T H E S E

LAND (El-160 AL

S)'

A L'UNIVERSITE DE PARIS-VII

• POUR OBTENIR

LE TITRE DE DOCTEUR 3ème CYCLE

Spécialité : Physique Nucléaire

par

TRAN QUOC THUONG v ° 'nP'JT

MF 0«n,

SNIS

ANALYSE STATISTIQUE DES DISTRIBUTIONS DES LARGEURS REDUITES PARTIELLES

Soutenue le 15 octobre 1973, devant la Commission d'Examen

Mme P. BENOIST-GUEUTAL Président

MM. PICINBONO fi.*—» •K. JOLY

EAND(EI-160AL

T H E S E

PRESENTEE

A L'UNIVERSITE DE PARIS-VII

POUR OBTENIR

LE TITRE DE DOCTEUR 3ème CYCLE

Spécialité : Physique Nucléaire

par

TRAN QUOC THUONG

ANALYSE STATISTIQUE DES DISTRIBUTIONS

DES LARGEURS REDUITES PARTIELLES

Soutenue le 15 octobre 1973, devant la Commission d'Examen

Mme P. BENOIST-GUEUTAL

MM. PICINBONO

R. JOLY

Président

Examinateurs

REMERCIEMENTS

J'exprime ma reconnaissance au Commissariat à l'Energie Atomique

qui a bien voulu m'accueillir dans son Centre de Saclay et m'a ainsi permis

de préparer et présenter ce mémoire.

•Te suis heureux de remercier toites les personnes qui ont contri­

bué a l'élaboration de la présente étude , et tout particulièrement :

-Monsieur JOLY pour l'accueil bienveillant qu'il m'a réservé dans son

service, et l'appui efficace dont j'ai bénéficié en maintes circonstances.

-Monsieur RIBON qui est à l'origine de ce travail et n'a cessé de me prodi­

guer les conseils et suggestions de la plus haute utilité.

-Madame le Professeur BENOIST-GUEUTAL qui, par son enseignement enrichissant

m'a fait acquérir des connaissances qui ne cesseront de m'être très utiles.

Je la remercie aussi très vivement de m'avoir fait l'honneur d'accepter la

présidence du Jury.

-Monsieur le Professeur PICINBONO, Président de l'Université de Paris-Sud ,

pour la critique de fond et de forme qu'il a portée à cette étude, et pour

la caution que constitue pour moi un tel intérêt.

-Mon camarade VEZZOSI, pour la tâche ingrate qu'il s'est donnée en acceptant

les corrections de détails.

-Mes collègues : Messieurs L'HERITEAU, LE COQ, KREBS, Madame LAURENT, Made­

moiselle BENARD et les personnes du Secrétariat du service DPhN/MF pour

l'amitié et le dévouement qu'ils m'ont toujours témoignés.

-Madame GUGENBERGER et ses collaboratrices pour le soin et l'attention qu'elles

ont bien voulu porter à la présentation de l'ouvrage.

Enfin, l'accueil bienveillant que j'ai trouvé, lors de mon séjour

imprègne d'un aspect humain la formation que je suis venu chercher dans ce

pays.

- I -

SOMMAIRE

- GENERALITES -

1.1. Introduction

A - Rappel de la théorie du noyau composé

B - Fluctuations statistiques des largeurs de neutron

1.2. Distribution des largeurs réduites partielles

Pages

k

9

10

1.2.1. Distribution statistique des largeurs réduites de neutron

1.2.2. Loi du x 2 tronquée 13

1.2.3. But du travail 14

1.3. Estimation des paramètres p et y je

1.3.1. Qualités d'un estimateur

1.3.2. Recherche d'un résumé exhaustif pour les jy

deux paramètres p et y

II- METHODES D'ESTIMATION -

11.1. Différentes méthodes d'estimation

Tableau II - Comparaison entre les différentes méthodes

d'estimation ponctuelle.

11.2. Méthode des moments

XI.2.I. Principe de la méthode des moments

11.2.2. Biais et variance asymptotiques des estimateurs

moments

11.2.3. Détermination des biais et variances des estimateurs 27

moments par la méthode de Robertson et Fryer

11.2.4. Estimation des paramètres p et y de la distribu- 32

tien en x 2 tronquée par la méthode des moments:

a) Estimation des paramètres

b) Estimation des biais et variances asymptoti- 34

ques de P et de y

23

24

25

26

Pages

c) Estimation des biais et variances de v 35

Tableau II.I : Fonctions 6 , x , X*,? 3 6

et leurs dérivées.

Tableau II.2 : Fonctions V.n et leurs dérivées 37

Tableau II.3 r Fonctions f 1 if»* et leurs dérivées 38

Tableau II.4 : Intégrales I et ses dérivées

Moments théoriques. 39

Tableau II.5 : Coefficients D.. ,D 1 J ,E... ,P... / f t îj * ' îjk îjk 40

II.3. Méthode du maximum de vraisemblance 4)

11.3.1. Principe de la méthode du maximum de vraisemblance 42

11.3.2. Equations de vraisemblance

11.3.3. Forme <. JS équations de vraisemblance lorsque la loi

permet un résumé exhaustif

11.3.4. Résolution des équations de vraisemblance 44

11.3.5. B:\ais et variances asymptotiques des estimateurs

par le maximum de vraisemblance 46

Cas de deux paramètres ;

a) Biais asymptotiques

b) Matrice des variances-covariances.

Cas asymptotique. 47

11.3.6. Estimation des paramètres p et p de la

distribution en x Z tronquée 48

a) Estimation des paramètres

b) Estimation des biais et variances asymptotiques &9

de p et p

c) Estimation des biais et variances asymptotiques

de v

Tableau II.6. » Fonctions P. . ,P. ,,

III. CALCUL NUMERIQUE ET PROGRAMMATION . Pagos

III.1. Calcul numérique . 51 17.1,1.1. Recherche de zéro d'une fonccion.

- Tableau III.1. Description sommaire de 53 quelques méthodes de recherche de zéro d'une fonction ou de résolution de l'équation f(x) = 0

III.I.2. Maximisation ou minimisation d'une fonction. 54 - Méthode d'exploration directe - Méthode du gradient 55

- Commentaire

- Tableau III.2- Organisation générale de l'optimisation numérique . 57 - Tableau III.3. Différentes méthodes d'exploration 58 directe.

- Tableau III.4- Différentes méthodes du gradient 59

...J.VI. III.] .3 Calcul des intégrales 1^ •= | e t1 (log t ) dt 60 avec n = 1,2,3. *

- Tableau III.5. Description sommaire de quelques 63 méthodes d'intégration numérique. •- Tableau III.6. Comparaison entre les différentes 64 méthodes d'intégration numérique pour le calcul des intégrales I - Tableau III.7. Comparaison entre la méthode de Hewton-Raphson et la méthode d'exploration directe 65 utilisées pour résoudre l'équation des moments .

Pages

IXI.2. Programmation

Figure III, I. Organigramme du programme principal ^

Figure 111*2, Organigramme du sou s-programme d'es- ^

ti&ation par la méthode du maximum

de vraisemblance.

Figure III.3. Organigramme du ious-programme d'es- gg

timstion par la méthode des laoïsents.

IV. » SIMULATION 69

IV.î Test des programmes

IV,2 Courbes théoriques 70

IV.3 Effets expérimentaux 76

IV.3.ï Influence des erreurs aléatoiias sur Ta.

-Tableau TVA 76

IV.3.2 Influence d'une erreur systématique

-Tableau ÏV.2 77

IV.3.2bis, Mélange de populations n'ayant pas exacte­

ment la même valeur moyenne de Ta.

IV.3.3 Influence d'une erreur systématique fonction de fa. 78

IV,3.4 Conséquence d'une renormalisation du mélange de

plusieurs populations.

-Tableau IV.3 79

V. -APPLICATION AUX NOYAUX REELS 80

V.l Choix des noyaux test.

V.1.1 Histogrammes expérimentaux g]

V.2 Résultats. 84

V.3 Interprétation 85

VI. - CONCLUSION 86

- V -

A_N_N_E_X_E

Pages

A.1. Calcul des dérivées des fonctions :

/

1. Notations utilisées

2. Dérivation sous le signe

3. Relations entre les dérivées ordinaires et les dérivées go

logarithmiques d'une fonction

Al. i. Dérivées de la fonction jS 90

AU2. Dérivées de la fonction %

AI.3. Dérivées de la fonction X 91

A 1.4. Dérivées de la fonction ??

Al.5. Dérivées de la fonction gamma incomplète I 92

Al.6. Dérivées de la fonction (p 98

AI.7. Dérivées de la fonction 0 » 99

Al.8. Dérivées des intégrales In « je If"1 (I03I) dt A).9. Dérivées de la fonction densité r

A2.1. Calcul des intégrales In= je t?" ( Po^b") dt (n = 1,2.,i)

a) Calcul de In par la méthode de Gauss-Laguerre |05

106 b) Calcul des intégrales In par dJautres méthodes arec

le changement de variable c •= —

os

A.2.2.Calcul de l'intégrale JA. = |"uf e "foan du,

A.2.3.Calcul de l'intégrale \L =• hc Po«=c . £ J=c

107

A.2.4.Calcul de l'intégrale ^ -Jf(^»f)f-A.2.5.Calcu 1 'le l'intégrale B = foc . "Up^X £ J^

Pages

A3. Calcul_des_moments : ,,.

A3.1. Moment d'ordre K ij2

A3.2. Moment d'ordre 1

A3.3. Moment d'ordre 2

A3.4. Moment d'ordre 3

A3.5. Moment d'ordre 4

A4. Çalcul_des_coeff^çients : ...

A4.I. Calcul des coefficients D..

A4.2. Calcul des coefficients D1^ iic

A4.3. Calcul des coefficients E.., ..,

ijk lib A4.4. Calcul des coefficients P.., ,,Q

ijk l»y

113

A5. Determination 4Ë s-_l£ n c tL™Ë : ]•?]

A5.1. Détermination des fonctions P. ., n,

A5.2. Détermination des fonctions P. . , 0 0

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 134

- VII -

N O T A T I O N S

^ Variable aléatoire

0C4 ie observation de X

DC = ("JCi , X 4 . . , X ^ 1 ensemble de M réalisations indépendantes

G * (&\ T&t • < * § 0 paramètre vectoriel

Ô ( Û fj ft ^ vraie valeur de 0

0 estimateur ou estimation de 6

fonction densité de X

fonction de vraisemblance associée à la réalisation (X< 3 x« .. • X N )

b(G) biais de 0

CO\)(6- 8-) covariance de 0; et Ôj

tfort.(9) variance de 0

&( valeur du seuil expérimental

u valeur moyenne de la distribution en 9C non tronquée

"\} nombre de degré de liberté

o ~ — paramètre auxiliaire r * * - $

CL( Q) moment théorique d'ordre i

jW'-ÇktÔ)! valeur du mcment théorique d'ordre i pour la vraie valeur de 0

1-=i)X; moment empirique d'ordre i.

C h a p i t r e I

G E N E R A L I T E S

I. GENERALITES -

1.1. Introduction :

La première description théorique de la distribution des largeurs

partielles a été donnée en 1956 par Porter et Thomas [fU.lj.Ces auteurs

ont montré que les largeurs neutroniques réduites sont distribuées suivant

une loi en x 2 à v = 1 degré de liberté.

Leur argument consiste à supposer que l'amplitude de largeur réduite

J (égale à un coefficient près à la racine carré de la largeur ré­

duite I -^c ) est distribuée suivant une loi normale parce qu'elle résulte

d'un très grand nombre de contributions indépendantes. Si le nombre de

contributions importantes était faible ou s'il existait des corrélations

entre les 5.. , l'amplitude de largeur réduite •».,- ne serait pas distri­

buée suivant une loi normale et la largeur neutronique réduite ne serait

donc pas distribuée suivant une loi en x à 1 degré de liberté.

[Nous aurons encore l'occasion de revenir, avec plus de détails, sur la

base théorique de l'argument de Porter et Thomas (cf.1,2.1)].

De nombreux auteurs ont étudié les distributions des largeurs partiel­

les - surtout des largeurs neutroniques réduites - en ajustant les valeurs

de v pour décrire au mieux les résultats expérimentaux. Un certain nombre

de résultats sont présentés dans le tableau 1.1.

Il apparait que pratiquement toutes les valeurs de v sont supérieures

à 1, mais compatibles avec ]. Il faut, d'autre part, tenir compte des er­

reurs expérimentales. Celles-ci ont pour effet d'augmenter la dispersion,

2 donc la variance. Or, pour une loi en x » la variance et le nombre de

liberté sont liés par la relation suivante : Votr ~x = —

•0

- 2 -

Les effets expérimentaux devraient donc donner une distiibution ex­

périmentale ayant une variance supérieure à la variance vraie, c'est-à-dire

une valeur de v inférieure à la valeur vraie.

Ces deux constations : - valeurs expérimentales de v presque

toutes supérieures à 1 alors qu'elles devraient être inférieures à ! -

nous ont amené à penser qu'il pourrait y Avoir un effet significatif. Nous

avons entrepris cette étude afin de préciser ce point.

Nous avons du tenir compte de deux restrictions :

- D'une part, les distributions expérimentales sont perturbées par

la perte de petites valeurs de r^ c , ou par l'inclusion d'autres petites

valeurs n'appartenant pas £ la voie C considérée. Il nous faudra donc

traiter systématiquement des distributions tronquées,

- D'autre parc, pour d'autres raisons, il est nécessaire de connaître

le vrai nombre de niveaux considérés (c'est-à-dire le nombre de valeurs de

'Tic corrigé des pertes et des inclusions erronées), et la valeur de < r ^ c >

(valeur moyenne des 1-^ pour une distribution non tronquée). Il a paru

souhaitable que les méthodes d'analyse utilisées permettent d'obtenir ces

valeurs.

Cette étude a exigé un important travail d'analyse statistique ot

de calcul numérique que nous exposerons dans les chapitres II et III

sprès avoir brièvement rappelé, dans le chapitre I^les généralités sur

la distribution en x^ et sur l'estimation des paramètres.

Dans le chapitre IV nous exposerons sommairement le procédé de

simulation (méthode de Monte Carlo) utilisé pour vérifier l'exactitude

et le domaine de validité des expressions analytiques obtenues et pour

vérifier les programmes d'estimation; les résultats numériques obtenus sont

également présentés.

Le chapitre V est cons: î à l'application aux noyaux réels. Tous

les calculs analytiques intermédiaires sont donnés dans le chapitre ANNEXE.

TABLEAU 1.1. Nombre Je degré" de liberté v de \ i distribution des largeurs réduites de neutron trouvé par différents auteurs pour guclqueg noyaux.

Noyau Seuil Nombre de niveaux N

Nombre de degré de liberté v Remarque Références

Classe A (1) 0.01 416 1.04 ± 0.10 Mélange d'une sélection Garrisson

0.1 335 1.20 i 0.16 de 5 noyaux [RI. 4]

Classe I (1) 0.01 137 1.27 i 0.20 Mélange de 14 noyaux

O.IO 117 1.62 ± 0.40 pairs - pairs

Classe III (1) 0.38 234 1.00 ± 0.13 Mélange de 47 noyaux impairs

ou impairs - impairs

232 n * 0.1 â 0.5 120 a 70 1.25 ± 0.08 Valeur moyenne de v pour un Ribon 1 " Rh •<- 0.3 90 i- 1,4 seuil compris entre 0.1 et 0.5 [RI.5]

" 9 Tm 0.02 a o.io 1.10 a 1.20 Méthode du maximum de vrai­ Julien

0.012

Mi - ± 0.20

|+ 0.22 1.14/

- 0.17

semblance tronquée [R1.61

" ' A u • 0.20 1.05

'- 0.15 Méthode de Monte Carlo

" As i. 50 1.15 et 1.3 2 Méthodes

A -Rappel de la théorie du noyau compose.

Le modèle du noyau composé ou modèle a interaction forte dans le

domaine des réactions nucléaires a été introduit par Niels Bohr en

1936 pour expliquer les résonances étroites (largeur de l'ordre

de 0.1 à 1 eV) observées avec les neutrons da très faible énergie

( de quelques eV ), Ces largeurs correspondent à des vies moyennes

de l*état résonnant 100 à 1000 fois plus longues que celles pré­

dites par le modèle du puits de potentiel. Le modèle du noyau com­

posé explique ces vies . ~ longues : le projectile a t par suite

des fortes interactions, parcage rapidement son énergie avec les

autres nucléons du noyau cible X et forme avec celui-ci un noyau

composé C qui est dans un état hautement excité.

X + a -»- C*

C'est seulement quand cette énergie est de nouveau concentrée sur

un autre nucléon que ce]ui-ci peut sortir du noyau. Si la parti­

cule incidente est un neutron lent, l'émission d*un rayonnement est

possible après un temps suffisanment long. Le processus de capture

est alors r.omplet et le noyau composé C est formé dans son état

fondamental par émission d'un seul photon.

C **• C + y

au par émission d'une séquence de quanta en cascade. Ce qui explique

la prédominance de la capture radiative <"n,Y) sur la diffusion élas­

tique, en accord avec l'expérience. Une réaction qui suit la voie de

formation du noyau composé est regardée comme un processus a deux

étapes :

- 5 -

a) - étape de formation du noyau composé.

b) - étape de rupture ou de décroissance du noyau composé (break-up)

On suppose que le laps de temps qui s'écoule entre ces deux

événements -îst suffisannneut long(plusieurs fois la période d'oscilla­

tion d'un nucléon) de telle sorte que le temps de break-up ne laisse

plus de trace qui puisse identifier le processus particulier de

formation, le noyau composé oublie la façon dont il est formé. La

deuxième étape indépendant de la première, (hypothèse de l'indépen­

dance) est alors simplement la décroissance d*un noyau dans un état

hautement excité, très similaire à la décroissance alpha des radioiso­

topes naturels.

Si cette hypothèse de l'indépendance est vraie, (elle ne l'est pas

toujours), la décroissance du noyau composé suivant différentes voies

de réaction Y + b, Y + bi etc. sera de'terminée uniquement par les ]

propriétés du noyau composé et non par son mode de formation, la sec­

tion efficace pour le processus X (a,b) Y pourra alors s'écrire :

°ab = °a F"

où nous avons désigné respectivement par :

a a : la section efficace pour la formation du noyau composé parla

particule a.

Tjj : la largeur partielle qui est proportionnelle à la probabi- t

lité de décroissance suivant la voie b.

r : la largeur totale qui est égale à la somme de toutes les

largeurs partielles V{ correspondant aux différentes voies

de sortie ouvertes.

La validité de l'hypothèse de l'indépendance entre la voie d'entrée

(formée par le noyau cible et la particule incidente) et les voies de

sortie correspondant à tous les modes de décroissance possibles, dépend

de la relation entre la largeur de niveau T et l'espacement entre

- 6 -

niveaux D du noyau composé. Cette hypothèse est valable dans la

région de rësonnance où les différents ni"caux du spectre d'éner­

gie du noyau composé sont bien séparés entre eux (r << D).

L'expérience montre que la largeur de niveau V augmente avec

l'énergie tandis que l'espacement moyen D entre niveaux diminue

avec l'énergie.

Le mécanisme de la réaction du noyau composé peut être décrit

sommairement par le schéma de la figure 1.1 où nous avons aussi

indiqué la différence entre le modèle du noyau composé (processus

à deux étapes) et le modèle du puits de potentiel (processus à une

étape). La figure 1.2 nous donns le diagramme des niveaux d'énergie

correspondant aux différents modes possibles de décroissance du

noyau composé.

MODEIE DU PUITS DE POTENTIEL Processus à une étape

VOIE D^ENTREE VOIESDE SORTIE

X + a —> T+1T

Noyau cible

Particule incidente

Noyau Particule résiduel émise

MODELE DU NOYAU COMPOSE

Processus à deux étapes

VOIE D ENTREE A

VOIES DE SORTIE

X + a -$> C -3> Y+ b

Noyau cible

Particule Incidente

Noyau Particule résiduel émise

Noyau composé Fig.1.

-C<* 8M0V

* ! " « lMaV

Lotion «ffi faction «rficatt

C t a t |on4oimontc»f

f T ^ O . l e v

Suction *f|ie««t,

•Etat fonda mont a E

DIAGRAMME DE NIVEAU D'ENERGIE INDIQUANT LES DIFFERENTES VOIES DE DECROISSANCE POUR UN NOYAU COMPOSE D'ENERGIE E 0

..Résonances

.Fission

Fig. 1.2

Noyau composé

B - Fluctuations s^t^t^ues_des_^ar££urs_de_neutrons

Distribution stat is t ique des largeurs réduites de neutron.

Les mesures systématiques des intensi tés de résonance ont montré

que les largeurs de neutron fluctuent fortement de résonance en réso­

nance de même par i té e t de même moment angulaire total .Ces fluctuations

doivent être attribuées au facteur de largeur réduite dans l'expression

des largeurs de neutron à cause de la variation du facteur de pénétra­

tion avec l ' énergie .

Pour les résonances é t roi tes où T « D ( c 'est le cas habituel pour

les sections efficaces, aux basses énerg ies) . l ' in tens i té de la résonance

X est rel iée à la largeur de neutron I\ (n) par l'expression (cf. RI.3 |

h -2T * 2 Y n ) 8 J

J : le moment angulaire total

I : le spin du noyau cible

A - t 2 J * 1 ï

du noyau compose ( - 2(21+1 ) '

D'après la théorie de la matrice R des réactions nucléaires ,1a

largeur par t ie l le de résonance,pour un type de décroissance ( ou la

constante de décroissance correspondante ) peut être représentée par

un produit d'une largeur réduite qui est essentiellement indépendante

de l 'énergie pour une résonance donnée et un facteur de pénétration

qui est fonction de l'énergie.En par t icul ier pour la largeur de neu-

h<* - 2 p *A< n >

en désignant raspectivement par :

P„ : le facteur de pénétration qui est fonction de l 'énergie e t qui

dépend de la barrière centrifuge que le neutron incident <3oit

franchir. Pour un processus par t icul ier de décroissance qui donne

lieu à une émission de neutron de moment angulaire lli , le facteur

de pinëtration est proportionnelle à E pour l ' i n t e rva l l e

d'énergie considéré.

Y 2 , (n) î la largeur pa r t i e l l e réduite de neutron pour la résonance X.

Yj.(n) : l'amplitude de largeur réduite.

1.2. Distribution,.de»_largenrs réduites, p a r t i e l l e s .

1.2.1, Distribution s ta t i s t ique des largeurs réduites de neutron.

L'argument original de Porter e t Thomas [cf. R 1.1 |

conduisant a la distribution en x 2 à v • 1 degré de l iber té pour les

largeurs réduites de neutron est basé sur l ' in tégra le de recouvrement de

la théorie de l# matrice R | cf» R 1.2 j pour l'amplitude de largeur r ë -

TXc I. k2 i /2 ) I * X. dS^ (1.2.1.1)

avec : M ï l a masse réduite pour la voie c

"K : h/2ff où h est la constante de Planck

a : le rayon de la voie c

- 11 -

X, : la fonction d'onde interne à l'énergie E pour

une résonance A

é : fonction d'onde de surface. Tc

dS i élément de l'hypersurf&ce de 3A - 1 dimensions, c

spécifié par le choix du rayon a de la voie c.

L'expression (1.2.1.1) nous montre que l1amplitude de largeur

réduite est proportionnelle à une intégrale de surface (élément de ma­

trice ) du produit d'une fonction d'onde pour l'état du noyau composé

et d'une fonction d'onde pour la voie de neutron. Cette intégrale est

étendue sur l'espace de configuration à 3A dimensions,où A est le

nombre de nucléons.

D'après la théorie du noyau composé, la fonction d'onde interne

X, est supposée très complexe comme résultant des interactions nuclé­

aires forcesj et les fonctions d'onde pour les différents états sont

supposées non correlées entre elles. D'autre part, on peut approximer

l'intégrale (l.2.J,J [ par une somme sur un grand nombre de cellules de

l'espace de configuration. Chacune de ces cellules donne une contribu­

tion positive ou négative avec une égale probabilité. La dimension liné­

aire de chacune d'elles est supposée de l'ordre de IT fois la longueur

d'onde caractéristique d'un nucléon dans le noyau de telle sorte que dans

un noyau lourd il y aura un très grand nombre de cellules contribuant de

façon indépendante. En se basant sur le théorème central limite de la

statistique[cf.R 1.7}, on doit s'attendre à ce que la distribution de

probabilités pour les éléments de matrice ( c'est-à-dire pour la somme sur

toutes les cellules ) soit approximativement normale et asymptotiquement

normale lorsque le nombre de cellules contribuant de façon indépendante

devient trÊB grand ( cas des noyaux hypothétiques infiniment lourds ).

Far conséquent il semble assez raisonnable de supposer que toutes les

amplitudes de largeurs réduites y. pour les niveaux du noyau composé

C crest-à-dire pour les niveaux correspondant à des excitations élevées )

sont distribuées suivant -une loi approximativement normale avec une moyen­

ne nulle. Il en résulte donc que les largeurs réduites y? suivent une

distribution en x 2 à un degré de liberté. C'est la distribution de Porter

et Thomas.

Les amplitudes associées aux largeurs partielles de capture radia­

tive pour les états composés sont supposées aussi distribuées suivant la

loi gsussienne parce que ces amplitudes sont proportionnelles aux éléments

de matrice correspondant aux fonctions d'onde des états composés ( aussi

bien aux fonctions d'onde des états finals ). On en déduit donc que,si toutes

les largeurs partielles ?. ont la même valeur moyenne < T. > ,1a distribu­

tion de probabilité pour la largeur totale T "-Jt T. sera une distribution

avec v degré de liberté ( c'est le problème statistique de la distribution

d'une somme de y variables aléatoires indépendantes X*, X 2 X de

Laplace-Gauss N ( 0,1 ). On peut montrer que la variable aléatoire ;

y^ =Xj+X2+ +X<*= 2 suit une loi de probabilité de densité :

f„ Cz)

£.< .2 I _ L ( * ) 2

e~2 a >o 2 ^ 2

La variable aléatoire x 2 est dite variable aléatoire à v degrésde liberté

|cf. R 3.13.| ).

Le nombre de degré de liberté v de la distribution de largeur totale de

capture radiative pourra alors être interprété comme représentant le nombre

de voies ouvertes de décroissance par rayonnement y du noyau composé.

1.2.2. Loi_du_2r_„tI°.ïl3UÉS •

A cause de la présence du seuil expérimental» les valeurs observées ne

sont pas régies par la loi du A complète, mais par la loi du X tronqu&e

dëfin-'.e par :

?- C * , 8 ) = "F f C« , 0 ) P ° u r * > * T ' (1.2.2.1)

H O pour oc <ct

Le facteur de normalisation F se déduit immédiatement de l'identité :

r°° r (1.2.2.2)

nous obtenons :

f^-^i 4 (1.2.2.3)

qui s'écrit encore, après le changement de variable t = P-

•jT _ \ Tcj» (I.2.2.4)

X =. pS< (1 .2 .2 .5)

rfj,,«)= je hf"1 .r Fonction gamma incomplète

(1.2.2.6)

[cf. RI.a]

L'expression finale de la loi considérée s ' éc r i ra alors :

P,,r*ft) = _ J / 'e . f e" f > 7 r »f > " t . d.2.2.7)

Pour simplifier l'écriture et lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité possible,

nous désignerons désormais parJT la loi du % tronquée.

- 14 -

De même, nous remplacerons désormais le paramètre v par seu homo­

logue p = —s- qui sera considéré comme l'un des paramètres à estimer. Pour

revenir au paramètre initial v s il nous suffira d'appliquer les formules

de transformation suivantes :

v = 2p

var(\>)= A var (p)

biais(v)= 2 biais (p)

1.2.3. But_du_travail :

Le but de cette étude est de mettre au point des méthodes rigoureuses

d'analyse des distributions expérimentales d'événements suivant des lois en

2 X et de vérifier si le nombre de degré de liberté v est compatible avec J

pour la distribution des largeurs neutroniques réduites.

- 15 -

1,3. EstimatiaD_des_garamètres_p_et_|i.

Pour simplifier, nous poserons désormais t

e «= ( e ( , a 2>

avec 6. = p

et 6 2 = u

Avec cette notation notre problème se ramène au cas général de

l'estimation d'un paramètre vectoriel 8 dont dépend la loi de proba­

bilité f(x,9).

Comme en général et surtout dans notre cas, il n'est pas possi­

ble d'affecter des probabilité.: à priori aux valeurs possibles du para­

mètre 9, l'estimation de celui-ci ne peut être fondée que sur les ob­

servations X,, X„... X de la variable X considérée,

l i n

L'idée des procédures classiques d'estimation consiste alors à

choisir une suite T de statistiques particulières T = 7 (X,, X-...X )

appelées estimateurs de 8, c'est-à-dire telle que :

T + 6 ruand n -* °° n

la convergence étant entendu en probabilité, probabilité presque sure

ou moyenne quadratique. Q3 ,]3]

En plus de cette propriété de convergence, on exige en général

d'un estimateur, les qualités suivantes :

- être sans biais ou asymptotiquement sans biais,

- être efficace ou à variance minimale.

1.3.1. Qualités d'un estimateur.

- Estimateur sans biais.

C'est un estimateur donc l'espérance mathématique est égale

à la vraie valeur du paramètre â estimer quel que soit l'effectif n de l'échan­

tillon:

b(6) * E <t ) - 6 - 0 V n

- Est^mateur_ asymp totig^uement _sans _biai£.

Si l 'estimateur est biaisé c 'es t -à-dire si le biais E(t ) - 0 n o

existe et s'il tend vers zéro quand n augmente indéfiniment on dit

que l'estimateur est asymptotiquement sans biais.

E(t ) - 6 -> 0 v n o n -*• <°

Un estimateur â la fois convergent et sans biais est dit

absolument correct.

.Estimateur_efficaçe.

C'est un estimateur qui possède la plus petite variance parmi

tous les estimateurs sans biais possibles. De manière plus précise, un

estimateur est efficace si sa variance est é^ale à la valeur minimale V o

compatible avec la loi de distribution f(x,8) considérée. Cette valeur

minimale V est donnée par l'inégalité de Cramer-Rao. vo i(e)

où 1(6) = n E Slog f(x,6) est l'information ou la quantité d'information

contenue dans un" échantillon d'effectif n.

Pratiquement la recherche d'un estimateur sans biais efficace

du paramètre 8 se ramène à la recherche d'un résumé exhaustif pour ce para­

mètre .

- 17 -

1.3.2- Kecherche_d^un résumé exhaustif_pour_les_2_paramètres p et 14.

Soient :

la distribution en % tronquée :

ffx,<n=_L_ f i f x r e " ^ (i.j.2.1)

et la fonction de vraisemblance L. associée à la réalisation f-C-t-îC»..X-N) :

N

Le logarithme de la fonction de vraisemblance L s'écrit :

N kl N (1.3.2.3)

ou encore

— N N

log. L = p H.o<jx r P" T ^ i - T"to3*i + N^^+P^j-f ) d-3.2.4)

t. 4 i»1 Ul

avec : 1 =

En examinant cette relation, nous voyons qu'elle est de la forme :

(9) (1.3.2.5)

c< = (<*,,«(,... - ° 0

'«M

Ce qui montre que la loi en C tronquée permet un résumé exhaustif \R3.13]

D'autre part, nous savons que si la loi de probabilité jffoc 76)

admet un système exhaustif ( T 4 7 T 4 . . . ,T S ) pour Ô m ( 9,, Ô. . , , Q^ )

et que SsIC , alors elle permet un système d'estimateurs efficaces c'ést-à

dire qu'il existe un système de fonctions

un systèmeTj^... 1^ d'estimateurs sans biais deh1^nx.* "n^ respectivement

satisfaisant à

[R3.13J -do

(1.3.2.6)

(•X-il T=±f a N <L-

(1,3.2.7)

(1.3.2.8)

Ofi = matricei( C, iO d'information du N. échantillon d'éléments

A - £ t f e L j ^ r •• • - -A = matrice (S , K) d'éléments A - ;- iT1''6' .

ZA •= matrice inverse de £J

1 = 1,2..S

j=1 ,2..K

/ 1)6, "îflt

l o i •

uô " .

\

(1.3.2.9)

T)9 (1.3.2.10)

En comparant les 2 relations (1.3.2.4) et (1.3.£.5) nous tirons :

e - r e „ 9 j

(1.3.2.12) < * . . r

a , = l o q x

( 1 . 3 . 2 . 1 3 )

( 1 . 3 . 2 . 1 4 )

( 1 . 3 . 2 . I l )

( 1 . 3 . 2 . 1 5 )

o g o C j ( 1 . 3 . 2 . 1 6 )

(1.3.2.17)

L9-yz.i

i - 1 l = i

( 1 . 3 . 2 . 1 8 )

/3(Ô)= L9<p+pUs*. >

( 1 . 3 . 2 . 1 9 )

- 20

d 'où nous en déduisons :

!°<l = T^'» 1

T>6, T>p

Tiô, "Dp ^

T>6, Tip "M Ty> '

D ô t 1»/* > 1 / "

e n c o r e , d ' a p r è s ( A l . 6 . 4 ) , ( A l . 6 . 7 ) , ( A l . 5 . 6 ) e t (A l .5 .14 )

1 9 , T>f > f

1

Ce qui donne a l o r s :

Rp,x)

I, = /"k'tf'Ugtolb

( o i ' T . 1 f

"be V - M O + 5 )

r r

nous en déduisons donc que les 2 statistiques :

N tr, N

T..-L

( 1.3.2.20 )

{ 1.3.2.21 )

sont: respectivement des estimateurs sans biais efficaces de :

ft,(9). * i , -S f - r ^ r J ^ M db-%£ ( T-3-2-22}

' v f / / \ p rep,*) / C 1.3.2.23 )

Par contre, il n'existe pas d'estimateurs sans biais efficaces pour les

paramètres considérés p et u .

Ç a5 particulier : 2

Dans le cas où a " 0 ( distribution en x non tronque; ) , les

2 expressions (1.3.2.22) et (1.3.2.23) se réduisent à

*'m-foj*irhiA-h}-%>-Ld} ci.».»)

( 1.3.2.25 )

puisque pour a = 0 nous avons :

X = P-* = O

Z ûo

) ( fonction gamma )

Tfp) - 1 U t r l Eocptcjt « d io^,r~Ço) ( fonction digamma )

Lea expressions ci-dessus de h^Câ) et de h2(â) nous montrent que

même pour a • 0, il n'existe paB d'estimateurs sans biais efficaces pour

le couple (p,p). Far contre il existe un tel estimateur pour le paramètre

U lorsque p est connu.

Chap i t r e I I

M E T H O D E S D ' E S T I M A T I O N

- 23 -

11.1. Dif f |reiites_méthodes_d^estimation.

La recherche d'un estimateur possédant les qualités ci-dessus

exclut toutes les méthodes non analytiques (par exemple les méthodes

graphiques) ainsi que les méthodes d'estimation par intervalle de

confiance.

Les méthodes d'estimation ponctuelle couramment employées en

pratique et susceptibles de fournir un tel estimateur sont :

a) - la méthode des moindres carrés,

b) - la méthode des moments,

c) - la méthode da maximum de vraisemblance.

En examinant le tableau IL et en tenant compte de la nature

de notre problème, nous voyons que la méthode des moindres carrés

• „ • !

ne peut pas nous convenir. Par consequent, dans tout ce qui va sui- i

vre nous nous intéresserons seulement aux deux dernières méthodes

qui feront l'objet des sections 11,2 et II.3,

TABLEAU E. Comparaison entre les différentes méthodes d'estimation ponctuelle.

(cf.R3.U )

Estimateur Forme de la

distribution parente

Efficacité de l'estimation Normalité de l'estimation Estimateur

Forme de la

distribution parente Echantillon de taille finie Cas asymptotique

échantillon de taille finie Cas asymptotique

Maximum de

vraisemblance

Cas général n'est pas efficace

variance

minimale

n'est pas normale

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite

Maximum de

vraisemblance

admet un résumé

exhaustif

Il existe un estima­

teur sans biais ef­

ficace d'une fonc­

tion g(6) du para­

mètre Q

variance

minimale

La distribution de

g(Q') n'est pas nor­

male en général mais

la variance est con­

nue

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite

Maximum de

vraisemblance distribution

normale ««

Il existe un estima­

teur sans biais ef­

ficace d'une fonc­

tion g(6) du para­

mètre Q

variance

minimale

La distribution de

g(Q') n'est pas nor­

male en général mais

la variance est con­

nue

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite

Moindres carrés

Estimation

linéaire

n'est pas efficace

mais l'estimateur

est optimal parmi

les estimateurs li­

néaires non biaises

optimal parmi les

estimateurs linéai­

res non biaises

En général, il n'y

a pas de normalité

(mais, dans le cas

normal, les distri­

butions sont classi-

auesl*

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite

Moindres carrés

Estimation non

linéaire n'est pas optimal n'est pas optimal n'est pas normal

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite Moments Cas général n'est pas optimal n'est pas optimal n'est pas normal

mais non biaisé

normal

et non

biaisé

par le

théorème

central

limite

* Student, Fisher - Snedecor etc...

i* Lorsque la distribution parente est normale, la méthode du maximum de vraisemblance

et la méthode des moindres carrés donnent des résultats identiques.

II.2 - METHODE DES MOMENTS -

La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux problêmes

d'estimation, donne lieu souvent à des équations de vraisemblance algébriques

aotrpliquées ou transcendantes difficiles à résoudre. Par contre, la méthode des

moments, introduite au départ par K, Pearson [R.2.1] conduit souvent à des

calculs très simples. En dehors de cette simplicité, elle est généralement

inférieure aux autres méthodes d'estimation plus modernes, surtout dans des

cas réguliers simples. Mais dans des problêmes plus complexes, la position

est moins claire. C'est surtout à cause de cette simplicité de calcul que

P. Rider [R,2.2] et Blischke [R.2.3] ont appliqué cette technique au j-ro-

blême d'identification des composantes dans les mélanges de distributions.

Enfin, notons qu'il est toujours possible d'améliorer l'efficaci­

té des estimateurs moment, généralement beaucoup plus petite que l'unité,

en utilisant, pour compenser les pertes d'information , plus de moments que

de paramètres à estimer (en effet, les moments de l'échantillon ne sont pas

en général des statistiques exhaustives pour la population correspondante).

C'est dans ce but que T.T. Soong a généralisé la méthode des moments en in­

troduisant la notion d'estimateur moment combiné. Le procédé consiste à géné-

rer une classe d'estimateurs moments^ itV'* • 64, du paramètre 9 et à consi­

dérer comme estimateur de 0 l'estimateur moment combiné 8 constitué par une

combinaison linéaire et optimale des ô: ( j « 1 ,2, . .. p )

k =Lwjêj

où les poids Wj sont choisis de façon à rendre minimale la variance de

[R.2.4].

11.2,1. Princip_e de l__Séthode_des_<moments :

Considérons N réalisations indépendantes 3C, , 3C 4 )» »• o c N

d'une variable aléatoireXdont la fonction densitéIcsc,Ô) dépend du paramè­

tre vectoriel o = ( ©*i®fci*« * K ' • Nous supposerons» dans tout ce qui va

suivre, qu'un nombre approprié de moments ainsi que leurs premières dérivées

par rapport à 6; ( v=^,2 *..!<) existent et ne sont pas nuls.

Désignons par

Tn.,= J_T~3C.1. (II.2.1.1.) 1 N 4-, J

j = * le moment empirique d'ordre i

et par Q . (û) = \^à gfoc,©} c U (II.2.1.2.)

le moment théorique d'ordre i

avec 1=1,2.,... K

La méthode des moments consiste à égaler les deux expres­

sions (II.2.1.1) et (II.2.1.2), ce qui nous conduit â un système de \C équations

à \C inconnues : m c - <J t(B) » O ( U l , a . . . * 0 (II.2.1.3.)

dont la résolution fournit l'estimation du paramètre ô considéré.

II.2.2. Biais_et yariançes_asymototigues_des_e^

Le problème des biais et variances asymptotiques des estimateurs

moments a été examiné par divers auteurs et principalement par Shenton et ses

collaborateurs (Shenton [R.2.,5]). Shenton et Meyer [R.2.6]; Shenton et Walling-

ton [R.2,7] . Dans un de leurs rapports, ceux-ci ont exposé une méthode per­

mettant au moins théoriquement, de trouver les biais et variances des estimateurs

moments à n'importe quel ordre. Le procédé consiste à utiliser les polynômes

orthogonaux et à exprimer les estimateurs moments en fonction des moments de

l'échantillon. Ceci est quelquefois analytiquement impossible. L'autre part,

nous pouvons remarquer que cette méthode a'applique difficilemment aux distri­

butions comportant plus de deux ou trois paramètres.

- 27 -

Une méthode très récente (1970) de Robertson et Fryer [R.2.B]

permet, à notre avis, de surmonter ces difficultés. Le procédé consiste à

développer en série de Taylor les paramètres dont on veut estimer les biais

et variances, au voisinage de leur vraie valeur (ces paramètres étant bien

entendu considérés comme fonction des moments de l'échantillon). Cette mé­

thode a le mérite d'être relativement simple et d'application facile, même

dans le cas des distributions comportant plusieurs paramètres. D'autre part,

elle peut donner une précision à un ordre quelconque enj. ou i. ou plus.

Cependant, sur ce dernier point, même avec cette méthode, on dépasse rarement

l'ordre _ (et même 1*ordre J. si la fonction de distribution n'est pas simple

et comporte plus de deux ou trois paramètres) car le calcul analytique devient

de plus en plus très compliqué sinon très fastidieux, lorsque l'on dépasse

l'ordre J-N

C'est suivant cette méthode que nous allons calculer, dans ce qui

va suivre, les biais et variances des estimateurs moments des paramètres p

et u de la distribution en X tronquée définie au paragraphe ( I. 2. 2 )

en nous arrêtant à l'ordre A- (ce choix étant en partie justifié par la

N forme compliquée de la fonction densité en question, comme nous allons voir par la suite, un calcul à l'ordre en_J-est déjà difficile à effectuer).

11.2,3. Détermination des biais et_yarîances_des_estimateurs moments

Dans tout ce qui va suivre, nous désignerons par :

Qe z= la vraie valeur du paramètre 0

et nous poserons :

"zH ( e l le-e. "f1 (u.2.3.U

**U "/*• " £-i (II.2.3.2)

ô t - 9. 0 = Si (II.2.3.3)

- 28 -

avec L = 1 , 1 , . , K.

Nous pouvons développer (II.2.3.2) en série de Taylor aous la forme

£-i = Dvj &j +£uKMK +^ijK«SjSKS{+GU l <em&jSKS eSm+... (H.2.3.M

D„=! D9j

•T. , - i X a i _

-WK— - j l "be/*eK

•• Gu-.-àJk t ainsi de suite.

Le problème consiste à déterminer les coefficients du développe­

ment inverse de (II.2.3.A).

o c = D l J£j + R jKej£K+ Q u K t £ . j ^ e + RùiKb^jMee.**-.- (n.2.3.5)

Pour cela nous remplacerons l e s^j,£ K... Pa r leur expression

(II.2.3.4) dans le développement (II.2.3.5) et nous comparerons les coeffi­

cients de même puissance en 0 dans les 2 membres de l'équation obtenue.

+ . . . . D'où nous en déduisons :

(11.2.3.6)

(indice de Kronecker)

(11.2.3.7)

C e t t e r e l a t i o n nous montre que l a m a t r i c e d ' é l é m e n t s \j e s t

l ' i n v e r s e de la matrice d'éléments Du

Terme en O

p n n , n i jr. i f T

( 1 1 . 2 . 3 . 8 )

( 1 1 . 2 . 3 . 9 )

( 1 1 . 2 . 3 . 1 0 )

(J étant un indice de sommation).

Nous pouvons écrire, en multipliant les 2 membres de (II.2.3.10)

d'où en tenant compte de relation (II.2.3.7,) :

D-Vi-r-1 Ai 11 = p

0 Ai n + p

D%=S r^ 1 li r = c(

0 &\ r + a

Nous obtenons alors :

Uj**=--U -U V - ^ m n ^ (II.2.3.12)

Les ^efficients \)--uo -!<••» • * * * 8 e déterminent de la même

façon que précédemment. Dans l'expression des biais et variances asymptotiques

ces coefficients interviennent seulement à partir de l'ordre _i. . C'est pour-

quoi nous n'en donnons pas l'expression générale.

Ayant ainsi défini les coefficients jj-i -t*.,. jj et K , ,

nous pouvons maintenant écrire les formules donnant les biais et variances

des estimateurs moments considérés;

En effet, partant des relations bien connues :

t>(§i)-oê.)-e i > 0 - £ [ ê ; - y ( n . 2 . 3 . ) 3 )

COO(ê l,8 i)-C[(S l-Ôp(S J-85)] (II.2.3.U)

^(^-£(1^ ( I I-2'3- l 5 )

C f ( 6 , - M 6 J " M =CO0(gi,6J.)+k(Bi)ir6j) (II.2.3.16)

0. = val

estimateur de 0^

eur moyenne de o ;

0. = vraie valeur de o: 1,0 *

nous obtenons, d'après (II.2.3.2) et (II.2.3.17) , en nous limitant à l'ordre J-N

k ^ u - O S , ) ^ DCiCce,)+ P O K - ^ ^ J ^ cii.2.3.19)

D'autre part, nous avons, d'après (II.2.3.3) et (II.2.3.17)

«C[(D i , n

£ m + P i m n £ m £ o ) (D j % + ep^ P g]

a* C S,, 8,0. û i"D*-CU,.epl (II.2.3.19)

(en nous limitant à l'ordre A. ) ivj

' -£fe.p=-£lCm--yUi)=0 V

(11.2.3.20)

(11.2.3.21)

(II.2.3.22)

C f £ m ^ = — (/im+[»-/lm/*fJ (d'après [R.2.9])

Nous obtenons donc

N

M

(II.2.3.23)

(II.2.3.24)

(11(2.3.25)

a v e c I , J , l< , m , \p = 1 , t

ou encore plus explicitement :

US,

(cas de 2 paramètres)

i;). l-[P i 1 l(^-^) +4P i D( /i 4- / Vi.) +P 5 t t( /i,- A

t)]

P- - P - P-

26)

N ' (II.2.3.

(II.2.3.28)

I I . 2 . 4 . Es t ima t ion des paramètres p e t i\ de l a_d is t r ibu t îon_en_X__t rong t uée

g ar _ a _mé t. h o de _d es_moç.ie n c s :

a) Estimation des paramètres -

Nous allons maintenant appliquer la méthode des moments à l'estima­

tion des 2 paramètres o etu de la distribution en X tronquée définie au para­

graphe ( 1,2,2 )

:frx,B) = J _ ( e ) f ~ r e P 7 (II.2.4.1)

D'après le principe de la méthode des moments, nous sommes conduits à résoudre

le système d'équations suivant :

i = 1,1,

(II.2.4.2)

Moment empirique d'ordre i (II.2.4.3)

0 . ^ ( 0 1 = f o C l f ( 3 t j&'ïcia. Moment t héo r ique d ' o r d r e i ( I I . 2 . 4 . 4 )

*4t

D'après (A3.2 et A3.3) n o u a a v o n s :

f 4x prCjYX)

A = p-Pc^BleL-^DM' 4* f Tcp,*)

iï, OO

.,*)= je" kf"1 dt fonction gamma incomplète

- 33

Comme d ' a p r è s ( A3.1.6 )

r?P+i.,x)= J cctf+1d!; =. e jc'Cx+p+O+pfp+onrp,*)

nous en déduisons donc

^-/*( l +?)v( 1 +^)

Les équations des moments -s'écrivent alors :

(11.2.4.5)

(11.2.4.6)

(11.2.4.7)

(11.2.4.8)

En examinant ces 2 équations, nous constatons qu'il est possible de les

ramener à une équation à une seule inconnue. En effet, de la relation (II.2.4.7)

nous tirons :

n = m * - * (II-2-*-9)

f ]*

d'où, en remplaçant cette fonction dans l'équation (11,2,4.8) :

m * = A [ ^ ) 0 ^ + - p + l + -i] dl.2.4.,0)

w l=Cm,-M)°< + m,u+ Km., (n.2.4.10

r r f ce qui nous donne :

P = *- (II.2.4.12)

I 1 trit-my*- ec(m,-/D

Il en résulte donc que les 2 equations des moments se réduisent â une seule

équation a une inconnue U :

m,= il fi* 0<L) (II.2.4.13)

ou encore

, - r ' p <ï i .2 .« . i5)

avec

p e~*%f (II.2.4.16)

(XI.2.4,17)

( J a / i (11.2.4,18)

Le problème se ramène alors à la recherche des zéros de la fonction

cf)(u) et la méthode de résolution utilisée peut être l'une des méthodes ité­

ratives exposées au paragraphe (III.1.1).

b) Estimation des biais et variances asymptotiques de p et M

En posant

nous obtenons d'après (II.2.3.26), (II.2.3.27) et (II.2.3.28)

^vî)-i[ir^K.^+D*if)Ov^irDVx)]

(11.2.4.19)

(11.2.4.20)

(II.2.4.21)

Les expressions explicites des coefficients iX: , D " C M * P-• et des

moments A A K ainsi que les différentes variables ou fonctions qui y inter­

viennent sont données dans les tableaux II.1, II.2, II.3,J-J, 4 et 11,5

c) Estimation des biais et variances de v

Les expressions des biais et variances asymptotiques de v se déduisent

de celles de p, d'après les relations:

ua*.Cv>) « 4 vcvi Co)

•oCoiid (-0)= t iiaia ( p)

Ce qui nous donne alors:

b<^-l[l? (,(/'i-/0+S.I? a(/'j-A/M+ P,u.</*l-/'0] (II.2.4.24)

U«IC^).A[C D V C / V / O - i D ' ^ ' ^ - y u ^ O + C D ' 1 ^ - ^ ) ] (II.2.4.2S)

TABLEAU I.I : Fonctions p, , % , % , "E> et leurs dérivées

Fonction : /3 j= /— P

Références â

l 'annexe Fonction : X s X I

Références à

l 'annexe

DSrivées : Dérivées premières :

p>\ = - â P

T)f (3 ~ p

-V* I» /*

(AI.1.2)

(Al .1.3)

( A l . I . 4 )

(Al .1.5)

Dérivées : Dérivées premières t

X*1, =%"( l + L o ? x )

^Lo«7C y__ P.

(Al.3.4)

(Al.3.5)

(Al.3.7)

(AJ.3.8)

Fonction : X = P — 1 /*

Références

l 'annexe Fonction : ^ > = £•

Références à

l 'annexe

Dérivées premières :

F DLo«X_ X', _ i

V * P

T>Lo«X_ x i = . i

(Al .2 .2)

(Al .2 .3)

(Al .2 .5)

(Al .2.6)

Dérivées premières :

T>f % F

^ ^ z 4

(Al.4.3)

(Al.4.4)

(Al.4.6)

(Al.4.7)

TABLEAU 1.2 : Fonctions f , 17 e t leurs dér ivées

Fonction : <P = _L_

Références

â 1 ' annexe

Fonction : 10 = %' "£, <f> Références

1'annexe

DÊrivÊes :

Dérivées premières :

ip «

1 p ' y Tip ^

> •lL«>,<f».£l.-llVi'*

(Al.6.3)

(Al.6.A)

(Al.6.6)

(Al.6.7)

Dérivées :

Dérivées premieres :

-Dp " 1? a p T>p *

Dérivées secondes :

<*,,»* p - a ^ 3

Y Lo «, 0 - 1( 2 - 1 ) _ V Loa * TipTy/ / t v p ; 1p-y

(Al.7.S)

(Al.7.6)

(Al.7.10)

(Al.7.11)

l

(Al.7.14)

(Al.7.16)

(Al.7.18)

(Al.7.20)

(Al.7.22)

(AI.7.24)

TABLEAUl.3 : Fonctions £ -, 4^ et leurs dérivées

Fonction densité i et ses dérivées Références

3

1'annexe

Fonction gamma incomplète et ses dérivées

r.r.p^jVtf-' Jt Dérivées

Dérivées premières :

^---fpr-^+i-r^ /"

Dérivées secondes

Tip1 ^ "y « p

l W £ = _ l t L o ^ ; 1 / ~ - l \

-Bu"-1" T u ' ? t « ^ ÂîJ ' t y i 1 > Dérivées t roisièmes

Y Y TlpT

D p Y Hp-iy.1 /***• >" '

-Du'

(Al.9.5)

(Al .9.6)

(Al .9.7)

(Al .9.8)

(Al .9 .9)

(Al.9.10)

(Al.9.11)

(Al.9.12)

(Al.9.13)

Dérivées :

Dérivées p r o p r e s , - ^ W » j „ y

V f

Dérivées secondes : ' '

Dérivées t r o i s i Ë a e s t i . c f J . / ^ t i l j" Dérivées t r o i s i Ë a e s t

TABLEAU]!.4 ; Intégrales J n et ses dérivées et Moments théoriques

Les in t ég ra le s î n e t leurs dér ivées Références

1 annexe Moments théoriques d ' o rd r e M * = ^ l ^ " * 1 c ^ a o

Références

1 annexe

f^00 Moment d 'o rdre K :

ïn = ê'tPlUg.t)"^ ">• ( n = 1 , î , , 5 )

(A2.D

A r t ^ l r

P +K-p., . . . + cp+ic-iKp+K-t). . . Cp+K-p+DX' ' e +

i , _ rSitf-iLo3tcit + Cp+K-1Kp+'<-!)... Cp+K-p) (A3.1.4) i , _ rSitf-iLo3tcit

Moment d 'ordre l :

/*<-=/* ( 0 + f) (A3.2.2) j

Moment d 'o rdre 2 :

(Al .8 .9) / U l = /0 l[(-X4p+O9 + p fp+O ] (A3.3.3)

(Al.8.10)

Moment d 'o rdre 3 :

/MJ=/i!rr7(xî+Cp+l)5C + (p+l)<'p+i))+ ptp-HXp+l.) (A3.4.3)

IP f (Al.8.11) Moment d 'o rdre 4 ;

IP f P* = /5Zl['?6''+(P+î)'Xl+C|'+J)('p+«.)X+fp*3Kptt)Cf+oVfp+J)(p+ï)(jHi)pl (A3.5.4)

(Al.8.12) avec /î = / i et 0 = ê _ * 1

' T rep,*)

TABLEAUI.5 <=«" D u , D i J , C U K . P,jK

^ & * ^ -TITS <i.,J,ic = l , ' )

1 si i-k.

0 Si i^K

Références . D i r W K L mnp

( l , i , K = 1 , 2 )

References!

à l 'annexe

Coefficients J)ij

(Eléments de la matrice

D.. i + ( »( i ! i ; + jp D 1,.p

2[r? ,

)(w r.)-i^j-iJ

Coefficients jj

(Eléments de la matrice C D

D"- D« A

A

A

~ A

A-D^-D,^ ,

(A4.1.2 ' )

(A4.1.3 ' )

(A4. 1.5)

(A4.a.10)

(A4.2.13)

Coeff ic ients i~ i jK

t ,„ . - | .K + A(-2-o:) ]

£M-&[r? 1 +5jLi]

C. "•

ni"

Coeff ic ients JK-

Pî,,„.DlDÎD\,îIît>D1ÏD,tlrB,tJ]-D,2lI),WE1,rD%,>lî[D,t1^I]]

P^ID^DX^I^^^^ PJ!l---DlDtD\l|DX,>DlB'tttD

ItI.1-lf[D',(D,£1,,+Dt!ll>IftD,£!^13l P P P -P "991 - lOI»

A4. 3.

(A4 .3 .3 )

(A4.3.5)

(A4.3.6)

(A4 .3 .8 )

(A4.3.10)

(A4 .3 .12)

A4 .4 .

(A4.4.1)

(A4.4.2)

(A4.4.3)

(A4.4.4)

(A4.4.5)

(A4.4.6)

(A4.4.7)

{M. 4 .8 )

- 41 -

II.3 - METHODE PC MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE -

Partant de l'idée selon laquelle la valeur la plus vraisemblable du

paramètre inconnu ô s f 6,, B t . . . ô^ ) est celle qui prête à l'événement

observe la plus grande probabilité R. Fisher [R3.1J a mis au point une méthode gé­

nérale d'estimation appelée méthode du maximum de vraisemblance. Depuis, cette

méthode a attiré l'attention d'un grand nombre d'auteurs notamment Duguë

[R3.2] , Wald [R3.3, et R3.4] , Cramer [R3.2], Huzurbazar [R3.5] et Chanda

[R3.Ô] qui ont eu le mérite d'avoir, par leurs travaux respectifs, apporté

et développé les preuves rigoureuses des propriétés asymptotiques des estima­

teurs par le maximum de vraisemblance. D'autres auteurs, Neymann & Scott

[R3.7], Kraft S Lecam [R3,8] ont montré que l'estimateur par le maximum de

vraisemblance peut être inefficace et non convergent dans certains cas. Mais

ceux-ci sont assez rares. Dans le cas général, la méthode du maximum de vrai­

semblance donne de bons résultats qui s'améliorent au fur et à mesure que le

nombre d'événements considérés augmente (l'efficacité des estimateurs par le ma­

ximum de vraisemblance est en effet une propriété asymptotique [R3.13 page 2l6j),

Le principal inconvénient de la méthode du maximum de vraisemblance est qu'elle

conduit souvent à des équations de vraisemblance compliquées difficiles à

résoudre analytiquement. Cependant cette méthode reste encore à l'heure actuelle

la méthode d'estimation la plus utilisée en pratique, surtout à cause des pro­

priétés asymptotiques des estimateurs correspondants.

11.3.1 - Prinçige_de_la_2f jçhode_du-maximum_de_vraisemblance -

La méthode du maximum de vraisemblance consiste à choisir comme

estimation du paramètre BeR. une fonction y(x,..Tcn1â valeurs dans R,

qui réalise un maximum strict de la vraisemblance, c'est-â-dire, telle que :

L[=c,§(?o] > L C K , 6 ] V 9 (II.3.1.1)

Ùtx) sera appelé estimation de 9 par le maximum de vi semblance.

II.3.2. - Eguations_de vraisemblance -

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons réalisées les conditions

de régulari té suivantes [R3.I3 1 :

^ C 6 - | ^ e R K : P c ~ , e ) > 0 }=•£ est indépendante de 6 1 (II.3.2.1)

2)L est continûment différentiable en 9 et toute fonction Q(x.) satisfaisant

à (!) est à rechercher parmi les solutions du système :

N

Tlô. A - . 1 ) S : ' (II.3.2.2)

C'est le système d'équations de vraisemblance qui peut encore s'écrire :

1 too L = 0 (II.3.2.3)

.. La matrice d'éléments est définie positive.

II. 3.3. - £2™§_£e s _egua t i ons J*e_ vrai semblance _

résumé exhaustif -

Les équations de vraisemblance se simplifient notablement lorsque

la loi permet un résumé exhaustif de même dimension que la dimension du paramètre

à estimer. En effet, nous avons vu que dans ce cas la loi s'écrit [" I.3.JJ .6] :

-1 T

où A et Wu sont des matrices régulières. Il s'ensuit immédiatement que

le système d1ëquations de vraisemblance

1 LoaL =0 (II.3.3.2)

est équivalent au système

i . R < n - 3 - 3 - 3 )

Dfautre part, nous savons que t est un estimateur sans biais efficace

de h. Par conséquent, les équations de vraisemblance s'identifient aux équations

des moments écrites pour les moments d'ordre 1 des résumés exhaustifs.

II.3.4. Résolution des équations de vraisemblance

La résolution du système d'équations de vraisemblance peut

s'effectuer par la procédure générale d'itération qui consiste à partir d'une

certaine estimation initiale d^de la vraie solution 6 et calculer ensuite les

* . " -e

approximations successives 6. (estimation de 6 après la j itération). Le pro­

cessus est convergent si |B - —Ô | décroit quand j croit et tend vers zéro quand

j -*• œ Kale [Ë3.10 et R3.lf] avait défini le processus d'itération de la

façon suivante:

soit g(6) une fonction différentiable qui n'a pas de zéro au

voisinage de la solution 6 de l'équation de vraisemblance. Fn postulant l'exi­

stence de 8, on définit la fonction h (9) telle que:

h(B) = 6 - g(6) |g- log L (*|9), 0 )

alors» le processus général d'itération est tel qu'on ait :

• log i* l ^ o ; ; 6 =

"j

Si on désigne par e. = |9j-8J, (3)

l'estimation de l'erreur à la j itération, alors g(8) doit être choisie telle

que £.+ 1<£. et e.-K) quand j -*». Cette condition assure la convergence du pro­

cessus d'itération défini par (2).

Householder [R3.12] avait montré que deux conditions sont

suffisantes pour satisfaire les exigences sur l'erreur e.

1) S'il existe un domaine Np(9) au voisinage de 8 et si 91 et

6" appartiennent à Np(e), on a pour K >JQ |h(9')-h(9") |^K (0$K$1). Si h(9)

est différentiable, |h' (6)|<1, alors Np(9) existe.

2) L'estimation initiale 9oc.Np<6)

Dans le processus d'itération défini par la relation(2) on

peut choisir pour g(6.) l'une des trois quantités suivantes selon la méthode

d'itération adoptée J

V r U M 6 ) ] e 4 T ê -g(ê > ( | y log L fede»,.;. (2)

a) g ( 6 H ï f r l o g L C l 6 ) ! " 1 : méthode de Newton-Raphson

b) g(6)—|nE<- 552 l oS l e*|8)l_1

(3)

(4)

où n désigne la dimension de l'échantillon.

La relation b) peut encore s'écrire:

g(6)- nl(6)

I(8)« E(- — log L (3t|6)) 66 2

(5)

(6):quantité

d'information

c) g<6)=- - (7)

où K est une certaine constante; c'est la méthode de pondération constante.

Il est évident que le problême pratique consiste à choisir les valeurs conven­

ables de la constante K. Une autre possibilité consiste à utiliser la relation

(2) sous la forme:

< â r l o s L > . (8) 3+1 J n

où aj désigne une séquence de nombres réels quelconques choisis de façon à

satisfaire les conditions sur les erreurs estimées.

En comparant ces trois méthodes d'itération, Kale avait montré

que seul le processus d'itération de Nevton-Raphson défini en a) est du second

ordre et par conséquent qu'il converge plus rapidement que les deux autres qui

sont du 1er ordre. La méthode b) est applicable si 1(6) est différentiable(c'est

bien le cas habituel en pratique). Par contre la troisième méthode c) n'est pas

toujours applicable par suite de là difficulté de choisir la séquence a. des

nombres réels telle que le processus converge et que cette convergence ne soit

pas trop lente.

Il est possible de résoudre les équations de vraisemblance par

d'autres méthodes numériques.qui feront l'objet du paragraphe III.1.

I I . 3 . 5 . - Biais e t _var i ance s a svrop to t i que s des estimateurs £ar le maximum

de_yraiseml)lancé^-^Ca8Midg_2_garamètres :

a) Biais asymptotiques :

Introduisons tout d'abord les notations suivantes :

t t « t (9,) (II.3.5.1)

^ - b 4ô*î (II.3.5.2)

(éléments de la matrice d'information J )

ou mieux encore, d'après (A5.I.6.)

ae. n i . 3.5. 4)

(II.3.5.5)

avec i, j, k =1,2

(les intégrales sont étendues à tout le domaine de définition

de x ).

=• déterminant de la matrice d'information J

«a - - R „ t - ^ p . . i ( I I - 3 - s - 6 >

D'après L.R. Shenton et P.A. Wallington, les biais asymptotiques des

estimateurs par le maximum de vraisemblance de 8, et 0^ sont donnés par les

relations suivantes [R2.-7 ]

t, t + k R,. ~ - V L t " * t R,t + £, ^ ^ «1.3.5.7)

kP„^k t - - l - f t L - ^ t t ^ t t J (II.3.5..) En posant respectivement :

Ç - i r P P - t P P + P P ) ( I I 35 9) J, = l rt,«. 'i,« *" i,t 'l,il ri.l 'i.ti ' IH.J.S.S;

m a ^ - i r P P - i P P + P P )

Î. M S nous obtenons

L 1 r s P _ s P •)

b) Matrice: des variances-covariances : Cas asymptotique

( I I . 3 .5 . I l )

(II.3.5.12)

Lorsque la t a i l l e N de l 'échanti l lon est suffisamment grande (cas

asymptotique), la matrice des variances V est égale à l ' inverse de la matrice

d'information J N [ R3.13 ]

V « J N (II.3.5.13)

«CM. (§,) Cou ( 6 , , ^ )

( I I .3 .5 .H) cow (9,,^) Va*. ( 9J

V

X -t hô î * J Ua,X J \

(II .3.5.15)

ou encore :

= + N 3 = + M P',. R f l

«.,1

(II .3.5.16)

t , P.

Ce qui nous donne :

(II.3.5.17)

Mous en déduisons alors :

«oit. (6,1 = "t.t N Z>

VOA. ( 8i) =

Pi . . N2>

(II.3.5.18)

II.3.6. Estimation des paramètres p et IÀ de la distribution_en 9C tronquée

a) Estimation des paramètres :

L'application des résultats des paragraphes (1.3.1) et (II.3.3)

nous donne immédiatement les équations de vraisemblance suivantes :

(d'après 1.3.2.22)

(d'après 1.3.2.23.):

En examinant ce système d'équations, nous voyons que :

' la deuxième équation de vraisemblance est identique à la première équation des

moments (II.2.A.13) ce qui est conforme au résultat énoncé au paragraphe

(1.3.3)

le système d'équation de vraisemblance est du type trancendant et sa résolution

requiert l'emploi de l'une des méthodes numériques exposées au paragraphe

(III.1)

REMARQUE :

Au lieu de résoudre ce système d,équations pour trouver les

v, leurs les plus vraisemblables de p et de U , nous pouvons utiliser

une autre méthode qui consiste à partir directement de la fonction de

vraisemblance ou plutôt son logarithme S - f o a L (cf. 1.3.2) et

appi*.quer les techniques d'exploration directe exposées au paragraphe

III.1.2.

b) Estimation des biais et variances asymptotiques de p et y.

Nous avons, d'après (II.3.5.11) et (II.3.5.12) :

D Max, ! p ) _ ' t . t

P

T-ç < *. p,.» - s « «u

avec

tx>»-± Cs»PM - s ; Ptil )

< Ô ' f î ,^ -P M

P x ,

$.=-_!_ ( P P - i P P + P P ) i N Î )

^^(tt-ll+tt) P • P ou les i ' et ' i I'K. sont données par les expressions figurées

dans le tableau 11.6.

c) Estimations des biais et variances asymptotiques de v. Les expressions des

biais et variances asymptotiques de v s'obtiennent d'après les relations :

Nï = If

TABLEMII.6 : Fonctions P ; ^ , P; j *

Fonctions : R. , _ C r i « 1 ? l

C( , 3 « 1, t ) 1 J

Références à

l'annexe

Références i

l 'annexe

Expression de : P M i l

Expression de : r; j ^

p,„-iH~r-i (A5.2.4)

p.H.iiLo-r+i

• Y 1 ? /*l

(AS, 1.24)

(AS.1.26)

Expression de : K .

p.H.iiLo-r+i

• Y 1 ? /*l

Expression de : K .

p.H.iiLo-r+i

• Y 1 ? /*l

(A5.1.29)

P^ =tS4"_2? (A5.2.8) T > ^ /*•• / » / L

Expression de : r * , t

P ^ . V U ^ ' - i * (A5.1.33) i

k - ^ * ^ 1 ^ (A5.2.I1) ( i 5 . l . 3 S )

k - ^ * ^ 1 ^ IfAl" P*\ fi J

(AS.1.38)

Relat ion de dymétrie [

P - P Relat ions en t re l e s s y s ë t r i e s :

P - P (A5.2.12) •i,n = " . i l = '«•.« + —,

avec u«-

•Ai R^R.-t + ifB^ff) (Fonction gamma incomplète) avec

A = ^ ( H U ? x - l W t - | > ) . &.d +ff<H%- rm

Chap i t r e I I I

C A L C U L N U M E R I Q U E E T P R O G R A M M A T I O N

- 51 -

III - CALCUL NUMERIQUE ET PROGRAMMATION -

III. 1. ǧlçul_numériçiue :

Nous avons vu jusqu'ici que quelle que soit la méthode d'estimation

utilisée, les expressions obtenues sont soit du type transcendant, soit de

forme trop compliquée pour être calculées par des méthodes analytiques.

Par conséquent, il nous faudra faire appel à des méthodes numériques.

Les problèmes que nous avons rencontrés sont les suivants :

a) Recherche de zéro d'une fonction ou résolution de l'équation f(x) * 0

b) Minimisation ou maximisation d'une fonction

c) Calcul des intégrales du type est une fonction

transcendante, non définie au voisinage de la valeur nulle du paramè­

tre (X

III.1.1. Recherche de zéro d'une fonction.

Dans la méthode des moments, l'estimation de la valeur des para­

mètres p eCU nous a conduit en définitive â une seule équation

à une inconnue :

$ (jX) = 0 r ^ (cf. II.2.4.15)

avec U = + CjU)

Or» nous savons que si l'équation f(x) = 0 peut se mettre sous

la forme x = g(x), sa ou ses racines peuvent être déterminées avec

précision par des techniques itératives.

La procédure générale d'itération consiste à partir d'une estimation

initiale xt de la racine x 0 et de calculer ensuite les approxima­

tions successives x ?, x., ... x. - par la formule itérative ;

x i + , - g ( X i ) .

- 52 -

Il existe plusieurs méthodes de résolution de l'équation f(x) • 0

qui peuvent être groupées en deux classes :

a) celle dont la formule itérative ne nécessite que l'évaluation

de la fonction en un certain nombre de points : ce sont les

méthodes d'interpolation polynomiale;

b) celle dont la formule itérative exige l'évaluation de l'en­

semble de la fonction f(x) et de ses dérivées premieres f'(x)

(les méthodes qui utilisent les dérivées d'ordre supérieur

à f'(x) sont relativement peu communes en pratique) : ce

sont les méthodes du gradient.

Le tableau III. 1. nous donne un aperçu général sur un certain

nombre de méthodes itératives de résolution de l'équation f(x) - 0.

REMARQUE ï

Le problème de recherche de zéro de la fonction f(x) ou la

résolution de l'équation f(x) * 0 est équivalent au problème de

minimisation de la fonction [f(x)]2 et par conséquent il peut

être résolu par les techniques de l'optimisation exposées au

Interpretatùm ga'omcWfoiMt J« I iteration sc^ 4_ 4s ÇjOscO

TABLEAU III.1. Descripti

d'une Ton

Notations : " avantages

on sommaire

ccion ou de

de quelques méthodes de recherche de zéro

résolution de l'équation f(x) » 0.

** inconvénients racine de f(x)

Méthodes Principe Données

de départ Formule itérative

Interprétation

Géométrique Commentaires

Méthode de la

Corde

(ou régula falsi)

On cherche un intervalle

[TC L,X„] dans lequel f(x)

change de signe et on uti­

lise l'interpolation liné­

aire pour trouver les appro-

ximations successives de x

X L " X R

avec

f(x L)f(x R)

< 0

x L t U R J - x R f ( x L )

*M f(x R) - f(x L)

Si £(x L).f(x M) < 0 rem­

placer x R par x^j.

Si fOtj^.f(XJJ) > 0 rem­

placer XT. par X M .

; * Simple, con­

vergence sure

** Convergence

lente

*« deux données

de départ

Méthode de la

Corde

(ou régula falsi)

On cherche un intervalle

[TC L,X„] dans lequel f(x)

change de signe et on uti­

lise l'interpolation liné­

aire pour trouver les appro-

ximations successives de x

X L " X R

avec

f(x L)f(x R)

< 0

x L t U R J - x R f ( x L )

*M f(x R) - f(x L)

Si £(x L).f(x M) < 0 rem­

placer x R par x^j.

Si fOtj^.f(XJJ) > 0 rem­

placer XT. par X M .

* Simple, con­

vergence sure

** Convergence

lente

*« deux données

de départ

Méthode de

bissection

successive

On produit une séquence

d'intervalles I ,I,,I_..., o l l

chacun d'eux est égal à

la moitié de son prédéces­

seur et qui doit contenir

au moins 1 racine de f(x)

\ e t X R

avec

f(x L)f(x R)

< 0

X » = 2

* Simple, con­vergence sûre

» Précision bien

définie ** Convergence

lente *« deux données

de départ

Méthode de

Nawton-Raphson

f(x) approximée par une

tangente au point x.,

(développement \ inéaire

de Taylor de f(x))

X 0

f(x^

f (x.)

y Ji \ ,

* Convergence

quadratique

* une donnée

de départ

«*-. divergence passible

Méthode de

Nawton-Raphson

f(x) approximée par une

tangente au point x.,

(développement \ inéaire

de Taylor de f(x))

X 0

f(x^

f (x.)

/ X x *o X

* Convergence

quadratique

* une donnée

de départ

«*-. divergence passible

Méthode de

Bailey

f(x) approximée par une

parabole passant par le

point (xj,f(x.)) avec la

pente et la courbure éga­

les 3 celles de f(x)

(développement quadratique

de Taylor de f(x))

X

o

x. , = x.— i+d î

r f ( x i > -I

* Convergence cubique

• Une donnée de

départ

** divergence possible

•* plus de cal­cul par itéra­tion que Newton

Méthode de

Bailey

f(x) approximée par une

parabole passant par le

point (xj,f(x.)) avec la

pente et la courbure éga­

les 3 celles de f(x)

(développement quadratique

de Taylor de f(x))

X

o

fCx^f'Cx,)

* Convergence cubique

• Une donnée de

départ

** divergence possible

•* plus de cal­cul par itéra­tion que Newton

Méthode de

Bailey

f(x) approximée par une

parabole passant par le

point (xj,f(x.)) avec la

pente et la courbure éga­

les 3 celles de f(x)

(développement quadratique

de Taylor de f(x))

X

o

£ C V 2fVxi) J

* Convergence cubique

• Une donnée de

départ

** divergence possible

•* plus de cal­cul par itéra­tion que Newton

- 54 -

III .1.2. îigisg£i2S.2H.giB^P^-^igS-4l^ne„.£2S££i°S :

La méthode- d'estimation du paramètre 6 dont dépend la loi

de probabilité P(x.,&') par le maximum de vraisemblance consiste,

comme nous avons vu au paragraphe ( 11.3,1. ) à chercher les va­

leurs de ces paramètres qui maximisent le fonction de vraisemblance

I ( -X. §c*ï) o u d e B o n l°Ê a ri t n n i e S. • loa L_ (° u encore, ce qui

revient au même, celles qui minimisent la fonction _i_ ou - £ ). i_

Ce problème de recherche du maximum ou du minimum d'une

fonction peut être résolu par l'une des techniques de l'optimisa­

tion que nous allons exposer brièvement dans ce qui va suivre,

en nous limitant aux seules méthodes numériques et ceci pour les

raisons suivantes :

a) la forme transcendante et compliquée de la fonction I °u i-

( cf.1.3.2) ne se prête pas facilement aux techniques analytiques.

b) l'application des méthodes numériques nous permettra de

résoudre le problème par programme de calcul sur ordinateur. Ca

qui constitue un grand avantage.

Nous rappelons que, contrairement aux méthodes d'optimisation

analytiques qui peuvent définir tous les points correspondant aux

optima (maxima ou minima), les méthodes d'optimisation numériques

ne sont que des techniques de recherche locale et c'est là leur prin­

cipal inconvénient.

Toutes les méthodes numériques d'optimisation, à l'exception

des méthodes d'enumeration et des méthodes d'exploration au hasard,

ont en commum certains caractères. Ces méthodes itératives exigent

que l'on définisse un point initial x et que l'on progresse en en­

gendrant une suite de points x., i - 1, 2, ... n qui représentent

- 55 -

des améliorations successives de la solution approximative de sorte

que :

Il est commode d'étudier les techniques itératives à l'aide

de la relation :

x U l - oc. + h £d. (III.2.I.1)

où d. est un vecteur à n dimensions et h. une distance variable de 3. 1

déplacement sur son support, h. sera positif si le choix de d- est

bon. La recherche d'une direction convenable pour d. peut nécessiter

plusieurs calculs de la fonction f. Une fois d. choisi, f peut être

calculé en un ou plusieurs points le long de cette direction et l'on

déduit une valeur convenable pour h.. IR4.4J

Suivant leur nature» les techniques itératives peuvent se

classer en deux catégories :

a) les méthodes d'exploration»

b) les méthodes du gradient

- Méthode^d^exgloration^direçte :

Les méthodes d'exploration directe ne nécessitent pas l'évalua­

tion de dérivées partielles de la fonction mais reposent uniquement

sur les valeurs de la fonction-objectif, auxquelles s'ajoute l'infor­

mation acquise au cours des itérations antérieures.

- Mgthode_du_gradient :

Ces méthodes font appel aux dérivées partielles de la fonction

objectif f par rapport aux variables indépendantes, aussi bien qu'aux

valeurs de la fonction elle-même et â l'information acquise au cours

des itérations antérieures pour choisir le vecteur d. dans la relation

(III.2.1.1).

- 56 -

La description sommaire des différentes méthodes numériques

d'optimisation est donnée par les tableaux III.3. et III.4.

Le tableau III.2 présente 1*organisation générale de l'optimi­

sation numérique. [cf.R4.;f]

Commentaire :

D'après les essais numériques du Fletcher & Reeves et-Box, les

méthodes du gradient semblent converger plus rapidement que les mé­

thodes d'exploration directe pourvu que le nombre d'easais exigés

pour déterminer le gradient en un point ne soit pas trop excessif.

En particulier, les méthodes à convergence quadratique sont des

bonnes méthodes d'optimisation. Cependant la meilleure méthode aérait

celle de Davidon. [cf.R4.5l

- 57 -

TABLEAU I I I . 2 . ORGANISATION GENERALE DE L'OPTIMISATION NUMERIQUE

M o d s u de ta boitt hofre.

1 " données CxbaWmgileife* «e chofx J «'crieWe

£u»?w<xlion =ic ta. fonolfcn £ ,vcUu«t ior \ oit» o l e r i o e ' M

4 ' E-x|aPora.hon d*r*ofe.

J_

*\iec c o n t r a i n t e mWeOnla

Tvoiller eoi^mt -sani eontvoinii

*V e W r o f t r les [imite» ^

T»*i>niPormev °«* f o n e V t o n . o b j e d i

o u ?c9 va,YiaA>\t£ aï brail*:-

c o m m e s a n s c o n t r a i n t e

\ g r a d i e n t s

VoïuuijMt's

T W « e W a n _ j W e . P^a fixa

M.étfto4«» g ' oiec^rt'rciifron

en d i rec t ion

v M.'iW* «,J

eWli*

Liriïarrïalion foc^Bv

SM I t ' >Ufiod. cil ' 1

monle't, f* bfu* |

exe.^ \

gtwn^ralio

I ' I I I I

ÏZpartfy

I I

Propret mnmhon Rnta(« 1

* * * -r c o n v e r g e n c e

I l Optimwm \o«o»f y

TABLEAU I I I . 3 . DIFFERENTES METHODES D'EXPLORATION DIRECTE

M é t K o d c s a e n u m e r a t i o n

R e c h e r c h e d o I c m p t a c c m e n b a b b r o x l m a l i P

d u m i n i m u m ( x , , = t t ) . " i t n ) s u p b o s c

S i t u a ' « P inte 'neur C|Œ t" i r é g i o n d é f i n i e b a n

< où . * i e t d ; s o n t c o n n u e ")

- a n c o t l c u t a n t les tfttP*w*s d u Pc* fonct ion,

a u x n o e u d s d * « n r a ' s a o ï u a f f o l a n t c e t t e

ra'gloo J r f f îma b«*r Ci > . L a pfws f » t î f e v a r e u r

t r o u v é e « s i c o n s t d e ' r e œ c o m m e Pc m i n i m e " )

e n t t r c & e ' .

M d t f i o q o s w i l l i s e i n t u n « n s e m b r e d e

v e c t e u r * p o u r de f tn l r * (es d i r û c t l o n s d o n s

Pesat4*fPes Se p o u r s u i t P ' e x f e P o r o h o n .

( r c U t . e i s e Ç Q iV d « n s c e s d i r e c t i o n * « I " i c i

do'mturcVio s u i v i e doms [a. m e n a r e n e e s t

d e ' t a r m i n e é e n f o n c W o n d e » r a ' s u P t q t *

o b t e n u e .

-'-i^^P L a voPcar d * f a jonetfon ast

coifcuf(?4 « n dec jo in ts cftonis

a w ftascti-d à V inlaViow d o f «

n rg fo i ) dd j fn fa f a r <1 ) . C o *

bo<nt? Sont choisis a n prenant

f) n o m b r e s <*M n w a r o l b i ,

Pi. , • • • fcn "^cve 's dans d w

tobPet axtsYontes ow e n g s r e W *

b a r Un o r d i n a t e u r .

M « t t i o i t {©tfanV o^x i l à une ftwlte «Portiers bosit(Ç« j ft» n a f r t » r « ola S" ïbanocc i «U'Joiij

HéHioda d« H o o k « , 3aava«__

C e s m c ' l S o d f f s o b è r e n t a n

c o n s i d é r a n t Pes vapeur» b n s w |

b a r & f o n c t i o n - ob j«c t f£ a u x

s o m m a i s d ' u n e f i g u r e

q e o f T i a t f i Q u e s f t u a a d a n s

P ' t t i b o i t Πd e s v a W a b f e s

i n d é p e n d a n t » .

. O n w f w f t f«> v a f i M t l jpt-ffes

b a r t f tCaftdton-oiLtehf «n f l 4 1 fsoid* muVwatfonffiV «^vtfdûUnfr de»»* 1 a ) m « « çU# n v a r t * U f c j inaVt>*ndanV«« C 5wn«i«r« <Pun

Mtlnade d M Î t ï h j p t u ^ l * fefdinrlftacl

Vart ion PQ pf*tj efôeionte d « t o u f a t f i * i * d i n i q u « j • t f q u t n h i f f t t . çffV « t f u t è

abtfrat ionj d c feaj» .

- t*ban««n

Aca^feVatrof) «n distance

. Exb iora 'non focaPt

dons Pai d i rec t ions

barokffttis aux axos

d e * coordonna c * au<

botntf t i t MA'S À una

distança donnae O

J n boint d<* base .

Acceleration i n êWanct | ol" «n dfrqcV(on)

- fa i t abbcl â un. $yst«nc

d e n vecteurs Mm'tainu

<J« dlradton. ' 'nuhwnV t -

a r f t o g s n a T t i . 2 lk

rassainbEc <S Pu flltt*)«4*

de P «n J« 1 v«dw- yr«_ , dans f t ! «IfrorHonjqtonJoU

A«e^ftVat ion «n diroeth»)

_ b a j « i su r it coneo|»i-

d« lorw<jrg«nea cfMQamilivuB

bowr drft«rm>'nOr Mntginlt i

d« directions mn^wefptnioii

conjwsuccs

.OnnlrRiM, un cn»mbfe d * H d iwc tewdf l v»dour» uniValras mulHtfTtmant o<4f|o3onciMx . tore^u'mie OX^Porahon fmtfcifra ci B W accombf io f< POTI> J o efteacuna daa olfraciToi»|

jal» rac.Çl«rehe jP'dtwba , corracbondanht 4f^ tnrorinv^ ^t on ôwcrmlncE d a t t o u t t n u sHbVortt b m r n i d i radnnfdu

TABLEAU I I I . 4 . D i f f é r e n t e s méthodes du g r a d i e n t .

M C T M Q D C S D U G R A D I C N T uttfisant fis ddrivaâj partwff«s da Pa£oncWuoÇj«clfP bow> cfoistr P<* dtraeWon exploratoire « i :

Mel^odeS^de l^ s_^»^<z bœn^c_cl«scanojcin^

.On ddtamina Pt vatfeur si-oidianV normalisa au bolnt courant: ,

di

[ÎOOT <z\ , en -f or s «ni ii3agtt d'une Congwcuf da-

doVarmma n; on obtient un nou^^au boint en oibbjian«nt <<* broea'dunz 3cfnffrotle d'i'WrctHon CO • On «-«fits cerfe. dofmqr-cfie avoc une fonceur d« bas constant J u s c ^ â c<t q u ' u n i irdmfron SMbprtfmonVatm nœ bormofra bfrts d'oWantr wne nowvafPe riol^clïon da i « Jonc^on. On dimtnwe Qiors- (e f»e(S ol- on myronA ?a b»-ocdolMMz oï b<*rhr o|n wiaili*ui- |?olHr obtenu *

Ma'tfiode de

Mdtf iod* clc New/l'on .

M^tt'lod*. boisœc sur le daVaPabbtfmanV de Iqy fo r j w s q M 1 d u s*ootioi at-dm [*>«*• Pc, fonchon-obJŒctïf j C ^ * , . . . * : „ ) Jïrtra oi« vofstnaga dw m i n i m e

= P c x * ) - ' * " tM'ibii&^y, +i « D C i - g-

maMta d'aie'mcnVc

vccVaur gradlanV cQicuit.' <*v

i=<

^"-"Hp,**

Doivtdon

-fermwPc <U bam d* ?'rt^rahon. ; " ^ i + i = ^ j - ^ H " ^ ig.,' • j= vadewv gradient COiïeuPe' AW bolnt •sci i j ; = { - ^bbf axfm oiban «lai* tnaW-fcc (nvo»"Sa d i * drfnv«<* sacowdaj Ç|» » b*J « toonrcoM.fr vai-s ?t minimum d°tny Vo, dfr£>G>l*r> a<yïoroVon^c

r 0 0

Intégrales I n , e t ' [togï] Aï III. 1.3. Calcul des Intëgralesip, e t1 [lo%l] Al avec n-1, 2 et 3

Lee intégrales I interviennent dans le calcul des expres­

sions des biais et variances asymptotiques (cf. Tableaux II.3

et II.4).

Nous avons constaté qu'une petite erreur sur la valeur de

ces intégrales suffit à fausser complètement les résultats. Par

conséquent, il est nécessaire d'évaluer ces intégrales avec préci­

sion. Pour ce faire, nous avons comparé différentes méthodes d'inté­

gration numérique en prenant comme intégrale test l'intégrale

j _ G' t r iofï dt dont l'intégrant est identique à l'in­

tégrant de I.. La valeur de l'intégrale J peut être connue avec

précision â partir des tables [R 4.8].

En effet, noue avons :

n-p)= f e l t r 1 di

:>ù

J _ Ci tr 1 p 0 ?t dt = rff).4r|,>

fi [R4.8 ]

(fonction Gamma)

(fonction Digamma)

Pour P - •=• par exemple, nous avons d'après les tables de DAVIS

r * S^ 4> " -1.96351

Jcp.i) ' I~(i.1 Y ( i) - - 3.A8023 It. a 1

- 6) -

^ thodes^^in^égra tion_u t n i s e e s .

Nous ut i l isons les méthodes d' intégration numérique suivantes :

- Méthode de Simpson

- Méthode de Gauss-Lobatto

- Méthode de Gauss-Legendre

- Méthode de Gauss-Laguerre.

Le tableau III.5 résume l'ensemble de ces différentes méthodes

avec leur principe et les formules d'intégration correspondantes.

Conditions de calcul.

Les calculs se font avec les deux formes équivalentes de

l'intégrale test :

a) sans changement de variable ;

j „ (V if'1 e»jt «it Jo

b) avec changement de variable t = A. I

* f -1

avec

fi L'examen des résultats numériques obtenus dans le tableau III.6

nous permet de tirer les conclusions suivantes *

a) la deuxième forme de l'intégrale test

J = - I G * kg-"- JU J 0 **f est la meilleure.

- 62 -

b) Les trois méthodes d'intégration numérique : Simpson,

Gauss-Lobattc et Gauss-Legendre donnent des résultats sensiblement

égaux pour l'intégrale J considérée. _

Par conséquent, dans la suite de nos calculs„ nous rempla­

cerons les intégrales I par leurs équivalentes I définies par :

In - C - l f [ e U [ E o g M j du

en utilisant l'une des 3 méthodes indiquées précédemment.

III.2. P£og§5™Jiti,on :

Tous les calculs numériques ainsi que la simulation ont été effectués

par programmes en langage FORTRAN IV sur l'ordinateur IBM. 360-91.

Les organigrammes correspondants sont représentés par les figures

III.1, III.2 et III.3.

TABLEAU III.5. DESCRIPTION SOMMAIRE DE QUELQUES METHODES D'INTEGRATION NUMERIQUE.

Méthodes

d ' i n t é g r a t i o n Pr incipe Formule d ' i n t é g r a t i o n Référence

Méthode de

Simpson

à 3 points

Approximation an f(x) par un polynôme

P„(x) du 2ème dnpré dans chaque sous-

i n t e r v a l l e ( x 2 i , > : _ . + 2 ) ( i - 0 , 1 , 2 ) ,

h = Pas = x . , - x .

N *> nombre e n t i e r pa i r

[R4.2]

Méthode de

Gauss-Lobatto

fLo«U = -î [feo+f-oj

+ Î I W j ! C , C j ' + E :

x. =» ( j -1) iëme zéro de P ' n - l ( x )

P (x) = polynôme de Legendre

[R4.7]

Méthode de

Gauss-Lobatto

fLo«U = -î [feo+f-oj

+ Î I W j ! C , C j ' + E :

x. =» ( j -1) iëme zéro de P ' n - l ( x )

P (x) = polynôme de Legendre

[R4.7]

Méthode de

Gauss-Legendre

Détermination d 'un ensemble de constan­

tes A. t e l l e s que l ' e r r e u r

quand f + (x ) es t un polynôme de degré

maximum 2n+l

L ' i n t e r v a l l e | a , b | e s t ramené à J 0 , l |

° =o

x . * zéros des polynômes de Legendre

[R4.7]

Méthode de

Gauss-Laguerre

x k ° zeros des polynômes de Laguerre

L.£SC) = C-O ^ " + . • .

[R4. 6j

TABLEAU 111.6 . COMPARAISON ENTRE LES DIFFERENTES METHODES D'INTEGRATION NUMERIQUE POUR LE CALCUL DES INTEGRALES I .

Intégrale test :

Notations utilisées : a - borne inférieure de l'intégrale Pre

J- j l l jp i dt -rciWci) b =• borne supérieure de l'intégrale

Précision demandée

Méthodes

d'Intégration

Valeur de l'Intégrale Données

Valeur de l'Intégrale équivaLepte Données

Méthode de Simpson

â 3 points

0.0 * La précision demandée n'a pas été atteinte

a = 10"9

b - 100 Pre - 1 * Pas - O.I

- 3.47880

a - 0.005 b - 10 9

Pre - 0.01 Pas - 0.1

Méthode de

Gauss-Lobatto

- 3.79299

a - 10"9

b - 100 Pre - 1 • Pas - 0.1

- 3.47879

a - 0.005 b - 10 9

Pre - 0;0I Pas - 0.1

Méthode de

Gauss-Legendre - 3.38520

a - 10-9

b - 100 Pre » 0.01 * Pas - 0.1

- 3.47879

a - 0.005 b - 10 9

Pre - 0.01 Pas - 0.1

Méthode de

Gauss-Laguerre - 2.24143

* C'est la précision maximale obtenue avec cette forme de l'intégrale J.

Tableau III.7 - Comparaison entre la méthode de Newton-Raphson et la méthode d'exploration directe utilisées pour résoudre l'équation des moments <KM)= 0*

Méthodes de

Résolution

Hr Paramètre \> ° 2p

Estimation

Paramètre \i

Estimation Biais

Nombre

d'itérations

Méthode de

Newton-Raphson 0.044728 0.066379 I.040899 0.148770

Méthode d'explora­

tion directe 0.007027

Méthode de Newton-Raphson : - Recherche de zéro de la fonction. <f>(y)

Méthode d'exploration directe: - Recherche du minimum de la fonction L^(u)']2

-F- P a.ec *(v) = mi - u (l + ffj^flj) (Cf. II.2.4.15)

Simula t ion avec N = 300 e t a = 0.050 miu

^ • L ' e s t i m a t i o n de v e s t d é d u i t e de c e l l e de \i d ' a p r è s l a r e l a t i o n : ni2-miM-a(n»i~u)

* tOXAU f l«I 'F_«î 1 PROGRAMME PRINCIPAL

- 67 -

ORGANIGRAMME DU SOUS-PROGRAMME D'ESTIMATION PAR LA METHODE

DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

E s t i m a t i o n «e» b a i a m i T u » v ef M

* Donnais tsCÎtnoitton «asl

ba.Wimâ'KttS bar L__ roofierclia SIM

CofcuMcs

fonction Qqoin1« Incombftte * J *

t <5afcwP d «

lfî,.E^I

i

i

i

Soua - progroimmca

S.P &MMD1

C a f c u f do» var iab les aHsu'KcKrai! <tf / S , . . .

Cafwf d,. montant &^n<nt«|

CaPcvi? d<« Sanat ions 9C

tnt<fgrc*&£ .

GaFeuf des t r ^ s eV vcirtqnees

bsyrnbtohqwts de V al" de J* .

RacKorcFio. <Ju , minimum d* vw& fonction p a r

d' c.Kbf«r^ho»>

S . P - D O D G A 1

Xn^a'drctWon nMm*rfoj*(* b q r

iMdtfiod* dj, (StaMfts-Le gentil

ORGANIGRAMME DU SOUS-PROGRAMME D'ESTIMATION PAR LA METHODE DES MOMENTS

/ D o n n é e s

d e c U b o r t .

Resolut ion d e EVc^Mahon d e s m o m e n t a

I

« 1 I ; N e w t o n - R a p h a o n

DMK)£I

U g g o j * K « ' " l p < J « d ' u c ^ f o u j l o n , E x p l o r a t i o n d i r e c t e

D M M D 3

" • / * ' ' inJêHn'M^1

ecfcJ boir ra

tnan*<mti S d< ftttt • t , _

QoiFeuPdts fonctions X " ,

* \ V, V,

<3oiP«*iP oUo OU > MV«'M O(L*

fbnoirons X* ,X

4*, *•....

So-effveltnfe.

E-f/K ^fif

ajumbtofa aux? d» V «* dl « Relurrj

-CND1

S i m p s o n

DQDS31

F i g . I I I . 3

Chapitre IV

S I M U L A T I O N

- 69 -

IV. SIMULATION

IV. 1. Test_des_p_rpgrainmes_.

Les formules des biais et variances précédentes ont été

établies pour les grandes valeurs de n<

Pour vérifier l'exactitude et le domaine de validité de

ces formules et pour tester les programmes d'estimation, nous

utilisons les méthodes de Monte Carlo. Le procédé consiste à

réaliser les N-échantillons régis par la loi en )C2 de paramètres

p et u connus, à tronquer ensuite ces N-tichantillons, â estimer

les valeurs de ces paramètres, à calculer les biais et variances

empiriques de ces estimations et enfin a les comparer avec les

résultats théoriques.

Las résultats sont présentés dans les figures IV.I, IV,2,....

IV.g., où nous avons porté en abscisses, soit la taille N de

l'échantillon, soit le seuil I* .

L'examen de ces figures nous montre que :

1° - les expressions des biais et variances asymptotiques

s'appliquent à partir de N = 100,

2° - a) le biais de v est toujours positif. Il est constant

pour les très faibles valeurs du seuil rs(<IO"5)

puis augmente avec Ts et enfin devient très grand

lorsque T a dépasse la valeur 1- Ce qui montre qu'on

a intérêt à se limiter aux faibles valeurs du seuil.

b) le biais de <T> peut être négatif ou positif suivant

la valeur du seuil T3. 11 en résulte donc qu'il est

est possible de l'annuler en choisissant convenablement

la valeur de Ts.

- 70 -

3° - Var g (Méth. Max. Vrais.) < Var e(Méth. Moments)

(où 9 désigne indifféremment y ou <T>)

Autrement dit l'estimateur par le maximum de

vraisemblance est plus efficace que l'estimateur

moments.

IV. 2. Cour_be _théariçiues_.

Les courbes théoriques N.Var(v) , N.Varfr$ ,N.Biais(y),

N.Eiais(<I^ en fonction du seuil r pour différentes valeurs

de v C <r> étant fixé et égal à 1 ) sont représentées par

les figures IV.1 , IV.2 , IV.3 ,et IV.4

METHODE DU M A X I M U M DE V R A I S E M B L A N C E

courbes théoriques

N.var V = f ( Q )

et N . v a r [ ^ = f ( Q )

pour d i f f é r e n t e s valeurs de V

\V i:; - - ; • ... .. ........... —

A : : : : i :

! ; • ! ! ! : ; : • : ! • :

. . : . : • . . • . ; ;

3 2

1000

ï r - : poiir: < : ! t

i ™ J : : i : - ; : : :~ i . : :

-ftèï ' : : ] T • • - - • -

.. • U . -:. - • - I : - ' . , . - • : . ::- J/ïM ._:::.: ... „J : . r-

• ' -TR 1" "HT ...,.,, — ~": —----: f/j S> l l .

5— - i - -• ' -TR 1" "HT :///:^±: 5— - i - -100

• ' -TR 1" "HT :: i " . ; W> v-f 5— - i - -

; i ; .::: ~\:l:v.^ ~-r.V:~ :•:: •^A v. / , . • • ! : , = -:-: J 3 ?

10

i :

• -TV] " •

' j ~ :_.:r:.j!;r

ys. S -~~ •- —---.? .^II

: i < i i - H c 1i! i : ! .... i S - . . : s r .: i... S

" - • r r r r i ~? •^£#-~ = = ? --

;. J : : • : ---i-i-U-j r .: i... S

" - • r r r r i ~? --

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._. .... 1 ' " >""~

" - • r r r r i ~?

! : : i

--;. J

: : • :

._. .... ' '—' r~-;-i: .===*= •--- : ^ r r ^ : : :

_ i - i . „

':.-?:::: ~ ; r ; ; : — • 4 - H r - : - : : i : :z • - ; r d - -':.-?:::: ~ ; r ; ; : — • 4 - H r - : - : : i : :z . . - , - * , , 0.1

• - ' ; - : : :

| M

r - : - : : i : :z : ' . . j - , - * , ,

i o _ 5 : i i 6 - 4 3 i o _ 3 3 i o - 2 3 51b"13 5 i 3 J I O

Flg IV1. r. N va u£-i f '"] :T

.... ---:-"- : : : : : • : . .::::::; ;" .. . :.;... "Tri"

- • : - •

-r.A,y pour '—* b-T>- , : ; ; • - .-Lï.i ._.::!.. 3

1000

-r.A,y -

pour '—* H ^ — - • • 4

• • - . • ; • — . . .... — - r - r ;

..:.::.::"r

i ; : : : i i : : • : : : i : • • ! : ! --il? t o 5 ! : !

3

100

:.:.::::::::: T T "T!ï

. .... ;::::ZE: ......:. -11:::.::: .: .

5-;-r-" - -: ' :

: ; : . .: ! : ; : : .. • i : / iH * " ' ::! 3

10

• ••

, r r . ....,. M'-"

.'y/

# fq±;

: """ ~ * y ~ _ j - - ^ i . ; : ..:--: ~-- > T J J : ~ —:jr\/i r.: r-htr:: , - r r i , " ::--:-

3 - - - - - -,-r:4~-~-

#V:

— .._... 1 = 1 = =±= L...,:.J.H #V:

— .._...

3 J 1 Flg IV 2

MO r,

METHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE courbes théoriques

N.biais i?= f ( f ^ )

pour dif férentes valeurs de V

1000

100

10

0.1

T];Î :-: ::J-- rii: • i - ^ Ê ; ^ ; V :^m -F: F=£i: Tri]-;; • :]r -— - - i ' 7 - - - - r - - • . T T - —77 ~ *- j rrr -f-4-rh-r r -.-•• —f-h „ - r r --T |

.... . j - i - - • - I I " "CI ..; • •

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0 _ S i »K j - 4 3 -1C , - 3 3

F r4

ig

• 3

IV, 1C

3 >_i 3 1 3 1 1 0 3

T n 2 j :

METHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE courbes théoriques

N. biais £ = f( (7)

pour di f férentes valeurs de y

: 'î

-i

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-i

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J - R 7

M.

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10 3

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* ~ V --— ; .... - • • _ i - i _ rS ....:: 10"' • *

F * ~

.::! : : •:;: .. ; i::: . .j.+T •:•; • : : : i : : • • .-.; i

Œ'j Ui; '. :!:: ::.L- : r • • : : ^ ûii:î : i • J. :::; ••; ;; ;H :::: :;:; ; i :

, T V ~r.~r~ --rrrr — ^r1 - n . _ „ - — i — . . . . ! I.I r-.r. - T ^ - -

10 J

$ 01 . ";: . .. ., ... . . .:.. ... . [ . j . • 1 • j - --10 J

$ 01 : 2 . Hl!l !!!! . : • ; : ; • ! ! i ! : :l :|( !i!i .:::|!l:i m :;::!J! --

== î=— : S -^pF- == —t-f- ~ ""'H-j 3= i i u

" :_E Tjr: — ~ -rr-rrrr • : : • [ . ' . TH: —-h-* : — n r -rft -TTTT-pj ? m ' . • • i ; ' • ; X- 'ill .... ...; . . .... • ' V J*" ? m 10"' il. :;:: y.:: •' . • : ; : . : ! « < -HI- .:::. M; i j ; | E :;..;. : j •

10"^ '10" 4 ' 10 - 3 3 5 10 _ : i 3 dO"1 3 s 1 ~^T Fig IV4

Courbes N.Var V = f I N ) N.Var -? —: : A pour différentes valeurs du seuil Ç : j '

\? 20. too 300 1000 Fig IV5

Notations I K i Méthode de» Moments (courbes en — } MV = Méthode du Maximum de Vraisemblance

(courbes en _ _ _ )

Courbes N.Var Q = f CN ) pour différentes valeurs du seuil f"

_l_LLl 1 _ 1 I I I I I I I 10 100 (1000

FiglV6 Notations

MM = Méthode des Moments (courbes en _ 1 M V = Méthode du Maximum de Vraisemblance

(courbes en - — )

- 76 -

IV 3. Effets_ex2érimentaux^

L'existence des effets expérimentaux a déjà été mentionnée

dans l'introduction. Nous allons considérer maintenant quelques

exemples pour en montrer l'importance.

1. Influence des erreurs aléatoires sur 1

Chaque valeur de loi est déterminée avec une certaine erreur

que nous allons supposer, dans ce paragraphe, aléatoire. La conséquence

d'une telle erreur sera faible lorsque v est petit. On peut illustrer

cela par un raisonnement sur la variance : si l'erreur est, par

exemple, de 5 Z, la variance de la distribution sera augmentée

de 2,5 10 - 3 et deviendra 1,0025 pour v - ]. C'est-à-dire que v

apparent sera diminué de 2,5 °/oo.

Le tableau IV.1 représente la variation de v obtenue en ap­

pliquant les deux méthodes d'estimation (méthode du maximum de

vraisemblance et méthode des moments) pour une population de 300

résonances.

TABLEAU IV.1. Influence sur v d'une erreur aléatoire

sur r a pour 300 valeurs de T a

Cas considéré o.oopoi

S e 0.02

u i 1 0.1 0.5

Sans erreur aléatoire

« 0.99419

1.24222

• 1.04042

1.40573

> 1.24864

1:66491

• 1.55776

2.56580

Avec erreur aléatoire

* 0.97067 1.18457

* 0.99322 1.32456

* 1-18389 1.55677

* 1-2280& 2.18127

Notations : - Chiffres précédés d'une astërique • ; résultats trouvés par la méthode du maximum de vraisemblance.

- Chiffres sans astërique : résultats trouvés par la méthode des moments.

- 77 -

L'effet de cette erreur est donc faible, mais il tend à

diminuer v

exp

2- Influence d'une erreur systématique

Une telle erreur peut se manifester de diverses façons; nous

ne considérons ici que le cas où une moitié des valeurs est surestimée

de 20 "•

TABLEAU IV.2. Influence d'une erreur systématique de 2C %

sur T pour une population de 300 valeurs 1e T

Cas

considère 0.0000I

S e u

0.02

L 1

0.1 0.5

Sans erreur

aléatoire

« 0.99419

I.2A222

• 1.04042

l.40573

• 1.24864

1.66491

• 1.55776

2.56580

Avec erreur

aléatoire

« 0.98896

l.24359

• l.03696

!.40831

• 1.29765

1.69867

» 1.47611

2.46538

Nous remarquons que la diminution de la valeur de v est moin-s-

sensible que dans le cas précédent.

2 . Mélange de populations n'ayant pas exactement la même

valeur moyenne de Tn.

L'étude du mélange de 2 populations ayant à peu près la même

valeur moyenne de CLC. est très fréquente en pratique : il correspond

au cas du noyau de spin non nul qui, par interaction avec des neutrons s

{S. * 0) donne deux états de spin du noyau composé.

- 78 -

Les fonctions densité de ces deux états peuvent être légèrement

différentes, sans parler des effets dûs â des états portes pour la voie

d'entrée. Il en résulte que < a\ n > sera différente pour les deux

populations. En fait les conséquences de cet effet, d'origine nu­

cléaire , seront exactement les mêmes que celles de l'effet expéri­

mental considéré en 2, et se cumuleront éventuellement. L'ordre de

grandeur considéré précédemment - 20 Z - est plausible pour une va­

riation locale de la fonction densité.

3. Influence d'une erreur systématique fonction de V — . . •-• — • .i . i • — — a

Il arrive assez fréquemment que les grandes ou les petites

valeurs de r a seront systématiquement surestimées ou sousestimées.

Nous ^étudierons pas cet effet qui peut jouer dans un sens ou dans

un autre. Par exemple» une surestimation des grandes valeurs de T

conduira à une surestimation de la variance, et donc à un v plus

petit - alors qu à l'inverse une sous estination des grandes valeurs

de r donnera un v plus grand.

4. Conséquence d'une renormalisation du mélange de plusieurs

populations.

Certains auteurs, en particulier Garrisson |RJ,4J, ont étudié

des mélanges de plusieurs populations qu'ils ont normalisé à la même

valeur moyenne. Ce faisant ils ont réduit la variance du mélange, et

donc augmenté v apparent.

Nous illustrons cet effet en traitant 600 valeurs de T , tirées a

au hasard ( I"]* - 1 ), et en renormalisant à f _1 l'ensemble du jeu

( n'est pas affecté par cette normalisation) puis 2 jeux (de 300 va­

leurs chacun) puis 5, puis 20.

- 79 -

TABLEAU IV.3. Effet sur v dû à la normalisation de

populations différentes.

0.00001

S e u

0.02

i 1

0.1 0.5

1 groupe de 600 valeurs > 1.00432 1.08665

« 1.03120 1.14304

« 1.15744 1.23467

• 1.11515 1.34437

2 groupes de 300 valeurs « 1.00624 1.11059

> 1.03605 1.17990

• 1.20544 1.31179

• 0.90155 1.33012

" groupes de 120 valeurs • 1.01248 1.14001

< 1.07056 1.23046

« 1.31436 1.41337

* 1.01392 1.42689

20 groupes de 30 valeurs « 1.02491 1.17691

> 1.08261 1.27632

« 1.31824 1.46381

« 0.97307 1.43311

Remarque : Chaque ensemble de groupe comporte les mêmes 600 valeurs

de r Q mais renormalisées à 1 pour chaque groupe.

C h a p i t r e V

A P P L I C A T I O N A U X N O Y A U X R E E L S

- 80 -

v* e£ELICATION_AUX_NOYAyX_REELS.

V.I Choix des noyaux test.

D'une façon générale, les théories statistiques de la distribution

des espacements de niveaux ou des largeurs partielles réduites de

neutron T supposent :

a) - que la population des niveaux considérés est simple c'est-à-

dire que ces niveaux ont tous le même moment angulaire total

J et la même parité ir pour un même isotope Z de même nombre

de masse A. Autrement dit il n'y a pas de mélange de popula­

tions.

b) - qu'il n'y a pas de structure intermédiaire dans l'intervalle

d'énergie considéré .

Il en résulte donc que les noyaux de A impair ne sont pas des

noyaux convenables pour fervir de test sur les distributions considé­

rées. Les raisons sont les suivantes :

a) - Ces noyaux ont deux populations s indépendantes et mélangées

aléatoirement avec J = I + 1/2 ( où I désigne le spin du noyau

cible ).

b) - L'espacement moyen des niveaux tend â devenir trop petit.

Par conséquent pour tester correctement ces distributions, il est

important de choisir les noyaux test de A pair et tels que le nombre

de niveaux correspondant à une seule population soit aussi grand que

possible et qu'il n'existe pas d'erreurs dans les données expérimentales.

En se basant sur ces considérations, nous choisissons le Thorium 232

et l'Uranium 238, les deux noyaux pair-pair ( J-0 ) habituellement

utilisés pour tester les distributions statistiques déjà mentionnées

précédemment>

Le Tableau V.f. donne les résultats obtenus avec ces noyaux test

pour différentes valeurs du seuil Ts.

V. I. I. Histogramces^ expérimentaux

Les histogrammes représentés par les figures V.l, V.2,

V»3 et V.4 sont tracés d'après les données expérimentales des largeurs

neutroniques réduites V^ des références [R5.2], Q u . 5 ] , L?5.3] et

[R3.r] ou nous avons porté en abscisées /P~ et en ordonnées l'effectif

n des populations considérées.

s" "•u

! 2

000

2

J

i i i « i i i i i i - i—i . .1 1 1 . < 1 1

cb.

Fig V1

N. s»rn

-

-

1 1 L .. 1 1-1 1 1 1 1 1 1 l i i . 1 y i VTF <£. 0.04 0.06

p|gV2 0.08 0.1

- *"u

-

- x l

. I l l 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 • 1 1 I 1 •Jn 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.1Z 0.11

Fig V3

~* ^ ^ * " T h

-

.

1 1 1 1 1 1 I I I 1 1 1 i i i 1 i i

do. 0.02 0.0<i 0.06 0.08 0.1 Fig V4

y/ri

V.2 RESULTATS

Tableau V.l. Résultats obtenus avec les noyaux ?- 3 8U et 2 3 2 T h par la méthode du maximum de vraisemblance (les chifres entre parenthèses représentent las valeurs du biaie de v ou de *r°> )

Seuil Ta

Nombre de r° p Valeur estimée

n Valeur eatimëe de V Noyaux Seuil Ta

(donné) m Ne

(calculé)

Valeur estimée

n Valeur eatimëe de V

2 « T h 0.000O9 331 147 189 0.00139(-1.0310" 5 ) 0.912 ± 0.243 ( I . 5 5 I O - 2 )

15' -5] 0.000096 144 180 0.00146(-9.5710" 6 ) 1.00859 t 0.255(1.6410~ 2)

O.0001 141 170 0.00154(-8.6IO~ 6) 1.13 ± 0.267 (1.7410~ 2)

0.0001 282 188 237 0.00129(-6.7910 _ G ) 1.047 ± 0.238 ( l .3610~ 2 )

[R5.Q 0.00009 189 230 O.OOI32(-5.8IIO~ 6) 1.113 ± 0.233 (1.3110" 2 )

0.000098 189 239 O.0OI27(-6.821O~ e) 1.02 ± 0.235 (1 .3310 - 2 )

238U :

0.0001 213 139 177 0 .00171( - I . 29 I0 - 5 ) 0.8968 ± 0.241 (1.5710" 2 )

C M . 23 0.0002 12! 154 0 .00 !96 ( - I . 7 I10 _ ; 0 1.139 ± 0.334 (2 .41 lo" 2 )

0.00025 116 151 0.002(-2 .10" s ) 1.187 ± 0.372 (2,79I0~ 2 )

0.0001 320 188 244 0.00193(-I .1410" 5 ) 0.822 ± 0.195 (1 .0810 - 2 )

E5.3] 0.0002 168 228 0.00206C-1.6710 - 5 ) 0.927 ± 0.259 (1 .58I0" 2 )

0.00025 158 203 0.0023(-1.6110" 5 ) 1.139 ± 0.299 ( I . J I O " 2 )

V.3. Interprétation

L'examen des résultats obtenus nous montre que les valeurs

trouvées de v sont compatibles avec 1 c'est à dire que les largeurs neu-

troniques réduites sont bien distribuées suivant la loi en x 2 à un degrë

de liberté de Porter et Thomas.

L

- 86 -

VT, CQSCLgSîOS -

Dans cette étude, nous avons utilisé deux méthodes statistiques

pour estimer le paramètre Q -<p, M ) de la loi en x tronquée : - la

méthode du maximum de vraisemblance et la méthode des moments - et

nous avons examiné les différents problêmes posés par cette estima­

tion. Les difficultés que nous avons rencontrées sont dues surtout â

la forme compliquée de la loi considérée. Ce qui nous a conduit à

appliquer différentes techniques de l'analysé numérique.

En ce qui concerne l'estimation du paramètre 9» l'examen des ré­

sultats obtenus nous a montré la supériorité de la méthode du maximum

de vraisemblance. Eafin cette étude nous a conduit a mettre en Évidence

trois types d'effets qui ont été négliges jttsqu*S présent :

- a) les erreurs expérimentales systématiques ou celles commises en

négligeant Cm melange de plusieurs populations, qui diminuent v

apparent ;

- b) l'erreur commise en analysant, après renormalisation, un mélange

de plusieurs populations expérimentalement distinctes, qui aug­

mente v apparent;

- c) surtout le biais qui n'est jamais pris en compte jusqu'à présent

et qui suffit à lui seul j£ expliquer le désaccord, apparemment

significatif, déjà signalé dans ^introduction (cf. l.t.),

Sous avons montré, dans quelques cas particuliers, que v était

parfaitetaent compatible avec 1, Il reste à faire une étude plus appro­

fondie en tenant compte des effets expérimentaux, mais celle-ci dépas­

ser it le cadre de ce travail.

- 87 »

Néanmoins, nouB pouvons dire que, compte tenu du biais, iJ

n'apparaît aucun effet systématique dane les résultats publiés par

les différents auteurs. Rous pouvons dire que l'écart entre v et 1,

s'il existe, est au maximum de l'ordre de 3 S; pour le mettre en

évidence, il faudrait une population pure et propre d'environ 1000

événements - ce qui est impossible - ou étudier des mélanges de

populations en se méfiant des effets parasites engendrés par ces

mélanges. En d'autres termes, il faudrait d'autres méthodes d'analyse

statistiques,

La description des distributions des largeurs réduites par une

2

loi en x à y • l degré de liberté est une conséquence de la théorie

du noyau composé [ïU.S]. Un écart par rapport à cette loi signifierait

un disaccord avec ce modèle, et en particulier qu'un nombre restreint

de configurations contribuent fortement aux amplitudes des largeurs

réduites; cette étude montre que les données expérimentales actuelles

n'apportent aucun élément en. faveur de cette thèse.

L

A N N E X E

L

A.i. Calcul des dérivées des fonctions -

I. Notations_utilisëe9 :

Toutes les dérivations des fonctions c1effectuent par rapport aux 2 para­

mètres p et LA. Four alléger l'écriture et simplifier le calcul, nous utilise'

rons la notation de dérivation suivante :

( i . D

pour désigner la dérivée d'ordre n d'une certaine fonction ( par rapport aux

paramètres 8^ Qj , P | t etc..

Comme nous nous limitons au cas de 2 paramètres, nous pouvons écrire ;

M - 'iGjlOjl».... Ci,J,K = 1,î.'>

(1.2)

• ; 2- 2|riïfïtign_sou£_le_signe :

Pour dériver sous le signe f , nous appliquons la formule bien connue

suivante de Leibnitz [R.4.9]

Jb(61

a<»)

(2.1)

(2.2)

<a(8) et b(0) étant des fonctions differentiates défi et P C c , 6 ) une fonc­

tion continue d e X dans l'intervalle J a , b"J et derivable par rapport à G

Si l'une des deux bornes,b par exemple, est une constante indépen­

dante de 0 , alors la formule (2.1) se réduira à :

dlCBU f l | (" ' 9 1 ci=c_f<:ci ,6)d. 06

(2.3)

3 • 5£iâ£i£S2_ë25£Ê_ie^-^SEÎYS2â_£?4^5ÎESS_ÊÎ_iêâ_ëêEÎïlÊê-l2SHΣiïïi9!éÊS

Pour passer de la dérivée ordinaire, 3 la dérivée logarithmique d'une

c e rho--2 fonction ou vice versa, nous utiliserons l'une ou l'autre des rela­

tions suivantes :

- Dérivées premieres -

1>Ôi G ^ 8 t

1 G -G^U>9-G

- Dérivées secondes

^ G -G r^ L o9-G + pLo=.GVlLo«GVl

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

LPS relstions entre les différentes dérivées d'ordre supérieur ne Beront pas

utilisées dans la suite du calculi par conséquent nous ne les donnerons pas ic

Al.l - Dérivées de la fonction A

Par définition : & •— M

d'où en dérivant par rapport à 0 et â il

/ a î . - fa" ê r f

^ _ 1

r

^ " f • f iLogP -, ftU 1

t « d l» /

( A l . 1 . 1 )

(Al . i . 2 )

(Al.1.3)

( A l . 1 . 4 )

(Al. 1.5)

Al.2 - Dérivées de la fonction jC

La fonction%ë£ant définie par

nous obtenons alors :

pOf = Si. = P£t = 2;

%A, =

ILocjX 7C

1

P

3C1, «-2Ê. /

1

* - r *

(Al.2.2)

(Al.2.3)

(Al.2.4)

(Al .2 .5)

(Al.2.6)

Al.3. - Dérivées de la jonction %

Par définition : % * _ % f (Al.3.1)

Cette relation nous donne :

L o g . * * - pLo^X

d'où en dérivant leB 2 membres de cette relation par rapport à p et à

nous obtenons :

( A l . 3 . 2 )

P e t a u

'JLoq.X*- 2Ll = Loq.9C+ P—' •Tç ' X* ' r X

"bLoqXl 1 4 loa.%

X*( i + LoçjX )

( A l . 3 . 4 )

( A l . 3 . 5 )

ï y u ? x ' r % r-jy, y

TlLoaXs;; " £ ^ f

< =

Al .4 . - Dérivées de la fonction

Dérivées premières

*• = e

V, — e *',

f

«,1 = -* - e x

i t .

* ' , - ^ T U f% - & . X

'V f% -

Ç f

(AI. : .6)

( A l . 3 . 7 )

(Al .4.1)

( A l . 4 . 2 )

(Al .4.3)

(Al .4.4)

(Al .4.5)

(Al 4.6)

(Al 4.7)

92 -

Al-5. Dérivées logarithmiques de la fonction ganma incomplete £

ta fonction gamma incomplète l Cp,%) est dëfinie par :

oo

(Al .5.0

pour simplifier l'écriture, nous poserons

^ = r f f , X ) (Al .5.2)

d'où en dérivant respectivement, soit par rapport a pe soit

par rapport â u, et en appliquant la formule de dérivation

gous le signe J

Dérivées premieres :

4>% fëV-Wdi-i^f

-P-

T=> = -•x

•- e

?c*-.x . r

S9- 1

(Al .5.4)

(Al.5.5)

(Al.5.6)

(Al .5.7)

(Al .5.8)

(Al .5.9)

(Al 5.10)

In . Uhr'( U^tfdt (n.(,J, . . . .) (A,.5.,,

(Ai.5.12)

Deri vëes secondes :

(AI.5.13)

(Al.5.14)

En dérivant la relation (Al.5.6) par rapport à p et 3 u nous obtenons :

TIP1- TIP P p 1

T I P

"»f f *

V " ( > i l = l 1 9 : ' - 2 3 u , « x -TIP r * °f

Nous obtenons donc

(A).5.15)

- Y <> r * iip ^ f * f 'Y 3- p ;

(Al .5 . 16)

^ = -( " f ) -^+ ^ jK*»" f ' *f ^} (Al.5.17)

if'V» Y f

(AI.5.18)

(Al .5.19)

'ïoTli? l ' P T)P tf A> ' »o"ty p Tip ° /VD^i

(Al.5.23)

(Al.5.24)

Dérivées troisièmes -

D'après les relations (Al.5.18) et (Al.5.25),

nous obtenons :

,y * ~ Wp Jh^ I Tf

(Ai.5.26) f f ?'f

-*r r

/AI S 97

(Al.5.28)

Al.5.29)

+ S r (Lo«,* ) \ . i ( - y + t p + (*-pK-X+1-P-îpL-o<jpc))J

(Al.5.32)

(Al.5.33) r ^

( A l . 5 . 3 4 )

97 -

!iLo3 **= UM -*1-llLof *'lfli»*^ Vr^tfci-iio,4"wi» > * ^y^' ?' ;

(AI.5.35

I f fy 1 * /*' y * J Vyy J I „J J hu ^ j |

( A I . 5 . 3 7 )

11^.[ -M . ' J ^ - ^ „ - r ) ^

A1 .6. - Dérivée!; de la fonction *P

Nous avons par définition s (p _ i1n (Al. 6.1)

Ce qui nous doune respectivementt

vf" vp'-Dp

^U . _ î," IL oo^T

DU 3^= 9"

(Al. 6.2)

(Al.6.3)

(b»5. ^"''Du "

T>Lo«.<p_

(Al.6.6)

(Al.6.7)

Al.7. - Dérivées de la fonction \)

Par définition, nous avons :

T) a X*-E,<^ (Al.7.1)

En dérivant cette expression par rapport à p et à u , nous obtenons :

Dérivées premières

19; = ^ * ; ^ < p + ^ * s , ,

) <p+7C%<r\ ( A l . 7 . 2 )

r ^ f

Dp ' Tjp ^ l a 0 V

9 ! - P O + L o a X - X - l L o J i " )

•Kj, IÇ) P T

1>p " "Dp

( A l . 7 . 3 )

( A l . 7 . 4 )

( A l . 7 . 5 )

( A l . 7 . 6 )

( A I . 7 . 7 )

l ? t = l ? ( ' l L o ? ^ ^ ' ,

+ l L o » £ , + 1 L o a . ^ , ) (Al.7.8)

\y * y ? y v J

n-W-rrtt**') ( A l . 7 . 9 )

( A l . 7 .10)

"kLoal? -X-P_ I L o g . ^ *

,7? - 7 r y ( A l . 7 . 1 1 )

ucrivées secordes

V U q . o = ± + 2 1 - 2 - ^ L o ? . ^ " y * P f* fl Y

(Al.7.12)

(Al.7.13)

V f Y •V Lo* H = - > _ 2_f- V- Log.^ ' (A i . ; . 15 )

(Al.7.16)

^ f % f -»fY ? f/M T ^ (Al.7.17)

V;Loaf7__(_ i].TLog.4'*

'-Tip'- i l j i / -1

r^-^u,* ' ^u^.iio^/}? (Al .7 .20)

n - M ^ » 0 ^ ) ^ ]

^-^fcf-^&^^^^-F^^^^-l^^ P y "?J -Pa ( A l . 7 . 2 2 )

ni -v[p,«* (|r>")'J

*-"fa-^(?-£-»*7J (Al.7.24)

A K 8 ' " PërivgeB deg i n t ég ra l e s : X n » ( e ï^ilo&ïT^Ï C n = 1 , l at 3 y J^ *

En apl l iquant l a formule de der iva t ion sous l e signe[de Leibni tz

nous obtenons :

"Dp J, HI

T - M . - I n t l _ C 3 f [ L o t 7 c ] "

^ f .r r"

-» f

. I, avec : ^-h+l « r* ibf-'[Lo

(Al.8.1)

<AI ,8 2)

(AI S 3)

(Al .8 4)

(AI 8 5)

{Al.8.6)

Nous en déduisons donc, pour n - 1,2

1 1 . . n>p

1 , " r

Ta,... "£,%*

/ Lo^'X-

VU. - 1 , -

If L Lo «,7C J

(Al.8.9)

(Al.8.10)

(Al .6.11)

AI.9. Dérivées logarithmiques de la fonction densicé

Par définition

^""-rfcfj)1

ou encore

?' Ce qui nous donne

î er

' 7 "

(Al.9.1)

(Al.9.3)

(Al.9.4)

D'où en dérivant cecte relation respectivement par rapport; à p

et a ci nous obtenons :

Dérivées première

Lo«(2.+ 1 . S •. L a7x

\£jf- " £ + ^ y y/* 0

(Al.9.5)

(Al.9.6)

Dérivées secondes

y * * y 3 p

i p - y 1 y a p ' -tp-ii r~ }AL

(Al.9.7)

(Al.9.8)

Tu* °~ -VIA1 * y 7^ (Al.9.9)

Dérivées troisièmes :

T)3Lo3f ._ X

f VLo^f _

1 ! Log? . Î.X.

z*1

> + 6

> 4

(A1.9.I0)

(AI.9.11)

(Al.9.12)

(Al.9.13)

A2. CALCUL DES INTEGRALES :

A2.1. Calcul des intégrales I„« , / V trUofrOolfc <» , | , 2,

a) Çalçuï_ de_I £ar_la_mJ_thpjs_^£_£aysa-Lagy£xxfi :

Ces intégrales étant de la forme J C- iCx. ") d=£- n o u s p o u v o n s i e s

calculer par la méthode de Gauss-Laguerre en effectuant le changement

variable

Kous obtenons a lo rs :

to T f -CH+K-I ;"» r -,1 I n = e («+ • *? | L o ^ C « + K ) J da-

- ï f . « P"' r -,11

= e I e (u+icV [ L O ^ ( M + T ; ) J du

(A2.I . I )

(A2 . i . : )

I,. f W + x f L o ^ Cu+X) du

Ix-' e J e C « J % V LC<JCUTX)] ' du .

I. o

P" [ Lo^Cu+x)] du

o

(A2.I.4)

(A2.1.5;

Nous pouvons encore écrire :

77°^—" li = e je fjU+jodn

o £(U+X) = ( l l + -X)f> Loq(H + ï )

l j . = e ê F J C U M J du avec ' T^CW+Xk CM-txf [LoaCu+xl ]

1, - e. | ê F j j u + ï i d u

r- P"' r i 3

! i

b) Calcul de» Intégrales I par d'autres méthodes avec le changement

da variable t • — .

La méthode de Gauta-Lsguerre eat mal adaptée au calcul des inté­

grales lt> »• l e c ' L IQejt J Qt p surtout lorsque x est très petit

car l'intégrant & n'est pas défini pour t_*û (p étant un

nombre positif et généralement inférieur â ! ) • Pour éviter cet inconvénient,

nous avons effectué le changement de variable t « — de sorte que I pren­

nent la forme équivalente ci-dessous :

Nous pouvons vérifier facilement que l'intégrant de I est défini

pour toutes les valeurs de ue[t>,"»]. Ceci étant, les intégrales I peuvent

Être calculées indifféremment par l'une des méthodes d'intégration numéri­

ques suivantes :

- Méthode de Simpson,

- Méthode de Gausa-Lobatto,

- Méthide de Gausfl-Legendre.

oo A2.2 - Calcul de l ' i n t é g r a l e :<rL-l nf & loaU diU

% Considérons la fonction gamma incomplète 1 t'p+l yX) •

M _, oo

>JM ( A 2 . T . I )

(A2.2.2)

(A2.2.3)

i r t f « , » l = / ë " « r L o a n d « - ^ X * X = > t - % * ! ? (A2.2.4)

V 4 f f n'autre parc, la relation (A2.2.2) nous donne :

1 __£.*.*.. S.V7 IJ.1 .....vl . Ir, = _ B^Ç_X+ ^ X O + U ^ V u p p O + p l f y x , (A2.2.6)

En comparant (A2.2.4) e t (A2.2.6), nous en déduisons

X* ( MLoj.x) + rCp^l+rirc-p,-»

> [ - %-x'Uyx + ^ + p T i

T< = J ^ " ^ LO^HJH

(A2 .2 .7 )

r°° A2.3. - Calcul de l ' intégrale ; K. * |=c ^°^x. . £ o|«

Nous avons

k - _L ft?)1

a -P — V G. / * L o g 3C d=C (A2.3.I)

Cette intégrale s'écrit encore, après le changement de variable • U • P —

ÛO p * ° CO

k. = _ J t _ f nf &" U^pu du , g [ /wf^U^McWlo^/Jè'U.]

Comme d'après (A2.2.8)

(A2.3.2)

r

>t

Nous en déduisons donc :

kl = ( î [ t ? Lo^'X + l + p I , C P + i ?Log^ + p L o 3 ( i ] (A2.3.4)

I C - f t [ l + p T , t p + r j Loaei+pLo^/S 1

Log. It-t-Lo g. (2. = Loa%fl = ^-°fcu

• Calcul de l ' i n t é g r a l e : •*""*

D'après (Al.9.5)

-J;{^)i

3W? ="^p°^~ L o ^ + x~ 7 + L o^ d 'où

(62.4.1)

(A2.4.2)

s A3.3.3)

moment d 'ordre 2

f J* " ~l -it Drame

loC%clac = JA\ = ^(V^^) (d 'après A3.2.2)

w^ moment d ' an

/ 3C l f c U = Ht = p l m ( ^ + p + 0 + f ( P + * > 1 Cd'aprèi

°^ moment d 'ordre

/* °°

* ^ * , - . t -

(d 'après A2.3.5)

Nous obtenons donc :

i -L , j^ - iLo^* j / . ( r? + f ) .^ ( X + r , ) + f c r „ ]

- + ( î ( l + p l , ( f + o L o a ^ + ^ L o g o i ) (A2.4.3)

(A2.4.4)

^ „ p - ' après A,.5.6)

A-py f i+ i ^x - ius»- * * ] (A2.4.5)

k2.5. - Calcul de X'intégrale 6- fe 3 f ) f J •v D'après (AI.9.6) nous avons :

1) (A2.5.1)

d'où noua en déduisons ;

(A2.5.2)

eno CO

(A2.5.3)

(A2.5.4.)

\ Lo^l-l - J2 (d'après Al.5.14)

^ ' Z1

B = i [c f i+x- f - i? )+p] -2(Hx- j>-?)+ i

A.3. - Calcul des moments.

A3.]. Moment_d^ordre_K

Le moment d'ordre K s'écrit par définition :

fr=.,8,-J (ÇY ft ri -^

En posan t : @> *= ^

variable U » P - ~ , nous obtenons :

/ K f p+K-i - M .

d'où en integrant par parties b fois r

et en effectuant le changement de

yv A * [ x f W e + ( P + K - O X 1 e + C P + K - I K P + K - ^ h

e J - . „ A *

+ CptK-0(P«-S->... c p K - r + ' )7Ci ' e

+(p+i< -iXj>+K-il...(p+K-bl .«r+ e"d« (A3.I 4)

ou encore :

«, . - . /3 K np*K,*>

1 < P + K % X ) = %' ï +(MK..OX r a+(p+K-ii(j>*ic-j,)5cr e + ...

.. . + (p*K-<l<f*K.-0.--(p->-K-pn)9c£ 'à* ^

A3.2. Moment d 'ordre 1 f K - t> - 1 )

(A3.2.1)

ou encore

..V-e

A3.3. Moment d 'ordre 2 ( l£ - b =. 2. )

yUj - ^ \(%+P-H)tfë\ j>fj>+On-{»,«> 1 (A3.3.1)

, r P -X 1 (A3 .3 .2 )

/*t" i 8 [<2<±£iiL*LfL + p f f + n J

y ^ ^ /Î*[CX+J>+I")I7 + pcp+o ] (A3.3.3)

A3.A. Moment d 'ordre 3 ( K = p = 3 )

' rcp,x) + j>cp+i->ij>+*'> rc f , * J (A3.4.1)

(A3.4.2)

U = =a5ff7(x t+(p+'.')X+Cp+»->('p+o)+pfp+i-)fp+i)j

A3.5. Moment d'ordre i : C K - p = 4 )

u .. ft4 [ ? ( f + i e ' t + ( p+ii?<f* 1+ rp+iîfpti)x'He'+fp+j)fp+i)fj>nJxl'«: 1

/ 4 r rp . j o _ i f +fp + J l ( p + 1 ' ( p + ')pr(-p )7[) J (A3.5.2)

u i = _ ^ . _ [ ë " ' ' x f ( ' x î + ( ' p ^ : " ( ' ' + f | > + î U f + t , x + ( r + 3 ' , c P + t , f f 4 , > ) / rep,*'!. r- -\

P + C p + l ) C p + l ) C p + i ' > P l Cj>,X) (A3.5.3)

W4=(s"rt?(x + (p+JlXl+fp+3Xp+iW + (p+iXp+tlfp+i))+(p+J)(p+».)fp+0|=J

A4 - Calcul des Coefficients

A 4 .1 Cal eu l_d es c o e f f i c i e n t s [)•

Par déf in i t ion

D- =±liLi =ÏMit (A4.I.1) ; Til»,- J

avec t •) J — ' i 3*

s , = j >

H. = moment d'ordre î défini au paragraphe (A.3)

D'après (A3.2.2) et (A3.3.3)

Coefficient JJu

y u l = ( i t [ 1?Cx+p-n)+p(p+0] d'où . (A4.1.2)

^«^(n+pHOM-pW-j?) Coefficient D)i

Ba-C/OÎ-PiCrï+pî + l»1?!

û g . i + EÇm+g)

(A4.1.2 ')

(A4.1.3)

(A4 .1 .3 ' )

Coefficient Ujj

(A4.1.4)

D11 = f!>,[l|,'(r?ct+p+o+pfp+i))+ (ï±f)r?+OH-ptor?;+»p+i] (A4.i.5)

D2,= /3 l[l?:(*+f+0-<*±£!±??- l ] f

(A4.I.6)

J ) l l = ^l [ t | > ( l ? C 7 « + p + l)+pf(>+li)+-7Cil? + (9( + p + OI?^] (A4.1.8)

D M = ^ [ " ( • x ^ O + ^ l j g l U fTH-ptOQl ] (A4.] . ] 0)

A4.2, Calcul des coefficients JJ

Connaissant Djj, nous pouvons alors déterminer les coefficients D

par la relation :

D l X-S l

K -1 ydi i«K.

/Oi t*K. (indice de Kronecker)

(A4.2.1)

U K = 1

avec : i, J 7 s ' 1 *

Dans la relation (A4.2.l)>J est une indice de sommation et l ou KL

:st une indice fixe. Nous obtenons les relations explicites suivantes :

(A4.2.2) D , J Di, = i

i=1 . k.= «-

tfX+ffX-i

DwDu-<

DX+D*D„-O

(A4.2.3)

(A4.2.4)

(A4.2.5)

D"Dj,-o

Û D„+D'%=o

En résumé, nous avons le système d'équations suivant :

D , ,D, t +D, ,D 1 1=û

D"D, l + D, l D u - i

dont la relation nous donne

D" = D« *

D" = D„D i t - D,A. " *

D t t - . D. ï- —-

• ^

D t t -D , , ^ -W, • ^

.D" . D ï l

- * .D" .

D„D, -B«H, - *

D"= D. * •

D"= Û.&---D,Jk " * •

A « DuDjt-Du.Dj, déterminant dfc la matrice [ J}]

A4.3. Calcul des coefficients •Jï.ijK.

Ces coefficients sont définis par :

(A4.2.6)

(A4.2.7)

(A4.2.8)

(A4.2.9)

(A4.2.10)

(A4.2.Il)

(A4.2.12)

(A4.2.13)

(A4.3.1)

a1- T>8/Î6K *

avec l i J i = 1 , 2

D'après (A4.))

[ /M 1 , = /* lD?;c*+p+o- cx*p+oi?-i]

d'où : Coefficient E.. .

. i [p$. i[^^.U), p (rj; - fi! + D)] *• ' ii z r r r (A4.3.2)

t P f r r s . L " P p J (A4.3.3)

Coefficient E..» et E _

«112-t[i*i-i[«fnL+ûVp(nl+Qï)] (A4.3.4)

E . i[^(ni+nw t-»J#]

c^-êLtà + Q'.-Ql-B] -H-

(E. é tant 121 112 l LJK

Coefficient E

symétrique

(A4.3.5)

par rapport à j «t K )

E . i [ H l = iW(n;t!!)+)3(n^!i'-5,)] 122 5.L ' J»l ( L * • » U ' ' *• " M / *

l^AK^M]-^^] / r

Coefficient E„

• i W - è\*W' (tf(**P+0~ f**p ? g*)

p ' -• ( A 4 . 3 . 7 :

.ATrj^x+jHO-inUx+p+ti+i- + ^Cx+ P+3)] (A4.3.8)

Coefficient E 2 ] 2 e t E._

+rxVnO ,

l+Cx+p+on<

lJ]

-212 - , , .A lfex+p+o-]2icx+p+t)+i2

,icx+ip+t).^i l+!p+4)-il

(A4.3.9)

(A4.3.10)

(par synétr ie)

Coefficient E_,

+ x;r); < . fx+p +on J

tJj ( A 4 . 3 . I l )

•-|'[f?uCx+p+i)+ M ? l ^ î i t l U i/C+pKP+0] ( A 4 . 3 . 1 2 )

A.4.4. - Calcul des Coefficients Y. ,

Nous avons d'après ( 11.2.3.12) ;

avec î, j, k, = 1,2

f? = _ tfïtf t dX/D lt, > DlD ' t . ^ JI-ûtû'Mt^î: )^D'£ .tf^)]

d'où nous en déduisons :

Coefficient P (i = 1, j = 1, k = 1)

(A4.4.3)

Coefficient P,,, (i - 1 , j = I , k - 2)

t =-DlD(D\^^DX,r^}]-DlDm,,D\>D?DX.:D ,tm-)] (A4.4.4)

Coefficient Yitj ( i « I , j » 2, k » I)

^(=-DlD¥£w+DX>DÎDX^\)]-DlD7DX,tDt>DÎtft.;D*Ej] (A4.4.5)

Nous pouvons vérifier facilement que la symétrie des coefficients-ri . •

par rapport à J et k entraine celle des r[ •

'1*1 = Mit (A4.4.6)

Coefficient R l t (i - I, j - 2, k - 2)

(A4.4.7)

- 120 -

Coefficient P 1 | f ( i » 2, j - 1 , k - 1)

P M - J f [ l f t ] f e t f l ^ ^ (A4.4.8)

Coefficient Y,„ ( i » 2, j - 1, k - 2)

(A4.4.9)

Coefficient t g n ( i • 2, j = 2, k = 1)

PM,=.D^DX, tuX>D'tDX l tDXj]-tflDlDXrD\>tf(Dt,BXj] (A4.4.10)

Pour la même raison que prëcédenment, nous voyons que :

P„, - P, ( 1 CA4.4.11)

Coefficient R Ci - 2, j « 2, k >= 2)

(A4.4.12)

A5 - Détermination des fonctions

Déterminatian_des_fonçtions__K; j LJK == i - M ^ ^ }/-t JL|L ) | A5. I

Formulation générale

so i t X une var iable a l éa to i r e de fonction dens i té ffx 1 6)dépendant

d'un paramètre vec to r ie l 0 = ( 9.,, 0^ - * • 0^ J

Nous avons la r e la t ion de normalisation :

f f ( s c , e > c U c = 1 CA5.1.I)

l'intégrale étant étendue â tout le domaine où X est défini.

En dérivant cette relation de normalisation 3 fois respectivement par

rapport à u-., 9] et " K (i,j ,K pouvant prendre indifféremment les

valeurs entières 1,2 . . . ) . Nous supposerons dans tout ce qui va suivre

que les 2 bornes de l'intégrale sont indépendantes de 8 , et que

i-C^c^B) est difflrentiable jusqu'à l'ordre 3, au moins.

- Première dérivation, par rapport à o:

cette relation peut encore s'écrire :

- Deuxième dérivation, par rapport à oj

ou encore

CA5.I.3)

(A5.1.4)

(A5.1.5)

X-Q (A5.1.6)

£[t^]-£L^^?^

- Troisième derivation, par rapport à i i k

CA5.1.7)

or d'aprës (A1K3.3)

ou encore en multipliant les 2 membres de cette relation par —°<H OÔK.

ïl>$ = - ( lT L ^ il 15,- J f ^ o ô j ou encore en multipliant les 2 membres de

7 K'^fi-^-^S-^ffiT'/f) (A5.1.9)

La relation (A5.1.7) s'écrira alors :

(A5.1.10)

Comme par définition

La relation (A5.1.10) pourra donc se mettre sous la forme :

p— JfâiiM^fi&flf l(Wv(wu f , i ( A 5 . 1 . 1 2 )

Cas de deux paramètres Qj et Q4 ( i,j.H»l 2)

Alors la relation (A5.1.12) nous donne

Coefficient r ( , | f ( K = i = j = i )

K«--j(^)^~-*J(^m^à~ (A5.I.13)

Coefficient P , i l t ( K = 1 . L= 1 . J = i )

"-» -jO fJf J" -/Sr ? f)Saf J-i¥K^

ficient r,^ ( K. = l , i-2 ,J = O

ç--i*S!)fJ"i¥)(l?!)fJ'-/fë;}')^)?-(A5.1.15)

Coefficient R,su, ( * - 1 , i » j = o

l—JW 4- Jue t •ORWf^ (A5.1.16)

Coefficient ^ „ ( H e a , - s = i)

t -KM^-'M * ) ( & ?I)f4"

Coefficient P. „ ( K. = 1 , U i , j = s, )

(A5.1.I8)

Coefficient f 1 | t l ( K = 4, , i = A, 7 J = 1 )

(AS.1.19)

Coefficient P t l t l (K.= i = j = * , )

.20)

En examinant les différentes relations obtenues, nous en déduisons

M,u = rj ,11 P - P

(A5.I.21)

(A5.1.22)

Ce qui vérifie bien la forme symétrique en J et IC de

Cas de la distribution en A troTig'v'e. -

Dans le cas de la distribution en A- tronquée nous avons :

Expression rç ^

p---r^ofj*-*rfir^)iïf^)fj 0 , 1 (A5.1.23)

or, d'après (Al.9.7), (Al.9.10) et(A5.1.3)

il en résulte donc :

P- " (ï^:f)Jj^ ^-fifôf^ (A5.1.24)

- 126 -

Expression de ^ ( t ou

R, • - / ( ^ O f ^ - J ^ ^ l ^ - j ^ l ^ (A5.1.11)

T\oa-Ç,__Vl.o»Y_ 4. + 2& (d'après AI.9.8)

m ^ ' Tip/ / r 1

"3_ L o ^ P _ _ 5_ Log T + J. (d'après Al.9.7)

(d'après AI.9.11)

Nous en déduisons donc :

ou encore

avec d'après ( A2.4.5 )

(A5.1.27)

Expression de rh X!L

(A5.1.28)

^ ! L ° ^ f = - V L o » ' ^ _ J . + 3 . (d'après AI.9JS )

— 0\— — cf + - —; (d'après A1.9.l?i

''HW'-^S^pB^rf^i;^ >ffë»î)f'

3#r4 r 1 ? <•• (A5.1.29)

B- f*'f^-»l)fi * ^

ou encore, d'aprèp (A2.S.5)

B - i + !?f,+x-(>-i?)

1 , 1 1 <v4 ^] \7 ii^'vp ^

T)^P /'M f " J (A5.1.30)

Exp: ressïon de Y.

P,,, - -Jiïffl^^t^W X- • (A5.1.3!)

En remarquant comme précédemment

"^Loq-Ï _ _ ' V L o q , T _ -i + — (d'après AI.9.8)

( d'après Al.9.1I)

Nous obtenons

^f^^'^Ji^r-ft^ 11,11=- 7f '^*$-rWW~

' i . n - — _o — r

f i fy /^ H I P 1 I

ou encore :

(A5.1.32)

(A5.I.33)

Expression de y ou de k

'''-^)^-{(^^-M^P (A5.I.34)

«Tip"Y TlPty ° P ^

.I' Lo«.f = - ^ ! L ° A 4 - 2 P W'après Al.9.9 )

n,^ m n>y * y y Y U « P =-1 ! L o 3- ' i ' ' + J - - i 3 (d'après Al.9.12)

DO OO CO

* r ^ ^ y p p r

^ - ^ , + ^ [ - l + ^ + r A ) - B J

(A5.1.35)

ou encore :

r ^ (A5.1.36)

Expression de i. p- jfôrrfjf*—iT^)fÇ.w;»* (A5.1.37)

Q ^ ' ? l ! Lo . - IL^f _ if + « p i ( d. a p t ë s A 1, 9. 13)

(A5.1.38)

^*--J!r»^)S(**-r-'*-0 J

Relations entre les différentes fonctions Y; .

En examinant les différentes fonctions (marquées d'une • ) nous

remarquons que :

p p p ^A ri,1i= 'l,M = r t , l l + —.

p _ p A P A

(AS. 1 .40)

( A S . l . 4 0 ' )

(AS. 1 .41)

(AS .1 .41 ' )

5.2 - Détermination des fonctions K . _ V j jL. \5Jf \M 1 f J î „ * - )

tions rj sont définies par

P,,.t(^-|Vc^'tf^)]-JaT3()^,f)f. comme d'après (A5.1.6)

(A5.2.1)

Nous en déduisons donc ;

Pour la distribution en 'X tronquée

: = ?

Ce qui nous donne, d'après (Al. 9,7 )

Fonction \\-,j

(A5.2.2)

comme

il en résulte donc

\ |Cx,0) JU (condition de normalisation)

1^ L tion r<„

y. 0 0 z » 0 0 I

Op 4M plu ^ y**

' Tift]*, jn M'-X, T

x f c x , 6 " î a c c = Wj » moment théorique d' d

ou j U , = f&Cl? + p ) (d'après A3.2.2)

i l s 'en su i t donc

ou encore

Fonction ra.,a.

P.--fe 50H-=^>^l^C K' t , d'

t ion 13,,^

t = - K W f J - - l ( ? v 5 f ) f 4

f T

P P

P _p . ^ L » ^ " n

(A5.2.9)

(A5.2.10)

(A5.2.11)

(A5.2.12)

(A5.2.13)

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