

)+ ε2un2

(λ(ν1,ν2)

)...

u0 ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♦♠♠♥ ① ♥♦s éé♠♥tr st ♦♥t♦♥ ♠t ♣r♠r ♦rr é♣♠♥t uε s ♦♥t♦♥s uni s♦♥t s ♦♥t♦♥s é♣♠♥t ss♦és ♥♦ n à ♥ ♦rr i ♥ s ♣r♥♣s ér♥s ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s ♣♣rît P♦r s ♠① ♦♥t♥s ♦♥t♦♥ uε s é♦♣♣ ♥ ♥ s♦♠♠ ♦♥t♦♥s εiui(x, y) x r ♠r♦s♦♣q t y r ♠r♦s♦♣q P♦r s ♠① srts ♦♥t♦♥ uε s é♦♣♣♥ ♥ s♦♠♠ ♦♥t♦♥s εiuni(λ) λ ♥ r ♥q ♠♥s♦♥sé s ♦♦r♦♥♥és ♥ ♥♦tr qà q ♦rr é♦♣♣♠♥t ①st ♣srs♦♥t♦♥s uni(λ) ♥ ♣r ♥♦ éé♠♥tr ♦♠♠ ♥s s ♣rtr s♠① srts ② ♥ r ♥q λ ♣♦r ①♣r♠r ♦♥t♦♥ uεn(λ(ν1,ν2)) ♥s r♣èr rtés♥ ssq st résr ♥ ♥♠♥t r s ♦♦r♦♥♥és♠♥s♦♥sés λi ① ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦s♦♣q

♦s ♥♦s ♦♥t♥tr♦♥s r♦ssr s r♥s ♥s ♠ét♦ ♥ ♣rés♥tt♦♥ ♣s♦♠♣èt sr t ♥s ♣tr ②♣♦tès ♣♦trs ♥ ♣tts tr♥s♦r♠t♦♥st rstrt♦♥ s s trs tr♥t ♥ trt♦♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦r q ♣♦tr t②♣

N εb =(N b(uE(b) − uO(b)

)).eb

N b rr ss♦é à rr b ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠ ♦♥t♥ éq♥tst ♦t♥ ♣r rés♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ sr réér♥ q st ♥ ♣r♦è♠t♦éqr s♦♠s à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣ér♦qs éqt♦♥t♦éqr ♦t♥ sért

∑

b

N εbeb(vOR(b) − vER(b)

)= 0

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r rés ♣ér♦q tt S t ♥ rs s s♦♥s ♦♥tr♥t à R

♥ ♠♦♥tr ❬♦♥r ♥ r ❪ q ♥s s s trs ♥ trt♦♥ ♦♠♣rss♦♥ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥t à ♥ t♥sr ♦♥tr♥t q s①♣r♠ ♣r

[σ] =1

VY

∑

b

N bLbeb ⊗ eb

st ♥térss♥t ♥♦tr q♥ ①♣rss♦♥ s♠r t♥sr s ♦♥tr♥ts étéét ♣♦r ♣r♠èr ♦s ♣r ② t P♦ss♦♥ ♠♦ ♥ ♥ ❬❪ ♦r r ♥s s ♥ éé♠♥tr à ♥ ♥♦ s♦s ♦r♠ s♥t

R = sgn(eb.n

).N b.eb.x

R rést♥t sr tt eb tr rtr rr b N b ♦r sr ttrr b t x ♥♦♠r rrs ♦♣és

s éqt♦♥s t ♦♥stt♥t ♥ ♣r♦è♠ ♦♥t s ♦♥♥és s♦♥t t♥sr∇u0 t s ♥♦♥♥s s ♦rts N b0 t s é♣♠♥ts un1 éqt♦♥ t♦éqr s é♦♣♣ ♥ ♥ s②stè♠ ♦♥stté t♥t éqt♦♥s q ♥♦s ♥s réér♥ s②stè♠ ♠t ♥ s♦t♦♥ ♥q à ♥ tr♥st♦♥ ♣rès ♣♦r s un1 r♣♦rt s un1 ♥s éqt♦♥ ♦r♥t s N b0 ♥ ♦♥t♦♥ ∇u0 r♣♦rt s N b0

♥s ♦♥♥ [σ] ♥ ♦♥t♦♥ ∇u0 q st ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠ ♦♥t♥éq♥t

tr ♦♠♥♥t ♥s s trs ♣♦trs

♦♥♥t ♥t ♦♠♠♥r ①♣♦sé ♥♦s tr① ♦r♥r qqs é♥t♦♥ssr ♥tr s ♦♠♥♥ts ♣♦♥t ♣♣rîtr ♥s s trs s tr♠s t ss♠♥t♥♦s sr♦♥t ts t♦t ♦♥ tt tès ♥ t♦t ♦r r♣♣r rè♠♥t rs♦♥♥♠♥t q ♠è♥ ss♠♥t s trs t q st ♣rés♥té ♥s s♣♥ t ❬❪ ♦r r

♥ ♦♥sèr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥ trs ♦♠♣♦sé ♣♦trs rés ♥tr ♣rs s♦♥s t②♣ ♣♦t ♥ ♦♥stt q tt ②♣♦tès sr s s♦♥s trs r s♦♥r à s ré rté ♥ r♦tt♦♥ ① ♥♦s t♥s q s

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

F

F

F

F

liaisons

(a) (b)

r s ① ♣r♥♣s ♥trs ♦♠♥♥t ♥s s trs s♦♥ s♣♥ ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♣rèss♣♥ t ❬❪

♣♦trs trs tr♥é r s♣♣♦rt♥t ♥ ♦rt trt♦♥♦♠♣rss♦♥s♣♥ ♣♣ s r ♥ ♠é♥s♠ t♥s q s♦♥ s r st ♣♣é ♥ strtr ♥s r♥r s é♦r♠t♦♥ s ♣♦trs t ♦♥ strtr st à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥ ♦ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♣♣♦s♦♥s ♠♥t♥♥tq s s♦♥s s♦♥t s s♦♥s ♦♠♣èts ♣♣és ss ♥str♠♥t s ♣♦trs trs r éss♥t st stt♦♥ ♣♣rt s ♠♦sss t♥s q ♥♠♥t ♣ t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♣♦trs trs strtr rst à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♥ ♣t ♥♦tr q♥ st♥t♦♥ ♠ê♠♦rr ♣♣rît é♠♥t ♥s rst♥s♥ ❬❪ ♠s st ♠♦♥s ♣rés rst♥s♥ss ♥ rt♥ ♥♦♠r trs ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ ♠té♠tq s ♣r♦♣rétés

♠é♥qs ♦t s ♣r♦♣rétés s♦♥t ♦♥t♦♥ ♥sté rtρ∗

ρs s♦t s s♦♥t ♦♥t♦♥

(ρ∗

ρs

)3

♥s ♣r♠r s rst♥s♥ ♣♣ ♥ ♠é♥s♠ t♦♥ rt

r st trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s ♣♦trs q st rt♠♥t rs♣♦♥s s ♣r♦♣rétés ♥s s♦♥ s st ①♦♥ s ♣♦trs q st é ① ♣r♦♣rétés é♥♠♦♥s tt♣♣r♦ ♥ ♣t êtr é♥érsé ♥ ♦♥t♦♥♥ q ♣♦r rt♥s trs ♥ ♠♦♥trr♥s ♣tr q st q ♦r♠ ♠té♠tq s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s trs♣♦ssé♥t s ♥♦s ♥tr♥s à éé♠♥tr ♣t êtr ♦♣ ♣s ♦♠♣①q♥ s♠♣ ♦♥t♦♥ ♥ ♣ss♥ ♥sté rt

rt ♣♦r st♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s trs r ♥ ét ♠tr ♣s ♣♦ssé ❬t♥s♦♥ ♥ ❪ ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦♥r♠♥t ré rt♥s trs q q s♦t ♠♦è s♦♥s ♦♣té s♦♥s ♦♠♣ètss♦♥s ♣♦t ♣t s r ♣r r♦tt♦♥ ♥ s♦sstrtr éé♠♥tr s

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r ♦♥r♠♥t trs ♦♠ ♣r r♦tt♦♥ ♥ s♦s strtr éé♠♥tr ♣rès t♥s♦♥ ♥ ❬❪

rés rté ♦rés à rt♥s ♥♦s ♣♥t ♦r ♥ r♥ rô s♦♥ ♠♣♦rt♥ s ②♣♦tèss ♥ts ♦♥r♥♥t s ♥♦s s♦♥ ♦♠♣èt ♦ s♦♥ ♣♦t

♥ rés♠é ♦♥ rt♥r q ①st s trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦♥t s ♣♦trs sss♥t ♥ ♦♥tr♥t ♣r♥♣♠♥t ♥ trt♦♥ ♦ ♥ ♦♠♣rss♦♥

s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ s ♣♦trs sss♥t ♥ ♦♥tr♥t ♣r♥♣♠♥t♥ ①♦♥

s trs s♥s ♦♠♥♥ts ♥ ♣rt s ♣♦trs tr ♥ ①♦♥ t♥s q♥tr ♣rt tr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥

♦♥s♦♥

tt rè ♣rés♥tt♦♥ s ♠ét♦s ét ♠é♥q s trs ♥♦s ♣r♠s str ♦① ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt é♦♣♣é ♣r♦♥r ♦r t r ♦♥r ♥ r ❬❪ ♦r ♥ r ❬❪♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦t t ❬❪ ♥ ♥♦tr q ♥♦s tr① ♣♦rt♥t♥q♠♥t sr ét trs ♦ rs t t ♥♦♥ sr s ♣♦trs t ♦ s ♣qs rs t q ♦♥t ♦t éts s♣éqs

♥ ♣t r♣♣r s ♣r♥♣s rs♦♥s ♦① ♦r♥tt♦♥ rs s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt sst ♠♣♦sé r ♦♥ ♦♥sèr à ♣r♦r ♠ é♣rt trs ♣♦tr ♦♠♠ ét♥t ♥ ♠ srt st ♥ ♠ét♦ r♦rs q t♥t ♦♠♣ts é♦r♠t♦♥s ♦s é♣♠♥t ♥ q ♥♦ s♥ ♥ éé♠♥trtt ♠ét♦ ♥ ♣rés♣♣♦s ♣s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t à ♦t♥r ♥ q ♦♠♠ ♦♥ ♠♦♥trr ♥s ♣tr ♣♦rt♥t sr ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r ♦♥ sr ♠♥é à

P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯

r s ②♣♦tèss sr ♠ sé ♣♦r s♠♣r s s ♥ ♣t ♠♥t t♦♠tsr t str ré ♥ss ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥♥ ♣t trtr s trs t♦♣♦♦s t rtérstqs ♠é♥qs rés

♥s ♣tr q st ♦♥ ♠♦♥trr ♦♠♠♥t tt ♠ét♦ ♣t êtr ♣r♦r♠♠é ♠♥èr à ♦t♥r ç♦♥ t♦♠tq t♥sr s ♦♥tr♥ts ♦♠♦é♥ésé ♥ ♦♥t♦♥♥ r t①t ♦♥♥és ♥tré

Chapitre 2♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

t♦♠tst♦♥ ♠ét♦ ♥ ♠♦è

♣♦tr s♠♣é

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

t ♠♥ ♦r ♦ tts r♦♠ srt ♦♠♦♥③t♦♥

srt ♦♠♦♥③t♦♥ sr♣t♦♥ ♦ t ♠t♦

♠① ①♦♥ ①t♥s♦♥ tt t t♦♦♥① tt

♣r♦♣♦s ♦r sst♦♥ ♦ tts t rs♣t t♦ r♦tt♦♥s

①t♥s♦♥ t♦ s ♦ t ♥ ♦♠s

t ♦r ♦ t trïr trss ♥ ♦♠s

❱t♦♥ ② ♦♠♣rs♦♥ t ♥②t ♠♦s ♥ s♠t♦♥s

♦♥s♦♥s ♥ ♣rs♣ts

♠rqs ♦♠♣é♠♥trs

①♠♣s trs

♦♥s♦♥ sss♦♥

Pré♠

♣tr st ss♥t♠♥t r♣rs ♥ rt ♣r ♥s r ♥s ♥ ♣♣rît ss♦s ♥ ①t♥s♦ ♥ ♦té ♥ rés♠é ♥ r♥çs t qqs♣♣t♦♥s t r♠rqs ♥ ♥ ♦♠♥t

♥ ss♥t♠♥t t♦♠tsé ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ é♦♣♣é ♣r r♦♥r t ♦r ♥ ts♥t ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é s♠♣t♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♦♥r♥ t q ♦♥ ♥é s r♦tt♦♥s ① ♥♦s s ♦♥sér♥t ♦♠♠ ♥s ♥srt♥s s r♠♥t t é♦♠étrs trs s ♣r♠ètr ♥é♠tq st♦rs é♣♠♥t

srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ rttr ♠trs ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t ♠t♦ ♥ s♠t♦♥ t♦♦ ♦r ts②st♠t ♣rt♦♥ ♦ tr t st ♣r♦♣rts

♦s s ♥♦r

és♠é

s éqt♦♥s éqr s ♠tér① rttrés ts q s ♠♦sss s tssés♦ t♦t tr ♠tér ②♥t ♥ ♠r♦strtr s♦s ♦r♠ ♣♦tr ♥s♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣rtr s♦♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs t t♦♣♦♦ ss♠ ♣♦tr à é ♠r♦s♦♣q q ♣r♦♦q ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s ♣r♦♣♦s étr ♦t♥t♦♥ s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s trs t ♥ tsr ♣♦r t♥q ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq ♣♦r ♦t♥r s ①♣rss♦♥s s ♣r♦♣rétéséq♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♠r♦♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs ♦♠♣♦rt♠♥t ér♥ts trs st é ♣s ♦♠♣ré à s s♠t♦♥s ♣♦r r ♥s t ♥②sr s ♦♥trt♦♥s rs♣ts ①♦♥ t ①t♥s♦♥ ss ♥ à é ♠r♦ t ♠r♦ ♥ trs ♠①t st ♦♥ç s♣éq♠♥t ♥ ss ♠♦s ♠é♥qs ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs♥ ♦t♥t ♣♦r trs ♥ ♦ é ♠♦ éstq ♥ ♦♥t♦♥ ♥sté rt ♠♦♥tr♥t ♥ ♦♠♣① é♦t♦♥ ♥♦♥ ♥ér tt ♦ ér♦ît ♠♥èr♠♣♦rt♥t ♦rsq ①♦♥ ♥t ♠♦ ♦♠♥♥t ♠tr s♦♣ss ♦t♥ ♥ rs♣t ♣s s s②♠étrs tt♥s ♣♦r q st ♠♦ s♠♥t q s①♣q ♣r ②♣♦tès tr♦♣ rstrt q ♦♥ ♦♣té q st ♥érs r♦tt♦♥s ♥ s ♦♥sér♥t ♦♠♠ ♥s ♣rès ①t♥s♦♥ ♠ét♦♦♦ s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♠♦sss ♥ s♦s ♦♠♣rss♦♥ st ♦t♥s♦s ♦r♠ ♥ ♠ ♦♥t♥ s♦tr♦♣q éq♥t ♦♥♦r♥t ss ♥ ss♠t♦♥s q ttértr sr qst♦♥ à ♥♦r ♠tr s♦♣ss ♥♣♦ssè ♣s s s②♠étrs rqss ♣♦r s ♠♦s s♠♥t ♦rsq♦♥ ♥é r♦tt♦♥ s ♥♦s ♥ ♣r♦♣♦s ♥ sst♦♥ s trs ♥ ♦♥t♦♥ ♦① ♠ ♦♥t♥ éq♥t t ♥tr s ♦♥t♦♥s ① ♦rs ♥♦t♠♠♥t ♣rés♥ ♦ ♥♦♥ ♠r♦r♦tt♦♥s ❯♥ s ♣r♥♣① réstts ♦♥trt♦♥ ♣rés♥t st ♠♦♥trr s♦♥ ①t♥s♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq rs ♥♠ ♠r♦♣♦r ♥ t♥♥t ♦♠♣t s ♠r♦r♦tt♦♥s ① ♥♦s ♦♠♠ s rés rté s♣♣é♠♥trs ss ♥ à é ♠r♦s♦♣q q ♠r♦s♦♣q

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

strt

♥♠ts ♥ t ♥ qt♦♥s ♦r ♠t♣s ♠r♦rttr ♠trs s s ♦♠s t①ts ♦r ♠ strtrs ①t ♣r ♠r♦s♦♣♦r t♦♣♦♦② ♥ ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ tr strtr ♦♥stt♥ts t t♠r♦s ♥ ts ♦r rt♦♥ ♦ t t ♠♥ ♣r♦♣rts♦ ♥ tts ♠ ♦ rtt ♠s s rt ♥stt s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q s s t♦ t ♦s ♦r♠ ①♣rss♦♥s ♦ t q♥t♣r♦♣rts rss t ♦♠tr ♥ ♠♥ ♠r♦♣r♠trs t ♦r ♦ ①♦♥ tt s t ♥ s t ② ♦♠♣rs♦♥ t s♠t♦♥s rsts ♥ ♦rr t♦ ♥②③ t rs♣t r♦s ♦ ①♦♥ ♥ ①t♥s♦♥ t♦t t ♠r♦ ♥ ♠r♦ ss ♠① tt s ♥ ♦♥ ♦♥t♥ ♦r♦t ①t♥s♦♥ ♥ ①♦♥ ts ♥ rst ♠♥♥r ts t ♠♦ r t rss ♦♠tr ♥ ♠♥ ♣r♠trs ♦ t ♠s s♥ ♦t t trt♦♥ ♠♦s rss ♥st② s♦s ♦♠♣① ♥♦♥♥r ♦t♦♥ s s rst rs ♥ ①♦♥ ♠♦s ♦♠ ♦♠♥♥t ♦r ①t♥s♦♥ ♦♥s ♦t♥ ♦♠♣♥ ♠tr① ♦s ♥♦t ①t t ①♣t s②♠♠trs ♥ sr♦r s ♦♥sr s ①♣♥ ② t t♦♦ rstrt ss♠♣t♦♥ ♦ r♦tt♦♥s♥ s♣♣rss t t s tr ①t♥♥ t ♣rs♥t ♠t♦♦♦② t♦rs t s t t ♠♥ ♦r ♦ ♥ ♦♠s ♥r ♦♠♣rss♦♥ s ♦t♥t ♥ s♦tr♦♣ ♦♥t♥♠ ♦r s ♥ ♦♦ r♠♥t t ♦t t trtr ♥ s♠t♦♥s t ♦♠♣♥ ♠tr① ♦ t q♥t ♦♥t♥♠♦s ♥♦t ①t s♦♠ ♦ t rqr ♠tr s②♠♠trs ♥r sr ♥ t ♥♦ r♦tt♦♥s r ♣r♥t sst♦♥ ♦ tts t rs♣t t♦ t ♦ ♦t q♥t ♦♥t♥♠ ♠♦ s ♣r♦♣♦s ♦r♥ t♦ t ♥tr ♦ t ♦♥r②♦♥t♦♥s ♦♥sr♥ s♣② ♦♥r② ♠r♦r♦tt♦♥s ♥ ♦ t ♠♥ rsts ♦t ♣rs♥t ♦♥trt♦♥ s t ♥ ♦r ♥ ①t♥s♦♥ ♦ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥t♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥♠ ② ♦♥sr♥ tt ♠r♦r♦tt♦♥s s t♦♥ rs♦ r♦♠ t t ♠r♦s♦♣ ♥ ♠r♦s♦♣ s

♥tr♦t♦♥

rttr ♠trs s s ♣♦②♠r ♥ ♠t ♦♠s s s ♥t♦r ♠♦s♦♦ ♠♠r♥s ttrt t ♥trst ♦ ♠♥② rsrrs ♥ t st s s t♦ tr s♣ ♠♥ ♣r♦♣rts ♠ t♠ st ♠trs ♦rtr rs s♦r♥ ♣t② rt♦♥ ♦ t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ ♦♠st rr rttr ♥ t s♥s ♦ ♥ ♥♦ t qs ♣r♦ ♥t♦r♥ rt♦♥ t♦ t t♦♣♦♦② ♦ t r ♠tr ♥ t ♠tr ♠♥ ♣r♦♣rtss s♣② ♥trst♥ ♥ ♠♣♦rt♥t t ♦s ♦r ♥rst♥♥ t ♠♥ ♦r♥ t ♦♠ rttr rqr t♦ ♦♣t♠③ ♣r♦♣rts t t strtr ♣♣r♦♣rt s③ ♠trs t tt t♦♣♦♦② ♥ ♠♥ ♣r♦♣rts ♥ sts ♦♥ q♥ttt ♥rst♥♥ ♦ t ♠r♦s♦♣ ♠♣t ♦ t ♠r♦strtr♣r♠trs

tt♠♣ts t♦ r t♦s t ♣r♦♣rts s ♦s ♦r♠ ①♣rss♦♥s ♦ t ♦♠tr♥ ♠♥ ♣r♠trs ♦ t tt r♣rs♥t♥ t ♦♠ r s♦ r ♥♦t stst♦r②

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

s ♠② ttrt t♦ t t② ♦ t ts ♥ ♦♥sr♥ t ss♦t♦♥ ♦ ♦♠♣① ♦♠trs ♥ ♠t① ♦♥s ♦r ts ♦♠♣①t② s ss♥t t♦ r♣r♦t ♦r ♦ ♦♠s ♥ tts r♥ tr sr r♦ ♦ ♠♣rt♦♥s ♥tr♦♥ts str♥ ♦③t♦♥ ♣♥♦♠♥ ♦♠♣♥ ② ♥st② tr♦♥tss s t ♥ t♦ ①t♥ t ♥♠ts ①tr ♥♦ rs ♦ r♦♠ s s ♠r♦r♦tt♦♥ ♠② s♦ ♣r♥t ♦r ♦♠♣t ts ts

♦r♥② tr s r② ♥ t♦ ♦♣ ♥r ♥ rst t♦♦ t♦ t t t ♦r ♦ rttr ♠trs ♥♦ t srt t♦♣♦♦② ♥ s②st♠t ♥ t♦♠t ♠♥♥r

r s♠♠r② ♦ t ♠♥ trtr ♦rs s ♥①t ①♣♦s ❩♥ ♥ ①♥ ❬❪st② t ♥♦♥♥r ♦r ♦ ♦♠s ♥r str♦♥ ♦♠♣rss♦♥ ♥ ♣r♦r♠ ♥♠rst② ♦r tt ♠♦ ② ❱♦r♦♥♦ï t②♣ ♣rtrt♦♥ ♥ t s♠ s♣rt t ❬❪ ♥②③s t ts ♦ ♠s ♠♣rt♦♥s s♥ ♥ ♥rt r♥ ♦♥ ❱ ss♦ rrt ♥ rtr ❬❪ ♥ t ♥ ♦ ♥rt r♥ ♠t♦ t ♣r♦tt ♥ ♥ s♦ ♠♥t♦♥ ♥ t s♠ ♥ ♦ t♦ts t ♦♥trt♦♥ ♦ t ❬❪ r② t t♦rs s qs ♣r♦ ♠♦ t♦ sr t ♥♦♥ ♥♦r♠t② ♦strsss ♥rt ♥ trss ♥r str♦♥ ♦♠♣rss ♦s ♥ t ♣st r♠ ♥ ♥t ❬❪ t t♦rs ♦♣ ♠r♦♠♥ ♠♦ s ♦♥ ♥ ♥rt ♣♣r♦t ♠♦ ♦♥ts ♦r t ♥t ♥s♦tr♦♣② ♥ ② t tt ♦r♠t♦♥ ♦♥ ♥①s ♦♥ts ♦r t ♦sr ♥rs ♦ ♥t ♦ rt♥ ♦♠s t♦ t rt♦♥♣r♦ss rtss t ♦r♠♥t♦♥ rr♥s ♥♥ t ♥♠♥t ♦r ②❩ t ❬❪ ♦♥ t ttrïr trss rt s ② s ♣♣r♦ ♥ t s♥s❩ ♥ t♦ ♦♣t ss♠♣t♦♥s rt t♦ t r♣r♦ ♦r♠t♦♥ ♦ t ♠st♥ t tt ♦♠♣①t② ♦ t ts s rt ② t ♦♠♣①t② ♦ t t♦♥srqr ♦r s♣ ♦♥sr rttr ♥t ♥ s♣r♦rt② ♦ tsrt ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q s ♥ t t♦♠t t♦♥ ♦ t t ♦rs t♥q s s♦② s ♣♦♥ t ♦♠tr r♣rs♥tt♦♥ ♦ t trss t ♦s♥ ♠♦st ss t st ♥ s♠ s♣♠♥ts ♥ str♥s r♠♦r t♦ r ♦s♦r♠ ①♣rss♦♥s ♦ t t ♠♦ ①♣t② rt♥ t ♠r♦s♦♣ ♦♠tr ♥♠♥ ♣r♠trs t t ♥t

♥ t ♣rs♥t ♦♥trt♦♥ ♦rt r♥t ♦ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥t♥q r♥t② ♦♣ ② ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥ r ❬❪ ♦t t ❬❪ ♥ ♦ t t♦♥ ♦ t t ♦r ♦ ♣r♦tts s ♠t♦♦♦② s ♣♣ t♦ r♦s tts ♥r ♦♠♣rss♦♥ ♥ sr♥ ♦rr t♦ t t t ♠♦ t r♦♠ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ srs ♦ s♠t♦♥s s ♥ ♣r♦r♠ ♦r t ①♦♥ trss ♥ ♠♥♥r s♠rt♦ r ♥ ❱r ❬❪ ♣r♥♣ ♦ t♦s s♠t♦♥s s s♦ ♥ ①♣♦t ②♦rts ♥ r♦③ ❬❪ ♣rs♥t rsts rtr ♦♠♣r t t rr♥rsts r♦♠ s♦♥ ♥ s② ❬❪ rt t♦ ♦♠s t ①♦♥ s t ♦♠♥♥t ♦r♠t♦♥ ♠♦ ♥ r②♥ ♦♥ ♥ ♠♣r r♠♥tt♦♥ ss♥t② s ♦♥ ♠♥s♦♥♥②ss s♣♦s t ❬❪

s rtr ♠♦tt♦♥ rst ♥♥♦♥ ♥ s♦♥ ♥ s② rt t♦ t ♣r♥♣♦r♠t♦♥ ♠♦ ♦ ♠s ♦r ①♦♥ tt t rr♥ t♦ ♦♥②♦♠s ♥r

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

r ♦r♠t♦♥ ♠♦s ♦ ♦♥②♦♠ strtr ♦r♥ t♦ s♦♥ ♥ s②❬❪

♦♠♣rss♦♥ s ❵♠♣ t♦t r♦tt♦♥ ♦ t ♦♥rs r t♦ tsss♠♣t♦♥ s ♥ ♥ s♦♠ ♦♥ ss ♦♣t t ♥ t ♣rs♥t ♦r

r♦r s ♣r♠r② ♦s ♦♥ ♦♥ t trsss ♦♥sr ♦ ♥ t♥s♦♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦r ♥♦t tt t ss♠♣t♦♥ ♦ ♥♦♥r♦tt♥ ♥♦s rt② ♥♥st ♦ ♦ t q♥t ♦♥t♥♦s ♠♠ ♥♦♥♣♦r ♥ t ♣rs♥t ♦r

❲ rt rstrt s t♦ ♥♠ts t♦ t ♥r ♦♠tr r♠♦r s st ♦r ♠♦st ♦ t ♣♣t♦♥s ♥ ♦♠s ♥ ♥t♦rs ♥ t st r♠ ❲rtr ♦s ♦♥ t rt♦♥ ♦ t st ♣r♦♣rts ♦ ♦♠s ♦r ♠♦r ♥r② rttr ♠trs ♥♦ t srt ♥ ♣r♦ t♦♣♦♦② t t ♠r♦ ♠♥st♣s ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q r rst ①♣♦s t♥ t ♥♦t② ♦t ♣rs♥t ♣♣r♦ rt♦♥s ♦ t ♠♥ ♣r♦♣rts r rst ♦r ♦♠trs t ♦s ♦r♠ ①♣rss♦♥s ♥ ♦♠♣r t s♠t♦♥s ①t♥s♦♥t♦ rttr s ♥①t ♥s ♦♥sr♥ ♠♦r ♣rtr② ♥ ♦♠s r♦♥③s ♣r♦t♦t②♣ rttr ♦ ♠♥② ♦♠s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

t ♠♥ ♦r ♦ tts r♦♠srt ♦♠♦♥③t♦♥

trs t r strtr r s♣r ♥ ♥tr ♥ ♥ ♦♦ ♦r trr ♦♥ ♠r♦strtr trs ♦ r s♦s t♥ tr ♠♥ rs♣♦♥sr ♠♦st s② ♦sr ♥ ♥♥r♥ ♦♥②♦♠s ♥ ♦♠s s♦♥ ❬❪ t♥ ♣♦②♠r ♦♠s s② ♦ ♥♦t ♦r♠ ♦♠♦♥♦s② ♥r ♦♠♣rss♦♥ ♦r ♠t①♦♥ ♥ str♥ ♦③t♦♥ ♥s ♦r♠ ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♣t ♦sr ♦♥ t♦r ♦ s♣♠♥t r rsts r♦♠ t ♦r♠t♦♥ ♥ ♣r♦♣t♦♥ ♦ s ♥s ♥st♦♥ strts ♥ r♦s r rs s str♥ ♦③t♦♥ ♣♥♦♠♥♠st ♥♦r♠② t♥ ♥t♦ ♦♥t ♦r t ♥tt♦♥ ♦ ♦♥sttt ♠♦ s s t tr♦♥♦s ♥st② ♥ ♥t r♦♠ t♦♠♦r♣② ♥②ss t②♣ rs♣♦♥s ♦ ♦♠ ♥r ♦♠♣rss♦♥ ①ts tr ♠♥ sts

♥ st ♣s ♠t t♦ s♠ ♦r♠t♦♥s s♦♥ ♣t ③♦♥ s ♥ ♦r s♦ s♦r♣t♦♥ tr ♣s ♦ ♥st♦♥ rtr③ ② str♦♥ ♥rs ♦ t ♦♥ r rttr ♥ t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ t ♦♠ ♠tr r rs♣♦♥

s ♦ ts r♠r ♣r♦♣rts ♦r♥② ♥② ♠♥ ♥②ss ♦ t ♦r ♦♦♠s ♦♥ssts ♦ tr②♥ t♦ ♥ t ♦r ♣r♦♣rts ♦ ♦♠s t♦ tr r rttr♥ t♦ t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ t ♥r②♥ ♦♥sttt ♠tr s♦♥ ❬❪ ♥ ♥ ♠♥tr♥ t♥q ♣r♦♠ss tt ♥ t ♥r tr t rt♦♥ ♦♥t♦♥ r strtrs t t sr r ♠r♦strtr t♦rt♦ s♣ ♣♣t♦♥ ♥ ♠♥ ♥ ts ♣rs♣t t s ss♥t t♦ ♦♣ t ♥rst♥♥ ♦ t rt♦♥s♣ t♥ ♠♥ rs♣♦♥s ♥ t r ♠r♦strtrr ♥ ❱r ❬❪

r ♦♥♥trt ♦♥ t rst ♦r♠t♦♥ st t ♦ ♥sts ♥ ♥st♦♥♦s ♥♦t ②t t ♣ ♥ t ♦r rs♣♦♥s ♠② st ♠♦ s st

srt ♦♠♦♥③t♦♥ sr♣t♦♥ ♦ t ♠t♦

♥r② s♣♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ sr s ♠t♠t♠t♦ t♦ r t q♥t ♦♥t♥♦s ♠♠ ♦r ♦ r♣tt srt strtr♠ ♦ ♠♥tr② s s t♥q s ♥s♣r ② t ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ ♣r♦ ♠♦♣ s♥ t r② ts ♦ P♥s♥♦ P♥s♥♦ ♥③ t s ♥ r♥t② ♣♣ ② ♦r ❬❪ ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♦rr♥t② Pr ♥ ❬❪ ♣♣ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ ♦♠♥t♦♥ tt ♥r② ♠t♦ ♥r t t s ♦ t ♠t♦ s t ♣r♦ r♣tt♦♥♦ ♥ ♠♥tr② ♠ ♦ ♠s ♦♥♥t t ♥♦s t♦ ♥ ♥ ♥♥t tt t♠② ①♣♥ s ♦♦s ♦♥sr ♥t sr ♦r strtr ♣r♠tr③ ② s♠ ♣r♠tr t rt♦ t♥ rtrst ♥t ♦ t s ♥t t♦ rtrst ♥t ♦ t strtr ♥t♥♥ t rr♥ r ♦r ♦♠ ① ♦♥♦♥srs t ♠t stt♦♥ ♦ ♦♥t♥♦s ♥st② ♦ ♥t s ♦t♥ ♥ t s♠♣r♠tr t♥s t♦ ③r♦ ♥ ts ♠t ♦♥t♥♠ q♥t ♥ rt♥ s♥s t♦ t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♥t tt s ♦t♥ ♦ ♦t♥ ts ♠t ♦r ♦♥ ♦s ♠t♠t② st② tqr♠ ♦ t tt ♥ t ♣♥♥ ♦ s ♦r♥♥ qt♦♥s rss t ♥tr♦s♠ ♣r♠tr s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♦ t ♥♦ ♣♦st♦♥ t♥s♦♥s ♥ ①tr♥ ♦rsr rtt♥ ♥ ♥srt ♥ t qr♠ qt♦♥s ♣rr② ①♣rss ♥ ♦r♠②♦r srs ①♣♥s♦♥ ♦ t s♣♠♥ts ♥ ♣♦ss② r♦tt♦♥ rs ♦ r♦♠ r♥①t ♥srt ♥t♦ ts qr♠ qt♦♥s srt s♠s r ♥② ♦♥rt ♥ t♠t ♦ ♦♥t♥♦s ♥st② ♦ ♠s ♥t♦ ♠♥♥ ♥trs tr② t♥ ♦♥t♥♦sstrss ♥ str♥ ♠srs ❲ rr t rr t♦ ♣♣rs ② r ♥ ♦♥r rr♥t ♠♦r ♠t♠t s♣ts ♥ t ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t ♠t♦ ♦r rstrt♥t♦ tts ♦ rtt ♠s ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥ r❬❪ ♦t t ❬❪ ♦s ♥ t ♣rs♥t ♣♣r s ♦♥ t ♦♠tr ♥rr♠♦r t ♠ ♦r♥tt♦♥ ♥ ♥t r s♣♣♦s ① ♣r♦ s♥t♦r t ♣♣t♦♥s ♥ rt♥ ♦ t q♥t ♦♥t♥♠ ♦r ♦s ♥①t t♦♥t② t q♥t ♣r♦♣rts trt♦♥ ♥ sr ♠♦ P♦ss♦♥s ♦♥t ♥st②♦ t ♦♠♦♥③ tt rss t tt ♦♠tr ♥ ♠♥ ♣r♦♣rts

♦rt♦♠♥ st♦♥s ①♣♦s ♥ s②♥tt ♠♥♥r t ♣r♥♣ st♣s ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q s r♥t ♦ t ♠t♦ ♦r♥② ♦♣ ♥ ♦r❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥ r ❬❪ ♦t t ❬❪ ss♥t ♠♦t♦♥ r♦t t♦ t ♠t♦♦♦② ♦♣ ② ♣r♦s t♦rs s t t♦♥srt♦♥ ♦ ♠ tts ♥ts s♣ ♥t♦♥ ♦♣t ♦r t tr♥srs♦r ts t♥ ♣♦♥t ♦♣ ♥ t ♣rr♣

rst st♣ ♦r♠t♦♥ ♦ t qr♠ ♥♦♥ t strss t♦rsSi

♦ s♠♣② ssq♥t t♥ ♦♣♠♥ts ss♠ ♥ ♦② ♦rs ♥ ♦♦s trt ♦t② v s tt t ♥ss t t s ♥ t ♦r♠ ♦ qr♠♦r ♦♠♥ Ω rts ♥ tr♠s ♦ t ② strss σ

ˆ

Ω

σ : ∇xvdx = 0

t ∇x t r♥t t rs♣t t♦ t r ① t ♦ ♣♦♥t ♥♦t♥ t ♦♦♥trt♦♥ ♦ t♦ s♦♥ ♦rr t♥s♦rs ♥ ♦ ♦♦r♥ts s ♣r♦r♠ ♥ ♦rr t♦①♣rss t ♣r♦s qt♦♥ ♥ st ♦ r♥r ♦♦r♥ts λ = (λ1, λ2, λ3) tr②♦♦ t ♠t♦ ①♣♦s ♥ ♦r ❬❪ s♣t ♣♦st♦♥ ♦ ♠tr ♣♦♥t P srtt♥ x = xiei ♥ rts♥ ♦♦r♥ts s ♥ ①♣rss♦♥ ♦ t t♦r ♥t♦♥

x = R(λ1, λ2, λ3)

♦r♥t ss ♥ r♥r ♦♦r♥ts ♥ ♥ s t st ♦ t♦rs

eλk =∂xi

∂λiei

♦♥trr♥t ss t♦rs ♦ t r♥r ♦♦r♥t s②st♠ eiλ r ♥ ②

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

eiλ · eλj =δij

t δij t r♦♥r s②♠♦ ♥ ♦rr t♦ ♦t♥ t ①♣rss♦♥ ♦ t strss t♥s♦r ♥♥r③ r♥r ♦♦r♥ts ♠ t ♥ ♦ rs x = x (λ) ♥ t qt♦♥ t ♦♥ ♦ ts tr♥s♦r♠t♦♥ s g ♥ dx = gdλ ♦r rt ♦t② v ts ♦♦r♥t ♥ ♥s t ♦♦♥ rt♦♥s t♥ t ♦t② r♥ts

∇xv =∂v

∂λi⊗ eiλ

qt♦♥ ♥ t♥ ①♣rss ♥ t ♦r♠ˆ

Ω

σ : (∇xv)dx =

ˆ

Ω

σ : (∂v

∂λi⊗ eiλ)gdλ =

ˆ

Ω

(σ · eiλ).∂v

∂λigdλ = 0

♥ ♦r♥② sts t strss t♦r s

Si = gσ · eiλ

qr♠ qt♦♥ ♦♦s r♦♠ t qt♦♥s ♥ ♥ tr♠s ♦ tstrss t♦r Si

ˆ

Ω

Si.∂v

∂λidλ = 0

r♦♠ t ♥t♦♥ ♥ t qr♠ qt♦♥ ♦♥ ♥ t♥ ①♣rss t♦rstrss t♥s♦r s t ② ♣r♦ts ♦ t strss t♦r Si t t ♣♦st♦♥ r♥t∂R

∂λi

σ =1

gSi ⊗ eλi =

1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

❲ ♥①t t t strss t♦r Si r♦♠ t ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ t ♠s ttqr♠ qt♦♥s

♦♥ st♣ ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ t srt qr♠ qt♦♥s

s ♣rrqst ♥♠r t ♥♦s ♥ t ♠s ♥ ♥ ♥t rt♦♥ ♦rts ♠s ❲ ♥ t st B(b) ♦♠♣♦s ♦ ♠s ♥♠r b ♥ t st ♦ ♥♦sN (n) ♦♥sst♥ ♦ ♥♦s ♥♠r n ❲ s♦ ♥ t ♦♦♥ tr sts ♦ ♠sb O (n) E (n) t E⌈(n) ♥ ts sts n s t ♦r♥ ♥ ♦r s ♥♦ rs♣t② ❲s♠♠r③ s♦♠ ♦ t s ♥♦tt♦♥s ♥ r

❲ ♥♦t t ♦r ♣♣ t♦ ♠ b t♦ t ♥ ♥♦ n ② Tb ♥ qr♠♦ ♠ ♠♠t② ♠♣s tt tr s ♥ ♦♣♣♦st ♦r −Tb t♥ ♦♥ t ♦r♥♥♦ ♦rs t t ♥♦s ♦ s ♥♦t f b ❲t ts ♥♦tt♦♥s ♦♥ ♥ rtt qr♠ qt♦♥ ♦ t tt

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

d(O(b))

d(E(b))

initial beam b

deformed beam b

d: displacement

e

e

1

2

Cartesian

e1

e2

λ

λ

curvilinear=Y1

=Y2

ebe

bE(b)

O(b)

Tb

N

Tb

b

t

r ♥♠t ♥ stt rs ♦r ♠ ♠♥t

∑

b∈O(n)

Tb −∑

b∈E(n)

Tb +∑

b∈E⌈(n)

f b = 0

❲ ss♠ tt ♥♦ r♦tt♦♥s ♦rs t t tt ♥♦s ♥ tr♦r ♥♦ ♦♣ strssst♥ ♦♥ t tt s s ss♠♣t♦♥s rtr sss rr♥ trt② ♥ t sq ♣r♦s qr♠ qt♦♥ s ♦♥♥♥t② ①♣rss♥ rt ♣♦r ♦r♠

∑

b∈B(b)

Tb ·[

v(

O(

b))

− v(

E(

b))]

= 0

❲rtt♥ ♥ ts ♦r♠ t s♠♠t♦♥ ♦r t ♠s s t t♦ ♥ ♥st rrt t ♣r♦s qt♦♥ ② ♦♠♣♦s♥ ts s♠ ♥♥ t ② t ♦♠tr② ♦ t tt s r♣rs♥t ♥ ♦rr t♦ sr ♥ ♥♥t tt ♦♠♣♦st sts s ♦ B(b) ♥ N (n) r♣t♥ ♦♥ Z

3 ♥ ♠♥tr② ♦ t tt rr♥ ❲ ②♣♦ts③ tt ♥ ts ♦r♠ stt t tt s qs♣r♦♥ t rr♥ t sts ♦ ♥♦s ♥ ♠s r ♥t ♠♥s♦♥ ♥ r ♥♠NR ♥ BR rs♣t② s t♦ ♥② tr♣t vi = (v1, v2, v3) ∈ Z

3 ♦t ♥ ss♦t s ♥ t ♥♦s ♦ t ♦ tt ♥ sr ② t qr♣ts n = (n, v1, v2, v3) ♥ NR × Z

3 ♥ ♠s ♦ t ♦ tt ♥ sr ②b = (b, v1, v2, v3) ♥ BR × Z

3❲t ts ♥♦tt♦♥s ♥♦t tt t♥ t rr♥ ♦♥ ♥ st t ♥♦ ♦

♦r♥ ♦ ♠ O(b) s♦ tt t ♦♥s t♦ t rr♥ s ♦r♥ ♥♦ ♥ r♣rs♥t ② t qr♣t (n, v1, v2, v3) rtss t ♥ ♥♦ E(b) ♦s ♥♦t ♥ssr②

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♦♥ t♦ t rr♥ t s ♥ssr② ♥ ♥ ♥ ♥t ♥♠r ②(v1 + δ1, v2 + δ2, v3 + δ3) tr♣t (δ1, δ2, δ3) ∈ Z

3 ♥ t ♥ ♥♦ tr ♦♥s t♦t rr♥ ♦r t♦ ♥①t t♦ t ts ♠♥s tt ♥ t ♥r s δi ∈ −1, 0, 1ts ♥trs δi ♣rtr② s ♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♣s

t ts st♣ ♥ rrt t qt♦♥ s ♦ s♠

∑

vi∈Z3

∑

b∈BR

Tb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0

❲ ♥ ♦♠♣♦s Tb ♥ ♥♦r♠ ♥ tr♥srs ♦r ♥ t ♣r♥♣ ♦ rt♣♦r s

∑

vi∈Z3

∑

b∈BR

(Nb +Tb

t

)· [v (O (b))− v (E (b))] = 0

srt ♦♠♦♥③t♦♥ t ♣r♦ ♠ ♦♠♦♥③t♦♥ s s ♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♦ t ♥♠t ♥ stt rs rss s♠ ♣r♠tr ε rt♦ ♦ t②♣ ♥t rtrst ♦ ♥ ♠♥tr② t♦ strtr ♥t ❲ ♦♥sr ttts s♠ ♣r♠tr ε→ 0 ♦ ♦♠♦♥③ t s ♥ssr② t♦ ♣r♠tr③ t ♥tr strtr ② ε ts ♦♥r♥s t ♦♠tr② s s t ♦♥sttt ♦r ❲ ♦r♥②st t r♥♥ r♥r ♦♦r♥ts s λε = εvi

♣♦st♦♥s ♦ ♥♦s ♥ t♥ ♥ ② t t♦r ♥t♦♥

Rε(n) = R0(λε) + εRn1(λε) + ...

❲t R0(λε) t ♥ tr♠ ❲ ss♦t ♥t♦♥ ♦ t ♥♦ s♣♠♥t s

dε(n) = d0(λε) + εdn1(λε) + ...

r♦♠ t ♥t♦♥ ♦ Rε(n) t ♣♦st♦♥ ♦ t ♥♦s ♦♥ ♦t♥s t ♦♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t ♥t ♦ t ♠s ♦r ❬❪

lεb = εlb0 + ε2lb1 + ...

❲ s rt♥ ♦♥② t ♦♠♥♥t tr♠ s♣rsr♣t 0 ♥ts tt ♦♥sr t♥t ♦r ♥② ♦r♠t♦♥ ♥ ♦r♥ t t s♠ ♦r♠t♦♥ r♠♦r s♣rsr♣t ε ♥ts tt ♠ t s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t q♥tt② ♦♥sr❲ ♦♥sr tt ♦r t ♥t rt♦♥ t♦rs ♦ t ♠s eεb = eb0 s ♥♣♥♥t ♦ εts ♠♥s tt ts t♦rs r rt t♦ t ss♠♣t♦♥s ♦ s♠ ♣rtrt♦♥s

s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ rt ♦t② vε s rtt♥ ② ②♦r srs ①♣♥s♦♥

vε(

O(

b))

− vε(

E(

b))

= v(λε)− v(λε + εδib) = −ε∂v(λε)

∂λiδib + ...

r♥ t s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t ♦rs s t ♠♥s ♦ ♠s♦♥sr♥ ♥ rr♥♦ ♠♦ ♥ t ♣rs♥t s t ♥t t♦r e3 ♥ rts♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♦♦r♥t s②st♠ s ♥♦r♠ t♦ t ♣♥r tt t♦r eb⊥ s ♥tr♦ s t ♥ttr♥srs t♦r ♦r ♠ ③

eb⊥ = e3 ∧ eb

♦r ①rt ♦♥ ♠

Tεb = N εbeb + T εbt eb⊥

♦♠♣♦ss ♥t♦ t ♥♦r♠ ♦r

N εbeb =EsS

εb

lεb((dε (E (b))− dε (O (b))) .eb

).eb

♥ tr♥srs ♦r

T εbt eb⊥ =

12EsIεz

(lεb)3((dε (E (b))− dε (O (b))) .eb⊥

).eb⊥

Es r♣rs♥ts t ❨♦♥s ♠♦s ♦ t ♠ ♠tr Sεb s t ♠ st♦♥ t♠ st♦♥ s s♣♣♦s rt♥r t ♥t t♥ss ♥♦tr ♦ ♦ t♦ ♦♥ t♦t r♠♥ t ♠♦♥strt♦♥ ♥ t s ♦ rt♥r st♦♥ t st♦♥♦ t ♠ s Sεb = tεb Iz s t qrt ♠♦♠♥t ♦ t ♠

♦rr ♥ ε ♦ t ♦♣♠♥t ♦ t st♦♥ tε s ♦t♥ r♦♠ t ♥st② ρ∗ ♦ ttt s ♦♥st♥t ♥♣♥♥t ♦ ε s s

ρ∗ ∝ tεb

lεb

r♦♠ ts rt♦♥ t ♦♦s

tεb ∝ lεb

♦♥ ♦♣s ts rt♦♥ s t qt♦♥ ♦t♥

tεb = εtb0 + ε2tb1 + ..

t♥♥ ♦♥② t ♦♠♥♥t tr♠ t t qrt ♠♦♠♥t ♦r ♠ ♦ rt♥rst♦♥ ♥ ♥t t♥ss

Iεz =

(εtb0)3

12

t♦ t ♣rs♥t② ♦♣t ♠t♦ rs ♦♥ ♠ ♠♥s t tr♥srs♦r rs r♦♠ t ♦♥ ♥ ♥ ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥r ❬❪ ♦t t ❬❪ t ♥trst ♦ t ♣rs♥t ♠t♦ s ①♣♥ ♥ ♠♦rts ♥ t ssq♥t ♣rr♣

t r♠♥s t♦ ①♣rss t s♣♠♥t r♥ t♥ t ①tr♠t② ♥♦s ♦ ♠ ②♦r srs ♦♣♠♥t s t♦

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

dε (O (b)) = d0 (λε) + εdOR(b)1 (λε) + ...

dε (E (b)) = d0(λε + εδib

)+ εdER(b)1

(λε + εδib

)+ ... =

d0 (λε) + ε∂d0(λε)

∂λiδib + εdER(b)1 (λε) + ε2

∂dER(b)1(λε)

∂λiδib + ... =

d0 (λε) + ε

(∂d0(λε)

∂λiδib + dER(b)1 (λε)

)

+ ...

dε (E (b))− dε (O (b)) = ε

(

dER(b)1 (λε)− dOR(b)1 (λε) +∂d(λε)

∂λiδib)

+ ...

tdER(b)1 (λε) ♥ dOR(b)1 (λε) t ♥♥♦♥ s♣♠♥ts ♦ t rr♥ ♥♦s t♥t ♥t ❲ s♦ ♥ st♦♥ ♦ t♦ s♦ ts ♥♥♦♥s ♥ ♦rr t♦ s♠♣②t ♦♦♥ ♦♣♠♥ts ♥

dDεEO = dε (E (b))− dε (O (b)) = ε

(

dER(b)1 (λε)− dOR(b)1 (λε) +∂d(λε)

∂λiδib)

+ ...

♥srt♥ t qt♦♥s ♥ t qt♦♥s ♥♥ t♦rs ♥ ♦♥ ♦t♥s

N εbeb =Est

b

lb(dDε

EO.eb δib).eb

T εbt eb⊥ =

Es

(tb)3

(lb)3(dDε

EO.eb⊥ δib

).eb⊥

rtr ♥srt t st t♦ qt♦♥s ♥ qt♦♥ t

Tεb =Est

b

lb(dDε

EO.eb δib)eb +

Es

(tb)3

(lb)3(dDε

EO.eb⊥ δib

).eb⊥

♥② ssttt qt♦♥s ♥ ♥ t ♦♦♥ srt ♦r♠ ♦ qr♠ s ♦t♥

∑

vi∈Z3

∑

b∈BR

(

Estb

lb(dDε

EO.eb δib)eb +

Es

(tb)3

(lb)3(dDε

EO.eb⊥ δib

).eb⊥

)

·[

ε∂v(λε)

∂λiδib]

= 0

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

❲ ♥ rt ts qt♦♥ ♥ t s ♥ t ♦r♠

∑

vi∈Z3

ε2∑

i∈1,2Si ·

[∂v(λε)

∂λi

]

= 0

♥ ts qt♦♥ t t♦r Si ♥ ♥ s

Si =∑

b∈BR

(

Estb

lb(dDε

EO.eb δib)eb +

Es

(tb)3

(lb)3(dDε

EO.eb⊥ δib

).eb⊥

)

δib

♥ Si ♥ ①♣rss ♥ t ♦♥♥s ♦r♠

Si =∑

b∈BR

(Nb +Tb

t

)δib

❲ ♥①t s t ♦♦♥ rst ♦r ❬❪ t♦ tr♥s♦r♠ t srt ♥t♦ ♦♥t♥♦s qr♠ ♦r♠t♦♥ ♦r ♥② s♥t② rr ♥t♦♥ t q♥tt② ε2

∑

vi∈Z3

g(εvi)

♥ ♥tr♣rt s ♠♥♥ s♠ ♦ ♥ ♥tr ♦r Ω t t♥s t♦´

Ωg(λ)dλ s ε ♦s

t♦ s s♥ ts ♣r♦♣♦st♦♥ t qt♦♥ ♥ rtt♥ˆ

Ω

Si · ∂v(λε)

∂λidλ

r♦♠ t strss t♦rs Si ♥ s♥ qt♦♥ ♦♥ ♥ t♥ ♦r♠t t strsst♥s♦r σ s

σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

sr tt t ♠r♦s♦♣ rs ♥tr② ♦♦ r♦♠ t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q ♥ tr s ♥♦ ♥ t♦ ♥ t ♠r♦s♦♣ s s rs ♦ tr ♠r♦s♦♣♦♥tr♣rt s ♥ ss ♦♠♦♥③t♦♥ ♠t♦s

t♦♠t trt♠♥t ♦ t st♣s ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ s ♥ ♠♣♠♥t ♥ ♣ ♦ ts st♣s r s♠♠r③ ♥ t ♦♦♥ ♦rt♠ ♥t ①♠♣s t♦ trt ♥①t ♦♥② tts t ① ♥t t♦rs ♥ t r♥r s②st♠ ♥ ♦♥sr ♦ ♦ ♦♥s♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥s t t♦rs ♦ t r♥r♦♦r♥ts r ♥♦t Yi = eλi ♥ t rts♥ t♦rs (i, j,k) = (e1, e2, e3) tt t♦♣♦♦② ♥ ♠♦ ② s♠♣② rrt♥ t①t sr♥ ts ♦♠tr② ♥♦♥♥tt②

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♥t③t♦♥ ♦ t ts ♦ ♥t t ♥t♦♥ ♦ t ♥t♦♥ R s tt x = R(λ1, λ2, λ3)

r♥s♦r♠t♦♥ ♦ t ①♣rss♦♥

(∂d

∂λi

)

(eλ1 ,eλ2)7→(∂d

∂λi

)

(e1,e2)

t♦ ♦ ♦♥s♦♥ ♥

①♠♣s ♥ t ♣ ♦ t t♦rs ♦ r♥r s②st♠ r ♥♦t Yi = eλi t t♦rs ♦ rts♥ s②st♠ r ♥♦t (i, j,k) = (e1, e2, e3)

♦♠♣♦st♦♥ ♦ t rst♥t Tb = Nb+Tbt s♠ ♦ t ♥♦r♠ ♥ tr♥srs ♦rs

Nb,Tbt rss t s♣♠♥t ♥♥♦♥s dER(b)1 (λε) dOR(b)1 (λε) ♥ t rst ♦rr

②♦r srs ①♣♥s♦♥s ♦ d0

♦t♦♥ ♦ t sqr♠ qt♦♥s qr♠ t ♥♦∑

b∈BR

Tb ·[v (O (b))− v (E (b))] = 0

①♣rss♦♥ ♦ t strss t♦r Si =∑

b∈BR

(Nb +Tb

t

)δib

t♦♥ ♦ t strss t♥s♦r σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

t♦♥ ♦ t ♣r♦♣rts

♦rt♠ ♦rt♠ ♦r t t♦♠t③ srt ♦♠♦♥③t♦♥

qr♠ qt♦♥s ♥ t♦♥ ♦ t s♣♠♥t♥♥♦♥s ♥ t s ♦ ♥tr♥ ♥♦s

trss qr♠ ♠♣s t ♥t ♦r rr♥ qr♠ qt♦♥ ♥ rrtt♥ ♥ t ♦r♠

∑

b∈BR

Tb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0

t BR t st ♦ ♥♦s ♦r t rr♥ qt♦♥ ♥ ①♣♥ ♥t♦ s♠♥② ♥♣♥♥t qt♦♥s s ♥tr♥ ♥♦s s♥ t ♣♣s ♦r ♥② ♥♦ ♦t② v (.)t rst♥ s②st♠ ♦ qt♦♥s ♦s t♦ s♦ ♦r t ♥♥♦♥ s♣♠♥ts dER(b)1 (λε)♥ dOR(b)1 (λε) ♦ t rr♥ ♥♦s t♥ t ♥t

♥trst ♦ t ♦♣t ♥t♦♥ ♦ t tr♥srs ♦r Tbt

♠t♦ ♦♣ ♥ ♦r ❬❪ ♥ r t ❬❪ ss t ♠♦♠♥tqr♠ qt♦♥ t♦ r♣ t ①♣rss♦♥ ♦ t tr♥srs ♦rs Tb

t ♥ t qt♦♥ ② t ♦♣ ♥rt ② t ♥r rt♦♥ t♥ t♦ ♦♥st ♠ss ♠♦♥ ♣♣r♦ s st♦♠r② ♥ t ♦ ♣♣t♦♥s ♦♥sr ② t t♦rs♥♠② ♠♦r ②♥♠s ♦r ♥trt♦♠ ♣②ss t ♥ ♣♣t♦♥ t♦ r♦♥ ♥♥♦ts♠r♦strtr t♦rs ♦♣t t ♠♥s ♦ ♥trt♥ rs rs ♦♦s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

ϕ

ϕ

L

L

1 d1

2 d2

M

♦♣ t♦ t ♥r rt♦♥ t♥t♦ rs r t ❬❪

M

M

Tt

-Tt

d

♦♣ ♥rt ② t s♣♠♥t r♥ t♥ t ♥ ♥♦s ♦ t s♠♠ ♣rs♥t ♦r

r r♥s t♥ t ♦♣s ♥ t ♣rs♥t ♠t♦ ♥ ♥ r t ❬❪

♠ ♠♥s ♦r t sr♣t♦♥ ♦ t tt ♦r ♥ ♦r trt♠♥t t ①♣rss♦♥♦ t ♦♣ strsss ♥ tr② ♦ t tr♥srs ♦rs s ♥ t♦ t r♥ ♦s♣♠♥ts t♥ t ①tr♠t② ♥♦s ♦ ♥ ♠ r s♦s t r♥t♥ ♦t ♠t♦s ♦♥sr♥ t ♥r③ ♠t♦ ♦♣t ♥ r t ❬❪♥ ♣rs♥t ♣♣r♦ t ♦♣ s ♦♥t♦♥ ♦ t s♣♠♥t r♥ t♥ t ♥♥♦s ♦ ♠ r ♥ s t ♥r rt♦♥ t♥ t♦ ♠s ♥ rt ❬❪

♦r♦r ♥ ♦rr t♦ t♦ s t r♦tt♦♥ qr♠ qt♦♥s t ♣r♦st♦rs ♥t② t r♦tt♦♥ ♦ t ♠ t♦ r ♦② ♠♦t♦♥ ♠♣②♥ t ss♠♣t♦♥ ♦♠s t♦t ♥tr♥ tr♥srs ♦r ❲ ♦♣t t♦ t ♦♥trr② t ♠ t♦r② tt ♦♣ ♦♥sr s ♥ ♥tr♥ ♠♦♠♥t

ss♠♣t♦♥ ♦♣t ♥ t ♣rs♥t trt♠♥t ♦ ♦♣s s♠♣s t ♣r♦♠ ♦r♠t♦♥ s♥ ♦♥ ♦s ♥♦t ♥ t ♠♦♠♥t qr♠ t♦ s♦ t ♣r♦♠ ss♠♥ ♥♦♥♦ r♦tt♦♥s s ♠t♦ ♦rs t♦♥② ♥trst♥ ♣rs♣ts ♥ ♦♥sr♥♥♦ r♦tt♦♥s t ♦♣ qr♠ qt♦♥s s r♥s t♦♥ qt♦♥s ♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

t ①t♥s♦♥ ♦ t ♣rs♥t ♠♦ t♦ t ♦♥strt♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥ ② ♦♠♦♥③t♦♥ s♠s ♠♣♦ss t t ♠t♦ ♦♣ ② r t ❬❪

st ♦♥ ①♦♥ ♦r ♦♥②♦♠ tt ♥r♦♠♣rss♦♥

♦♠tr② ♦ t ♦♥②♦♠ tt s s♦♥ ♥ t ♣r♦s r ss♠♥♦r rr ①♦♥ tt t ♦♠tr ♦♥str♥ts h = l ♥ θ = 30 t❨♦♥s ♠♦s P♦ss♦♥ ♦♥t ♥ rt ♥st② r ♥ rss t ♠r♦♠♥t l t t ♥ t ♠r♦♠ ♠♦s Es

E∗ =4Est

3√3

3l(l2 + 3t2)

ν∗12 =l2 − t2

l2 + 3 t2

ρ∗ =2

3

t√3

l

♥ ♥ ♦sr tt ♥ t s ♦ s♥r ♠s ♠s t r ♥t t♦ trt♦ ③ l ≫ t t ♣r♦s ①♣rss♦♥ ♦ t t trt♦♥ ♠♦s ♦♠s

E∗ =4Est

3√3

3l3 s ♥t t♦ t ♦r♠ ♦t♥ ② r♦s t♦rs s♦♥ ❬❪

s♦♥ ♥ s② ❬❪ ♥ ♥ rtr ①♣♦r r r♥ ♦ ♠ ♥t t♦ trt♦ ♦s ♦♥ rt♦s tt r ♦♠♣r ♦r ss t♥ ♥t② r s♦s sr♣♥② ♦ t t ♣r♦♣rts t t s♦♥ ♥ s② rsts ♦r rt♦ ♦t t rt rr♦r s ♦t ♥ t rtr ♥rss t rs♥ s ♦ l/t ♦t♦r tt ♥ ts s t ♥t ss♠♣t♦♥ ♦ s♥r ♠s ♦♦ss ts t②

♥♠r s♠t♦♥ s ♥ ♣r♦r♠ ♥ ♦rr t♦ tst tr t ♦♠♦♥③①♣rss♦♥ ♦ t ♠♦s ♥♦r♣♦rt♥ ♦♠♣rss♦♥ ts s ♠♦r rt t♥ t s♦♥ ♥ s② ♦r♠ s♦♥ ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪ ♠♥ ♣r♦♣rts♦ ♠♥♠ ♥ ♦♣t ♦r t ♠r♦♠s ♦ t tt ③

Es = 72000N/mm2

ν = 0.33♦ ♠♥♠③ ts ♥r♥t t♦ s s♠t♦♥s ♦♥ ♥t ♦♠♥s s tt

t ① s s ♥♥ s♥t② r ♥♠r ♦ s ♦♥t♦♥s♦♥ssts ♦ ♦ r♦tt♦♥s t ♥♦ t t ♦tt♦♠ t s ① t ♦tt♦♠ ♥♦s ♥ ① rt s♣♠♥t r ♦t r♥♦ t②♣ ♠♥t ♥♦ sr qs♠ ♠♥t ♦r ♠♦s♥♦ t②♣ ♠♥t ♥♦r♣♦rt♥ sr qs ♠♥t ♥ ♦♥sr s st ♠♥t s ♠♦r qt ♥ t s ♦ ♠s t rt② s♠ ♥t t♦ t rt♦ ♦♥sr s♠♣ ♥ s♠t r♣rs♥ts ♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

L/t5 10 15 20 25 30

(E*-E*[G&A]*)/E*

50

40

30

20

10

r ♦t♦♥ ♦ t rt ♥ ♣r♥t t♥ t t ♠♦s ♦r ①♦♥ tt ♥ s♦♥ ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪ ♥ t ♦♠♦♥③ ♠♦ss t rt♦ t

r ♦ ♠♠ t rt ♥st② ρ∗ = 0.15 ♦rrs♣♦♥♥ t♦ ♠ ♠♥ts t ♥t ♠♠ ♥ t ♠♠ ♥♦ t rt♥r st♦♥ s♠t♦♥s t r ♥st② ρ∗ = 0.24 s♦ ♣r♦r♠ t t s ♠♠ ♦rrs♣♦♥♥ t♦ ♥t ♦r t rt♦ ♦ rsts ♦ rt ♦♠♣rss♦♥ tsts r ①♣♦t ♥tr♠s ♦ t q♥t ♠♦s ♥♦r♠③ t♦ t ♠tr ♠♦s ♥ P♦ss♦♥s rt♦♦♥sr♥ t ①tr♥ ♥♦s r ♦ t♦ ♥♦ s ♦♥ t ♦♦♥♥t♦♥s ♦ t ♥♠r ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts r ♦♣t

E∗

Es (FE)

=σ22εtopEs

ν∗12(FE) =εlateralεtop

t s ①♣♥t♦r② ♥♦tt♦♥s s t ♥r ♠♥s♦♥ ♦ t s ♠♠ ♥ s♥t ♠♦s ♦ t ♠r♦♠ Es s ①♣rss ♥ ♥ts ♦ ♠♠ t ♦♥t♥ ♥ trs♠♣ ♦r♠t♦♥s ♦♦ r♦♠ t s♣♠♥ts s

εtop = U2 topnode

εlateral = U1rightnode − U1leftnode

U1 U2 ♥♦t t ♦r③♦♥t ♥ rt s♣♠♥ts rs♣t②

rsts r s ♣♣r♥t r♦♠ t t ♦ t ♠s st♦rt♦♥s t ♥srt ♦ r s♦ tt t ♥t ss♠♣t♦♥ rt t♦ t ♦r♠t♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

r ♦♠tr② ♦ t ①♦♥ trss ♥ ts ♦♥r② ♦♥t♦♥s

s♠t♦♥ ♦ t ①♦♥ tt ♥r ♦♠♣rss♦♥

❩♦♦♠ ♦♥ t ♠r♦♠ ♦r♠t♦♥

r ①♦♥ tt ♥r ♦♠♣rss♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♠ t ♥ ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts rsts rsts

♠♥t t②♣ ts ♦r

r♥♦ t♠♠ E∗ = 347P ν∗12 = 0.94 E∗ = 355P ν∗12 = 0.97 E∗ = 364P ν∗12 = 1

r♥♦ t♠♠ E∗ = 1321P ν∗12 = 0.85 E∗ = 1368P ν∗12 = 0.88 E∗ = 1492P ν∗12 = 1

♠♦s♥♦ t♠♠ E∗ = 347P ν∗12 = 0.94 E∗ = 338P ν∗12 = 0.97 E∗ = 364P ν∗12 = 1

♠♦s♥♦ t♠♠ E∗ = 1321P ν∗12 = 0.85 E∗ = 1222P ν∗12 = 0.90 E∗ = 1492P ν∗12 = 1

sts ♦t♥ ♦r t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ ①♦♥ tt

♠♦ ♦ t ♠r♦♠s ♥ t trss s t tr s ♦♦s② ♥♦ r♦tt♦♥ ♦ t ♥♦s ♥ ts ♦♠♣rss♦♥ ♦♥ ♠♦

♦♠♣rs♦♥ ♦ t ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts t rsts ♥trtr s

♦♠♦♥③ st ♣r♦♣rts r ♦♠♣r t rsts ♥ t♦ t s♦♥ ♥s② s♦♥ ♥ s② ❬❪ rsts ♥ t

s ts t ♦♦♥ ♣♦♥ts ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts r ♦sr t♦ t s ♥ sr♣♥② t t s♦♥♥ s② rsts s ♦sr ♦r ♦t ♥sts

♦t♦♥ ♣tr ♥ r rts t sr♣♥② t♥ t ♥②trsts ♦ s♦♥ ♥ s② ♥ rsts

s♣♣♠♥tr② t t♦ t ♠r♦♠ sr ①sts ♥♥♦t ♥t♥ t ♥t t♦ t rt♦ s ss t♥ ♦r ♠ t t t st s ♥♦t t♥ ♥t♦ ♦♥t ② t ♣rs♥t ♦ s ♦♥ r♥♦ ♠ ♠♥t

♠① ①♦♥ ①t♥s♦♥ tt t t♦♦♥① tt

♥ sr ♦♥ s ♣r♦♥ t♦ ♥ ①♦♥ rs ♥♦ ①♦♥ ♥r② ♦♠♣♥② ♦♠♣rss♦♥ tsts ♦♥ ♥ ♥rt t♦♦♥① tt stt rst strts t ♣♦r ♦ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q ♥ ♦♠♣rs♦♥t♦ ♦tr ♣♣r♦s t ♥rt ♠t♦ ♠② ♥♦t ♦r ♦r ♦♠♣① ttt♦♣♦♦s ♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥♦t s ss♠♣t♦♥s ♦ r q♥tts♦♥ ♦r ss♠♣t♦♥s rt t♦ t ♠t♠t ♦r♠ ♦ s♣♠♥t s ♥ t ♥t ❲ rtr s t ♠♥ qr♠ t t ♥♦s ts ♠♣r♦s t ♦♥sst♥②♦ rsts r♦♠ ♠♥ ♣♦♥t ♦ Pr♣s ♠♦r ♠♣♦rt♥t② ts tt s ♥♦ ♥ts s♥ t ♥ r♣rs♥t ♠① ♦♥t♥♦s ①♦♥ ①t♥s♦♥ ♦r ♥ tt♦♣♦♦② s r ♦r♥ t♦ ♣r♦ss ♥ sr ♥ t sq

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

n1

n2n3

n4

n3

n1n2

12

3

4

56

Y2

Y1

La

Ld

r t♦♦♥① tt ♥♦s t s♦ r ♦♥ t♦ t rr♥ ♥♦s t ♦♦ r ♦♥ t♦ ♥t s

♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts

♥ tt ♥ t t② t♦ ♦♥t ♥ ① ♠♥♥r t♦ ♦t ①t♥s♦♥ ♥①♦♥ ♦r s ♥ ♦♥ r ♦♥ t t♦♦♥① tt

rt ♥t ♦ ♦♥ rss ① ♠s s ♥ ♣r♠tr③ ② t sr r

La = (1− r) · L

Ld = r · L/√2

t La ♥t ♦ rt ♥ ♦r③♦♥t ♠s ♥ Ld ♥t ♦ ♦♥ ♠s

r② ♦♥ ♥ s♣♥ s♣tr♠ ♦ ♦rs r♦♠ ♣r② ①t♥s♦♥ ♦♥s tr = 0 ♦rrs♣♦♥♥ t♦ t ttr♦♥ tt t♦ ♣r② ①♦♥ ♦r ♥ r = 1♦rrs♣♦♥♥ t♦ ♠♦♥ t②♣ tt ♥tr♠t s ♦ t ♣r♠tr r sr tt t ♠① ①♦♥ ♥ ①t♥s♦♥ ♦r t ta ♦ t ① ♠s sr ♥ t♥ s ta = td/10 t ♦ ♦♥ ♠s s ♥♦t t = td s rr t♦t ♦♥r② ♦♥t♦♥s t ♥♦s r ♠♣ ♥ ♥♦ r♦tt♦♥ ♦ ♦ t ♥♦sr ♦♥sr ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts r ♦t♥ s ♦♦s

E∗1 = 2

kld kla kpd

kla kld + 2 kld kpd + kla kpd

ν∗12 =kla (kld − kpd)

kla kld + 2 kld kpd + kla kpd

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

ρ∗ =1/5 (1− r)Lt+ 2 rL

√2t

L2

s♠ ♣r♦♣rts rst ♦r t s♦♥ ①s t♦ t s♦tr♦♣② ♦ t q♥t♦♥t♥♠ ♠tr rs kla = kld = Esti/Li ♥ t ①♣rss♦♥s ♦ r t ①♠♦ ♦ t ♠r♦♠s t ti, Li tr t ♥ ♥t rs♣t② ♥ kpa = kpd =12EsIz/L

3i t ①♦♥ ♠♦

♦♠♣rs♦♥ t rsts

♦♠tr ♥ ♠♥ ♠♥♠ rtrsts r t♦s ♦ t ♣r♦s②sr ♦♥②♦♠ tt

♥ ♦rr t♦ ♦ t rt ♥ ♦ ♥ ② Fc = 4πEsI/L2 ♥ ♠♣

♦♥rt♦♥ strt ♦♠♣rss ♦ ♦ ♠♠ s ♥ ♦♥sr ♦♥r② ♦♥t♦♥s r ♦ r♦tt♦♥s ♦♥ t ①tr♥ s t t ♦tt♦♠ ♥♦ ①♥ t ♦tr ♦tt♦♠ ♥♦s ① rt s♣♠♥t r♥♦ t②♣ ♠♥ts st s♦ s t♦ ♠t t ♠s t t srt t♦♣♦♦② ♦ t tt ♦♣t♥ ♠♥ts ♣r ♠ s♠♣ s t ♠♥s♦♥ ① ♠♠ t ♦♥st♥t♥st② ρ∗ = 0.15 ♥ ♦rr t♦ ♦ ts ♦♥ ♦♥srs ① tt t ♠s ♥ t ② t♦r t♦ ♦♠♣t t t ♣♣ ♦♥ q♥t st ♣r♦♣rts r ♥ s♠r② t♦ t ♦♥②♦♠ tt ♦r♥ t♦ t♦♦♥ ♦r♠s σ s t ♦♠♣rss♦♥ ♦

E∗

Es (FE)

=σ

εtopEs

ν∗12(FE) =εlateralεtop

s t s ♥r ♠♥s♦♥ ♠♠ ♥ t ♠♦s ♦ t ♠r♦♠ Es s①♣rss ♥ ♠♠ t ♦♥t♥ ♥ tr♥srs② str♥s r ♥ s ♦r srtt t ♦♠♦♥③ ♠♦s ♥ t ♦♠♣rss♦♥ rt♦♥ ② s ♣rs♥t② ♦t♥ ③E2 = E∗ ♠t♦♥ rsts ♦r ts tt r s♦♥ ♥ r ♥

strt♦♥ ♦ t strsss rts t ♣r♦rss ♥ ♦ t ♦r♠t♦♥ ♠♦♦ ts trss r♦♠ ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥ ♦r r t strsss r strt ♠♦st② ♥t ♦r③♦♥t ♥ rt ♠s t♦ ♦♠♥♥t ①♦♥ ♦r r = 0.8 ♦r t ♥tr♠tstt♦♥ r = 0.5 t strsss r strt ♥ rt② ♥♦r♠ ♠♥♥r ♥ ♦t① ♥ tr♥srs ♠s t♥ss♥ ts trss s ♥♦ ♠♦r ♦♠♥♥t ♦r♠t♦♥ ♠♦♦♠♦♥③ ♥ s♠t ♠♦ r ♦♠♣r ♥ t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♦s

1

2

3

strss strt♦♥

r t♦♦♥① tt ❱♦♥ ss strss strt♦♥ r = 0.2

t ♥t ♦ ♦♥ t ♣r♦♣rts rsts

rss ① ♠s r♦♠ ♦♠♦♥③t♦♥

r = 0.2 E∗/Es = 0.0255 ν12 = −0.00464 E∗/Es = 0.0255 ν∗12 = −0.00464

r = 0.5 E∗/Es = 0.0133 ν12 = 0.279 E∗/Es = 0.0133 ν∗12 = 0.279

r = 0.8 E∗/Es = 0.00276 ν12 = 0.891 E∗/Es = 0.00276 ν∗12 = 0.891

r = 1 E∗/Es = 0.000839 ν12 = 0.989 E∗/Es = 0.000839 ν∗12 = 0.989

sts ♦r t♦♦♥① tt

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

1

2

3

r t♦♦♥① tt r = 0.5 ❱♦♥ ss strss strt♦♥

s♦s ♥t rsts ts t t♦♥ st♣s ♦ t srt♦♠♦♥③t♦♥ ♦r ts tt ♥ t trss s ♣r♠tr③ ② t sr r ♦♥ tr♥st♦♥ r♦♠ tt ♦r♥ ♥r ♣r ♦♠♣rss♦♥ t♦ ♣r ①♦♥ t s ♥trst♥ t♦r♦r t ♦t♦♥ ♦ t t ♠♦s ♥♦r♠③ ② t ♠r♦♠ ♠♦s rsst ♣r♠tr r ♦♥sr♥ ♦♥st♥t ♥st② t r s♦s tt ①♦♥trsss r ♦♥sr② ss r ♦♠♣r t♦ trsss ♦r♥ ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s♦r ♠② ♠♣♦rt♥t ♦♥sq♥s s t♦ t ♠♥ rs♣♦♥s ♦ tt ♥rtrt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♣rs♥t♥ ♠ ♠s

t s ♥trst♥ t♦ ♥♦t r♦♠ t r tt t tt ♠② ①t st②♥t ♦ t P♦ss♦♥ ♦♥t t♦ t ♦r ♦ t ♦♥ ♠s ♦ t♠♦♥ strtr

t s ♦rt r♦r♥ t ♦t♦♥ ♦ t ♦♥t ♥ ♦r♥ t♦ ♥♠r♦s t♦rs ♥ t trtr ♣r♦♣♦s ♥ ♦rr t♦ s♠♣② t tt t♦♥s ♥r♦r♠ ♦ t t②♣

E∗ = C Es(ρ∗)n

t C ♦♥st♥t♥ s♦♥ ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪ t s n = 2 t t ♠♦s ss

s t sqr ♦ t tt ♥st② ♥ C 1 r ♦♣t ♦r t ①♦♥ ♥ t ttrïr♦♥ tt

t♦ ts s r ♦♥♥♥t ♦r s♣ tts t ♦♠s r tt t②♦ ♥♦t rt t tr ♦♠♣① ♦r ♦ ♠♦r ♥r tts s t ♣rs♥t ♦♥ tr s♦s tt t s ♥♦t ♣♦ss t♦ ss♥ ① ♦r t ①♣♦♥♥t n s srtr ♦♥r♠ ② ♦rts ♥ r♦③ ❬❪ ♦ stt tt ①♣r♠♥ts t♦ s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

1

2

3

strss strt♦♥

1

2

3

❱♦♥ ss strss strt♦♥ ③♦♦♠ r♦♠ ♣r♦s

r t♦♦♥① tt r = 0.8 ❱♦♥ ss strss strt♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♦t♦♥ ♦ t ❨♦♥s ♠♦s E∗/Es♦ t t♦♦♥① tt ♥ ♠♦♥ r♦♠sqr t♦ ♠♦♥ tt

♦t♦♥ ♦ t P♦ss♦♥ ♦♥t ♦ tt♦♦♥① tt ♥ ♠♦♥ r♦♠ sqrt♦ ♠♦♥ tt t ♦♥st♥t q♥t ♥st②ρ∗ = 0.15

r ♦t♦♥ ♦ ♦♠♦♥③ st ♣r♦♣rts rss ♣r♠tr r

♦ t ①♣♦♥♥t ♥ t r♥ 1 < n < 4 t ♣♥♥② ♦ t q♥t ♠♦s ♣♦♥♥st② ♥ rtr ♦sr

s ♦r t ①♦♥ trss ♥♦♥sst♥t t ♣r♦♣rts r ♦t♥ ♥r srtst s rt ② t ♦♠♣♥ ♠tr①

[S] =

S11 S12 0 0

S21 S22 0 0

0 0 S33 S34

0 0 S43 S44

t S11 = S22 = kla.kld+2.kpd .kld+kla.kpd2(kld .kla.kpd)

S21 = S12 = S34 = S43 = − kld−kpd

2(kpd .kld)♥ S33 =

S44 =kpa.kld+kpa.kpd+2.kpd .kld

2(kpa.kld .kpd)

❲ r tt t rs kla = kld = Esti/Li r t ① ♠♦ ♥ kpa = kpd =12EsIz/L

3i t ①♦♥ ♠♦

t♦ t ♠♥ qr♠ ♦ t t ♦♥t S33 ♥ S43 s♦ qs s ♦♥ts S34 ♥ S44 ♥ ♥♦♥sst♥t ①♣rss♦♥s ♦ t sr ♠♦s G rst t♦ t t♦♦ rstrt ♦♥r② ♦♥t♦♥s tt ♣r♥t r♦tt♦♥s s♣♦♥ts t♦rs t ♥ t♦ ♥♥ t ♥♠ts ♥ t stts ♦ ♦t t tts ♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

r ♦t♦♥ ♦ t ①♣♦♥♥t n sE

Es

= (ρ∗)n ♦r t t♦♦♥① tt

♥ ♠♦♥ r♦♠ sqr t♦ ♠♦♥ tt t ♦♥st♥t rt ♥st②ρ∗

tr q♥t ♦♥t♥♠ t♦ ♦♥t ♦r r♦tt♦♥ ♦ s♣② ♥ sr ♦♥sr ♥♦

♣r♦♣♦s ♦r sst♦♥ ♦ tts t rs♣t t♦r♦tt♦♥s

tts ♠② ss t rs♣t t♦ t ♦♥srt♦♥ ♦ r♦tt♦♥ ♦ ♦r♥ t♦ t ♥tr ♦ t ♣♣ ♦♥ q♥t ♦♥t♥♠ ♠♦ ♠st rt t♠♥ ♦r ♥ s♣② t ♦r♠t♦♥ ♠♦s ♦ t ♥r②♥ ♠r♦s♦♣srt ♠tr ts ♦r♥② s t♦ rt ♥ t ♦ ♦ t ♥♠t sr♣t♦rst t ♠r♦ s s♦ tt t ♠r♦s♦♣ ♥♠ts ♠ts t ♠r♦s♦♣ ♦♥ ♥ ♣rtr ♥ s ♥t ♥ t ♣r♦s ①♠♣s t ♦♥srt♦♥ ♦ r♦tt♦♥ ♠r♦s♦♣♦ ♣♦♥ts t♦rs t ♦♥srt♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥♠ ♠♦ t t ♠r♦s♦♣

♥ ♦rr t♦ sst♥tt t r♠♥tt♦♥ t rt t ♥♠♥t ♥r② ♣r♥♣ ♦r♠s ♥ t s♥ ♦ t♦rs♦♥ ♥ ♦rs ♥ t ♠♦♠♥ts ♦♥② ♣♣ t♦ t ♦♥rsPr♦ t ❬❪

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

1

2

∑

(Fiδi + Ciαi)︸ ︷︷ ︸

♣②r♦♥s ♦r♠

=1

2

ˆ

(N2

ES+M2

f

EI

)

ds

s qt② rts t t ♥tr♥ ♦r ♦ t ♦r ♥ ♠♦♠♥t ♦ ①♦♥ ③t rs N, Mf rs♣t② t♦ t ①tr♥ ♦r ♦ t ♣♣ ♦r ♥ ♦♣ trs F i,C i rs♣t② ♦r♥ ♥ t s♣♠♥t ♥ r♦tt♦♥ rs (δi,αi) rs♣t② t♦ t rt ♥tr ♦ t ♥♠t rs ♥ t ♣r♦s qt♦♥ t♣♣rs tt t s♥ ♦ ♦♥r② r♦tt♦♥s ♦s ♥♦t ♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♥rttr♠ ♥♦♥ ①♦♥ ♥ ♦♥ ♠② ss♠ t s♥ ♦ ♥♦ r♦tt♦♥ ♥ ♥♦ ①♦♥s ♣♣ t♦ t ♦♥rs ♦ t s♠♣ ♦r♥② t ♣rs♥t r♠♥tt♦♥ t♦trt t ♣r♦s ①♠♣s ♥s t ♦♦♥ sst♦♥ ♦ tts

s♦stt trsss ♦r♥ t♦ t ♥r③ ① rtr♦♥ ♠♦st ♦ t t♠ ttrsss r tr♥t t♦t ①tr♥ ♠♦♠♥ts ♥♦♥ ♣♦r ♠♦ s s♥t

♦♥ s♦stt trsss t ①♦♥ ♠♦♠♥ts ♠♣ ♠s ♥♦ r♦tt♦♥ ♥♦♥♣♦r ♠♦ s s♥t

rsss t ①♦♥ ♠♦♠♥ts ♥ ♥♦s r♦tt♦♥ ♠r♦♣♦r ♠♦ s t♥♥

①t♥s♦♥ t♦ s ♦ t ♥ ♦♠s

①t♥s♦♥ ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♦ s ♥ ①♠♣ ♦r t ttrïr trss tt ♦♥sr s sr♣t ♦r t s♦ ♥ ♦♠s st♦str ♠♥② sts ♥♦②s rs♦♥ ♦ ts ♥trst st♠s r♦♠ t t tt t ♠♦s♥ rt② t ♠♥♥r t ♦♠tr② ♦ r♦s ♦♠s ♣♦②♠r ♥ ♠t ss ♣♦②rt♥ ♦r ♥ ♦♠s r

r♦♠ t♥ ♣♦♥t ♦ ♦♥ s♣ t② ♥ ①t♥♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♦ s t ♣ss r♦♠ t ♦ rr♥t ♦ t ♠ t♦ t ♦ rr♥t♦ t ♦ strtr r

t s ♦♥sr ♠ ♥ t x ♥ ts ♦ rr♥t t ♣ss t♦ t ♦rr♥t s ♦t♥ ② t ♦♠♥t♦♥ ♦ r♦tt♦♥ ♦♥ z ♦♦ ② r♦tt♦♥ ♦♥x ♥ s ♦r♥②

Rz =

cα −sα 0sα cα 00 0 1

Rx =

1 0 00 cβ −sβ0 sβ cβ

s rs t tr♥st♦♥ ♠tr① s

Pbeam→structure = RxRz =

cα −sα 0cβsα cβcα −sβsβsα sβcα cβ

ci ♥ts ♦s ♥ si s♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

P❯ ♦♠ s♦♥ ❬❪ ♥ ♦♠ t ❬❪

r ①♠♣s ♦ r♦s ♦♠s t ♥ rttr ♦s t♦ t ttrïrtrss

z

x

y

z

x

y

local referential

global (structural)referential

r r♥st♦♥ r♦♠ t ♦ ♠ rr♥t t♦ t strtr rr♥t

s t♦ ♣♣ t♦ t tr ①s ♦ t ♦ rr♥t ♦ t ♠ sr ttt ♠ s r ♥♦ t ♥t qrt ♠♦♠♥ts ① ♥ ③ ♦trs ♦♥ ♦♥ t♦ r♦tt♦♥ ♥ t tr♥st♦♥ ♠tr① t♥ ♦♠♣①t② ♦ t♥t t ♣r♦♣rts r♦♠ t tt ♦♠tr② ♥ ♠♥ ♣r♠trs s r ♥r ② t ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t st♣s ♦ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ ♣♦ s♣② ♦t t♦ ts ♣r♣♦s s ♦♥sttts ♥♦ s♣t ♥ t ♣rs♥t ♦rs t ♦s t t♦♥ ♦ t t ♣r♦♣rts ♦ ♥② trss ♥ ♦r ♦♠tr② s♣♦♥t ♦t ♥ t ♥tr♦t♦r② st♦♥ s ♣rt t♦♦s r♠s t ♥s ♦t ss ♣♣r♦s r ♥r② ♥♦t t♦ ♣r♦r♠ t ♥ssr② t♦♥s♥ r ♠♥♥r ♦r r② ♦♥ s♣ ss♠♣t♦♥s t♦ ♦r♦♠ t♦s ts

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

r ♦ ttrïr♦♥ t ♣♥r ts ❩ t ❬❪

t ♦r ♦ t trïr trss ♥♦♠s

ttrïr♦♥ s ♦♥sr ♥ t ♦r♠ ♦ tt t s ♦r♥②♥ ♣r♦♣♦s ② ♦♠s♦♥ ♦r ♥ ♥ t s t s♦ ♣♦②r♦♥ ♥ s♣s♦ s t♦ ♠♥♠③ t s♣r t♥s♦♥ t♦ tt r rt② ♦ ♦♠s r ♦s t♦ts rttr ♦r♦r ts ♣♦②r♦♥ s Pt ♦♥t♦♥s ♥rtss ♠♦st ♦t t♦rs s st② ♠♦ rs♦♥ ♦ ts ♠♦ ♦♥rt♦♥ ♥ ♦rr t♦ s♣♦s ♦♣♥r srs ♥ ♥s ♦ ♥ r

trss s sr s t r♣tt♦♥ ♦ st ♦ ♠s s♠tt t♦ ♦t ①♦♥ ♥①t♥s♦♥

♦♥ ♦♣ts ss ♥♦♥ ♣♦r q♥t ♦♥t♥♠ ♦♥ ♠② ss♠ tt t ♠sr ♠♣ t rs♣t t♦ r♦tt♦♥ ♦r♦r ♦♥ ♦♣ts r♥♦ ♠ ♠♦ ♥♦♥ s t♦ ♣ s♥t② r ♠r♦♠ ♥t t♦ t rt♦ ♠♣②♥ ♥ tr♥ ♦♥sts ♦♠tr② ♦ t trss s s♦♥ ♥ t r

Pt ♦♥t♦♥s ♦♥t ♦r t strtr ♦ ♦♠ ♠s ♠♦♥st ♦tr ♥ s♦♣t② ♥ ♦r♠t ♥ t t♥tr② ② t ♥ ♣②sst ♦s♣ Pt r♦♠♦srt♦♥s ♦♥ s♦♣ ♦♠s ♥ ♣r♦ tr ♦♥ ② ♥ ②♦r r♦♠ t s r♥ ts♣r t♥s♦♥ ♦♦♥ rs ♦♦ ❩ t ❬❪

♦r Pt s ♥trst ♥r t ♥ arccos(−1

3) ≈ 109, 47

r ♥♠r ♦ ts ♣r s

t♦rs♦♥ s r ♥♦t ♦♥sr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

x

y

z

Y1

Y3

n1

n4n2

n3

n5

n6

n6

n2

n4

n5

n3

n1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

Y2

r ♦♠tr r♣rs♥tt♦♥ ♦ t ttrïr♦♥

r ♥♠r ♦ ss ♣r t s

r rs ♠t ♥ t ♠ st♦♥ ♠t♥ t s ♦ t r

s ♦♥t♦♥s s♣ s ♦ t st♦♥ r ♥ t qrt ♠♦♠♥t I

A =√3D2 − πD2/2

I

A2=

20√3− 11π

6(2 ∗√3− π)2

t D t s ♠♥s♦♥ ♥ s♣ tr ♦ t ♣rs♥t ♦♠tr② s ts s②♠♠tr②t ♥t qrt ♠♦♠♥ts tr t ♦♥sr ①s ③ Iz = Iy = I

♦♠tr ♥♦ ♦♥♥tt② ♠ ♥t ♥ ♠♥ sr♣t♦♥ ♦ ttt r r rtt♥ ♥ t①t s t ♣ ♦ ♦r♥ t♦ t♦rt♠ ❲ s♠♠r③ s♦♠ t ♦ ts t①t ♥ t s ♥

♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts trt♦♥ ♠♦s ♥ P♦ss♦♥s rt♦ r ♥①t ♦♠♣r t♦rsts r♦♠ t trtr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

r Pt st♦♥ ♥ ♦♠s

♠

δ1 δ2 δ3

♦ ♥♦ ♦♥♥tt② ♦r ttrïr♦♥

❬s♦♥ ♥ s② s♦♥ ♥ s② ❬❪❪ rsts ♦♠♥♥ ♠♥s♦♥♥②ss ♥ ①♣r♠♥ts ts t♦rs ♣rt tt t ❨♦♥s ♠♦s ♦ P❯ ♦♠s ssrss t q♥t ♥st② ρ ♦r♥ t♦

E∗ = C1Es(ρ∗)2 ν∗ =

C1

2C2

− 1

t t ♦♥st♥ts C1 ≈ 1 ♥ C2 ≈ 3/8 ♣rt qrt ♣♥♥② ♣♦♥t q♥t ♥st② s♠s t♦ ♦♥r♠ ② ♦tr sts ♦t ♥♠r ♥ s ♦♥♠♥s♦♥ ♥②ss t ♦♥t C1 r♥♥ r♦♠ t♦ t st ♥ t ♥st②r♠ s♦♥ ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪

♦♠♦♥③ rsts ts ♦r ♦♦♥ st ♦ q♥t ♣r♦♣rts s ♥♦t♥ r♦♠ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q q♥t ♠♦ ♥ P♦ss♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♥tss♦t

Y1

−1

0

0

2√2L

Y2

0

−1

0

2√2L

Y3

−1/3√3

−1/3√3

1/3√3

L√6

♦ ♥rt♦♥ t♦r ♦r ttrïr♦♥

♦♥ts r q ♥ ♦t tr rt♦♥s rt♥ ♥ q♥t s♦tr♦♣ ♠tr tr①♣rss♦♥ s ♥ sss② ②

E∗1 = E∗

2 = E∗3 =

√2kb kf

2(kb + kf) ν12 = ν23 = ν31 =

kb−kf

2(kb + kf)♥ ts ♦r t t ♦♥♥t♦♥ ♦♣t E010 = E∗

1 E100 = E∗2 ♥ E001 = E∗

3 ♠tr ♣r♠trs kb = EsA/Li ♥ t ①♣rss♦♥s tr♦ r t ① ♠♦

♦ t ♠r♦♠s t A, Li tr st♦♥ ♥ ♥t rs♣t② ♥ kf = 12EsI/L3i t

①♦♥ ♠♦ t q♥t ♥st② sρ∗ = 1/4 A

√6√3

L2

t A ♥ t ♠ st♦♥ r

❩ t ❬❪ rsts t rt♦♥ t r ♥① s ♣rs♥t② ♦♥sr

E100 =1.009Es(ρ

∗)2

1 + 1.514ρ∗ ν12 =

0.5 ∗ (1− 1.514ρ∗)

(1 + 1.514ρ∗) ρ∗ =

3A

2√2L2

t A t ♠ st♦♥ r

t ❬❪ rsts s♠t♦♥ rsts t qs r r ② t♦s t♦rs ♦♥sr♥ ♥ ♠♣♦s rt ♥st② ρ∗ = 0.01 t q♥t P♦ss♦♥s rt♦ tq♥t sr ♥ trt♦♥ ♠♦ r ♥ sss② rss t ♠tr ♠♦s ②

ν12 ≈ 0.48 G12 = 3.2.10−5Es E1 = 9.61.10−5Es

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

❱t♦♥ ② ♦♠♣rs♦♥ t ♥②t ♠♦s ♥ s♠t♦♥s

rsts ♦ ♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts ts ♦r r ♥♠r② ♦♠♣r t t♦s ♥ t trtr ♥ ♦r rt ♥st② ρ∗ = 0.01

q♥t ❩ t ❬❪ ♦♠♦♥③ t ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪

♣r♦♣rts ♣r♦♣rts ts ♦r

❨♦♥s ♠♦s E100 = 9.94e− 5Es E100 = 9.94e− 5Es E1 ≈ 9.61e− 5Es E ≈ 1e− 4Es

P♦ss♦♥s ♦♥t ν12 = 0.485 ν12 = 0.485 ν12 ≈ 0.48 ν ≈ 0.33

♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts ♦r trïr trss ♦♠♣r t trtrs

t s ♥rtss ♥♦ ② sr t♦rs tt ♥ ♦♠s ♠♥st st♥s♦tr♦♣② ❩ t ❬❪ t ❬❪❲rr♥ ♥ r②♥ ❬❪ ts s ♦r ♥st♥♥♦t ② t ❬❪ t♦ ♥♦t ♦♥r♠ ♥tr ② ①♣r♠♥ts ♥♦r ② ♥♠rs♠t♦♥s ❱s ♦ t P♦ss♦♥ ♦♥t ♣rt ② ❩ t ❬❪ ∼ 0.5 s s ② t ❬❪ ∼ r ♦s t♦ ♥♦♠♣rsst② t ♦ ♥♦t r② ♦rrs♣♦♥ t♦t ♦srt♦♥s ♦♥ P❯ ♦♠s ♦r♥ t♦ s♦♥ ♥ s② ❬❪ t ♦ P♦ss♦♥srt♦ r♥s t♥ ♥ ♥ r rtss t ♦♥trt♦♥ ts rs ♦r str♦♥ ♦♠♣rss♦♥s ♦r♥ t♦ ❩♥ ♥ ①♥ ❬❪ ♦♣r♦r♠ ♥♠r s♠t♦♥s sst♥ ts ♦r ♦r♥ t♦ t ❬❪t ♦♥trt♦♥ ♦♥t s s♦ rs ♥ t rt ♥st② ♥rss s♠r ♦sr ♥ ①♣r♠♥ts ♠st t♦ ♦tr ♣♥♦♠♥ ♥ ♦r ♦♣♥♦♥ s s r♥♦♠ rt♦♥ ♦ ♦♠tr ♣r♠trs t ♦♣s ♦ ♠s ♦r t♦♥ ♥♦♥tr♦♣♥♦♠♥ ♦rr♥ t t ♥♦s

♦♥s♦♥s ♥ ♣rs♣ts

srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♠t♦ s ♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♦ t s ♥♦♣♦st♦♥ ♦rs ♥ ♠♦♠♥ts ♣r♦s s s②st♠t ♠t♦ t♦ t t q♥t ♥ ♦♠♦♥③ s♥s ♣r♦♣rts ♦ tts t ♥r ♣r♦ rttr rtr③② t t♦♣♦♦② ♦ ♠s t♥ r♣tt ♥t ♥♦t② ♦ t ♣rs♥t ♣♣r♦s ♥ t ♦♥srt♦♥ ♦ ♠ tts ♥ ♥ t t♦♥ ♦ t tr♥srs ♦rs ♦s ♥♦t rqr t ♠♦♠♥t qr♠ s♥ t ①♣rss♦♥ ♦ t tr♥srs ♦rss ♥ t♦ t rt s♣♠♥ts ♦ t ①tr♠ts ♦ ♥ ♠ ♥ t s♣rt ♦♠ t♦r②

stt♦♥ ♦ ♦♠s ♥ tr rst st r♠ s♠ s♣♠♥ts s ♥ ♦♥sr ♥ ts ♦♥trt♦♥ tr② ①♥ ♥ str♥ ♦③t♦♥ ♣♥♦♠♥ ♥

♥ s t♦ t s♠ ♥♦ q♥t ♥st② t♦ ♣ r ♥♦ rt♦ ♥st② sts ♥t t♦ t rt♦ ♦

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♥st ♦r♠t♦♥s ♦t♥ t ♣r♦♣rts r ①♣rss s ♦s ♦r♠ ①♣rss♦♥s ♦ t ♦♠tr ♥ ♠♥ ♣r♠trs ♦ t tt ♠r♦♠s ♣rs♥t ♦♣♠♥ts ♥ ♠♣♠♥t ♥ s♦tr t t♦ t ♦♠♣tt♦♥ ♦♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts ♦ ♥r ♥ trsss ♥ t ♦♠tr ♥r r♠♦r♣♣t♦♥s t♦ t t♦♥ ♦ t t ♠♥ ♦r ♦ ♦♠s ♥ ♥ stt♦♥s strt t rstt② ♦ t ♠t♦ ♥ ts ♣♣t② t♦ r♥ ♦ rttr ♠trs ♥ r♦ s♥s ①ts r rtr rttr ♠trs ♦r t ♣rs♥t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q ♠② ♣♣ ♣r♦ t ♥trt♦♥s t♥strtr ♠r♦♠♥ts t t ♥ r♣ ②r♥s ♥ t r♠♦r ♥rt ♥tr♥rt♦♥s t♦ tr ♦♥tt r t♦♥② ♥♦r♣♦rt

r♦ t ♥ ♣♣t♦♥s ♥ tts ♦♥sr ♥ ts ♦r t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q s ♣r♦♥ ts t② t♦ ♣r♦ q♥t ♠♦ ♥ t st r♠♥ ♥ t ♥r ♦♠tr r♠♦r ♦r ♦♠♣rss♦♥ tsts r ♥ r♠♥t tt q♥t ♣r♦♣rts ♦t♥ ② ♣r s♠t♦♥s

sst♦♥ ♦ tts ♥ tr♠s t rs♣t t♦ r♦tt♦♥s s ♥ ♣r♦ t♥ t ♥ t♦ ♦♥sr t♦♥ r♦tt♦♥ rs ♦ r♦♠ t ♦t t ♠r♦ ♥♠r♦s ♥ ♦♥sst♥t ♠♥♥r ♦r♥② ♠r♦♣♦r q♥t ♦♥t♥♠ ♠♦s t♦ ♦♣t t t ♠r♦s ♥ ♠r♦r♦tt♦♥s ♦ t ♥♦ tt r ♦♥srs rqr ♥ s♦♠ ♦♥ ss ①t♥s♦♥ ♦ t s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ t♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥ ♦♥sttts ♥ ♠♣♦rt♥t ♣rs♣t ♦ t ♣rs♥t ♦r s ①t♥s♦♥ ♥t♦♥ t♦ t rt♦♥ ♦ t ♠r♦♣♦r ts ♦ t trt♠♥t ♦ s♣ trssst r trss trsss t ♥t P♦ss♦♥s ♦♥ts s s ♥rt ♦♥②♦♠st s ①♣t t♦ ♣r♦ rsts rt t♦ ①♦♥ ♦r sr rsst♥ rss t ❨♦♥s♠♦s ♥ r♥t ♥ ♦♠♣rs♦♥ t♦ ② ♦♥t♥♠ s r③t♦♥s ♦♣♥ ♣r♦♠ ♥r ♣♦♥t ♦ t ♣rs♣t ♦ ♦♣t♠③♥ t t♦♣♦♦② ♥ t ♠♥♣r♦♣rts ♦ ♠trs ♥ srt strtr s s ♦♠s t s♦ t①ts ♦r ♠♦r♥r② ♥② r♣tt strtr ♠ ♦ srt ♠♥ts ♥ t♦ strtr ♠♥ts ♠s ♦r ♠s

♦② s♣♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♣r♦s ♥ ①♣t ♥ t♥ t ♠r♦♥ t ♠r♦s ♦rs ♥ ♥rs♥ ♦r ♥rst♥♥ ♦ t ♠r♦strtr♦r♥ ♦ t ♦r♠t♦♥ ♠♥s♠s ♦ t rttr ♠trs ② s ♥♦②s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

♠rqs ♦♠♣é♠♥trs

①♠♣s trs

tr s trs éà ♠♥t♦♥♥és ♥s rt ♥ rt♥ ♥♦♠r trs trs ♦♥t ététstés sès ♣r ♥♦tr ♦ ♦r r s ♣r♠tt♥t ♠♦♥trrté ♦ t s s♠♣té ♠s ♥ ♦r ♥s ♣tr ♥♦s ♦♥st ①♣♦sé ♠ét♦ ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦ ♥♥t ①♦♥ é♥♠♦♥s ♥s s trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s ♦♥ts és à ①♦♥ r♥t♥r ♥és ♥ ♣t ♦rs s ♦♥t♥tr ♥ ♦ s♠♣é ♥é♥t sts ①♦♥ t ♠♦♥tr ♥②s s ① té♦rs ♦ ♦ ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ①t♥s♦♥♥ ♦ ♦ ♥♦r♣♦r♥t s ts ①♦♥

s trs trtés ♥ ①♠♣ s♦♥t ♣♦r ♣♣rt s trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♦♥ t ♦♥stt ♥ ♦♠♣r♥t s ♦♥ts ♠♦ éstté ♦♠♦é♥ésé ♥tr s ① ♦s s ♦ s♥s ①♦♥ q ért s réstts ♥tt♥t ♣s ♥é q r♣♣♦rt ηrr♦♥r ♣♦tr st ♣tt st ♣♦str♦r ♣ tté ♥ ♦ ①♦♥ ♥ ♦♥t ♥s ♥♥① ♥ sr♣t♦♥ ♣s été s réstts t s rs t①t ♥tré

♥ ♦♠♣ré s réstts ① ttértr s♣♥ t ❬❪ ♣♦r trs tt t♥s♦♥ ♥ ❬❪ ♣♦r ♦♠ t ♥ ❬❪ ♣♦r trs tr♥r t ♦♠ ♣♣r♠♥ t ❬❪ ♣♦r trs ♥ ♥♦tr q s♣r rt♥s ♠ét♦s ♦♥ ♦t♥t ♥ ♣rt s ♣r♠ètrs ♠é♥qs ♦♠♦é♥ést♦♥srèt ♦r♥t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t [σ] = [K] [ε] t ♣r♠t ♥s ♦t♥r ♥s♠ s♣r♠ètrs ♠é♥qs ♥s ♦♠♥ éstq

♦♥s♦♥ sss♦♥

♣♣rt q t♥sr s ♦♥tr♥ts ♦t♥ ♥st ♣s ♦♥sst♥t ♣♦r q st s♠♦s s♠♥t ♠s ♥ ♦r♠ s♠r à s t♥srs ♦♥tr♥ts ♥♠ ♠r♦♣♦r ♥ t ♦rsq♦♥ ts ♦ ♠♦è ♣♦tr s♠♣é t♥sr ♦♥tr♥t ♦t♥ ♥st ♣s s②♠étrq ♦♥ ♣t ♥é♥♠♦♥s tsr s ♦r♠sés à té♦r ♠r♦♣♦r ♣♦r rtr♦r ♠♦ s♠♥t ♥s t ♦♥ rtr♦ ♠♦ G12 ♥s ♦ ①♦♥ ♥ ts♥t s ♦r♠s s♥ts sss té♦r ♠r♦♣♦r

µ∗ = K34

µ∗ + κ = K33

G12 = µ∗ +κ

2 s trs st ♣rtr ♥♦s r♦♥s ♣r st s r♠rqs ♣rtèrs à s♦♥ st

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

Y1

Y2

Y3

(a) (b)

n1

n2

n3

n4

n4n4

n4

n4n4

b1b2

b3b4

b5

b6b7

b8

b9

b10

b11

b12

Y1

Y2

Y3

n1

n2

n3

n4n4

n2

n3

b24 b21

b3b4b19

b20

b13b16

b22

b23b18

b17

n1b14

b15

trs tt

n1 b1

n2

n3 n1

n3Y1

Y2b2 b3

b4b5

b6

trs ♦♠

n1

n1

n1

n1

b1

b2b3

Y1

Y2

trs tr♥

Y2 Y1

2L

n1

n3

n2

n2

n1

b6

b1

b2b3

b4b5

trs tr♥tr♥

L

Y1

Y2

n1

n1

n2

n3n2

b1

b2b3

b4 b5

b6

b7

b8

trs sqr

Y1

Y2

n1 n2

n3

n4

n1 n2

n1

n4

n1

b1

b2b3b4

b5

b6b7

b8

b9

b10

b11 b12

trs ①t

r ①♠♣s trs trtés ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqsrèt

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

tt

tr♥

♦♠

①t

qr

E∗ 1

Es

r 9r/3

r/3

0.36

9r

réstts

r=

ρ∗

ρs

6√2t

L2

2√3t/L

√3t/L

0.10

4t (2+√2)

L

ttértr

ν 12

1/

3

G12

Es

r 12r/8

r/8

r

E∗ 1

Es

r 9

r 3

r 3

r(4

−√2)

7r(1−

1/√2)

♥♦s

réstts

r=

ρ∗

ρs

6√2t

L2

2t√

3L

t√

3L

1/4

8tL

+4tL

√2

L2

t (2+√2)

L

♦s♥s

ν 12

1/3

1/3

2√2−

1

7

√2−

1

①♦♥

G12

Es

r 12

r 8

r 8

r(√2−1)

4

r(2−√2)

4

E∗ 1

Es

rL

2+t2

3L

2+t2

3r(L

2+t2)t

2

L4+12L

2t2+3t4

rL

2+t2

3L

2+t2

r 2(4

−√2)(

t2√2+4L

2)

14L

2−t2+2t2√2

r 2(2

−√2)(

L2+t2√2)

L2−t2+t2√2

♥♦s

réstts

r=

ρ∗

ρs

2

t√3

L4/

3t√

3L

t√3

L1/

48tL

+4tL

√2

L2

1/2

4tL

+2tL

√2

L2

♦

ν 12

L

2−t2

3L

2+t2

−L

4−4L

2t2+3t4

L4+12L

2t2+3t4

−t2+L

2

3L

2+t2

(−1+2√2)(

2L−t√

2)(

2L+t√

2)

2(1

4L

2−t2+2t2√2)

(√2−1)(

L−t)(t+L)

L2−t2+t2√2

①♦♥

G12

Es

r 8

L2+t2

L2

3 32

L2+t2

L2

r 8L

2+t2

L2

r 4(√

2−1)(

L2+t2√2)

L2

r 4(2

−√2)(

L2+t2√2)

L2

♥s

strs

♦♥♥♣

t♦t♥r

réstts

♥♦s♥s①♦♥♥

t♥

s♥

rté①♦♥♥

trs

♥

♣s

r

r

trs

s

♦♥r

s♦s

t♥♦♥tr♥t♥rtr♦

♦s♥s①♦♥

♠ê♠

♠trrtés♥èrq♥st♥s♦♥

♥

❬❪

trs♦tt

♥

♣sététrté

♦♥♥t

①♦♥st♥trsà♦♠♥♥t

trt♦♥♦♠♣rss♦♥♣♦rq

♦

①♦♥

♥♣♣♦rtrt

♣s♥♦r♠

t♦♥s♥t

Pr♦♣rétés♠é♥

q

ér♥ts

trs

♥♣r♦é

r♦

♠♦

é♥ést♦♥

♥

♥t

①♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P

[K] t q [σ] = [K] [ǫ] ♥ ♥♦tt♦♥ ♥é♥r

s réstts ♠♥t♦♥♥és ♥s ♣tr ♥♦s ♦♥t ♠è♥♥t à ♦♥s♦♥ q rt♥r ♦ à tsr s♥t t②♣ trs st ♥♦tr ét ♥♦s♦♥s été t tsé ① té♦rs ♦s

♥ ♦ ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s♥s ①♦♥ ss s tr① ♦♥r♥ r ❬❪ ♦ st ♣té ① trs tr♥t ♥q♠♥t ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♦♠♠ trs tr♥ ♦ ♦tt

♥ ♦ ①♦♥ ♠s ♥ ♦r♠t♦♥ ♣♦tr s♠♣é ♦♥♥é r♦tt♦♥ ① ♥♦s ♦ st ♣té ① trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥♦ ♠①t ❯♥ ♦♥ ①♠♣ st trs tr♥tr♥ ♦r r

ét ♦ ①♦♥ tsé ♥s ♣tr st érr ♥ t♥sr ♦♥tr♥t♥♦♥ s②♠étrq trs ♦t♦♦♥ ♠①t ♠tr s♦♣ss éqt♦♥ ♥ ttrtt ss②♠étr à tst♦♥ ♥ ♠♦è ♣♦trs r♥♦ s♠♣é s♥s r♦tt♦♥① ♥♦s ♥ s ♣r♦♣♦s ♦♥ tsr és♦r♠s ♥ ♠♦è ♣♦trs r♥♦♦♠♣t ♥tr♦t♦♥ ♣r♠ètr r♦tt♦♥ ① ♥♦s s♠ sérr q t st♦r♥r rs ♥ ♦ ♠r♦♣♦r sr ♦t ♣tr s♥t

Chapitre 3♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt

trs éstqs rs ♥ ♠ ♦♥t♥

♠r♦♣♦r

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

tt♦♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥s s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥

r st♦rq s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés

qt♦♥s s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r

s ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r

①t♥s♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt s ♠r♦♣♦r

Pr♥♣ é♥ér

Pr♠èr ét♣ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥s éqr s♥t ♣♣rîtr s trs ♦rts Si t s trs ♠♦♠♥ts µi

①è♠ ét♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ s éqt♦♥s éqr srèts

♠♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s ♦t♥s t rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s

①♠♣s ♣♣t♦♥s

trs rré

trs ①♦♥ ♣♣é ss ♥

❱ért♦♥s s ♠♦s ♦t♥s

♦♥s♦♥ sss♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♦tt♦♥s tsés ♥s ♣tr

B(b) ♥s♠s s ♣♦trs trsBR ♥s♠ s ♣♦trs réér♥b ♥♠ér♦ ♥ ♣♦trδij s②♠♦ r♦♥r(δ1, δ2, δ3) tr♣t rs ♦s♥t é ♥tr q ♣♣rt♥t ♥♦

①tré♠té t réér♥ei trs ♥trs ♥ s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ss ♥♦tés (i, j,k)eλk trs ♥trs ♦r♥ts ♦♦r♦♥♥és r♥s ss ♥♦tés Yi ♥s s

①♠♣s t ♦eiλ trs ♥trs ♦♥trr♥t ♦♦r♦♥♥és r♥sE (n) ♥s♠ s ♣♦trs trs ②♥t ♥♦ n ♣♦r ①tré♠té

E(

b)

♥♦ ①tré♠té ♣♦tr b

Es ♠♦ ❨♦♥ ♠tér ♦♥stt♥t trsE∗ ♠♦ ❨♦♥ ♦♠♦é♥ésé trseb tr rtr ♥tr ♣♦tr beb⊥ tr ♥tr ♣r♣♥r à eb

ε ♣tt ♣r♠ètr é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tqǫ = [ǫ] t♥sr s é♦r♠t♦♥s

η r♣♣♦rt é♥♠♥t ♥ ♣♦tr η =t

Lf b ♦rts ♦r ♣♣qés sr ♣♦tr bg ♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ x = x(λ)I ♠♦♠♥t qrtq ♥ ♣♦trκ = [κ] t♥sr s ♠r♦♦rrs[K] ♠tr rt♦♥ é♦r♠t♦♥♦♥tr♥t ♥ ♠ ♠r♦♣♦r à ♦♥tr♥t ♣♥(λ1, λ2, λ3) ♦♦r♦♥♥és r♥s é♥érséslb ♦♥r ♣♦tr ♦♥sérém = [m] t♥sr s ♦♣s ♦♥tr♥ts∇x r♥t ♣r r♣♣♦rt à r ①N (n) ♥s♠ s ♥♦s trsNR ♥s♠ s ♥♦s réér♥n ♥♠ér♦ ♥ ♥♦ trsν∗ ♦♥t P♦ss♦♥ ♦♠♦é♥ésé trsO (n) ♥s♠ s ♣♦trs trs ②♥t ♥♦ n ♣♦r ♦r♥O(b) ♥♦ ♦r♥ ♣♦tr bφ = (0, 0, φ) tr ♠r♦r♦tt♦♥R(λ1, λ2, λ3) ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥ ♥ ♣♦♥t P ♥s s♣ r♥ρ∗ ♥sté trsSi trs s ♦♥tr♥ts[S] ♠tr s♦♣ss

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

σ = [σ] t♥sr ♦♥tr♥tSb st♦♥ ♣♦trtb rr ♣♦tr ♦♥séré sr s♦♥t ♣rs ♦♠♠ ét♥t é ♥ à Sb

s st♦♥ ♣♦tr st rt♥r é♣ssr ♦♥st♥t é à Tb ♦rt ♣♣qé sr ♣♦tr bu = (u, v) tr é♣♠♥t ♥ v ♠♣ tss rtx tr s ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥sxi ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ♦♥trr♥ts ①♣♦s♥t ♦♦r♦♥♥és ss

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥tr♦t♦♥

♥térêt ①t♥s♦♥ rs ♥ ♠ ♠r♦♣♦r rés ♥♦t♠♠♥t ♥s ♠r♦♠♣ré♥s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t q s trs ♣♥t ♦r ♥s rt♥s stt♦♥s r♠♥t ♦rs ♦♥♥trés t♦ér♥ ① ♦♠♠s ♣r♦rt♦♥s ♦ é♦♠étr♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥ts ① ♥trs ♥tr ① éé♠♥ts

ér♥ts ♠ét♦s ♦♥t été ①♣ér♠♥tés ♣♦r ♦♠♦é♥ésr ♥ trs rs ♥ ♠♠r♦♣♦r ♦s ♦♠♠♥r♦♥s ♣r str ♣ té♦r ♠r♦♣♦r ♣r r♣♣♦rt① trs té♦rs ♠① ♦♥t♥s é♥érsés ♥ r ♥ ①♣♦sé ♣s ♦♠♣t séqt♦♥s ♦♥sttts tt té♦r ♣s ♥ rè s②♥tès s ♠ét♦s t♠♥t♠♣♦②és ♣♦r ♦♠♦é♥ésr s trs rs ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥ srrêtr ♥stsr ♣r♦é♠tq é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s rs ♥é♠tqs é♣♠♥t uε t ♠r♦r♦tt♦♥ φε ♥♦s ♦♥r à é♥♦♥r s ②♣♦tèss ssr sqs r♣♦s♥t s tr① ♥ r é♦♣♣♠♥t ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt ♣♣qé s ♠r♦♣♦r é♦r sr ♥ ♦rt♠ ♠r♦♣♦r ♥ trtr ♥s ♣tr à ttr ♣♣t♦♥ ① ①♠♣s trs rré t ①♦♥ ♥ s♦rr ♠♦♥trr ♣rt♥♥ s réstts ♥②tqs rr s réstts ♥♠érqs s♠t♦♥s

♥ ♦♥s♦♥ ♦♥ s♥trr♦r sr ♦ ♦t♥ t ♣rt♥♥ rs♦♥♥♠♥t q♥♦s ♦♥ts à ss♦r ♠♦è ♣♦tr ♦♠♣t à é srèt ♠ ♠r♦♣♦r ♦♠♠ ♦♥t♥♠ éq♥t

tt♦♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥s s ♠①♦♥t♥s é♥érsés ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥

s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés s♦♥t ssés tr♥t♠♥t ♦♠♠ s ♠① ♦rr♦ ré s♣érr ❬♦rst ❪ ♣r r♣♣♦rt ♠ réér♥ ♠ ♦♥t♥ssq ♣♣é ss ♠ ② s ♠① ♦♥t♥s ♦rr s♣érr ♣♦ssè♥ts rés rté rs s♣♣é♠♥trs ♥é♣♥♥ts st t♦t♦s ♣ss♦♥t té♦rs ♣r♠r r♥t ♥s ♠sr ♦ù ss s r♥ts ♦rr srés rté s♦♥t ♥tr♦ts ♥s ♠♦ést♦♥ s ♠① ré s♣érr ♥ ♦♥t♥tr♥r q♥ r ♠s ts♥t ♥ ♣s é♦r♠t♦♥ q ♦♥stt ♣r♠rr♥t é♣♠♥t s r♥ts s♣♣é♠♥trs

r st♦rq s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés

♥s s ♣rr♣s q s♥t ♦♥ s♥r ♥ té♦r ♠♣♦rt♥t ♣r ♥ r ♥♦♠r rés rté t s ♠srs é♦r♠t♦♥ ss♦és

♣♦♥t é♣rt st té♦r ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ ♣tts é♦r♠t♦♥s t♣tts é♣♠♥ts

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

é♦r ♠ ♦♥t♥ ssq

D.L. : ui ♠♣ é♣♠♥t

M.D : εij =12(uj,i + ui,j)

❯♥ é♥érst♦♥ q ♣t ♣rîtr ♥tr ♣♦r s ♠① ♦♥t♥s ssqs st ♠♦ésr s ♥trt♦♥s ♥tr ① ♣♦♥ts ♥♦♥ s♠♥t ♣r ♥tr♠ér trs♦rs ♠s ss ♣r s trs ♦♣s s ♦r♥s tt é♦t♦♥ ♣♥t êtrstés ♥s s tr① rr♥♦ sr s ♣♦trs é ♥♥♦♥t été ♦♥sérrs trs é♣♠♥ts t r♦tt♦♥s ♦♠♠ s q♥ttés ♥é♣♥♥ts s ♦rts ts ♦♣s s♦♥t ♦rs ♦♥sérés ♦♠♠ s r♠♥ts ♥é♣♥♥ts ① ss é ♦♥tr♥t ♦♣ ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥ été ①♣♦ré ♠ ❳❳♠ sè ♦r ♥ ❱♦t ♥ s rèrs ♦ssrté♦♣♣♥t ♥ té♦r ♥♦♥ ♥ér ♣♦r s ♣♦trs s srs t s ♦r♣s s ♥tr♦s♥t♥ trèr r ♥ q ♣♦♥t ♦♥t♥♠ q ♣t t♦r♥r ♥é♣♥♠♠♥t r♦tt♦♥ ♦ ♦♥t♥♠ ♦rs é♦r♠t♦♥s ♠ ♦ssrt t♥t ♦♠♣t ts ♦♣ ♦♥tr♥t ♥s é♦r♠t♦♥ éstq ♥ ♠ ♦♥t♥ ♥s s té♦r ♠r♦♣♦r s trs rtrs s♦♥t rs t ② s♠♥t tr♦s rés rté ♥ r♦tt♦♥ φi ♥ ♣s s tr♦s rés rté ssqs és ① é♣♠♥ts

é♦r ♠r♦♣♦r ♠ ♦ssrt ♦rr s♣érrD.L. : (ui, φi)M.D. : ǫij = ui,j+ ∈ijk φk

κij = φi,j

∈ijk t♥sr ♣r♠tt♦♥ t

s tr① s rèrs ♦ssrt r♥t ♦♥t♠♣s éssés sq① ♥♥és ♦♠♣tr tt ♣ér♦ ♦♥ s♥térss ♥♦ ① ♣r♦è♠s s ♦♣s ♦♥tr♥ts t♦♥ s r♠t à str té♦r s rèrs ♦ssrt rs t ♦♣♥ r♥♥ ♥♥ t rst♥ ♦tr ♥♥ rst♥ t ♦tr ♦♥t s♥térssr à ♥ s ♣rtr té♦r ♦ssrt ♦rsq r♦tt♦♥ trèr r♥st ♣s ♥é♣♥♥t s rs ♥é♠tqs ♠s st é♥ ♦♠♠ ét♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♣rt ♥ts②♠étrq é♦r♠t♦♥ tt té♦r ♣♦rtr ér♥ts ♥♦♠s ♣s♦r♥t st ♣têtr ♦♥♥é ♣r ♦tr ♦♣ trss ♦r②

é♦r ♦♣ ♦♥tr♥tD.L. : (ui, φi)M.D. : ǫij = ui,j+ ∈ijk φk

κij = φi,j

φk =∈ijk uj,i/2♦♥ ♣t ♣rés♥tr ss ç♦♥ s♥t ❬ ♥ ♥t♦♥ ❪D.L. : uiM.D. : εij =

12(uj,i + ui,j)

kij =12∈klj ul,ki

(kii = 0)

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♦♣♥ ♥tr♦t t♦ts s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♠r r♥t é♦r♠t♦♥ ♥s ♦♥t♦♥ ♥sté é♥r s♦s ♥ ♦r♠ ♥♦♥♥ér sr s té♦r s♦♥ r♥t ❯♥ rs♦♥ ♥ér té♦r str♥ r♥t sr ♦♥♥é♣r ♥♥

é♦r s♦♥ r♥t ré s♣érr♣♣é ss té♦r r♥t é♦r♠t♦♥D.L. : ui,jM.D. : εij = ui,j; Kijk = εij,kr♥ t ♥ étr♦♥t s ss ♥ té♦r é♥ér ♥♥t t♦s s r

♥ts ré s♣érrs é♦r♠t♦♥ ♦♥ s② réérr s♦s tr♠ té♦r ♠t♣♦r

é♦r ♠t♣♦r ré s♣érrD.L. : uiM.D. : εij = ui,j; Kijk = εij,kKijkl = εkl,ij Kijklm = εlm,ijk

♥♥ érr ♥ té♦r ♦ à ♦s ♣r♠r t s♦♥ r♥t é♦r♠t♦♥ s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥ ♣♣r té♦r s♦♥ r♥t é♦r♠t♦♥ ♠s rst ♥ s ♣rtr té♦r ♠t♣♦r ♦ts s té♦rs ss♦♥té♥r ① r♥ts é♦r♠t♦♥ sr♦♥t ♣♣és té♦r rés s♣érrs

❯♥ tr ç♦♥ ét♥r éstté ssq st ♥r s ts é♦r♠t♦♥ ♠r♦strtr s♦s♥t ♥ ♥sér♥t ♥♦① rés rté s rés rtés♦♥t ♥é♣♥♥ts s rés rtés és s♠♥t ① é♣♠♥ts s té♦rsr♣♦s♥t sr tt ♣♣r♦ s♦♥t ♣♣és té♦rs ♦rr s♣érr st s té♦r ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♥tr♦t ♣r r♥♥ t t té♦r à♠r♦strtr ♥♥ ♥s té♦r ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♥ ♣♦♥t ♠tér♣♦ssè tr♦s trs rtrs é♦r♠s q ♥tr♦t ♥ rés rté χij sq♥ttés ♠♥s♦♥♥s ♠ê♠ ♥tr q s é♦r♠t♦♥s ♦rrs♣♦♥rt à ♥♠r♦ éé♠♥t s♥ ♦♥t♥♠ q ♣t t♦r♥r t s é♦r♠r ♥é♣♥♠♠♥t é♦r♠t♦♥ ♦ ♠r♦éé♠♥t

♠ ♠r♦♠♦r♣ s rtérs ♣r ♦♥♥é ♥ q ♣♦♥t ♥ tr é♣♠♥t u t ♥ t♥sr ♠r♦é♦r♠t♦♥ χ

é♦r ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♦rr s♣érrD.L. : (ui, χij)M.D. : εij = ui,j; eij = ui,j − χij;Kijk = χij,k

❯♥ ♦① ♥♦♥ ♠ s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♥ésst ♦①♥ trèr rtr ♦♥t χ ért r♦tt♦♥ t é♦r♠t♦♥ ① s ♣rtrs té♦r s ♠① ♠r♦♠♦r♣s s♦♥t té♦r ♠r♦strt r♥♥ t té♦r ♠r♦♣♦r r♥♥ ♥s té♦r ♠r♦strt ② qtr rés rté t♦♥♥s tr♦s r♦tt♦♥s φi t ♥ ♣♦r é♦r♠t♦♥ χ s trs rtrs

❯♥ tr s♦♥ ♥tr♥ ♣♦ss ♣♦r ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♦♥sst à ♠♣♦sr ♥ t♦t♣♦♥t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

χ−1.F − 1 = 0

q s♥ q ♠r♦é♦r♠t♦♥ st é r♥t é♦r♠t♦♥ ♠♣ ♠r♦é♦r♠t♦♥ ♥t ♦rs ♦♠♣t t ♦t sr strt♠♥t ♠tèr q♦rrs♣♦♥ à té♦r s♦♥ r♥t

♥ ♥tr s ér♥ts té♦rss ér♥ts té♦rs ♥ s♦♥t ♣s ♦♠♣èt♠♥t ♥é♣♥♥ts ♥ ♣♣ ♠

♦ssrt ♥ ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♣♦r q χ s rét à ♥ r♦tt♦♥ R ♠ ♦ssrt ♣t êtr ♥tr♣rété ♦♠♠ ♥ ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♣♦ssé♥t ♥ s♦♥ ♥tr♥

χ.χT = 1

tt s♦♥ ♥q q trèr rtr ♥st t♦rsé qà t♦r♥r ♦rs é♦r♠t♦♥ s trs rtrs s♦♥t ♣rs ts s♦rt♥t qs s♦♥t ♦♣és ①♣♦♥ts ♠térs s rés rté ♥ r♦tt♦♥s ♥♥♥t é① ① r♦tt♦♥s ssqss♦t φk =∈ijk uj,i/2 t té♦r ♠r♦♣♦r s rét à té♦r ♦♣ ♦♥tr♥t

♥ ♣t r ♥ s②♥tès s ér♥ts té♦rs ♥s t ♥s ♦♠♠♦♥ ♦t ♥s t té♦r ♦♣ ♦♥tr♥t st ss ♥ s ♣rtr té♦r s♦♥ r♥t s r♥èrs ♥♥és ♥ r♥ ♥♦♠r rts ♦♥t étt rrs ♣♦rt♥t sr s ♠① ♦♥t♥s é♥érsés ♥♥t s ①t♥s♦♥s ♦♠♥ést♦♣stq ♥ts t t♥s♦♥ rt ♦rst

qt♦♥s s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r

♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr s♦♠♠r♠♥t s éqt♦♥s ♦♥♠♥ts té♦r ♥ér s ♠① ♦♥t♥s ♠r♦♣♦rs P♦r ♥ ♣rés♥tt♦♥ ♣s ♣rés tr st ♥té à s r♣♦rtr ① tr① r♥♥ ♥ ♣t ♥♦tr q s ♥♦♠sté♦rs ♠r♦♣♦r ♦ ♦ssrt s♦♥t tsés é♥ér♠♥t ♠♥èr ♥tr♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥sér♦♥s ss♥t♠♥t s ♣r♦è♠s ♣♥s s ♠♣s é♣♠♥t t ♠r♦r♦tt♦♥ s♥ts

u = (u, v)

φ = φe3

♥ ♦♥séq♥ q♦ tr♥s♠ss♦♥ s ♦rts ♥tr ① ♣♦♥ts ♥♥♠♥t ♦s♥s str trrs à ♦s ♦♣ ♦♥tr♥t mijt s ♦♥tr♥ts ②ssqs σij.

té♦r s ♠① ♠r♦♣♦rs t s r♥t ♦♣ ♦♥tr♥t ♥ s♦♥t q♥é♥érst♦♥ éstté ssq q r♣♦s sr ♥ s r ♥é♠tq é♣♠♥t ❯♥ té♦r ♠r♦♣♦r s♣♣♦s ①st♥ ♥ r ♥é♠tq t♦♥♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

Théorie des milieux continus classique

Théorie micropolaire

Théorie couple de contrainte

ou

Théorie des milieux micromorphe

Théorie du second gradient

Théorie multipolaire

Milieux d'ordre supérieur Milieux de degré supérieur

Pr♥♣s té♦rs ♠① ♦♥t♥s é♥érsés t rs ♥s ♠ts

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

σ

σ

σ

σ

y

yx

σyx

σy

x

σx

xy

σxy

m

m

yz

xz

mxz

myz

x

y

dx

dy

r ♦♠♣♦s♥ts s ♦♥tr♥ts t ♦♣s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ ♣r♦è♠♣♥ ♠r♦♣♦r

r♦tt♦♥ ♦ ♣♣é ♠r♦r♦tt♦♥ ss♦é à s ♦♣s ♦♥tr♥ts ♦♥tr♥tst s②♠étrq ♥ éstté ssq ♥st ♣s ♥éssr♠♥t s②♠étrq ♥s s ♦♥tr♥t ♦♠♣♦rt qtr ♦♠♣♦s♥ts σx, σy, σxy, σyx t ♦♣ ♦♥tr♥t ♦♠♦♠♥t ♣r ♥té sr ① ♦♠♣♦s♥ts mxz,myzr

♠ê♠ ç♦♥ q ♣♦r s ♠♣s ♦♥tr♥t ② s ♦♠♣♦s♥ts t♦♥♥s① ♦♠♣♦s♥ts é♦r♠t♦♥ ssqs ǫx, ǫy ǫxy t ǫyx s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♠r♦♦rrs κxz t κyz ♣r♦ts ♣r s ♦♣s ♦♥tr♥ts s é♦r♠t♦♥s s♦♥té♥s s♦♥ r♥♥ ♣r

ǫx =∂u

∂x ǫy =

∂v

∂y ǫxy =

∂v

∂x− φ ǫyx =

∂u

∂y+ φ κxz =

∂φ

∂x κyz =

∂φ

∂ys éqt♦♥s ♦♠♣tté s ♦rrs t é♦r♠t♦♥s ♦♥t êtr ststs

κxz =∂ǫyx∂x

− ∂ǫx∂y

κyz =∂ǫy∂x

− ∂ǫxy∂y

∂κyz∂x

− ∂κxz∂y

= 0

s éqt♦♥s éqr sér♥t

∂σx∂x

+∂σyx∂y

+ px = 0

∂σxy∂x

+∂σy∂y

+ py = 0

∂mxz

∂x+∂myz

∂y+ σxy − σyx + qz = 0

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥s s éqt♦♥s sss py px s♦♥t s ♦rs ♦♠qs t♥s q qz st ♥ ♦♣♦♠q

r♥èr éqt♦♥ ♠♦♥tr q ♣rt ♥ts②♠étrq t♥sr ♦♥tr♥tσij st étr♠♥é ♣r r♥ t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t mij

s éqt♦♥s ♦♥sttts éstté ♥ér ♠r♦♣♦r s♦♥t ♦r♠

σkl = Aklmnǫmn +Bklmnκmn

mkl = Cklmnǫmn +Dklmnκmn

♣♦r ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥s♦tr♦♣s t♥srs qtrè♠ ♦rr Aklmn Bklmn Cklmn t Dklmn s♦♥t ♣♣és t♥sr

rté ♠r♦♣♦r Bklmn t Cklmn s♦♥t s ♣s♦t♥srs s t♥srs ♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♥♥t s♥s ♦rs ♥ ♥rs♦♥ s ♦♦r♦♥♥és s②stè♠ t Aklmn t Dklmn

s♦♥t s t♥srs ér♥t s ♣r♦♣rétés s♥ts Aklmn = Amnkl Dklmn = Dmnkl P♦r sstrtrs ♣ér♦qs ♥♦r♠s à s②♠étr ♥tr s ♦♥ts rr ♠s♦♥t ♥é♣♥♥ts ♥rs♦♥ s ♦♦r♦♥♥és ♣s♦ t♥sr Bklmn = Cklmn st éà ③ér♦ ❬♠r ♥ ♦ r♦s ♥ s♥ ❪

P♦r ♥ ♠tér ♠r♦♣♦r s♦tr♦♣q t ♥ér s éqt♦♥s ♦♥sttts s s♠♣♥t s♥t s rt♦♥s

σkl = λǫrrδkl + (µ∗ + κ) ǫkl + µ∗ǫlk

mkl = αφr,rδkl + βφk,l + γφl,k

P♦r ♥ ♣r♦è♠ s ♦♥st♥ts α t β s♦♥t ♥s ♥ ♣t érr s rt♦♥s♦♥tr♥ts é♦r♠t♦♥s ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♣♥ s♦s ♦r♠

σ =

σxσyσxyσyxmxz

myz

= [K]

ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz

= [K]

∂u∂x∂v∂y

∂v∂x

− φ∂u∂y

+ φ∂φ∂x∂φ∂y

P♦r s ♣r♦è♠s à é♦r♠t♦♥s ♣♥s ♠tr [K] sért

♦♥ r♦s ♥ s♥ ❬❪ s ♠① ♣♣és à s②♠étr ♥tr ♥tr♦s②♠étrqs s♦♥ts ♠① ♦♥t s éqt♦♥s éqr s♦♥t ♥r♥ts ♣r ♣♣t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥π ♥s ♥♦tr ét s trs s②♠étr ♥tr s éqt♦♥s éqr é♦ s②♠étr ♥tré♦♠étrq trs ♥ ♣♣r ♦♥ ♥tr♦s②♠étrq ♥ trs ♦♥t é♦♠étr st à s②♠étr♥tr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

[K] =

2λ+ 2µ∗ + κ λ 0 0 0 0

λ 2λ+ 2µ∗ + κ 0 0 0 0

0 0 µ∗ + κ µ∗ 0 0

0 0 µ∗ µ∗ + κ 0 0

0 0 0 0 γ 0

0 0 0 0 0 γ

q s♥ q ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♣♥ t ♥ ♠ à s②♠étr ♥tr ①st qtr♦♥st♥ts ♥é♣♥♥ts λ, µ∗, κ, γ ♦s ♦♥s ♣s rt♦♥ µ = µ∗ + κ

2♦♥

λ t µ s♦♥t s ♠♦s ssqs ♠é s ♠♥s♦♥s N/m2 s ♦♥st♥tsκ, γ s♦♥t ♥♦s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs q ♥♥♥t ♥s ♣♦r s ♠tér① ♥♦♥♠r♦♣♦rs ♠♥s♦♥ κ st ♥ N/m2 t♥s q γ st ♥ N ♥ t s N.m/mst tt ♦r♠t♦♥ q st é♥ér♠♥t rt♥ ♣♦r s ♦s éé♠♥ts ♥s ❬t♠t ❪ P♦r s trs q ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr ♥♦s ♥♦s ♣r♦♥s ♣tôt ♥s ♥♣r♦è♠ à ♦♥tr♥ts ♣♥s ♠tr rté ♥ ♠tér à s②♠étr ♥tr [K]s ♣rés♥t ♦rs s♦s ♦r♠ ❨♥ t ❬❪ r♦s ♥ s♥ ❬❪

[K] =

(2µ∗+κ)(2λ+2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ

λ (2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ

0 0 0 0

λ (2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ

(2µ∗+κ)(2λ+2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ

0 0 0 0

0 0 µ∗ + κ µ∗ 0 0

0 0 µ∗ µ∗ + κ 0 0

0 0 0 0 γ 0

0 0 0 0 0 γ

♠tr s♦♣ss ♦rrs♣♦♥♥t sért

[S] =

2λ+2µ∗+κ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)

− λ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)

0 0 0 0

− λ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)

2λ+2µ∗+κ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)

0 0 0 0

0 0 µ∗+κκ (2µ∗+κ)

− µ∗

κ (2µ∗+κ)0 0

0 0 − µ∗

κ (2µ∗+κ)µ∗+κ

κ (2µ∗+κ)0 0

0 0 0 0 γ−1 0

0 0 0 0 0 γ−1

s trs s♦♥t ss♠s à s ♠tér① ♦♥t♥s à ♦♥tr♥t ♣♥ ♥ t s trs ♣♥ t♦t♦♠♠ s ♠tér① à ♦♥tr♥t ♣♥ ♥ ♣♦ssè♥t ♣s ♦♥t P♦ss♦♥ ♥s s♥s é♣ssr ♥♦r♠ ♣♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥♦s ♣r♠t ♦t♥r ♠♦ ❨♦♥ 1E= S11 = S22

t ♦♥t P♦ss♦♥ − ν

E= S12 = S21

♦♥♥ tr ♣♦r s ♠♦s ❨♦♥ ♠r♦♣♦r t ♦♥t P♦ss♦♥

E =(2µ∗ + κ) (3λ+ 2µ∗ + κ)

2λ+ 2µ∗ + κ=

4µ∗2 + 4µ∗ κ+ κ2 + 6λµ∗ + 3λκ

2λ+ 2µ∗ + κ

ν =λ

2λ+ 2µ∗ + κ

♠♦ s♠♥t G t

G = µ∗ +κ

2

λ =E ν

(1 + ν)(1− 2ν)

s éqt♦♥s à ♠♦♥tr♥t q tr♠ 2µ∗ + κ ♥ éstté ♠r♦♣♦r r♠♣ tr♠ 2µ éstté ssq ♦rsq κ → 0 s rt♦♥s ssqs ♥tr E, νt s ♦♥st♥ts ♠é s♦♥t ♣résrés ♥♥ ♠r é♥ss♥ts ♦♥st♥ts q ♥tr♥♥♥t ♥s rt♥s éqt♦♥s ♠r♦♣♦rs ♦♥r rtérstq lcara

lcara =

√γ

2 (2µ∗ + κ)

q rt♥s ♣rés♥t♥t s♦s ♦r♠ l =

√

B

G B =

γ

4 t tr ♦♣ N

N2 =κ

2 (µ∗ + κ)

N r♥t té♦r éstq ssq à té♦r ♦♣ ♦♥tr♥t ♥s r♥r s ♠♦ κ → ∞ ♥ ♥♦tr ♥é♥♠♦♥s q s♦♥ s té♦rs♦♥ rè s ♥♦ér♥s ♥tr s rs s ér♥ts ♦♥st♥ts E t G ♥ ❬❪ ♥éssté ♦♥srr ♥ é♥r ♥tr♥ ♣♦st ♠♣♦s s ♦♥t♦♥s s♥tssr s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs

3λ+ 2µ∗ + κ ≥ 0

2µ∗ + κ ≥ 0

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

κ ≥ 0

3α + β + γ ≥ 0

− γ ≤ β ≤ γ

♦s tr♦♥s sr s trs s ♦♥tr♥ts ♣♥s t s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ♦♥s r♥ ♦♠♣t q ♥s s s ♣rtrs s ♦r♠s ssqs ♦♥♥és ♣r s éqt♦♥s t ♥ s♦♥t ♣s ♦♥ ♥ ♦♥ ♣s s tsr ♦s ♥♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s r s ♦♥st♥ts ♠tér ♠♥èr s♥t

s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs κ µ∗ t γ sr♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ♠tr rr[K] s♦t ♣♦r ♥ ♠ s♦tr♦♣

µ∗ + κ = K33

µ∗ = K34 γ = K55

♠♦ éstq E ♦♥t P♦ss♦♥ ν sr♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ♠tr s♦♣ss [S] s♦t ♣♦r ♥ ♠ s♦tr♦♣

E1 =1

S11

ν12 = −S21 · E1

s ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r

②♥tès ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ trs rs♥ ♠ ♠r♦♣♦r

❬♠r ♥ ♦ ❪ ts♥t ♥ ♠ét♦ sé sr é♥r é♦r♠t♦♥♣♦r ♦♠♦é♥ésr s ♦♥t ♥ s♦♠♠ s ♦♥trt♦♥s à é♥r é♦r♠t♦♥ qéé♠♥t strtr srèt tt ♥sté é♥r é♦r♠t♦♥ st ①♣r♠é ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♥tr éé♠♥tr tsé s trs♦t♥♥♥t ♥ ♦♥t♥♠ ♥ ts♥t ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦r ♥ ér ♥sté♥r s♥t s ♦♠♣♦s♥ts s t♥srs é♦r♠t♦♥ t ♠r♦♦rr ê♠s ♦♥ ♣t té♦rq♠♥t ♥ s♥t tt ♠ét♦ tsr s ♥♦s q ♥ ♦ï♥♥t♣s ♥tr éé♠♥tr ♠♣♦s ♦rs q s r♦tt♦♥s t s é♣♠♥ts ♥s s♥t ♥ ♦ ♥ q ♥ ♣t êtr r ♥s s é♥ér sréstts ♣rés♥t♥t s ♥♦ér♥s ♥s s ♦♥ts t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥ts ①♠♣s trtés ♥ ♦♠♣♦rt♥t q♥ s ♥♦ ♥s éé♠♥tr s trstrt♥t ♥ ♣♣t♦♥ s ♥♥tt♦♥ ♣r ♥ ♦rt ♣♦♥t ♦ ♦♥♥trt♦♥ s♦♥tr♥ts t♦r ♥ tr♦ rr ♥s ♥ trs s rés♥t tt ét ♥ ♦♠♣r♥t ré♣♦♥s ♥ ♦ srt à ♥ ♦ s éé♠♥ts ♠r♦♣♦rs

♦r♥ ♥ ❬❪ r♣r♥♥♥t t ♦♠♣èt♥t ♠ét♦ é♥rétq é♦♣♣é♥t♠♥t ♥s Pr ♥ ❬❪ ♥ ts♥t ① r♥ts ♥ ♥é♠tq ttr sttq é é♥ér st ♦t♥r ♥ ♦♥t♦♥♥ é♥r é♦r♠t♦♥ à

❯♥ trs st ♥ strtr ♣♥ ♣♦trs

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♣rtr s rs é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♥ ♣♦s ♥ ♦♠♣é♠♥t s éqt♦♥séqr ♠♦♠♥ts ♥ r ♥st ♠♥♠♠ ♦♥t♦♥♥ é♥r s♦s ♦♥tr♥t s éqt♦♥s éqr ♦♠♣é♠♥trs à ♠t♣trs r♥tt ♠ét♦ s♠ t s réstts ♦♥♦r♥t ① ♣rés♥t ét s♠ ♥é♥♠♦♥s q ♥ ♣♦♥t t♦r tt ♠ét♦ s♦t ♠♦♥s s♠♣ sq q ♥♦s ts♦♥s ♥s ♦r♥ ♥ ❬❪ ♥ ①t♥s♦♥ ♠ét♦ stt s ♠ts éstqs s ♣♦trs st♦♥ ♥♦♥ ♦♥st♥t

❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♣♦s♥t s éqt♦♥s éqr ♥♦ t ♦♠♦é♥és♥t♥ s♥t ♥ ♠♦②♥♥ s ♦rts ss♥t sr ♥ ❱ s ♦♥t tt rés♦t♦♥ ♥s s♣rtr trs ②♥t ♥ s②♠étr ♠ ♣r r♦tt♦♥ ♦ s②♠♠tr②♦♥ ① t à ♦s ♣r♥r s é♦♣♣♠♥ts s♦♥ ♦rr ♣♦r é♣♠♥tu t ♣♦r r♦tt♦♥ φ s r♣r♥♥♥t ♥s ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♥ r♥t r♠ét♦ ♥ s♥t s ♣♣t♦♥s à rt♥s ♣r♦è♠s ♣r♦♣t♦♥ ssrs ♦rs♦♥♥trés s ♠♦♥tr♥t q t ♥ ♣s t♥r ♦♠♣t ♦♥♥tté s♣éq rt♥s strtrs ♣t ♦r s ts s♥ts sr s st♠t♦♥s s ♦♥st♥tséstqs

❬ t ❪ ét♥t ♣r ♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥tst♦r ♥ tr♦ rr ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs ♠r♦♣♦rs

♥s ♦ ❬❪ tr ts ♥ ♦ ♣♦r t♥tr rtr♦r ♥♠érq♠♥ts rs s ♦♥ts ♠r♦♣♦rs t ♥ ♠♦②♥♥ s rs ♥♠érqs ①♥♦s ♥s ♥ ♥êtr ♠♦ q sr

❯♥ tr ♣♣r♦ rt ♣ êtr s♥s♣rr ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♣♦trs ♣ér♦qs ♣r é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq q t ♦t ♥♦♠r① tr① ♥♥♥ rtr ❬❪ ss② t ❬❪ ♦r♦s ❬❪ ③r♦ ❬❪ ♠s s réstts èr♥t s♥t s trs ♥ ♦♥t♦♥ s ②♣♦tèss sr s ♦rrs r♥rss ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t s r♠♥t ♦♥sérés ♥ é♦♣♣r ♥s ♣rr♣ s♥t s ♦♥séq♥s s ♦① sr ♦rr rt r♥r t é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♥é♠tqs

❯♥ s ♣♣t♦♥s s té♦rs ♠r♦♣♦rs st ♦s trér ❨♦♦ ♥ s❬❪ t♠ t ❬❪ ♦s♥r ♥ ♠r♠♥ ❬❪ q st ♥ ♠tér à ♠r♦strtr ❨♦♦ ♥ s ❬❪ ♦♥t ♠♦ésé ♦s trér ♣r ♥ trs rérr♣r♥♥t é♦♠étr é♦qé ♥s s♦♥ ♥ s② ❬❪ s ♣♦st♥t q ♠♦♥t♥ st t②♣ ♠r♦♣♦r ♦♥tr♥t ♦♣ t ts♥t ♥ ♦ ♣♦r rtr♦r♥♠érq♠♥t s rs s ♦rts t ♦♣ ♦♥tr♥t ♣s é♦♣♣♥t ♥ ♠ét♦♣♦r ♥tr s ♠♦s ♠r♦♣♦rs à ♣rtr s rs ♥♠érqs t♠ t ❬❪♠♦♥tr q s ♦♥♥trt♦♥s ♦♥tr♥t à ♥tr ♦s♣r♦tès s♦♥t s♥t♠♥t

♥ s ér♥s ♥♦tr ♠ét♦ r♣♦s sr é♥t♦♥ s ♠♦♠♥ts ♦s ♦♥sr♦♥s é♥t♦♥ s ♠♦♠♥ts ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ① ♥♦s ♠s ♥s ♦r♥ ♥ ❬❪ s♠♦♠♥ts s♦♥t é♥s ♥tr ♣♦tr ♥trî♥ ♥ ♥♠♥t st s ♠♦♠♥ts t séqt♦♥s éqr ♦♥ ♣r♥ ♦♠♠ ①♠♣ trs ①♦♥ q ♦♠♣♦rt ① ♥♦s t tr♦s♣♦trs ♥s éé♠♥tr ♥♦tr ♠ét♦ ♦tt à ① ♠♦♠♥ts t ① éqt♦♥s éqr q ♣r♠t rés♦r s ♥♦♥♥s ♠ét♦ Pr ♦tt à tr♦s ♠♦♠♥ts ♠s ♥ séqt♦♥ éqr sttq ♦♥ ♦t ♥s r♥r s r♦rr é♥r

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♣s ♣tts té♦r ♠r♦♣♦r ♦♠♣ré à ♥ té♦r éstté ssq♥s ❬♥♦♥ t ❪ s trs ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠♦è q ♣r♠t ♦t♥r

ré♣♦♥s éstq ♠r♦♣♦r ♥ ♠tér r ♦♠♣♦st ♣srs rt♦♥sér♥ts ♠r♦strtr à ♣rtr s ♠♦s éstqs q rt♦♥ ❯♥ ♣♣t♦♥ st t s

♥ ❬❪ ♠♦♥tr♥t ♥ r♦ss♠♥t rr s ♣♦trs ♠t♦s à♠r♦strtr ♥ ①♦♥

♥ ♥♦tr é♠♥t ♥térêt q ét s ts ♠r♦♣♦rs sr s trs str♥ ♣r ♣rés♥ trs ts ts q s ts ♦rs ♦ ❬❪s ts rés ♦srés é♣♥♥t s ① ♥tr t ♠r♦♣♦r t t ♦rs q st ♦♠♥♥t s ts ♦rs s♦♥t ①♠ê♠s sts à rt♦♥s s♥t ♥♦♠r rés rté ♦tr♦②és s s♠t♦♥s ts ♣r r ♥ ❱r ❬❪♠♦♥tr♥t q t s é♥t♦♥s trs t s♣érr à 10× 10 s ♣♦r ♦rssr s♥t♠♥t s ts ♦rs ♠s ♥s s s♣rît é♠♥t t♠r♦♣♦r ♦

♥ ♦♥s♦♥ s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r ♦♥ ♥♦tr q s ♣♣r♦s é♥rétqs ts qs s♦♥t é♦♣♣és ♥s Pr ♥ ❬❪ ♦ ♦r♥♥ ❬❪ s♠♥t r♦rss ♠s ♣ss ♣r ♥ ♦♥t♦♥ é♥r ♣s ♥♠♥♠st♦♥ rsq ♥r ♦r ♥ ♣♦♥t t♦r ès q ♥♦♠r rés rtés ♥t ♦♥séq♥t ♣s rés♦t♦♥ ♥t ♦♠♣① ès♦rs q ♣srs ♦rrs é♦♣♣♠♥t ♠ê♠ r ♣♣rss♥t ♥s s éqt♦♥s s tr① ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♦♥ rt♥r ♥éssté t♥r ♦♠♣t éqr ♠é♥q ♥♦ t ♥trr♦t♦♥ ét♠ sr ♦rr é♦♣♣♠♥t u♣r r♣♣♦rt à φ s tr① r ♥ ❱r ❬❪ t ♦ ❬❪ ♦♥rt♥r q ♥ s ♣rét♦♥s à ♣r♥r ♣♦r r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s s♠t♦♥s st tsr ♥ é♥t♦♥ ♥ ♥♦♠r ss♥t s éé♠♥trs ♣♦rétr ♦r s réstts tr♦♣ ♣♦és ♣r s ts ♦rs s ér♥ts éts sr s♣♦trs ♣ér♦qs ♦♥ rt♥r ♥éssté s♥trr♦r sr ♦rr é♦♣♣♠♥ts ♣r♠ètrs é♦♠étrqs st ♦t ♣rr♣

♦① ét♥r ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ♦♠♥ ♠r♦♣♦r ♣rés♥t ♥térêt ♠ét♦ ♣r♠t trtr s s éé♠♥trs à ♥♦s ♥tr♥s st sé sr s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s r♥rs ♦♥sérés q s♥ q ♣r♠t ♣r♦r ♥ é♦♣♣♠♥t à ♥ ♦rr q♦♥q s ♣r♠ètrs t♥t ♦♠♣t ♦♥♥tté s strtrs étés t éqr ♠é♥q ♥ q♥♦ ♥♥ st ♥ ♣♣r♦ ss♠♠♥t s♠♣ t é♥ér ♣♦r êtr sé♠♥t ♣r♦r♠♠ ♥ rstr♥r ♥é♥♠♦♥s ♥♦tr ét s ♣♦r s ♣tts é♦r♠t♦♥s♥s ♦♠♥ éstq t ♣♦r s trs ♣♦ssé♥t ♥ s②♠étr ♥tr

t♥t ♦♥♥é q ♥s ♠ét♦ q ♦♥ ts ♦♥ é♦♣♣ ♥s♠ s éqt♦♥s♦rts à ♣rtr s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♥é♠tqs t s♥trr♦r ♣résr ré ♥t t ♦rr é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs t ♦t ♣rr♣s♥t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

Pr♦é♠tq é é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s ♣r♠ètrs

② tr♦s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs à é♦♣♣r s②♠♣t♦tq♠♥t ♦♥r ♥♣♦tr lεb s rr tεb t s♦♥ é♣ssr eεb t ① ♣r♠ètrs ♥é♠tqs s♦t é♣♠♥t uεn t r♦tt♦♥ ① ♥♦s φεn P♦r é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs♦♥ r♣♣ réstt s♥t ❬♦r ❪ ♣♦r lεb éà tsé ♥s ♣réé♥t ♣tr

lεb = εlb0 + ε2lb1 + ...

P♦r q st s ① trs ♣r♠ètrs rr tεb t é♣ssr eεb ♦t♦♥sqqs ♣rés♦♥s ♣tr ♣réé♥t ♥ s ♣ ♥s s ♦♠♠ ♠♦♥tr r s♦t ♦♥ ♣t ♦♥sérr q s ① ♦♥rs rtérstqs s♦♥t ♠ê♠♦rr t ♦♣és st ♥ ♦① q ♦♥t ♣srs trs t ♦♥ s♠♣♦s t = e s♦t ♦♥ ♣t♦♥sérr q s ① ♦♥rs s♦♥t ér♥ts t é♦♣és e 6= t st ♦① q ♥♦s♦♥s t éà ♥s ♣réé♥t ♣tr ♥ ♣t ♦rs s♠♣♦sr e = Cte = 1 ♣r♠t s♠♣r ♥ ♣ s ①♣rss♦♥s s♥s ♥r é♦♣♣♠♥t é♥ér ♠ét♦

♦♥tr♦♥s ♥♥ ♦① ♦♥ ♣t ♣rtr s ♠♦s rrs r ♠♦♥tr ♥ st♦♥ ♣♦tr rré stàr ♥ é♣ssr ♣♦tr é à s rr♥ t s ♦rts ♦♠♠ s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♦♥t♦♥s s ① ♠♦s trt♦♥ t

①♦♥ kl t kf ♥s ♠♦è ♣♦tr r♥♦ kl =EsS

lb S st♦♥ ♣♦tr

kf =12EsI

(lb)3 I ♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① ♥♦r♠ ♣♥

♦♥ ♦♥sèr t = e t ♥ st♦♥ rré ♦rs ♥♦s ♦♥s S = t2 t I =t4

12 ♦♥

♦♥sèr q é♣ssr e 6= t t e = Cte = ♦♥ ♥é♣♥♥t r♣♣♦rt ε ♦rs s

♠♦s s é♦♣♣♥t ♥ kl =Este

lb=Est

lbt kf =

12EsIe

(lb)3=

12EsI

(lb)3=Es

(tb)3

(lb)3 I

♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① ♥♦r♠ ♣♥ t q I =t3

12

ér♥ ♥tr s ① sérs ♠♦s st ♦♥ tr é♣ssr e ♥s s♦♥s s ♦♥ ♦♥sèr e = Cte = 1 ♦rs ♣♦r rr ♦♠♦é♥été s ♦♥st♥ts rr t ♦♥sérr ♥ ♠♦ éstq Es ♥♦♥ ♣s ♥ N.m−2 ♠s ♥ N.m−1

♥térss♦♥s♥♦s ♠♥t♥♥t à ♥ s ②♣♦tèss ♣srs trs tr① ♣♦rt♥t sr ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♣♦trs ♣ér♦qs r ♠♦♥tr s

① r♣♣♦rts é ①st♥t ♥s ♥ trs ε =l

L st ♣tt ♣r♠ètr ssq

♥ é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♠s ♥♦s ♦♥s é♠♥t ♣tt ♣r♠ètr η =t

lé♥♠♥t ♣♦tr q ♥♦s st ♠♣♦sé ♣r ♦① t ♥ té♦r ♣♦tr r♥♦ Psrs trs ♣r♥♥♥t ♦♠♠ ②♣♦tès ε = η ❱♦②♦♥s s ♦①st ① ♥s ♥♦tr s

t♦t tr é♦♠étr st♦♥ ♦♥♥rt s ♥ ♦♥st♥t s♣♣é♠♥tr ♣♣rîtrt

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

L

P

W

Treillis périodique

le paramètre d'épaisseur e des poutres est identique à celui de la largeur e=t

l

t

e=t

l

t

e

le paramètre d'épaisseur eest découplé de celui de lalargeur t

Cellule élémentaire

ou

r Pr♠ètrs é♦♠étrqs rtérs♥t s ér♥ts ♥① ♠r♦strtr ♥ trs ♥♦♥ s ① r♣♣♦rts é η t ε ①st♥t s♥ ♠r♦strtr

② tr♦s ♣♣r♦s ♣♦sss s♥t q ♦♥ ss rr ♦r ♣tt ♣r♠ètr

η =tb

lb→ 0 t ♥st ε → 0 ♦ ♥ q ♦♥ ss rr ♦r ε → 0 ♣s η → 0 ♦

♥ à ♦s (ε, η) → (0, 0) ♥t s s rrs ♣♦trs ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s♥tqs ♥ ♣r♦♣♦s ♣♦sr

ε = ηa

à ♠♥èr q st t ♥s ♦t t ❬❪ q ♣r♠t ♥ ss♠♥ts ér♥ts ♦r♠s éqt♦♥s s♥t r ①♣♦s♥t a ♣s s ♦♥ t ♥♣♣r♦ ♣rtq qst♦♥ ♣♦r q s trs ♥ s♦♥r♥t ♣s s♦s ♠♠♥ts ♣♦trs t ♣♦r q ♦♥ ♣ss s ♦♥sérr r♠♥t ♦♠♠ s trs ♥ ♠♦è♣♦tr r♥♦ ♠♣q q t ♦r♥r r♣♣♦rt η

∼ 10−2 < η <∼ 10−1

Pr ♦♥tr r♣♣♦rt ε =l

L♣t r♣♠♥t ♥r très ♣tt ♥t η ♥ s♣♣♦sr

♦♥ q ε 6 η q r♥t à ♦♥sérr q ①♣♦s♥t a ≥ 1 ès ♦rs ♦♥ ♣t ♣♦sr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

tb = ηlb = ηεLb = η1+aLb = ε1+

1

aLb t réérr s éqt♦♥s s ♣♦trs s♦s tr♦s ♦r♠sér♥ts

♦r♠ s éqt♦♥s té♦r s ♣♦trs ♦r ♥♥① s♦♥t érts ♥ ♦♥t♦♥ η s

N ε = Esη(eb ·∆Uε

)

T εt = Esη

3eb⊥ ·∆Uε − 1

2Esη

3+aLb0(φO(b)ε + φE(b)ε

)

MO(b)ε = Esη3+2a

(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)− 1

2Esη

3+aLbeb⊥ ·∆Uε

ME(b)ε = Esη3+2a

(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φE(b)ε

)− 1

2Esη

3+aLbeb⊥ ·∆Uε

tt sér éqt♦♥s ♠è♥ ♥ ♣r♠èr ♦♥s♦♥ s ♦rts N εb t T εt r♦♥t

t♦♦rs ♥tr ① q q s♦t ré é♣rt ♦s ♣♦r uε t φε ♥ ért r♥r ♦rr η2 q s♥ q ♦rsq r♣♣♦rt η ♥t ♣tt s♦rts tr♥♥ts t s ♠♦♠♥ts ♥♥♥t ♥és ♥t s ♦rts trt♦♥①t♥s♦♥ q s ♦♠♣r♥ ♥tt♠♥t ♠♥t

♦r♠ s éqt♦♥s s♦♥t érts ♥ ♦♥sr♥t sé♣ré s ① ♣r♠ètrs η t ε

N ε = Esη(eb ·∆Ubε

)

T εt = Esη

3eb⊥ ·∆Ubε − 1

2Esη

3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε

)

MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)− 1

2Esη

3εLbeb⊥ ·∆Ubε

ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φE(b)ε

)− 1

2Esη

3εLbeb⊥ ·∆Ubε

tt ♦r♠ ♣r♠t ♦♥srr ♥é♣♥♥ η t ε

♦r♠ éqt♦♥ ♦♥ ♣t trr ε

1

a = η ♥ ♣t ♦rs réérr s éqt♦♥s ♥q♠♥t ♣r♠ètr ε

N ε = Esε

1

a(eb ·∆Ubε

)

T εt = Esε

3

aeb⊥ ·∆Ubε − Esε

3

a+1Lb

2

(φO(b)ε + φE(b)ε

)

MO(b)ε = Esε

3

a+2(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)− 1

2Esε

3

a+1Lbeb⊥ ·∆Ubε

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

ME(b)ε = Esε

3

a+2(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φE(b)ε

)− 1

2Esε

3

a+1Lbεeb⊥ ·∆Ubε

♦♥ ♦♥sèr q ♣r♠ètr η st ♣tt ♠s ① t q ♣r♠ètr ε ♦t t♥rrs ③ér♦ ♦rs s♦♥ éqt♦♥ a ♦t t♥r rs ♥♥ ♣r♥ ♠t a → ∞s éqt♦♥s à ♦♥ ♦t♥t

N ε = Es

(eb ·∆Ubε

)

T εt = Ese

b⊥ ·∆Ubε − EsεLb

2(φε

1 + φε2)

MO(b)ε = Esε2

(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)− 1

2EsεL

beb⊥ ·∆Ubε

ME(b)ε = Esε2

(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φE(b)ε

)− 1

2EsεL

bεeb⊥ ·∆Ubε

♦s tt ♦r♠ st ♦♥r t♥t q ♦♥ ♥ ♣s sté ♦rr ♥t é♦♣♣♠♥t φε ♣r r♣♣♦rt à uε st ♥éssr é♥r ♣résé♠♥t ré ♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♥ s rs ♣r r♣♣♦rt à tr

♦♥s♦♥s sr ♣r♦é♠tq é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s♣r♠ètrs

st♦♥ ♣réé♥t ♦♥ ♦♥r q r♣♣♦rt η st ♣tt ♠s ♦r♥é ♠♣qq r ♥t rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ♥ s♠♣t♦♥ η → 0 ♣t ♥rs rrrs ♥s s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♣sq ♣r é♥t♦♥ ♦rt tr♥♥tst é à ①st♥ ♣r♠ètr η é♥♠♦♥s ♣♦str♦r ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s♦♥ ♣♦rr ♥sr s♠♣r s ♠♦s ♦t♥s ♣r s ♠t η → 0

Pr é♥t♦♥ r♣♣♦rt ε =l

L♣t ♥r ♥♥♠♥t ♣tt t ♦♥ ♦♥sérr

♠t ε→ 0 ♥ s♥s ♥s s éqt♦♥s ♣rés ♥♦s ♦♥t à r ♦① ♦r♠ q ♣résr ♥é♣♥♥ ♥tr η t ε q r♥t à ♦♥srr s ♣r♠ètrstb t Lb ♦♠♠♥t é♥r ré ♥t t ♦rr é♦♣♣♠♥t rt s ♣r♠ètrs♥é♠tqs uεn t φεn ♥ ♣t rs♦♥♥r sr ♦r♠ ♦t♥ ♣♦r s éqt♦♥s s♦rts tr♥♥ts t s ♠♦♠♥ts

T εt = Esη

3eb⊥ ·∆Ubε

︸ ︷︷ ︸

f1(∆Ubε)

− 1

2Esη

3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε

)

︸ ︷︷ ︸

εf2(φO(b)ε,φE(b)ε)

MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)

︸ ︷︷ ︸

ε2f3(φO(b)ε,φE(b)ε)

− 1

2Esη

3εLbeb⊥ ·∆Ubε

︸ ︷︷ ︸

εf4(∆Ubε)

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φε

2

)

︸ ︷︷ ︸

ε2f5(φO(b)ε,φE(b)ε)

− 1

2Esη

3εLbeb⊥ ·∆Ubε

︸ ︷︷ ︸

εf4(∆Ubε)

♥ ♦♥stt qss ♥ ♦rt tr♥♥t q s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♦♥sttés ①tr♠s ♥ ♦♥t♦♥ ér♥ é♣♠♥t∆Ubε t tr s ♥s

(φO(b)ε, φE(b)ε

)

Pr ①♠♣ ♣♦r ♦rt tr♥♥t st s tr♠s f1(∆Ubε

)= Esη

3eb⊥ · ∆Ubε t

εf2(φO(b)ε, φE(b)ε

)=

1

2Esη

3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε

) ♦s ♦♥s r ②♣♦tès q s ①

tr♠s s♦♥t ♠ê♠ ♦rr ♥ ε t ét♥t ♠ê♠ ré tt ②♣♦tès ♣srs♦♥séq♥s ♦♥ é♦♣♣ ♣r♠r ♦rr r♦tt♦♥ s♥ q ér♥ é♣♠♥t st ♥ ε1(...) + ε2(...) ♥ t s ♦♥ é♦♣♣ uε s♦♥ ♦rr

uε (λε) = u0 (λε) + εu1 (λ

ε) + ε2u2 (λε) + ...

ér♥ é♣♠♥t ♥tr s ♣♦♥ts ♦r♥ t ①tré♠té ♣♣rît ♦♠♠

∆Ubε = uε (E (b))−uε (O (b)) ∼ ε

(

uER(b)1 (λε)− u

OR(b)1 (λε) +

∂u0(λε)

∂λiδib)

︸ ︷︷ ︸

+

∆Ub1

ε2(

uER(b)2 (λε)− u

OR(b)2 (λε)

)

︸ ︷︷ ︸

∆Ub2

♥ ♥♦t q ♥s tr♠ ∆Ub

1 s ♥♦♥♥s un1 ♥ ♦s rés♦s sr♦♥t ♦♥t♦♥

∂u0(λε)

∂λiδib st à r ♦♥t♦♥ r♥t é♣♠♥t ♦♥ é♦r♠t♦♥ ♥

①♣r♠r ç♦♥ s♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s r♦tt♦♥s

φnε (λε) = φn0 (λ

ε)+ εφn1 (λ

ε) + ...

♦♥ é♦♣♣ s②♠♣t♦tq♠♥t à ♣rtr éqt♦♥ s r♦tt♦♥s

φε(O(b)) = φOR(b)0 (λε) + εφ

OR(b)1 (λε) + ...

φO(b)ε = φOR(b)0 + εφ

OR(b)1 + ...

φε(E(b)) = φER(b)0

(λε + εδib

)+ ε

(

φER(b)1

(λε + εδib

))

+ ...

φε(E(b)) = φER(b)0 (λε) + ε

(∂φ0(λ

ε)

∂λiδib + φ

ER(b)1 (λε)

)

+ ...

φE(b)ε = φER(b)0 + ε

(∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)

+ ...

♥ r♣♣ ♥ ♣rés♦♥ ♦♥r♥♥t s ♥♦tt♦♥s ♥ R ♥q q st ♥♦ ♣♣rt♥♥tà réér♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

e

o

Μ ο

Me

T

T

u(E(b))

O(b)

barrenon

déform

ée

barre déformée C(b)

eb

eb

T=b

u(O(b))

E(b)N

T t

b

be =j2

coordonnéescartésiennes

coordonnéescurvilinéaires

e =Y1λ 1

e=Y

2λ

2

e =i1

Mo et Me portés par e =e3λ

3

F

F

O(b)

E(b)

r Pr♠ètrs é♦r♠t♦♥ ♣♦tr

♥ ♣t ♦♠♠♥tr r♥r é♦♣♣♠♥t ♥♦ ①tré♠té ♥ ♣♦tr E(b)♣♣rt♥t s♦t à réér♥ s♦t à ♥ ♦♥të à ♠s ♥s t♦ss s r ss ♦♦r♦♥♥és s♦♥t λε + εδib λε s ♦♦r♦♥♥és ♥♦ ♠ê♠♥♠ér♦ ♣♣rt♥♥t à éé♠♥tr st ♣♦rq♦ ♦♥ ért ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥♦ ①tré♠té ♦♠♠ é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦r ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥♦ ♠ê♠ ♥♠ér♦ ♣♣rt♥♥t à réér♥ r♥èr éqt♦♥ ♥qs♠♣♠♥t ♥ s♠♣t♦♥ s ♥♦tt♦♥s ♣♦r étr tr♦♣ ♦rr s é♦♣♣♠♥tsq ♦♥t sr

♥ r♠rqr é♠♥t q ♣r♠r ♦rr φ0 ♥st ♣s ♥é♣♥♥t ♥♦

①t♥s♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqsrèt s ♠r♦♣♦r

♦s ♦♠♠♥r♦♥s ♣r r♣♣r s éqt♦♥s éqr ♣♦r s ♠① ♠r♦♣♦rss♦s ♦r♠ ♣ss♥ rt

Pr♥♣ é♥ér

♣r♥♣ é♥ér ♦♥sst ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s à érr s éqt♦♥s éqr ♠ ♦♥t♥ ♠r♦♣♦r ♥ ♦r♠t♦♥ ♣ss♥ rt t s♦rt q s t♥srs ♦♥tr♥t σ t ♠r♦♠♦♠♥ts ♠ ♣♣rss♥t s♦s ♦r♠ ♥ ♣r♦t strs s ♥ r♣èr r♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

q éqr →´

Ω(gσ · eiλ)︸ ︷︷ ︸

Si

. ∂v∂λidλ+

´

Ω(gm · eiλ)︸ ︷︷ ︸

µi

. ∂w∂λidλ = 0

♥s ♥ s♦♥ t♠♣s ♦♥ ♠♦♥trr q s éqt♦♥s éqr ♠ srt ♣♥tsérr s♦s ♠ê♠ ♦r♠ ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥

∑

b

Tb.v+∑

b

Mb.w = 0♦♠♦é♥ést♦♥→

´

ΩSi. ∂v

∂λidλ+

´

Ωµi. ∂w

∂λidλ = 0

②♥t ♦t♥ ♠ê♠ ♦r♠t♦♥ ♦♥ ♥t tr♠ à tr♠ s ① trs Si tµi q ♣r♠t ♥st r♠♦♥tr ① ① t♥srs σ t m ♦s ♦♥sérr♦♥s ♥s st q tsss rts st ♦♥stté ① ♠♣s v,w éq♥t ①tsss rts u, φ

Pr♠èr ét♣ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥s éqrs♥t ♣♣rîtr s trs ♦rts Si t s trs ♠♦♠♥ts µi

♦s ♣rt♦♥s s éqt♦♥s éqr ♥ ♠ ♠r♦♣♦r t ss ♦ssrt ♦rst ❬❪ é♥ sr Ω ♥ ♠ ♦♥t♥

ˆ

Ω

(σ.∇x) .vdx+

ˆ

Ω

(m.∇x− ∈: σ) .wdx =

−ˆ

Ω

fvol.vdx−ˆ

Ω

cvol.wdx−ˆ

∂Ω

(σ.n− tbords).vds−ˆ

∂Ω

(m.n−Mbords).wds

∈ t♥sr ♣r♠tt♦♥ t ♦rr tr♦s s ♦♠♣♦s♥ts s t♥srs m t σ s♦♥t é♦♣és ♥s s ♥ ♠ à s②♠étr ♥tr ❬r♦s ♥ s♥ ❪ q ♠♣q q♥ s♥ ♦rts t ♦♣s ♦♥tr♥t ♦♠qss♦t fvol = 0 t cvol = 0 s tr♠s t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t s♦♥t t♦éqrés ♦rss ♥ rr♥ ❬❪

ˆ

Ω

(∈: σ) .wdx = 0

ˆ

Ω

(m.∇x) .wdx = 0

♦♥ r♣♦rt s rt♦♥s ♥s ♣r♠t ①♣r♠r s ♦♥t♦♥s ♦rs

tbords = σ.n

Mbords = m.n

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♦♥ s♣♣♦s s ♣rtr ♠♣s rts v t w ♦ss t s♦rt qss♥♥♥t sr s ♦rs ♦♠♥ ét Ω ss ssst♥t s ♥térs ♦♠ q♦♥t êtr ♥s ♥♦s ♣r♠t ♦t♥r s éqt♦♥s s♥ts ♥ qs sttq

ˆ

Ω

(σ.∇x) .vdx = 0

ˆ

Ω

(m.∇x) .wdx = 0

♥ r ♥ ♥♠♥t r ♣♦r r ♣♣rîtr s ① t♥srs σ tm ♦t xi s ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ♥ ♣♦♥t ♠tér P t q x = xiei ♦t s♦♦r♦♥♥és r♥s é♥érsés λ = (λ1, λ2, λ3) é♥s ♣♦r ♦♥t♦♥ t♦r ♣♦st♦♥ x = R(λ1, λ2, λ3) ♥ s trs s ♦r♥ts

eλk =∂xi

∂λiei

s trs ♦♥trr♥ts s♦♥t é♥s ♣r

eiλ.eλj = δij

δij s②♠♦ r♦♥r ♥ t ♥s s éqt♦♥s t ♥♠♥t r x = x(λ) ♦t ♦♥ tt tr♥s♦r♠t♦♥ ♥s s ♥térs ♦♠♥♦s ♦t♥♦♥s

dx = gdλ

♦t v t w rs♣t♠♥t s ♠♣s tss t t① r♦tt♦♥ rts ♦♥

∇xv =∂v

∂λi⊗ eiλ

∇xw =∂w

∂λi⊗ eiλ

s éqt♦♥s t ♣♥t s réérr s♦s ♦r♠

ˆ

Ω

(σ.∇x) .vdx =

ˆ

Ω

σ : (∇xv)dx =

ˆ

Ω

σ : (∂v

∂λi⊗ eiλ)gdλ =

ˆ

Ω

(σeiλ).∂v

∂λigdλ = 0

ˆ

Ω

(m.∇x) .wdx =

ˆ

Ω

m : (∇xw)dx =

ˆ

Ω

m : (∂w

∂λi⊗ eiλ)gdλ =

ˆ

Ω

(meiλ).∂w

∂λigdλ = 0

♥ ♣♦s é♥t♦♥ s♥t s trs ♦♥tr♥ts

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

Si = gσeiλ

♥ ♣♦s é♠♥t é♥t♦♥ s♥t s trs ♦♣ ♦♥tr♥t

µi =gmeiλ

♥ ♣rt♥t s é♥t♦♥s t ♦♥ ♣t ①♣r♠r s t♥srs ♦♥tr♥t t ♦♣ ♦♥tr♥t

σ =1

gSi ⊗ eλi

m =1

gµi ⊗ eλi

♥ ♣t érr à ♣rtr s éqt♦♥s t éqt♦♥ éqr ♥ tr♥st♦♥s♥t

ˆ

Ω

Si.∂v

∂λidλ = 0

♠ê♠ s éqt♦♥s t ♦♥ ♣t érr éqt♦♥ éqr ♥r♦tt♦♥

ˆ

Ω

µi.∂w

∂λidλ = 0

♥♠♥t rs x = x(λ) ♦r♥t s rt♦♥s s♥ts ♥tr s r♥tsrts

∂v

∂λi= ∇xv.

∂R

∂λi

∂w

∂λi= ∇xw.

∂R

∂λi

♥ ♣t s r♥ts réérr s éqt♦♥s t s♦s ♦r♠ˆ

Ω

Si.∂v

∂λidλ =

ˆ

Ω

Si.(∇xv.∂R

∂λi)dλ =

ˆ

Ω

(

Si ⊗ ∂R

∂λi

)

: (∇xv)1

gdx = 0

ˆ

Ω

µi.∂w

∂λidλ =

ˆ

Ω

µi.

(

∇xw.∂R

∂λi

)

dλ =

ˆ

Ω

(

µi ⊗ ∂R

∂λi

)

: (∇xw)1

gdx = 0

♣rès s éqt♦♥s ♦♥ t ♣♣rîtr s t♥srs m t σ s♦s ♦r♠ s ♣r♦tst♥s♦rs

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

m =1

gµi ⊗ ∂R

∂λi

♥ rt♥r é♦♣♣♠♥t q ♦♥ ♥ ♣rt ♥ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥séqr à trs ♦♥tr♥t t ♦♣ ♦♥tr♥t s éqt♦♥s t t tr ♣rt ♥ ♠♦②♥ ♣r♥r à ♦t♥r à ♣rtr s trs s ①t♥srs ♦rrs♣♦♥♥ts râ ① rt♦♥s t ♥t♥♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♠♦②♥ ♦t♥r ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ s ① sérs trs Sit µi

①è♠ ét♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ s éqt♦♥s éqrsrèts

♦s ♣rtr♦♥s s éqt♦♥s éqr trs s ♣r♠ètrs s♦♥t ♥qés r ♥t ♣rés♥tr s éqt♦♥s éqr ① ♥♦s ♥♦s r♣♣r♦♥s qqs♥♦tt♦♥s ♥tr♦ts ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦♥r♥♥t ♥♠ér♦tt♦♥ s ♥♦s ts ♣♦trs ♥ r♣♣ q ♦♥ ts ②♣♦tès s ♣tts é♦r♠t♦♥s t qà étté♦r♠é trs rst qs ♣ér♦q

P♦st♦♥ ♣r♦è♠

q ♣♦tr ét♥t ♥ éqr ♦r ♣♣qé sr ♥♦ ①tré♠té st ♦♣♣♦séà ♦r ♣♣qé ♥♦ ♦r♥ TE(b) = −TO(b) ♦r r s trs♦rts Tb s é♦♠♣♦s♥t ♥

Tb = N beb + T bt e

b⊥

N b ♦rt ♦♥t♥ t T bt ♦rt tr♥srs Pr ♦♥♥t♦♥ ♥♦s r♦♥s ♥♦s

s s ♦rs Tb = TE(b) r trs ♦♠♣t s éqt♦♥s éqr s ♦rs♥ ♦r♠t♦♥ ♣ss♥s rts ♣♥t ♦♥ sérr ♥s

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

Tb.(v (O (b))− v (E (b))) = 0

v (.) ♥ ♠♣ tss rt ♥ sr s ♦rs ♥ ♣t réérr s éqt♦♥s s♦s ♦r♠ s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

Tεb.(vε (O (b))− vε (E (b))) = 0

♥ ♣t érr ♣srs ç♦♥s éqr s ♠♦♠♥ts ♦t ♦♥ ♦♥sèr éqrs ♠♦♠♥ts ♣♣qés ① ♥♦s trs s éqt♦♥s ♦t♥s ♣r ♠ét♦s éé♠♥ts ♥s ♣♣qés ① ♣♦trs ♦r ♥♥①

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

(MO(b).w (O (b)) +ME(b).w (E (b))

)= 0

tt ♦r♠ ♥♦s sr t ♣♦r rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s s ♦♥ ♦♥sérr ♥tr ♣♣r♦ q ♦♥sst à érr q q ♣♦tr st ♥♠♥t ♥ éqr ♦♥q s♦♠♠ s ♣♦trs st ss ♥♦s étr♠♥r♦♥s t éqr ♥tr q♣♦tr ♣r

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

(

MO(b).w (O (b)) +ME(b).w (E (b)) +Lb

2(eb ∧TE(b)).w (C (b))− Lb

2(eb ∧TO(b)).w (C (b))

)

= 0

éqt♦♥s q ♦♥ ♣t érr s♦s ♦r♠ é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

(MO(b)ε.wε (O (b)) +ME(b)ε.wε (E (b)) + εLb(eb ∧Tεb).wε (C (b))

)= 0

eb tr rtr ♣♦tr MO(b) t ME(b) s ♠♦♠♥ts à ♦r♥ t à①tré♠té s ♣♦trs rs♣t♠♥t Lb ♦♥r s ♣♦trs t w(.) ♠♣ rt t① r♦tt♦♥

sr♣t♦♥ é♦♠étr trs ♥♠ér♦tt♦♥ s éé♠♥ts

♥ r♣♣ s♦♠♠r♠♥t q été éà é♦qé ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦s♥♦♠♠r♦♥s NR t BR rs♣t♠♥t ♥s♠ s ♥♠ér♦s ♥♦s t ♣♦trs ♣♣rt♥♥t à réér♥ ♥s à q ♦t vi = (v1, v2) ∈ Z

2 tr♣t ♥ ∈ Z

3 ♥♦s ss♦♦♥s ♥ réér♥ s ♥♦s trs ♦♠♣t ♣♥t ♦rsêtr é♥s ♣r tr♣t n = (n, v1, v2) ∈ NR × Z

2 qr♣t ♥ ♠ê♠ ç♦♥s ♣♦trs trs ♥tr ♣♥t êtr érts ♣r tr♣t b = (b, v1, v2) ∈ BR × Z

2♥s réér♥ ♥♦s ♦♥s ♦r♥tr q ♣♦tr t s♦rt q t

♥ ♥♦ ♦r♥ ♥♦té O(

b)

t ♥ ♥♦ ①tré♠té ♥♦té E(

b)

♦s ♥♦tr♦♥s q s ♦♥

♣t ♦sr ♥♦ ♦r♥ ♦♠♠ s♥t ♣rt réér♥ ♥♥ st ♣s♦ré♠♥t ♠ê♠ ♥♦ ①tré♠té ♥♦ ①tré♠té ♣♣rt♥t ♥é♥♠♦♥s à ♥ q st ♣r♦ ♥s ♣♣rt s s ♥t à réér♥ ♥ ♣t

♥ ♣t r♠rqr ♥ ♦♠♣r♥t s éqt♦♥s t q r♥t à ♦♥sérr q s♦♠♠ s ♦rts tr♥♥ts sr ♥ ♣♦tr st ♥ ♦ ♦r♠é tr♠♥t q ♦rt tr♥♥t ♥♦♦r♥ st ♦♣♣♦sé ①ré ♥♦ ①tré♠té

♥ r♠rqr é♠♥t q trs trs ❬♦r♥ ♥ ♦r♥ ❲rr♥ ♥②s♦ ❪ ♦♥t ♦s r rs s ♥q♠♥t ♥ ♠♦♠♥t ♠♦②♥ é à ♣♦tr t ♥♦♥ ♣ss ♠♦♠♥ts ① ♥♦s r♥t à s é♦♣♣♠♥ts s♠rs à ① q s♦♥t ♦♥sérés ♥s ttst♦♥ ♠s ♥♦♠r éqt♦♥s éqr ♠♦♠♥t ♦t♥ ♥st ♣s ♥tq à ♥♦tr ♠ét♦ ♥♦s♥ ♦t♥♦♥s ① ♥ trs ①♦♥ q♥ ♥s ♦r♥ ❬❪ ♥② ♥ q♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

cellule de

référenceY

Y1

2

δ i=(0,1)

δ i=(1,0)δ i

=(-1,0)

δ i=(-1,1) δ i

=(1,1)

δ i=(1,-1)

δ i=(-1,-1)

δ i=(0,-1)

r ♥t♦♥ s ♣r♠ètrs δi ♣r r♣♣♦rt à réér♥ ♥trs

♦♥ érr q s ♥♦ ♦r♥ O(

b)

st ss♦é tr♣t n = (n, v1, v2) ♥♦

①tré♠té E(

b)

st ♦t♦r♠♥t ss♦é ♥♦ ♥♠ér♦té (m, v1 + δ1, v2 + δ2) ♥s

♣♣rt s s ♥♦ ①tré♠té ♣♣rt♥t à ♥ ♥t q s♥ q srs δi ♣♣rt♥♥♥t à ♥s♠ δi ∈ −1, 0, 1 ♦r r ♦s ♦tr♦♥s

à q ♣♦tr ♥ ♥♦ é♥ ♥tr s♦t C(

b)

é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s ♣r♠ètrs

♥ r♣♣r s ♥♦tt♦♥s ♦♥♥sés s ♦♥s♦♥s ♣rr♣

∆Ubε ∼ ε

(

uER(b)1 − u

OR(b)1 +

∂u0

∂λiδib)

︸ ︷︷ ︸

+

∆Ub1

ε2(

uER(b)2 − u

OR(b)2

)

︸ ︷︷ ︸

∆Ub2

φO(b)ε = φOR(b)0 + εφ

OR(b)1 + ...

φE(b)ε = φER(b)0 + ε

(∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)

+ ...

é♦♣♣♠♥t s tsss t t① r♦tt♦♥ rts vε t wε

P♦r t♦t ♠♣ tss rt vε ss♠♠♥t rér ♥ é♦♣♣♠♥t ②♦r ♣r♠r ♦rr ♦♥t à

vε (E (b))− vε (O (b)) = v(λε + εδib)− v(λε) ∼ ε∂v(λε)

∂λiδib

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♠♣ t① r♦tt♦♥ rt st ♣r♦r q♦♥q ♦sss♦♥s ♥ ♠♣ss♠♠♥t rér t q ♦♥ t ♣♦r ♣♦♥t ♠

wC(b)ε =1

2

(wE(b)ε +wO(b)ε

)

♦s ♣♦s♦♥s t♦t ♦r ♠♣ t① r♦tt♦♥ s♥t

wε(O(b)) = wO(b)ε(λ) = w0(λ)

♦s ♦t♥♦♥s ès ♦rs ♥ é♦♣♣♠♥t ②♦r ♣r♠r ♦rr

wE(b)ε(λ+ εδi) ∼ w0 (λ) + ε∂w0 (λ)

∂λiδib

é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s ♦rts t s ♠♦♠♥ts

♦♠♠ r♣♣é ♣s t éqr sttq s ♣♦trs ♦♥t à ♥ tr q sé♦♠♣♦s ♥

Tεb = N εbeb + T εbt eb⊥

N εb = Esη(eb ·∆Uε

)∼ Esη

(eb ·(ε∆U1 + ε2∆U2

))

T εbt = Esη

3eb⊥ ·∆Uε − 1

2Esη

3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε

)

T εbt ∼ Esη

3eb⊥·(ε∆U1 + ε2∆U2

)−1

2Esη

3εLb0

(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0 + ε

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t

N εb ∼ εEsη(eb ·∆U1

)+ ε2Esη

(eb ·∆U2

)

∼ εN b1 + ε2N b

2

T εbt ∼ ε

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb0(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

+ε2(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb0

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

∼ εT b1t + ε2T b

2t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥ ♦♥stt q s ① ①♣rss♦♥s ♦rts ♦♥t♥♥♥t ① ♦rrs ♥ ♥tr① st ♦♥t♦♥ ① sérs rs ér♥ts ♣r♠r ♦rr s rs un

1

♦♥t♥s ♥s ∆U1 t φn0 s♦♥ ♦rr s rs un

2 ♦♥t♥s ♥s ∆U2 t φn1

♠ê♠ ç♦♥ ♦♥ é♦♣♣r s②♠♣t♦tq♠♥t s ♠♦♠♥ts à ♣rtr r é♥t♦♥♥s té♦r s ♣♦trs ♦r ♥♥①

MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(2φO(b)ε + φE(b)ε

)− 1

2Esη

3εLb0eb⊥ ·∆Uε

∼ Esη3ε2(Lb)2

6

(

2φOR(b)0 + φ

ER(b)0 + ε

(

2φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

))

−1

2Esη

3εLb0eb⊥ ·(ε∆U1 + ε2∆U2

)

ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2

6

(φO(b)ε + 2φE(b)ε

)− 1

2Esη

3εLb0eb⊥ ·∆Uε

∼ Esη3ε2(Lb)2

6

(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0 + ε

(

φOR(b)1 + 2

∂φ0

∂λiδib + 2φ

ER(b)1

))

− 1

2Esη

3εLb0eb⊥ ·(ε∆U1 + ε2∆U2

)

♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t

MO(b)ε ∼ ε2

(

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)0 + φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lb0eb⊥ ·∆U1

)

+ε3

(

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lb0eb⊥ ·∆U2

)

∼ ε2MO(b)1 + ε3M

O(b)2

ME(b)ε ∼ ε2

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lb0eb⊥ ·∆U1

)

+ε3

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)1 + 2

∂φ0

∂λiδib + 2φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lb0eb⊥ ·∆U2

)

∼ ε2ME(b)1 + ε3M

E(b)2

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

①♣rss♦♥ ♥ s éqt♦♥s éqrs

qr s ♦rts ♦♥ r♣♦rt s éqt♦♥s t ♥s ♦♥♦t♥t

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

Tεb.(vε (O (b)) − vε (E (b))) = 0

ç♦♥ é♦♣♣é t ♦r♦♥♥é s♥t s ♣ss♥s ε ♥♦s ♦♥♥

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

[

ε2(

Esη(

eb ·∆U1

)

eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

eb⊥)

· ∂v(λε)

∂λiδib

+ε3(

Esη(

eb ·∆U2

)

eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

eb⊥)

· ∂v(λε)

∂λiδib]

= 0

♥ ♣t ♣ssr éqt♦♥ ♥ ♥tér ♥ ts♥t réstt s♥t ♣♦r t♦t♦♥t♦♥ ss③ réèr g q♥tté ε2

∑

vi∈Z2

g(εvi) ♣t êtr ♥tr♣rété ♦♠♠ s♦♠♠

♠♥♥ ♥ ♥tér sr Ω q t♥ rs´

Ωg(λ)dλ Ω s♣ ♥ rt

♦♥sérr ε3∑

vi∈Z3

g(εvi) q♥ ε→ 0 éqt♦♥ ♥t ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ˆ

Ω

Si.∂v(λ)

∂λidλ = 0

Si ∼ Si

1 + εSi2

t s trs ♦♥tr♥ts Si1 t Si

2 ts q

Si1 =

∑

b∈BR

(

Esη(

eb ·∆U1

)

eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

eb⊥)

δib

Si2 =

∑

b∈BR

(

Esη(

eb ·∆U2

)

eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

eb⊥)

δib

♥ ♣t r♣♣r♦r tt r♥èr éqt♦♥ t à ♣rtr s Si ♦♥strr

t♥sr σ ♦♠♠ ♠♦♥tré ♥s s♦sttr

σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

♥ r♣♣ q ♦♥ t ♦① rs ε t η ♥é♣♥♥ts ♥s st♦♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

qr s ♠♦♠♥ts ♦s r♣♣♦♥s éqt♦♥ éqr s ♠♦♠♥ts ♥ ♣ss♥rt éqt♦♥

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

(MO(b)ε.wε (O (b)) +ME(b)ε.wε (E (b)) + εLb(eb ∧Tεb).wε (C (b))

)= 0

♦♥ é♦♣♣ tt éqt♦♥ à s é♦♣♣♠♥ts éqt♦♥ t à ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥ s♥t ♣♦rté ♣r ♥♦r♠ ♣♥ ♦♥séré

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

((

ε2

(

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)0 + φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U1

)

+ε3

(

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lb0eb⊥ ·∆U2

))

.w0

+

(

ε2

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U1

)

+ε3

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)1 + 2

∂φ0

∂λiδib + 2φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U2

))

.

(

w0 + ε∂w0

∂λiδib)

+ εlb0((

ε

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

+ε2(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))))

.

(

w0 +ε

2

∂w0

∂λiδib))

= 0

♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t

♥ ♦s ♥ ♠♣ r♦tt♦♥ rt ♣♦rté é♠♥t ♣r ♥♦r♠ ♣♥ ét q ♣r♠t♦t♥r ♥ éqt♦♥ sr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

ε2

[((

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)0 + φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U1

)

.w0

+

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U1

)

.w0

+Lb0

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

.w0

]

+ ε3

[(

Esη3

(Lb)2

6

(

2φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U2

)

.w0

+

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)1 + 2

∂φ0

∂λiδib + 2φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U2

)

.w0

+ Lb0

(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

.w0

+

(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U1

)

∂w0

∂λiδib

+Lb0

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

.1

2

∂w0

∂λiδib]

+ ε4

[(

Esη3

(Lb)2

6

(

φOR(b)1 + 2

∂φ0

∂λiδib + 2φ

ER(b)1

)

− 1

2Esη

3Lbeb⊥ ·∆U2

)

.∂w0

∂λiδib

+Lb0

(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3Lb

(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

1

2

∂w0

∂λiδib]

= 0

♥ ♦♥stt q♥ ♣rt s tr♠s s s♠♣♥t

∑

vi∈Z2

∑

b∈BR

(

ε3

(

Esη3

(Lb)2

12

(

φER(b)0 − φ

OR(b)0

))

+ ε4

(

Esη3

(Lb)2

12

(

−φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)))

δib.∂w0

∂λi= 0

P♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥ ♣t ♣r♦ér ♦♠♠ ♣♦r s ♦rts ♦s ♣♦♦♥s érrtt r♥èr éqt♦♥ ♣rès ♣ss à ♠t ε→ 0 s♦s ♦r♠

ˆ

Ω

µi∂w0 (λ)

∂λidλ = 0

s trs ♦♣s ♦♥tr♥t

µi ∼ εµi1 + ε2µi

2

t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

µi1 =

∑

b∈BR

ε

(

Esη3

(Lb)2

12

(

φER(b)0 − φ

OR(b)0

))

δib

µi2 =

∑

b∈BR

ε2

(

Esη3

(Lb)2

12

(

−φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

))

δib

♥♦s ♣r♠t rtr♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t m à ♣rtr s trs µi

ts qs s♦♥t érts ♥s s♦s ttr s♦t

m =1

gµi ⊗ ∂R

∂λi

♠♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s ♦t♥s t rés♦t♦♥ s♥♦♥♥s

♥s s♦sttr ♣réé♥t ♦♥ ♠♦♥tré ♦♠♠♥t ♦t♥r s trs ♦rts Si ts trs ♦♣ ♦rts µi ♥ ♣t s♠♣r s ①♣rss♦♥s s ① trs♥ s sr♥t ♥ rést♥t ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rété s②♠étr s trs q ♦♥ ét♥ r♣♣é ♥s ♥ s ♣rr♣s ♥tr♦t♦♥ s♦s ttr q s éqt♦♥s♦♥sttts éstté ♥ér ♠r♦♣♦r s♦♥t ♦r♠

σkl = Aklmnǫmn +Bklmnκmn

mkl = Cklmnǫmn +Dklmnκmn

♥ ♣t s ♣rés♥tr ♥ é♠♥t s♦s ♦r♠

σxσyσxyσyxmxz

myz

=

[[A] [B][C] [D]

]

ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz

♥ ♦♠♣rr à ♦r♠ q ♦♥ ♦t♥t ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ rés♦t♦♥ sét♥t t sr ① ♦rrs sé♣rés s rs ♣r♠r ♦rrun1 t φn

0 s♦♥t ♣r ♦♥strt♦♥ s s②stè♠s ♦♥t♦♥ t♥sr é♦r♠t♦♥ t♥s qs rs s♦♥ ♦rr un

2 t φn1 s♦♥t ♦♥t♦♥ t♥sr ♠r♦♦rr ♦r s♦s

ttr ♥ ♦♥stt q♦♥ ♦t♥t ♥ ♠ê♠ ♦r♠ q s éqt♦♥s éstté♥ér ♠r♦♣♦r

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

σ ∼ 1

g

(Si1 + εSi

2

)⊗ ∂R

∂λi

σ ∼ 1

gSi1 ⊗

∂R

∂λi︸ ︷︷ ︸

[A]ǫ

+1

gεSi

2 ⊗∂R

∂λi︸ ︷︷ ︸

[B]κ

m ∼ 1

g

(µi

1 + εµi2

)⊗ ∂R

∂λi

m ∼ 1

gεµi

1 ⊗∂R

∂λi︸ ︷︷ ︸

[C]ǫ

+1

gε2µi

2 ⊗∂R

∂λi︸ ︷︷ ︸

[D]κ

r été ♠♦♥tré q ♣♦r s ♠① à s②♠étr ♥tr ❬r♦s ♥ s♥ ❪s ♣s♦ t♥srs [B] t [C] s♦♥t ♥s ♦s ♥♦s s♦♠♠s ♦r♥és ♥s tt ét à t②♣ trs q s♥ q s trs µi

1 t Si2 r♥t êtr ♥s ♥♦s ♦♥t à

♥ s♠♣t♦♥ ♥♦t s ①♣rss♦♥s s trs ♦rts t ♦♣ ♦rt

Si ∼ Si1 ∼

∑

b∈BR

(

Esη(eb ·∆U1

)eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3Lb0(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

eb⊥)

δib

∼∑

b∈BR

(N b

1eb + T b

1teb⊥) δib

µi ∼ µi2 ∼

∑

b∈BR

(

ε2

(

Esη3

(Lb)2

12

(

−φOR(b)1 +

∂φ0

∂λiδib + φ

ER(b)1

)))

δib

︸ ︷︷ ︸

∑

b∈BR

1

2ε2

(

ME(b)2 −M

O(b)2

)

δib=∑

b∈BR

M

E(b)2 +ε

Lb

2(eb∧Tb

2)

.e3δib

♥ ♣♦s♥t ♦♥t♦♥ N b1 ♦♠♠ ét♥t ♦♥t♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦t♥ à ♣rtr s

rs♦♥ s②♠♣t♦tq éqt♦♥s ♣rès ♣ss à ♠t ε→ 0 ♥ st ♠ê♠♣♦r s ♦♥t♦♥s T b

1t ♦t♥s à ♣rtr éqt♦♥ tMn2 ♦t♥s à ♣rtr

t ssst s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts t r♦tt♦♥s ♥s s trs Si t µi

s♦♥t s ♦♥t♦♥s é♣♠♥ts un1 un

2 t s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ φn0 t φn

1 ♣s♥♦s ♥♦♥s ♣s t ♣♣rîtr r ♠r♦r♦tt♦♥ φ té♦r ♠r♦♣♦r rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s t ♥tt♦♥ φ r♦♥t ♦t s♦sttr s♥t

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

és♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts t r♦tt♦♥s♥tt♦♥ φ

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ①♣qé ♥s st♦♥ ♣réé♥t ssst s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts un

1 un2 t r♦tt♦♥ φn

1 φn0 ♥ ♥ ♣s ♥♦r ♥té r

♠r♦r♦tt♦♥ φ ♥ ♣t tsr ♥ rs♦♥♥♠♥t s♠r à t ♥s ♣tr ①s ér♥s ♦♥r♥♥t ♥♦♠r ♥♦♥♥s t t q s ①♣rss♦♥s r♦r♥t♥ ① ♦rrs r♥r ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♥ sér ♥♦♥♥s s♣♣é♠♥trss r♦tt♦♥s t ♣♦r q ♣r♦è♠ s♦t ♥ ♣♦sé ♥ sér éqt♦♥s s♣♣é♠♥trss sr♦♥t ♦r♥s ♣r éqr s ♠♦♠♥ts s éqt♦♥s r♦r♥t ① ♦rrs st♦♥ ♥éssr q s②stè♠ s♦t éqré à s ① ♦rrs

♥ ♥♦tr q ♥♦s ♥ ♦♥♥ss♦♥s ♣s ♥s s é♥ér ♦♥r ♠r♦s♦♣q L♥ r ♣tt ♣r♠ètr ε ♣r ♦♥tr ♦♥ s ♦♥♥ s♦♥t r ♦♥r ♠r♦s♦♣q l ♦♥r s éé♠♥tr à é ♠r♦s♦♣q ♦♠♠♥♦s ♦♥s ♣♦sé r♣♣♦rt ε ♦♠♠ ét♥t l = εL ♥♦s r♠♣r♦♥s ♥s s é♦♣♣♠♥tsq s♥t εL ♣r l

P♦r q st éqr s ♦rts ♦♥ ♣t à ♥♦ ♦♠♠♥r ♣r s éqt♦♥s ♦♠♠ trs st ♥ éqr éé♠♥tr st ss ♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥sérr

∑

b∈BR

Tbε.(vε (E (b))− vε (O (b))) = 0

∑

b∈BR

(Neb + Tte

b⊥) · (v (E (b))− v (O (b))) = 0

♦♠♠ tt éqt♦♥ st sr ① ♦rrs ♦♥ rés♦r sr q ♦rr

∑

b∈BR

(N b

1eb + T b

1teb⊥) .(v (E (b))− v (O (b))) = 0

∑

b∈BR

(N b

2eb + T b

2teb⊥) .(v (E (b))− v (O (b))) = 0

♦ ç♦♥ ♣s é♦♣♣é

∑

b∈BR

(

Esη(eb ·∆U1

)eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U1 −

1

2Esη

3lb0(

φOR(b)0 + φ

ER(b)0

))

eb⊥)

· (v (E (b))− v (O (b))) = 0

∑

b∈BR

(

Esη(eb ·∆U2

)eb +

(

Esη3eb⊥ ·∆U2 −

1

2Esη

3lb0(

φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0

∂λiδib))

eb⊥)

·(v (E (b))− v (O (b))) = 0

♦♠♠ s tsss rts v(.) s♦♥t ♣r♦r q♦♥q ♥ s éqt♦♥s sé♦♣♣ ♥ t♥t éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts q ♥♦s ♥s éé♠♥trs♦t ① ♦s n éqt♦♥s t♦rs ♦ 4n éqt♦♥s srs n ét♥t ♥♦♠r ♥♦s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

éé♠♥tr ♥ rs♦♥♥r ♠ê♠ ç♦♥ ♣♦r s ♠♦♠♥ts à ♣rtr éqt♦♥ ♣♣qé à éé♠♥tr t s♥t s ① ♦rrs sért

∑

b∈BR

(

MO(b)1 .w (O (b)) +M

E(b)1 .w (E (b))

)

= 0

∑

b∈BR

(

MO(b)2 .w (O (b)) +M

E(b)2 .w (E (b))

)

= 0

♦ ç♦♥ é♦♣♣é

∑

b∈BR

((

kbflb

6

(

Lb(

2φOR(b)0 + φ

ER(b)0

)

− 3eb⊥ ·(∆Ub

1

)))

e3

)

.w (O (b))

+

((

kbflb

6

(

lb(

φOR(b)0 + 2φ

ER(b)0

)

− 3eb⊥ ·(∆Ub

1

)))

e3

)

.w (E (b)) = 0

∑

b∈BR

((

kbflb

6

(

lb(

2φOR(b)1 + φ

ER(b)1 +

∂φ0(λε)

∂λiδib)

− 3eb⊥ ·(∆Ub

2

)))

e3

)

.w (O (b))

+

((

kbflb

6

(

lb(

φOR(b)1 + 2

(

φER(b)1 +

∂φ0(λε)

∂λiδib))

− 3eb⊥ ·(∆Ub

2

)))

e3

)

.w (E (b)) = 0

♦♠♠ s t① r♦tt♦♥s rts w(.) s♦♥t ♣r♦r q♦♥q s éqt♦♥s sé♦♣♣♥t ♥ t♥t éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts q ♥♦s ♥s éé♠♥trs♦t ① ♦s n éqt♦♥s srs ♠♣ r♦tt♦♥ rt w(.) st ♦♥ér à e3n ét♥t ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr

♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr φn0 ♦♥ ♦♥sttr q s

♥♦♥♥s s♦♥t ♦♥t♦♥s s tr♠s t♥sr é♦r♠t♦♥ [ǫ] ♥ ♣t s♥r t♥sr é♦r♠t♦♥ ♥ ① ♣rts ♥ ♣rt s②♠étrq t ♥ ♥ts②♠étrq ♥ ♥trφ r ♠r♦r♦tt♦♥ ♦♠♦é♥ésé à tt ♣rt ♥ts②♠étrq ♥ ♥♦s♦♥♥

φn0 = ciǫ

i

︸︷︷︸

φn0

+ diǫi

︸︷︷︸

φ

♦rt♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r t♦♠tq

♥ r♣r♥ s éqt♦♥s t ♥ sr ① ♦rrs ér♥ts P♦r♥ s ♦rrs ① sérs n éqt♦♥s éqr ♦rt t ♠♦♠♥ts ♦♥t sé♦♣♣r

♣r♠r ♦rr

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

∑

b∈BR, ER(b)=1

N b1e

b + T b1te

b⊥ +∑

b∈BR, OR(b)=1

−N b1e

b − T b1te

b⊥ = 0

... ∑

b∈BR, ER(b)=n

N b1e

b + T b1te

b⊥ +∑

b∈BR, OR(b)=n

−N b1e

b − T b1te

b⊥ = 0

∑

b∈BR, O(b)=1

MO(b)1 +

∑

b∈BR, E(b)=1

ME(b)1 = 0

... ∑

b∈BR, O(b)=n

MO(b)1 +

∑

b∈BR, E(b)=n

ME(b)1 = 0

♥s♠ s éqt♦♥s à ♦tt à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦r♠

[M1]

u11...un1v11...vn1φ10

...φn0

=

q11...q3n1

[M1] ♠tr t 3n × 3n n ♥♦♠r ♥♦ réér♥ ui1

t vi1 s ♥♦♥♥s tr é♣♠♥t ui1 =

[ui1vi1

]

♥♦ i ♣r♠r ♦rr φi0 s

♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♥♦ i ♣r♠r ♦rr t qi1 ∈

0,∂u

∂x,∂v

∂y,∂u

∂y,∂v

∂x

s ♦♥♥és

♣r♦è♠ és ① ♦♥t♦♥s t♦éqr t♥t ♦♥♥é ♦r♠ s②stè♠

♥ér ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ui1 vi1 t φi

0 sr♦♥t ♦♥t♦♥

∂u

∂x,∂v

∂y,∂u

∂y,∂v

∂x

st à r ♦♥t♦♥ t♥sr é♦r♠t♦♥ [ǫ] s♦♥ ♦rr

∑

b∈BR, ER(b)=1

N b2e

b + T b2te

b⊥ +∑

b∈BR, OR(b)=1

−N b2e

b − T b2te

b⊥ = 0

...∑

b∈BR, ER(b)=n

N b2e

b + T b2te

b⊥ +∑

b∈BR, OR(b)=n

−N b2e

b − T b2te

b⊥ = 0

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

∑

b∈BR, O(b)=1

MO(b)2 +

∑

b∈BR, E(b)=1

ME(b)2 = 0

...∑

b∈BR, O(b)=n

MO(b)2 +

∑

b∈BR, E(b)=n

ME(b)2 = 0

♥s♠ s éqt♦♥s à ♦♥t à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦r♠

[M2]

u12...un2v12...vn2φ11

...φn1

=

q12...q3n2

[M2] ♠tr t 3n × 3n n ♥♦♠r ♥♦s réér♥

ui2 t vi2 s ♥♦♥♥s tr é♣♠♥t ui2 =

[ui2vi2

]

♥♦ i s♦♥ ♦rr φi1

s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♥♦ i s♦♥ ♦rr t qi2 ∈

0,∂φ

∂x,∂φ

∂y

s ♦♥♥és

♣r♦è♠ t♥t ♦♥♥é ♦r♠ s②stè♠ ♥ér ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ui2 vi2

t φi1 sr♦♥t ♦♥t♦♥

∂φ

∂x,∂φ

∂y

st à r ♦♥t♦♥ t♥sr ♦rr [κ]

♥ r♣♣ q s ♠♦s rrs s♦♥t kbl = Esη t kbf = Esη3

♦s ♦♥s ♥ ôté s ① sérs 3n éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts s♦t 6n éqt♦♥s t♦t t ♥ tr ôté 6n ♥♦♥♥s ① ♦s 2n ♥♦♥♥s é♣♠♥t t n ♥♦♥♥s r♦tt♦♥s rés♦t♦♥ st ♣♦ss P♦r s♠♣r ♥tt♦♥ φ r ♠r♦r♦tt♦♥ ♠r♦♣♦r ♦♥ ♦♠t s ①♣rss♦♥s éqr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s♣s ♦♥ ♥t ♣♦str♦r ♥s ♥ s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr♣rès ♦r rés♦ s ♥♦♥♥s ♦♥ ♦♥sr s ①♣rss♦♥s s ♦rts ♣r♠r ♦rrN b

1 , Tb1t ♣♦r ♦♥strr s trs ♦rts Si t ♦♥ ♦♥sr s ①♣rss♦♥s ♠♦♠♥ts

s♦♥ ♦rr ME(b)2 , M

O(b)2 ♣♦r ♦♥strr s trs ♦♣ ♦♥tr♥t µi s

① sérs trs srr♦♥t ♥ ♣♦r ♦t♥r t♥sr ♦♥tr♥t t tr ♣♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ ♦♠♣t s rtr♦♥s ♦rt♠ st ♠♥tr ♣r ♥ r t①t ér♥t é♦♠étr t

♦♠♠ st ①♣qé ♥s st♦♥ ♦♥ rt é♠♥t ♣ tsr ♦r♠t♦♥ éq

♥t kbl =EsS

lb t kbf =

12EsIb

(lb)3

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

trs ♠r♦s♦♣q

n1

Y2

Y1

b1

b2

i

j

l

s trs rré

r trs rré

s rtérstqs ♠é♥qs ♠tér ♦♥stt♥t trs ♥térêt ♦r ♥ ♦ t♦♠tq st ♣♦ssté trtr ♣r♦r ♥♠♣♦rt q trs ré♣étt♥tr♦s②♠étrq s ♠ts ♥ét♥t q s ♠ts ♣ ♥ r♥♦ tr♥térssé ♣r ét ♣r♦r♠♠t♦♥ à ♥♥① ♦ù ♦ s♦r ♣ ss t♦rt♠ st é♦♣♣é

①♠♣s ♣♣t♦♥s

P♦r strr ♠ét♦ ♥♦s ♦♥r♦♥s ç♦♥ été sr ① ①♠♣sssqs trs rré t trs ①♦♥

trs rré

♦s ♦♥s t♦t ♦r ♣♣qr ♠ét♦ ♣réé♥t à ♥ trs s♠♣ ♥ trs rré ♦r r

♦s ♦♥s ① ♣♦trs ♦♥r lb = l s ① trs rtrs s ♣♦trs s♦♥t♦rs

e1 = (1, 0)T e2 = (0, 1)T

♥ ♣♦s tr é♣♠♥t u0 =

[uv

]

t φ ♠r♦r♦tt♦♥ ♦♥t r♥t ♥

♦♦r♦♥♥és r♥s st

P♦r étr s ♦♥s♦♥s ♥♦tt♦♥ s trs ♣ eλi s st♦♥s ♣réé♥ts sr♦♥t ♥♦tésYi s♦♥t s trs ♥trs ♥s r♣èr r♥ér ♠s s ♦♥t ♥ ♥♦r♠ Li ♥s r♣èrrtés♥ s trs ♥trs r♣èr rtés♥ s♦♥t ♥♦tés ei = (i, j,k)

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥tst♦♥ s t① ♦♥♥és é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣ss xR→ x(λ) s ♥♦♥♥s sr♦♥t s

qtr sérs rs un1 un

2 φn0 t φn

1 n ∈ NR

r♥s♦r♠t♦♥ s ①♣rss♦♥s

(

∂U

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→(

∂U

∂λi

)

(i,j)

t

(

∂φ

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→(

∂φ

∂λi

)

(i,j)

tt ét♣ st t s

♦♥ ts ♥ ♦ st♥r ♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t t♦r st ①♣r♠é ♥s ♥ r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é ssq ♦♥♦♠t tt ét♣ t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦♣ér♥t sr s trs t t♥srs ♦♥t êtr é♥s ♣♦r s ♦♦r♦♥♥ésr♥érs

♥tst♦♥ s t① éqt♦♥s equ1[1..Nmax] equ2[1..Nmax] t equ3[1..Nmax] t equ4[1..Nmax] Nmax ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr equ1 t equ4 s♦♥t s ♣r♠rs ♠♠rs éqt♦♥s t♦rs equ2 tequ3[1..Nmax] s♦♥t s ♣r♠rs ♠♠rs éqt♦♥s srs

P♦r q ♣♦tr b ∈ BR

E := ER(b) O := OR(b)

∆Ub1 := uE

1 −uO1 +

∂U

∂λiδi kl := Esη t kf := Esη3 ♥ r♣♣ q ♦♥ rt ♣ tsr ♠ê♠ ♠♥èr

kl := Est

lbt kf := Es

t3(

lb)3

N1 := kl(

eb ·(

∆Ub1

))

T1t := kf

(

eb⊥ ·(

∆Ub1

)

− Lb

2

(

φO0 + φE

0

)

)

MO1 := kf

lb

6

(

lb(

2φO0 + φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub1

))

ME1 := kf

lb

6

(

lb(

φO0 + 2φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub1

))

equ1[E(b)] := equ1[E(b)]+Nb1e

b+T b1te

b⊥ equ1[O(b)] := equ1[O(b)]−Nb1e

b−T b1te

b⊥ st ♦♥strr ♣r♠r ♠♠r q éqt♦♥

equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1 equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO

1

♦♥strt♦♥ ① s②stè♠s éqt♦♥s 3Nmax ♥s t♦t[

equ1]

=

[

00

]

...[

00

]

[

equ2]

=

0...0

és♦t♦♥ s ① s②stè♠s ♣♦r s rs un1 t φn

0

♥tt♦♥ φ =1

2

(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

♥s s rs r♦tt♦♥ φn0

rt♠♥t s♦♥ ♦rr ♥tq ① ♣♦♥ts à ♠s s rs un2 t φn

1 t s éqt♦♥s s♥ts

∆Ub2 := uE

2 − uO2

N2 := kl(

eb ·(

∆Ub2

))

T2t := kf

(

eb⊥ ·(

∆Ub1

)

− lb

2

(

φO1 + φE

1 +∂φ

∂λiδi))

MO2 := kf

lb

6

(

lb(

2φO1 + φE

1 +∂φ

∂λiδi)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub2

)

)

ME2 :=

kflb

6

(

lb(

φO1 + 2

(

φE1 +

∂φ

∂λiδi))

− 3eb⊥ ·(

∆Ub2

)

)

①♣rss♦♥ s trs ♦♥tr♥ts Si =∑

b∈BR

(

Nb1e

b + T b1te

b⊥)

δib t ♦♣s ♦♥tr♥ts µi =

∑

b∈BR

1

2

(

ME(b)2 −M

O(b)2

)

δib

t♥sr ♦♥tr♥t σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λit t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t m =

1

gµ

i ⊗ ∂R

∂λi

♦♥strt♦♥ ♠tr rr [K] t q

σx

σy

σxy

σyx

mxz

myz

= [K]

ǫxǫyǫxyǫyxκxz

κyz

♣s ♠tr s♦♣ss [S] =

[K]−1

①trt♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ♠r♦♣♦rs t trs ♦♥st♥ts à ♣rtr s ♠trs rr t s♦♣ss

µ∗, κ à ♣rtr

µ∗ + κ = K33

µ∗ = K34 γ = K55

G∗ = µ∗ +κ

2E∗

1 =1

S11 ν∗12 = −S21 · E∗

1

♦♥r rtérstq t qγ

♦♥t ♦♣ t qκ

♦rt♠ ♦rt♠ trt♠♥t t♦♠tsé ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ♠r♦♣♦r

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♣♦tr ♣♦tr

δ1 δ2

sr♣t♦♥ ♦♥♥tté trs rré

∂u0(λ)

∂λi=

∂u

∂λi∂v

∂λi

(Y1,Y2)

∂φ

∂λi (Y1,Y2)=

∂φ

∂λi

st ♣réér ♥ ♠♥èr é♥ér ①♣r♠r s ♦♦r♦♥♥és ♥s s rtés♥♥ t ♦♥rtr s érés r♥s ♥s s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és rtés♥ ♣r♠t s♠♣r ♦ ♣ ♥s s s ♣r♦ts srs ♥st ①♠♣ s♠♣ ♦♥t♦♥ ♥♠♥t ♦♦r♦♥♥és ♥tr s ① r♣èrs tR = [ lλ1

︸︷︷︸

x

, lλ2︸︷︷︸

y

](i,j) ♦♥ ♦t♥t ♥s r♣èr rtés♥

∂u0(λ)

∂λ1=

l∂u

∂x

l∂v

∂x

(i,j)

∂u0(λ)

∂λ2=

l∂u

∂y

l∂v

∂y

(i,j)

∂φ

∂λ1 (Y1,Y2)= l

∂φ

∂x (i,j)∂φ

∂λ2 (Y1,Y2)= l

∂φ

∂y (i,j)

♥ ♣t ♦r trs s♦s ♦r♠ ♥ t ♦r t s ♥♦s♦r♥ t ①tré♠té ♥s q s rs s δi ♦rrs♣♦♥♥ts

♦♥ r♣r♥ s éqt♦♥s t ♥s s trs rré ♦♥ ♦t♥t ♣r♠r ♦rr

N11 = kl

∂u

∂x N2

1 = kl∂v

∂y T 1

1t = kf

(

l∂v

∂x− lφ1

0

)

T 21t = kf

(

−l ∂u∂x

− Lφ10

)

ME(1)1 =

kf l2

2

(

φ10 −

∂v

∂x

)

MO(1)1 =

kf l2

2

(

φ10 −

∂v

∂x

)

ME(2)1 =

kf l2

2

(

φ10 +

∂u

∂y

)

M b2O =

kf l2

2

(

φ10 +

∂u

∂y

)

♥ r♣♣ s ♠♦s rrs ♥ ①t♥s♦♥ t ①♦♥ s♥ts kl = Esη =Est

b

lb

kf = Esη3 =

12EsIz

(lb)3

② ♥ s ♥♦♥♥ ♥s s éqt♦♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr ♥♦ φ10

q ♣rès rés♦t♦♥ ♥t

φ10 =

1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥tt♦♥ φ r r♦tt♦♥ ♠r♦♣♦r st ♠♠ét φ10 =

1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

=

φ s♦♥ ♦rr ♦♥ ♦t♥t

N12 = 0 N2

2 = 0 T 12t = −kf l

2

(

2φ11 + l

∂φ

∂x

)

T 22t = −kf l

2

(

2φ11 + l

∂φ

∂y

)

ME(1)2 =

kf l2

6

(

3φ11 + 2l

∂φ

∂x

)

MO(1)2 =

kf l2

6

(

3φ11 + l

∂φ

∂x

)

ME(2)2 =

kf l2

6

(

3φ11 + 2l

∂φ

∂y

)

MO(2)2 =

kf l2

6

(

3φ11 + l

∂φ

∂y

)

s♦♥ ♦rr ♥② é♠♥t q♥ r φ11 q ♣rès rés♦t♦♥ t

φ11 = − l

4

(∂φ

∂x+∂φ

∂y

)

♥ ♣t ♠♥t♥♥t ①♣r♠r s trs Sit µi à ♣rtr s éqt♦♥s t

S1 =

kll∂u

∂x

kf l

(∂v

x− φ

)

S2 =

kf l

(∂u

y− φ

)

kll∂v

∂y

µ1 =

0

0

kf l3

12∂φ∂x

µ2 =

0

0

kf l3

12∂φ∂y

♥♦s rst à ♦t♥r s ① t♥srs à ♣rtr s rt♦♥s t

σ =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

m =1

gµi ⊗ ∂R

∂λi

♥ r♣♣ q R = lλ1︸︷︷︸

x

i + lλ2︸︷︷︸

y

j ♥ ♦t♥t∂R

∂λ1=

[l0

]

t∂R

∂λ2=

[0l

]

t

étr♠♥♥t ♠tr ♦♥♥♥ g = l2 ♦s ♣♦♦♥s ♠♥t♥♥t é♦♣♣r t♥sr s ♦♥tr♥ts

σ =1

l2

(

S1 ⊗ ∂R

∂λ1+ S2 ⊗ ∂R

∂λ2

)

=

kl

∂u∂x

kf

(∂u∂y

+ φ)

kf(∂v∂x

− φ)

kl∂v∂y

♠ê♠ ç♦♥ ♦♥ ♦t♥t t♥sr ♠ st s♠♣♠♥t ♥éssr ét♥r ♦♥t♦♥ ♣ss s ♦♦r♦♥♥és r♥s à ♠♥s♦♥ ♦rs ♣♥ ♥ ♦♥sér♥tq ♥♦r♠ ♣♥ s♣♣♦rt s trs ♠♦♠♥ts µi st ♥tq ♥ ♦♦r♦♥♥ésr♥s t ♥ ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ♦s ♦♥sér♦♥s q trs ♥ é♣ssr♥té à ♦s ♥s s②stè♠ r♥ t ♥s s②stè♠ rtés♥ ♦s ♦t♥♦♥s ♦rs♥ ♦♥t♦♥ ♥♠♥t ♦♦r♦♥♥és

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

R = lλ1︸︷︷︸

x

i+ lλ2︸︷︷︸

y

j+ λ3︸︷︷︸

z

k

m =1

l2

(

µ1 ⊗ ∂R

∂λ1+ µ2 ⊗ ∂R

∂λ2

)

=

0 0 0

0 0 0

kf l2

12∂φ∂x

kf l2

12∂φ∂y

0

ré ♦r♠ t♥sr ♦t♥ ss s ① ♦♠♣♦s♥ts m31 t m32 ①st♥t ♥s♥ ♣r♦è♠ ♣♥ ♦♠♠ ①♣qé ♥s ♥tr♦t♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥ ♥é♥r ♦♥ ♣térr ♦ ♠r♦♣♦r s♦s ♦r♠ ♦♥♥sé

σ =

σxσyσxyσyxmxz

myz

= [K]

ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz

= [K]

∂u∂x∂v∂y

∂v∂x

− φ∂u∂y

+ φ∂φ∂x∂φ∂y

[K] ♠tr rté é à

[K] =

klkl

kfkf

kf l2

12kf l

2

12

=

Esη 0 0 0 0 0

0 Esη 0 0 0 0

0 0 Esη3 0 0 0

0 0 0 Esη3 0 0

0 0 0 0 l2Esη3

120

0 0 0 0 0 l2Esη3

12

=

Estl

Estl

12EsIzl3

12EsIzl3

EsIzl

EsIzl

=

K11

K22

KK44

K55

K66

♦s ♥♦♥s ♥ q tr♦s ♠♦s rté ér♥ts K11 = K22K33 = K44 tK55 = K66 ♥ ♣t ♦t♥r ès ♦rs s ♠♦s ♠é♥qs ♠♦ ❨♦♥ st trét♥t ♦♥♥é q trs st ♦rt♦tétr♦♥ ss s ♣♦trs ♥s ① r♠♥ttr♥t st ♦♥ ♦q♠♥t rr ♥ ♣♦tr q ♣♣rît

E∗1 = E∗

2 = kl = Es η =Es t

l

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

1 2

3

n1

n2

n1

n1

Y1

Y2

r ②♠étrst♦♥ s

♦♥t P♦ss♦♥ st ♥

ν12 = ν21 = 0

s ♠♦s ♠r♦♣♦rs κ t µ∗ s①♣r♠♥t s♦♥

κ = kf = Es η3 = 12

Es Iz

l3

µ∗ = 0

♠♦ s♠♥t éq♥t ♥ éstté ssq t

G =kf2= Es η3

2= 6

Es Iz

l3

♠♦ rr s ♠r♦♦rrs st ♥tq ♣♦r s ① ①s

γ =kf l

2

12=EsIzl

♥ ♣t r♠rqr q s ♠♦s ♦♥t ♥ s ♠ê♠s ♠♥s♦♥s q s té♦r♠r♦♣♦r ♥ ♦tr s ♦♥st♥ts s♥ts és à rt♥s éqt♦♥s té♦r ♠r♦♣♦r

♦♥r rtérstq L2cara =

l2

24

♦♥t ♦♣ N2coupl = 1

2 ♦♥t ♦♣ ♥st ♣s é à

♣r♦♥t q ♥♦s ♥ s♦♠♠s ♣s ♥s s ♥ té♦r ♦♣ strss ♠s ♥♥s s ♥ té♦r ♠r♦♣♦r

trs ①♦♥ ♣♣é ss ♥

r ♠♦♥tr é♥t♦♥ é♦♠étrq trs

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♣♦tr

δ1 δ2

♦♥♥tté trs ①♦♥

q ♣♦tr ♥ ♦♥r l s ♦♥rs ♣s ♥♦r♠ Y1 t Y2 ♥s r♣èr rtés♥ s♦♥t l1 = l2 =

√3l s trs rtérstqs trs ♣♥t êtr

s②♥tétsés ♥s t ♦♥♥tté

♦s ♣♦sr♦♥s s ♠♦s rrs ① t ①♦♥♥ s♥ts kf = Esη3 =

12Es Izl3

t kl = Esη =Es t

l ♥ ♣r♦é♥t à ♦♠♦é♥ést♦♥ à ♦

♦♥ ♦t♥t ♣♦r t♥sr ♦♥tr♥t

[σ] =

kl√3(kl

∂u∂x

+3 kf∂u∂x

+kl∂v∂y

−( ∂v∂y )kf )

6(kl+kf )

kf√3(kl ∂v

∂x−kf

∂v∂x

+kf∂u∂y

+3 ( ∂u∂y )kl+2φ kl+2 kf φ)

6(kl+kt)

kf√3(3 kl

∂v∂x

+( ∂u∂y )kl+kf

∂v∂x

−kf∂u∂y

−2φkl−2 kf φ)

6(kl+kf )

kl√3(kl ∂u

∂x−kf

∂u∂x

+kl∂v∂y

+3 ( ∂v∂y )kf)

6(kl+kf)

t ♣♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t

m =

0 0 0

0 0 0√3l2kf36

∂φ∂x

√3l2kf36

(∂φ∂y

)

0

♥♦tt♦♥ ♦♥♥sé ♦♥ ♦t♥t ♠tr rr

♥ r♣♣ q m st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠tr ① à s ♣r♦éé ♠s s s♦♥ts s ♦♥ts m31t m32

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

[K] =

√3kl (kl+3 kf)6(kl+kf )

√3kl (kl−kf)6(kl+kf )

0 0 0 0√3kl (kl−kf)6(kl+kf )

√3kl (kl+3 kf)6(kl+kf )

0 0 0 0

0 0√3kf (kf+3 kl)6(kl+kf )

√3kf (kl−kf)6(kf+kf )

0 0

0 0√3kf (kl−kf)6(kf+kf )

√3kf (kf+3 kl)6(kl+kf )

0 0

0 0 0 0√3kf .l

2

360

0 0 0 0 0√3kf .l

2

36

[K] =

1

6

√3Es η (1+3 η2)

1+η2 −1

6

√3Es η (−1+η2)

1+η2 0 0 0 0

−1

6

√3Es η (−1+η2)

1+η2

1

6

√3Es η (1+3 η2)

1+η2 0 0 0 0

0 01

6

√3Es η3(3+η2)

1+η2 −1

6

√3Es η3(−1+η2)

1+η2 0 0

0 0 −1

6

√3Es η3(−1+η2)

1+η2

1

6

√3Es η3(3+η2)

1+η2 0 0

0 0 0 0 Esη3√

3l2

360

0 0 0 0 0 Esη3√

3l2

36

♥ rtr♦ s ♦♥ts q ♦♥ t és ♥s ♣tr ♦♠♦é♥ést♦♥♥♦♥ ♣♦r ♦r♠s s ♦♥ts K55 t K66 q ♥①st♥t ♥ sûr q ♣♦r ♥ ♠♠r♦♣♦r ♥ ♣t trr tt ♠tr s ①♣rss♦♥s s ♠♦s ♦♠♦é♥ésés ♥♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs trs

µ∗ =1

6

√3kf (kl − kf )

kl + kf= −

√3Es η3 (−1 + η2)

6 (1 + η2)= −2

Iz Es (−tl2 + 12 Iz)√3

l3 (tl2 + 12 Iz)

κ =kf√3

3=

Es η3√3

3= 4

√3Iz Es

l3

E∗ =4(kfkl

√3)

3 (kl + 3kf )== 4/3

Es η3√3

1 + 3 η2= 16

√3Es Iz t

l (tl2 + 36 Iz)

ν =kl − kfkl + 3kf

= −−1 + η2

1 + 3 η2= −−tl2 + 12 Iz

tl2 + 36 Iz

G∗ =1

3

klkf√3

kl + kf=

Es η3√3

3 (1 + η2)= 4

√3Es Iz t

l (tl2 + 12 Iz)

γ =

√3kf .l

2

36=

√3Iz Es

3 l

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

l2cara =l2 (kl + kf )

48kl=l2 (1 + η2)

48

N2 =kl + kf3kl + kf

==1 + η2

3 + η2

♥ r♠rq q s ♠♦s s♦♥t ♦♠♦è♥s q♥t ① ♠♥s♦♥s ♣r r♣♣♦rt à qst é♦qé ♥s té♦r ♠r♦♣♦r ♥ rtr♦ s ♠ê♠s réstts q Pr ♥sPr ♥ ❬❪ ♥s q ♠r t ♦ ♥s ♠r ♥ ♦ ❬❪ qts♥t s ♠ét♦s é♥rétqs ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ts s②♠étr ♣rtèr ♠ strt♦♥ s ♥♦s à s tr♦♥t s tr♠s ♦♠♣é♠♥trs és r♥t é♦r♠t♦♥ s trs ts♥t s é♦♣♣♠♥ts ②♦r s♦♥♦rr ♣♦r s é♣♠♥ts

ê♠ s ♦♥ rtr♦ s réstts ♥tqs à ① trs trs ♦♥ ♣t q♥♠ê♠ r ♥ ért♦♥ qs ♥ r♣r♥♥t ♣r♥♣ s tsts s♦♦ ❬❪♦r r ♣♦r ♠♦ s♠♥t ♠♦ ①♦♥ ♣r γ sr éé♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ s♠♣é ①♦♥ s♠♣ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♦r♥♥①

❱ért♦♥s s ♠♦s ♦t♥s

♦t tt ♣rt st érr té s ♠♦s ♦t♥s ♥ s♥t s ①♣ér♠♥tt♦♥s ♥♠érqs ♣r éé♠♥t ♥ ♥ ç♦♥ é♥ér ♦♥ r s tsts ①t②♣s é♥t♦♥s s♦t ♥ rré 16 × 16 s s s♦t ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦rstàr ♥ ♠r♦strtr ♥ trs ♥ ♦s ♥ é♥ér ♥ ♥♦♠r ss♣érr à ♣r ôtés ♣♦r ♠♥r s ts ♦rs ❬r ♥ ❱r ❪

st ♥ s♠♥t ♣r trs rré

♥ r♣rs ♣r♥♣ s tsts s♦♦ ❬❪ ♣♦r ♠♦ K33 s ♣r♠ètrs s tsts s♦♥t ①♣qés ♥s r ♣r♥♣ tst ♥ s♠♥t ♣r ♦♥sstà ♣♣qr sr s s térs trs ♦♣♣♦sés ① à ① ♥ ♦rt ♥éq s♠♥t ♦♠♠ ♥② q♥ s ♥♦ ♣r éé♠♥tr ♥s s trsrré r♦tt♦♥ φ é à éé♠♥tr ♦♠♦é♥ésé té♦r ♠r♦♣♦r st r♦tt♦♥ s ♥♦ s t ♥st ♣s ès ♦rs q ② ♣srs♥♦s ♣r éé♠♥tr

s tsts ♦♥t été t ♥ éé♠♥ts ♥s sr qs ♥ ♦sss♥t s éé♠♥ts ♣♦trs t②♣ rr♥♦ ♥s ♦ qs qtr éé♠♥ts ♣r ♣♦trs s♦♥t♦♥s ① ♦rs s♦♥t ♥qés sr r ♥ ♠♣♦s ① ♦rs ♥ r♦tt♦♥♥ t ♥♦ s à st ♥stré ♠tér tsé ♣♦r s s♠t♦♥s st ♠♥♠ ♣r♦♣rétés éstqs Es = 72000P ν = 0, 33 t é♥t♦♥ st ♠♠ ôté ♥ trs 16×16 s s ♣♦trs ♦♥t ♥ ♦♥r l = 0, 0625♠♠ t ♥ rr t = 0, 005 ♠♠ ♣♦r rr ♥ r♣♣♦rt l/t ss③ r♥ P♦r ♠♥r ♥

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

Fcis

Fcis

Fcis

Fcis

Cisaillement purMicrorotation pure

Fcis

Fcis

Fcis

Fcis

r Pr♥♣ s tsts ♣♦r ♠♦ K33 ♠tr rr ♠r♦♣♦r

♣ ♣s s ts ♦rs ♦♥ ♠♦é rr s ♣♦trs sr s ♦rs ♣♦r ♦♥srr♦♠♥t ♥ ♠ê♠ rté ①♦♥ ② ① ♣♦trs sr q ♦r ♦♣♣♦sé q♦♥t ssrr ♠ê♠ rté ①♦♥♥ q♥ s ♣♦tr rté ①♦♥♥ st♦♥t♦♥ Iz = t3

12 ♣♦r q ① ♣♦trs ♥t ♠ê♠ rté q♥ s t q

r rr s♦t t′ =3

√

t3

2= 0, 003968♠♠

♥ r ♥ ♦rt ♥ s♠♥t ré♣rt ♣r ôtés s♠♥t ét♥t♥tq σxy = σyx ♦♥ ♦♥stt sr r q ② ♥ s♠♥t ♣r ♠s♥s ♠r♦r♦tt♦♥ ① ♥♦s q étt tt♥ ♥♦s ♣r♠ttr ①♣r♠r rt♠♥t ♦♥tr♥t s♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦r♠t♦♥ s♠♥t ♣rès

♠tr ♦♥ rt ♦t♥r σxy = K33εxy = K33(∂v

∂x− φ) s♦t ♦♠♠ φ = 0 ♥s

s r♠♥t

σxy = K33∂v

∂x

⇒ K33 =σxy

∂v/∂x

♦♥tr♥t s♠♥t é à ♦rt ré♣rt sé ♣r ♦♥r σxy =11♠♠

= 1P t é♦r♠t♦♥ s♠♥t é é♣♠♥t sé ♣r ♦♥r

♥s ♥♦tr s♠t♦♥ st é♣♠♥t ♥♦ ♥ s à r♦t ♦r r

s é♣♠♥ts s♦♥t ♥♦tés Ui ♥s qs i rt♦♥ ♦♥∂v

∂x=U2(n1)

1♠♠

♥s qs st r ❯ q st r r♦tt♦♥ st ♥ r ♦♥t♥ sr rés ♣♦tr ♠s st ♥q♠♥t ① ♥♦s q tt r ♦rrs♣♦♥ à φ

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

rotation nulle imposée

déplacement nul imposé

n1

n2

e1

e2

r ♦♥t♦♥s ① ♦rs ♦rs tst ♥ s♠♥t trs rré

é♦r♠t♦♥ K33(homogen.) K33(Abaqus) ért ♥ s♠♥t∂v

∂x=U2(n1)

1♠♠12EsIz

l3=

σxy∂v/∂x

2, 711× 10−2♠♠ P P

♦♠♣rs♦♥ s réstts ♦rs tst trs rré ♥ s♠♥t ♣♦r ♠♦ K33 ♥tr r ♦♠♦é♥ésé t ♣r

♥ rt ♣ rs♦♥♥r ♠ê♠ ♠♥èr ♠♦ K44 t é♣♠♥t U1(n2)s réstts s♠t♦♥ s♦♥t

U2(n1) = 2, 711 × 10−2♠♠ q ♥trî♥∂v

∂x=U2(n1)

1♠♠= 2, 711 × 10−2 t ♠♦

K33 st♠é ♣r qs K33(Abaqus) =σxy

∂v/∂x=

1

2.711× 10−2= 36, 88P ♥ ♣t ♦♠

♣rr réstt à q ♥♦s ♦♥♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ K33(homogen.) =12EsIz

L3 = Esη3 =

72000

(0.005

0.0625

)3

= 36.86P ♥ ♣t ♦♥ r♠r q ♦♥ ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥

①♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♠♦

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

UR3

-4.344e-02

-3.620e-02

-2.896e-02

-2.172e-02

-1.448e-02

-7.239e-03

+5.588e-09

+7.239e-03

+1.448e-02

+2.172e-02

+2.896e-02

+3.620e-02

+4.344e-02

2

r ❱r r♦tt♦♥ ❯ ♦rs é♦r♠t♦♥ trs rré ♣r s♠♥t r ♥ ① ♥♦s

st ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r trs rré

♥ r à tstr ♠♦ K33 ♠s tt ♦s ♦♥ ♥ ré♥t q♥ ♠r♦r♦tt♦♥s♥s ♥ é♦r♠t♦♥ ♦r r ♣r♥♣ st s♠♣ ♦♥ ♣♣q tt ♦s♥ ♠r♦♦♣ ♥ q ♥♦ t s♠t♥é♠♥t ♣♦r ♠♥t♥r éqr ♣♣qrs ♦rts s♠♥t sr s ♦rs q ré♥t ♥ ♦♣ ♦ éqr♥t s♦♠♠ s♠r♦♠♦♠♥ts ♣♣qés P♦r résr tst ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r ♦♥ r♦rt à ♥♣tt st ♣♦r ♦♠♣♥sr s ts ♦r ♦r r ♥ t ♦♥ ♣♣q s♠♦♠♥ts ♥♦r♠s sr ♥s♠ é♥t♦♥ ♦♥séré q ré ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ q ♥♦ s r s ♠r♦r♦tt♦♥s ① ♦rs s st ♠♣♦sé ♥♥ réstt ♦ r s ♥♦s ♦rs s♦♥t rés à tr♦s ♣♦trs t ♥♦♥ qtr ré♥ ré♣♦♥s ♥♦♥ ♥♦r♠ é♥t♦♥ ♣♦r q st r♦tt♦♥ s ♥♦s P♦r♦r ♥ ré♣♦♥s ♥♦r♠ ♦♥ ♣r♦éé ♣r tért♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t sr s ♦rs r♠♦②♥♥ ♥tr s ♠r♦r♦tt♦♥s ♥s é♥t♦♥ ♦♥séré t s♠t♥é♠♥t ♦♥ ♠♦é r s ♦rts s♠♥t sr s ♦rs ♣♦r ♠♥t♥r éqr

rs♦♥♥♠♥t ♣♦r st s♠r ♦♥ ♣rt σxy = K33εxy = K33(∂v

∂x− φ)

♠s tt ♦s ♥② ♥ s♠♥t∂v

∂x= 0 ♦♥ ♥ tr K33 = −σxy

φ s réstts

s♦♥t rés♠és ♥s t ért st ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥ rs♦♥♥♠♥t♣♥sr q ♥♦s rs s♦♥t ♦rrts ♣♦r ♠♦ K33 t ♦rrs♣♦♥♥t ré♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t trs

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

rotation imposée

déplacement nul imposé

n1

n2

e1

e2

r ♦♥t♦♥s ① ♦rs ♦rs tst trs rré ♥ ♠r♦r♦tt♦♥s ♣rs

r♦tt♦♥ ♠♦②♥♥ σxy ♠♣♦sé K33(homogen.) K33(Abaqus) ért ♥

s ♥♦s ♥ ♦r 12EsIzl3

= −σxyφ

φ = 15, 2544× 10−3 r P P

♦♠♣rs♦♥ s réstts ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r ♣♦r ♠♦ K33 trsrré ♥tr r ♦♠♦é♥ésé t ♣r

st ♥ ①♦♥ ♣r trs rré

♥ r tt ♦s à érr ♠♦ K55 ♥s ♠tr [K] trs rré♥ tsr ①♦♥ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♥s s ♥ ♦♥tr♥t ♣♥ ♥♥t tr à s réérr à ♥♥① ♣♦r ♣s éts s ♣r♥♣① ♣r♠ètrss♦♥t ♥qés ♥s r ♥ ♦t♥t rt♦♥ s♥t ♥ ♦♥tr♥t ♣♥ ♣♦r♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r s♦♠s à ♥ ♠♦♠♥t ①♦♥ ♥♦r♠

(E∗I∗z +K55H)∂φ

∂x= −Mf

E∗ ♠♦ éstq ♦♠♦é♥ésé ♣♦tr ♠r♦s♦♣q t q E∗ =Est

l I∗z

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

M

-MW

H

Les deux poutres aux extrémités ont une très grande rigidité

microstructure de la poutre, carré ou hexagonale, selon le cas x

y

z

r Pr♥♣① ♣r♠ètrs ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♥ ①♦♥ ♣r

♠♦♠♥t qrtq s♥t ③ ♣♦tr ♠r♦s♦♣q I∗z =H3

12 H rr

♣♦tr ♠r♦s♦♣q K55 = γ ét♥t ♠♦ ♠r♦♣♦r é ♣réé♠♠♥t t q

K55 =EsIzl

♥s s trs rré ♥ ♣rés q ♠♦♠♥t qrtq Iz =t3

12♥s

tt r♥èr rt♦♥ st é ① ♠r♦♣♦trs rr t t Es st ♠♦ ❨♦♥ ♠tér s q ♣♦tr

♦♥ é♦♣♣ éqt♦♥ ♦♥ ♦t♥t(EstH

3

12l+Est

3H

12l

)∂φ

∂x= −Mf

EstH

12l

(H2 + t2

) ∂φ

∂x= −Mf

éqt♦♥ ♥ ♣♦tr st♥r ♥♦♥ ♠r♦♣♦r s♦♠s à ♥ ♠♦♠♥t ①♦♥♥♦r♠ sért

EstH3

12l

∂φ

∂x= −Mf

t ♠r♦♣♦r ♣♣rît ♦♥ s♦s ♦r♠ tr♠ t2. ♥ ♦♥stt q ♣♦r r♣♣rîtr ♥ t ♠r♦♣♦r st ♥éssr q t2 s♦t ♣r♦ H2 ♦♠♠ Mf st♦♥st♥t ∂φ

∂xst ss t ♦♥ ♣t réérr s éqt♦♥s t s♦s ♦r♠ s♥t

♣rès ♥tért♦♥ ♦♥ ① x

φstandard = − MfW

Kstandardf

φmicropol = − MfW

Kmicropolf

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

UR3

-4.920e-05-4.100e-05-3.280e-05-2.460e-05-1.640e-05-8.200e-06-1.819e-12+8.200e-06+1.640e-05+2.460e-05+3.280e-05+4.100e-05+4.920e-05

r ❱rs ❯φ ♦rs ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦tr à ♠r♦strtrrré ♥ ①♦♥ ♣r

Kstandardf =

EstH3

12lt Kmicropol

f =EstH

12l(H2 + t2) ♥ ♦♥stt q ♥ ♦r

r t♦t φ st ér♥t s♦♥ q ♦♥ s♦t ♥s s ♠r♦♣♦r ♦ ♥♦♥ ♥ ♣t r♥ s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ éé♠♥t ♥s ♠♥èr à ♠ttr ♥ é♥ t ♥ t érr s s r♣♣r♦ ♠♦è ♦♠♦é♥ésé ♠r♦♣♦r ♥ résé s♠t♦♥ s♦sqs s ♣r♠ètrs s♥ts

H ♠♠ h ♠♠ l ♠♠ Es P W ♠♠ t Mf ♠♠ r ♠♦♥tr strt♦♥ s♣t r r♦tt♦♥ UR3 ér♥

s ① rs ①trê♠s ♦r♥t r ♥ ♦rr t♦t φ ♠♦ést♦♥ ♠r♦♣♦r st ①t ért tt♥ ♥tr r φ(Abaqus)

t φstandard st φmicropol − φstandard

φmicropol=

t2

H2

♦t ♥s ♥♦tr s ♥ ért tt♥ t2/H2 = 28% s réstts ♥♠érqs ♦♥♥♥tφ(Abaqus) = −4.920× 10−5 − 4.920× 10−5 = −9, 84× 10−5 r♥s s éqt♦♥s t ♣rés♥t ♥ r

φmicropol = 90−12× 0, 9375

72000× 3, 75× 2× (3, 752 + 22)= −10, 38× 10−5 r

t

φstandard = 90−12× 0, 9375

72000× 3, 75× 2× 3, 752= −13, 33× 10−5 r

♦♥ ♦♠♣r φ(Abaqus) t φmicropol ♦♥ ♥ ért s♥s ♦t é ① ts ♦rs ♦♥ ♦♠♣r φ(Abaqus) t φstandard ért st ♦s s réstts s♦♥ts②♥tétsés ♥s t ♥ ♦♥stt ♦♥ ♥ r très ♣r♦ ♥tr s♠t♦♥♥♠érq t r té♦r ♦♠♦é♥ésé ♠r♦♣♦r ♣♦r ♠♦ K55

♥ ♥♦tr q tt s♠t♦♥ ♥ ♣t ♦r rété ♣②sq r tr s ♣♦trs h ♦♠♣♦s♥t trs ♥térr st s♣érr à rr ôté L réér♥ s tt ♠♣♦ssté

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

φ(Abaqus) φmicropol φstandard

r −9, 84× 10−5 r −10, 38× 10−5 r −13, 33× 10−5 r

értφi − φ(Abaqus)

φ(Abaqus)♥

i= micropol, ou standard

♦♠♣rs♦♥ ♥tr s rs φ r♦tt♦♥ t♦t ♦rs ♥ ①♦♥ ♣♦trà ♠r♦strtr rré ♦t♥s ♣r ♦ ♥②tq♠♥t ♥♥t ♠♦ ♠r♦♣♦rK55 = γ ♦ ♥♦♥

♥ r♣♣ ♥é♥♠♦♥s q s érts tr♦és ♥♦♥t ♣s rété ♣②sq s♠t♦♥ ♥ q ♣♦r t érr té s ♠♦s tr♦és ♥s ♥ r ♣♦tr à♠r♦strtr rr s ♠r♦♣♦trs s st très ♥érr à rr ♣♦tr t2 ≪ H2 ès ♦rs t ♠r♦♣♦r s♣rît ♦rs t②♣ r♠♥t

♥ ♦♥s♦♥ s tsts sr trs rré ♦♥ rt♥r q s ♠♦s tr♦és ♣r♦♠♦é♥ést♦♥ s♦♥t r♣rés♥tts

st ♥ ①♦♥ ♣r trs ①♦♥

st r s s♠t♦♥s ♥ s♠♥t t ♠r♦r♦tt♦♥ ♥ trs①♦♥ ♥ t éé♠♥tr ♦♠♣♦rt ① ♥♦s ♦♥ ♥ ♣t ès ♦rs ♥trφ à r♦tt♦♥ ♥ ♥ ♥♦ ♣s ♦♥ ♥ ♣t é♥r s ♦♥t♦♥s ♦rss♠rs ♦r③♦♥t♠♥t t rt♠♥t r éé♠♥tr ♥st ♣s ♥tq ♣rr♦tt♦♥ ♥ s ♦♥t♥tr ♦♥ tst ♠♦ K55 ♥ ①♦♥ ♣r tst ♥①♦♥ st s♠r à trs rré ♦r r ♠ê♠ st q ♦♥sst à ♣r♥r s ♣♦trs sr♠♥s♦♥♥és ♥ rr ♥ ♣rs ♥ ♣♦tr s ♥ rr ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♥ réstt tr♦♣ ♣♦é ♣r s ts ♦rs♦ ♥ ♥ ❬❪ ♥ t ❬❪ t r ♥ ❱r ❬❪

♦s r♣♣♦♥s rè♠♥t rs♦♥♥♠♥t ♥tq à tsé ♣♦r trs rré ♠♦♠♥t ①♦♥ ♥ ♣♦tr ♠r♦s♦♣q s♥s t ♠r♦♣♦r s①♣r♠ s♦♥

Mf = −E∗I∗z∂φ

∂x

❯♥ ♣♦tr t ♠r♦♣♦r ♦r ♥♥① rt ♦♥♥r ①♣rss♦♥ s♥t♣♦r q st s♦♥ ♠♦♠♥t ①♦♥

Mf = − (E∗I∗z +K55H)∂φ

∂x

♣②sq ♥ ê♥ ♣s qs ♣♦r ss s

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

UR3

-1.150e-04-9.583e-05-7.666e-05-5.750e-05-3.833e-05-1.917e-05-7.276e-12+1.916e-05+3.833e-05+5.750e-05+7.666e-05+9.583e-05+1.150e-04

r ❱rs ❯φ ♦rs ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr①♦♥ ♥ ①♦♥ ♣r

♠♦ ❨♦♥ ♣♦tr ♦♠♦é♥ésé ♦r éqt♦♥ E∗ = 16√3Es Iz t

l(tl2+36 Iz)

I∗z ♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♦♠♦é♥ésé ♠r♦s♦♣q I∗z = H3

12 K55 = γ

♠♦ ♠r♦♣♦r é ♣réé♠♠♥t ♦r éqt♦♥ K55 =√3Iz Es

3 l

s ér♥ts ♣r♠ètrs s♠t♦♥ ♥♠érq s♦♥t s s♥ts ♦♥r ♣♦tr ♠r♦♣♦r W = 0.372166 ♠♠ ♦♥r s ♣♦trs trs ①♦♥ l = 0.00256666 ♠♠ rr s ♣♦trs trs t = 0.044419 ♠♠ ♠♦ ❨♦♥ ♠tér Es = 70000 P rr ♣♦tr ♠r♦s♦♣q H = 0.0666666 ♠♠ ♠♦♠♥t ①♦♥ ♣♣qé à ①tré♠té Mf = 0.02 ♠

réstt s♠t♦♥ ♥♠érq st ♦♥♥é ♥s r ♥ r♣r♥♥t ♠ê♠rs♦♥♥♠♥t q ♣réé♠♠♥t ♣♦r ①♦♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr rré ♦♥♥tèr s♥t x éqt♦♥ t ♦♥ tr♦

φmicropol = − WMf

E∗I∗z +K55H

à ♦♠♣rr

φstandard = −MfW

E∗I∗z

s réstts ♥♠érqs ♦♥t été s②♥tétsés ♥s t ♥ ♠ê♠ ç♦♥q ♣♦r ♣♦tr à ♠r♦strtr rré ♥ r ♥②tq ♦♣ ♣s ♣r♦ s♠t♦♥ éé♠♥ts ♥s ①♣rss♦♥ ♥♥t ♠♦ ♠r♦♣♦r γ

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

φ(Abaqus) φmicropol φstandard

r −2, 3× 10−4 r −2.43× 10−4 r −3.14× 10−4 r

értφi − φ(Abaqus)

φ(Abaqus)♥

♦♠♣rs♦♥ ♥tr s rs φ r♦tt♦♥ t♦t ♦rs ♥ ①♦♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr ①♦♥ ♦t♥s ♣r ♦ ♥②tq♠♥t ♥♥t ♠♦♠r♦♣♦r K55 = γ ♦ ♥♦♥

♦♥s♦♥ sss♦♥

♦♠♦é♥ést♦♥ s trs ♥tr♦s②♠étrqs ♣r ♥ ♠ét♦ é♦♣♣♠♥ts②♠♣t♦tq srèt ♠r♦♣♦r été é ♣r ♦♠♣rs♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs♦♠♦é♥ésés à rs ♦♠♦♦s ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ ♦ q♣r♠t ♦t♥r ç♦♥ t♦♠tq s ♠♦s ♠é♥qs st♥r t ♠r♦♣♦r♥ trs été ♦♥strt é♥♠♦♥s qqs ♣♦♥ts ♠♥♥t à êtr ♥♦r rés

s réstts ♥②tqs s trs étés s♠♥t ♦rrts ♦♥ ♣t s♦♥r sqqs sss rs♦♥♥♠♥t q ♥♦s ♦♥s t♥ ♦t ♦r ♦♥ sé ♥ ♠♦♠♦é♥ésé ♣rtr ♠ ♠r♦♣♦r ♦♥ ♣t r♣♣r s rs♦♥s ♦① ♠ ts♥t ① ♣r♠ètrs sé♣rés ♣♦r r♦tt♦♥ t é♣♠♥t st st♦rq♠♥tss s éts sr s ♣♦trs ♥ rt♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♣♦trs ① ♣r♠ètrssé♣rés s♠rt ♦♥r rs ♠ ♣s ♦♥ ♠♦♥tré ♥s ♣tr ♣réé♥tq s ♦♥ ♥ts q ♣r♠ètr é♣♠♥t ♥s ♥ ♠♦è ♣♦tr s♠♣é st♥srs ♦t♥s s♦♥t ♥♦♥sst♥ts ♣♦r q st s ♠♦s s♠♥t ♦① ♠ ♠r♦♣♦r ♥♦s ♦♥ts à ♣♦sr ♦♠♠ ♦♥t♦♥ é♣rt ré ♥tt ♦rr s é♦♣♣♠♥ts s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs u t φ s trs ♣♣r♦sr♥t ♣ êtr tsés ♣r ①♠♣ ♥ ♣s ♣rés♣♣♦sr ♠ sé q rt♥trî♥é ♦t♥t♦♥ ♥ ♦♥t♥♠ tr q ♠r♦♣♦r ♠ s♦♥ r♥t ♠ ♦t♥ srt ♥é♥♠♦♥s é à ♦rr é♦♣♣♠♥t s rs u t φ

♥ ♦♦♥tr♠♥t ♠té ♥♦tr ét ① strtrs ♣ér♦qs à s②♠étr ♥tr ♥ sst ♣♣②é sr tt ♦♥t♦♥ s②♠étr ♣♦r ♣♦str ♦r♠ réstt t s♠♣r①♣rss♦♥ s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs t s ①♣rss♦♥s ♦♠♦é♥ésés ♦t♥s ♥♥é♥t rt♥s tr♠s s♦♥ ♦rr ♦♥ t ét♥r ét ① trs ♣ér♦qs♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq sr ♥éssr s♦t ♦r♠r ♣s r♦rs♠♥t é♦♣♣♠♥t s ér♥ts ♣r♠ètrs é♦♠étrqs ♥é♠tqs s♦♥ ♦rr s♦t ♦r♠r ♥ ♦rt♠ s♠♣é s♥s ♥ tr♠ s♦♥ ♦rr

P♦r q st s ♣rs♣ts s tr① ♥ s♣t q ♠értrt q ♦♥ s②♥térss st s ♣♣t♦♥s ♣rtqs é♦♣♣♠♥t ♣♣t♦♥s ♦♥rèts ♣♦

♥ r♣♣ q♥ trs ♥tr♦s②♠étrq st ♥ trs ♦♥t é♦♠étr st à s②♠étr ♥tr s②♠étr ♥tr é♦♠étr ♥trî♥♥t ♥r♥ s ♠♦s rté ♣r r♦tt♦♥ ♥ π

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

sr ♥♦s qst♦♥s ♥st q ♥s s s très ♣rtrs q ♦♥ rt ♦r♣♣rîtr ♥ t ré ♠r♦♣♦r à é ♠r♦s♦♣q Pr ①♠♣ trt♠♥t♥ ♠ ♥ ♥sté ♦♣ ♦♥tr♥t srq ♦ ♥éq ♠è♥r à s♣♦sr qst♦♥ ♣♦♥t ♣♣t♦♥ s ♦♣s ♦♥tr♥t sr trs ♣t② ♦r s♦♥ s r ♣srs ♣♦♥ts ♣♣t♦♥ ér♥ts ♣♦r ♠ê♠ trsq ♥ s♦♥t rs ♣s ♦ré♠♥t s ♥♦s r♥t ① ♣♦trs ♥tr s

♥ ♣t ♥sr trs rt♦♥s rr trt♠♥t s r♥s é♦r♠t♦♥s ♣stté ♥ ♠♦è ♣♦tr à é♥♠♥t ♥ t ♥ s ♠tt♦♥s ♥♦tr ét ♦♥r♥ ♠♦è ♣♦tr ♦♣té q ♥st q ♣♦r s ♣♦trs♦♥s ♥s s trs ②♥t s ♣♦trs ♥ r♣♣♦rt ♦♥rrrtrs à ♦rt ♥sté ♣r ①♠♣ ♦♥ r ♥térêt à résr ♥ ♣♣r♦ ♥ té♦r ♣♦tr ♠♦s♥♦ à ♠♥èr trs trs ❬♠r ♥ ♦ ❪

s ♣♦♥ts q ♥♦s ♥♦♥s é♦qr ♦♥s♥t à s♥trr♦r sr ♥térêt sr ♥♠ ♦♥t♥ ♠r♦♣♦r ♠ét♦ é♦♣♣é t ♦rt♠ ♦t♥ ♦♥♣t ♣♥sr q st ♣♦ss ♠tr s é♦♣♣♠♥ts s ① ♣r♠ètrs ♥é♠tqst ♦t♥r ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥♦♥ ♠r♦♣♦r

♦♥ r♣r♥ ♦r♠ é♦♣♣é ♣s t éqt♦♥s à t ♠tr ♣r♠r ♦rr s é♦♣♣♠♥ts ♥♦s ♦♥t à ♥ér s ♠trs [B] t [D] ♣s♦♥ ♠♦♥tré ♣rr♣ q s ♠♦s és à ♠tr [C] s♦♥t ♦rr ε3t♥s q ① és à ♠tr [A] s♦♥t ♦rr ε2 q ♥♦s ♦♥t à ♥ér [C]♥t [A] ♥♦s ♠è♥ à

σxσyσxyσyxmxz

myz

=

[[A]

❩❩[B]

❩❩[C]

❩❩

[D]

]

ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz

σxσyσxyσyx

=[A]

ǫxǫyǫxyǫyx

s♦t

σ =1

gSi1 ⊗

∂R

∂λi︸ ︷︷ ︸

[A]ǫ

stàr ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq

P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P

♥s ♣tr s♥t ♦♥ s ♣r♦♣♦s tstr ♦♠♦é♥ést♦♥ ér♥ts s♦rts trs ①étqs t r① ♦ ♠r♦♣♦r t rs♦♥ ♦ ♠té ♣r♠r ♦rr s ér♥ts rs t ét♥t r s réstts♦t♥s ♣r s ① ♦s

Chapitre 4♣♣t♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ① trs

①étqs

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r s trs ①étqs ♥tr♦s②♠étrqs

trs ①♦♥ ré♥tr♥t

trs ①r

trs ♠♥t r

♦♠♦é♥ést♦♥ rs ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t

♠♣t♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♥ ♦t♥r ♥♦ ssq

trs t♦♥

♦♥s♦♥s sss♦♥

♥tr♦t♦♥

♥s ♣tr ♦♥ tstr ♦ ♠r♦♣♦r é♥ ♥s ♣tr ♣réé♥t ér♥ts trs ♥tr♦s②♠étrqs ♥ é♦♣♣r é♠♥t s♠♣t♦♥ t ♦rt♠ ♥ ♦t♥r ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ r ♣♣t♦♥ à ♥trs ♥♦♥♥tr♦s②♠étrq P♦r ♥ s trs trtés ♦♥ ♦♠♣rr ♥♦s réstts à① ttértr sr qst♦♥ ♦rsq ①st ♦ ♥ à s s♠t♦♥s ♥ éé♠♥ts♥s

♥ ♥♦tr t♦t♦s q st ♥s ♣tr ♥ ♦rt♠ ér♥t q été tsé♥s ♣tr ♣sq ♥♦s ♦♥s tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♥♦♥ s♠♣é ♥♥t srs r♦tt♦♥ ♥ stt♥ ♦♥ à ♦t♥r ♥ t♥sr s ♦♥tr♥ts s②♠étrq

P PP ❯❳ ❯❳❯

♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r s trs ①étqs♥tr♦s②♠étrqs

♦s é♦qr♦♥s ♥s ♣tr s ♠tér① s♦s ♦r♠ trs rér ♦♥t ♠r♦strtr ♥t s ♣r♦♣rétés ♣ ♦r♥ts ♥ s♥térssr ♥ ♣rtr ① trsà ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♣♣rt s ♠tér① ♦♥t ♥ ♦♥trt♦♥ ♥s s♥str♥srs ♦rs ♥ é♦♥t♦♥ ♦♥t♥ t① ♦♥trt♦♥ ♣♣é ♦♥t P♦ss♦♥ st t♠♥t ♣♦st ♥r♦♥ ♣♦r ♦t♦ ♣♦r s rs♦♠♠♥s à ♣♦r s ♠tér① rs ts q s ♠♦sss t ♥r♦♥ ♣♦r è rt♥s ♠tér① rs ♦ trs ♦♥t ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♥q s ♠tér① ①étqs r ①♥ sét♥r s ♠tér① ①étqs s♦♥t♦♥♥s ♣s ♥ rt♥ t♠♣s ♦♥ ♣t r♠♦♥tr ♥ tr♠s ♣t♦♥ à rt s❬❪ réss à ♦♥rtr ♥ ♠♦ss ♣♦②rét♥ st♥r ♥ ♥ ♠♦ss ①étq♣r ♦♠♣rss♦♥ t rr♦ss♠♥t s♦s ♦♠♣rss♦♥ ♥ q♥ rt♥ ♥♦♠r ♠é♥s♠s t été ♥é ♣♦r ①♣qr ♦♥t♦♥♥♠♥t ①étq ❬rt♦ t ♠♥ s ❪ ♥s s s trs ♣♦trs ♦♥ ♦♥♥ît ♣r♥♣♠♥t① ♠é♥s♠s q ♣r♠tt♥t tt ♣r♦♣rété ♠é♥s♠ ré♥tr♥t t ♠é♥s♠♥r♦♠♥t ♦r r ♥s ♠é♥s♠ ré♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥s ♥s♥s ♣r♦♦q ♥ ①♦♥ s②♠étrq t ♦♣♣♦sé s ♣♦trs ♦r♥tés ♥s s♦♥ s♥st♥s q ♥s ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t s ♣♦trs s♥t ♦♥t♦♥ ♠♥ts r♥t♥tr s s strtrs rrs q t♦r♥♥t s♦s t ♥ é♦r♠t♦♥ t ♥trî♥♥ts♠t♥é♠♥t s trs ♠♥ts ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t st é à é♦♠étr r s trs stàr q s trs ♥ ♣♥t êtr s♣r♣♦sés à r ♠ ♥s ♥♠r♦r r♠ t ❬❪ sèr ①♣qr t ♠♦ésr ♣r ♥ ♠é♥s♠ s♠r à♥r♦♠♥t q s ♣r♦t ♥s s ♠♦sss ①étqs ♣♣ ♠é♥s♠ r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♦r r

s ♣r♦♣rétés tt♥s s ♠tér① ①étqs s♦♥t rss ❯♥ r♥ ♥♦♠r rts ♦♥t été é♣♦sés ♠♦♥tr♥t r ♥térêt ♥ stt♥ à q s ♠tér① à ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♥t ♥ ♣♦♦r s♦r♣t♦♥ é♥r s♣érr t ♥ ♠rrésst♥ à r♣tr q rs ♦♠♦♦s st♥r q ♣♦rrt êtr t ♣♦r s♠tér① ♠ ♦ s ♠tér① s♦r♣t♦♥ ♦s ♣rès ❬Pr ♥ s❪ s ♠tér① ①étqs r♥t êtr s à sr ♠s s à é♦r♠r♦♠étrq♠♥t ♥ qq s♦rt s ♥t♦t♦s s ♠tér① r♥t ♥trî♥rs ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs ♣ ts ♦rs ♥ ♠s ♥ ♦r♠ ♣r é♦r♠t♦♥ ♥♣q é♣ss q ♦♥ ét rt ♥ é♦r♠t♦♥ ♥ ♦r♠ ♦q t ♥♦♥ ♥ ♦r♠ s ♦♠♠ ♣♣rt s ♠tér① st♥r ♥ ♣♥s s tsr é♠♥t ♣♦r rt♦♥ ♥♦① t♦♥♥rs ♣r♦tèss t ♠♦sss ②♥t ♥ ♣♦♦rs♦r♣t♦♥ ♦stq s♣érr ♦r r♠♥ t rt♦ t ♥ q

rté ♣t êtr ♦♠♣ré à ♥ s♠♣ ♣r♦è♠ ssrs ♦s s ♥♥ts ♦♥t éà été♦♥r♦♥tés à ♥ ♣r♦è♠ rté ♥ ♠tt♥t ♣ r♦t ♥s ssr t ♥rs♠♥t ❯♥ssr st ♥ ♦t r r ♥st ♣s s♣r♣♦s à s♦♥ ♠ ♥s ♥ ♠r♦r t♦t ♦♠♠ s♠♥s s trs ♣♥t é♠♥t êtr s ♦ts r①

P PP ❯❳ ❯❳❯

mécanisme ré-entrant mécanisme d'enroulement

r ① é♦♠étrs q ré♥t ♥ ♠é♥s♠ ♣r♠tt♥t ♦t♥r ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét

chargement uniaxial

chargement uniaxial

chargement uniaxial

Compressionchauffage

(a)

(b)

(c)

r é♥s♠ r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♣r♦♣♦sé ♣r r♠ t ❬❪♣♦r ①♣qr t ♠♦ésr ♦♠♣♦rt♠♥t s ♠♦sss ①étqs trs ①♦♥♠♦è st♥r s ♠♦sss ♠♦è r♦tt♦♥ s♦♥s rs s ♠♦sss ①étqs r♣rés♥tt♦♥ ésé ♠♦è r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♣rès r♠ t ❬❪

P PP ❯❳ ❯❳❯

♥ sss ♣s à ♣r♦♣r♠♥t ♣rr trs ♦♥ ♦♠♠rs à r t s rs①étqs q ♦♥♥t ♦rsq♦♥ s ♠t s♦s trt♦♥

ér♥ts éts ♦♥t éà été résés sr s ♠tér① ♣s s ❬❪ ♦♥ tr♦♥s Pr ♥ s ❬❪ ♥ ét té♦rq t ①♣ér♠♥t trs ①r❨♥ t ❬❪ ♦♥t t ♥ ét ♣r ♠r♦♣♦r trs ①♦♥ ré♥tr♥t♠♥ ❬❪ été s ♠é♥s♠s é♦r♠t♦♥ trs q q à ♦s①étqs t s♦sttqs ♣r♦♣♦s ♥ ♦r♠t♦♥ ♠té♠tq ♦♠♣♦rt♠♥tt ér♥ts é♦♠étrs ♣♦sss s♣r t ❬❪ ♦♥t t s ①♣ér♠♥tt♦♥s srs é♦♠étrs trs s♠♣s à ♦t♥r à ♣rtr ♥ trs ♠♥t q ♦♥ ♣♦rrt qr ♠♥t r r♣ t ❬❪ ♦♥t été résst♥ ♠♠♥ts trs ①r① ♣♦♥ ♥ ③③♥ ❬❪ ♦♥t t ét ♥ ♣♣t♦♥ ♥trs ①étq r ♥ ♦♥ à ♣r♦ r tt ét st ♠♥é à ♦s♣r t ①♣ér♠♥t♠♥t t ①♠♣ ♠♦♥tr t♦t ♥térêt ♥r trs ♥ss ♣♣t♦♥s ♦rt é♦r♠t♦♥ éstq t ♥♦♥♦♥srt♦♥ ♦♠ ♦♥♥ ③③♥ ❬❪ ♦♥t ♦t♥ s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♣r♥ t♥q ♦♠♦é♥ést♦♥ sé sr s éqt♦♥s ① ér♥s ♥s s s s♦♥t♥térssés ♣rtèr♠♥t ♣r♦è♠ tss ♣r♦♣t♦♥ ♥ ♦♥ss réq♥ ♥s ts trs ①étqs ♦♥s t ❬❪ s s♦♥t ♥térssés ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♠tér ♦♠♣♦st ♦r♠é ♦s réèrs ♠♥♠ t ♥ ♠tér ①étq s ♠♦♥tr♥t q ♠tér ①étq ♦r♥t ♥ r♦ss♠♥t s♥t ♠♦ ❨♦♥ ♥s s ♦♠♣♦sts rs♦♥ t ❬❪ ♦♥t t ♥ ét à ♦s①♣ér♠♥t t ♣r ♥ sér trs r① t trs ♣♣és ♥tr① s♥tr① s♦♥t s trs ♦r♠és strtrs rs ss♦és ♥ ♣r ♦♣♣♦sé ♥srt♦ t ❬❪ ♦♥ ♣r♦♣♦s ♥ é♦♠étr ♣ér♦q ♣r♦s♥t ♥ t ①étq ♥st ♣s r♠♥t ♥ trs ♠s ♥ rés é♠♥ts ♣s♦ï① q ♣r♦s♥ts♦s ♥ ♦rt é♦r♠t♦♥ ♥ t ①étq sqà ♥ ♦♥t ♥r♦♥

tt ♦rt ♦r♣ ♦♥ ♦♠♣r♥ q s trs ①étqs s♦♥t ♥ ♠♣♣♣t♦♥ é ♣♦r tstr ♥♦tr ♦ ♥ ♦s qqs trs ①étqs♣r♠ s ♣s étés trs ①♦♥ ré♥tr♥t trs ①r t trs ♠♥t r ♥ ♠♦♥tr q ♦♥ rtr♦ ♥ s ♠♦s és ♥s trs éts ♣♦rs trs ①♦♥ ré♥tr♥t t ①r ♠s s ♠♦s ér♥ts ♣♦r trs ♠♥t r ♦s réstts ♣rés♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t t②♣q ♣♦r r♥r trs ♥ ♦♥ t s tsts ♣r ♣♦r érr s rs ♠♦ éstq tr♦és ♣♦r trs♠♥t r t r ♦♠♣♦rt♠♥t ♣rét ♥ trtr é♠♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ trs t♦♥ ♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq ♥♦tr ♦ ♥♦♥ ♠r♦♣♦rssq

trs ①♦♥ ré♥tr♥t

trs ①♦♥ ré♥tr♥t st ♥ trs ①étqs s ♣s ♦♥♥s t étés ❬s♦♥ ♥ s② ♦♥ ♥ ③③♥ ❪ ♥ ♣r trs ré♥tr♥t ♦rsq

P PP ❯❳ ❯❳❯

b1

b2b3

n1

n2

n2

Y1Y2

n2

(a) (b)

e2=y

e1=x

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ①♦♥ ré♥tr♥t θ = 30 trs①♦♥ ssq θ = −15 trs ①♦♥ st ♥ ré♥tr♥t

♣♦tr

♦ ♦r♥ ♦ ①tré♠té

δ1 δ2

s ♦♥♥ttés trs ①♦♥ ré♥tr♥t

♥ θ s ♣♦trs b2 t b3 ♣r r♣♣♦rt à ♦r③♦♥t st ♥ét ♦r s rs t

s ♦♥♥ttés s♦♥t ♦♥♥és ♥s t s s♦♥t ♥tqs à s trs①♦♥ ér♥ é♦♠étr rés ♥s s trs rtrs s ♣♦trs b2 t b3 s ♣♦trs b2 t b3 ♦r♠♥t ♦r③♦♥t ♥ ♥ r θ t ♥ t ♥♦s

♦t♥♦♥s trs ①♦♥ ssq ♠s ♥ ♥ θ < 0 θ ∈[

−π2,π

2

]

♦♥ ♦t♥t

♥ trs ①étq ré♥tr♥t ♦r r ♠tr rr ♠r♦♣♦r♦♠♦é♥ésé t

[K] =

K11 K12

K21 K22

K33 K34

K43 K44

K55

K66

K11 =Esη (−η2c2t+η2stc2t+c2t−stc2t+3 η2−3 η2st)

(2 η2c2t+3−2 c2t)ct

K12 = − ctst(η2−1)Esη

2 η2c2t+3−2 c2t

P PP ❯❳ ❯❳❯

K21 = − ctst(η2−1)Esη

2 η2c2t+3−2 c2t

K22 =Esη (st+η2stc2t−stc2t+1+η2c2t−c2t)

(2 η2c2t+3−2 c2t)ct

K33 = 1/2Esη3(−η2c2t+5 c2t+η2st+η2−3+3 st)

(−3 st+3+η2+η2st)ct

K34 = −1/2Esη3(−η2c2t+c2t+η2st+3 st−3+η2)

(−3 st+3+η2+η2st)ct

K43 = 1/2Esη3(η4c2t st−8 η2stc2t+8 η2c2t+15 stc2t−3 c2t−c2t η

4−12 η2+12 η2st)(−6 η2c2t+c2t η

4+9 c2t+12 η2)ct

K44 = −1/2Esη3(3 stc2t−15 c2t+η4c2t st+4 η2c2t−4 η2stc2t−c2t η

4−12 η2+12 η2st)(−6 η2c2t+c2t η

4+9 c2t+12 η2)ct0

K55 = 1/12 L2ctEsη3

st+1

K66 = 1/36 L2(st+1)Esη3

ct♥ ♥ tr s ♠♦s ♦♠♦é♥ésés s♥tsE∗

1 =Esη3ct

(st+1)(η2c2t−c2t+1)

E∗2 = − Esη3(st+1)

(−c2t+η2c2t−3 η2)ct

ν12 =(η2−1)st(st−1)

η2c2t−c2t+1

ν21 =(η2−1)st(st+1)

−c2t+η2c2t−3 η2

cos(θ) = ct t sin(θ) = st η =t

L r♣♣♦rt é♥♠♥t ♣♦tr t θ ♥

s ♣♦trs b2 t b3 ♣r r♣♣♦rt à ♦r③♦♥t ♥ ♣t r ♥ ♣♣t♦♥ ♥♠érq ♥ ♠tér ♠♥♠

Es = 70 P

t =L

15♠♠ → η =

1

15s ♦rs ♦♥♥♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♥ ♦♥t♦♥ θ s rtr♦♥t ♥s s

rs t ♥ ♣t ♦♥sttr sr r q ♦♥t P♦ss♦♥ ♣t♣r♥r s rs ♥éts ss③ ♠♣♦rt♥ts ♣r♦s ♣♦r ♥ ♥ θ ∼ −5 ♥ ♦s ♦♠♣rr ♥♦s réstts ♦♠♠ trs trs ♦♥t t ❬♦♥ ♥ ③③♥❪ à ① éà ♦♥♥s ttértr ♦♠♠ s ♦r♠s s♦♥ t s② ♥ ♥♦trq s ♠♦s q ♥♦s ♦t♥♦♥s s♠♥t ♣s résts ♦r♠ s♠♣é s♦♥ ts② ré ♥ ♠♦ q t♥ rs ♥♥ ♣♦r θ = 0 q st ♥ ♠♣♦ssté ♣②sq

E∗1(Gibson) =

Es t3ctL3(1+st)(st)

2

E∗2(Gibson) =

Es t3(1+st)

L3c3t

ν12(Gibson) =c2t

(1+st)sts ♦rs ♦t♥s ♥s ♥♦s tr① s♦♥t s♠rs à s ♦♥ ♥ ③③♥

❬❪ ♣♦r ♠ê♠ trs ①♦♥ ré♥tr♥t t ♥s s ♦♥t♦♥s ♥tqs ♦ s♠ ♦♥t♦♥♥r ♦rrt♠♥t sr t②♣ trs ♦r♥t s résttss♠rs à ① tr① ré♥ts sr s ♠ê♠s trs

♥ ♥♦tr q tt

P PP ❯❳ ❯❳❯

r ♦ ❨♦♥ ♦♠♦é♥ésé trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♥ ♦♥t♦♥ θ ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s réstts à ① s ♦r♠s s♠♣és s♦♥ t s② ♣♦r E∗

1 E∗2

P PP ❯❳ ❯❳❯

r ♦♥t P♦ss♦♥ trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♥ ♦♥t♦♥ θ ν12 t ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s réstts à ① s♦♥ t s② ν21

P PP ❯❳ ❯❳❯

trs ①r

trs ①r t ♦t ♣srs tr① t rts ss♦és Pr ♥ s❬❪rs♦♥ t ❬❪ Pr ①♠♣ ♥s rs♦♥ t ❬❪ ♥ rt♥ ♥♦♠ré♥t♦♥s trs à ♦♥ts P♦ss♦♥ ♥ét ♦♥t été ♦t♥s ♣r ♣r♦t♦t②♣r♣ ♥s ♣♦r ②♦♥ r♦r♠ ♣s ♥ ♦♠♣rs♦♥ s réstts st t♥tr ①♣ér♠♥tt♦♥ sr s é♥t♦♥s t ♥ ♥②s ♥s trs ①r ♠é♥s♠ q ♣r♠t ♦t♥t♦♥ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét st ér♥t trs①♦♥ ré♥tr♥t st ♥ ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t ♥ s♦sé♦♠étr s♥ éé♠♥tr q ♣r♦t ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♠é♥s♠ s♠♦r été é♦qé ♣r s ❬❪ trs r st ♦♠♣♦sé éé♠♥ts rrs r②♦♥ ♥tq r és ♥tr ① ♣r s ♠♥ts étr♦ts ♦♥r ♥tq L s♠♥ts s♦♥t s♣♦sés t♥♥t♠♥t ① éé♠♥ts rrs à s ♥s s trs trs ♣♦ssè à ♦s ♥ s②♠étr ①♦♥ t ♥ s②♠étr r s trs às②♠étr ①♦♥ ♦♥t ♥ s♦tr♦♣ ♣♥ q sr ♦♥r♠é ♣r s réstts

s ♣r♠ètrs trs été ♣r Pr ♥ s ❬❪ s♦♥t é♥♦♥és ♥s r ♥ r♠rqr ① ♣♦♥ts ♣rtrs ♣r♠èr♠♥t ② ♥ ♠tt rétés♥s tt ♠ s trs ①r① s♥t r♣♣♦rt

r

R ①è♠♠♥t ♦♥ ♥ ♣t

♠♦ésr t q trs ♥♦tr ♠ét♦ ♣r q ♦♠♣♦rt ♥ ♦r r♦s ♦♥s r ♥ ♠♦è ♣♣r♦é trs ♥ r♠♣ç♥t r ♥tr ♣r ♥rés ♣♦trs rt♥s ss♥♥t ♥ ①♦♥ s♦♥ r ♦♥ ♥s ♥s r s rs s δi tsés

♦♥ r ♦♥ ♣t r ♦♥stt q s ♣r♠ètrs s♦♥t és ♥tr ① ♣rs rt♦♥s s♥ts ♦r é♠♥t ❬Pr ♥ s ❪

sin θ =R/2

R=⇒ θ = 30

sin β =2r

R

tan β =2r

L

♦s ♦♥s ♦s ♥ ♦♥rt♦♥ ♣rés β = 30 q ♠♣♦s ♥ r♣♣♦rtR = 4r t L = 2

√3r ♥ ♦♥♥ é♥t♦♥ é♦♠étrq trs été ♥s r

s ♦♥♥ttés s♦♥t ♦♥♥és ♥s t s réstts ♦t♥s ♣♦r s t♥srs ♥s q ♣♦r s ♠trs rrs t

s♦♣ss s♦♥t ♦♠♣♦sés tr♦♣ tr♠s ♣♦r êtr ♥sérés ♥s ♦♠♥t s ♣r♠ètrs♠é♥qs ①trts s♦♥t s s♥ts

s réstts ♦♥r♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t é♦qés ♣r Pr t s ♣s ♣r rs♦♥ ♥s rs♦♥t ❬❪ à trrs s s♠t♦♥s ♥♠érqs ♣rtèr♠♥t r ♥ét ♦♥t P♦ss♦♥s♠ ♣ é♣♥♥t r ♣rés β

P PP ❯❳ ❯❳❯

r rs ①r ①trt Pr ♥ s ❬❪

rr

δ1 δ2

♦♥♥tté trs ①r

P PP ❯❳ ❯❳❯

n5

n4

n3

n2

n1

n6

n3

n2

n1

n6

n5

n4

b5 b6

b7

b8b9

b4

b2

b1

b3Y1

Y2

r rs ①r ♠♦è ♣♦tr

E∗1 =

96

47

(139

√3− 71

)Es(−575− 564 η2 + 44

√3)η3

−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973

√3

E∗2 =

96

47

(139

√3− 71

)Es(−575− 564 η2 + 44

√3)η3

−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973

√3

ν∗12 =1

647

(74

√3− 617

) (−20689 + 76300 η2 + 11932

√3η2 − 62112 η4 + 1257

√3)

−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973

√3

ν∗21 =1

647

(74

√3− 617

) (−20689 + 76300 η2 + 11932

√3η2 − 62112 η4 + 1257

√3)

−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973

√3

P PP ❯❳ ❯❳❯

G∗12 = − 3

47

(√3 + 12

)Es(−575− 564 η2 + 44

√3)η3

3 + 351 η2 + 580√3η2 + 36 η4

♥ ♣♦s♥t kl = Esη t kf = Esη3 t η =

t

L

♥ ♥t♥ rt♥s tr♠s s♦♥t ♣ré♣♦♥ér♥ts ♣r r♣♣♦rt à trs ♥ ♦t ♥térêt♦r tsé ♣r♠ètr η q ♣r♠t tr♦r s ①♣rss♦♥s ♣♣r♦és s♠♣és♥ s♥t ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ sér rt♠♥t à η

E∗1 ≈ 96

47

(139

√3− 71

)Es(−575 + 44

√3)η3

−19729 + 2973√3

≈ 11.86Esη3

E∗2 ≈ 96

47

(139

√3− 71

)Es(−575 + 44

√3)η3

−19729 + 2973√3

≈ 11.86Esη3

ν∗12 ≈1

647

(74

√3− 617

) (−20689 + 1257

√3)

−19729 + 2973√3

≈ −0.96

ν∗21 ≈1

647

(74

√3− 617

) (−20689 + 1257

√3)

−19729 + 2973√3

≈ −0.96

G∗12 ≈ − 3

47

(√3 + 12

)Es(−575 + 44

√3)η3

3≈ 145.73Esη

3

♥ ♣t ♦♠♣rr s réstts à ① Pr t s q ♦♥♥♥t s ♦r♠s s♥ts♥s Pr ♥ s ❬❪

E∗1(Prall) =

Est3

Lr2=

(2 ∗

√3)2t3

L3Es = 12Esη

3

ν12(Prall) = −1

r = L/(2∗√3) ♥ ♣t ♦♥sttr q s réstts s♦♥t ♣r♦s s ①♣rss♦♥s ♦

♠♦é♥ésés s♠♣és s réstts Pr ♥ s ❬❪ s♦♥t ♦t♥s ♣r ♥ ♥②ss♠r à tsé ♣r s♦♥ ♥ s② ❬❪ ♥ ♣t ♥ r♣♣r ♣r♥♣ ♦♥sst à ♦♥sérr éqr sttq ♥ éé♠♥tr ♦r♠é rés ♣♦trss♦♠s à ♥ ♦rt s♠♣ trt♦♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦ s♠♥t ♥ ♦t♥t ♥ rt♦♥ sr ♦rté♣♠♥t q ♦♥ tr♥s♦r♠ ♥ rt♦♥ ♦♥tr♥té♦r♠t♦♥ ♥ s♥t♣r s ♦♥rs rtérstqs éé♠♥tr é♥♠♦♥s ♣♣r♦ Pr ts ♣r♦è♠ st s♠♣é ♥ s♥s qs ♦♥sèr♥t ♦♠♠ ♥é♦r♠s s rs r②♦♥ r ès ♦rs ss ssst♥t s é♦r♠t♦♥s ♥ ①♦♥ s ♣♦trs ♣ér♣érqs①és sr s rs éé♠♥trs r ♥s ①♣rss♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♥♦♥ s♠♣é ν12éqt♦♥ ①st ♥ rt♦♥ s♥t r r♣♣♦rt η q ♦♥ ♣t ♠ttr♥ é♥ ♥s r ♥ ♥♦t q ♦♥ rtr♦ ♥ ♦r s♠r à r ♥s rs♦♥ t ❬❪ ♦t♥ ♣r ♥ s♠t♦♥

P PP ❯❳ ❯❳❯

r ♦♥t ν12 ♦♠♦é♥ésé t s♠♣é trs ①r ♥ ♦♥t♦♥

r♣♣♦rt é♥♠♥t s ♣♦trs η =t

L

♥ ♦♠♣r é♠♥t s réstts ♣♦r ♠♦ éstq ♥tr s ①♣rss♦♥s ♦♠♦é♥ésés t ①♣rss♦♥ Pr t s ♥s r ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥♥tr s ① ♣♣r♦s

♥ ♣t ♦♥r ét trs q s♠♣t♦♥ s réstts sr s♦♥st♥ts ♠é♥qs ♥tr♦t s♦♠♠r♠♥t ♣r ♥ ♥②s s tr♠s ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ♣tt ♣r♠ètr η ♣t êtr ♥é r ♠♦♥tr s ♦rs♣r♦s ♣♦r q st ♠♦ éstq ♥tr rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦♠♣èt t srs♦♥ s♠♣é Pr t s ♥ r♥ s ♦♥ ♦♠♣r s rs ♦♥t P♦ss♦♥ ν12 ♥tr s rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦♠♣èt t s r s♠♣é értst ♣s s♥t ♦r r

trs ♠♥t r

♥ r♣rs trs ♠♥t r été ♥s s♣r t ❬❪ t r♠ t ❬❪ st ♦♥séré ♦♠♠ ①étq ♣r s trs é♥t♦♥ é♦♠étrq st ♦♥♥é ♥s r s ♦♥♥tté st ♥s t

♥ ♦t♥t ♥ ♠tr s♦♣ss sr♣r♥♥t ♠♦♥tr♥t ♥ ♦♣ ♦♥tr♥ts♠♥t

P PP ❯❳ ❯❳❯

r ♦ éstq rtE∗

1

Es

♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt η ♦♠♣rs♦♥ s

réstts ♥♦s tr① ① Pr t s

rr

δ1 δ2

t ♦♥♥tté trs ①r

P PP ❯❳ ❯❳❯

n4

n3

n3

b5b3

b6

b2b1

b4n5

Y1

Y2

n2

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♠♥t r

[S] =

2 4+η2

Esη30 −η2+10

Esη3η2−2Esη3

0 0

0 2 4+η2

Esη3−η2−2

Esη3η2+10Esη3

0 0

−6 1Esη3

6 1Esη3

η2+24Esη3

η2+8Esη3

0 0

−6 1Esη3

6 1Esη3

η2+8Esη3

η2+24Esη3

0 0

0 0 0 0 48 1L2η3Es

0

0 0 0 0 0 48 1L2η3Es

♦♥ r♣♣ q ♦♥ ♣♦sé s rrs ♥ ①t♥s♦♥ t ①♦♥ kl = Esη t kf = Esη3

s ♦♥ts S12 = S21 = 0 ♠è♥♥t à ν12 = ν21 = 0 s ♦♥ts P♦ss♦♥ ♥stt s♥rté trs ♥♣♣rît ♣s ♠♥èr é♥t ♥ ♦sr♥t s é♦♠étr ♦♦♥ rt ♣ stt♥r à ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♠ê♠ ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t q ♣♦r trs ①r st rs ②♣♦tès ♥t ♥s s ①rts s♣r t ❬❪ t r♠ t ❬❪

♥s s♣r t ❬❪ ♦♥ sr♣t♦♥ ①♣ér♠♥tt♦♥ ♠♥é sr ♥ é♥t♦♥ trs♥ srré ① s ♦♣♣♦sés trs sr ♥ ♠♥ trt♦♥ t ♥rstré é♦r♠t♦♥ stt ①♣ér♠♥tt♦♥ st ♣têtr ♠ ♥tr♣rété ♠♥ tsé ♦♠♣♦rt rt♥♠♥t ♥ ♥ tr♥st♦♥ s ♠â♦rs srr q t q é♦r♠t♦♥ ♥ s♠♥t ♥♣♣rît ♣s sà ♣ ② s♥s ♦t ♥ss♥ ♦rts rét♦♥s tr♥srss ♥♦♥ ♥♦r♠s ♣r r♣♣♦rt à ① srr s ♦rts rét♦♥ ♣r♦♦q♥t ♥ ♦♥trt♦♥ rt♥♠♥t ♥♦♥ ♥♦r♠ é♠♥t q♣t ♦rs êtr ss♠♥t ♥tr♣rété ♦♠♠ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♦s s♠t♦♥s ♦♥r♠♥t

P PP ❯❳ ❯❳❯

Echantillon 1x1mmEffort réparti F1 de 0.001 Nsur 1 mm

X2

X1

r ♦♥t♦♥s ① ♠ts t r♠♥t ♣♦r s♠t♦♥ trs♠♥t r

♥ éé r ♥ s♠t♦♥ ♥♠érq qs ♣♦r t♥tr r ♥rtt sr ♦♠♣♦rt♠♥t trs s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t r♠♥t s♦♥térts ♥s r

P♦r ♣♣t♦♥ ♥♠érq t s s♠t♦♥s ♦♥ tsé s rs s♥ts

Es = 72000P L =1

32√2♠♠ t = L/10⇒ η =

t

L= 0, 1 r ♦♥tr♥t sr

♥ st ♥ r 0.001 ♠♠ s rs ♥♠érqs

E∗1(hom.) =

1

S11

= 1/2Es η

3

η2 + 4≈ 8, 97P

P♦r s♠t♦♥ ♥♠érq ♦♥ tsé ♥ éé♠♥t ♣♦tr ♠♦è r♥♦ qs s♥s s♠♥t éé♠♥ts ♣r ♣♦trs s réstts s♠t♦♥ ♥♠érq♣♣rss♥t ♥s r s rs ♥ s♠t♦♥ ♦♥♥♥t ♥ é♣♠♥tU1 = 1, 122.10−4 ♠♠ ♦♠♠ ♥s s s♠t♦♥s ts ♥s ♣tr ♣réé♥t ét♥t♦♥♥é q é♥t♦♥ à ♥ ♠♥s♦♥ ① ♠♠ ♦♥ ♣t st♠r q

ε1 =U1mm

1mm= U1 = 1, 122.10−4

σ1 =F1N

1mm= 0.001P

❯♥ st♠t♦♥ ♠♦ ❨♦♥ ♣r st ♦♥♥é s♦♥

♦♠♣♦rt♠♥t t②♣q s ♦♥ ♦t s ♦♥t♦♥s ♠ts ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♥ tr♥st♦♥

P PP ❯❳ ❯❳❯

U, U1

+0.000e+00+9.348e−06+1.870e−05+2.804e−05+3.739e−05+4.674e−05+5.609e−05+6.543e−05+7.478e−05+8.413e−05+9.348e−05+1.028e−04+1.122e−04

r ♠t♦♥ ♣r éé♠♥ts ♥s é♦r♠t♦♥ trs ♠♥t rs♦♠s à ♥ trt♦♥ ❯ r é♦r♠t♦♥ s♥t ① X1

E∗1(Abaqus) =

σ1ε1

=0.001

1, 122.10−4≈ 8, 913♣

ért ♥tr ♠♦ éstq ♦t♥ ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ t ♣r s♠t♦♥ éqt♦♥s t st ♦♥ ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥ s rs

❱ért♦♥ s ♠♦s ♦♣ trt♦♥ s♠♥t

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s t ♣s t trs ♦t ♣♣rîtr s ♠♦s ♣ ♦♠♠♥s ♦♣ trt♦♥ s♠♥t S31 t S41 ♥s ♠tr s♦♣ss ♦s ♦♥s ss②r r r ♠♦ sr s ss trt♦♥ ♦r r

P♦r ♥tr♣rétr ♦rrt♠♥t ss r t ♦♠♣r♥r rô s ♦♥t♦♥s ♦rs ♦♥ s r♣♦rt à ♠♦ést♦♥ r ♦♥ ♦♥stt q s ♦♥ ♦♠♣r é♦r♠t♦♥ té♦rq t ♦t♥ ♣r éé♠♥t ♥ ♦♥ ♥ r♦tt♦♥ é♥t♦♥é♦r♠é tt r♦tt♦♥ st ♥ ♦♥séq♥ t ♠♣♦sr ♥ é♣♠♥t ♥ sr ♦r tér ♥trî♥ é♠♥t t q ♥♠érq♠♥t é♦r♠t♦♥ ♥

s♠♥t ♦t♥ ♣r éé♠♥t ♥ st éq♥t à2∂U2

∂x

♠érq♠♥t ♦♥ ♦t♥t ♥ é♣♠♥t U2 = −1.676 × 10−4 ♦r r

q ♥♦s ♣r♠t ♦t♥r2∂U2

∂x=

U2

1♠♠ s♦t

∂U2

∂x= −8.38× 10−5 ♣s ♥♦s ♦♥s

σ11 =F1

1♠♠= 1× 10−3P

♠♦ ♦♣ é à ♣rtr s ♦♥♥és qs srt ♦♥

P PP ❯❳ ❯❳❯

U, U2

−1.676e−04−1.536e−04−1.397e−04−1.257e−04−1.117e−04−9.775e−05−8.378e−05−6.981e−05−5.583e−05−4.186e−05−2.789e−05−1.391e−05+6.032e−08

X

Y

Z

r ❱r U2 s♠♥t é♦r♠t♦♥ s♥t ① X2 trs ♠♥t r ♥ trt♦♥

(a( (b(

r ♦ést♦♥ ss trt♦♥ trs ♠♥t r é♦r♠t♦♥té♦rq ♥ s♥ ♦♥t♦♥s ♦rs é♦r♠t♦♥ ♦t♥ ♦rs s♠t♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♥ sr ♥ s ♦rs

P PP ❯❳ ❯❳❯

S31(Abaqus) =∂U2/∂x

σ11=

−8.38× 10−5

1× 10−3= −8.38× 10−2P

♥ ♣t ♦♠♣rr ♠♦ ♦♣ ♦t♥ à ♣rtr ♠tr s♦♣ss♦♠♦é♥ésé

S31(hom.) = − 6

Esη3=

−6

72000 · 0.13 = −0.08333P

♥ ♥ très ♦♥♥ ♦♥♦r♥ s rs ért ♥tr s rs S31 ♦t♥s ♣r♦♠♦é♥ést♦♥ t ♣r st

♥ ♣t trr ① ♦♥s♦♥s ét trs Pr♠èr♠♥t é♦r♠ér trs ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ t ♥♦♥ ♣s ♥ét ♠s ♥ ♠♦ é♦r♠t♦♥ ♣rtr s é♦r♠ ♥ s♠♥t ♦rsq♦♥ s♦♠t à ♥ ♦rt trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ①è♠♠♥t ♦ s♠ ♦♥t♦♥♥r t êtr ♣ ♣rér s ♠♦s t②♣qs ts q s ♠♦s ♦♣ trt♦♥s♠♥t S31 ♦S41 ♠tr s♦♣ss

♦♠♦é♥ést♦♥ rs ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t

♥s ♣tr ♣réé♥t ♦♥ ♦♥ sr t q sr ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥♣♣rît ♣s ♣rès ♦♣ ♦♠♠ ♥ ♥éssté ♣♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ s trs ♥ ♣rt♣r q ♥♦s ♦♥ts à ♦r♠r s ②♣♦tèss s♠♣trs sr s tr♠s s♦♥ ♦rr t à rstr♥r ♥♦tr ① trs ♥tr♦s②♠étrqs tr ♣rt ♣rq s ts ♠r♦♣♦rs s♠♥t très s ♥ ♠r♦s♦♣q ♥ ♦rs s r♠♥t s♣éqs ♥ ♠♦♥tré q♥ ♠t♥t ♣r♠r ♦rr é♦♣♣♠♥t r é♣♠♥t uε ♦♥ ♦t♥t ♦rs ♥ t♥sr ♦♥tr♥t ② ssq

♥ t♥t à r♣♣r q ♠ré s s♠ts ♥ st ♣s r♣r♦r ♦ ♦t♥ ♥s ♣tr ① ér♥ t♥t ♠♦è ♣♦tr tsé ♣tr ① ♦♥ tsé ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é ♥s q st ♦♥tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t stàr ♥ ♠♦è q t♥t ♦♠♣ts ♥♦♥♥s r♦tt♦♥s t éqr s ♠♦♠♥ts

♠♣t♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♥ ♦t♥r ♥ ♦ ssq

♥ ♥ ♣s r♣♣r ♥térté rs♦♥♥♠♥t t♥ ♥s ♣tr ♣réé♥t ♠ss♠♣♠♥t ♥♦tr s ér♥s é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs ♥é♠tq ♣♣rît ♥ ♦rr ♥ ♠♦♥s ♣♦r q ♣r♠ètr

uε (λε) = u0 (λε) + εu1 (λ

ε) + ...

P PP ❯❳ ❯❳❯

♣♦tr

δ1 δ2

♦♥♥tté trs t♦♥

∆Ubε = uε (E (b))− uε (O (b)) = ε

(

uER(b)1 (λε)− u

OR(b)1 (λε) +

∂u0(λε)

∂λiδib)

︸ ︷︷ ︸

∆Ub1

♥ ①♣r♠r s r♦tt♦♥s ♥ ♥ ♦♥sr♥t q ♣r♠r tr♠

φnε (λε) = φn0 (λ

ε)+ ...

♦ù

φε(O(b)) = φOR(b)0 (λε)

φε(E(b)) = φER(b)0 (λε)

♥ ♥ s ♣s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r st és♦r♠s ♥t r ♥tt♦♥

φ =1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

♣s ♦♠♠ ♦♥ ♠♦♥tré ♥s ♣tr ♣réé♥t s trs

♦♣ ♦rts µi ♣♥t êtr ♥éés ♥t s trs ♦rts Si ♦s s ♥♠♥ts s♦♥t rés♠és ♥s ♦rt♠

trs t♦♥

trs st é♦qé ♥s s ❬❪ ♥s ♥ rs♦♥ ♦♠♣♦st été ♣r♦♣♦sé ♣rt♦♥ t ♣rès s trs rt ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ st ♥térss♥t♣♦r tst ♥♦tr ♦ ssq ♥♦♥ ♠r♦♣♦r r st ♥ trs ♦♥t éé♠♥tr ♥st ♣s ♥tr♦s②♠étrq ♥♦s ♣r♠ttr érr s ♦♥ ♣t s♣ssr tt ♦♥t♦♥ ♦

é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r s ♦♥♥tté♥s t st ♦♥stté ♥♦s éé♠♥trs t ♣♦trs ♦♥r L t t qtr ♣♦trs ♦♥r L

√3 t

♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠tr s♦♣ss ♦t♥ st

♥ q s ♦rts tr♥♥ts ♥♦r♣♦r♥t s ♠r♦r♦tt♦♥s s ♥ s♦♥t q s ♦♥t♦♥s é♦r♠t♦♥ t ♦♥ ♥♣♣rss♥t ♣s ♥s ①♣rss♦♥ s trs ♦rts Si ♦♠♦é♥ésés

P PP ❯❳ ❯❳❯

♥tst♦♥ s t① ♦♥♥és é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣ss xR→ x(λ) s ♥♦♥♥s

sr♦♥t s qtr sérs rs un1 t φn

0 n ∈ NR

r♥s♦r♠t♦♥ s ①♣rss♦♥s

(

∂U

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→

(

∂U

∂λi

)

(i,j)

t

(

∂φ

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→

(

∂φ

∂λi

)

(i,j)

tt ét♣ st

t s ♦♥ ts ♥ ♦ st♥r ♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t t♦r st ①♣r♠é ♥s ♥ r♣èr ♦rt♦♥♦r♠éssq ♦♥ ♦♠t tt ét♣ t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦♣ér♥t sr s trs t t♥srs ♦♥t êtr é♥s♣♦r s ♦♦r♦♥♥és r♥érs

♥tst♦♥ s t① éqt♦♥s equ1[1..Nmax] equ2[1..Nmax] Nmax ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr

P♦r q ♣♦tr b ∈ BR

E := ER(b) O := OR(b)

∆Ub1 := uE

1 − uO1 +

∂U

∂λiδi kl := Esη t kf := Esη

3 ♥ r♣♣ q ♦♥ rt ♣ tsr ♠ê♠

♠♥èr kl := Est

Lbt kf := Es

t3

(Lb)3

N1 := kl(

eb ·(

∆Ub1

))

T1t := kf

(

eb⊥ ·(

∆Ub1

)

−Lb

2

(

φO0 + φE

0

)

)

MO1 := kf

Lb

6

(

Lb(

2φO0 + φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub1

))

ME1 := kf

Lb

6

(

Lb(

φO0 + 2φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub1

))

equ1[E(b)] := equ1[E(b)] + Nb1e

b + T b1te

b⊥ equ1[O(b)] := equ1[O(b)] − Nb1e

b − T b1te

b⊥ st ♦♥strr ♣r♠r ♠♠r q éqt♦♥

equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1 equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO

1

♦♥strt♦♥ ① s②stè♠s éqt♦♥s 3Nmax ♥s t♦t[

equ1]

=

[

00

]

...[

00

]

[

equ2]

=

0...0

és♦t♦♥ s ① s②stè♠s ♣♦r s rs un1 t φn

0

①♣rss♦♥ s trs ♦♥tr♥ts Si =∑

b∈BR

(

Nb1e

b + T b1te

b⊥) δib

t♥sr ♦♥tr♥t σ =1

gSi ⊗

∂R

∂λi

♦♥strt♦♥ ♠tr rr [K] t q

σx

σy

σxy

= [K]

ǫxǫyǫxy

♣s ♠tr s♦♣ss

[S] = [K]−1

①trt♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ♠r♦♣♦rs t trs ♦♥st♥ts à ♣rtr s ♠trs rr t s♦♣ss

G∗ =1

S33

E∗1 =

1

S11 E∗

2 =1

S22

ν∗21 = −S12 · E

∗2 ν

∗12 = −S21 · E

∗1

♦rt♠ ♦rt♠ trt♠♥t t♦♠tsé ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t

P PP ❯❳ ❯❳❯

b1

b2

b3

b4

b5

b6b7

b8n1

n1

n2

n3

n4

n1

n4

n1

Y2Y1

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs t♦♥

[S] =

S11 S12 0

S21 S22 0

0 0 S33

S11 = −(−684−765 η2√3+503 η2+108

√3−57 η4+9 η4

√3)(288+60

√3+167 η2)

4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4

√3+10020

√3)

S22 =(−108+363 η2

√3+373 η2+228

√3+19 η4

√3−9 η4)(288+60

√3+167 η2)

√3

4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4

√3+10020

√3)

S12 =(−108−125 η2

√3−99 η2+228

√3+19 η4

√3−9 η4)(288+60

√3+167 η2)

√3

4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4

√3+10020

√3)

S21 = −3(−228+33 η2√3+125 η2+36

√3−19 η4+3 η4

√3)(288+60

√3+167 η2)

4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4

√3+10020

√3)

S33 =52

√3(288+60

√3+167 η2)

(756−1905 η2+4467 η2√3+2412

√3+2171 η4

√3−2171 η4)Es η

♥ ♥ tr s ♠♦s éstqs s♥ts

E∗1 = −2/3

(√3+3)Es (−3 η2−24+5

√3)η3

39 η2√3−8 η2+3 η4+36

P PP ❯❳ ❯❳❯

Echantillon de 5 cellules en largeur par 16 cellules en hauteur

densité d'effort de 0.1 N/mm

X2

X1

P1 P2

P3

P4

r ♦♥t♦♥s ♦rs t r♠♥t ♣♦r s♠t♦♥ trs t♦♥ ♥ trt♦♥

E∗2 = −2/3

(√3+3)Es (−3 η2−24+5

√3)η3

72 η2+3 η4+36+31 η2√3

G∗12 = − 1

156

(√3− 3

)Es(13 η2 + 12 + 3

√3)η

ν∗12 = 3 3 η2√3−12+8 η2−η4

39 η2√3−8 η2+3 η4+36

ν∗21 = 3 3 η2√3−12+8 η2−η4

72 η2+3 η4+36+31 η2√3

♥sté rt

ρ∗ = 1/6(4Lt+4Lt

√3)

√3

L2

♥ résé ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦r érr té s ♠♦s E∗1 t ν∗12 ♣

♣t♦♥ ♥♠érq été t ♥ ♠♥♠ ♠♦ éstq Es = 72000P t♦♥t P♦ss♦♥ ν = 0.3 ♦♥r L = 1/16♠♠ t ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15 q ♠♣♦s ♥ rr t ≈ 0.00297♠♠ ♥ ♦s ♥ ♠ éé♠♥ts ♣r ♣♦tréé♠♥t t②♣ qs t ♦♥ ♠♣♦sé ♥ ♥sté ♦♥tr♥t σ1 = 0.1P sr tér s ♦♥t♦♥s ♦rs t r♠♥t s♦♥t érts sr r

trs ♥s tt s♠t♦♥ ♥ t ♣s ①t♠♥t ① ♠♠ ♣s ♣rès s♠t♦♥ s ts ♦rs s♠♥t ss③ ♠♣♦rt♥ts ♦r r ♥♦s ♦♥t à♦sr s é♣♠♥ts s ♣♦♥ts P P P t P ♥térr trs ♣♦r ♠♥r sts ♦rs ♦r r

s réstts s♦♥t s s♥ts

ε11(Abaqus) =U1P2 − U1P1

distance(P1, P2)=

0.789673× 10−2 − 0.350801× 10−2

0.4330127020= 0.01013531469

q ♦♥t à ♥ st♠t♦♥ ♠♦ éstqE∗

1(Abaqus) =σ11ε11

= 9.866491871P

P PP ❯❳ ❯❳❯

U, U1

+0.000e+00+1.060e−03+2.120e−03+3.180e−03+4.240e−03+5.300e−03+6.359e−03+7.419e−03+8.479e−03+9.539e−03+1.060e−02+1.166e−02+1.272e−02

X

Y

Z

r é♣♠♥t ❯ ♥s s♠t♦♥ ♥ trs t♦♥ ♥ trt♦♥

r ♦♠♦é♥ésé st E∗1(hom.) = 10.3699419P s♦t ♥ ért ♥tr s ①

rs ♥r♦♥ s réstts ♣♦r q st é♦r♠t♦♥ s♥t rt♦♥ s♦♥t

ε22(Abaqus) =U2P3 − U2P4

distance(P3, P4)≈ 0.676932× 10−2 − 0.348304× 10−3

0.625≈ 0.0102736256

st♠t♦♥ ♦♥t P♦ss♦♥ st ♦t♥ s♦♥

ν∗12(Abaqus) = −ε22(Abaqus)ε11(Abaqus)

≈ −1.013646435

r ♦♠♦é♥ésé st ν∗12(hom.) = −0.9937972470 s♦t ♥ ért ♥tr s ①rs ♥r♦♥

♥ ♥ ♦♥♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♥tr s rs ♦♠♦é♥ésés t s rs ♦t♥sà ♣rtr s s♠t♦♥s ♦♥ ♣t ♦♥ rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q ♦ ♥♦♥♠r♦♣♦r st ♣ ♦r♥r t♥sr éstté ssq ♥s q s ér♥ts♠♦s éstqs q s♦♥t és ♠ê♠ ♥s s trs ♦♥t éé♠♥tr ♥st♣s ♥tr♦s②♠étrq

♦♥s♦♥s sss♦♥

♦ ♠r♦♣♦r ♠♦♥tr à trrs s ①♠♣s étés s ♣té à tr♦rs ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♦♠♦é♥ésés P♦r érr ♥♦s ♦♥s ♦♠♣ré s réstts♦t♥s ① trs ♠ét♦s ♦tr ♣♣r♦ ♣rés♥t s ♥ts s ♠♦ss♦♥t ♦t♥s ♠♥èr t♦♠tq ♦r♠s ②♣♦tès ♥tr♦s②♠étr s trs ♥st ♣s s♦♥ ♣♦sr s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs ♣r♦♣rs à t ♦ t trs

P PP ❯❳ ❯❳❯

♦ ♦ ♦①t♥s♦♥♥ ♠r♦♣♦r ssq

trs à ♦♠♥♥t ♠ s♥s ♠①t♥s♦♥♥ ssq ♥térêt ssq

trs à ♦♠♥♥t ♠ ♠①♦♥♥ ♥ts ♠r♦♣♦rs ssq

♥tr♦s②♠étrqtrs à ♦♠♥♥t ♠

①♦♥♥ ♥ts ♥ts ssq♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq

① ♦t♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦ tsé t trs trté

♠ét♦ tsé ♣r♠t ♦t♥r s t♥srs éstqs ♦♠♣ts t ♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ss♦és q ♦♣ trs ♠ét♦s ♥ ♦r♥ss♥t ♣s ❯♥ ①♠♣ ♥térss♥tà ♣r♦♣♦s st trs ♠♥t r ♦ù ♣♣rît tr♠ ♦♣ trt♦♥s♠♥t

❯♥ tr ♦♥s♦♥ q ♥♦s ♣♦♦♥s trr ♦♥r♥ ♦ ssq ♥♦♥♠r♦♣♦r q s♠ ♦♥t♦♥♥ ss t ♥♦t♠♠♥t ♣♦r s trs ♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrqs ♦ ♣♣rît ♦♠♠ ♥ rs♦♥ s♠♣é ♦ ♠r♦♣♦r♥ ♠t♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs ♦♥ ♦♠♣r sréstts à ① q ♥♦s ♦♥s ♥s ♣tr ♦♥ ♦♥stt q ér♥ rés ♥s t q t♥sr ♦t♥ st tt ♦s s②♠étrq ♥ q ♦ ♥ ♦r♥ss qs ♠♦s éstqs ssqs st rt♥♠♥t ss♥t ♣♦r ♦♣ ♣♣t♦♥s st ♦♥ ♣t ♥♥r ♦♥s♦♥ q ♥♦s ♦♥s tré ♥ ♥ ♣tr sr♥térêt ♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♣♦r s trs ①♦♥ ♦r♠s s s ♣rtrs ♦♥♣t tsr ♥ ♦ ssq ♥♦♥ ♠r♦♣♦r ♣♦r trtr ♦♠♦é♥ést♦♥ t♦t trs ♠ê♠ ① à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ P♦r rr s ♦ss t ♣rés♥t ♥ s②♥tès s ér♥ts ♦s s étés sqà ♣rés♥t t s ♠①♦t♥s ♥ ♦♥t♦♥ t②♣ trs trté

❯♥ ♦♥s♦♥ s♠♣♦s t ♦ ssq tsé ♥s ♣tr s♠ ♣s ♥rs ♣♦r trtr s trs

srt ♥térss♥t ♣♦rsr s tr① s♥t ♣srs ①s Pr♠èr♠♥t érr té t♦s s ♠♦s ♠é♥qs ♦♠♣é♠♥trs ♦t♥s ♣r ①♣ér♠♥tt♦♥ré t♦ ♥②s à s tr♠s ♦♠♣é♠♥trs ♦t♥s ♣té ♦ à♣rér s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs s♥rs ♦♠♠ ♥s st♦♥ ♠ért êtr♦♥r♠é

①è♠♠♥t s ♦♥ t trtr s trs ♥ s ♦♠♣① ♦♠♣r♥♥t ♥ r♥ ♥♦♠r ♥♦s ♥s ♥ t♠♣s rs♦♥♥ r ♠é♦rrt♦♠tst♦♥ st ♥ s♣t ♣s t♥q q s♥tq ♠s t♠♣s

P PP ❯❳ ❯❳❯

st ♦♥t♦♥ ♥♦♠r rs trtés r♦ît ♥ ♦♠♠ 2 · (3n)2 ♦ ♠r♦♣♦r (3n)2 ♦ ssq n ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr ♦ été réé ♥ ♣ t ♦♥ tsé ♦♥t♦♥ s♦r é♥érq ♣ sr ♥éssr ♣♦r ♠é♦rr t♠♣s érr ♥ ♦♥t♦♥ s♦rs♣éq

r♦sè♠♠♥t ♦♥ ♣t ♠é♦rr ♣rt ♦ ♦♥r♥♥t s♠♣t♦♥ s réstts ♥ r♦ss♥t ♦♠♣①té s ♥ trs s ♠♦s ♦t♥s♦♠♣r♥♥♥t ♣s ♥ ♣s tr♠s ♥ ♥tr♦t s♦♠♠r♠♥t tt s♠♣t♦♥♥s ♣tr ♣r ♥ ♥②s s tr♠s ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ♣tt ♣r♠ètrη ♠s ♦♠♠ ♠♦♥tr st♦♥ ♣t s réér ♥ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ ré ♣rés♦♥ rré

♥s ♣tr s♥t ♥♦s ♦♥s ♦rr ♦♠♦é♥ést♦♥ trs ♣rés♥t♥t ♥♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq

Chapitre 5♣♣r♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq

♦♠♦é♥ésé ♥ trs ré♣étt à ♦♠♥♥t

①t♥s♦♥♥

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

♦r♣ sr ♠♦ést♦♥ s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq

♦① ♠ét♦ ♠ts t ♦♠♥s tst♦♥

qt♦♥s ♦♥sttts à é ♠r♦s♦♣q

qt♦♥s à é ♠r♦s♦♣q ♠♦è ést♦♣stq ♥♣♦tr ♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣

♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♦

é♠ ♥tért♦♥

♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥

ét♦

Pr♥♣ é♥ér

s srs r ♠t ♥ts

♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t ♣stq

♦ t ①♠♣s

♦rt♠ s srs rs ♥ts

♦rt♠ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq

♦♥s♦♥s sss♦♥

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♦tt♦♥s tsés ♥s ♣tr

♥ t s ♥♦tt♦♥ t♦r ♣♦r s t♥srs t ss ♥♦tt♦♥ ♥é♥r

δib ♣r♠ètr ♦st♦♥ ♣♣rt♥♥ ♥♦ ♥ Et

1 ♠♦ éstq ①trt ♠tr t♥♥t[∆E]n ♥ré♠♥t t♥sr é♦r♠t♦♥ à ét♣ ♦♥séré[∆Σ]n ♥ré♠♥t t♥sr ♦♥tr♥t à ét♣ ♦♥séréEs ♠♦ ❨♦♥ ♠tér s ♣♦trsEt

1 ♠♦ éstq t♥♥t ♦t♥ à ♣rtr ♠tr t♥♥t [Kt] à ét♣ n

[E] =

[∂U1

∂x

∂U2

∂y

1

2

(∂U1

∂y+

∂U2

∂x

) ]T

=[E11 E22 E12

]T t♥sr s é♦r♠t♦♥s ♦♠♦é♥ésés

[e] tr é♦r♠t♦♥ t♦t ♣r ♣♦tr[ee] tr é♦r♠t♦♥ éstq ♣r ♣♦tr[ep] tr é♦r♠t♦♥ ♣stq ♣r ♣♦treb tr rtr ♣♦tr b[f ] tr s ♦♥t♦♥s rs ♣r ♣♦trs[ft] tr s ♦♥t♦♥s rs tst ♣r ♣♦trsg ♦♥ ♦♥t♦♥ ♥♠♥t r R

[γ] tr r s♦ t① ér♦ss ♣r ♣♦tr γb =∣∣ebp∣∣

[∆γ′] tr ♥ré♠♥t ér♦ss s♥é t q ∆γ′b = s♥(σb) ·∆γb

Hs ♠♦ ♣stq ♠tér s ♣♦trs[Kt] ♠tr t♥♥t ♣s n[Kp] ♠tr rr ♣stq[Ke] ♠tr rr éstq[Kr] ♠tr ♥tr♠ér ♣♦r [Kt]n ♥♦♠r ♣♦trs ♣r éé♠♥trνt12 ♦♥t P♦ss♦♥ ♦t♥ à ♣rtr ♠tr t♥♥t [Kt] à ét♣ n[Q] ♠tr ♣ss é ♠r♦ rs ♠r♦ ♥ ♦♥tr♥t[Q]p ♠tr ♣ss é ♠r♦ rs ♠r♦ ♥ ♦♥tr♥t ♥q♠♥t ♣♦r

s ♣♦trs ♣r♠rs[Q]r ♠tr rét ♣ss é ♠r♦ rs ♠r♦ ♥ ♦♥tr♥t

♥q♠♥t ♣♦r s ♣♦trs ♣r♠rs[Q]i ♠tr ♣ss s t♥s♦♥s ♣♦trs ♣r♠rs σp rs s t♥s♦♥s

♣♦trs s♦♥rs σs[Q]s ♠tr ♣ss t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ] rs s t♥s♦♥s

♣♦trs s♦♥rs σsρ∗ ♥sté rtR ♦♥t♦♥ ♥♠♥t r (λi) rs (xi)σys ♠t éstq ♥t ♠tér[σ] tr s ♦♥tr♥ts ♣r ♣♦trs é ♠r♦s♦♣q[σt] tr s ♦♥tr♥ts tst ♣r ♣♦trs tt ♠tr st ♥tq à [a]

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

tr st♦♥ rr ♥ ♣♦tr tb ♣rès[σp] tr s ♦♥tr♥ts ♣♦r s ♣♦trs ♣r♠rs[σs] tr s ♦♥tr♥ts ♣♦r s ♣♦trs s♦♥rs[σn] tr s ♦♥tr♥ts ♣r ♣♦trs ♥♦r♠sés ♣r r♣♣♦rt à σys[Σ] =

[Σ11 Σ22 Σ12 Σ12

]T tr t♥sr s ♦♥tr♥ts ♦♠♦é♥ésés

à é ♠r♦s♦♣q[Σ]norm tr t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠sés ♣r r♣♣♦rt à σys[s] tr s srs rs ♣r ♣♦tr[St] tr s♦♣ss t♥♥ttb rr ♥ ♣♦trv (.) tss rt[ξ] tr ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst tr ① rt♦♥

é♦t♦♥ r ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts[ζ] ♠tr ♦♥ rré ♦♥t♥♥t s ♠♦s r♥t ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t

éstq tst [ξ] t ♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ ♣stq [∆γ′] t s♦rtq [∆γ′] = [ζ] [ξ]

♥tr♦t♦♥

♥ éà é♦qé ♥s trs ♣trs ♥térêt s ♠tér① rs t s trs♥ ♣rtr P♦r rt♥s ♣♣t♦♥s ♦♠♠ s♦r♣t♦♥ s ♦s ♦ tst♦♥♦♠♠ ♠tér r♠♣ss ♣♦r s ♣ès ♥strs st ♥éssr étr♠♥rs ♣r♦♣rétés ♠é♥qs q s♦♥t s ♠ts éstqs t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥s ♦♠♥♣stq ❬♦②♦②♦ ♥ ❪ ❯♥ ♣♣r♦ ♥♠érq rt st ♥♦♥ r é♣ss s ♣tés s s②stè♠s ♥♦r♠tqs ts ❯♥ ♣♣r♦ ♠r♦♠é♥q ♣r s ♥ ♦r♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ st ♣réér

♦tr ♦t ♥s ♣tr st tr♦r ♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ésé t♦♠tq ♠t éstq ♣s é♦t♦♥ ♣stq ♥ trs ré♣étt

♥ ♦♠♠♥ ♣tr ♣r ♥ rè ♦r♣ st st très st ♥s r tt tès ♦♥ ♦rr ♣r♦è♠ ♥ rstr♥♥t ♥♦tr ét ① trs ré♣étts à♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s trs s♦♥t s ♣s ♦♣t♠sés q♥t r♣♣♦rt rtérstqs ♠é♥q♥sté ❬❲♥ ♥ ♦ ❪ ♥ q ♠ét♦é♦♣♣é ss♦s s♦t ♥♦ à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♣rés♥t s s♠ts ♦r ❬❪ ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r ♦r st ♠té ① trs ♦♥t s♥♦s s♦♥t stés sr s r♦♥tèrs éé♠♥tr ♥ ♣t♥t ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq srèt trt♠♥t ♣stté ♦♥ ♠♦♥tr q ♥♦tr ♠ét♦ ♣r♠t trtr ♥ér♠♠♥t t♦s s trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♠ê♠ ① ♦♥t éé♠♥tr ♦♠♣♦rt s ♥♦s ♥tr♥s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

Mousse élasto-plastiqueen compression

Elastique linéaire

Plateau

Densification

Con

train

te

déformation0 1

Mousse élasto-plastiqueen traction

Elastique linéaire

Con

train

te

déformation0 1

début de déformation plastique

alignement des parois

(a) (b)

r ♦rs ♦♥tr♥tsé♦r♠t♦♥ ♥ ♠♦ss ést♦♣stq ♥ ♦♠♣rss♦♥ t trt♦♥

♦r♣ sr ♠♦ést♦♥ s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq

♦s ♦♥s r♣♣é ♥s ♣tr ♥ s ér♥ts té♦rs trs ♥ ♦♥t♦♥ r ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ①t♥s♦♥♥ ♦ s♥s ♦♠♥♥t P♦r q st s ♠tér①à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♦♠♠ s ♠♦sss ♦♥ tr♦ ♥s ❬s♦♥ ♥ s② ❪ sréstts ①♣ér♠♥t① q ♦♥r♥♥t ♣stté s ♠♦♥tr♥t q t st♥r tr♦sté♦rs ♠tér① s ♠♦sss t②♣ ést♦♠èr s ♠♦sss ést♦♣stqs t s♠♦sss éstqs à r♣tr r s ♠é♥s♠s é♦r♠t♦♥ s♦♥t ér♥ts s♦♥ q♦♥ s ♣ ♥s s ♥ ①t♥s♦♥ ♦ ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦r r ♦♥♦♥sèr ♥q♠♥t s ♠tér① ést♦♣stq ♥ ♦♠♣rss♦♥ r s ♠tér① ♦♥t ♥ rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥ tr♦s ét♣s s s é♦r♠♥t t♦t ♦r ♠♥èr éstq ♥ér ♣s sr♥t ♥ ♣s ♣t ♦rs ♣stt♦♥ t ♠♠♥t s ♠r♦♣♦trs t ♥♥ sr♥t ♥ ♣s ♥st♦♥ ♦rsq s ♣♦trss♥êtr♥t s s ♠ê♠s ♠tér① ést♦♣stqs ♥ trt♦♥ r s♦♠♣♦rt♥t ér♠♠♥t ♣s éstq st s ♥ ♣s ér♦ss à q♥t s♦tr ♥ ♣é♥♦♠è♥ ♥♠♥t s s ♥ s s♦♥ ♥ s②❬❪ ♦♥♥♥t rss ♦r♠s ♣r♠tt♥t rtr♦r s ♦rs sés ♣r♥♣♠♥t

sr s ♠srs ①♣ér♠♥ts ②♥t ♣♦r ♣r♥♣ ♣r♠ètr ♥sté rtρ∗

ρs s

s♦♥♥t q s♥t s trs ♠♦sss rés ♦♥sérés s ♣é♥♦♠è♥s ér♦ss① ♥♦s ♣♥t ♣♣rîtr s à ♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥ts

s éts térrs sr s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♠tt♥t ♥ é♥ s♣é♥♦♠è♥s ♦♠♣①s ♥s é♦r♠t♦♥ ♣stq s trs Pr ①♠♣ ♠rt ❬❪ ♣r ♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ t②♣ r♥♥ rétsé t srs trs ss③ sts ♠♦♥tr♥t s ♣é♥♦♠è♥s ♦st♦♥ s♦s ♦r♠ ♥s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r ér♥ts ♠♦s ♦♥r♠♥t ♠ trs ①♦♥ ♣rès❨♥ t ❬❪

♦♥r♠♥t rt♦♥ ♦ ♠♦ts ♠r♦é♦♠étrqs ♣♣rss♥t ♦rs trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s trs ♥s s trs ♣srs ♠♦s é♦r♠t♦♥ ér♥ts①st♥t s♥t st♦rq r♠♥t ♦♥ ♥♦t é♠♥t q ♣r♦♣t♦♥ s♥s é♦r♠t♦♥ sr♥t ♣rès ♦♥r♠♥t ♥t ♥ s s ♠♦tsé♦♠étrqs ♣rtrs ♣♣rss♥t é♠♥t ♥s s s♠t♦♥s ❨♥ ♥ ♥❬❪ r ♦ ♥s ♠r② t ❬❪

tt ♥②s ♥♦s ♠è♥ à ♦♥sérr qét♥t ♦♥♥é ♦♠♣①té s ♠♦s ér♦ss t ♦♥r♠♥t s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♦♥ rstr♥r ♥♦tr ét ①trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♥ ♠tér ést♦♣stq

♥ r ♥ rè r s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♣qés à ♣stté st ♣s s♦♥t ♥ r♥t s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ éà ♣rés♥tés ♥térr♠♥t ♥s tt tès ♥ ♣t st♥r ♥é♥♠♦♥s s éts q s ♦r♥♥t àtr♦r s srs rs ♠ts éstqs ♥ts t s q s♦r♥t ♦r♥r♥ ♠♦è ést♦♣stq ♦♠♦é♥ésé ♦♠♣t

P♦r q st s éts sr s srs rs ♥ts ♦♥ tr♦ ♥s s♣♥t ❬❪ ♥ ét s ♠ts trs tt ét st résé à ♦s ♥②tq♠♥t ♣r ♠ét♦ s ♠♦②♥♥s s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs sr s s éé♠♥tr t ♣r éé♠♥ts ♥s s srs rs s♦♥t tr♦és ♥②tq♠♥t ♣r ♥ ♥②s s ♣r s s ♣♦trs q ♣st♥t ♥ tr♦ ♥s ❲♥ ♥♦ ❬❪ ♥ s②♥tès s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s① trs ♣r ♥ ♠ét♦♦♠♦é♥ést♦♥ ♠ê♠ ♥tr s srs rs s♦♥t és ♥ ts♥t ♥♦r♠ ♦♥tr♥t éq♥t q ♦♠♥ à ♦s ①t♥s♦♥ t ①♦♥ ♥ étr♠♥râ à tt ♦♥tr♥t éq♥t ♥ ♥éqt♦♥ ♣r ♣♦tr ♥ t ♥st ①tr♠♠ tt st ♥éqt♦♥s ♥ rtr♦ ♥ ♣♣r♦ s♠r ♥s ♦②♦②♦ ♥ ❬❪

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

t ♦②♦②♦ ♥ ❬❪ ♣♦r s trs ❲rr♥ t ①étqs ♥s ♥ t ❬❪ ♣♦r trs tétréèr t ♥s ❩♥ t ❬❪ ♣♦r ① ♥♦①trs qr t ♦♠

rt♥s éts ♦♥t ♥ ♣♣r♦ ♥♠érq ♦ ♦♠♣r♥t s réstts ♥②tqs ♥ ét ♥ ♣t tr ❲♥ ♥ ♦ ❬❪ ❨♥ ♥ ♥ ❬ ❪t ♠r② t ❬❪ trs trs ♦♥t été ♥♠érq♠♥t ♥♥ rt♥s♣r♠ètrs ♦♠♠ st♦♥ ♣♦tr ❬❳ ♥ ♥ ❪ ♦ ♥ rrérté ♥ss trs ❬r ♥ ❱r ❪ ét r t ❱r st ♥térss♥t r ♠♦♥tr ♥♥ s ts ♦rs t ♥♦♠r s tsés ♥s s s♠t♦♥s♥♠érqs

❯♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣s é♥ér st ♣r♦♣♦sé ♥s ♦r ❬❪ stsé sr ♣r♦t♦♥ é♦r♠t♦♥ éé♠♥tr sr s ♣♦trs tt tt ♠ét♦ s♣♣♦s ♥ é♦r♠t♦♥ ♥ s ♣♦trs q s trs étéss♦♥t à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ t q s ♥♦s s♦♥t stés sr s s térs éé♠♥tr ♦r ♣r♦♣♦s ♥ ♦rt♠ ♥ré♠♥t ♣♦r rés♦t♦♥ é♦r♠t♦♥ ♣stq ♦rt♠ q ♦r♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♣♦t ♥ é♦r♠t♦♥ st♥srs ♦♠♦é♥ésés ♦♥tr♥t t é♦r♠t♦♥ ♣stq s♥t ♥ ♠ét♦ rtr♥ ♠♣♣♥ ❬♠♦ ♥ s ❪ ♥ tr♦ ♥s ♥ t ❬❪ ♥ t ❬❪ t ♥ ♥ ♥ ❬❪ ♥ ①t♥s♦♥ tt ♠ét♦ à ér♥ts é♦♠étrs t ♥s q tst♦♥ ♥ ♦ é♦r♠t♦♥ ♣stq t②♣ ♠rs♦♦

♥ tr♦ ♥s ♦r♥ ♥ ❬❪ ♥ ♣♣r♦ ér♥t ♣r ♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ t②♣ é♥rétq ♥t♠♥t é♦♣♣é ♥s Pr ♥ ❬❪ ét♦♠♣♦rt ♥ ①t♥s♦♥ tt ♠ét♦ ♣♦r tr♦r s srs r t♠s ♥trs ①♦♥ ♠ét♦ st ♣rés♥té ♦♠♠ r♦rs t ♣r♠t ét ♥ trs①♦♥ s ♣♦trs à st♦♥ ♥♦♥ ♦♥st♥t

♦① ♠ét♦ ♠ts t ♦♠♥s tst♦♥

♥ ♦♥s♦♥ tt r ♦r♣q ♦♥ rt♥r q ér♥ts ♠ét♦s ♦♥tété é♦♣♣és ♣♦r tr♦r s ♠ts éstqs srs rs ♥ts t♦ts♦rt trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♦ ♥♦♥ s q ét ♦♠♦é♥ésé♥s ♦♠♥ ♣stq trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♣♦s s tés és ♥trtrs à ♦st♦♥ ♦♥r♠♥t s♦s ♦r♠ ♥s ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r♦r ❬❪ ts ♣♦r ♥ rt♥ ♥♦♠r trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥st ♥térss♥t ♣r♠t ♦r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♦é♥ésé ♣stq s trsé♥♠♦♥s tt ♠ét♦ st rstr♥t ① trs q ♥ ♣♦ssè♥t ♣s ♥♦s ♥tr♥sstàr ① trs ♦♥t s ♥♦s s♦♥t stés sr s s térs éé♠♥tr ♥ s ♣r♦♣♦s à trrs ♥♦tr ét r à tt rstrt♦♥ ♣♦r trtr t♦ss trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦ s♥s ♥♦s ♥tr♥s ♥ s♥t ♥ ①t♥s♦♥à ♣stté ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt

tt ét ♥st q♥ ♣r♠èr ♣♣r♦ t♦s s trs ♥ sr♦♥t ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣tPr ①♠♣ s ♥sttés és à ♦♠♣rss♦♥ ♥ sr♦♥t ♣s trtés ♥stté ♣r♠ t♦ r♦tt♦♥ s ♥♦s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

E1

E2

r ♦è ♥♦ ♠é♥q ♥ ♣♦tr ♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣

qt♦♥s ♦♥sttts à é ♠r♦s♦♣q

♥ rè♠♥t r♣♣r ♥s tt st♦♥ s éqt♦♥s ♦♥sttts té♦r♣stq ♣♦r s éé♠♥ts ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥s t②♣ ♣♦trs ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♣r♠ttr érr s ♥♦tt♦♥s tsés t s ♥♦t♦♥s s♣éqs ♥tr♦ts ♥stP♦r ♣s éts ♥♦s r♥♦②♦♥s tr à ❬♠♦ ♥ s ❪ ♦s ♦♥s♦rr s♥t♠♥t s ♥♦t♦♥s rss♠♥t s♦tr♦♣ ré♣♦♥s rrérs t s♠♦ést♦♥ ♠té♠tq trrs s ♦♥t♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♥r ♦♥♣t ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ t ♦① ♠ét♦ ♥tért♦♥ ss♦é à ♦r♠ ♥ré♠♥t ♣r♦è♠

♥ tsr ♠♥èr réq♥t s tr♠s és ♠r♦s♦♣q t ♠r♦s♦♣q ♦♥♥t érr ♣résé♠♥t q s♥♥t s tr♠s ♥s ♦♥t①t ♣tr①♣rss♦♥ é ♠r♦s♦♣q t réér♥ ① r♥rs ss♦és ① ♣♦trs s♥♥ éé♠♥tr Pr ①♠♣ tr s ♦♥tr♥ts [σ] ♦♥t♥t ♥s♠ s♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs σb ss♦és ① ♣♦trs b ①♣rss♦♥ é ♠r♦s♦♣qt réér♥ ① r♥rs ss♦és à éé♠♥tr st r♥rs ♦♠♦é♥ésés Pr ①♠♣ t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ] st t♥sr ♠r♦s♦♣q rést♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♦♥tr♥ts [σ] ♠r♦s♦♣qs

qt♦♥s à é ♠r♦s♦♣q ♠♦è ést♦♣stq♥ ♣♦tr ♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣

♠♦è s ♦♣té ♣♦r ♣♦tr st ♣stq s♦tr♦♣q q ♦♥ ♣♦rrtr♣rés♥tr ♣r ♥♦ ♠é♥q rss♦rts t♦♥♥és ♥ ♣t♥ r♦tt♠♥t ♦r r

ré♣♦♥s t②♣q ♥ ♠♦è ér♦ss ♥ér s♦tr♦♣ st ♦r♥ sr r ♥ ♣rt é♦r♠t♦♥ t♦t q ♥♦s ♥♦♠♠r♦♥s e ♥tr ♥ ♣rt éstq ee t

♥ ♣rt ♣stq epe = ee + ep

♠♦ éstq ♠tér ♣♦tr b st Es ♥♦s ♦♥s ♦♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t éstq

σb = Ebs

(eb − ebp

)

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

eO

r é♣♦♥s ♥ ♠♦è ♣♦tr à ér♦ss ♥ér s♦tr♦♣ ♦rs ♥ ②r♠é s ♠♦s t♥♥ts ss♦és

♥ r♠rqr q r q ♣♦t q st ♦♥♥é ♥tré ♣r♦è♠ st eb♦♥ ♣rr ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ P♦r ♠ttr ♥ é♥ ôté rrérs ér♦ss ♦♥ ♣♦s s rès s♥ts

♦♥tr♥t ♥s ♣t♥ ♥ ♣t é♣ssr ♥ r s♦ r sb q srt ♦♥tr♥t é♦♠♥t ♣t♥ sr ♠t éstq ♦ ♠t r ♥ é♥r ♥ ♦♥t♦♥ r ♦ ♦♥t♦♥ ♠t q ♦♥ s♠♣♦s ♦♠♠ ♥ét♦ ♥

f b =∣∣σb∣∣− sb ≤ 0

r sb sr r ♠s ①é ♥t♠♥t sr ♠t éstq ♠térσys

r s♦ ♦♥tr♥t ♣♣qé σb st ♥érr à sb ♦rs ♥② ♣s ♥♠♥t ♥s ebp ré♣♦♥s ♣♦tr sr éstq

♦♥t♦♥ q ♦♥ sst ♠♣♦sé ♥ ♥trî♥ t q ② ér♦ss ♥q♠♥t♦rsq f b = 0 ♥ ♣♣r γ r s♦ t① ér♦ss ér♦sss t ♦t♦r♠♥t ♥s s♥s ♦♥tr♥t ♣♣qé q s♥ q s♦♥t① st s♥ ♦♥tr♥t σb ♥ ♦t♥t

ebp = γb s♥(σb)

s rès ♥trî♥♥t s ♦♥t♦♥s s♥tsf b < 0 ⇒ γb = 0γb > 0 ⇒ f b = 0

s ♦♥t♦♥s ♣♦rt♥t ♥♦♠ ♦♥t♦♥s ♥r ♥ ♠♦♥tr ❬♠♦ ♥s ❪ q ♦♥ ♣t ♦tr ♥ ♦♥t♦♥ t♦♥♥ t ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥♦ ♣rsst♥

γ f b = 0

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

q ♦♥ ♣♦rrt ♥tr♣rétr ♣②sq♠♥t ♦♠♠ t q ♦rs ér♦ss ♦♥tr♥t s ♠♥t♥t sr sr r

♥ ♦tr à ♥ ♦ ér♦ss s♦tr♦♣ ér♦ss st s♦tr♦♣ ♥ s♥s qàq étt r♠♥t ♥tr sr r é♥ ♣r s ♠ts

[−sb, sb

]

st ♦r♥ ér♦ss st ♥ér q♥t ① ♣stq t ♥é♣♥♥t s♥ ebp ♦♥t à ♥ ♦ t②♣

sb = σys +Hbsα

b

Hbs ♠♦ ♣stq t α t q αb =

∣∣ebp∣∣ = γ α st ♠ r

s♦ é♦r♠t♦♥ ♣stq st ♣♣é ♥s ttértr r ér♦ss♥tr♥ α srt à é♥r sb ♠t r ♣♦r ♣♦tr ♥s ♥♦tr ♦rt♠ ♦♥ ♠é♠♦rsé ♦♠♠ r ♥tr♥ r sb

éqt♦♥ ♥trî♥ t q ♦♥ ♣t réérr ♦♥t♦♥ r éqt♦♥ s♦s ♦r♠

f b =∣∣σb∣∣−[σys +Hb

sαb]

♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♦

♥ ♣t à s éqt♦♥s ♦s t s ♦s ér♦ss é♥s ♣réé♠♠♥tr ♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♥s s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♥ ♣♦tr ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥ éqt♦♥ ♣r♠t rés♦r γ ♥ ♣rt éqt♦♥

f b =∂f

∂σbσb +

∂f

∂αbαb

= s♥(σb)Ebs

(eb − ebp

)−Hb

s αb

= s♥(σb)Ebs

(eb)− γb

[Eb

s +Hbs

]≤ 0

♣rès ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥ s γb 6= 0 ér♦ss ♥trî♥ f b = 0 t ♦♥♣rès éqt♦♥ ♦♥ ♥s s

f b = f b = 0 ⇒ γb =s♥

(σb)Eb

s eb

Ebs +Hb

s

♠♦ t♥♥t rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ sért ♦♥ ♥ r♣♦rt♥t éqt♦♥ ♥s ♦r♠ ♥ tss éqt♦♥

σ =

Ebs e

b s γb = 0

HbsE

bs

Ebs +Hb

s

eb s γb > 0

s ① ♠♦s ♣♣rss♥t à ér♠♠♥t ♠♦♠♥t ♥ ② rér♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r sr r

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

é♠ ♥tért♦♥

♣r♦è♠ s ♣♦s ♠♥èr s♥t ♦♥ s♣♣♦s qà ♥st♥t tn étt srsebn, e

bp,n, s

bn

st ♦♠♣èt♠♥t é♥ ♥ ♣t ♥ ♦♥séq♥ é♥r étt ♦♥tr♥t à t ♥st♥tσbn = Eb

s

(ebn − ebp,n

)

♥ ♠♣♦s ♥ ♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ ∆e ♣rès ♥ ♥ré♠♥t t♠♣s ∆t t qtn+1 = tn+∆t ♥♦s t ♦rs rr ♥s♠ s rs

ebp,n, s

bn

♦♠♠ st

♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ q ♦♥ s♠♣♦s ♦♥ ♣r ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥s sé♠s ♥tért♦♥ ssq ♣♥t êtr ①♣♦sés ç♦♥ s♥t ♦♥sér♦♥s

♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s g(t) t s éré f (g(t)) = g(t) ♠s t q f s♦t ♥ ♦♥t♦♥ g(t) ♥ ♣t ♦rs ①♣r♠r ♥ ♠ ♦rt♠ t ♣♦♥t ♠ é♥érsé

gn+1 = gn +∆t f (gn+v)

gn+v = vgn+1 + (1− v) gn

gn+1 ≈ g(tn+1) ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦rt♠q r ①t g(tn+1) ♥♣t ♥♦tr q tt ♠ ♦rt♠ ♦♥t♥t s sé♠s ♥tért♦♥ ♥ ♦♥♥s

v = 0 ①♣t

v = 12

♣♦♥t ♠

v = 1 ♠♣t

♥ r♥♦ tr à ttértr s♣ésé ♠té♠tq sr qst♦♥ ♣♦r ♣s éts ♥ ♥♦tr s♠♣♠♥t q s ♦rt♠s ♣♦♥t ♠ t ♠♣t s♦♥t ♣s♣rés ♦♥ ♦♥r♥t ♣s r♣♠♥t t q stté ♥♦♥t♦♥♥ rqrt v > 1

2

♦rt♠ ①♣t à ♣♦r ♥ t♦t ♠r s s♠♣té s ♦♥t♦♥s àét♣ n+1 s t ♠♠ét♠♥t à ♣rtr étt s ♦♥t♦♥s à ét♣ n st t②♣♦rt♠ ♥tért♦♥ q ♥♦s ♠ttr♦♥s ♥ ♦r ♥s ♣tr

♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥

♥ ♦♥sérr ♥ étt ♥tr♠ér s ♦♥t♦♥s ♦♥sttts é♥s ♣r♥t♣♣é étt tst ♣r♠♥t éstq ♦t♥ ♥ ♥t ① ♣stq ep

σtn+1 = Es (en+1 − ep,n) = σn + Es∆en

f tn+1 =

∣∣σt

n+1

∣∣− sn

t étt ♥st ♠ss q ♥s s ♣r♠♥t éstq ♥s s ♣stq ♦♥t♦♥ r tst sr ♣♦st f t

n+1 > 0 q ♦ rè é♥ ♣s t ♣♦rtt ♦♥t♦♥ ♥trî♥ à s s ♦♥t♦♥s ♥r q s f t

n+1 > 0 ♦rsγ > 0 ♥♦s t ♠ttr à ♦r s rs ep,n+1 t sn+1 t s♦rt q étt ♥ fn+1 = 0 ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r r ♣♣rîtr ∆γ ♥s ①♣rss♦♥ ♥ σn+1

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

σn+1 = Es (en+1 − ep,n+1)

= Es (en+1 − ep,n)− Es (ep,n+1 − ep,n)

= σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)

♥ ♣t ♠♥t♥♥t réérr s éqt♦♥s à étt ♥

σn+1 = σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)

ep,n+1 = ep,n +∆γs♥(σn+1)

αn+1 = αn +∆γ

fn+1 = |σn+1| − sn+1

sn+1 = σys +Hsαn+1 = sn +Hs∆γ

éqt♦♥ ♦♥ tr∣∣σt

n+1

∣∣ = |σn+1|+∆γ Es

♦♥ r♣♦rt ♥s éqt♦♥ ♦♥ ♦t♥t

fn+1 =∣∣σt

n+1

∣∣−∆γ Es − sn+1

=∣∣σt

n+1

∣∣−∆γ Es − [sn +Hs∆γ]

= f tn+1 −∆γ (Es +Hs)

♥ fn+1 ♦t êtr é à ③ér♦ ♦♥ ♣t ♦♥ trr éqt♦♥ ♣réé♥t

∆γ =f tn+1

Es +Hs

> 0

♦rt♠ rés♠ ♣♦r ♥ ♣s t♦t tt é♠r

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♥ ♣rt étt s rs à étt n ebn, e

bp,n, s

bn

t ♦♥ ♠♣♦s ♥ ♥ré♠♥t

é♦r♠t♦♥ ∆e

♥ ♥ étt ♥tr♠ér tst

σtn+1 = Es (en+1 − ep,n) = σn + Es∆en

f tn+1 =

∣∣σt

n+1

∣∣− sn

s f tn+1 ≤ 0 ♣s st éstq s rs tst s♦♥t s rs ♥s ♦♥ ♣ss

♣s s♥t

s f tn+1 > 0 ♣s st ♣stq ♦♥ ♥

Pr♦t♦♥

∆γ =f tn+1

Es +Hs

> 0

σn+1 = σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)

ep,n+1 = ep,n +∆γs♥(σn+1)

sn+1 = sn +Hs∆γ

♦rt♠ ♦rt♠ ♣r ♣r♦t♦♥ ♠♦è ést♦♣stq ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ér♦ss s♦tr♦♣

r str t ♦rt♠

ét♦

Pr♥♣ é♥ér

♦s ♦♥s é♥♦♥é ♥s st♦♥ ♣réé♥t ♦r♠ ♦ ♣♦r ♥ ♣♦tr séqt♦♥s ♦♥sttts ♥♦s t tr♥s♦r♠r s éqt♦♥s s♦s ♥ ♦r♠ ♦ àé ♥ r♥t à tr♥s♦r♠r s rs ♥s ♥tr sr♥ rs ♥tr tr

♥ t ♥ ♣♣r♦ ♥ ① t♠♣s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥ ré à étr♠♥rqs s♦♥t s srs rs ♥ts ♠ts éstqs ♥s ♥ s♦♥ t♠♣s ♦♥ ré à étr♠♥r é♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t ♣stq

P♦r ♣r♠r s étr♠♥t♦♥ s ♠ts éstqs ♣r♥♣ st stré♣r r ♥ ♣rt t♥sr ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rtà ♠t éstq ♠tér σys ♥ ♦t♥t à ♣rtr à ♥ ♠tr ♣ss [Q] s rs s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠sés ♣r ♣♦trs ♦♥t♦♥s s ♦♠♣♦s♥ts t♥sr ♦♥tr♥t ♥♦r♠sé ♥ ♦♥stt s ♦♥tr♥ts ♣r ♣♦tr σb

norm s♦s ♦r♠

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

Projection

r strt♦♥ ♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ q ♣r♠t♦t♥r étt ♦♥tr♥t ♥ ♣r ♣r♦t♦♥ ♦♥tr♥t tst sr sr r

Echelle

macro

micro r é♠ ♣r♥♣ ♣♦r ♦t♥t♦♥ s srs rs ♠ts éstqs ♥ts

♥ st ♥éqt♦♥s q ér♥t ♥ ♦♠ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠séss srs ♦♠ s♦♥t s ♠ts éstqs ♥ts

P♦r s♦♥ s é♦t♦♥ ♣stq ♦♥ ♣t strr ♣r♥♣ ♣r r ♥ s st ♥s s ♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ ét♣ n♦♥ sst ♦♥♥é à é ♠r♦ tr t♥sr é♦r♠t♦♥ [E]n q ♥♦s ♦r♥t♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ t stst♦♥ tr t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ]n ♠tr rr [Kt]n t à é ♠r♦ tr s é♦r♠t♦♥s ♣stqs [ep]n t tr s srs rs [s]n ♥ s ♦♥♥ à ét♣ n + 1 ♥ ♥♦ t♥sr é♦r♠t♦♥ éstq [E]n+1♦♠♣t étt t ♠tér à ♠trt♥♥t [Kt] ♥ étr♠♥ à ♣rtr [E]n+1 à é ♠r♦ ♥ ♦♥tr♥t tst ♣r♣♦tr [σt] ♦♥ ér q s ♦♥t♦♥s rs tst [ft] rst♥t ♥éts s ♥st ♣s s ♦♥ réts s ♠ts éstqs [s] t ♥ré♠♥t ♣stq [γ] ♠♦t♦♥ étt ér♦ss ♥ ♣♦tr ♠♦ éqr ♠é♥q ♥s♠ s ♣♦trs

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

Echelle macro

Echelle micro

étape n étape n+1

boucle

r é♠ rés♦t♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♥ trs ♥s ♦♠♥ ♣stq♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥

♥s éé♠♥tr ♦♥ ♦t ♦♥ térr à é ♠r♦ ♣♦r stsr s♦t♦♥♥tr s rs [σ] , [s] , [γ] ❯♥ ♦s s♦t♦♥ stsé ♦♥ ♣t étr♠♥r s rs♠r♦ ♦♠♦é♥ésés t♥sr ♦♥tr♥ts [Σ]n+1 t ♠tr rr t♥♥t [Kt]n+1

s srs r ♠t ♥ts

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s é♥♦♥é ♣réé♠♠♥t ♦♥ r ♥ ♣ss s t♥srs ♠r♦s♦♣qs rs ♠ ♠r♦s♦♣q s rrs t rés♦r ♣s r♥r ♥ ♠r♦s♦♣q ♣rès rés♦t♦♥ ♦s ♦♥s é♦♣é ♥ ① ét♣s ♣r♠èr q ♦♥r♥ s srs r ♠t s♦♥ q ♦♥r♥ é♦t♦♥ ♣stq s♣r♥t ♥♦s t r ♥ st♥t♦♥ ♥tr ① té♦rs ♣♦trs ♥s s trsq ♥♦s ét♦♥s q ♣♦ssè♥t s ♥♦s ♥tr♥s à s s ♣♦trs q♦♥ ♥♦♠♠r ♣♦trs ♣r♠rs t s ♣♦trs q ♦♥ ♥♦♠♠r ♣♦trs s♦♥rs

é♥t♦♥ s ♣♦trs ♣r♠rs t s♦♥rs

①st♥ ♥♦s ♥tr♥s ♦♥t à é♥r ① té♦rs ♣♦trs ♥s s trsq ♥♦s ét♦♥s P♦r strr ♥♦s ♣r♥r♦♥s ①♠♣ trs rréét♦ r trs sr été ♥ ♣♦♥t ♣stq ♥ ♣ ♣s ♦♥

s ♣♦trs ♣r♠rs s♦♥t s ♣♦trs ♦♥t ♥ s ①tré♠tés st sté ♥s ♥ ♦♥të à éé♠♥tr s ♣♦trs s♦♥rs s♦♥t s ♣♦trs ♦♥t s ①♥♦s ①tré♠tés ♣♣rt♥♥♥t à éé♠♥tr s ♣♦trs ♣r♠rs ♦♥tr♥trt♠♥t ① trs ♦rts Si t♥s q s ♣♦trs s♦♥rs ♥♣♣rîtr♦♥t q♥s s éqt♦♥s éqr trs ♣♦♥t r ♦♥♥tté s ♣♦trs♣r♠rs ♦♥t ♠♦♥s ♥ s ♦♥ts δi ♥♦♥ ♥ t♥s q s ♣♦trs s♦♥rs ♦♥tt♦s r ♦♥ts δi = 0 ♥s ①♠♣ strt♦♥ r s ♣♦trs

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

b1

b3b4

b14

b13b12

b8

b7b6

b5

b10b9

b2

b11

30°

60°

S2

S1

face

tte 1

facette 2

poutres primairespoutres secondaires

r ①♠♣ str♥t ér♥ ♥tr s ♣♦trs ♣r♠rs t s♦♥rs ♣♦♥t r ♦♥trt♦♥ ① trs ♦rts Si

t s♦♥t s ♣♦trs ♣r♠rs t♥s q s ♣♦trs t s♦♥t s ♣♦trss♦♥rs

♦♥t♦♥s rs ♣ss t♥sr s ♦♥tr♥ts♠r♦s♦♣qs ♦♠♦é♥ésés [Σ] ① ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs [σ]

♦♥ ♥ s♥térss q① ♠ts éstqs srs rs ♥ts ♣r♦è♠♦♥sst à tr♦r ①♣rss♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs σ(i) ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t♠r♦s♦♣q [Σ] t s♦rt q ♦♥ ♣ss étr♠♥r s srs é♥s ♣r s♦♥t♦♥s rs

f b =∣∣σb∣∣− sb = 0

s ♦ rss♠♥t s♦tr♦♣ é♥♦♥é ♣s t éqt♦♥ st ♦t♥ à♣rtr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q à é ♥ ♣♦tr ♥♦s t ♦t♥r ♥ ♦ ♠ê♠ ♦rr ♠s à ♣rtr t♥sr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q ♦♠♦é♥ésé [E]

♥ ♣t étr q ♣r ♦♥strt♦♥ ♥s ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s trs Si

sér♥t ♦♠♠

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

Si =n∑

b=1

ebσbtbδib

n ♥♦♠r ♣♦trs éé♠♥tr trs ♥ ♦♥sr ♥s ♥♣r♠r t♠♣s s rs σb s♥s s é♦♣♣r à t♥sr é♦r♠t♦♥ ♥♣t ♦rs réérr

[Σ] =1

gSi ⊗ ∂R

∂λi

=1

g

(n∑

b=1

ebσbtbδib

)

⊗ ∂R

∂λi

=1

g

(

σ1t1e1 ⊗ ∂R

∂λiδi1...σntnen ⊗ ∂R

∂λiδin)

=

[1

gt1e1 ⊗ ∂R

∂λiδib1]

σ1 + ...+

[1

gtnen ⊗ ∂R

∂λiδin]

σn

[Σ] =

[[1

gtbeb ⊗ ∂R

∂λiδib]T]

[σ]

[Σ] = [Q]p [σ]

♥ ♣t ♥s étr♠♥r ♥ ♠tr [Q]p ♣ss ♠r♦ rs ♠r♦ ♥s s♣ s♦♥tr♥ts ♣♦r s ♣♦trs ♣r♠rs tt ♠tr [Q]p ♦♥t♥t s ♦♦♥♥s ♥s s♦♦♥♥s q ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣♦trs s♦♥rs

♦♠♠ st ①♣qé ♥s ♣rr♣ ② ① té♦rs ♣♦trss♦♥ r ♦♥trt♦♥ ♥ tr♠s ♦rts t♥sr ♦♥tr♥t st♥t♦♥ ♥tr s① ♣t êtr ♦r♠♠♥t ét ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs δib

♥ ♣t ♦♥ sr s σb s♦s ♦r♠

σb=

σbp s δib 6= 0

σbs s δib = 0

[σp] tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ss♦és ① ♣♦trs ♣r♠rs t[σs] tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ss♦és ① ♣♦trs s♦♥rs ♥ ♣t♦rs ①trr ♥ s♦s ♠tr [Q]r [Q]p rét ① ss ♦♦♥♥s ♥♦♥ ♥s [Q]p t s♦rt q

[Σ] = [Q]r [σp]

♥♦s t s rt♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♣♦r étr s ♥s ♥tr t♥sr ♦♠♦é♥ésé ♦♥tr♥t [Σ] t s ♦♥tr♥ts ♥s s ♣♦trs s♦♥rs [σs] s rt♦♥s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♦♥t ♥♦s êtr ♦r♥s ♣r rés♦t♦♥ s éqt♦♥s t♦éqr sttq éé♠♥tr ♥ r♣♣ q s éqt♦♥s t♦éqr s♦♥t ♦t♥s à ♣rtr

∑

b∈BR

ebσbtb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0

♥ ♦♥sérr q st s ♥♦♥♥s s②stè♠ s♦♥t s ♦♥tr♥ts s ♣♦trss♦♥rs

σbs

♦♥ ♦t♥t ♥ s♦t♦♥ ♦r♠

[σs] = [Q]i [σp]

éqt♦♥ ♦♥ ♣t érr ♥ s♣♣♦s♥t ①st♥ ♠tr ♣s♦ ♥rs

[Q]r

[Q]+r [Σ] = [σp]

♥ r♣♣ q [σp] st tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs s ♣♦trs ♣r♠rs♥ ♥tr♦t réstt ♥s q ♥♦s ♦♥♥

[σs] = [Q]i [Q]+r

︸ ︷︷ ︸

[Q]s

[Σ]

[σs] = [Q]s [Σ]

♥ rss♠♥t s ① ♠trs ♣rts [Q]r t [Q]s à ♣rtr s éqt♦♥s t

[[σp][σs]

]

= [σ] =

[[Q]+r[Q]s

]

[Σ]

[σ] = [Q] [Σ]

rs rs ♠r♦s♦♣qs ♠ts éstqs ♥ts

♦t q ♥♦s r♦♥s à tt♥r st ①♣r♠r s srs rs ♠r♦s♦♣qs ♦ ♦♠♦é♥ésés ♥ ♦♥t♦♥ ♠t éstq ♠tér ♦♠♣♦s♥t s♣♦trs s srs rs ♥ts s♦♥t é♥s ♣r s ♦♥t♦♥s rs sss éqt♦♥ ♥ ♣r♥♥t ♣♦r sb ♥t r ♠t éstq ♥t ♠térσys

f b =∣∣σb∣∣− σys ≤ 0

s éqt♦♥s é♥ss♥t ♥ ♦♠ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♦♠ q ♦♥ ♣t①♣r♠r ç♦♥ éq♥t s♦s ♦r♠ ♥ sér ♥éqt♦♥s

♠tr [Q] st rt♥r ♥s s é♥ér ♦♥ ♥ ♣t ♦♥ r s♦♥ ♥rs ♥ ♦♥étr♠♥é ♥ ♠tr ♣s♦♥rs s♦♥ ♠ét♦ ♦♦rP♥r♦s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

σb < σysσb > −σys

σb ♦♥tr♥t ♠r♦s♦♣q ss♦é à q ♣♦tr b t ①♣r♠r σb ♥♦♥t♦♥ t♥sr ♦♥tr♥t ♦♠♦é♥ésé ♠r♦s♦♣q [Σ] t ♥s ♦♥ r ♥ sér♥éqt♦♥s ②♥t ♦♠♠ ♦♥♥é ♠t éstq ♥t ♠tér σys t é♥ss♥t♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♥ ♦♠ ♥♦♣♣ s srs rs ♠r♦s♦♣qséqt♦♥ ♦t♥ ♥s st♦♥ ♣réé♥t ♣r♠t st♠♥t ①♣r♠r σb ♥♦♥t♦♥ Σ ♥ ♣t ♥♦r♠sr éqt♦♥ ♣r r♣♣♦rt à σys

σbn < 1

σbn > −1

σbn =

σb

σys ♦♥tr♥t ♣r ♣♦tr ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rt à σys

♦♥ ♣♦s t♥sr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rt à ♠téstq ♠térσys

[Σ]norm =

Σ11/σysΣ22/σysΣ12/σysΣ12/σys

♥ ♣t ♦rs ①♣r♠r éqt♦♥ s♦s ♦r♠ ♥♦r♠sé

[σn] = [Q] [Σ]norm

♥ ♦t♥t ♥s s σbn ♥ ♦♥t♦♥ Σnorm ♥ ♥♦tr q ② ré♣étt♦♥ Σ12/σys

♣r q t♥sr ♦♥tr♥t st s②♠étrq ♦♥ Σ21 = Σ12 ♥ ♠r♦s♦♣q♦♠♦é♥ésé s ♣r ♦♥strt♦♥ s trs ♦rts Si ♥ s♦♥t ♣s ♦ré♠♥ts ♠ê♠s ♣♦trs q ♦♥tr♥t à Σ21 t Σ12 ♦♥ ♣s ♦ré♠♥t s ♠ê♠s σb

♥ ♣t ♦rs érr sér ♥éqt♦♥s s♦s ♦r♠ s♥t

σ1n ([Σ]norm) < 1

...σmn ([Σ]norm) < 1

σ1n ([Σ]norm) > −1

...σmn ([Σ]norm) > −1

m ♥q♥t ♥♠ér♦ ♣♦tr éé♠♥tr tt sér ♥éqt♦♥s é♥t ♥ ♦♠ ♥♦♣♣ s srs rs ♠ts ♥ts ♥s s♣ s♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sés ♣r σys

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t♣stq

♦ rss♠♥t ♣stq ♦♠♦é♥ésé ♣ss t♥sr sé♦r♠t♦♥s ♠r♦s♦♣q ♦♠♦é♥ésé [E] ① ♦♥tr♥ts♠r♦s♦♣qs [σ]

P♦r ♣ssr ♦ rss♠♥t ♣stq éqt♦♥ ♥ ♠r♦s♦♣q ♥ ♠r♦s♦♣q st ♥éssr tr♦r ♦♥t♦♥ r♥t s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs σb t♥sr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q [E] tt ♦♥t♦♥ r s rs♥tr♥s q s♦♥t s é♦r♠t♦♥s ♣stqs ♠r♦s♦♣qs

[σ] = fonction ([E] , [ep])

♥ ♣t étr♠♥r tt ♦♥t♦♥ ♥ rés♥t ♥ ♠♦t♦♥ ♦rt♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♥ r♣♣r ♣s t♦t ♣r♦sss ♠s ♥q♠♥t s ♠♦t♦♥ss♥ts ♣r♠èr ♠♦t♦♥ ♦♥r♥ ért♦♥ ♥t s ♦rts t♥s♦♥ ♣♣qé sr s ♣♦trs

σb =Es

Lb

(

eb(

uER(b)1 − uOR(b)1 +∂u(λε)

∂λiδib)

− Lbebp

)

ebp é♦r♠t♦♥ ♣stq ss♦é à ♣♦tr b ♥ ♦t ♣♣rîtr ♥s tt

éqt♦♥ ♥ r ♥tr♥ ♣r ♣♦tr q st é♦r♠t♦♥ ♣stq♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥t s②stè♠ ♦♥ ♣t é♥r s ♦♥tr♥ts

s♦s ♦r♠

[σ] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]

♥ ♦♥ ♥ ♣ss ♠r♦ rs ♠r♦ s♣ s é♦r♠t♦♥s ♠r♦s♦♣qs rss♣ s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs

♥ r♣♣ q ♥♦s ♦♥s é♥ tr ♣rt ♥s st♦♥ ♥ ♣ss ♠r♦rs ♠r♦ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts râ ① éqt♦♥s s♥ts

[σ] = [Q] [Σ]

[Σ] = [Q]+ [σ]

♦ rss♠♥t ♣stq s♦tr♦♣q rtr♥ ♠♣♣♥

♠♦♥♦♠♥s♦♥♥

♥ éqt♦♥ n ♣r♦t♦♥s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥s n ét♥t ♥♦♠r rrs ♥ ♣t rés♦r ♣r rtr♥ ♠♣♣♥ à ♥ ♠♥s♦♥ ♦r ♠♦ ♥ s ❬❪ ♠s à ♦r é♦r♠t♦♥ ♣stq ebp r ♥tr♥ à ♣♦tr

♥ ♣♦s ♥ r ss ♦ r tst [σt] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♣♦r q ♣♦tr i ♦♥ étr♠♥ r ♦♥t♦♥ r f bt =

∣∣σb

t

∣∣− sb

s f bt ≤ 0 ♦♥ st ♥s ♥ s éstq ♣♦r tt ♣♦tr ♥② ♣s ♠♦

t♦♥ ♥ ♠t r ♣♦tr sb ♥ s é♦r♠t♦♥ ♣stqebp

s f bt > 0 ♦♥ st ♥s ♥ s ♣stq ♣♦r tt ♣♦tr sr r

♠♥t rHs

Es +Hs

f bt t à é♦r♠t♦♥ ♣stq ♣♦tr s♦t

r sign(σbt )

f bt

Es +Hs

♦r♠t♦♥ st s♠♣ ♥ ♣♦♥t ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♠s tt ♠ét♦ ♥ ♣têtr ♣♣qé t q r s ♥ s ♣♦tr ♥ éé♠♥tr ♣st à ♥♠♦♠♥t ♦♥♥é ♠♦ éqr ♥ ♦rt ♥s♠ s ♦♥t♦♥s s♦♥t ♥♦♥ ♥érs st ♥éssr é♥r ♥ sé♠ ♥tért♦♥

♦r♠t♦♥ ♥ré♠♥t sé♠ ♥tért♦♥

♥ ♥tèr ♣r r♣♣♦rt t♠♣s q ♥♦s ♠è♥ à ré♥r éré ♣r r♣♣♦rt t♠♣s ♥s♠ s rs s♦t s ①♣rss♦♥s s tsss

[σ][

E]

①st ♣r♥♣♠♥t ① sé♠s ♥tért♦♥ s♦t ♠♣t s♦t ①♣t ♥ tsr ♥ sé♠ ♥tért♦♥ t②♣ ①♣t q s♥ q ♦♥ étr♠♥r♥ q ét ♣s ♠tr t♥♥t [Kt] t q

[

Σ]

=[Kt] [

E]

sé♠ ♥tért♦♥ ♦♥r ♠♦♥s r♣♠♥t q♥ sé♠ ♠♣t ♣s ♦① ♣s t♠♣s st ♠♣♦rt♥t ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♥ tr♦♣ r♥ ♠t♦♥ rrrs ♠s st ♣s s♠♣ à ♠ttr ♥ ♦r ♦① sé♠ ♥tért♦♥ ♥♦s♦♥s ♣s n t♠♣s t s rs

[σ]n[E]n [Σ]n t ♣s n+ 1 t♠♣s t+∆t[σ]n+1 = [σ]n +∆ [σ]n[E]n+1 = [E]n +∆ [E]n [Σ]n+1 = [Σ]n +∆ [Σ]n ♠tr t♥♥t [Kt]n ♣s n sr ♦♥ étr♠♥é ♣r ♦t♥t♦♥

∆ [Σ]n =[Kt]

n∆ [E]n

sr ♥éssr térr à q ét♣ n ♣♦r stsr s♦t♦♥ ♥és♥r ♣r r k ♣s tért♦♥ à q ét♣ ♥ ♦t♥t ♠tr t♥♥t ♠♥èr s♥t

t♠♣s tn ♠ st ♥ éqr s♦t

[σ]n = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♥ r♣♣ q s ♠trs [Ke] t [Kp] s♦♥t s ♠trs éstq t ♣stq ♦t♥s♣rès ♦r rés♦ s éqt♦♥s t♦éqr réér♥

t♠♣s tn+1 ♠ st ss éqré s♦t

[σ]n+1 = [Ke] [E]n+1 + [Kp] [ep]n+1

♥t ♣♦rsr é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ ♦♥ ♦♥♥r qqs ①♣t♦♥ssr ♠tr t♥♥t ♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s s ♥tért♦♥ ①♣t q s♥ q ♠tr t♥♥t tsé ♣♦r ét♣ n + 1 sr étr♠♥é à s rs à étt n P♦r étr♠♥r ♥♦s ♦♥s t♦t ♦r é♥r ♥ ♠tr ♥tr♠ér [Kr] ç♦♥ s♥t

[σ]n+1 = [Ke] ([E]n + [∆E]) + [Kp]([ep]n + [∆γ′]

)

[∆γ′] r s♥é t① ér♦ss [∆γ]

[σ]n+1 = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [∆γ′]

P♦s♦♥s ♦rs [Kr] t q [∆γ′] = [Kr] [∆E] ♦rs ♦♥ ♣t réérr éqt♦♥ ♥s

[σ]n+1 = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [Kr] [∆E]

= [σ]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [Kr] [∆E]

⇒ [∆σ] = ([Ke] + [Kp] [Kr]) [∆E]

⇒ [∆Σ] = [Q]+ [∆σ] = [Q]+ ([Ke] + [Kp] [Kr])︸ ︷︷ ︸

[Kt]

[∆E]

[∆Σ] =[Kt][∆E]

♠tr t♥♥t [Kt] = [Q]+ ([Ke] + [Kp] [Kr]) ♥♦s rst ♠♥t♥♥t à étr♠♥r [Kr] t q [∆γ′] = [Kr] [∆E] P♦r ♥♦s ♣♦

s♦♥s [ξ] tr ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst ♥s s♣ s ♠r♦♦♥tr♥ts

[ξ] = [Ke] [∆E]

t [ζ] ♥ ♠tr ♦♥ ♦♥t♥♥t s ♠♦s r♥t ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst [ξ] t ♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ ♣stq

[∆γ′] = [ζ] [ξ]

= [ζ] [Ke] [∆E]

= [Kr] [∆E]

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

[Kr] = [ζ] [Ke] rst à r s ♦♥ts ζb ♠tr ♦♥ [ζ] ♣t êtr résé ♠♥t à ♣rtr éqt♦♥

∆γ′1...

∆γ′m

=

ζ1 0 00 ... 00 0 ζm

ξ1...ξm

⇒ ζb =∆γ′bξb

q ♣s n r térr ♣♦r stsr s♦t♦♥ ♦♥r♥♥t ♠tr [Kr] t tr ♥ré♠♥t ♣stq [∆γ′]

♥♦♥s é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ à ét♣ n+ 1 ♥ ♣rt [E]n+1 ♣sq♦♥♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ s rs ♥tr♥s à étt t

([ep]n , [s]n

) t s rs

t♠♣♦rrs ♥tr♥s à ét♣ k = 0 ♣s n ([∆γ′](k) , [Kr](k) , [ξ](k))

tért♦♥ ♥t(k = 0) [∆γ′](0) = [0] t [Kr](0) = [0]

st ♥ ♣rét♦♥ éstq s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs à t t + ∆tétr♠♥t♦♥ tr [ξ] ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst

[σt](k)

n+1= [Ke] [E]n+1 + [Kp]

(

[ep]n + [∆γ′](k))

= [Ke]([E]n + [∆E]n+1

)+ [Kp]

(

[ep]n + [∆γ′](k))

[ξ] = [Ke] [∆E]n+1

s ♦♥t♦♥s rs ♣♦r q ♣♦tr b f t (k)b =

∣∣∣σ

t (k)b

∣∣∣− s

(k)b

s ♣stq f t (k)b ≥ 0

∆γ(k)b =

ft (k)b

Es +Hs

∆γ′(k+1)b = ∆γ

′(k)b + sgn(σ

t (k)b )∆γ

(k)b

s(k+1)b = s

(k)b +Hs∆γ

(k)b

ζb = sgn(σt (k)b )

∆γ(k)b

ξb

s éstq f t (k)b < 0 ♥② ♣s ♠♦t♦♥ s rs ♥tr♥s és à

tt ♣♦tr γ′(k+1)b = γ

′(k)b s(k+1)

b = s(k)b t ζb = 0

♥ é [Kr]♣r[Kr](k+1) = [Kr](k) + [ζ] [Ke]

♥ ♥ré♠♥t ♣s k t ♦♥ ré♣èt s ét♣s à sqà stsr s♦t♦♥stàr s rs ♥tr♥s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

s rs ♥s à ét♣ n+ 1

[ep]n+1 = [ep]n + [∆γ′](final)

[σ]n+1 = [Ke] [E]n+1 + [Kp] [ep]n+1

[Σ]n+1 = [Q]+ [σ]n+1

[Kt]

n+1= [Q]+

(

[Ke] + [Kp] [Kr](final))

♦ t ①♠♣s

♦rt♠ s srs rs ♥ts

t♥t♦♥ à ♣rtr ♥ rs♦♥ ♠♦é ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠tr s ♣♦trs ♣r♠rs [Σ] = [Q]p [σ] ♦♥t ♦♥ tr rstrt♦♥ [Q]r ♠trss ♥s ♥♦♥ ♥s [Q]p

és♦t♦♥ s éqt♦♥s t♦éqr∑

b∈BR

ebσbtb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0

♦♠♠ ♥♦♥♥s s ♦♥tr♥ts s ♣♦trs s♦♥rs σbs ♦♥ ♦t♥t ♥ s♦t♦♥

♦r♠ [σs] = [Q]i [σp]

t♥t♦♥ [Q]s ♠tr ♣ss t♥sr s ♦♥tr♥ts rs s ♣♦trs s♦♥rs ♣r [σs] = [Q]i [Q]

+r

︸ ︷︷ ︸

[Q]s

[Σ]

ss♠s s ① ♠trs ♣rts ♣♦r ♦t♥r ♥ ♠tr ♣ss ♥q[[σp][σs]

]

= [σ] =

[[Q]+r[Q]s

]

[Σ] = [Q] [Σ]

t♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠sés [σn] = [Q] [Σ]norm étr♠♥t♦♥ s srs ♠ts ♦t♥s à ♣rtr s ♥éqt♦♥s

σbn < 1

σbn > −1

①♠♣s srs rs ♥ts

♥ trtr ss♦s tr♦s ①♠♣s ♣♦r q st étr♠♥t♦♥ s srs rs s trs tr♥ ♦♠ t ♠♥t ♥ tsr ♣♦r s ①s s ♦♥♥t♦♥s r

rs tr♥

é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t s♦♥ t ♦♥♥tté st t

s srs rs ♥ts trs tr♥ s♦♥t ♦♥♥és ♥s r

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

x1

x2

r ①s ♦♥sérés ♥s ♥ s s♠t♦♥s

n1

n1

n1

n1b1

b2b3

Y1

Y2

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs tr♥

♣♦trs

δ1 δ2

s ♦♥♥ttés trs tr♥

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r rs r ♥ts ♥ trs tr♥ s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é

♣♥ ♥♦r♠sé(

Σ11

σys, Σ22

σys, Σ12

σys

)

♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

b1

b3b2

b5 b4

b6

n1

n2

n3

Y1

Y2

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♦♠

♣♦trs

δ1 δ2

s ♦♥♥ttés trs ♦♠

♣♦trs

δ1 δ2

s ♦♥♥ttés trs ♠♥t

rs ♦♠

é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t ss ♦♥♥ttés♥s t

s réstts ♥ q ♦♥r♥ s srs rs trs ♦♠ s♦♥t ♦♥♥és♥s r

rs ♠♥t

é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t ss ♦♥♥ttés♥s t

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r rs r ♥ts ♥ trs ♦♠ s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é

♣♥ ♥♦r♠sé(

Σ11

σys, Σ22

σys, Σ12

σys

)

♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

b2 b3

b1

b5 b4

n1

n2

n1

n1 n1

Y1

Y2

r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♠♥t

s réstts ♣♦r q st s srs rs ♥ts trs ♠♥t s♦♥t♦♥♥és ♥s r

♦♥s♦♥ sr s srs rs ♥t

s tr♦s ①♠♣s ♦♥t été trtés ♣r ♥ tr ♠ét♦ ♥s ❲♥ ♥ ♦ ❬❪♦♥ ♦t♥t s réstts ♥tqs ♥s s tr♦s s

♦rt♠ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq

♦rt♠ s ér♦ss ♦t ♠ê♠ êtr ♥séré ♥s ♥ ♦ ♣r♠tt♥t s♦♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ ♥s ①♠♣ s♥t ♦♥ sst ♦♥t♥té ♦tr à t ♦rt♠ ♥ ♣♦t s♠♣ ♥ r ér ♥ér st à r ♥ ♣s∆E11 ♦♥st♥t

♦rt♠ s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ trt♦♥ rt♦r à étt♥t ♣♦té ♣r é♦r♠t♦♥

♦t♦♥ ♣r♦sss ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥s ért♦♥ ♥t s ♦rts ♥

t♥s♦♥ σb =Es

Lb

(

eb(

uER(b)1 − uOR(b)1 +∂u(λε)

∂λiδib)

− Lbebp

)

ebp é♦r♠t♦♥

♣stq ss♦é à ♣♦tr b

♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥t étr♠♥t♦♥ s ♠trs [Ke]t [Kp] ts q [σ] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]

♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ t étr♠♥t♦♥ t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ] étr♠♥t♦♥ Q t q [Σ] = [Q]+ [σ]

ért♦♥ s rsEt1, ν

t12, [σ

t] , [σ] , [Σ] , [f t] , [s] , [∆γ′] , [E] , [∆E] , [ep][Kr] , [ζ]♦t Et

1 st ♠♦ rr t♥♥t à ét♣ n s♥t rt♦♥ x1 νt12 st ♦

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r rs r ♥ts ♥ trs ♠♥t s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é

♣♥ ♥♦r♠sé(

Σ11

σys, Σ22

σys, Σ12

σys

)

♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♥t P♦ss♦♥ ss ♠tr t♥♥t à ét♣ n st r s♥t éttér♦ss ♠ Et

1 t νt12 s♦♥t rés à ♥ q ♣s

♥tst♦♥

s rs s [s] :=

σys...σys

[ep] := [0]

s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs tbt Lb

s ♣r♠ètrs ♠é♥qs σys, Es, Hs

s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs E11 ♥t E11 ♥ t ♣s∆E11 ♥ ♥ ét

♥♦♠r ♣s nPas :=E11 (final)− E11 (initial)

∆E11

♦t ♣♦r tt s♠t♦♥

♦♥ s ♣ ♥s s ♥ r♠♥t ♥ér ∆E11 = Cte ♠s ♥ ♥t♥t♦t tr t②♣ r♠♥t st ♣♦ss

P♦r cPas à nPas

[∆E] :=

∆E11

−νt12∆E11

0

[E] := [E] + [∆E]

P♦r i 1 à nBarres

[∆γ′] := [0] [Kr] := [0]

♥ ♣♦r

err := 100

t♥t q err > 0.1 ♥♦t err st é♥ ♦♠♠ err = max(err1...errn) st àr r ♥ é♣ss♠♥t ♠①♠♠ ♣r♠ t♦ts s ♣♦trs

éé♠♥tr sr r ♣r ♦♥t♦♥ r tst errb =100 f b

t

sb

r rrr st rtrr

err := 0

[σt] := [Ke] [E] + [Kp] ([ep] + [∆γ′])

[ξ] = [Ke] [∆E]n+1

♣♦r b à nBarres

ζbb = 0

f bt := abs(σb

t )− sb

s f bt > 0 ♦rs

∆γ :=f bt

(Es +Hs) ♣rès éqt♦♥

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♣♦trs

δ1 δ2

s ♦♥♥ttés trs rréét♦

∆γb′:= ∆γb

′+ sgn(σb

t ) · ∆γ ♦♥ ré ♥ rs♦♥ s♥é ♠ ∆γ

ζbb = sgn(σt (k)b )

∆γ(k)b

ξb

err := max(err,100 f b

t

si)

sb := sb +Hs∆γ ♣rès éqt♦♥

♥ s

♥ ♣♦r

[Kr] := [Kr] + [ζ] [Ke]

♥ t♥t q

[Σ] := [Q] [σ]

[Kt] := [Q] ([Ke] + [Kp] [Kr])

[St] := [Kt]−1

Et1 :=

1

St11

νt12 := −St21.E

t1

[ep] := [ep] + [∆γ′] ♣rès éqt♦♥

♥ ♣♦r

①♠♣ ér♦ss trs rrét♦

♥ ♦s ééré♠♥t ♦♠♠ ①♠♣ ♥ trs ♣♦ssé♥t s ♥♦s ♥tr♥s trs rréét♦ ♦r r é♥t♦♥ s ♦♥♥tté st ♦♥♥é ♥s t

trs ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♣♦ssè s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♥térss♥ts♦♠♠ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ r ♥ t s ♦♥ ♣♦s s rrs s♥ts

k2 =Est2L

ss♦é ① ♣♦trs 1, 2

k1 =Est1L

ss♦é ① ♣♦trs 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

k3 =Est3L

ss♦é ① ♣♦trs 11, 12, 13, 14

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

b1

b3b4

b14

b13b12

b8

b7b6

b5

b10b9

b2

b11

n1 n1

n1 n1

n5

n2

n3

n4

Y1

Y2

30°

60°

r é♥t♦♥ é♦♠étrq ♥ trs rréét♦

♥ tr♦ ♦♥t P♦ss♦♥ s♥t ♦r♠ ♦♠♦é♥ésé s♥t

ν12 =

(2 +

√3)k1 k3

k1 k2 + 2 k1 k3 +√3k1 k3 + 4 k2 k3

♦♥t P♦ss♦♥ trs st r s♥t s rrs s ♣♦trs k1, k2 tk3 s rrs s♦♥t s♠ê♠s ♦♥t♦♥s s rrs s ♣♦trs tb ❱♦r r

P♦r ♥♦tr ♣♣t♦♥ ♥♠érq t1 = t2 = t3 = t ♥sté rt trs

st ♦♥♥é ♣r ρ∗ =−2t

(−3− 4

√3− 3

√2 +

√2 +

√6)

3L P♦r ♣♣t♦♥ ♥♠érq ♦♥

t ♣♦r ♥ ♥sté rt q ♥♦s ♦♥♥ ♥ rr ♣♦trt ∼ 0.019L ♣s ♦♥ tsé ♥ ♣♣r♦ ♥tq ① ♣♣r♦s ♥♠érqs ts♥s s ♣trs ♣réé♥ts sr ♥ é♥t♦♥ ① ♠♠ ① séé♠♥trs ♦♥ ♦♥r L = 1/16mm t t ∼ 0.0012mm ♦s ♦♥sér♦♥s s ♦♥♥és♠é♥qs s♥ts ♠t éstq σys = 20 P ♠♦ éstq Es = 69000 P t♠♦ ♣stq Hs = 3000 P

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r ♦♥t P♦ss♦♥ trs rréét♦ ♥ ♦♥t♦♥ s r♣♣♦rts rrs s ♣♦trs ♦♥sttts trs

♥s rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♣♦t ♥ é♦r♠t♦♥ ♦ ♥ ♣ ♦♥ ♣♣qé♥ é♦r♠t♦♥ à 1 × 10−3 ♣r ♣s 0, 5 × 10−4 ♣s t ♥ rt♦r 1 × 10−3 à ♣r ♣s −0, 5× 10−4

♥s rs♦♥ qs ♦♥ t ♥ ♣♦t ♥ é♣♠♥t é♥t♦♥ t ①

♠♠ ♦rs é♦r♠t♦♥ ε11 =U1

1♠♠ U1 é♣♠♥t ♠♣♦sé ♥ ♠♠ ♣s tsé

st 1× 10−4♠♠ q s♥ q ② ♣s ♥ r t ♣s ♥ ér s♦♥♥és é♦♠étrqs s♥ts éé♠♥ts ♣r ♣♦trs éé♠♥ts t②♣ rr♥♦ qs st♦♥ rt♥r rr0.0012 ♠♠ t ♣r♦♦♥r ♠♠

s ♦♥t♦♥s ♦rs s♦♥t érts ♥s r ♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠tér ♣stq été ♥s qs ts s ♦♥♥és

♠tér s♥ts

❨ strss Pst str♥

♦rt rét♦♥ ① ♥♦s s♥t ① X1 ♥s ①è♠ t ♥tè♠ ♣s s♠t♦♥ st ♦♥♥é ♥s r

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

U1 déplacement imposé suivant l'axe X1

conditions de bords

X1

X2

r ♦♥t♦♥s ① ♦rs t r♠♥t ♥s s♠t♦♥ qs trt♦♥ trs rrét♦

♠ét♦ ♣♦r tr♦r rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥s s♠t♦♥ st s♥t

σ11(Abaqus) = − Fnode

Lcellule

Fnode ♦rt rét♦♥ ① ♥♦s tér① r♦ts t Lcellule ♦♥r ôté♥ éé♠♥tr q t ♥s ♥♦tr s♠t♦♥ Lcellule = 1/16mm Pr ①♠♣ ♣s s♠t♦♥ r ♦♥ r ♦r rét♦♥ à r♦tFnode ∼ −5, 53.10−2 N q ♥♦s ♦♥♥ ♥ r σ11 ∼ 5, 53.10−2.16 = 0.88MPa

s réstts ♦♠♣rés ♥tr s♠t♦♥ t ♦rt♠ ♦♠♦é♥ésé ♣stté s♦♥t ♦♥♥és ♥s r ♥ très ♦♥♥ ♦♥♦r♥ st ♦t♥ ♥trs ♦rs ré♣♦♥s ♥ rér ♥tr s ① ♠ét♦s

♦♥s♦♥s sss♦♥

♥ résé étr♠♥t♦♥ ♦♠♥ résst♥ éstq ♥ trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♥ q trs ♠ét♦s ♣r♥♥♥t ① ♠ê♠s réstts ♦♥ ♣ts♦♥r s♣t t♦♠tq ♥♦tr ♣♣r♦ q r♥ s♠♣ tst♦♥

♥ ♣té ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt trt♠♥t ♣stté ♠ét♦ é♦♣♣é ♦♥stt ♥ ♥é ♥ t ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r trs

♦rt rét♦♥ ♥st ♣s ♦♠♣èt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥ ♣rs ♦rt ♥♦ ♣s é♦♥é s♦rs ♥♦ ♠ tér r♦t ♣r♠t ♠♥r s ts ♦rs

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

RF, RF1

−5.528e−02−4.607e−02−3.686e−02−2.764e−02−1.843e−02−9.215e−03−1.298e−06+9.213e−03+1.843e−02+2.764e−02+3.685e−02+4.607e−02+5.528e−02

Step: Step−10Increment 1: Step Time = 1.000Primary Var: RF, RF1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +9.993e+01

X

Y

Z

RF, RF1

−5.214e−02−4.345e−02−3.476e−02−2.607e−02−1.738e−02−8.686e−03+4.053e−06+8.694e−03+1.738e−02+2.607e−02+3.476e−02+4.345e−02+5.214e−02

Step: Step−20Increment 1: Step Time = 1.000Primary Var: RF, RF1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +5.375e+02

X

Y

Z

r ♦r rét♦♥ ♥ ♦rs s♠t♦♥ qs é♦r♠t♦♥♥ trs rrt♦ r ♠①♠ ♣s s♠t♦♥ ♣s s♠t♦♥ ♣s ♥

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r ♦r ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥ trs rrt♦

trs ❬♦r ❪ st ♠té ① trs ♦♥t s ♥♦s s♦♥t stés sr s r♦♥tèrs éé♠♥tr ♦tr ♠ét♦ ♣r♠t trtr ♥ér♠♠♥t t♦s s trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♠ê♠ ① ♦♠♣♦rt♥t s ♥♦s ♥tr♥s ♥ ♦s ééré♠♥t♥ trs t②♣ trs rréét♦ ♦♠♠ ①♠♣ t ♠♦♥tré ♥ ♦♥♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq ♦♠♦é♥ésé t ♥ ♥♠érq ♣r ♥s s ♥ ② ①t♥s♦♥rt♦r à é♦r♠t♦♥ ♥t

s tr① ♥ ♦♥stt♥t ♥ ♣r♠èr ♥é ♣♦r trtr ♣stté é♥érs trs rt ♦♠♣étr ♥♦tr ♣♣r♦ s♦s ♣srs s♣ts ♦♥ ♣t sérr s♣sts ét s♥ts rt ♣♦♦r é♥érsr t②♣ trs trté t ét♥rét ① trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♣s ① trs ♠①ts s♥s ♦♠♥♥t ♥ésstr s♥s ♦t ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♣♦♦r ssr ♠♥èr ♣s ♣rés strs s♦♥ r é♦♠étr t t②♣ ♦♠♣♦rt♠♥t tt♥ s♦s r ❯♥ ♣♣r♦♠tr t②♣ é♦♣♣é ♥s t♥s♦♥ ♥ ❬❪ srt s♥s ♦t♣♣r♦♣ré ♥t q t②♣ trs rt ♥st ♥tr s ♠♦s ♦♥r♠♥t ♣♦ss ♥♦t♠♠♥t ♥ ♦♠♣rss♦♥ q ♣♥t s réér ♦♠♣①s ♥st♥tr s ♣r♠ètrs ♥♥ç♥t s ♠♦s ♦♥r♠♥t

♦♥ s♥térss ① s♣ts ♣s t♥qs ♠ét♦ tsé ♥s ♥♦tr ét ♣têtr ♠é♦ré ♠tr rr t♥♥t st étr♠♥é ♥ ét ♣s q t ♠ét♦ ①♣♦sé ♥ ♠ét♦ t②♣ ①♣t ❯♥ ♠ét♦ ♠♣t ♥rts♥s ♦t ♥ ♣rés♦♥ ♥ tss ♦♥r♥ t ♥ stté ♥ ♥ sst ♣s ♥térssé

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

① ♣r♦è♠s ♦♥r♥ ♠s ♦♥ ♦♥séré ♣r♦r q s♦t♦♥ ♦♥rt rt r ♥ ét ♣♦r ♠♦♥trr q t st t♠♥t s ♥♥ ♣r ♠♥q t♠♣s ♦♥ ért ♥ ♦ sé♣ré ♣♦r r s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ ♣ t ♦ q ♥♦s s♠♣♠♥t ♣r♠s r ♥ s♠t♦♥ ♥ rér é srtértr ♥ ♠♦ ♠tér tstr ♥s ♥ ♦ ❯ ♦ ❱❯♥s qs ♣r♠ttrt r s♠t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣ès ♥♠r♦strtr trs ♥s s s st♦rq r♠♥t ♦♠♣①

♦♥s♦♥ ♣rs♣ts

tr tès ♣♦r ♦t é♦♣♣♠♥t ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt trs ♣♦trs ré♣étts qs ♣ér♦qs ♥ r ssttr ♥ ♦♥t♥♠ éq♥t ♦té ♣r♦♣rétés ts ♦s ♠♦♥tr♦♥s ♥térêt ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq srèt t q été é♦♣♣é t ♣♣qé ① trs ♣r ♦♥r♥ r ❬❪ ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦tr ♦♥trt♦♥ ♣♦rt sr tr♦s♣♦♥ts ♣r♠èr♠♥t t♦♠tst♦♥ tt ♠ét♦ t s é♥érst♦♥ ♥ ts♥t ♥♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♣tôt q♥ ♠♦è ♣♦tr r ①è♠♠♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ rs ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♣♦r s trs ♥tr♦s②♠étrqs t tr♦sè♠♠♥t ♣♦rs trs ést♦♣stqs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦♠♥ résst♥éstq t étr♠♥t♦♥ ♥ ♦rt♠ é♦t♦♥ s srs rs♥ ♣t♥t ♠ét♦ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ ♠♦ ♥ s ❬❪ ss trs

♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s ♣rêt r♠rq♠♥t ♥ à t♦♠tst♦♥ s réè êtr t é♥ér ♣♦r rtr♦r rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♥s q s ♠♦s ts s ♦s sq ♥♦s ♦♥s ♦t♥s s♦♥t s♠♣♠♥t ♠♥tés ♣r ♥ r t①t sr♣t♦♥ é♦♠étr trs t s♦♥t ♥s s tst♦♥ ♥ ♣♦♥t t♦r sté♠♥t ♣s s♠♣ q trs ♠ét♦s r r♣♦s sr rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠♥ér s ♠ét♦s é♥rétqs ♣r ①♠♣ ♠♥♥t s♦♥t ♣♦sr ♣r♦è♠ s ♣r s ♣ssr ♣r ①♣rss♦♥ é♥r t tr ♥st s ért♦♥sssss tt é♥r

♥ ♣t rés♠r s réstts ♥♦s tr① ♥s ♦♠♥ éstq à trrs t ♦s ♦♥s ♦t♥ tr♦s ♦s ér♥ts s♥t s trs trtés t ♠♦♥t♥ éq♥t ♦t♥ ❯♥ r♥ rsté trs été trté ♥s tt tès♣♦r rtr ♠① q s ♦s r♥♦②♥t s réstts ♦rrts s réstts ♦♥ts②sté♠tq♠♥t été ♦♠♣rés s ♦♥♥és s♣♦♥s ♥s ♦r♣ ♦ à ss♠t♦♥s ♥ éé♠♥ts ♥s ♥ ①♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦t♥ ♥ é♥ér

t ♣♣ qqs r♠rqs ♦ ssq ♣♣rt ♦♠♠ ♣s é♥ér ♣♦♥t s trs trtés ♠s ♦♥ ♥♦t♥t ç♦♥ ♦♠♦é♥ésé q♥ ♠♦♥t♥ ssq stàr ♥ t♥sr ♦♥tr♥t ② s②♠étrq ♦ ss

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

♦ ♦ ♦①t♥s♦♥♥ ♠r♦♣♦r ssq

trs à ♦♠♥♥t ♠ s♥s ♠①t♥s♦♥♥ ssq ♥térêt ssq

trs à ♦♠♥♥t ♠ ♠①♦♥♥ ♥ts ♠r♦♣♦rs ssq

♥tr♦s②♠étrqtrs à ♦♠♥♥t ♠

①♦♥♥ ♥ts ♥ts ssq♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq

① ♦t♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦ tsé t trs trté

é♦♣♣♠♥t ♣r♠r ♦rr s ♥♦♥♥s ♣r♦è♠ s♠ s♦♠♥t ♦♥é t♣♣②é ♣r té♦r ♦ ♠r♦♣♦r q s ♠ ♠ê♠ ♥♦♠ été ât rt♥s ②♣♦tèss P♦r ♦♥strr ♦♥ t ♥ ♥t♦rs ① rès é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♥ ♣rés♣♣♦s♥t ♠ sé ♥s ♥♦tr s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥♦s ♣r♠s ♥♦s ♣♣②r sr s ♣r♦♣rétés s ♠① ♥tr♦s②♠étrqs ♠r♦♣♦rs ♣s r ♠r♦r♦tt♦♥ φ ♣♣rt ré ç♦♥ ♥ ♣ rtrr① ♥♦s ♥tr ♥tr ① s éé♠♥trs tt ♣rt ♥♦s tr① ssqqs qst♦♥s ♥ ss♣♥ q rt ré♠♥t été ♠ ♦t♥ ♥ é♦♣♣♥ts ♣r♠ètrs s♦♥ ♦rr s♥s tr ②♣♦tès ♣ré ♣♦rrt♦♥ ♣s ♥srétr s ♥s ér♥ts ♥tr ♠r♦r♦tt♦♥ φ ♠ ♦♥t♥ t s r♦tt♦♥s rés ♣♦trs ♠ srt

♦♠♠ ♣rs♣t ♣♦rst ♥♦s tr① ♦♥ ♣t ♥sr ♦r♠r ♣sr♦rs♠♥t s é♦♣♣♠♥ts ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ à ♥ ♦rr s♣érr t♦s s ér♥ts ♣r♠ètrs é♦♠étrqs ♥é♠tqs s♥s ♣rés♣♣♦sr ♠sé sr ♥s r ♥éssr é♠♥t tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr s♦♥ ♦rr♥ stt♥ à ♦t♥r ♥ ♠ ♦rr ♦ ré s♣érr ♠s s♥s ♦t ♣s ♥s♠♣ ♠ ♠r♦♣♦r ♥ t s ♦♥ été ♠♥é à ♦r♠r s ②♣♦tèss st ♥trtrs ♣r q t♦ts s ♦♥♥és ♣r♦è♠ ♥ét♥t ♣s r♠♥t ♦r♠és P♦r①♣qr ç♦♥ ♦♥rèt ♦♥ ♣t s réérr ① rs t té♦r♠r♦♣♦r s♣♣♦s ①st♥ ♠r♦♦♣s q sr♥t ♥s ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ssq q ♥♦s sèr♥t s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s♦♥ ♦rr stq ①st ① t②♣s ♠r♦r♠♥ts r ♠♦♥tr q ♣t ①str s♠r♦♦♣s ♠s ss s♦♥ ♦rr s ♠r♦♦rts ♦ s ♠r♦é♣♠♥ts

tr ♣♦♥t q r êtr ré s ♦♥ t ♣♦rsr ♥♦s tr① st ♥tr ①t ♠r♦r♦tt♦♥ φ ss♦é ♠ ♦♥t♥ éq♥t à ♥ trs φ st ss♦é à r♦tt♦♥ ♣r♦♦qé ♣r ♥ ♥sté ♦♣ ♦rt s s ♦♥ s réèr à r ♥♣r♠ètr r ♥tr♥t ♦rs ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♦♥t ♣♣ s ♠r♦♦♣s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r ①♠♣ ♠r♦r♠♥t ♥s ♣♦r ♥ ♠ ♦♥t♥ ssqq ♥ ♣♦rrt êtr trté q ♣r ♥ té♦r ♦rr ♦ ré s♣érr

s ♣t ♥ t q ♣♦♥t ♣♣t♦♥ ♥ s♦t ♣s ♥ ♥♦ ♠s ♥ ♣♦♥t ♣rtr ♣♦tr ♥ ♣t ♥sr q ①st ♥ r♥ rété s r t ♦♥ q ♣r♠ètr rr ss♦é à φ ♥s té♦r ♠r♦♣♦r r s♥t s ♥ ♣té♠ttr ♥ ②♣♦tès ♣st rr q ♠♥ à êtr éré ♥t♦♥ ♣♦♥t ♣♣ s ♠r♦♦♣s ♣♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣t s r ♣r ♠♥èr ♦♥t♦♥ ért é♦♠étr éé♠♥tr r ♦♥♥ ♥ ①♠♣ ①s éé♠♥trs érts ér♠♠♥t ♠s ♦♥♥♥t ♠ê♠ trs

s ♣♦♥ts érs ♥♦s ♣♦rr♦♥s ♥st ♥sr s ♣♣t♦♥s ♣rtqs ♦♠♠ ♠♦♥tré ♣tr tr♦s s ts ♠r♦♣♦rs à é ♠r♦s♦♣q és à ♠r♦♦rr ♠ s♣rss♥t r♣♠♥t ♦rsq ♥ss trs ♠♥t stà r ♦rsq ♣r♠ètr s②♠♣t♦tq ε → 0 Pr ♦♥tr ①st♥ ♥ ♥sté ♦♣ ♦♥tr♥t rt s ts ♠r♦s♦♣qs ♥ rés t ♥♦♥ ♣rés ♣r ♥ ♠♦♥t♥ ssq s ♥st ♣s ♦♠♣èt♠♥t rrést ♦♥ ♣t ♣♥sr ♣r ①♠♣ ①r♦♥tèrs ♥tr ① ♠① ♠r♦strtrés ér♥ts

♥ ♣t ♥sr é♠♥t trs rt♦♥s ét ♦♠♠ tst♦♥ ♦ ssq ♦♠♠ ♦t ①♣♦rt♦♥ ♣♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♦é♥ésé ♠tér①r t♦♣♦♦s t rtérstqs ♠é♥qs rss st trs ♠♥trés ♦♥ ♣t ♣r♠étrr ♣♦r str ♥ rtérstqs ♠é♥q ♣rés ♦s♣r ♦♥♣tr ♦ ♦♣t♠sr s t♦♣♦♦ ♥ ♣t ♥sr ♥ ①t♥s♦♥ ♦ trt♠♥t s r♥s é♦r♠t♦♥s ♥ ♠♦è ♣♦tr ér♥t ts q s ♣♦trs

♥ ♣♦rrt ♦tr q ♠ê♠ s ♣♦♥t ♣♣t♦♥ st ♥ ♥♦ ♥ tr qst♦♥ ♣♦rrt êtr ♦♠♠♥t ♦sr ♣r♠ t♦s ① ♥ éé♠♥tr

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

r ①♠♣ ① ré♣rtt♦♥s ér♥t s ♠♦♠♥ts sr ♥ trs ♦♥♥♥t♣♦r ♠ ♦♥t♥ ♠ê♠ ♥sté ♦♣ ss♦s éé♠♥trss♦é

à é♥♠♥t ♥ ♠♦è ♠♦s♥♦ ♥ ♣ss à ♥ r sr♣t♦♥ ♥♥t s ts t♦rs♦♥ ♣q ♦ ♣♦tr t trs ♥ ♦ é ♠r♦strtr ♥ ♥♦tr é♠♥t q té♦r st ♣té trt♠♥t s ♠① r♥s ♦♥ ♣t ♥s ♥ ♦♥t①t ♦♠é♥q ♥sr ♣♦rsr ♣r trt♠♥t ♠♠r♥s ♦♦qs rés q s ♣rés♥t♥t s♦s ♦r♠ ♦qs ♥ ♣♦♥t r é♦♠étr

ê♠ s st ♥ s♣t ♣s t♥q q s♥tq ♦♥ ♣t ♠é♦rr ♣r♦r♠♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠ê♠ ♦♥ t trtr s trs ♥ s♦♠♣① ♦♠♣r♥♥t ♥ r♥ ♥♦♠r ♥♦s ♥s ♥ t♠♣s rs♦♥♥ r r♠♣r ♦♥t♦♥ s♦r é♥érq ♣ q ♥♦s ♦♥s tsé ♣r ♥ ♦♥t♦♥ s♣ésé ♥ ♣t ♠é♦rr é♠♥t s♠♣t♦♥ s réstts ♥ r♦ss♥t ♦♠♣①té s ♥ trs s ♠♦s ♦t♥s ♦♠♣r♥♥♥t ♥ ♥♦♠rr♦ss♥t tr♠s ♥ ♥tr♦t s♦♠♠r♠♥t tt s♠♣t♦♥ ♣r ♥ ♥②s str♠s ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt é♥♠♥t η ♠s ♣t s♥s ♦t êtr♥é ♥♥ ♦t ♥ ♥tr r♣q ♣♦r ss é♦♠étr ♥ trs t é♥ért♦♥ r t①t ss♦é srt ♥ ① ♥♥

♥s r♥r ♦t s tr① tt tès ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♦♠♠♥t ♥♦s srrs éqt♦♥s éqr ♦r♥s ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq ♣♦r trtr ①s♣ts ♦♠♣é♠♥trs résst♥ éstq s trs ést♦♣stqs t é♦t♦♥ s

P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳

(a( (b(

r ①♠♣ ♣è ♥str ♥ ♠tér r♠♣ss r ♠♦è ♦♠♦é♥ésé ts ♥s ♥ ♦ éé♠♥t ♥

srs rs ♥ ♦♥t♦♥ ér♦ss ♦s ♦♥s résé ♥ ♣r♠èr ♣♣r♦♥ ♦r♥t s trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ P♦r q st ♦♠♥ résst♥éstq q st ♥ st éà ♦r♠♠♥t trté ♥♦tr ♣♣♦rt ♦♥r♥ t q st ♠♥èr t♦♠tq à ♣rtr r t①t é♥t♦♥ é♦♠étr

s♦♥ s♣t ♦rt♠ étr♠♥t♦♥ é♦t♦♥ s srs rs t ér♦ss st à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥♦ ♥ q st ♣ trtr t♦s strs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ t ♥♦♥ s♠♥t ① à é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♠ét♦ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ é♦♣♣é ♣r ♠♦ ♥ s ❬❪ été ♣té s s trs ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦rt♠ é♦t♦♥ ♣stq s♠t♦♥ rér résé ♣♦r r ♠♦♥tr ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥ s réstts ♦t♥s♣r éé♠♥ts ♥s

r♥r ♦rt♠ s ♣♣t♦♥s ♣rtqs très ♥térss♥ts q ♥♦s ♥♦♥s ♣s t♠♣s é♦♣♣r ♦♥ ♦♥sèr ①♠♣ ♣è ♥str r ♦♥stté ♥ ♥♦♣♣ ♥ ♠tér ♣♥ r♠♣ ♣r ♥ ♠tér r à ♦♠♥♥t①t♥s♦♥♥ ♦♥ ♣t ♠♥r ♥ ♠♦è ♦♠♦é♥ésé r ss♣t êtrtsé ♥s ♥ ♦ éé♠♥t ♥ st♥r ♣♦r r s s♠t♦♥s ♥♠érqs t ♠ê♠ ♥s ♦♠♥ ♣stq st ♠♣♥tr ♦rt♠ trt♠♥t ♠térr r♠♣ss s♦s ♦r♠ ♥ ♠tér tstr

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♥qé ♥s ♥ r♥r ♣tr ♣♦r trtr ♣sttéé♥ér s trs rt ♣rr ♥♦s tr① s♦s ♣srs s♣ts rt♣r ①♠♣ ♣♦♦r é♥érsr t②♣ trs trté ♣ssr s♥s ♦t ♣r ♥♥ ss♠♥t s trs ét ♣r s♣♥ t ♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♠♦s rt♦♥ ♣rès ♥ ét ér♦ss ♥ ♣t é♠♥t ♥sr tsr ♥ ♠♦èést♦s♦♣stq à ♣ ♥♦tr ♠♦è ést♦♣stq

♥s s s♣ts ♣s t♦rs ♦rt♠ tsé ♥s ♥♦tr ét ♣t êtr ♠é♦ré ♥ ♣♦rrt ss②r étr♠♥r ♠tr rr t♥♥t ♣r ♥ ♠ét♦♠♣t ♣tôt q①♣t ♥ ♥rt ♥ ♣rés♦♥ ♥ tss ♦♥r♥ t ♥ stté

♦r♣

❨♦s♠r♦ ♦♠t ♥ s♦ ♥ ♦♠♣tt♦♥ s♠t♦♥ ♦ ♦r♠t♦♥ ♦r ♦ tt ♦♥t♥♠ ♥t

rs♦♥ rs♦♥ ttr ♥s tt r♠ ❲ r r ❲ ♠t ♥ ❩ st ♦♥st♥ts ♦ ♥ ♦♥♥t r ♥♥tr ♦♥②♦♠s st t♦ ♥① ♥♣♥ ♦♥ ♦♠♣♦sts ♥ ♥ ♥♦♦② ♦ ♦♠♣st

r ♥ ❱r ♥ rs♣♦♥s ♦ r s♦s ♦ ♦ r t♦♣♦♦② ♥ ♠r♦strtr rrrt② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♥

t♥ r♠♥ t s♦st ♦r ♦ r ①t ♠trs ♥r♣♦rt r③ ❯♥rst② ♦ ♥♦♦② ♥sttt ♦ ♣♣ ♥s

❲ ♥rs ♥ s♦♥ r♦ ♦ r strtr ♥ r♣ ♦ t♦♠♥s♦♥r s♦s trs ♥ ♥ ♥♥r♥

♥t♦♥ t ♦ ♦♣strsss ♦♥ t st ♥♥ ♦ ♠s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥♦ ♦s ♥ trtrs

r♠ ss ♥ ♥r ❱ tr♥ r♦rr ♦♥t♥ r r♦♠ srt ♠ ♦♥t♥st♦♥ s♣ts ♥ ♦♥r② ♦♥t♦♥s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥trtrs ♦ s♦str

❳ ♦rst rt ❨ ♥♥ rt♦t P ♥♥② r♦st ♥ r♥t ♥ ♣r♦♣rts ♥ ♥♦♥♦♠♦♥♦s ♦r♠t♦♥ ♦ ♦♣♥ ♥♦♠s ♣♣t♦♥ ♦ t ♠♥s ♦ r s♦s ♥ ♦ ♣♦r♦s ♠trs trs♥ ♥ ♥♥r♥

② t rt♦ Pr♦ s t♣♥ ❲s ♥ ♦♠ ♥ t ♣♦ss♦♥srt♦ ♦r ♥ ② ♥ st ♥stt② ♥ ♠trs

P

♠♥ ①t str♥s♥st r♦♠ s♦①t ♠trs ♦r ♠t♦♥

♦r♥rt rr② rt ♥ Prr ♦r♠♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♠é♥q s♠tér① r♠s ♥

té♣♥ ♦r♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♣♦tr ♣ér♦q ♠t s é♦♣♣♠♥tss②♠♣t♦tqs Prs r

t ♥♥ ♥ Ptr rtr r♦rr t ♠♦♥ ♦ ♣r♦ tr♦♥♦s ♠s s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♠t♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥trtrs

rrt ♥ P rtr ♦♥t♥♠ ♠♦♥ ♦ ♠ tt trsss s♥ r♥♠t♦s ♦♠♣trs ♥ strtrs

♥s r ②♠♥ ♦r ♥ ♥♥ ♦t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ r♣♥st ♠♦♥ ♦r♥ ♦ stt②

r♥r ♠♦ ♥ ♥ r♦♠é♥q s ♠tér① r♥rs r♠s♥

Ptr rtr é♠♦r tt♦♥ à rr s rrs ♦♥trt♦♥ à ♥②ss②♠♣t♦tq t à ♦♠♦é♥ést♦♥ strtrs ♣ér♦qs ♦ ♥tr ♥ts♦rt♦r é♥q t tér①

r♦ s♦♦ r♦s♦♣ ♠♦♥ ♦ strtr ♠trs t♦♥s♣ t♥ ♦rt♦tr♦♣ ♦ssrt ♦♥t♥♠ ♥ r ♠♥ts ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

r é♥q s s②stè♠s t s ♠① é♦r♠s

rst♥s♥ ♥s ♦ r ♥ ♦tr ♦♥st② ♠trs ♥tr♥t♦♥♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

♥rs rr ♥ ③ é♥q s strtrs

♥ ♦t r♠ ♥ s ♦rt ♠t ♥②ss ♦ ♣r♦ ♠s r♦♣♥♦r♥ ♦ ♥s ♦s

♠r② ❲ r ♥ ♦ ♥②ss ♦ t♦ ♥ tr♠♥s♦♥ ②♣rst♠♦ ♦♠s ♥r ♦♠♣① ♦♥ ♦♥t♦♥s ♥s ♦ trs

♠r② ❲ r ♥ ♦ ♠r tr♠♥t♦♥ ♦ ♥t ♥ ssq♥t ②srs ♦ ♦♣♥ ♠♦ ♦♠s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

P

❱ s♣♥ s② ♥ ♦♠ t♦♣♦♦② ♥♥ rss strt♥♦♠♥t rttrs t ♠tr

❱ s♣♥ ♥ s② t ♣r♦♣rts ♦ t ♦tttrss tt♠tr ♦r♥ ♦ t ♥s ♥ P②ss ♦ ♦s

♥r♥♦s s♣♦s ♥♦ r ♥ ♥rs ♦rt♥s♥ ❯♥① ♦r♠t♦♥ ♦♠r♦r ♠ts t tr

t♥ ♦♥s ❱tr r♦ ♥ ♥t♥ ♥ t ②♦♥s ♠♦s ♦ ①t♦♠♣♦st strtr ♥s sr ♦♠♠♥t♦♥s

♦ ♦②♦②♦ ♥ ♦♥ ❲♥ t① r ♦ ♠t strttt ♠trs♦♠♣♦s ♦ s♦rt ♥ s♥r strts ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

♦ ♦②♦②♦ ♥ ♦♥ ❲♥ Pst r ♥②ss ♦ ♥ ①t ♦♠ ♦r ♥rtstrt tt ♥r ♦♥t♥ ♥ sr ♦s ♦r♥ ♦ t ♥s ♥ P②ss ♦♦s

str♥ rr②ss♦♥ s♦♥ ♥ s② ♥ t ♠♥s ♦ s ♥♦tr ♦♦s Pr♦ ♦ ♦♥

♥r t ♥ s ♦♥ ♠r♦s♦♣ ①t♥ ♦♥t♥ t t ♦ ♥♠r ♦♠♦♥③t♦♥ s♠s ♦♠♣tt♦♥ trs ♥

♥♦♥ t♥ ♥ r ♥ st ♠r♦♣♦r ♠①tr t♦r② ♦r♣rt♥ st ♣r♦♣rts ♦ r ♠trs ♥s ♦ trs

♥ ♥ ♥ ♥♥♠♥t ♦ ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ ♦♦strt ♦♠s ♥②ss trs ♥ s♥

♥ ♥ ♥ ♥ ❨ srs ♥ ♠r♦r ♠♥s♠ ♦ ♦tt trss ♠trs trs ♥ s♥

♥ ♥ ♥ ♥ ♦♥♥r ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ tt trss ♠trstrs ♥ s♥

♥ ♥ ♥ ❨♥ ❲ ♥ q♥t ♦♥t♥♠ ♠t♦ ♦ tt strtrs t♥ ♦ ♥

♥ ♥ ♥♥ ♥ ♥ ♥♥♥ ♥ ♥ ♣r♦♣rts ♦ tt r ♦♠♣♦stst ♥

P

t♠ ❱♥ ♥ ♥ P ♥ ♥r③ ♦♥t♥♠ t♦rs ♣♣t♦♥ t♦strss ♥②ss ♥ ♦♥ ♥

♦r♠♥ ♥ ❳♥♥ ♠ t♦r♥ ♦ strtt t♦♠♥s♦♥s♦tr♦♣ tts ♦r♥ ♦ t ♥s ♥ P②ss ♦ ♦s

é♥ ♦r♥ t ①♣ér♠♥t ssrt♦♥ rét t ♠♦ést♦♥ résst♥ strtrs rs P tss ♦ t♦♥ s P♦♥ts t ssés

é♥ ♦r♥ ♥ r♠ r♦r♦s ♦♠♦♥③t♦♥ ♠t♦ ♦r t tr♠♥t♦♥♦ t ♦r t♠t str♥t ♦ ♣r♦ srt ♠ ♥ ♥ ♣♣t♦♥ t♦ ♥r①♦♥ tts ♦ ♠s r♦♣♥ ♦r♥ ♦ ♥s ♦s

♦rst ♥s ♦ ♦ssrt ♠ ♥ ♥tr♦t♦♥

♠ ♦rst ① ♦♥t♥s é♥érsés t ♠tér① étér♦è♥s ♦s s ♠♥s Prs

s♣r ❳ ♥ ❲ ♠t r♠ ♥ ♥s ♦ ♦♥②♦♠s t①t ♦r t tr

♦r♥ s♦♥ ♦♠♥s ♦ r s♦s ♦r♥ ♦ ♦♠♥s

♦r♥ s♦♥ ♥ s② r ♦s Prss s②♥t ♦ t ♥rst② ♦♠r

t♥♦ ♦♥ ♥ ss♠♦ ③③♥ ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ q♥t ♥♣♥ ♣r♦♣rts♦ t♦♠♥s♦♥ ♣r♦ tts ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

♦s♣ r♠ ♥ tt ♥ r ♥r rs♦♥ ♥ ♥s t♣♦ss♦♥s rt♦s ♥ r ♦♠ ♠trs trs ♥ ♥ ♥♥r♥

r♥r ss② ♦r♥♥ ♥ ♥ ♥r♥ç♦s ♥♦r ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ t ♦♥t♦♥s ♦ s♥ ②r♥ ♣♣t♦♥s t♦ t ♠♦♥ ♦ t trt♦♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥♦ ♥ ♥s

♦ s♦r♥r ♥ ❲ r t st ♣r♦♣rts ♦ ①♦♥ ♥ qrtr r strtrs ♦♠♣♦st trtrs

♦r ♦ ♥ ❲r r r♥ ♥②ss ♦ t t stt② t♥s♦r ♦r ♥rr s♥ ♦rs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ s♦s ♥ strtrs

P

t♥s♦♥ ♥ strtr ♣r♦r♠♥ ♦ t ♣r♦ trss ♦r♥♦ t ♥s ♥ P②ss ♦ ♦s

r♣♦ ♦r♦ ♥ t♣♥ rtrst s♦t♦♥s ♦r t stts ♦r♣tt ♠ trsss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥ ♥s

♦r♦ r♣♦ t♣♥ ♥ stt ♥②ss ♦ ♥t r♣tt strtrs ②srt ♦rr tr♥s♦r♠ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

s ♠r ♥ ♦ ♥r③ ♦♥t♥♠ ♠♦♥ ♦ ♣r♦r s♦s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

s ♠r ♥ ♦ t♥t♦♥ s♥ ♦ t♦♠♥s♦♥ r♠trs t t♦r ♠s♦strtr ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs ♦ ♦s♦strs♦str

s ♦♠ strtrs t ♥t ♣♦ss♦♥s rt♦ s♥

♦r s ♦r♠t♦♥ ♠♥s♠s ♥ ♥t ♣♦ss♦♥s rt♦ ♠trs strtrs♣ts trs ♥

♦r s trs t strtr rr② tr

❩♥ ♥ ❩ ①♥ ♠r ♠♦♥ ♦ t ♦♠♣rss♦♥ ♣r♦ss ♦ st♦♣♥ ♦♠s ♥s ♦r♥ ♦ r♦♥ts

❳ ♦ ♥ s ts ♦ s♣ ♥ strt r♦ssst♦♥ r rt♦♥s ♦♥ t st ♣r♦♣rts ♦ tr♠♥s♦♥ ♦♣♥ ♦♠s ♦r♥ ♦ t♥s ♥ P②ss ♦ ♦s

♥ ♣♣r♠♥ ♦s s ♥ ②♥ trss ♦③t♦♥ ♥ str♥t♦♣t♠③t♦♥ ♦ r♠ ♠tr t ♣r♦ ♠r♦strtr ♦♠♣t t♦s ♣♣ ♥r

t♥ ♥ ❲♥③♥ t ♦♣strss ♦♥t♥♠ ♠♦ ♦ r s♦s ♥s③ ts ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs ♦ s♦str

❩ ♥ ♥ s♥ ♦♣t♠③t♦♥ ♦ trss♦r s♥s t ♦♠♦♥③t♦♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

r ♦r ♥s♠s ♠tsr ♣stt② ♠♦ ♦r trss tt ♠trs♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

P

♦r ♥ r ♦♥t♥♠ ♠♦♥ ♦ tt strtrs ♥ r s♣♠♥t♣♣t♦♥s t♦ ♥ ♥②ss ♦♠♣trs ♥ strtrs

②♠♥ ♦r sr♣t♦♥ t♦♣♦♦q rttr rs t ♠♦st♦♥ ♠♥q ♠②♦r P tss ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q r♥♦

③r♦ stt♦♥ ♦ t s②♠♣t♦t t♦r② ♦ t♥ r♦s ♥tr ♥ ♣♦♥tsst♠ts ♦r♥ ♦ t♠t ♥s ♦

♠ ♦♦r ♦♥t♥♠ ♠♦♥ ♦r r♣tt tt strtrs ♣♣ ♠♥sr

r♦r② r ♦♠s ts ♦s♦♥ ♥ rst♦♣r ❲sq♥t♦♥t♥♠ ♠♦♥ ♦ ♥♥♦strtr ♠trs ♦♠♣♦sts ♥ ♥♥♦♦②

♠r ♥♦ ♥ ♦ st♦♣st ♠r♦s♦♣ rt♦♥ ♥ ♣♦strt♦♥ ♦r ♦ ♣r♦ r s♦s ♦r♥ ♦ t ♥s ♥ P②ss ♦♦s

P ♥ ❲ ♥rs ♥ s♦♥ ③ ts ♥ t r s♦s ♣rt ♠♦♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥ ♥s

Pr♦ ♦♠s ♠r ♥ ♦♥ ♦tss ♥tr♦t♦♥ à ♠é♥q s s♦st s strtrs ♣rsss ♣♦②t♥qs t ♥rstrs r♦♠♥s

r♥s Pr ♥ r♠ ♦ssrt ♠♦♥ ♦ st ♣r♦ tt strtrs Prs t r ♣

Pr ♥ s Pr♦♣rts ♦ r ♦♥②♦♠ t ♣♦ss♦♥s rt♦ ♦ ♥t

♥♥ ♦t ♥s r ♥ ②♠♥ ♦r st tts qr♠ ♥r♥ts ♥ ♦♠♦♥③t♦♥ ♥♥ ❯♥ rrr

③ ♥ ♦♥ rr♥ ♥t ♠♥t ♦ssrt ♦r♠t♦♥ t ♣♣t♦♥ ♥ ②r strtrs ♣♣ t♠t ♦♥ ♦ ♣♠

P ♦rts ♥ r♦③ st ♣r♦♣rts ♦ ♠♦ r♥♦♠ tr♠♥s♦♥ ♦♣♥ s♦s ♦r♥ ♦ t ♥s ♥ P②ss ♦ ♦s

♦s ♦s♥r ♥ ♦rt ♠r♠♥ r♦♦♥t♥♠ ♣♣r♦ ♥ ♦♠♥ ♠♦♥t♠ts ♥ ♦♠♣trs ♥ ♠t♦♥

P

②♥ s ♥ r ♣t♠ s♥ ♦ ♥♥t r♣tt strtrstrtr ♣t♠③t♦♥

q♥ ♥③rt ♥ ♥③P♥ ♥tr♦t♦♥ ① ♠ét♦s s②♠♣t♦tqs t à ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♣t♦♥ à ♠é♥q s ♠① ♦♥t♥s

r♣ ♥ Prr♦tt ③③♥ ♥ ❨ts st ♥ ♦①♦♥ r ♦♥②♦♠s ♦♠♣♦sts Prt

tt ❲s♦♥ ②s ♥ ♦r♥ s♦♥ ts ♦ ♥♦♥♣r♦ ♠r♦strtr ♦♥ t st ♣r♦♣rts ♦ t♦♠♥s♦♥ r s♦s ♥t

♠♦ ♥ s ♦♠♣tt♦♥ ♥stt② ♣r♥r

ss♥r♦ ♣♦♥ ♥ ss♠♦ ③③♥ ♠r ♥ ①♣r♠♥t ♥②ss ♦ t stt♦♠♣♥ ♦ r trss♦r r♦s ♦r♥ ♦ ♠♥s ♦ ♠trs ♥ strtrs

♦② ♥ ♦s ♦s♥ ♥ r② r ♥r ttrr♦♥ ♠♦♦r ♦♣♥ ♦♠s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

♥ ♦ ♥ Ptr ♥ ③ ts ♥ t♦♠♥s♦♥ ♦r♦♥♦ ♦♠s ♦♠♣rs♦♥ t♥ ♥r③ ♦♥t♥ ♥ srt ♠♦s ♦r♥ ♦ t ♥s ♥P②ss ♦ ♦s

♥ ♦ ③ ts ♥ r s♦s P tss s♥rstt r♦♥♥♥

♦♥r ♥ r ♦♥t♥♦s ♠♦♥ ♦ tt strtrs ② ♦♠♦♥③t♦♥♥s ♥ ♥♥r♥ ♦tr

r ♦♥r ♦è ♠♥s♦♥♥s tssés ♦♠♦é♥ést♦♥ s trs ♥ rt♦♥rs P tss ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q r♥♦

♦rqt♦ ❱ ♥s② ♥ s♦♥ t ♠♥ ♥tr♥s♣♦rt ♣r♦♣rts ♦ r s♦s ♥t ♦

P r♦s ♥ s♥ tr s②♠♠trs ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥ q♥t t♦tts ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

Ptr ❱r♥ ♦ést♦♥ ♦♥t♥ s strtrs srèt ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ s strs P tss ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q r♥♦

P

②♥ ❲❨ t♥t♦♥ ♣r♦ r ♠ts P r♥s ♦

❲♥ ♥ ♦ ❨ srs ♦ r♦s ♣r♦ ♠t ♦♥②♦♠s t♥tr♠t rt ♥st② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ Pstt②

❲ ❲rr♥ ♥ s♥ ②s♦ ♥r s♦t♦♥ t♦ s♦♠ ♣♥ ♣r♦♠s ♦ ♠r♦♣♦rstt② r♦♣♥ ♦r♥ ♦ ♥s ♦s

❲ ❲rr♥ ♥ r②♥ ♥r st ♦r ♦ ♦ ♥st② ♥ ♦♠ t♦♣♥ ♣♣

❲♠ ❲rr♥ ♥ s♥ ②s♦ r♦ s②♠♠tr② rstrt♦♥s ♦♥ t♦♠♥s♦♥♠r♦♣♦r ♠trs r♦♣♥ ♦r♥ ♦ ♥s ♦s

❳ ♥ ♥ t ♦ strt ♦♠tr② ♦♥ t ②♥ ♦r ♦ ♦♣♥♦♠s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥ ♥s

♥ ❨♥ ♥♦♥ ♥ t♥ ♥ ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♦ ♣rt♦♥ ♦♥ tst ♣r♦♣rt② ♥ s♣ ♦♣t♠③t♦♥ ♦ trss ♠tr t ♣r♦ ♠r♦strtr♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥ ♥s

❯ ❨♥ ♥ ❨ ♥ ♦♠tr ts ♦♥ ♠r♦♣♦r st ♦♥②♦♠strtr t ♥t ♣♦ss♦♥s rt♦ s♥ t ♥t ♠♥t ♠t♦ ♥t ♠♥ts♥ ♥②ss ♥ s♥

❨ ❨♥ ♥ ♦♥♥ ♥ st ♥ ♦ rr ①♦♥ ♦♥②♦♠s t♣t ♦rrs ♥r ① ♦♠♣rss♦♥ ♦♠♣♦st trtrs

❨ ❨♥ ♥ ♦♥♥ ♥ r srs ♦r rtt ♦♥②♦♠s t ♣t♦rrs ♥r ♥♣♥ ① ♦s ♦♠♣♦st trtrs

♥r ❨♦♦ ♥ ♦♥ s ♦♣strss ♠♦ ♦ trr ♦♥ ③ s ♣r♦ r ♥t♦r ♦r♥ ♦ ♦♠♥s

❨ ❩♥ ❳ ♥ ♥ ♥ ♣r♦♣rts ♦ t♦ ♥♦ ♣♥r ttstrtrs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs

❳ ❩ ♥♦tt ♥ s ♥②ss ♦ t st ♣r♦♣rts ♦ ♦♣♥ ♦♠st ttrr s P②s ♦s

Annexe A②♥tès té♦r s ♣♦trs ♥ ♣tts

é♣♠♥ts t ②♣♦tès r♥♦

♦♠♠r trtr s ♣r♦è♠s ♣♦tr

Pss s éqt♦♥s ♦s ① éqt♦♥s ♦s ♣♣t♦♥ ♣r♥♣ s ♣ss♥s rts

ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♣♣t♦♥ ① ♣♦trs

srétst♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ♣♦tr

P♦tr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥

P♦tr ♥ ①♦♥

tr rr éé♠♥tr ♥s r♣èr strtr

ss♠ s ♠trs éé♠♥trs

①♣rss♦♥ t♦r s ♦rts ♥s r♣èr strtr

trtr s ♣r♦è♠s ♣♦tr

tt s②♥tès st ss♥t♠♥t ss s ♦rs r é♥q ss②stè♠s t s ♠① é♦r♠s r ❬❪ t rr t ③ é♥q s strtrs rr ♥ ③ ❬❪ ♦s r♦♥s ♥s tt ♥♥① ♣rés♥tt♦♥ ♠ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♣♣qé à ♥ ♠♦è ♣♦tr s♦s ②♣♦tès r♥♦ ♦s ♠♦♥trr♦♥s ♦♠♠♥t ♦t♥r à ♣rtr tt ♠ét♦ s ♦r♠t♦♥ss ér♥ts ♦rts t ♠♦♠♥ts s♦s ♦r♠ t♦r q ♥♦s ♦♥s ♦r♠♠♥t tsét♦t ♦♥ ♥♦s tr①

r ré♣t st s t♦♥s ♠é♥qs té♦r s ♣♦trs q♥♦s ♦♥s tsr s t♦♥s ♠é♥qs ♥ rsé ♦rrs♣♦♥♥t ① s♦tt♦♥s ♥tr♥ss t♦♥s ♠é♥qs ♥ ♥♦r s♦♥t s ♦rts ①térrs ♣♣qés à ♣♦tr s r♥rssr♦♥t ♦ss ♦♠♠ ét♥t ♥q♠♥t ♦♥♥trés ♥ ♥ sss ①é

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

M1R1

M2

R2s1 s2

s

T(s) R(s)

N(s)

M(s)

Mt(s)

Mf(s)

G(s)f(s)

r t♦♥s ♠é♥qs ♣♣qés à ♥ ♣♦tr

s ♦♠♣♦s♥ts s ♥♦♥♥s ♥ ♣r♦è♠ ♣♦tr s♦♥t

s ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t U(s) =

ψ(s)u(s)

G(s)

u(s) t ψ(s) é♣♠♥t t r♦tt♦♥ r ♥tr ♣♦tr àsss s

s ♦♠♣♦s♥ts é♦r♠t♦♥ D(s) =

γ(s)ε(s)

G(s)

s ♦♠♣♦s♥ts s s♦tt♦♥s ♥tr♥s T(s) =

R(s)M(s)

G(s)

♦s ♦♥s é♠♥t s rt♦♥s s♥ts sr ♥ tr♦♥ç♦♥ ♥♥tés♠ ♣♦tr éqt♦♥s♦s

s rt♦♥s é♦r♠t♦♥s é♣♠♥t

γ(s) =dψ(s)

ds

ε(s) =du(s)

ds+ n(s) ∧ ψ(s)

n(s) tr t♥♥t à r ♥tr ♣♦tr ♣♦♥t sss s s éqt♦♥s éqr ♥ qs sttq

dR(s)

ds= 0

dM(s)

ds+ n(s) ∧R(s) = 0

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

s rt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t éstqs ♠tér

ε(s) =N(s)

ESεT1(s) =

T1(s)

GSεT2(s) =

T2(s)

GS

θ(s) =Mt(s)

GI0γT1(s) =

Mf1(s)

EI1γT2(s) =

Mf2(s)

EI2

E ♠♦ éstq ♣♣é ss ♠♦ ❨♦♥ G ♠♦ s♠♥t S st♦♥ ♣♦tr I0 ♠♦♠♥t ♣♦r ♣r r♣♣♦rt ♥tr ♣♦tr t Ij ♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① j

Pss s éqt♦♥s ♦s ① éqt♦♥s♦s ♣♣t♦♥ ♣r♥♣ s ♣ss♥srts

♥s s ♥ ♣♦tr ré ♣r ♥ ré♣rtt♦♥ F(s) ♦rts ♦♥ ♥♠♦②♥♥ ♣r♠étré ♣r sss s s éqt♦♥s ♦s éqr t sér♥t♥ qs sttq

dT(s)

ds

+ F(s) = 0

s ♦♥t♦♥s ♦rs ① ssss tr♠♥s s1 t s2 ♣♦tr sér♥t

T(s1) = −F(s1)

T(s2) = + F(s2)

♥ ♣t tr ♦♠♦♠♥t ♥ t♦rsr q♦♥q V∗(s) t ♥térr ♦♥ ♣♦tr ♣♦r éqt♦♥ P♦r s éqt♦♥s t ♦♥ ♣t s♦♠♠r ♣r♦t s tr♠s V∗(s1) t V∗(s2) ♥ ♦t♥t ♥s ♦r♠t♦♥ s♥t♣♣é s♦♥t ♣r♥♣ s ♣ss♥s rts PP❱

ˆ s2

s1

[dT(s)

ds

+ F(s) − A(s)]

⊗ V∗(s) ds+ [T(s1)+ F(s1)]⊗ V∗(s1)

+ [−T(s2)+ F(s2)]⊗ V∗(s2) = 0

♦♥ ♥tèr ♣r ♣rt tr♠´ s2

s1

dT(s)

ds

⊗ V∗(s) ds ♦♥ r♠rq q

ˆ s2

s1

dT(s)

ds

⊗V∗(s) ds = T(s2)⊗V∗(s2)−T(s1)⊗V∗(s1)−ˆ s2

s1

T(s)⊗dV∗(s)

ds

ds

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

♦♥ ♥sèr é♦♣♣♠♥t ♥s éqt♦♥ ♦♥ r♠rq q s tr♠s ♦rs sé♠♥♥t t q ♥ rst q♥ ①♣rss♦♥ ♣s s♠♣ ♦r♠

−ˆ s2

s1T(s)⊗

D∗(s)

ds+

ˆ s2

s1F(s)⊗V ∗(s) ds+

∑

i

F(si)⊗V∗(si) =

ˆ s2

s1A(s)⊗V∗(s) ds

♥ ♣♦s♥t

dV∗(s)

ds

=

D∗(s)

♣r♠r tr♠ ♦rrs♣♦♥ à ♣ss♥ rt

s ♥tr♦rts s♥t à ♣ss♥ rt s ♦rts ♥éqs ♥s s♦♥ ♠♠r♦♥ tr♦ ♣ss♥ rt s q♥ttés éért♦♥ tt r♥èr éqt♦♥ st ♣♦♥t é♣rt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣♣r♦é ♣r éé♠♥t ♥s

ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♣♣t♦♥ ① ♣♦trs

rt♥s trs ts♥t ♣rés♥tt♦♥ éqt♦♥ s♦s ♦r♠ ♣r♥♣s tr① rts P❱ ♥ r♠♣♠♥t tss rt V∗(s) ♣r é♣♠♥trt U∗(s) q ♦rrs♣♦♥ à ♥tért♦♥ V∗(s) r♥t ♥ t♠♣s dt ♦s ♦♥s♦rs éqt♦♥ s♥t

−ˆ s2

s1T(s)⊗D∗(s) ds+

ˆ s2

s1F(s)⊗U∗(s) ds+

∑

i

F(si)⊗U∗(si) =

ˆ s2

s1A(s)⊗U∗(s) ds

♦s ♦♥sérr♦♥s q ♥② ♣s ♦rts ♥éqs t ♥♦s r♦♥s rés♦t♦♥ ♥ qs

sttq éqt♦♥ s s♠♣ ♦rs ♥

−ˆ s2

s1

T(s) ⊗ D∗(s) ds+∑

i

F(si) ⊗ U∗(si) = 0

s♥ q tr rt s ♥tr♦rts st é tr s ♦rts ①térrs ① ♥♦s ♦♠♣t t♥ t♦rsr s ♣tts é♣♠♥ts t♦rsr s ♣ttsé♦r♠t♦♥s D(s) sért

U(s) =

α β φu v w

=⇒ D(s) =

dU(s)

ds

=

dα

ds

dβ

ds

dφ

dsdu

ds

dv

ds− φ

dw

ds+ β

♦s ②♣♦tès r♥♦ t♦rsr s s♠♣ ① s ♦♠♣♦s♥ts s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ♥s

♥ r♣♣ q ♥s ②♣♦tès r♥♦ ♣♦tr st ss♠♠♥t é♥é ♣♦r q é♦r♠t♦♥ à ♦rt tr♥♥t s♦t ♥éé st♦♥ ♥ ♣♦tr rst ♣r♣♥r à ① r♥tr

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

u1 u2

v1 v2

φ1φ2

x

y

p

p

zp

r rés rté ♥ ♣♦tr ♥ ①s ♣r♦♣rs

D(s) =

dα

ds−d

2w

ds2d2v

ds2du

ds0 0

♠ê♠ ç♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s érr t♦rsr é♦r♠t♦♥ rt

D∗(s) =

dα∗

ds−d

2w∗

ds2d2v∗

ds2du∗

ds0 0

♣r♠r ♠♠r éqt♦♥ s♦t ①♣rss♦♥ s tr① rts s ♥tr♦rts sért ♦rs

W ∗i = −

ˆ s2

s1

T(s) ⊗ D∗(s) ds

= −ˆ s2

s1

Mtdα∗

ds−Mfz

d2w∗

ds2+Mfy

d2v∗

ds2+N

du∗

ds

ds

= −ˆ s2

s1

GI0dα

ds

dα∗

ds− EIz

d2w

ds2d2w∗

ds2+ EIy

d2v

ds2d2v∗

ds2+ ES

du

ds

du∗

ds

ds

srétst♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ♣♦tr

P♦r ♥ ♣♦tr tr♥t ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ①s ♣r♦♣rs (xp,yp, zp) t ♥①♦♥ ♥s ♣♥ xOy ♥ s ♥♦s tr♦s rés rté q s♦♥t r♣♣és ♥s r s ① tr♥st♦♥s s♦♥ s ① ①s ♣r♦♣rs à ♣♦tr xp, yp t r♦tt♦♥t♦r ① ♦rt♦♦♥ ♣♥ zp tr s rés rté st ♠♥s♦♥ tr s rs é♠♥t t ♠tr rr ss♦é st ♠♥s♦♥ 6× 6

♣♦tr st ♦♥séré ♦♠♠ ②♥t ♥ st♦♥ ♦♥st♥t ♣r♦ s②♠étr ♣♦ssè s qtés rqss s②♠étr ♣♦r q ♥tr t♦rs♦♥ t ♥tr rté s♦♥t ♦♥♦♥s ♣♦tr st ss♠♠♥t é♥é ♣♦r q é♦r♠t♦♥ à ♦rt tr♥♥t s♦t ♥éé ②♣♦tès r♥♦ s ②♣♦tèss ♣♦tr à ♥

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

♦♠♣♦rt♠♥t q st s♣r♣♦st♦♥ ① ♦♠♣♦rt♠♥ts s♠♣s ♥é♣♥♥ts trt♦♥♦♠♣rss♦♥ t ①♦♥ ♥s ♣♥ ♣r♥♣ P♦r ♦♥strt♦♥ ♠tr rr ♦♥ ♣t sé♣rr s ♦♠♣♦rt♠♥ts

P♦tr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥

réstt st s♠♣ t ♦♥♥ ♠s ♠♦♥tr♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♦r ♦t♥r à ♣rtr ♥♦tr ♦r♠t♦♥ ♥ tr① rts ♥♦s ♣r♠ttr r♣r♥r ♠ê♠ é♠r♥s s ♣s ♦♠♣① ①♦♥ ♥s s ♥ ♣♦tr s♦♠s ♥q♠♥t à♥ t♥s♦♥ ♦♥♥tré Nxp ♥s rt♦♥ s♦♥ ① ♣r♦♣r xp s ss é♦r♠t♦♥s♣r♦♥♥♥t ♦♠♣♦s♥t u t♦rsr s ♣tts é♣♠♥ts

U(x) =

ψ = 0

u = u(x)x

⇒ D(x) =

γ = 0

ε =du(x)

dxx

tr rt s ♥tr♦rts s♦t♥t ♣r

W ∗i =

ˆ s2

s1

ESdu

ds

du∗

ds

ds

♥ ♦st ♥ ♠♣ é♣♠♥t q s①♣r♠r ♥ ♦♥t♦♥ s é♣♠♥ts s♥♦s t ♦s ♦♥s ① rés rté ♥♦s t ♥ ♠♣ é♣♠♥t à① ♥♦♥♥s ❯♥ ♦♥t♦♥ ♥ér ♦r♠ s♥t ♦♥♥t

u(x) = ax+ b

s ♦♥t♦♥s ① ♦rs s♥ts

u(0) = u1 t u(L) = u2

q ♦♥♥

u(x) = u1L− x

L+ u2

x

L= [φ(x)] [U]

♥ ♣♦s♥t [U] =

[u1u2

]

♦♦♥♥ s é♣♠♥ts t [φ(x)] =

[L− x

L

x

L

]

♥

s ♦♥t♦♥s ♦r♠s éé♠♥t érédu(x)

dxs sé♠♥t

du(x)

dx= −u1 1

L+ u2

1

L= [ψ] [U]

♥ ♥♦tr q s tr♠s [ψ] s♦♥t s ♦♥st♥ts st ♥térr ♥st tr rt s ♥tr♦rts

W ∗i =

ˆ L

0

ES [U]t [ψ]t [ψ] [U∗] dx = ELS [U]t [ψ]t [ψ] [U∗]

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

♥ ♥♦t [Ktc] ♠tr rré ♦t♥ ♣r

[Ktc] = ELS [ψ]t [ψ]

♣r♦t [ψ]t [ψ] t

[ψ]t [ψ] =1

L2

[1 −1−1 1

]

♥♠♥t ♣♦r trt♦♥♦♠♣rss♦♥ tr rt s ♥tr ♦rts sért

W ∗i = [U]t [Ktc] [U

∗]

[Ktc] =ES

L

[1 −1−1 1

]

♦♥r♥♥t tr rts s ♦rts ①térrs ♦♠♠ ♥♦s ♥ ♦♥sér♦♥s q srs ♦♥♥trés ① ♥♦s ♦r♠t♦♥ st très s♠♣

W ∗e =

∑

i

F(si) ⊗ U∗(si) =∑

i

Niu∗i = [F]t [U∗]

[F] ♦♦♥♥ s ♦rs ♥♦s

P♦tr ♥ ①♦♥

♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ①♦♥ ♦♥ s♣♦s qtr ♦♥t♦♥s ① ♥♦s

v(0) = v1 v(L) = v2 dv

dx(0) = φ1

dv

dx(L) = φ2

♥s s ♦♥t♦♥s st ♥éssr ♣r♥r ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ré q ♦♥t♥t ♦♥st♥ts

v(x) = ax3 + bx2 + cx+ d⇒ dv(x)

dx= 3ax2 + 2bx+ c

s ♦♥t♦♥s ♥ts ♦♥ tr c = φ1 d = v1

a =2

L3(v1− v2) +

1

L2(φ1 + φ2) b = − 3

L2(v1− v2)− 1

L(2φ1 + φ2)

q ♥♦s ♠è♥ à ①♣rss♦♥ ♠tr

v(x) =[1− 3ξ2 + 2ξ3 L (ξ − 2ξ2 + ξ3) 3ξ2 − 2ξ3 L (−ξ2 + ξ3)

]

v1φ1v2φ2

= [φ(x)] [U]

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

ξ =x

L♥s ①♣rss♦♥ tr s ♦rts ♥térrs ♥♦s ♦♥s s♦♥ éré s♦♥

v(x)

d2v(x)

dx2=

[6

L2(−1 + 2ξ)

2

L(−2 + 3ξ)

6

L2(1− 2ξ)

2

L(−1 + 3ξ)

]

v1φ1v2φ2

= [ψ(x)] [U]

tt ♦s s tr♠s ♥ s♦♥t ♣s s ♦♥st♥ts ♥♦s ♦♥s ♥térr s ♦♥t♦♥s sréé♠♥t ♣♦r ♦t♥r ①♣rss♦♥ tr rt

W ∗i =

ˆ L

0

EId2v

dx2d2v∗

dx2dx = EI [U]t

ˆ L

0

[ψ(x)]t [ψ(x)] dx [U∗]

♠tr rré ①♦♥ [Kfl] st ♦t♥ ♣r

[Kfl] = EI

ˆ L

0

[ψ(x)]t [ψ(x)] dx =EI

L3

12 6L −12 6L6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L6L 2L2 −6L 4L2

♥ ss♠♥t s ① ♠trs [Ktc] t [Kfl] ♥♦s ♦t♥♦♥s ♠tr rréé♠♥tr ♥ ① ♣r♦♣r K t s♦rt q ♣r♥♣ s tr① rts sért ♦rs

W ∗i +W ∗

e = 0

⇒ [U]t [K] [U∗] = [F]t [U∗]

tt r♥èr rt♦♥ st q q s♦t [U∗] ♦♥ ♣t réérr s♦s ♦r♠

[K] [U] = [F]

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

u1

v1

φ1

x

y

s

s

p

p

u1

v1s

s

θ

u2v2

φ2

p

p

u2

v2s

s

ebeb

r rés rté ss♦é r♣èr strtr

[U] =

u1v1φ1u2v2φ2

[F] =

F1xF1yM1zF2xF2yM2z

[K] =

ES

L0 0 −ES

L0 0

012EI

L3

6EI

L2−12EI

L30

6EI

L2

06EI

L2

4EI

L−6EI

L20

2EI

L

−ESL

0 0ES

L0 0

0 −12EI

L3−6EI

L2

12EI

L30 −6EI

L2

06EI

L2

2EI

L−6EI

L20

4EI

L

tr rr éé♠♥tr ♥s r♣èr strtr

r♣èr strtr st r♣èr ① rtrr♠♥t ♦s ♣r tstr ♣♦r é♥r sstrtr t q t♦ts s ♠trs t trs s♦♥t ♦♥strts ♥s ♠ê♠ r♣èr ♣♦r♣♦♦r s ss♠r ♥ é♥t ① ♥♦s s rés rté ♥s r♣èr strtr♦r r

♣ss s rés rté ♥ s r♣èrs rs tr s t à ♥♠tr r♦tt♦♥ [R] t q

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

[Up] = [R] [Us] ⇒

u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p

=

c s 0 0 0 0−s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 −s c 00 0 0 0 0 1

u1sv1sφ1su2sv2sφ2s

c = cos(θ) s = sin(θ) ♠ê♠ ♦♥ ♣♦rrt érr

[Fp] = [R] [Fs]

♥ tr s rt♦♥s ♣réé♥ts

[Fp] = [R] [Fs] = [Kp] [Up] = [Kp] [R] [Us] ⇒ [Fs] = [R]−1 [Kp] [R] [Us]

♥ r♣♣ q s ♠trs r♦tt♦♥s s♦♥t s②♠étrqs ♥rss t q r ♥rsst é à r tr♥s♣♦sé

♦s és♦♥s rt♦♥ ♣réé♥t ①♣rss♦♥ ♠tr rr éé♠♥tr♥ ①s strtr①

[Ks] = [R]−1 [Kp] [R]

[Ks] =

E tc2

L+ 12 s2E I

L3cE tsL

− 12 sE I cL3 −6 sE I

L2 −E tc2

L− 12 s2E I

L3 − cE tsL

+ 12 sE I cL3 −6 sE I

L2

cE tsL

− 12 sE I cL3

E ts2

L+ 12 c2E I

L3 6 E I cL2 − cE ts

L+ 12 sE I c

L3 −E ts2

L− 12 c2E I

L3 6 E I cL2

−6 sE IL2 6 E I c

L2 4 E IL

6 sE IL2 −6 E I c

L2 2 E IL

−E tc2

L− 12 s2E I

L3 − cE tsL

+ 12 sE I cL3 6 sE I

L2E tc2

L+ 12 s2E I

L3cE tsL

− 12 sE I cL3 6 sE I

L2

− cE tsL

+ 12 sE I cL3 −E ts2

L− 12 c2E I

L3 −6 E I cL2

cE tsL

− 12 sE I cL3

E ts2

L+ 12 c2E I

L3 −6 E I cL2

−6 sE IL2 6 E I c

L2 2 E IL

6 sE IL2 −6 E I c

L2 4 E IL

ss♠ s ♠trs éé♠♥trs

ss♠ s ♠trs éé♠♥trs st ♦♣ért♦♥ q ♦♥sst à ♦♥strr ♠tr rr strtr ♥tèr tt ♦♣ért♦♥ rést ♣r♥♣ s tr① rts♣♣qé à strtr ♥tèr ♠♣ s é♣♠♥ts rts ♣♣qés ét♥t rtrr ♥ rést q q ♥♦ ♦t êtr ♥ éqr rr ss♦é à ♥ ré rtést s♦♠♠ érq s rrs q éé♠♥t ♠tr éé♠♥tr [Ks] ②♥t ♥♦ ♥ ♦♠♠♥ ♥ ♣t r♣rés♥tr tt ♦♣ért♦♥ ♠♥èr r♣q ♥s r

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

K1

K2

K=

Dans la partie griséesomme des éléments deK1 et K2, liés aux degrésde libertés communs entreles poutres 1 et 2

K1 : matrice deraideur élémentairede la poutre 1

K2 : matrice deraideur élémentairede la poutre 2

r strt♦♥ ♦♣ért♦♥ ss♠ ♠trs rrs éé♠♥trs

♣rès ss♠ s②stè♠ ♠tr sért s♦s ♦r♠

[F] = [K] [U]

♥ ♥ ♣t ♣s rés♦r ♥ étt t étr♠♥r qs s♦♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ t qs s♦♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣t sr ♥♦♥♥s é♣♠♥t♦ ♦rts ér♥ts ♠ét♦s ♦♥t été é♦♣♣és ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♣rtèr♠♥t q♥ ♥♦♠r rés rté st très éé

①♣rss♦♥ t♦r s ♦rts ♥s r♣èrstrtr

♦s ♦♥s ♣rééré tsr ♦rs ♥♦s tr① s ①♣rss♦♥s t♦rs ♣♦r s♦rts t s ♠♦♠♥ts ♥s ♣rr♣ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♦♠♠♥t à ♣rtr s éqt♦♥s té♦r s ♣♦trs q ♥♦s ♥♦♥s é♦♣♣r ♥♦s ♣♦♦♥s ♦t♥r s①♣rss♦♥s t♦rs

♦s ♣rtr♦♥s s ♦rts ①♣r♠és ♥s r♣èr ♣r♦♣r ♥ ♣♦tr

[K] [U] = [F]

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

[U] =

u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p

[F] =

F1xpF1ypM1zpF2xpF2ypM2zp

; [K] =

ES

L0 0 −ES

L0 0

012EI

L3

6EI

L2−12EI

L30

6EI

L2

06EI

L2

4EI

L−6EI

L20

2EI

L

−ESL

0 0ES

L0 0

0 −12EI

L3−6EI

L2

12EI

L30 −6EI

L2

06EI

L2

2EI

L−6EI

L20

4EI

L

♥ r♣èr ♣r♦♣r ♦s ♥♦s srr♦♥s é♠♥t éqt♦♥ r♦tt♦♥

[Up] = [R] [Us] ⇒

u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p

=

c s 0 0 0 0−s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 −s c 00 0 0 0 0 1

u1sv1sφ1su2sv2sφ2s

q ♣♦tr ét♥t ♥ éqr ♦♥ ♥ s♦♥ q s ♦rts ♥ ♥ s s ① ♥♦ss ♦rts à tr ♥♦ ét♥t ♦♣♣♦sés ♥ ♦t♥t s ♦rts s♥ts ♥♦ q ♥♦s♦♥sérr♦♥s ♥s ♥♦s tr① ♦♠♠ ♥♦ ①tré♠té

F2xp =ES

L(−u1p + u2p) =

ES

L

([cs

]

·(

−[u1sv1s

]

+

[u2sv2s

]))

F2yp =12EI

L3

(

v2p − v1p +L

2(φ1p + φ2p)

)

=12EI

L3

([−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

])

− L

2(φ1s + φ2s)

)

P♦r q st s ♠♦♠♥ts ♥♦s ♦♥s ①♣r♠r s ♠♦♠♥ts ① ① ①tré♠tés

M1zp =6EI

L2(v1p − v2p) +

2EI

L(2φ1p + φ2p)

=6EI

L2

(

−[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

+2EI

L(2φ1s + φ2s)

M2zp =6EI

L2(v1p − v2p) +

2EI

L(φ1p + 2φ2p)

=6EI

L2

(

−[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

+2EI

L(φ1s + 2φ2s)

♦s ♣♦sr♦♥s s trs s♥t ♦r r

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

tr rtr ♣♦tr eb =

[cs

]

tr ♥tr ♥♦r♠ à ♣♦tr eb⊥ =

[−sc

]

s trs é♣♠♥ts ① ♥♦s ♥s r♣èr strtr u1 =

[u1sv1s

]

t u2 =[u2sv2s

]

♦s ♣♦♦♥s ♦rs réérr t♥s♦♥ ♣♦tr F2xp st à r éqt♦♥ s♦s ♦r♠

F2xp =ES

L

(eb · (−u1 + u2)

)

♦s ♥♦♠♠r♦♥s tt t♥s♦♥ N st ♣♦rté ♣r tr rtr ♣♦tr

Neb =ES

L

(eb · (−u1 + u2)

)eb

♥ ♥♦♠♠r s♠♥t ♥s tt tès O ♥♦ ♦r♥ t E ♥♦ ①tré♠té

Neb =ES

L

(eb · (−uO + uE)

)eb

♦rt tr♥♥t F2yp éqt♦♥ ♣t êtr ss réért s♦s ♦r♠

F2yp =12EI

L3

([−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

])

− L

2(φ1s + φ2s)

)

=12EI

L3

(

eb⊥ · (u2− u1)− L

2(φ1s + φ2s)

)

t ♦rt st ♣♦rté ♣r tr ♥tr ♥♦r♠ à ♣♦tr eb⊥ ♥♦s ♥♦♠♠r♦♥s♣réér♥t♠♥t ♥s ♥♦s tr① Tt ♦♥

Tteb⊥ =

12EI

L3

(

eb⊥ · (uE − uO)−L

2(φO + φE)

)

eb⊥

♦s ♦♥s ♣r♦ér ♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r s ♠♦♠♥ts éqt♦♥s t

M1zp =6EI

L2

(

−[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

+2EI

L(2φ1s + φ2s)

=2EI

L2

(

L (2φ1s + φ2s)− 3

[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

=2EI

L2

(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)

)

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

♠♦♠♥t sr ♦♥séré ♣♦♥t ♦r♥ O st ♣♦rté ♣r tr z = k = e3♥♦r♠ ♣♥

MOe3 =2EI

L2

(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r ♠♦♠♥t ♣♦♥t ①tré♠té E

M2zp =6EI

L2

(

−[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

+2EI

L(φ1s + 2φ2s)

=2EI

L2

(

L (φ1s + 2φ2s)− 3

[−sc

]

·([

u2sv2s

]

−[u1sv1s

]))

⇒MEe3 =2EI

L2

(L (φO + 2φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

♥s ♣tr trt♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥♦♥ ♣♦r ♦♥ tsé ♥ ♦r♠t♦♥ s♠♣é s éqt♦♥s ♥ ♥é♥t ♣r♠ètr r♦tt♦♥ tt ♦r♠t♦♥s♠♣é st rés♠é ♥s t ♦♥ ♦♥sèr q φO = 0, tφE = 0

t rés♠ s ♦r♠s ♣♦r s é♥ér ♦ ♦♥ t♥t ♦♠♣t r♦tt♦♥s ♥♦s ♥ r♠rqr q ♦♥ ♣t érr s ♠♦s rrs kf t kl ♠♥èrér♥t s♥t s ②♣♦tèss ts ♣♦r ♣r♠ètr é♣ssr ♥s s trs ♦r r ①♣t

♥ r♠rqr q éqt♦♥ ♦♥t♥t éqr ♦♠♣t s ♥♦s trs ♣rtr ♦♥ ♣t trr éqt♦♥ s♥t trs♥t éqr s ♠♦♠♥ts ss trs ♥ ♣ss♥ rt

∑

b

MbO.θ

∗O +Mb

E.θ∗E = 0

tt éqt♦♥ st éqr s ♠♦♠♥ts trs t q st ért ♥s ♣tr tt tès trt♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

Mo

Me

T

T

u

O(b)barre

non déform

éeeb

eb

T=b

u

E(b)N

T t

b

b

e =j2

e =i1

Mo et Me portés par e3

O(b)

E(b)

barre déformée sans

rotation des noeuds

Neb = kl(eb · (uE − uO)

)eb

Tteb⊥ = kf

(eb⊥ · (uE − uO)

)eb⊥

MOe3 =kfL

6

(−3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

MEe3 =kfL

6

(−3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

kl =EsS

L rr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ kf =

12EsI

L3 rr ♥ ①♦♥

♦è ♣♦tr r♥♦ ♣rt t rés♠é s ♦r♠s t♦rs ss♦és tsés ♥s ♣tr ♣♦r s ♦rts t s ♠♦♠♥ts

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

e

o

Μ ο

Me

T

T

u(E(b))

O(b)

barrenon

déform

ée

barre déformée

eb

eb

T=b

u(O(b))

E(b)N

T t

b

be =j2

e =i1

Mo et Me portés par e3

F

F

O(b)

E(b)

Neb = kl(eb · (uE − uO)

)eb

Tteb⊥ = kf

(

eb⊥ · (uE − uO)−L

2(φO + φE)

)

eb⊥

MOe3 =kfL

6

(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

MEe3 =kfL

6

(L (φO + 2φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)

)e3

kl =EsS

L rr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ kf =

12EsIz

(L)3 rr ♥ ①♦♥ ♥s s

trs ♥ ♣♦s♥t η =t

Lt é♣ssr e = Cte = 1 s ♠♦s ♣♥t s s♠♣r

♥ kl = Esη kf = Esη3

♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t t rés♠é s ♦r♠s t♦rsss♦és ♣♦r s ♦rts t s ♠♦♠♥ts

❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯

L

P

W

Treillis périodique

le paramètre d'épaisseur e des poutres est identique à celui de la largeur e=t

l

t

e=t

l

t

e

le paramètre d'épaisseur eest découplé de celui de lalargeur t

Cellule élémentaire

ou

r Pr♠ètrs é♦♠étrqs rtérs♥t s ér♥ts ♥① ♠r♦strtr ♥ trs é♥t♦♥ s ① r♣♣♦rts é η t ε ①st♥t s♥ ♠r♦strtr

Annexe B♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ à

ér♥ts trs

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

trs ♦♠

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

trs r♥r♥

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs ①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs sqr

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

rs r♥

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

trs tt

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

♥tr♦t♦♥

tt ♥♥① ♣♣♦rt ♥ ♦♠♣é♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣tr ① ♥ ② ①♣♦s ♠♥èr ♣s été s réstts sss trt♠♥t ♥ rt♥ ♥♦♠r trs ♥s

❳ PP

treillis Kagomecellule de base treillis Kagome

n1 b1

n2

n3 n1

n3Y1

Y2b2 b3

b4b5

b6

r trs ♦♠

q s rs t①ts ♦♥♥és ♥tré ① ♦s s♦♥t tsés ♥s tt♥♥① ♦ ♣r♠♥t ①t♥s♦♥♥ t ♦ ♥♦r♣♦r♥t ①♦♥ ♠s ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é

♦ ①t♥s♦♥♥ ér ♥ t♥sr ♦♥tr♥t s②♠étrq ♠tr rr [K] st t q

σ11σ22σ12

= [K]

ε11ε222ε12

♦ ①♦♥ t ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é ér ♥ t♥sr ♦♥tr♥t ♥♦♥s②♠étrq ♠tr rr [K] st ♦rs

σ11σ22σ12σ21

= [K]

ε11ε22ε12ε21

trs ♦♠

st♥ ♦ s♦r ♣♦r trs ♦♠

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❬❪

❬❪sqrt

❬❪sqrt

❬❪❬❪

❬❪sqrt

❬❪❬❪

s trs ♣

❳ PP

❨sqrt

❨

♥♦r♠ s trs ♣

♥♦♠r ♥♦s

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

t❬❪

t❬❪

♦t s rs rr ♣♦r q rrs

ts

③t❫

s③❫

❬❪

❬❪

♦t s ♦♠s q rr

❱t

❱❬❱❱❱❱❱❱❪

st♦♥ q rrs

t❬tttttt❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rt♦♠t①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

[K] =

3/8 Es t√3

L1/8 Es t

√3

L0

1/8 Es t√3

L3/8 Es t

√3

L0

0 0 1/8 Es t√3

L

❳ PP

Y2 Y1

2L

n1

n3

n2

n2

n1

b6

b1

b2b3

b4b5

r sr♣r♦♥ é♦♠étrq trs

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

[K] =

1/8√3Es t(3L2+t2)

L3 1/8√3Es t(L2−t2)

L3 0 0

1/8√3Es t(L2−t2)

L3 1/8√3Es t(3L2+t2)

L3 0 0

0 0 1/8√3Es t(L2+3 t2)

L3 1/8√3Es t(L2−t2)

L3

0 0 1/8√3Es t(L2−t2)

L3 1/8√3Es t(L2+3 t2)

L3

trs r♥r♥

r t①t trs r♥r♥ t♦ts s ①♣rss♦♥s t♦rs s♦♥t ♥s r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❬❪sqrt

❬❪

❬❪sqrt

❬❪❬❪

❬❪❬❪

❬❪❬❪

s trs ♣

❨sqrt

❨sqrt

♥♦r♠ s trs ♣

sqrt

sqrt

♥♦♠r ♥♦s

❳ PP

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

t❬❪

t❬❪

rs rr ♣♦r q rrs

❬❪

♦♠ ♦♣♣é ♣r q rr

❱t

❱❬❱❱❱❱❱❱❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rtt①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

♦♠♠ ♦♥ r♠rq ♥s ♣tr trs r♥r♥ ♣rés♥t s s♥rtés ♥ t t♥sr ♦♥tr♥t ♦t♥ st s♥t

[σ] =

1/8

tEs

√3( ∂

∂xU1 (x,y)− ∂

∂yU2 (x,y))

L1/8

tEs

√3( ∂

∂yU1 (x,y)+ ∂

∂xU2 (x,y))

L

1/8tEs

√3( ∂

∂yU1 (x,y)+ ∂

∂xU2 (x,y))

L−1/8

tEs

√3( ∂

∂xU1 (x,y)− ∂

∂yU2 (x,y))

L

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

[K] =

−1/8

√3(−L4−12L2t2−3 t4)tEs

L3(3 t2+L2)−1/8

√3(L4−4L2t2+3 t4)tEs

L3(3 t2+L2)0 0

1/8

√3(−L4+4L2t2−3 t4)tEs

L3(3 t2+L2)1/8

√3(L4+12L2t2+3 t4)tEs

L3(3 t2+L2)0 0

0 0 1/8

√3(3L4+12L2t2+t4)tEs

L3(3L2+t2)1/8

√3(3L4−4L2t2+t4)tEs

L3(3L2+t2)

0 0 1/8

√3(3L4−4L2t2+t4)tEs

L3(3L2+t2)1/8

√3(3L4+12L2t2+t4)tEs

L3(3L2+t2)

rs ①t

❱♦r r r ♥tré t♦ts s ①♣rss♦♥s t♦rs s♦♥t ♥s r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❬❪

❳ PP

Y1

Y2

n1 n2

n3

n4

n1 n2

n1

n4

n1

b1

b2b3b4

b5

b6b7

b8

b9

b10

b11 b12

r trs ①t

❬❪sqrtsqrt

❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪❬❪

❬❪❬❪

❬❪❬❪

❬❪❬❪

s trs ♣

❨

❨

♥♦r♠ s trs ♣

♥♦♠r ♥♦s

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

t❬❪

t❬❪

♦t s rs rr ♣♦r q rrs

sqrt

❬❪

♦t s ♦♠s q rr

❱t

❳ PP

L

Y1

Y2

n1

n1

n2

n3n2

b1

b2b3

b4 b5

b6

b7

b8

r trs sqr

❱tsqrt

❱❬❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rt①tt①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

[K] =

1/4tEs (4+

√2)

L1/4 tEs

√2

L0

1/4 tEs√2

L1/4

tEs (4+√2)

L0

0 0 1/4 tEs√2

L

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

[K] =

1/8Es t(8L2+2

√2L2+t2

√2)

L31/8

Es t(2√2L2−t2

√2)

L30 0

1/8Es t(2

√2L2−t2

√2)

L31/8

Es t(8L2+2√2L2+t2

√2)

L30 0

0 0 1/8Es t(2

√2L2+t2

√2+8 t2)

L31/8

Es t(2√2L2−t2

√2)

L3

0 0 1/8Es t(2

√2L2−t2

√2)

L31/8

Es t(2√2L2+t2

√2+8 t2)

L3

rs sqr

❱♦r r r ♥tré t♦ts s ①♣rss♦♥s t♦rs s♦♥t ♥s r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❳ PP

❬❪sqrtsqrt

❬❪sqrtsqrt

❬❪❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪

❬❪

❬❪

❬❪

s trs ♣

❨

❨

♥♦r♠ s trs ♣

sqrt

sqrt

♥♦♠r ♥♦s

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

t❬❪

t❬❪

♦t s rs rr ♣♦r q rrs

ts

tssqrt

❬❪

♦t s ♦♠s q rr

❱t

❱tsqrt

❱❬❱❱❱❱❱❱❱❱❪

♦t st♦♥ s rrs

t❬tttttttt❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rtsqrt①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

[K] =

1/4tEs (2+

√2)

√2

L1/2 tEs

L0

1/2 tEsL

1/4tEs (2+

√2)

√2

L0

0 0 1/2 tEsL

❳ PP

n1

n1

n1

n1

b1

b2b3

Y1

Y2

r trs r♥

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

[K] =

1/4tEs (

√2L2+t2

√2+2L2)

√2

L31/4

tEs (√2L2−t2

√2)

√2

L30 0

1/4tEs (

√2L2−t2

√2)

√2

L31/4

tEs (√

2L2+t2√2+2L2)

√2

L30 0

0 0 1/4tEs (

√2L2+t2

√2+4 t2)

√2

L31/4

tEs (√2L2−t2

√2)

√2

L3

0 0 1/4tEs (

√2L2−t2

√2)

√2

L31/4

tEs (√2L2+t2

√2+4 t2)

√2

L3

rs r♥

❱♦r r r ♥tré t♦ts s ①♣rss♦♥s t♦rs s♦♥t ♥s r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❬❪

❬❪sqrt

❬❪sqrt

s trs ♣

❨

❨sqrt

♥♦r♠ s trs ♣

♥♦♠r ♥♦s

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

❳ PP

t❬❪

t❬❪

♦t s rs rr ♣♦r q rrs

t

❬❪

♦t s ♦♠s q rr

❱t

❱❬❱❱❱❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rtr♥t①t

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

[K] =

3/4√3tEsL

1/4√3tEsL

0

1/4√3tEsL

3/4√3tEsL

0

0 0 1/4√3tEsL

éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é

[K] =

1/4

√3Es t(3L2+t2)

L31/4

√3Es t(L2−t2)

L30 0

1/4

√3Es t(L2−t2)

L31/4

√3Es t(3L2+t2)

L30 0

0 0 1/4

√3Es t(L2+3 t2)

L31/4

√3Es t(L2−t2)

L3

0 0 1/4

√3Es t(L2−t2)

L31/4

√3Es t(L2+3 t2)

L3

trs tt

é♦♠étr trs tt st ért ♥s r s ♦♠♣ètst ♦r♠é s ① rs t é♦♠♣♦st♦♥ ♥ été t q ♣♦r tr

♦♥♥tté st ét râ t

r t①t ♦♥♥és trs tt ♣♦r ♥t♦♥s trs tt

t♦ts s ①♣rss♦♥s t♦rs s♦♥t ♥s r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é

s trs ♥trs s rrs

♥rrs

❬❪sqrtsqrt

❬❪sqrtsqrt

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪sqrtsqrt

❳ PP

Y1

Y2

Y3

(a) (b)

n1

n2

n3

n4

n4n4

n4

n4n4

b1b2

b3b4

b5

b6b7

b8

b9

b10

b11

b12

Y1

Y2

Y3

n1

n2

n3

n4n4

n2

n3

b24 b21

b3b4b19

b20

b13b16

b22

b23b18

b17

n1b14

b15

r sr♣t♦♥ é♦♠étrq trs tt

δ1

δ2

δ3

δ1

δ2

δ3

♦♥♥tté trs tt

s δi ♦♥t ♥ s♥ ♥rsé r ② ♥rs♦♥ ♥♦ ♦r♥ t ①tré♠té

s ♣♦trs ♦♥t r ① ①tré♠tés ♦rs s s δi t s♦♥t s♦♠♠ ①

♦♣s tr♣ts

❳ PP

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪sqrtsqrt

❬❪sqrtsqrt

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

❬❪❬❪❬❪❬❪

s trs ♣

❨

❨

❨

♥♦r♠ s trs ♣

sqrt

sqrt

sqrt

♥♦♠r ♥♦s

♥♦s

t s rrs

❬❪

❬❪

t❬❪

t❬❪

t❬❪

♦t s rs rr ♣♦r q rrs

t

❬❪

♦t s ♦♠s q rr

❱t

❱❬❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❪

♥♦♠ r s♦rt s rstts

♥♦♠rs♦rtttt①t

❳ PP

éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥

t♥sr ♦♥tr♥t ♦t♥ st

[σ] =

12

tE√2(2 ∂

∂xU1+ ∂

∂yU2+ ∂

∂zU3)

L212

tE√2( ∂

∂yU1+ ∂

∂xU2)

L212

tE√2( ∂

∂zU1+ ∂

∂xU3)

L2

12

tE√2( ∂

∂yU1+ ∂

∂xU2)

L212

tE√2( ∂

∂xU1+2 ∂

∂yU2+ ∂

∂zU3)

L212

tE√2( ∂

∂zU2+ ∂

∂yU3)

L2

12

tE√2( ∂

∂zU1+ ∂

∂xU3)

L212

tE√2( ∂

∂zU2+ ∂

∂yU3)

L212

tE√2( ∂

∂xU1+2 ∂

∂zU3+ ∂

∂yU2)

L2

t ♥sté rt s①♣r♠ ♣r

ρ∗ = 6

√2t

L2

t ♠tr rr ♦rrs♣♦♥♥t

[K] =

√2tEL2 1/2

√2tEL2 1/2

√2tEL2 0 0 0

1/2√2tEL2

√2tEL2 1/2

√2tEL2 0 0 0

1/2√2tEL2 1/2

√2tEL2

√2tEL2 0 0 0

0 0 0 1/2√2tEL2 0 0

0 0 0 0 1/2√2tEL2 0

0 0 0 0 0 1/2√2tEL2

♥ ♦♥stt q s réstts s♦♥t ♥tqs à ① ♦r ❬❪

Annexe C♦ s♦r ♣ é♦♣♣é à ♣rtr

♦rt♠ ♠r♦♣♦r t ♦rt♠

ssq

♦♠♠r ♦rt♠ ♠r♦♣♦r t ♦ s♦r ♣ ♦rrs♣♦♥♥t

♦ s♦r ♣ ♦rrs♣♦♥♥t à ♦rt♠ ssq

♦rt♠ ♠r♦♣♦r t ♦ s♦r ♣♦rrs♣♦♥♥t

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t♥tst♦♥ s t① ♦♥♥ésé♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣ss x

R→ x(λ)

♥♦♥♥s un t φn

rstrt

t♥

t♥rr

r t♠♥t①tqt①t

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥tr♥s♦r♠t♦♥ s ①♣rss♦♥s(

∂U

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→

(

∂U

∂λi

)

(i,j)(

∂φ

∂λi

)

(Y1,Y2)

7→

(

∂φ

∂λi

)

(i,j)

tt ét♣ st t s ♦♥ ts ♥ ♦ st♥r♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t t♦r st ①♣r♠é♥s ♥ r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é ssq ♦♥ ♦♠t tt ét♣ t♦ts s ♦♥t♦♥s♦♣ér♥t sr s trs t t♥srs♦♥t êtr é♥s ♣♦r s ♦♦r♦♥♥és

r♥érs

❬♠❨❬❪♠❨

❬❪♠❨❬❪♠❨

❬❪❪

P❬❪♠❬❪♠

P❬❪♠❬❪♠

❯❯①②❯①②

❯①②❯❬❪①❯❬❪②

❯①②❯❬❪①❯❬❪②

P①②♣①②①

♣①②②

❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

P♥r♦r♠PP①②♦♥t

s

P♥r♦r♠PP①②♦♥t

s

♥tst♦♥ s trs é♣♠♥ts ui1 t ui

2

♦♥t♥♥t s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

❬❪①❬❪②❬❪

❬❪①❬❪②❬❪

♥ ♦

♥tst♦♥ s t① éqt♦♥sequ1[1..Nmax]equ2[1..Nmax] Nmax ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥trequ1 st ♥ t éqt♦♥s t♦rs

equ2 sr

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

q❬❪

q❬❪

♥ ♦

s trs eb⊥ ♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

❬❪❬❪❬❪❬❪❬❪

♥ ♦

P♦r q ♣♦tr b ∈ BR

E := ER(b)O := OR(b)

∆U := uE1 − uO

1 +∂U

∂λiδi

kl := Esη

N1 := kl(

eb ·(

∆Ub))

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♣t♦r♦tPr♦t❬❪❬❬❪❪

❬❬❪❪t❬❪❯t❬❪❯

♦♥ts

❬❪❬❪♣

♥ ♦

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥tP♦r q ♣♦tr b ∈ BR

E := ER(b)O := OR(b)

∆U := uE1 − uO

1 +∂U

∂λiδi

kf := Esη3

T1t := kf

(

eb⊥ ·(

∆Ub)

−Lb

2

(

φO0 + φE

0

)

)

MO1 :=

kfLb

6[Lb

(

2φO0 + φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub)

]

ME1 := kf

Lb

6[Lb

(

φO0 + 2φE

0

)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub)

]

equ1[E(b)] := equ1[E(b)] +Nb1e

b + T b1te

b⊥

equ1[O(b)] := equ1[O(b)]−Nb1e

b − T b1te

b⊥

equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1

equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO1

s rs φn1 ♣♣rîtr♦♥t ♥s ♦ s♦rs s♦s

♦r♠ ♣❬♥❪

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♣t♦r♦tPr♦t❬❪

❬❬❪❪❬❬❪❪t❬❪❯

t❬❪❯♦♥ts

♣♣❬❬❪❪

♣♣❬❬❪❪

❬❪❬❪♣❬❪♣♣

❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪

♣♣♣

♦❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪

♣♣♣

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♥❬❪

♥❬❪

q❬♥❪t♦rq❬♥❪❬❪❬❪

❬❪❬❪

q❬♥❪t♦rq❬♥❪❬❪❬❪

❬❪❬❪

q❬♥❪t♦rq❬♥❪❬❪

q❬♥❪t♦rq❬♥❪♦❬❪

♥ ♦

♦♥strt♦♥ ① s②stè♠s éqt♦♥s 3Nmax

♥s t♦t

[

equ1]

=

[

00

]

...[

00

]

[

equ2]

=

0...0

♣♦r tr ♦♥ tr♥s♦r♠ s q

t♦rs ♥ ♥ ♦ sér éqt♦♥s srs

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

q❳❬❪q❬❪

q❨❬❪q❬❪

♥ ♦

és♦t♦♥ s ① s②stè♠s ♣♦r s rs un1 t

φn1

q ④sqq❬❪♥♦s

sqq❳❬❪ ♥♦s

sqq❨❬❪ ♥♦s⑥

r ④sq①❬❪ ♥♦s

sq②❬❪ ♥♦s

sq♣❬❪ ♥♦s⑥

s♦q r

ss♥

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t

♥tt♦♥ φ0 =1

2

(

∂v

∂x−

∂u

∂y

)

♥s s rs

r♦tt♦♥ φn1

♦r t♦ ♥♦s ♦

♦♣❬❪ ❯① ②①

♦♣❬❪ ❯① ②②

♣❬❪s♠♣②♣♣❬❪

❯① ② ①

❯① ② ②

♥ ♦

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥trt♠♥t s♦♥ ♦rr ♥tq ♣r♠r ♦rr♠s s rs un

2 t φn1 t s éqt♦♥s

s♥ts∆Ub

2 := uE2 − uO

2

N2 := kl(

eb ·(

∆Ub2

))

T2t := kf

(

eb⊥ ·(

∆Ub1

)

−Lb

2

(

φO1 + φE

1 +∂φ0

∂λiδi))

MO(b)2 :=

kfLb

6

(

Lb

(

2φO1 + φE

1 +∂φ0

∂λiδi)

− 3eb⊥ ·(

∆Ub2

)

)

ME(b)2 :=

kfLb

6

(

Lb

(

φO1 + 2

(

φE1 +

∂φ0

∂λiδi))

− 3eb⊥ ·(

∆Ub2

)

)

♦r t♦ ♥rrs ♦

♣ s♠♣②♦tPr♦t❬❪

❬❬❪❪❬❬❪❪

♦♥t s

❬❪ ❬❪♣ ♥ ♦

♦r t♦ ♥rrs ♦

♣ s♠♣②♦tPr♦t❬❪

❬❬❪❪❬❬❪❪ ♦♥t

s

♣♣❬❬❪❪t❬❪P

t❬❪P

♣ ♣❬❬❪❪

❬❪ ❬❪♣ ❬❪

♣♣

❬❪s♠♣②❬❪❬❪

❬❪♣♣♣

♦❬❪s♠♣②❬❪❬❪

❬❪♣♣♣

♥ ♦

♦r t♦ ♥♦s ♦

q❬❪ ❵❵

q❬❪ ♥ ♦

♦r t♦ ♥rrs ♦

♥ ❬❪

♥ ❬❪

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪❬❪

❬❪❬❪❬❪

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪❬❪

❬❪❬❪❬❪

q❬♥❪ s♠♣②q❬♥❪❬❪

q❬♥❪ s♠♣②q❬♥❪♦❬❪

♥ ♦

♦r t♦ ♥♦s ♦

q❳❬❪ ❵❵ q❬❪

q❨❬❪ ❵❵ q❬❪

♥ ♦

q ④sqq❬❪

♥♦s sqq❳❬❪

♥♦s sqq❨❬❪

♥♦s⑥

r ④sq①❬❪ ♥♦s

sq②❬❪ ♥♦s

sq♣❬❪ ♥♦s⑥

s♦q r

ss♥

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t①♣rss♦♥ s trs ♦♥tr♥tsSi =

∑

b∈BR

(

Nb1e

b + T b1te

b⊥) δib

t ♦♣s ♦♥tr♥ts

µi =∑

b∈BR

1

2

(

ME(b)2 −M

O(b)2

)

δib

♦r t♦ ♥rrs ♦

❬❪ s♠♣②❬❪

❬❪ s♠♣②❬❪

❬❪ s♠♣②❬❪

♦❬❪ s♠♣②♦❬❪

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

t♦r❬❪t❬❪❬❪

❬❪t❬❪❬❪

t♦r❬❪t❬❪❬❪

❬❪t❬❪❬❪

t♦rt❬❪

❬❪♦❬❪

t♦rt❬❪

❬❪♦❬❪

♥ ♦

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t t♥sr ♦♥tr♥t

[σ] =1

gSi ⊗

∂R

∂λi

t t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t

[m] =1

gµi ⊗

∂R

∂λi

tr①❬❬❬❪♠

❬❪♠❪❬❬❪

♠❬❪♠❪❪

tr①❬❬❬❪♠

❬❪♠❪❬❬❪

♠❬❪♠❪

❬❪❪

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

❬❪♠

ttr♠♥♥t

ttr♠♥♥t

s♠tt♦rt♦r

tr①tr①t♣②♦♥rttr①

r♥s♣♦s♦♥rttr①

t♦rtr①tr①t♣②

♦♥rttr①r♥s♣♦s

♦♥rttr①

♠tt♦rt♦r

tr①tr①t♣②♦♥rt

tr①r♥s♣♦s♦♥rt

tr①t♦r

tr①tr①t♣②♦♥rt

tr①r♥s♣♦s♦♥rt

tr①

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥tétr♠♥t♦♥ s ♠trs rrs éstqs

σkl = Aklmnǫmn +Bklmnκmn

mkl = Bklmnǫmn + Cklmnκmn

♥ ♣♣ t ♠tr A t t ♠tr C

❬❯①②①❯①②②

❯①②②❯①②①❪

❬♣♣① ② ①

♣① ② ②❪

ttr①

ttr①

t❬❪tr①

❬sqt♦r♦s♠❬❪

❬❪❪

t❬❪tr①

❬sqt♦r♦s♠❬❪

❬❪❪

t❬❪tr①

❬sqt♦r♦s♠❬❪

❬❪❪

t❬❪tr①

❬sqt♦r♦s♠❬❪

❬❪❪

t❬❪tr①

❬sqs♠♣②♦s♠❬ ❪

❬❪ ❪

t❬ ❪ tr①

❬sqs♠♣②♦s♠❬ ❪

❬❪ ❪

t❬ ❪ tr①

❬sqs♠♣②♦s♠❬ ❪

❬❪ ❪

t❬ ❪ tr①

❬sqs♠♣②♦s♠❬ ❪

❬❪ ❪

♠tr rr ét♥ ♣♣ét①t ♥s ♦

[K] =

[

[A] 00 [C]

]

t①t tr①

t①t❬ ❪

s♠♣②t♦rt

t①t❬ ❪ s♠♣②

♦♠❬ ❪

♣① ② ①

t①t❬ ❪

s♠♣②♦♠❬ ❪

♣① ② ②

♠tr s♦♣ss t♦♣ss t♦♣sstr①♥rst①t

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥t①trt♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ♠r♦♣♦rs ttrs ♦♥st♥ts à ♣rtr s ♠trs rr t s♦♣ss

µ∗, κ à ♣rtr

µ∗ + κ = K33

µ∗ = K34

γzx = K55 γzy = K66

G∗ = µ∗ +κ

2

E∗1 =

1

S11 E∗

2 =1

S22

ν∗12 = −S21 · E

∗1 ν

∗21 = −S12 · E

∗2

♦♥r rtérstq lcara t q

l2cara =γ

2 (2µ∗ + κ)

♦♥t ♦♣ N t q N2 =κ

2 (µ∗ + κ)

s♦④♠t t❬ ❪

♠t♣♣ t❬ ❪⑥

④♣♣ ♠t⑥

ss♥

ts♠♣②♠t♣♣

tt♦♣ss❬❪

tt♦♣ss❬❪

♥ts♠♣②t♦♣ss❬❪

t

♥ts♠♣②t♦♣ss❬❪

t

♠♠③① s♠♣②♦♠❬ ❪

♣① ② ①

♠♠③② s♠♣②♦♠❬ ❪

♣① ② ②

rs♠♣②sqrt♠♠t

♠t♣♣

rs♠♣②♠♠t

♠t♣♣

♦♣s♠♣②♣♣♠t

♣♣

♦ s♦r ♣ ♦rrs♣♦♥♥t à ♦rt♠ssq

é♥ér t♥sr ② ♦s s ♦ût

♥tst♦♥ s ♣r♠ètrs

rstrt

t♥

t♥rr

r tt♦♥t①t

Pss r♥t ❯♠♠ ♥s r♣èr

❬♠❨❬❪♠❨❬❪♠❨❬❪♠❨❬❪❪

t①

P❬❪♠❬❪♠

P❬❪♠❬❪♠

❯❯①②❯①② ♠♣ é♣♠♥t ❯

❯①②❯❬❪①❯❬❪②

❯①②❯❬❪①❯❬❪②

P①②♣①②①♣①②②

❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

t①

❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts♥r♦r♠P❯①②♦♥ts

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

t①

P♥r♦r♠PP①②♦♥ts

t①

P♥r♦r♠PP①②♦♥ts

t①

rtr s t♥s♦♥s

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

❬❪①❬❪②❬❪

❬❪①❬❪②❬❪

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

❬❪❬❪❬❪❬❪❬❪

t①

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♣s♠♣②♦tPr♦t❬❪❬❬❪❪❬❬❪❪t❬❪❯t❬❪❯

♦♥ts

❬❪❬❪♣

t①

♥ ♦

rtr s ♠♦♠♥ts s ♦rts tr♥♥ts t s②stè♠ éqt♦♥

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♣s♠♣②♦tPr♦t❬❪❬❬❪❪❬❬❪❪t❬❪❯t❬❪❯

♦♥ts

♣♣❬❬❪❪

♣♣❬❬❪❪

❬❪❬❪♣❬❪♣♣

t①

❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪♣♣♣

t①

♦❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪♣♣♣

t①

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

q❬❪

q❬❪

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

♥❬❪

♥❬❪

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪❬❪❬❪❬❪❬❪

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

t①

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪❬❪❬❪❬❪❬❪

t①

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪❬❪

q❬♥❪s♠♣②q❬♥❪♦❬❪

♥ ♦

♦r r♦♠ t♦ ♥♦s ♦

q❳❬❪q❬❪

q❨❬❪q❬❪

♥ ♦

és♦t♦♥ s②stè♠ éqt♦♥

q ④sqq❬❪ ♥♦s sqq❳❬❪ ♥♦s

sqq❨❬❪ ♥♦s⑥

r ④sq①❬❪ ♥♦s sq②❬❪ ♥♦s sq♣❬❪

♥♦s⑥

s♦q r

ss♥

①♣rss♦♥ s rést♥ts ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s

♦r t♦ ♥rrs ♦

❬❪ t♦rs♠♣②❬❪

❬❪ t♦rs♠♣②❬❪

♥ ♦

étr♠♥t♦♥ t♥sr ♦♥tr♥t s♠

étr♠♥t♦♥ s trs ♦♥tr♥ts

♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦

s♠♣②❬❪t❬❪❬❪❬❪t❬❪❬❪

s♠♣②❬❪t❬❪❬❪❬❪t❬❪❬❪

♥ ♦

tr①❬❬❬❪♠❬❪♠❪❬❬❪♠❬❪

♠❪❪

t①

❬❪♠❬❪♠

t①

❬❪♠❬❪♠

t①

ttr♠♥♥t

s♠ts♠♣②s♠♣②tr①tr①t♣②♦♥rttr①

r♥s♣♦s♦♥rttr①s♠♣②tr①tr①t♣②♦♥rttr①

❳ ❯ P ❱PP P P ❯

r♥s♣♦s♦♥rttr①

t①

①♣rss♦♥ ♥ t♥sr

s♠s♠♣②s♠

étr♠♥t♦♥ ♠tr ❬t❪ ts q ❬s♠❪❬t❪❬♣s♦♥❪

❬❯①②①❯①②②❯①②②❯①②①❪

❭♣s♦♥t①

ttr①

t❬❪tr①❬sqs♠♣②♦s♠❬❪❬❪❪

t❬❪tr①❬sqs♠♣②♦s♠❬❪❬❪❪

t❬❪tr①❬sqs♠♣②♦s♠❬❪❬❪❪

t❬❪tr①❬sqs♠♣②♦s♠❬❪❬❪❪

t t❬ ❪

étr♠♥t♦♥ ♠tr s♦♣ss

t♦♣sss♠♣②t♦rtr①♥rst

s♠t♦rs♠

❭s♠t①s♠

♠t①tt①t

t♦♣sst①t♦♣ss

étr♠♥t♦♥ s ♦♥st♥ts ♠é♥qs à ♣rtr s ♦♥ts s ♠tr

rr t s♦♣ss

t t♦rt♦♣ss❬ ❪

t①t

t t♦rt♦♣ss❬ ❪

t①t

t t♦rt♦♣ss❬ ❪

t①t

♥t t♦rt♦♣ss❬ ❪t

t①♥t

♥t t♦rt♦♣ss❬ ❪t

t①♥t

r♦

♦r t♦ ♥rrs ♦

r♦ r♦❱❬❪

♥ ♦

r♦ r♦t t①r♦

Annexe D①♦♥ s♠♣ ♥ ♣♦trtrs

♠r♦♣♦r

♦♠♠r ♥tr♦t♦♥

①♦♥ ♠r♦♣♦r s♠♣é

♥tr♦t♦♥

①♦♥ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r été été ♣s ♦♥t♠♣s ♦r r ♦s ♦r♠r♦♥s ♥ rs♦♥ s♠♣é ♥ t♥♥t ♦♠♣t ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t ♣♥t é♦r♠t♦♥ ♣♥ s♣éq ① trs

hM

MX1

X2

W

r ①♦♥ s♠♣ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r

❳ ❳ P ❯ P❯ P

①♦♥ ♠r♦♣♦r s♠♣é

♣♦tr ♥ rr t ♦♥r ❲ st ♦♥séré ♦♠♠ ♠r♦♣♦r t s♦♠sà ♥ ①♦♥ s♠♣ ♥s s ♦♥tr♥t ♣♥ t é♦r♠t♦♥ ♣♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t t é♦r♠t♦♥ ♣♥ ♠♣q q ♥② ♣s ♦rts ♥s s♥s ♦rs ♣♥ ♥ é♦r♠t♦♥ ♥ ♣♦rrt ♦♥sérr ① t②♣s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♦♣ ♠♣♦sé ♦ ♥ r♦tt♦♥ ♠♣♦sé ♥s r♥r s r♥t à ♠♣♦sr ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ éà r♦tt♦♥ st♦♥ ♠s à s ♣r♥♣ t❱♥♥t ♣ ♠♣♦rt♥ s♦t♦♥ s♠♣é ♣r♥ ♦r♠

u1 = Ax1x2, u2 = −A2x21 +

D

2x22, u3 = 0

φ1 = 0, φ2 = 0, φ3 = −Ax1

♥s s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és r ♦s s ♦♥t♦♥s ♥ ♦♥sér♥t At D ♦♥st♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s s t♥srs é♦r♠t♦♥ t ♠r♦♦rrs♦♥t

e11 = Ax2, e22 = Dx2, κ31 = −A

♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t ♣♥ t é♦r♠t♦♥ ♣♥ ♠♣q q s ♦♥st♥ts A t Ds♦♥t és ♣r D = −νA s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s s ♦♥tr♥ts t ♦♣s ♦♥tr♥t♥♥♥t ♦rs

σ11 = EsAx2

m31 = −Aγ

♠♦♠♥t rést♥t s♥t ① x3 ♣t êtr é ♣r

M =

ˆ h/2

−h/2

(−σ11x2 +m31) dx2 = −A(Esh

3

12+ γh

)

q ♥♦s ♦♥♥ r A ♣♦r ♥ r ①é M ♥ ♥♦tr q ♦♥ rtr♦ s♦t♦♥ ssq ♦rsq γ ♥t ♣tt ♥ ♣t r♣rés♥tr t ♠r♦♣♦r ♥t♥s s ①♦♥ ♣r r

❳ ❳ P ❯ P❯ P

couple decontrainteclassiquecréé par laloi de Hooke

couple decontraintecréé parl'effet micropolaire

-M

coupe fictive d'unepoutre

r sr♣t♦♥ t ♠r♦♣♦r tt♥ sr ♥ ♣♦tr ♠r♦strtr

❳ ❳ P ❯ P❯ P

és♠é

tr ♦♠♦é♥ést♦♥ t♦♠tq ♠① srts ♣ér♦qs ♣♣t♦♥s ①

♠♦sss ♣♦②♠èrs t ① ♠① ①étqs

♣r♠èr rést♦♥ tr st ♦♥strt♦♥ ♥é t t♦♠tq ♥ ♠ ♦♥t♥éq♥t à ♥ trs ♣♦trs ♥s ♦♠♥ éstq ♥ ♦♣t♥t ♥ ♠♦è ♣♦trs r♥♦❯♥ ①t♥s♦♥ été résé ♦♠♥ ♣stq s♦♥ ♥ ♦rt♠ s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t♣rès ér♦ss ♥t ♦rr s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs ♦s ♦♥ ♦t♥t ♣♦r ♦♠♣♦rt♠♥téstq ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♦ ♠r♦♣♦r ♥ s rstr♥t ♥s r♥r s ① trs à séé♠♥trs ♥tr♦s②♠étrqs s ♦s s ♦t♥s ♦r♥ss♥t ç♦♥ t♦♠tq s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ts t s ♠♦s ♠é♥qs ♦♠♦é♥ésés ❯♥ r♥ rété trs ①st♥ts ♦♦r♥① été été s réstts ♦♥t été s②sté♠tq♠♥t ♦♠♣rés ① ♦♥♥és ttértr térés ♣r s s♠t♦♥s éé♠♥ts ♥s ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥ ♠ét♦ tsé ♠♦♥tr é♠♥t♥ ♣té à ♣rér t ♦♠♣r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t t②♣q rt♥s trs ts ①étqs ♣rés♥t♥ts ♦♥ts ♦♥trt♦♥ ♥éts ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥s ♦♠♥ ♣stq été ♠té ① trsà ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦♠♥ résst♥ éstq été ♦♥strt ♣♦r ér♥ts trs t ♥♦rt♠ é♦t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ér♦ss t②♣ rt♦rr été ♦♥ç t ♠♣é♠♥té♥s ♥ ♦ éé ❯♥ ♠♦è ♣♦tr ést♦♣stq à ér♦ss s♦tr♦♣ st tsé ♣♣t♦♥ ♦rt♠ à ♥ s♠t♦♥ rér ♠♦♥tr ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥ ♥tr trs ♦♠♦é♥ését s s♠t♦♥s éé♠♥ts ♥s

♦ts és ♦♠♦é♥ést♦♥ é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs rés ♣ér♦q trs ♣♦trs ♠① ①étqs tétrïéèr ♠♦sss ♠ ♠r♦♣♦r ♣stté rt♦rr

strt

t t♦♠t ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ srt ♣r♦ ♠ ♣♣t♦♥s t♦ ♣♦②♠rs

♦♠s ♥ t♦ ①t ♠

rst ♠♥t ♦ ts ♦r s t♦ ♦♥strt ♥ ♥ t ♦♥t♥♠ q♥t t♦ tt♦ ♠s ♥ t st ♦♠♥ s♥ r♥♦ ♠ ♠♦ ♥ ①t♥s♦♥ s ♥ ♦♥ t♦ tt st ♦♠♥ rsst♥ ♦ s tts ♥ t♦ ♥ ♦rt♠ ♦r ♠♦♥t♦r♥ t ♦♥sttt t♥ ♥t♦ ♦♥t ♦r r♥♥ ♦ ♦ t s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s s t♦ ss ♦♥t♥♦s♦r t♦ ♠r♦♣♦r st ♦♥t♥♠ ❲ rstrt ♥ ts st s ♦r st② t♦ tts t ♥tr♦s②♠♠tr♥t s ♥♠r ♦s ♦♣ ♣r♦ t strssstr♥ rt♦♥s♣ ♥ t t ♠♥♠♦ rt② ♦ trsss s ♥ st tr ①st♥ ♦r ♦r♥ ♥♥ t②♣ ♦♠trs ♦♦♠s ♥ r♦s ①t tts ①t♥ ♥t ♦♥trt♦♥ ♦♥ts rsts r s②st♠t②♦♠♣r t t r♦♠ trtr ♥ r ② ♥t ♠♥t s♠t♦♥s t ♦♦ r♠♥t ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ t ♣st r♥ s ♥ ♠t t♦ strt♥ ♦♠♥t tts qr♠qt♦♥s ♦ t srt s②♠♣t♦t ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ s t♦ t♦♠t② ♦t♥ t strsst♥ ♦♠♥ ♦r sr trsss ♥ rtr♥♠♣♣♥ ♦rt♠ ♦r t ♦♦ ♣ ♦ t strssstr♥rt♦♥s♣ ♥♥ r♥♥ s ♥ ♦♥ ♥ ♠♣♠♥t ♥ t ♦ ♥ s♦tr♦♣r♥♥ st♦♣st ♠♦ ♦ t ♠ s ♥ s ♣♣t♦♥ ♦ t ♦rt♠ t♦ t s♠t♦♥♦ ♦♥♥♦♥ ② s♦s ♦♦ r♠♥t t♥ t ♦♠♦♥③ tt ♥ ♥t ♠♥ts♠t♦♥s

②♦rs ♦♠♦♥③t♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♣r♦ tt trss ♦ ♠s ①t ♠

ttrr♦♥ ♦♠s ♠r♦♣♦r ♠♠ ♣stt② rtr♥ ♠♣♣♥