Міністерство освіти і науки України

Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки

Серія «Посібники та підручники СНУ імені Лесі Українки»

Р.В. Товкач

МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА

Навчальний посібник

Рекомендовано вченою радою Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки

Луцьк – 2018

3

Передмова 4

Розділ 1. Математичне моделювання економічних систем

§1. Принципи економіко-математичного моделювання 5

§2. Класифікація математичних моделей економічних систем 10

§3. Основні етапи економіко-математичного моделювання 15

Розділ 2. Ігрові моделі

§1. Поняття теорії ігор 24

§2. Платіжна матриця. Ціна гри. Принцип максиміна і мінімакса 27

§3. Розв’язок гри в змішаних стратегіях 35

§4. Розв’язання гри методами лінійного програмування 39

§5. Ігри в умовах ризику 42

§6. Критерії оцінки стану природи. Критерії Вальда, Севіджа,

Гурвіца

45

§7. Спрощення гри. Поняття про коаліції 51

§8. Застосування моделей ігор в торгівлі 54

Розділ 3. Динамічні еволюційні економічні системи

§1. Основні поняття еволюційних систем та самоорганізації 61

§2. Приклади еволюційних систем 65

§3. Теоретичні аспекти самоорганізації динамічних систем 83

§4. Теорія катастроф в процесах самоорганізації динамічних і

техніко-економічних систем

92

Розділ 4. Моделювання процесів прийняття рішень

§1. Етапи процесу прийняття управлінських рішень 111

§2. Функції групового вибору 121

§3. Теорема Ерроу 125

§4. Суміщення шкал 130

§5. Відстані між ранжуваннями 134

Список використаних джерел 144

Предметний покажчик 146

4

Передмова Економічні процеси і системи, які є в економіці країни, часто на

перший погляд відбуваються хаотично і непередбачувано. Насправді, вони

підпорядковуються строгим законам і правилам. Виявленням цих

закономірностей і їх дослідженням за допомогою математичних методів

якраз і займається математична економіка. Метою даного посібника є

допомога у теоретичному і практичному оволодінні студентами методів

побудови економіко-математичних моделей, знаходженню їх оптимальних

розв’язків. Тут розглядаються питання про методичні принципи,

класифікацію та основні етапи економіко-математичного моделювання,

якому властиві специфічні особливості, що відрізняють його від інших

методів наукового пізнання. У навчальному посібнику викладаються

методологічні та практичні аспекти застосування математики в економіці,

компактно наведено математичний апарат, розглянуто використання теорії

ігор для вирішення економічних задач, динамічні еволюційні системи та

моделювання процесів прийняття рішень. Основна увага приділена

тематиці, що мало висвітлюється в спеціалізованій літературі з

математичної економіки. Теоретичний матеріал проілюстровано

практичними прикладами. Зміст посібника відповідає програмі. Посібник

може бути використаний як при підготовці до лекцій, так і для практичних

занять. Матеріал даного видання буде корисний для студентів

математичних і економічних спеціальностей, а також для викладачів, які

ведуть навчальні курси «Математична економіка», «Математичне

моделювання», «Економіко-математичні моделі і методи».

5

Розділ 1. Математичне моделювання економічних систем

§1. Принципи економіко-математичного моделювання

В даний час під моделюванням розуміється процес побудови

математичних моделей, які адекватно відображають різні явища об'єктивної

дійсності. Такі моделі дозволяють цілеспрямовано вивчати структуру

економічного об'єкта, виявити істотні взаємозв'язки між елементами

структури, а також пізнавати функціональні закономірності керування

об'єктом, розглянутим вцілому як складна динамічна система. Однак головна перевага методів моделювання полягає в тому, що

ними можна користуватися в таких виняткових випадках, коли всі інші

методи виявляються непридатними для вивчення поводження складних

динамічних систем, що не піддаються безпосередньому спостереженню і

дослідженню, а постановка експерименту взагалі неможлива, чи

супроводжується великими матеріальними витратами.

Наступний приклад, не тільки розкриває сутність моделювання, але

і показує його високу ефективність. Авіаконструктору, який тільки що

сконструював новий літак, потрібно довідатися про максимальну

швидкість, при якій літак руйнується. Його при цьому можуть цікавити і

багато інших питань. Експериментальні машини коштують дуже дорого.

Навіть якщо такий експеримент і буде проведений, зрозуміло, з

використанням автопілоту, то він не дасть усієї потрібної інформації щодо

роботи десятків і сотень різних вузлів і агрегатів, тобто інформації, необхідної

для подальшого удосконалення машини. Доцільно в даному випадку

використовувати метод моделювання. Політ літака моделюється за

допомогою ЕОМ. Швидкість літака по математичній моделі імітаційного

моделювання збільшується і доводиться до граничної. По спеціальних

розрахункових параметрах ЕОМ чітко фіксує момент, коли починається

процес руйнування літака. Модель літака «зруйнувалася», хоча сам літак у

цей час стоїть в ангарі. Легко зрозуміти, яку цінність має інформація,

6

отримана в результаті моделювання польоту на ЕОМ. Фіксується при цьому

не тільки гранична швидкість літака, але й поведінка численних пристроїв

літака.

Важливою особливістю методу моделювання є те, що

експериментування можна повторювати багаторазово, варіюючи при цьому

безліччю різних факторів, з огляду на усілякі випадкові збурювання,

змінюючи математичні схеми.

Принципи імітації можуть широко використовуватися в економічних

системах, особливо при вирішенні проблем, зв'язаних з підвищенням

ефективності виробництва, раціоналізацією його структури, впровадженням

систем оптимального планування і керування.

За допомогою імітаційних моделей можна, наприклад, змоделювати

процес підвищення продуктивності праці працівників якого-небудь

промислового чи торгового підприємства. При цьому стане відомим зв'язок

між приростом продуктивності праці і рядом визначальних техніко-

економічних показників роботи підприємства.

В торгівлі математичне моделювання на ЕОМ може використовуватися,

наприклад, для моделювання поводження покупця в магазині. Наприклад,

вже сьогодні функціонує магазин Amazon Go без продавців і кас. На основі

моделювання можуть успішно розв’язуватися задачі по розміщенню мережі

магазинів, прогнозування купівельного попиту, визначення напрямків

технічного переозброєння торгівлі, аналізу витрат, визначенню

рентабельності торгівлі.

Математичне моделювання процесів, особливо тих, котрі протікають у

складних динамічних системах, практично не можливо здійснити без

використання ЕОМ через величезні обсяги обчислювальної роботи. Так, для

розв’язок системи з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими потрібно

виконати близько 200 обчислювальних операцій. Якщо ж зважується

система з восьми рівнянь з вісьма невідомими, то в цьому випадку потреби

обсяг обчислень досягає 8 млн. операцій. Інакше кажучи, обсяг обчислень

7

збільшується пропорційно кубу числа невідомих, що включаються в

рівняння.

Моделювання в економіці означає відтворення тих обставин, що бажано

вивчити ще до того, як об'єкт дослідження (завод, магазин) почне відчувати

на собі вплив зовнішнього середовища. При цьому моделювання органічно

поєднує в собі кількісні і якісні аспекти аналізу, надає інформацію, за

допомогою якої пояснюються нові факти, які розкривають функціональні

закономірності управління.

Незалежно від того, до якої області відносяться об'єкти моделювання,

модель можна розглядати як ідеальне відображення у свідомості людини

реальних процесів, утілення визначених властивостей і відношень

досліджуваних об'єктів.

Модель, що відтворює такі характеристики об'єкту вивчення, як форма,

структура, називається предметною моделлю. Як приклад можна назвати

модель житлового мікрорайону, заводу, модель розміщення і внутрішнього

оформлення магазина, оптової бази, ресторану, їдальні. Предметна модель

створюється для вивчення визначених співвідношень елементів моделі і

через співвідношення елементів моделі — пізнання деяких об'єктивних

властивостей реального об'єкта.

Зовсім не обов'язково, щоб модель зовні відповідала тому матеріальному

об’єкту, який вона відтворює. У науці використовуються моделі більш

високого ступеня абстракції, ніж предметні, і розібратися в них, побачити за

моделлю реальну дійсність може тільки фахівець, що володіє мовою даної

науки. Такі моделі вимагають обов'язкового розуміння суті явищ, для

вивчення яких вони створюються.

При побудові моделей різних економічних об'єктів дослідник має добре

володіти економічною теорією і знати природу тих економічних процесів, що

він збирається моделювати. Якщо моделі створюються для вивчення

процесів і явищ, що відбуваються в торгівлі, то поряд з гарним знанням

загальнотеоретичних проблем економіки торгівлі він повинен професійно

8

розбиратися в плануванні роздрібного товарообігу, знати бухгалтерський

облік і методи економічного аналізу. Особлива роль економіста при

побудові моделей полягає в тому, що він з величезної маси різних факторів,

що характеризують торговий процес, відбирає тільки найбільш істотні і

важливі. В окремих випадках такий добір виконується порівняно просто.

Однак ситуація змінюється, коли потрібно побудувати цілий комплекс

взаємозалежних моделей, в яких враховувалися б нові тенденції в розвитку

торгівлі.

Модель не може бути точним повторенням досліджуваного об'єкта. Тому

при моделюванні завжди виникає питання про адекватність моделі, тобто про

здатність моделі відбивати специфічні особливості об'єкта.

У залежності від ступеня відповідності моделі об'єкту, який

моделюється, в загальній теорії систем і кібернетиці розрізняють гомоморфні

й ізоморфні моделі.

Ізоморфізм означає, що дві системи, одна з яких є моделлю, а інша

об'єктом, який моделюється, тотожні по усім визначальним параметрам,

тобто по структурних елементах, зв'язкам і формам перетворення. У цьому

випадку прийнято говорити, що ці дві системи знаходяться у взаємо-

однозначній відповідності.

Гомоморфізм також визначає відповідність між двома системами

(моделлю й об'єктом), але ця відповідність виконується менш деталізовано.

Гомоморфна модель є більш грубим відображенням об'єкта-моделі, вона

включає не всі, а тільки деякі, найбільш істотні з точки зору дослідника

параметри.

Прагнення якнайглибше пізнати сутність будь-яких економічних

процесів нерідко приводить дослідника до дуже складних моделей.

Побудова таких моделей пов'язана з труднощами як у частині складання

обчислювальної схеми (алгоритму задачі), так і з погляду відповідного

інформаційного забезпечення. Зі складністю моделі значно спрощуються

всі процедурні моменти, але це завжди обмежує можливість глибини

9

дослідження, точність і об'єктивність даних, отриманих при моделюванні

реального процесу.

При побудові моделей взагалі й економіко-математичних моделей

зокрема завжди є протиріччя між глибиною запланованого дослідження і

можливостями його реалізації. В усіх випадках це протиріччя повинне

братись до уваги з урахуванням заданої мети дослідження.

Розуміння особливої складності проведення сучасних наукових

досліджень призвело останнім часом до виникнення нового організаційного

поняття — програмно-цільового планування.

Загальна ідея побудови моделей, що адекватно відображає різні

специфічні особливості складних динамічних систем, базується на

визнанні того факту, що кожній формі (зовнішньому прояву ознак

системи) властива відносна, самостійність, тобто існування, незалежне від

елементів, що складають зміст об'єкту моделювання. У іншому випадку

можливість моделювання на ЕОМ складних процесів, про які говорилося

вище, цілком би виключалася. Один і той же зміст може втілюватися в

різних формах, тобто зміст визначає форму неоднозначно.

10

§2. Класифікація математичних моделей економічних

систем

Існують різні класифікації економіко-математичних моделей. Це

пояснюється тим, що в основу класифікацій покладено різні типологічні

ознаки.

По функціональній ознаці, що відображає специфіку предмета,

економіко-математичні моделі поділені на моделі планування, моделі

бухгалтерського обліку, моделі статистики, моделі економічного аналізу,

моделі регулювання і керування, моделі інформаційних процесів. Більш

детальною класифікацією стосовно наведеної буде така, у якій

поглиблюється характеристика якого-небудь типу моделей. Наприклад,

моделі планування можна поділити на моделі прогнозування, моделі

техніко-економічного планування, моделі оперативного планування. У свою

чергу моделі прогнозування можна розділити на моделі прогнозування

розвитку технології виробництва, соціального розвитку трудового колективу,

економічного розвитку та ін. У торгівлі такі моделі можуть розроблятися для

оптової ланки, роздрібної ланки, суспільного харчування, окремого

торгового підприємства, а також для даного економічного регіону.

За ознакою розмірності економічні математичні моделі можна поділити

на макромоделі, локальні моделі і мікромоделі. Макроекономічні моделі

розробляються для вивчення економіки країни вцілому на базі укрупнених

економічних показників. Економіка країни в цьому випадку розглядається як

складна динамічна система, що розвивається. Ціль розробки й аналізу

макромоделей полягає в тому, щоб більш обґрунтовано складати

перспективні плани народногосподарського розвитку на основі пізнання

найважливіших економічних пропорцій і співвідношень, темпів зростання

виробництва і рівнів споживання, раціональної галузевої структури.

Макромоделі в залежності від прийнятих рівнів деталізації діляться на

односекторні, двосекторні і багатосекторні. У двосекторної моделі

виділяється група виробництва засобів виробництва і група виробництва

11

предметів споживання. Двосекторні моделі в силу високої агрегованості

показників не дозволяють безпосередньо вирішити задачі, що виникають у

процесі планування.

Більш повна інформація про механізм взаємозв'язків у народному

господарстві подається багатосекторними моделями, в яких сфера

матеріального виробництва представляється складовою з десятків, а часом і

сотень самостійних галузей.

В основі всіх економічних макромоделей лежить рівняння балансу

Х-F(х)-ω = Z,

де X - сукупний суспільний продукт;

F(х) - виробнича функція (прямі витрати), що показує частку сукупного

суспільного продукту, необхідну для його виробництва;

ω - частка сукупного суспільного продукту, що йде на споживання;

Z - частка сукупного суспільного продукту, що йде на накопичення.

Макромоделі можуть розроблятися і для окремих галузей народного

господарства, наприклад торгівлі, для глобальних задач і проблем розвитку

галузі на найближчу перспективу.

До локальних економічних моделей відноситься велике число моделей,

за допомогою яких аналізуються і прогнозуються різні аспекти в розвитку

галузі народного господарства. Велике місце серед цих моделей займають

моделі прогнозування науково-технічного прогресу, купівельного попиту,

моделі потреби в кадрах та ін.

Мікромоделі на промислових підприємствах розробляються для

поглибленого аналізу структури виробництва. Висновки, зроблені на основі

розрахунків по таких моделях на ЕОМ, дають можливість оптимально

організувати виробництво, виявити невикористані резерви, що в

остаточному підсумку призводить до значного збільшення випуску готової

продукції. Високі результати по росту ефективності виробництва від

використання оптимізаційних мікромоделей були отримані на заводах

автомобільної промисловості — до 25%, 50% і більше. Особливо великого

12

значення набувають мікромоделі для розробки нормативної інформації,

необхідної в керуванні кожним окремим торговим підприємством (магазином,

торговою фірмою). Приймаючи те чи інше управлінське рішення, керівник

торгівельного підприємства повинен знати, до яких конкретних результатів

по величині чи товарообігу торгового прибутку це рішення може привести.

Спираючись на спеціальну нормативну інформацію, можна обґрунтовано

будувати тактику і стратегію керування торговим підприємством.

Мікромодель, про яку мова йде, у найпростішому випадку має наступний вид:

∆S=R ·∆L

де ∆S - керуючий вплив на торгівельний процес;

∆L - встановлені небажані відхилення в роботі торгового підприємства;

R - коефіцієнт пропорційності.

Коефіцієнт пропорційності означає, наскільки, наприклад, людей

потрібно збільшити число продавців у даному магазині, щоб на 10 тис. грн.

збільшити товарообіг. Чисельне вираження коефіцієнта пропорційності

утворює норматив управлінської інформації. Ясно, що таких нормативів

може бути дуже багато і вони повинні бути прив'язані до специфічних

особливостей окремих магазинів, торгових фірм і торгів.

Найбільш широко при побудові економічних мікромоделей

використовують методи математичної статистики - кореляційний аналіз,

індексний і вибірковий методи. Нерідко такі моделі називаються математико-

статистичними. Прикладом використання в торгівлі кореляційної моделі

може служити модель, на основі якої аналізується взаємозв'язок числа

робочих місць у магазині і величини роздрібного товарообігу в розрахунку

на одного працівника.

За використанням математичного апарату економіко-математичні

моделі можуть підрозділяти: на моделі лінійного програмування, моделі

опуклого програмування, моделі динамічного програмування, моделі

стохастичного програмування, моделі прийняття рішень в умовах

13

невизначеності (ігрові моделі), моделі сіткового планування і керування,

моделі масового обслуговування, детерміністичні моделі.

Детерміністичними називаються такі економіко-математичні моделі, у

яких результат розв’язку задачі цілком визначається заданим набором

вхідних даних (балансові, окремі оптимізаційні моделі).

Стохастичні моделі - такі моделі, у яких використовуються ймовірнісні

характеристики для оцінки параметрів чи обмежень цільової функції.

Припустимо, що на якомусь підприємстві організовується виробництво

нового виробу. У цьому випадку немає вичерпної інформації щодо

найважливіших параметрів виробництва - ресурсів, продуктивності праці,

собівартості та ін. Немає також даних про попит на цю продукцію. Якщо

можна скористатися деякими статистичними характеристиками, що

визначають зміну вихідних даних, то буде мати місце ситуація, пов’язана з

ризиком. Якщо ж немає і таких характеристик, то ситуація, у якій

приймається управлінське рішення, називається невизначеною.

В окремих випадках для подолання труднощів обчислення при

вирішенні задач з випадковими параметрами використовується наступний:

прийом: випадкові величини до початку розв’язку задачі замінюються

середніми значеннями, тобто випадковий процес заміняється його

детермінованою моделлю. Такий прийом дає гарні результати тільки тоді,

коли система складається з досить великого числа об'єктів і коли випадкові

відхилення кожного з них взаємно компенсуються. Такий підхід до вирішення

стохастичних задач полягає в тому, що оптимізується не сама цільова

функція, а її математичне очікування, дисперсія чи середнє квадратичне

відхилення.

Класифікація економіко-математичних моделей може будуватися і на

базі інших ознак. Можуть виділятися, наприклад, лінійні і нелінійні моделі,

нормативні і дескриптивні моделі, числові і логічні моделі, концептуальні і

фізичні. Однак незалежно від класифікаційних ознак цілями побудови

моделей є:

14

вивчення структури модельованого економічного об'єкта;

виявлення істотних зав’язків між елементами, виявлення причинних

залежностей;

вивчення поведінки об'єкта в цілому як замкнутої динамічної системи.

Нерідко моделі, побудовані для вивчення об'єкта, як динамічної

системи, утворюють кібернетичні моделі, тобто моделі системи керування і

різних функцій керування.

Такі моделі розробляються для виявлення процедур і схем

перетворення інформації в системах, а також для синтезування нових

систем керування. Як обов'язкові компоненти вони містять умовні «входи»

і «виходи». На «вхід» моделі подаються сигнали, що впливають на систему

управління. З «виходу» моделі знімаються характеристики, які відповідають

реакції на сигнали керування. Ті взаємозв'язки, що складаються між «входом»

моделі і її «виходом», є основою для різних висновків щодо особливостей і

специфіки перетворення інформації як у моделі, так і в об'єкті, який

моделюється. Якщо той чи інший процес перетворення інформації

змодельований з достатнім ступенем точності, то створюються умови для

керування таким перетворенням і поширення висновків, виявлених в

результаті моделювання, на реальні економічні об'єкти.

15

§3. Основні етапи економіко-математичного моделювання

Першим етапом розробки економіко-математичної моделі є детальне

вивчення об'єкту, його опис, виділення окремих структурних і

функціональних підсистем.

Особливе значення на цьому етапі має діагностика системи керування, у

яку включається загальна характеристика діючої системи керування; побудова

спеціальних моделей, що відображають інформаційні зв'язки і рух інформації;

обґрунтування принципів і методів керування; виділення контурів керування,

керованих і керуючих величин, зворотного зв'язку; визначення ступеня

відповідності основних параметрів керуючої системи особливостям об'єкта

керування та ін. При діагностиці системи керування виявляються її

природні обмеження, що перешкоджають досягненню більш високих

техніко-економічних результатів.

У торгівлі, наприклад, часто відсутня первинна інформація з реалізації

товарів у розгорнутому і груповому асортименті. Обсяг реалізації товарів по

групах, як правило, визначається непрямим шляхом на основі балансових

співвідношень. Відсутність точної інформації з характеристики «вихід»

торгівлі, як динамічної системи, приводить до ускладнень при розрахунках

керуючих впливів на керований об'єкт, якщо по деяким причинам у ньому є

відхилення.

При дослідженні об'єктів торгівлі потрібно приділяти велику увагу

різним причинам, що обумовлюють ті чи інші невизначеності. В одному

випадку невизначеність може бути пов'язана з відсутністю інформації, в

іншому доводиться мати справу з факторами, що цілком виключають точну

кількісну оцінку і допускають лише якісний неформалізований опис явища.

На другому етапі економіко-математичного моделювання на основі

прийнятого опису об'єкта здійснюється постановка задачі, визначаються

критерії - оцінки, вводяться різні обмеження по факторах, встановлюються

взаємозв'язки факторів, визначається алгоритм розрахунку параметрів моделі,

будується блок-схема моделі.

16

З усіх процедурних моментів найбільш складним на даному етапі є

встановлення форми взаємозв'язку факторів, вибір цільової функції.

Допускаючи відомі спрощення, можна сказати, що найбільш часто цільова

функція має один з наступних видів:

1) лінійна функція y=a+вx

2) парабола y=а+bх+сх2;

3) гіпербола xc

bay+

+= ;

4) степенева функція (факторіальна) у = ахn;

5) функція y= sin х.

При побудові моделей прогнозування широко використовуються

також експонентна функція bxay e= , логістична крива cxbeky −+

=)1(

,

функція Гомпертця cxbekey = і ряд інших функцій.

По закінченні другого етапу розробки економіко-математична модель

може включати:

1) словесний опис;

2) графічне зображення у виді креслень, кривих, спеціальних таблиць,

графіків, мереж, номограм;

3) блок-схеми, матриці рішень;

4) математичний опис у виді формул і системи рівнянь, нерівностей;

5) програмний опис у нотації алгоритмічної мови для введення задачі в

ЕОМ.

На третьому етапі моделювання перевіряється, чи задовольняє модель

пред'явленим до неї вимогам, а також виявляються різні її властивості,

переваги і недоліки.

Насамперед модель перевіряється на адекватність. Зазвичай модель не

відповідає в точності об'єкту, між моделлю й оригіналом завжди є якісь

розбіжності. Тому завжди виникає питання про точність відтворення моделлю

модельованого об'єкту. Необхідність перевірки адекватності моделі об'єкту

17

обумовлюється ще і тим, що для моделювання того самого об'єкта може бути

розроблено кілька самостійних моделей. Такі моделі відрізняються

складністю побудови, обсягом інформації і рядом інших ознак. Як правило,

більш складні моделі забезпечують одержання і більш точних результатів.

Однак на створення більш точних моделей потрібно і більше зусиль, часу. В

окремих випадках можливий перехід від більш складної моделі до менш

складної. Це стає зрозумілим тільки в процесі перевірки та іспиту

розробленої моделі.

Модель повинна задовольняти вимоги повноти й адаптивності, тобто

вона повинна, допускати включення в неї деяких додаткових елементів,

одержання достатньо надійних результатів при зміні змінних величин у

заданому діапазоні значень. Важливо також з'ясувати, при яких обставинах

у процесі моделювання модель перестає працювати. У даному випадку

можуть використовуватися як формальні, так і різні змістовні оцінки.

Модель повинна забезпечувати розрахунок екстремальних значень

цільової функції за заданим критерієм. Ця вимога пред'являється до

оптимізаційних моделей. У реальних умовах цільова функція може

передбачати максимізацію прибутку, чи мінімізацію витрат, часу

обслуговування.

Економіко-математичні моделі повинні бути раціональними з погляду

їхньої реалізації на ЕОМ. Багато оптимізаційних задач може вирішуватися в

системах оперативного керування. У цьому випадку час розв’язку задачі

лімітується. Тому експериментальна перевірка моделі на ЕОМ необхідна,

нерідко вона вирішує питання про прийнятність моделі.

Важливими якостями моделі є простота і наочність. Однак відразу

побудувати просту модель, що відповідає численним вимогам, не можна. У

процесі всебічної перевірки й іспиту моделі накопичується необхідна

інформація, що дозволяє внести в модель необхідні корективи. Якщо,

наприклад, модель має блокову конструкцію, то спрощення моделі може йти

по лінії виключення окремих блоків. У цілому існує досить багато різних

18

прийомів, що дозволяють спростити модель при збереженні високої її

працездатності. При спрощенні економіко-математичної моделі

поглиблюється представлення про сутність моделюючого економічного

процесу, з'являється можливість введення нових обмежень, констант,

умовних оцінок і як деякий підсумок — можливість переходу від нелінійного

зв'язку до лінійного.

При спрощенні економіко-математичної моделі можуть спостерігатися

явища, пов'язані зі збільшенням потреби у вихідній інформації. Прості моделі

в порівнянні з більш складними нерідко вимагають залучення додаткової

інформації. Тому поряд зі спрощенням економіко-математичної моделі

завжди необхідно проводити спеціальний аналіз інформаційного забезпечення.

Таким чином, спрощення економіко-математичної моделі може

досягатися різними шляхами: за рахунок постановки задачі, раціоналізації

математичного апарата й інформаційного забезпечення. В окремих випадках

істотного спрощення економіко-математичної моделі вдається досягти в

результаті структурних змін моделі на основі принципу зворотного зв'язку з

позицій системного підходу.

Системний підхід означає, що модельована задача розглядається не

ізольовано від інших задач, а в рамках визначеної відносно відособленої

локальної системи. Істотне значення при цьому має принцип розчленовування

економічної системи на ряд підсистем, зв'язаних між собою вертикальними і

горизонтальними інформаційними та функціональними відносинами. Для

кожної підсистеми визначають матеріальні та інформаційні «входи»,

«виходи», а також локальний критерій ефективності або оптимальності

функціонування, що знаходиться в узгодженні з глобальним критерієм

ефективності, встановленим у цілому для всієї системи. Виділення підсистем

у складі загальної економічної системи може виконуватися за різними

ознаками в залежності від мети і програми дослідження.

Припустимо, сформульована мета: підвищити якість планування

господарської діяльності торгового підприємства. Поставлену мету можна

19

досягти тільки на основі системного підходу, тому що планування

нерозривно зв'язано з бухгалтерським обліком, статистичною звітністю.

Отже, одночасно з поліпшенням планування треба переглядати деякі

організаційні моменти в роботі облікового апарата.

Інший приклад: для продовольчого магазина встановлений

оптимальний (максимальний по розміру товарообігу) щоденний асортимент

товарів. Ціль у виді максимізації товарообігу не буде досягнута, якщо не

будуть вирішені питання про взаємозв'язки магазина з оптовими базами,

постачальниками, транспортними організаціями. Оптові бази і

постачальники товарів повинні гарантувати потрібне товарне забезпечення,

а транспортні організації - час завезення товарів.

Однією з ознак системного підходу є визначення критерію

ефективності для даного об’экту (магазина) з позицій системи більш

високого рівня (торгівлі). Торгівлю можна, наприклад, встановити для

магазину в якості критерію ефективності не максимізацію товарообігу, а

мінімізацію обігових витрат, при виконанні деяких наперед заданих

обмежень по товарообігу, асортименту товарів та іншого.

Загальна стратегія досягнення мети - поліпшення роботи магазина,

повинна спиратися на цілий комплекс економіко-математичних моделей,

що дозволяють поетапно змінювати організацію торгового процесу.

Під стратегією в теорії керування розуміється будь-яке правило (набір

правил), випливаючи з якого виконуються визначені дії, що забезпечують

ухвалення оптимального рішення. Причому це правило поширюється на весь

процес ухвалення рішення, що включає ряд цілком самостійних етапів.

Процедурна послідовність побудови економіко-математичної моделі на

другому етапі може бути різної. Однак завжди необхідно визначити систему

обмежень, цільову функцію і умови незаперечності змінних.

Система обмежень часто записується в наступному вигляді:

a11x1+a12x2+ …. +a1nxn≤b1;

am1x1+am2x2+ …. +amnxn≤b1,

20

де хj - змінні величини, що підлягають визначенню в процесі розв’язання

задачі;

aibi — деякі постійні показники, чи константи, задачі.

Умова невід’ємності на змінні записується: xj≥0 (1≤j≤n).

Цільова функція F, максимум або мінімум якої потрібно знайти ,

визначається як:

∑=

=n

jjj xcF

1

де cj — прибуток від виробництва (реалізації) одиниці продукції.

Приведена лінійна цільова функція разом із системою обмежень і

умовою невід’ємності змінних утворить математичну модель. Економічна

інтерпретація моделі може бути різною. У більшості випадків така

інтерпретація подається на прикладі виробничого використання, обмеженого

за обсягом ресурсів вихідної сировини.

Нехай, наприклад, промислове підприємство випускає n різних видів

товарів народного споживання.

Необхідно визначити об’єм визначити випуску кожного виду товару.

Причому, таким чином, щоб об’єм виробництва не перевищував граничного

об’єму вихідної сировини, яка визначається величинами b1, b2, … , bm і

забезпечив би максимальний прибуток. Прибуток від виробництва кожного

виду товарів, визначається діючими нормативами: c1, c2, … , cn.

Сформульована таким чином задача планування виробництва

приводить нас до задачі лінійного програмування.

Відмітимо деякі математичні особливості задач лінійного

програмування:

1) в систему рівнянь і цільову функцію всі змінні величини можуть

входити лише в першому ступені;

2) складена система рівнянь може мати одну множину розв’язків або

зовсім не мати них. Система рівнянь не має жодного розв’язку якщо вона

несумісна. Зрозуміло тому, яке значення має перевірка сумісності

21

рівнянь. Лінійні рівняння виду Аx=y сумісні тоді, коли будь-яке лінійне

відношення, якому задовольняють рядки матриці А, справедливе для

відповідних елементів вектора y. Якщо ранг матриці r менший кількості

перемінних n, тобто r<n, то система має нескінченну кількість розв’язків.

Це означає, що є область допустимих розв’язків. При розв’язку

економічних задач лінійного програмування приходиться мати справу в

основному із системами рівнянь, у яких ранг матриці А менше кількості

перемінних n;

3) якщо задача включає n змінних і m лінійно незалежних рівнянь,

причому n >m, то в оптимальному плані позитивні значення будуть мати

не більше m змінних;

4) оптимум цільової функції може досягатися при єдиному сполученні

значень змінних чи величин при багатьох варіантах плану.

Для розв’язку систем лінійних рівнянь можуть застосовуватися різні

методи, що в загальному випадку поділяються на точні і наближені. До

точних методів відноситься метод послідовного виключення Гаусса чи

метод повного виключення Жордана — Гаусса. До наближених методів

відноситься метод ітерацій.

Метод ітерацій заснований, на "повторенні обчислювальних

процедур, що в остаточному підсумку приводить до розв’язку задачі.

Обчислення повторюються крок за кроком, поки одержувані результати

не будуть відповідати заданій точності. При розв’язуванні задачі лінійного

програмування вихідна система рівнянь має вигляд:

x1=a11x1+a12x2+ … +a1nxn+b1

x2=a21x1+a22x2+ … +a2nxn+b2

xn=an1x1+an2x2+ … +annxn+bn

На першій ітерації всі змінні величини прирівнюються до вільних

членів рівнянь, тобто початкове (нульове) їхнє значення визначається так:

1)0(

1 bx =

2)0(

2 bx =

22

nn bx =)0(

Отримані в результаті обчислень на першому кроці значення змінних

знову вводяться в рівняння, і процес обчислень повторюється. Для k-ї

ітерації маємо:

11

)1(1

)(1 bxax

n

j

kjj

k +=∑=

−

21

)1(2

)(2 bxax

n

j

kjj

k +=∑=

−

...........................

n

n

j

kjnj

kn bxax +=∑

=

−

1

)1()(

Ознакою збіжності ітераційного процесу є співвідношення, коли

максимальна сума абсолютних значень коефіцієнтів в правій частині системи

рівнянь менше одиниці, тобто

∑∑∑===

n

jnj

n

jj

n

jj aaa

112

11 ;...;;max <1

Отже, в економіці, і частково в торгівлі, може бути сформульоване

досить велике число оптимізаційних задач. Але це не означає, що для

кожної задачі потрібно обов'язково розробляти свою власну модель і

підбирати для неї відповідний метод розв’язку. У лінійному програмуванні,

як і в оптимальному програмуванні взагалі, існує порівняно невелика кількість

типових моделей, до яких прагнуть звести кожну конкретну задачу. Це

також визначає і метод розв’язування задачі.

Загальний принцип розв’язку задач лінійного програмування полягає

в поетапному, послідовному переході від вихідного варіанта задачі до

оптимального плану. Кількість різних методів, якими користуються при

розв’язку задач лінійного програмування, досить велика. Однак усі вони

можуть бути зведені до трьох основних груп.

23

Перша група — це методи, що поетапно дозволяють одержати

припустимий варіант плану. Такий план задовольняє всім обмеженням, але

необов'язково є оптимальним. Він може бути доведений до оптимального

варіанта шляхом визначених покращень (симплексний метод).

До другої групи відносяться методи, що дозволяють відразу одержати

умовно-оптимальний план, який максимізує цільову функцію. Однак

цілком є допустимий умовно-оптимальний план може стати тільки після

спеціальних перетворень.

У третю групу включаються такі методи, що не гарантують

одержання чітко оптимального плану, а дають наближені його варіанти.

Особливо інтенсивно сьогодні розвиваються методи машинного

моделювання, методи машинної імітації процесів, які проходять в

економічних системах. При цьому використовуються як цифрові, так і

аналогові обчислювальні машини. Досвід моделювання ситуацій, що

складаються в торгівлі, за допомогою моделюючих машин поки невеликий.

Однак він переконує в тому, що таке моделювання можливо і часом може

давати винятково цінні результати. Як приклад можна назвати задачі по

моделюванню попиту на конкретні товари.

Моделювання на цифрових електронно-обчислювальних машинах

розвинуто більш широко. У цьому випадку модель досліджуваного об'єкта

представляється у вигляді програми для ЕОМ. Експериментальні

обчислення дозволяють бачити поводження моделі (об'єкта) при

визначених обмежуючих умовах і робити висновки, приймати різні

управлінські рішення.

24

Розділ 2. Ігрові моделі

§1. Поняття теорії ігор

У процесі прийняття майже будь-якого управлінського рішення можна

виділити наявність конфліктної ситуації. Суть такої ситуації звичайно

виявляється в тому, що покращення одних економічних показників, що

характеризують остаточний результат, визначається, як правило, за рахунок

погіршення інших показників. Таким чином, ці показники вступають між

собою у своєрідний конфлікт, при якому погіршення (програш) для одних

показників обертається поліпшенням (виграшем) для інших.

Наприклад, при обладнанні торгового центру доводиться вирішувати

питання про кількість прилавків, кас, допоміжного устаткування (ліфтів,

транспортерів, ваг). Для розміщення кожного з цих видів устаткування

потрібно певна площа. В результаті збільшення кількості одного виду

устаткування може викликати необхідність зменшення інших видів

устаткування. Прийняте в цих умовах рішення має враховувати суперечливі

вимоги виходячи з мети, яка поставлена перед усім торговим центром.

Приклади конфліктних ситуацій можуть бути дуже різноманітні. Кожна

безпосередньо взята з практики ситуація, звичайно, може виявитися дуже

складною. Щоб зробити математичний аналіз конфліктної ситуації,

доводиться відкинути усі другорядні фактори, побудувати модель цієї

ситуації. Таку модель будь-якої конфліктної ситуації називають грою.

Теорія ігор – це математична теорія конфліктних ситуацій.

Конфліктуючі показники умовно називаються гравцями. Результат гри

обертається для одних виграшем, для інших – програшем. Кінцевою метою

теорії ігор є вироблення таких рекомендацій гравцям, щоб той хто виграє зумів

виграти якнайбільше, а той хто програє — програв якнайменше.

Важливим поняттям в цій теорії є поняття стратегії гравця. Під

стратегією гравця розуміють правило дії гравця в кожній можливій ситуації

25

гри. Залежно від числа можливих стратегій гравців розрізняють скінченні і

нескінченні ігри.

У грі можуть зіткнутися інтереси двох чи більш гравців. Якщо гравців

два, то має місце гра двох осіб. Якщо гравців більш двох, то гра називається

грою багатьох осіб. Учасники гри багатьох осіб можуть утворювати коаліції.

Розглянемо випадок, коли у грі беруть участь два гравці А і В з певними

інтересами. Сама гра — це ряд дій, чи «ходів», гравців А і В, що виконуються

за визначеними правилами. Правила гри чітко визначаються і повинні

включати опис можливих дій гравців, обсяг відомостей, доступних кожній

стороні, про поводження іншої сторони і результат гри, до якого приводить

кожна сукупність ходів гравців.

Гра називається грою з нульовою сумою (матричною грою), якщо

виграш гравця А дорівнює програшу гравця В (чи навпаки). У прикладі

конфліктної ситуації при обладнанні торгового центру саме має місце такий

випадок: при зменшенні кількості прилавків, площу торгового залу, що

звільнилася, можна використовувати для встановлення кас.

Гравці А і В роблять ряд послідовних ходів, тобто роблять ряд

послідовних дій, передбачених правилами гри. Усі ходи поділяються на

особисті і випадкові. Особистим ходом називається вибір і здійснення самим

гравцем однієї з запропонованих правилами визначеної дії. Випадковим

ходом називається вибір і здійснення одного з запропонованих

правилами дій, що визначається не самим гравцем, а деяким

механізмом випадкового вибору (кидання монети, використання

таблиць випадкових чисел). Для кожного випадкового ходу правила гри

визначають розподіл ймовірностей можливих варіантів.

Стратегія гравця — це сукупність правил, що визначають вибір дії при

кожному ході в залежності від ситуації, що склалася в ході гри.

Теорія ігор дає вказівки гравцям при виборі ходів, тобто

рекомендує їм кращі стратегії.

26

Завдання стратегій гравців А і В у грі двох осіб цілком визначає її

результат, тобто виграш одного гравця і програш іншого. Гра називається

скінченною, якщо в кожного гравця є лише скінченне число стратегій. Якщо

таких стратегій нескінченно багато (нехай навіть тільки в одного гравця), то

гра називається нескінченною.

Можна уявити собі випадок (для скінченних ігор це не складно), що

всі рішення про вибір ходів, прийняті гравцем А заздалегідь з

урахуванням усіх можливих ходів гравця В. Це означає, що гравцем А

обрана визначена стратегія. Аналогічно вибирається стратегія гравцем В.

Тоді ці стратегії можуть бути передані машині-автомату (наприклад ЕОМ)

у вигляді програми дій, що цілком визначає хід гри.

Метою теорії ігор є вироблення оптимальних для гравців А і В

стратегій, що при багаторазовому повторенні гри забезпечують гравцям

максимально можливий середній виграш чи мінімально можливий

середній програш. Причому завжди при виборі стратегій передбачається,

що якщо гравець А прагне максимально збільшити свій виграш, то гравець

В робить усе, щоб перешкодити гравцю А це зробити.

27

§2. Платіжна матриця. Ціна гри. Принцип максиміна і

мінімакса

Перейдемо безпосередньо до опису математичного апарату, що

використовується в теорії ігор. Розглянемо скінченну гру, у якій гравець А має

m стратегій (А1, А2, ... , Аm), а гравець B — n стратегій (В1,В2 , ... , Вn). Така

гра називається грою m х n. Якщо гравці А і В використовують тільки

особисті ходи, то вибір стратегій А і В однозначно визначає результат гри аij,

тобто число, що характеризує виграш гравця А и програш гравця В. Причому

aij може бути і додатнім, і від’ємним. Будемо вважати, що при аij >0 гравець А

виграє, а гравець B програє величину aij. Якщо aij <0 то, навпаки, виграє

гравець В і програє гравець А. У цьому випадку замість програшу часто

говорять про негативний виграш гравця А.

Якщо в грі використовуються випадкові ходи, то виграш при двох

стратегіях Аi, Bj є випадковим. У цьому випадку за оцінку очікуваного

виграшу береться його математичне очікування.

Припустимо, що нам відомі всі значення aij у грі m x n. Ці значення

зручно записати у вигляді таблиці платіжної матриці (табл.2.1.), де рядки

відповідають стратегіям Аj , а стовпці — стратегіям Bj.

Побудувати платіжну матрицю не завжди просто, оскільки кількість

стратегій m x n можуть виявитися дуже багато. Однак у принципі будь-яка

скінченна гра може бути приведена до матричного виду.

А В B1 B2 … Bn

A1 a11 a12 … a1n

A1 a21 a22 … a2n

… … … … …

Am am1 am2 … amn Таблиця 2.1

28

Розглянемо найпростіший приклад побудови платіжної матриці.

Розглянемо гру «пошук». Ця гра двох гравців А и В полягає в тому, що гравець

А ховається, а гравець В його шукає. У розпорядженні гравця А є тільки дві

схованки, кожну з яких він може використовувати на свій розсуд. Коли

використовується перша схованка, будемо говорити, що гравець А вибрав

стратегію А1. Коли обрана друга схованка, то це значить, що обрано стратегію

А2. Аналогічно гравець В може шукати гравця А в першій чи другій схованці,

вибираючи відповідно стратегії В1 і В2. Домовимося про умови гри: якщо

гравець В знаходить гравця А, то останній платить йому 1 грн.; якщо В не

знаходить А, то В сам повинен сплатити гравцю А 1 грн. Таким чином, гравець

А може виграти +1 грн. або -1 грн. (програти 1 грн.). Гравець В може при таких

умовах програти 1 грн. або -1 грн. (виграти 1 грн.). Побудуємо платіжну

матрицю для цієї гри. Оскільки в кожного з гравців А і В є тільки по дві

стратегії, то це буде гра 2 x 2, для якої платіжна матриця має вигляд, поданий

у табл.2.2.

В

А

B1 B2

A1 - 1 + 1

A2 + 1 - 1

Таблиця 2.2.

Припустимо, що спочатку гравець А обрав стратегію А1, тобто сховався

в першій схованці. Якщо гравець В обрав стратегію В1 то він знайшов гравця

А, і останній програв 1 грн. (в таблиці клітка на перетинанні А1 і В1), тобто В1

виграв у гравця А1 1 грн. Припустимо, що гра продовжується далі. Якщо при

цьому гравець А постійно дотримує однієї і тієї ж стратегії, наприклад А1, то

гравець, запам'ятавши попередні ситуації, дуже скоро засвоїть це і почне

29

щораз вигравати в гравця А по 1 грн. Аналогічно гравець В буде вигравати,

якщо гравець А буде увесь час дотримувати стратегії А2 чи навіть чергувати

яким-небудь закономірним чином стратегії А1 і А2 (наприклад, через раз

використовувати А1 чи А2). Тут ми припускаємо, як уже було сказано вище,

що гравці завжди намагаються вибрати для себе найбільш вигідні стратегії і

при цьому виборі використовують весь досвід. Тому приходиться визнати

той факт, що як би не намагався гравець А сховати закономірність

використання їм стратегій А1 і А2, все рівно через якийсь час гравець В може

розгадати цю закономірність і буде постійно вигравати.

Очевидно, єдиний спосіб, що гарантує гравцю А не програти, буде такий

вибір стратегій А1 і А2, коли буде відсутня будь-яка закономірність у їхньому

чергуванні, тобто цей вибір здійснюється випадково, наприклад, шляхом

кидання монети: випав герб – застосовуємо стратегію А1, випала цифра –

застосовуємо стратегію А2. У цьому випадку гравець В цілком позбавляється

можливості адаптуватися під дії гравця А, і йому залишається тільки також

організувати випадковий вибір стратегій В1 і В2.

Такий підхід до гри, коли для виграшу гравець змушений

використовувати випадковий вибір стратегій, називається використання

змішаних стратегій. Отже, змішані стратегії отримують шляхом випадкового

чергування окремих чистих стратегій. При цьому треба ще ввести ймовірності

використання чистих стратегій при утворенні змішаних стратегій. У

розглянутій вище грі «пошук» ми неявно припускали, що ймовірність

стратегій А1 і А2 однакові і рівні 0,5. У більш складних прикладах з великим

числом чистих стратегій необхідно визначити ці ймовірності, тобто

встановити розподіл ймовірностей використання чистих стратегій у

змішаній стратегії.

Розглянемо ще один приклад – гру «старі і нові товари». Припустимо,

що в нашому користуванні є три види «старих» товарів А1, А2, А3, що

надходять на ринок уже давно і попит на який добре відомий. З якогось

моменту в торгову мережу починають надходити «нові» товари В1 В2, В3, які

30

можуть замінити «старі» товари А1, А2, А3, тобто, які зменшують попит на них.

Також відомі ймовірності продажу «старих» товарів за умови появи в

торговій мережі «нових» товарів. Тоді умову гри можна записати у виді

платіжної матриці (табл. 2.3.).

А

В В1 В2 В3

А1 0,5 0,6 0,8

А2 0,9 0,7 0,8

А3 0,7 0,5 0,6

Таблиця 2.3.

Такий запис умови задачі означає, що якщо випустити в продаж новий

товар В1, то попит на товар А1 складе тільки 0,5 від попереднього попиту до

появи товару В1, попит на товар А2 складе 0,9 від попиту до появи товару

В1 і, нарешті, попит на товар А3 складе 0,7 попереднього. Аналогічно

міркуємо з появою товарів В2 і В3. Наше завдання полягає в тому, щоб

вибрати стратегію випуску на ринок «старих» товарів А і «нових» товарів

В таким чином, щоб забезпечити оптимальне співвідношення між

продажем «нових» і «старих» товарів.

При розв’язанні цієї задачі будемо міркувати таким чином. Товари А

і В виступають як гравці з протилежними інтересами: частина попиту, що

втрачає гравець А, одержує гравець В. Спочатку точки зору гравця А і

розглянемо всі його стратегії.

На стратегію А1 його супротивник В може відповісти кожною із

стратегій В1, В2, В3 (див. табл. 2.3.). Але відповідь гравця В у вигляді

стратегії В1 є для нього кращою, тому що при цьому він забере половину

попиту в гравця А. На стратегію А2 гравець В повинний відповісти

найкращим для себе способом стратегією В2 і відібрати 0,3 попиту в гравця

31

А. І, нарешті, на стратегію А3 відповідь повинна бути також В2 (половина

попиту переходить до гравця В).

З точки зору гравця В, якщо він вибирає стратегію В1 то гравець А може

відповісти йому будь-якою стратегією А1, А2, А3. Але найкращою в цих

умовах буде стратегія А2, оскільки гравець А зберігає 0,9 від колишнього в

нього раніше попиту. На стратегію В2 гравець А повинен відповісти

стратегією А2 (зберегти 0,7 попиту) і на стратегію В3 відповідь гравця А може

бути А1 чи А2 (обидві відповіді однаково вигідні гравцю А, тому що

забезпечують йому збереження 0,8 від колишнього попиту).

Отже, гравці А і В діють таким чином, щоб не дати можливості

одержати супротивнику переваги. Однак подивимося, чи не можна досягти

угоди між ними, тобто вибрати такі стратегії Аi Bj, що будуть вигідними для

обох гравців в умовах даної гри. Дійсно, стратегії А2 і В2 (з виграшем гравця

А, рівним 0,7) є оптимальними для обох гравців. Гравцю А невигідно

відмовлятися від стратегії А2, оскільки його найбільший виграш

забезпечується тільки при даній стратегії. Гравцю В нічого не залишається

іншого, як прийняти стратегію В2 при виборі гравцем А стратегії А2, оскільки

будь-який відхід від стратегії В2 приводить до збільшення його програшу і

відповідному виграшу гравця А (при використанні стратегії А2, В1 гравець

А виграє 0,9, при використанні стратегії А2, В3 - 0,8, а при використанні

стратегії А2, В2 – тільки 0,7). Досягнута угода про стратегії А2, В2 є

положенням рівноваги: якщо гравець А вибере стратегію А2, то гравцю В

нічого не залишається, як вибрати найкращою стратегією стратегію В2, і

навпаки, якщо гравець В вибере стратегію В2, то гравець А не може знайти,

кращого вибору, ніж стратегія А2. Стратегії, які володіють такою властивістю,

є оптимальними стратегіями гравців і утворюють розв’язок гри. Метою ігор є

розробка методів знаходження розв’язку гри для різних конкретних задач.

Розглянемо платіжну матрицю загального вигляду (табл.2.4.) для того,

щоб узагальнити правила, які застосовуватимуться в задачах знаходження

розв’язку гри.

32

А

В B1 B2 … Bj … Bn

A1 a11 a11 … a1j … a1n

A2 a21 a22 … a2j … a2n

… … … … … … …

Ai ai1 ai2 … a1j … a1n

… … … … … … …

Am am1 am2 … amj … amn

Таблиця 2.4.

Припустимо спочатку, що гра складена таким чином, що існує її

розв’язок в чистих стратегіях. Спочатку визначимо найкращу зі стратегій

гравця А, тобто найкращу з А1, А2, ... , Аm з урахуванням усіх можливих

відповідей на неї гравця В. При цьому ми повинні розраховувати на те, що на

будь-яку стратегію Аi гравець В відповість стратегією Вj, для якої виграш

гравця А виявиться мінімальним. Щоб знайти цю стратегію Вj, треба в

рядку платіжної матриці, що відповідає стратегії Аi (рядку з номером i),

знайти мінімальне з чисел аij. Позначимо його αi -, тобто αi,= min aij, де мінімум

визначається шляхом перебору всіх номерів стовпців.

При зміні стратегій гравця А відповідне кожної з цих стратегій число αi

також буде мінятися. Природно, що гравцю А вигідніше за все зупинитися

на такій стратегії Аi, для якої значення αi буде максимальним. Позначимо

це максимальне значення, тобто α =max αi або, враховуючи вираз для αi,

будемо мати α=max min aij.

Величину α прийнято називати нижньою ціною гри або

максимінним виграшем (скорочено максиміном). Стратегію гравця А, якій

відповідає максимін α, назвемо максимінною стратегією.

Якщо гравець А буде дотримувати максимінної стратегії, то йому при

будь-якій поведінці гравця В гарантується виграш не менше, ніж α. Тому

33

величину α називають нижньою ціною гри, тобто це той гарантований

мінімум, що одержить гравець А в даній грі.

Аналогічно можна визначити найкращу зі стратегій гравця В. Він

прагне обернути виграш гравця А до мінімуму. Для цього гравець В

намагається для кожної своєї стратегії Вj, одержати максимальне значення

виграшу при будь-якій стратегії гравця A, тобто він шукає значення βj таке,

що βj=max aij.

Однак гравець В не може розраховувати на те, що гравець А дозволить

йому одержати кожен з виграшів βj. Єдине на що може розраховувати

гравець В, так це на те, що одержить виграш, що буде не менше, ніж

величина β, обумовлена виразом β=min max aij

Ця величина β називається верхньою ціною гри чи мінімаксним

виграшем (мінімаксом). Відповідна мінімаксу стратегія гравця В називається

мінімаксною стратегією. Це найбільш обережна стратегія гравця В, що

забезпечує йому в будь-якому випадку програш не більше β і, відповідно,

виграш гравцю А також не більше β.

У теорії ігор принцип обережності, що рекомендує гравцям

дотримуватися максимінної і мінімаксної стратегії, називається принципом

мінімакса. Він слідує із припущення про обережність гравців і допомагає

розв’язати конфліктну ситуацію найкращим для всіх, хто бере участь у ній,

способом.

Визначимо нижню і верхню ціну гри, а також мінімаксну і максимінну

стратегії для розглянутих вище двох прикладів.

Для гри «пошук» запишемо платіжну матрицю і всі значення αi і βj

в таблицю 2.5.

Так як усі величини α (αi і α2) рівні тому самому числу -1, а величини β

(β1 і β2) рівні +1, то нижня і верхня ціни гри різні і рівні: α = -1, β = +1.

Будь-яка стратегія гравця А є максимінною, будь-яка стратегія

гравця В є мінімаксною. З розв’язку гри випливає, що, дотримуючись

34

кожної зі своїх стратегій, гравець А програє не більше 1 грн., гравець В

також виграє не більше 1 грн.

А В В1 В2 αi

A1 - 1 + 1 - 1

A2 + 1 - 1 - 1

βj + 1 + 1

Таблиця 2.5.

Для гри “старі і нові товари” платіжна матриця разом з значеннями αi і βi

у вигляді табл. 2.6.

В даному випадку нижня ціна гри дорівнює верхній ціні гри: α = β = 0,7.

Мінімаксні стратегії А2 і В2 утворюють так звану сідлову точку. Ці стратегії

являються стійкими в тому розумінні, що відхилення від цих стратегій

невигідні для обох гравців.

А В В1 В2 В3 αi

A1 0.5 0.6 0.8 0.5

A2 0.9 0.7 0.8 0.7

A3 0.7 0.5 0.6 0.5

βj 0.9 0.7 0.8

Таблиця 2.6.

35

§3. Розв’язок гри в змішаних стратегіях

В розглянутих вище прикладах лише у грі “старі і нові товари” існує

сідлова точка. У грі “пошук” сідлова точка відсутня, верхня та нижня ціна гри

були різними. Вже сам розгляд гри «пошук» показав, що використовуючи

тільки чисті стратегії не можна досягти виграшу. При цьому А може

гарантувати собі виграш не вище, ніж нижня ціна гри α = -1. Вихід з такого

положення був знайдений у використанні змішаних стратегій, при яких

можливі стратегії гравця чергуються випадковим чином з визначеними

ймовірностями. При цьому гравець А може сподіватися, якщо не

виграти в гравця В, то принаймі не програти йому. Це означає, що гравець

А може досягти виграшу більшого, ніж α = -1.

Змішані стратегії являють собою математичну модель адаптивної і

гнучкої тактики гравця, при якій гравець-супротивник, не може довідатися

заздалегідь те положення, з яким йому доведеться зустрітися в грі, тому що

перед кожною партією організовується випадковий вибір однієї з чистих

стратегій за допомогою деякого механізму, що робить цей вибір з визначеними

і заздалегідь заданими ймовірностями. Покажемо, як визначити ці

ймовірності, виходячи з оптимального розв’язку гри.

Розглянемо гру m x n, коли в гравця А є m стратегій, а в гравця В – n

стратегій. Введемо позначення для змішаних стратегій гравців А і В:

SA = SA (p1, p2, … , pm)

SB = SB (q1, q2, … , qn)

де р1, р2, ... , рm - ймовірності використання чистих стратегій А1, А2, ...

, Аm;

q1, q2, … , qn – ймовірності чистих стратегій В1, В2, ... , Вn.

Оскільки ці стратегії за умовою гри повністю вичерпують можливі ходи

гравців А і В, то вони утворять повну групу подій. Тому для ймовірностей pi

36

справедлива умова 1=∑m

nip . Аналогічна умова має місце для ймовірностей

qj. 11

=∑=

n

jjq .

Очевидно, кожна чиста стратегія є частковим випадком змішаної

стратегії, коли всі стратегії, крім обраної чистої стратегії, мають ймовірності

рівні нулю, а ця обрана стратегія — ймовірність, рівну одиниці.

Виявляється, якщо допустити можливість використання змішаних

стратегій, то для кожної скінченної гри можна знайти оптимальний розв’язок,

тобто пару стійких оптимальних стратегій гравців.

Теорема (основна теорема матричних ігор). Будь-яка матрична гра має

розв’язок в змішаних стратегіях.

З цієї теореми випливає, що кожна матрична гра має ціну ν, причому

ця ціна завжди лежить між нижньою α і верхньої β ціною гри:

α< ν < β.

Дійсно, α є мінімальний гарантований виграш, що може забезпечити

собі гравець А, застосовуючи тільки свої чисті стратегії. Застосовуючи

змішані стратегії, гравець А у всякому разі не зменшить свій виграш,

тобто ν > α. Для гравця В аналогічні міркування приведуть до

висновку, що ν ≤ β. Тому в загальному випадку α ≤ ν ≤ β.

Якщо в де-якій грі m x n знайдено оптимальний розв’язок який

полягає у використанні оптимальних змішаних стратегій:

S*A(p1, p2, … ,pm) і S*

В(q1, q2, … ,qn),

то чисті стратегії А1, А2, ... , Аm і B1, B2, ... , Вn, для яких ймовірності рi і qj

виявилися відмінними від 0, називаються активними стратегіями гравців А

і В.

Теорема (про активні стратегії). Якщо один із гравців дотримується

своєї оптимальної змішаної стратегії, то його виграш не менший ніж ціна

гри, незалежно від того, що робить інший гравець.

37

Зміст цієї теореми полягає в тому, що якщо один із гравців почне

послідовно дотримуватися своєї оптимальної змішаної стратегії, то

гравець-супротивник вже не зможе змінити результат гри.

Розглянемо приклад використання змішаних стратегій для

знаходження розв’язку в грі “пошук”. В цій грі кожен гравець має по дві

чисті активні стратегії: A1, A2 і В1, В2 . Складемо з них змішані стратегії:

SA=SA(p1, p2) і SB=SB (q1, q2),

де p1, p2 і q1, q2 – ймовірності використання чистих стратегій.

Платіжну матрицю гри можна записати у вигляді таблиці 2.7.

А В В1 В2

А1 а11 а12

А2 а21 а22

Таблиця 2.7.

Згідно теореми про активні стратегії можна твердити, що при

використанні гравцем А стратегії А1 і А2 з ймовірностям p1 і p2 гравець В

може використовувати будь-яку із своїх чистих стратегій В1 або В2 і при

цьому виграш гравця А завжди складе ціну гри. Це твердження дозволяє

одержати два рівняння:

a11p1+a21p2 = ν

a22p1+a22p2 = ν

Перше з них одержане з міркувань, що гравець В дотримується

стратегії В1, друге – стратегії В2. Взявши до уваги умову що p1+p2 = 1,

будемо мати:

21122211

21221

2paaaa

a−−+

−= ;

38

21122211

12112p

aaaaaa

−−+−

= ;

21122211

21121122

aaaaaaaa−−+

−=ν .

Міркуючи аналогічно для гравця В, одержимо рівняння для

ймовірностей, що визначають його оптимальну змішану стратегію:

a11q1 + a12q2 = ν;

a21q1 + a22q2 = ν,

звідки 21122211

12221 aaaa

aaq−−+

−= , q2 = 1 – q1.

Для умов гри «пошук» значення виграшів рівні: а11 = -1, а12 = 1, а21 = 1,

a22= - 1. Підставляючи ці значення в отримані формули, знаходимо:

р1 = 0,5, р2 = 0,5, q1 = 0,5, q2 = 0,5. Оптимальними змішаними стратегіями

гравців А і В будуть: S*A (0,5; 0,5) і S*

B= (0,5; 0,5). Отже, оптимальні стратегії

гравців складаються за допомогою випадкового чергування чистих стратегій

з ймовірностями 0,5, і при цьому середній виграш буде дорівнює нулю.

Тобто, остаточний розв’язок підтверджує той інтуїтивний висновок про

оптимальні стратегії, який був отриманий раніше.

39

§4. Розв’язання гри методами лінійного програмування

В загальному випадку при великих m і n розв’язок гри m x n є

складною задачею. Покажемо, що розв’язок будь-якої скінченної гри може

бути зведений до задачі лінійного програмування.

Будемо вважати, що платіжна матриця гри аij (табл. 2.7.) нам відома.

Знайдемо розв’язок гри, тобто дві оптимальні змішані стратегії гравців А і

В:

S*A (p1, p2, … , pm ) і S*

В (q1, q2, … , qn ).

Знайдемо спочатку оптимальну стратегію S*A . Ця стратегія повинна

забезпечувати гравцю А виграш не менше ν при будь-якій поведінці гравця

В і виграш, рівний V при оптимальній поведінці гравця В.

Припустимо, що ціна гри ν >0. Дійсно, для виконання умови ν > 0

досить, щоб всі елементи платіжної матриці були невід’ємними. Цього

можна досягти в будь-якій грі, додавши до всіх елементів аij одну й ту ж

достатньо велику величину М. При цьому ціна гри збільшиться на М, а сам

розв’язок (вибір стратегій) не зміниться.

Припустимо далі, що гравець А застосовує свою оптимальну змішану

стратегію S*A (поки нам невідому), а гравець B - тільки свою будь-яку чисту

стратегію Вj . Тоді середній виграш гравця А складе

aj = p1a1j+p2a2j+ … +pm amj.

Але кожне з чисел аj не може бути менше ν. Звідси одержуємо в

загальному випадку n нерівностей:

p1a11+p2a21 + … + pm am1 ≥ ν ;

p1a12+p2a22 + … + pm am2 ≥ ν ;

……………………………

p1a1n+p2a2n + … + pm amn ≥ ν .

Введемо нові позначення:

ν1

1x p= ;

ν2

2x p= ;

νmp

=mx ;

40

Тоді після ділення всіх нерівностей на ν будемо мати

a11x1 + a12x2 + … + am1xm ≥ 1;

a12x1 + a22x2 + … + am2xm ≥ 1;

…………………………….

a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm ≥ 1,

де за умовою всі xi – невід’ємні змінні, які задовольняють умову

x1 + x2 + … + xm = ν1 .

Гравець А прагне зробити свій гарантований виграш ν максимальним. Це

значить, що величина ν1 повинна приймати мінімальне значення. Таким

чином, задача розв’язання гри звелася до наступного задачі лінійного

програмування: визначити такі невід’ємні значення змінних x1, x2, … , xm

щоб перетворилась в мінімум лінійна функція

Lx = x1 + x2 + … + xm

при умові, що виконуються обмеження.

Міркуючи аналогічно, тобто послідовно фіксуючи чисті стратегії Ai

гравця А, оптимальну стратегію гравця В визначимо, розв’язуючи наступну

задачу лінійного програмування: визначити такі невід’ємні значення

змінних y1, y2, … , yn , щоб перетворилась в максимум лінійна функція

Lx = y1 + y2 + … + ym

при умові, що виконуються обмеження:

a11y1 + a12y2 + … + a1nyn ≤ 1;

a21y1 + a22y2 + … + a2nyn ≤ 1;

……………………………..

am1y1 + am2y2 + … + amnyn ≤ 1.

Тут введенні позначення:

ν1

1y q= ;

ν2

2y q= ;

νnq

=ny ;

41

Замість вимоги мінімізації функції ν1

=xL тепер використовується

вимога максимізації функції ν1

y =L , оскільки гравець В, на відміну від гравця

А, прагне мінімізувати ν (програти як можна менше).

Отже, розв’язок гри m x n звівся до розв’язку двоїстої пари задач

лінійного програмування, а цей розв’язок завжди існує.

42

§5. Ігри в умовах ризику

Часто при виборі розв’язку гри доводиться зустрічатися не з

протистоянням гравців, а з їх з недостатньою інформованістю про умови, як

буде проводитись гра. Наприклад, може бути недостатньо відома купівельна

спроможність, об’єм перевезень та інші важливі для планування економічні

фактори. В усіх цих випадках умови знаходження розв’язку залежать від

об'єктивної дійсності, що прийнято називати «природою», а ігри в цих умовах

називаються «іграми з природою».

Розглянемо таку ситуацію. Нехай гравець А має m різних стратегій А1,

А2, ... , Аm. Відносно «природи» П відомо, що вона має n різних станів П1, П2,

… , Пn. Так само, як і раніше, вважається відомим виграш аij гравця А при

кожній парі стратегій гравця і природи, тобто відома платіжна матриця

(табл. 2.8.).

А П П1 П2 ... Пn

A1 a11 a12 … a1n

A2 a21 a22 … a2n

… … … … …

Am am1 am2 … amn

Таблиця 2.8.

Потрібно вибрати стратегію гравця А, що забезпечує найкращий

результат.

В теорії ігор вводиться поняття ризику. Ризиком гравця А при

використанні стратегій Аi в умовах природи Пj називається різниця між

виграшем, що він одержав би, якби знав Пj, і виграшем, що він одержить в

тих же умовах, застосовуючи стратегію Аi.

Позначимо через rij ризик гравця при його стратегії Аi в умовах Пj.

Якби А знав заздалегідь стан природи Пj, то він вибирав би ту стратегію Аi,

43

якій відповідає максимальний виграш у стовпці Пj, тобто він виграв би

величину

ijj amax=β .

Тоді відповідно до визначення будемо мати

0rij ≥−= ijj aβ .

Для кожного елемента платіжної матриці можна визначити

величину ризику, тобто перейти від платіжної матриці aij до матриці

ризиків rij. Ця матриця дає більш наглядну картину невизначеної

ситуації, ніж вихідна матриця aij.

Розглянемо приклад побудови матриці ризиків. Нехай планується

торгівельна операція в заздалегідь невизначених умовах ринкової

кон’юнктури П. Відносно даних умов є набір пропозицій П1, П2, П3, П4,

тобто вважається, що кон’юнктура може приймати тільки чотири

дискретних стани, а гравець А має три чистих стратегії А1, А2, А3.

платіжну матрицю запишемо у вигляді таблиці

А П П1 П2 П3 П4

А1 2 6 2 9

А2 3 8 4 3

А3 4 6 6 2

Таблиця 2.9.

Перейдемо до матриці ризиків. Для цього знайдемо в кожному

стовбці максимальне значення елементи аij. Для першого стовбця цим

елементом буде 4311 == aβ , для другого 8222 == aβ , для третього

6333 == aβ , для четвертого 9144 == aβ . Потім від цих елементів jβ

віднімаємо всі елементи aij і записуємо їх на відповідних місцях матриці

ризиків

44

А П П1 П2 П3 П4

А1 2 2 4 0

А2 1 0 2 6

А3 0 2 0 7

Таблиця 2.10.

Розглянувши дану матрицю стають зрозумілими деякі особливості

даної гри. Так в платіжній матриці при стратегії А2 по другому рядку ми

будемо мати а21=а24=3. В дійсності виявляється, при стані кон’юнктури

П1 ми можемо виграти найбільше 4 одиниці і вибір стратегії А2 достатньо

добрий; якби стан кон’юнктури був П4, то вибір стратегії А2 буде

поганий через дуже великий ризик програти (r24=6). Тому вибір стратегії

А1 з меншим максимальним ризиком (r12=4) може виявитися більш

кращим.

45

§6 Критерії оцінки стану природи. Критерії Вальда, Севіджа,

Гурвіца

Для обґрунтованого знаходження розв’язку в умовах невизначеності

необхідно домовитися про критерії оцінки станів природи П. Виявляється,

в залежності від виду інформації про ці стани, критерії можуть бути

різними, і тому різними виявляться прийняті рішення.

Найбільш просто розв’язується задача про знаходження розв’язку в

умовах невизначеності, коли відомі ймовірності всіх станів природи П1 П2,

... , Пn. Позначимо ці ймовірності через q1, q2, …, qn. Зрозуміло, що повинна

виконуватися умова ∑=

=n

jjq

11 . Приймемо в якості критерію ефективності,

який ми будемо прагнути перетворити в максимум, середнє значення

(математичне очікування) виграшу, яке визначимо з урахуванням

ймовірностей станів природи qj. Позначимо це середнє значення для кожної

стратегії гравця А через ia Тоді одержимо

∑=

=+++=n

jiijniniii qaqaqaqaa

12211 ... .

За оптимальну стратегію природно вибрати ту зі стратегій Аi, для якої

величина ia перетворюється в максимум

ii aa max= ,

де ai* - максимальний середній виграш гравця А при даних умовах гри.

При такому підході задача прийняття рішення в умовах

невизначеності перетворюється фактично в задачу знаходження розв’язку

в умовах визначеності (відомі усі виграші ia для всіх стратегій Аi), тільки

прийнятий розв’язок є оптимальним не в кожному окремому випадку, а в

середньому, тобто при багаторазовому повторенні однієї і тієї ж гри.

Наприклад, нехай товар зберігається під відкритим небом. У цих умовах

погода безпосередньо впливає на якість товару. Припустимо, що

46

заздалегідь невідомі метеорологічні умови можуть бути розподілені на

стани П1, П2, П3, П4 з ймовірностями, відповідно q1=0,1; q2=0,2; q3=0,5;

q4 =0,2 (наприклад, ймовірність того, що всі дні місяця будуть дощовими

дорівнює 0,1, ясними - 0,5, проміжні стани мають ймовірності по 0,2).

Припустимо, гравець А може вибрати три стратегії поведінки: А1, А2, А3

(наприклад, призначити різну ціну на товар, впливаючи в такий спосіб на

попит на цей товар) і одержати різний дохід від кожного розв’язку.

Представимо ці доходи у вигляді таблиці з умовними даними.

П1 П2 П3 П4 ia

А1 1 4 5 9 5.2

А2 3 8 4 3 4.5

А3 4 6 6 2 5.0

qi 0,1 0,2 0,5 0,2

Таблиця 2.11.

В останньому рядку цієї таблиці записані ймовірності станів qj. В

останньому стовпці приведені обчислені значення ia середніх очікуваних

виграшів. З цього стовпця видно, що оптимальною стратегією гравця, що

дає найбільший середній дохід 5,2, є стратегія А1.

При виборі оптимальної стратегії в невідомих умовах з відомими

ймовірностями станів природи можна користуватися не тільки

значеннями середнього виграшу ia , але і значеннями середнього ризику

∑=

=n

jjiji qrr

1,

який, звичайно, прагнуть зробити мінімальним.

Покажемо, що в загальному випадку стратегія, що максимізує середній

виграш ia , збігається зі стратегією, яка мінімізує середній ризик ir . Для

цього обчислимо суму цих показників:

47

∑∑∑===

=−+=+n

ijiij

n

jjijjjij

n

jii qaqaqara

11)(β .

Ця сума є середнє значення (математичного очікування) максимумів

стовпців платіжної матриці. Для кожної матриці це є величина стала.

∑=

=n

jjj cq

1β і ii acr −= .

Очевидно, що ir перетворюється в мінімум, коли величина ia стає

максимальною. Таким чином, стратегія Аj*, найкраща щодо виграшу,

виявляється також кращою з точки зору зменшення середнього ризику.

Якщо відомі ймовірності станів природи Пj, то при розв’язанні гри з

такою природою завжди можна обійтися тільки чистими стратегіями, не

застосовуючи змішаних стратегій. У даному випадку застосування змішаних

стратегій завжди менш вигідно, ніж застосування чистої стратегії Аi*, що

відповідає

ii aa max* = .

Необхідні для розв’язку задачі ймовірності станів можуть бути

визначені зі статистичних даних, отриманих при багаторазовому відтворенні

(спостереженні) станів природи.

Однак часто, приступаючи до розв’язання задачі, ми нічого не знаємо

про ймовірності станів природи. Тоді не залишається нічого іншого, як

оцінити ці ймовірності суб'єктивно, висунувши гіпотезу про ймовірності

станів. Наприклад, якщо жоден зі станів природи апріорі не визначений, тоді

природно висунути гіпотезу про те, що всі стани рівноймовірні, тобто

nqqq n

1...21 ==== . Ця гіпотеза називається «принцип недостатньої підстави

Лапласа».

В іншому випадку ми маємо деяке уявлення про те, які події є більш

ймовірними, а які – менш ймовірними. Для такого ранжирування подій

може бути задіяна група кваліфікованих експертів. Метод опитування

експертів широко застосовується при оцінці невизначеної ситуації. Досвід

48

застосування такого методу показав, що з оцінок експертів із застосуванням

теорії ігор можна одержати обґрунтований розв’язок.

Можна сформулювати критерії прийняття такого розв’язку зовсім не

користуючись поняттям ймовірностей станів, а ґрунтуючись тільки на

розглянутих раніше поняттях максиміна і мінімакса. Такі критерії названі на

честь вчених, що вперше їх розглянули.

Максимінний критерій Вальда базується на виборі стратегії гравця А

(в грі з природою П), для якої мінімальний виграш є максимальний. Згідно

даного критерію гравцю А слід дотримувати стратегії, що гарантує при

будь-яких умовах виграш не менший, ніж максимін відповідної платіжної

матриці гри ijaminmax=ω .

Якщо керуватися цим критерієм, то треба завжди орієнтуватися на

гірше в грі і вибирати ту стратегію, при якій виграш в гірших умовах є

максимальним. Користуючись цим критерієм, ми ніби би ставимо на місце

нейтральної до нас природи деякого активно супротивника, що протидіє

нам.

Як приклад застосування критерію Вальда визначимо оптимальну

стратегію гравця А в грі проти природи П з платіжною матрицею, яка

зображена в таблиці.

А П П1 П2 П3 П4 ai

А1 1 4 5 9 1

А2 3 8 4 3 3

А3 4 6 6 2 2

Таблиця 2.12.

В останньому стовпці цієї матриці представлені значення

iji aa min= ,

49

тобто мінімальні значення виграшу гравця А, що будуть отримані при

використанні ним його чистих стратегій Аi (A1, А2, А3). Відповідно до

критерію Вальда гравцю А варто вибрати стратегію А2, як таку, що

забезпечує йому максимальний виграш

3max == iaω

у самих гірших умовах гри.

Максимінний критерій Севіджа рекомендує гравцю А вибирати ту

стратегію Аi, при якій найменшою є величина ризику rij у найнесприятливішій

ситуації в грі з природою

ijrS maxmin= .

Цей критерій забезпечує ухвалення рішення, позбавленого від великого

ризику в будь-яких умовах.

Визначимо оптимальну, з погляду критерію Севіджа, стратегію гравця

А в грі з природою П в умовах розглянутого вище прикладу. Нехай матриця

ризиків має вигляд

А П П1 П2 П3 П4 ri

А1 3 4 1 0 4

А2 1 0 2 6 6

А3 0 2 0 7 7

Таблиця 2.13.

В останньому стовбці цієї матриці записані значення

iji rr max= ,

тобто значення максимальних ризиків гравця А, які будуть при виборі

стратегій А1, А2, Ая. Відповідно до критерію Севіджа, гравцю А варто

вибрати стратегію А1, що забезпечує йому при всіх можливих станах

природи П мінімальний ризик:

50

4min == irS .

Критерії Вальда і Севіджа — це критерії крайнього песимізму, тільки

песимізм у кожному з цих критеріїв розуміється по-різному. При

використанні критерію Севіджа песимістичне припущення робиться щодо

величини ризику.

Критерій Гурвіца називають часто також критерієм песимізму-оптимізму.

Цей критерій рекомендує при виборі розв’язку керуватися не крайнім песимізмом

і не крайнім оптимізмом. Критерій Гурвіца записується у вигляді

[ ]ijij axxH max)1(minmax ++= ,

де x – коефіцієнт (0≤x≤1), який вибирається довільно гравцем, що приймає

рішення.

При х=1 критерій Гурвіца перетворюється в критерій Вальда.

ijaH minmax==ω .

При х = 0 критерій Гурвіца стає критерієм крайнього оптимізму, що

рекомендує вибирати ту стратегію, для якої в найкращих умовах виграш

максимальний.

При 0< х<1 отримаємо середній підхід між крайнім песимізмом і крайнім

оптимізмом. В залежності від характеру й оцінки гравцем ситуації коефіцієнт х

вибирається або більш близьким до 1, або до 0.

Вибір якого-небудь одного критерію для знаходження розв’язку в

більшості випадків не є найкращим рішенням. Тому аналіз матриці гри з

природою з точок зору різних критеріїв часто дає краще представлення про

ситуацію, позитиви і недоліки кожного розв’язку, ніж якийсь окремий

критерій.

51

§7. Спрощення гри. Поняття про коаліції

Якщо гра m х n не має сідлової точки, то відшукати її розв’язок при

великих m і n досить важко. Тому при розв’язку задачі корисно

використовувати різні методи спрощення ігор.

Одним з найбільш розповсюджених методів спрощення є викреслювання

свідомо невигідних і дублюючих стратегій.

Розглянемо як приклад наступну гру з платіжною матрицею.

А В B1 B2 B3 B4

A1 1 2 4 3

A2 0 2 3 2

A3 1 2 4 3

A4 4 3 1 0

Таблиця 2.14.

З цієї матриці видно, що стратегія А3 дублює стратегію А1. Тому

кожну з цих стратегій (А1 чи А3) можна викреслити. Викреслимо,

наприклад, стратегію А3. Порівнюючи почленно стратегії А1 і А2, бачимо,

що всі елементи рядка А2 не більші відповідних елементів рядка А1. Отже,

стратегія А2 свідомо невигідна для гравця А. Викреслимо стратегію А2,

після чого матриця гри виявиться простішою.

А В B1 B2 B3 B4

A1 1 2 4 3

A4 4 3 1 0

Таблиця 2.15.

Далі міркуємо з погляду гравця В. Для нього стратегії В1 і В3

заздалегідь менш вигідні, ніж стратегії В2 В4 , оскільки при використанні

52

стратегії В4 або В3 гравець А має можливість виграти в гравця В 4 одиниці,

тоді як при використанні гравцем В стратегії В2 або В4 виграш гравця А не

перевищить 3 одиниці. Викреслимо стратегії В1 і В3. У результаті початкова

гра 4x4 звелася до гри 2x2, аналіз якої істотно простіше аналізу вихідної гри.

А В В2 В1

А1 2 3

А4 3 0

Таблиця 2.16.

Так, приступаючи до розв’язку будь-якої гри mхn, необхідно

керуватися такою послідовністю дій.

1. Знайти всі значення αi ,βj і подивитися, чи не має в грі сідлової

точки; якщо така точка є (верхня ціна гри дорівнює нижній), то розв’язок гри

знайдений.

2. Якщо сідлової точки не має, то треба спробувати спростити гру,

порівнюючи почленно стовпці і рядки, і викреслюючи свідомо невигідні

стратегії.

3. Після того як виконані всі можливі спрощення, варто приступити до

розв’язку гри загальними методами.

Дотепер розглядалися тільки ігри двох гравців А і В. Однак в

загальному випадку в грі може брати участь багато гравців: А, B, C, D і т. д.

Такі ігри називаються іграми N гравців. Розв’язок таких ігор складніший

розв’язку гри двох гравців. Тому варто використовувати різні методи

спрощення ігор N гравців.

Найбільш універсальним методом спрощення гри N гравців є створення

коаліцій. При цьому гравці об’єднуються так, щоб утворилися коаліції.

Наприклад, якщо в грі беруть участь п'ять гравців (N=5) A,B,C,D,E то,

створюючи коаліції з гравців А, В С, D, Е, ми тимчасово поєднуємо їхні

інтереси таким чином, що коаліції починають виступати як окремі

53

гравці. В результаті гра з п'яти гравців зводиться до гри двох гравців (АВ)

і (СDЕ). Кожний з цих гравців прагне максимізувати свій виграш у грі із

супротивником. Після того як знайдений виграш у такій грі, колишні коаліції

розпадаються, і починається гра всередині коаліцій з метою розділити виграш

між окремими гравцями, що входили в коаліції. При цьому можуть

утворитися нові коаліції. Наприклад, у грі трьох гравців С, D, Е гравці С и

D можуть утворювати коаліцію проти гравця Е, провести гру двох гравців в

коаліції і далі в грі між собою визначити свої виграші в загальній грі п'яти

гравців. Таким чином, шляхом створення коаліцій можна спростити гру

N гравців, послідовно зводячи її до гри двох осіб.

54

§8. Застосування моделей ігор в торгівлі

Найпростіші приклади використання теорії ігор у розв’язанні задач з

торгівельної практики були наведені вище. Тепер розглянемо деякі більш

складні приклади використання моделей теорії ігор у ситуаціях, з якими

доводиться зустрічатися торгівельним працівникам. Безумовно, представлені

нижче задачі не вичерпують усіх можливостей застосування теорії ігор на

практиці.

Розглянемо застосування теорії ігор до аналізу якості виробів. Відомо,

що підвищення якості відноситься зараз до найважливіших економічних

проблем. Разом з тим ця проблема не може бути вирішена без розв’язання

пов'язаної з нею проблеми вимірювання якості і зв'язку економічних

показників роботи підприємств із якістю продукції, що випускається.

Оскільки якість - це сукупність властивостей виробів (товарів), то

можна сформулювати наступні проблеми її вимірювання: створення методів

вимірювання обраних ознак з урахуванням остаточної оцінки якості як

сукупності заданих властивостей, тобто створення синтетичного (сумарного)

показника якості.

Розглянемо методологію побудови такого показника на основі теорії

статистичних ігор. Рівень якості будемо трактувати як деяку величину

Q=Q(x1, х2, ... , хп), кожна із складових якої відповідає значенню деякої

вимірної властивості xj (j= 1, 2,…,3, n). Наприклад, нехай х1 характеризує

зовнішній вигляд виробу, х2 — гаму кольорів, х3 — пакування, x4 — міцність,

х5 — вологостійкість і т.д. Припустимо, що контролер, який оцінює даний

виріб, повинен встановити, до якого сорту (I, II чи III) слід віднести даний

екземпляр. Для цього контролер повинен керуватися встановленим

експертами розподілом значень Q на три диз'юнктивні підмножини Q1, Q2, Q3.

Якщо показник якості Q попадає у підмножину Q1, то вважається що виріб

відноситься до I сорту, якщо Q відповідає підмножині Q2, то виріб відноситься

до II сорту і при збігу значень Q з Q3 — до III сорту. Підхід теорії ігор до

розв’язання цієї задачі передбачає введення гравця А — контролера, в

55

обов’язки якого входить вибір однієї з трьох стратегій: А1 — віднесення

виробу до I сорту, А2 — до II сорту, А3 — до III сорту. Гравець А проводить

гру з природою, що має стани П1 = Q1; П2 = Q2, П3 = Q3.

Платіжною матрицею такої гри буде матриця витрат, що несе

підприємство у випадку неправильного сортування виробів контролером

(вибір невірної стратегії Аi). Нехай C1, C2, C3 — прибуток від продажу виробів

відповідно I, II, III сортів. При цьому C1 > C2 > C3. Нехай K1, K2, K3 —

відповідні витрати підприємства, викликані завищенням сортності, що

приводить надалі до рекламацій, гарантійному ремонту і т.д. Тоді платіжну

матрицю гри можна записати у вигляді табл. 2.17. (тут ми поміняли місцями

гравця А и природу, так як гравець А не виграє, а програє).

Q A А1 А2 А3

Q1 0 C1-C2 C1-C3

Q2 K1 0 C2-C3

Q3 K2 K3 0

Таблиця 2.17.

Розв’язок цієї гри не такий простий, як може виявитись з першого

погляду. Справа в тому, що серед властивостей xj є такі, які не піддаються

швидкому і простому вимірюванню (наприклад, зносостійкість). Про ці

властивості контролер часто може судити по сукупності інших властивостей

(наприклад, якості вихідної сировини) з урахуванням статистичних

характеристик технологічного процесу виготовлення виробу, тобто

ймовірностей станів Q1, Q2, Q3.

Теорія ігор, наприклад, також знаходить застосування в керуванні

товарними запасами. Припустимо, торгове підприємство може замовляти

для продажу будь-яку кількість продуктів, попит на якій є випадково-

змінний. Задача полягає у визначенні оптимальних запасів на деякий

період. Позначимо попит на даний період через θ . Величину попиту будемо

56

трактувати як стан природи, що може приймати будь-яке значення від 0

до ∞ . Для простоти будемо вважати ці значення дискретними. Введемо

гравця А, стратегіями якого будуть вибір величини замовлення Аi-, (i = 1, 2,

... ,m). Вважається, що замовлення робиться партіями визначеного

розміру, тобто вибір А — це вибір розміру партії з різних можливих

партій.

Втрати гравця А в грі з природою θ можна описати де-якою функцією

==≠<−≠>−

=.,,0

,,A),(,,),(

,( i2

1

jiAприjiприAKjiAприAK

AL

ji

jij

jiji

ji

θθθθθ

θ

де К1 і К2 – деякі коефіцієнти, які враховують витрати по закупівлі,

транспортуванню і збереженню товарів.

Наприклад, якщо кількість станів природи jθ і гравця А, то платіжна

матриця гри має наступний вигляд.

Q A A1 A2 A3 A4

1θ 0 )(1 12 θ−AK )(1 13 θ−AK )(1 14 θ−AK

2θ )(2 12 AK −θ 0 )(1 23 θ−AK )(1 24 θ−AK

3θ )(2 13 AK −θ )(2 23 AK −θ 0 )(1 34 θ−AK

4θ )(2 14 AK −θ

)(2 24 AK −θ )(2 34 AK −θ 0

Таблиця 2.18.

Ця матриця гри багато в чому нагадує матрицю з попереднього

прикладу. При розв’язанні цієї гри є дуже корисною інформація про

ймовірності станів природи jθ , отримана шляхом статистичної обробки

даних про попит у попередніх періодах.

Однією з важливих проблем, що постають перед торговими

підприємствами, є проблема оцінки товару. Більшою мірою оцінка стосується

товарів, що піддаються впливу моди, швидкій зміні моделей. Рішення про

57

розмір зниження цін повинне прийматися з урахуванням передбачуваної

реакції покупця, що відображається у еластичності попиту від ціни.

Розглянемо приклад, як можна було б підійти до питання зниження цін

торговими підприємствами. Сезонне зниження цін можна розглядати як гру

торгового підприємства з «природою». Рішення про розмір зниження цін є

таким, що прийняте в умовах невизначеності. Стан «природи» θ опишемо

набором невідомих значень коефіцієнта еластичності jθ (j =1, 2, ...,n).

Стратегії прийняття рішення керівником торгового підприємства (гравця А)

опишемо набором Аi (i=1, 2,... ,m), що представляє, наприклад, набір

можливих знижень цін (у відсотках).

Кожен елемент аij платіжної матриці потрібно визначити, приймаючи

до уваги закупівельну ціну товару, прогнозований обсяг продажу за умови,

що еластичність попиту на товар від ціни складе jθ , нову ціпу товару, яка

одержується із старої ціни після вибору стратегії Аi. Інформація про

еластичність попиту є статистичною інформацією про стан «природи». Ця

інформація може бути отримана торговим підприємством або як зовнішня

інформація з якого-небудь обізнаного джерела (наприклад, інституту

кон'юнктури і попиту, галузевої лабораторії і т.д.), або прямим анкетним

опитуванням покупців. Покажемо на числовому прикладі розв’язування

цієї задачі. Припустимо, що потрібно визначити оптимальний розмір

зниження цін. Можливими стратегіями торгового підприємства можуть

бути чотири стратегії Аi (i=1, 2, 3, 4) зниження ціни, відповідно на 20%,

30%, 40% і 50%. Нехай «природа» може приймати тільки два значення

jθ (j = 1, 2), що відповідає малоеластичному попиту 1θ , і сильноеластичному

попиту 2θ . Яке з цих значень еластичності буде реалізоване в дійсності в

даному сезоні, невідомо, і за допомогою додаткових обстежень може бути

лише отримана деяка інформація про ймовірності реалізації на практиці

значень 1θ чи 2θ .

58

Витрати від зниження цін визначимо як різницю між закупівельною

ціною нерозпроданого до моменту уцінки товару і надходженням від

очікуваного продажу після зниження цін.

Шляхом переобліку з'ясовано, що на даному торговому підприємстві не

розпродано 500 одиниць товару, середня ціна за одиницю якого складає

20 грн., а витрати на їх придбання у виробника - 12 грн. Нехай умови

торгівлі при стані малоеластичного попиту 1θ характеризується даними

табл. 2.19, а умови торгівлі при стані високоеластичного попиту 2θ - даними

табл. 2.20.

Розв’язок Зниження

цін, %

Нова ціна,

грн.

Очікуваний

продаж, шт..

Витрати при

зниженні

цін, грн.

А1 20 16 100 4400

А2 30 14 150 3900

А3 40 12 220 3360

А4 50 10 230 3700

Таблиця 2.19.

Розв’язок Зниження

цін, %

Нова ціна,

грн.

Очікуваний

продаж, шт.

Витрати при

зниженні цін,

грн.

А1 20 16 150 3600

А2 30 14 350 1100

А3 40 12 400 1200

А4 50 10 450 1500

Таблиця 2.20.

59

По цим даним складемо платіжну матрицю гри.

А1 А2 А3 А4

1θ 4400 3900 3360 3700

2θ 3600 1100 1200 1500

Таблиця 2.21.

Спростимо гру. Звернемо увагу на те, що розв’язки А1 і А4 невигідні в

порівнянні з розв’язком А2 і А3 Викреслимо з матриці гри, тобто не будемо

розглядати, розв’язок про зниження цін на 20% чи 50%. Тоді отримаємо

спрощену матрицю гри.

Q A А2 А3

1θ 3900 3360

2θ 1100 1200

Таблиця 2.22.

Припустимо, що торгове підприємство не має статистичної інформації

про попит, що очікується. Щоб знайти розв’язок гри, припустимо спочатку,

що обидва стани природи рівноймовірні, тобто P( 1θ )=P( 2θ )=0,5. Тоді

оцінка середніх втрат торгового підприємства при виборі стратегії А2

складе

а2 =0,5 ∙ 3900 + 0,5 ∙ 1100 = 2500.

У випадку, якщо обрана стратегія А3, то середні втрати будуть

рівні

а3 =0,5 ∙ 3360 + 0,5 ∙ 1200 = 2280.

Отже стратегія А3 з погляду мінімізації втрат краща.

Оцінимо розв’язок з погляду ризику торгового підприємства. Для цього

складемо матрицю ризиків. Нагадаємо, що ризик у даному випадку,

визначається як різниця між втратами при даній стратегії гравця і заданому

60

стану «природи» і мінімальними можливими втратами при найбільш

сприятливому стані природи. Для нашого прикладу матриця ризиків має

вигляд, представлений у таблиці.

Q A А2 А3

1θ 540 0

2θ 0 100

Таблиця 2.23.

Отже, з погляду ризику переважає також стратегія А3. Ця обставина є

ще одним аргументом на користь ухвалення рішення про зниження цін на

40%.

Оскільки величина ризику визначається тільки виходячи з величини

втрат і не зв'язана з ймовірностями станів природи, то висновок про перевагу

стратегії А3 зберігається незалежно від надходження нової інформації про

ймовірності станів 1θ і 2θ . Однак, цього не можна сказати в тому випадку,

коли рішення приймається виходячи з оцінки середніх втрат. Середні втрати

при використанні стратегій А2 і А3 зрівняються, коли ймовірності P( 1θ ) і

P( 2θ ) рівні, як розв’язок наступної системи рівнянь:

=+⋅+⋅=⋅+⋅

,1)()(1200)(3360)(1100)(3900)(

21

2121

θθθθθθ

PPPPPP

тобто P( 1θ )= 0,156 і P( 2θ )= 0,844.

Таким чином, якщо є підстава очікувати, що ймовірність

високоеластичного попиту перевищить 0,844, то з погляду зменшення

середніх втрат варто почати дотримувати стратегії А2. Однак ця стратегія

буде стратегією підвищеного ризику в порівнянні з А3.

61

Розділ 3. Динамічні еволюційні економічні системи

§1. Основні риси еволюційних систем

Стратегія прискорення науково-технічного прогресу в сучасних умовах

перебудови системи керування економікою припускає: концентрацію

наявного наукового і технічного потенціалу на ключових напрямках;

цілеспрямоване створення принципово нової техніки і технологій, що

багаторазово підвищують продуктивність праці; автоматизацію,

комп'ютеризацію і роботизацію виробництва; зниження матеріало- і

енергоємності виробництва за рахунок впровадження ефективних видів

металопродукції, прогресивних матеріалів і реалізації енергозберігаючих

технологій; значне підвищення наукового рівня планування і прогнозування

НТП.

Останній напрямок прискорення НТП усе ще мало розроблений як у

теоретичному, так і в практичному аспекті. Справа в тім, що в умовах

прискорення соціального розвитку перед плануванням і прогнозуванням

постають досить складні проблеми. Поряд із класичними задачами

планування і прогнозування неперервної еволюційної зміни системи виникає

і неординарна задача прогнозування якісної, стрибкоподібної зміни системи.

Якщо розв’язання першої задачі при відомій економіко-статистичній

інформації є, власне кажучи, планування «від досягнутого», то друга задача

припускає вивчення анатомії розвитку системи, розуміння механізму

розвитку. Рішення цієї задачі може бути знайдене в рамках загальної теорії

систем, що розвиваються.

Питанням аналізу і виявлення механізмів самоорганізації в наш час

займається новий науковий напрямок міждисциплінарного характеру –

синергетика. Цей термін походить від грецького слова „συνεργία” –

співпраця, кооперація і введений на всезагальний розгляд Германом Хакеном.

Синергетика широко використовує в своїх дослідженнях

самоорганізацію еволюційних систем різної природи: техніко-економічних,

62

біологічних, екологічних, фізико-хімічних і інших. При цьому синергетика

значно розширює застосування цих понять до нелінійних систем. Синергетика

формалізує нелінійні системи шляхом застосування до них універсального

асимптотичного підходу. Треба сказати, що асимптотичний підхід широко

відомий у фізиці. Ще А. Ейнштейн писав: „краща доля всякої фізичної теорії

– послужити основою для більш загальної теорії, залишаючись у ній

асимптотично граничним випадком”. Але синергетика доводить до

універсальності асимптотичні методи при аналізі структурних змін нелінійних

систем. За допомогою асимптотичних методів синергетика виділяє в

нелінійних системах деякі граничні стани, якісний аналіз яких і приводить

потім до виявлення в них і кількісної оцінки процесів самоорганізації.

В синергетиці може бути проведений як якісний, так і формально

математичний аналіз процесів розвитку. Основне якісне поняття синергетики

– поняття самоорганізації. Самоорганізація характерна для всіх процесів

розвитку. Основна увага в синергетиці переноситься на взаємозв'язок

елементів складної системи, на зовнішні ефекти, породжені структурними

змінами. Ці ефекти прийнято називати синергетичними або кооперативними.

Основна особливість кооперативних ефектів – упорядкованість,

цілеспрямованість поведінки складної системи при відносній хаотичності

поведінки окремих елементів (підсистем).

В процесі розвитку (еволюції) системи проходить деяка стандартизація

перетворень структури й функцій системи, тобто для розвитку характерний

ізоморфізм. Він дозволяє перейти від натурного вивчення процесу розвитку

до модельного вивчення.

Модель – абстрактне зображення ізоморфізму між системами, що

розвиваються, різної природи. Математичні моделі задовольняють в тій чи

іншій мірі трьом основним властивостям: реальність, точність, загальність.

Реальність це ступінь відповідності математичних тверджень тим

уявленням про систему, на якій вона основана.

63

Точність – це здатність моделі кількісно вказувати зміни чи імітувати

дані, на яких вона основана.

Загальність зв’язана з областю застосування моделі, тобто визначає

характер систем, для яких модель працездатна. Загальність – це найбільш

важлива властивість моделей, в яких з особливою повнотою проявляється

ізоморфізм розвитку.

Для еволюційних систем з однієї сторони, характерні стійкість

структури, з другої втрата стійкості, розпад однієї структури і створення іншої,

стійкішої. Час перебування еволюційних систем різної природи в стійких

станах, природно, залежить від природи. Таким чином, процес розвитку можна

представити як послідовність циклів еволюційної зміни структури в середині

циклу, зі стибкоподібним переходом стану вкінці циклу на новий якісний

рівень, який означає початок нового циклу розвитку.

Наслідок циклічного розвитку – необоротність, тобто неможливість

переходу від новоутвореної структури до старої. Ця особливість, як і стійкість,

атрибут будь якої системи, що розвивається. Але при цьому властивість

необоротності розвитку в свою чергу накладає деякі вимоги на стійкість. Ясно,

що занадто стійка система до розвитку не здатна, бо вона відкидає будь-які

відхилення від свого стану. Для переходу в якісно новий стан система

обов’язково повинна в певні моменти бути нестійкою. В математичній моделі

повинні бути відображені об’єктивні відношення між стійкістю системи і її

нестійкістю, що породжує зміни, тобто процес розвитку.

Поняття організації самоорганізації зручніше всього розглядати на

прикладі такої економічної структури суспільства, як трудовий колектив. Про

наявність деякої організації в трудовому колективі можна говорити у тому

випадку, якщо кожен член того колективу буде діяти за строго визначеним

правилам після одержання вказівок від керівника. Тобто організація визначає

регульовану поведінку кожного елемента системи, які об’єднані загальними

діями, направленими на досягнення системою деякої мети.

64

Той же самий процес можна вважати самоорганізацією, якщо зовнішні

впорядковані дії відсутні, а члени трудового колективу (елементи системи)

взаємодіють між собою дружно, завдяки встановленим і визначеним між ними

зв’язкам, відношенням, при чому кожен член колективу виконує свою строго

визначену функцію. При переході від реальних економічних систем до їх

математичних моделей процес самоорганізації буде проявлятися в тому, що

при визначених взаємодіях між підсистемами в складній системі починається

проявлятись деяка просторова і часова впорядкованість у змінах параметрів

моделі, що математично задається деякими аналітичними функціями.

Прикладом такої впорядкованості можуть бути виникаючи на виході складної

системи стійкі гармонійні коливання по Пригожину процес самоорганізації

можна ототожнювати з утворенням дисипативних структур в розвитку.

Класично історичними прикладами утворення дисипативних структур є

давньогрецькі міста, які росли, процвітали, а потім приходили до занепаду.

65

§2. Приклади еволюційних систем

Моделі розвитку в наш час дуже широко використовуються у економіці,

фізиці, хімії, біології. Ясно, що методи побудови математичних моделей в цих

науках специфічні і базуються на тих законах, які вивчаються кожною із цих

наук. Але співставлення різних за природою моделей розвитку, вивчення їх

загальних рис, дало можливість сформувати деякі загальні принципи

математичного моделювання процесів розвитку. Насамперед, математичні

моделі розвитку. Перші спроби побудови таких моделей можна зустріти ще у

Леонарда Ейлера.

Оскільки економіка наука соціальна, то одним із предметів досліджень

є соціальні групи людей та закони їх розвитку. Головний об’єкт дослідження

є людина. Люди утворюють різні соціальні групи на основі певних

характеристик, інтересів і пріоритетів (купівельна спроможність, цільова

група для певного товару та ін.). Основна кількісна характеристика таких груп

– її чисельність або щільність. У цьому випадку математична модель визначає

залежність чисельності групи від часу.

Крива Перла.

Вперше дослідженням таких процесів займався Раймонд Перл.

Логістична функція описується рівністю виду:

btaeYtY −+

=1

)( 0 , (1)

66

де )(tY - чисельність групи в момент часу t; 0Y – початкова чисельність

групи; a, b – константи.

Із графіка видно, що логістична крива починається в точці

+ aY

10 ,

симетрична і має точки згину з координатами batk

ln= ,

20y

yk = .

Константа а визначає положення кривої b часі, b – нахил кривої.

10

0 −==tY

ya ; ( )

00

21

=

=

=tdt

dyay

ab .

Логістична функція має властивості:

1. Період ( )1,0 t - початок розвитку, „молодість”;

2. Період ( )21,tt – інтенсивний розвиток, „зрілість”;

3. Період ( )∞,2t – екстенсивний розвиток „старість”.

При малих t розвиток описує функція ( ) bteayty 0≅ , при великих t в момент

старості ( ) 0Yty ≅ , тобто система наближається до максимуму. З формули (1)

одержимо .

( )YbYdtdY γ−= , де

)0(1

Yab⋅=γ (2)

Ця рівність дозволяє розкрити структуру еволюційної системи.

Дійсно, динаміка змін загальної чисельності групи визначається двома

процесами – приростом і зменшенням кількості членів групи. Позначивши

приріс (B) і зменшення (L), отримаємо

( )YLBdtdy

−= ,

де bB = , YL ⋅= γ .

Таким чином, закон логічного росту відображає таку структуру групи ,

коли при постійному збільшенні кількості елементів групи спостерігається

лінійний ріст зменшення кількості, який пропорційний існуючий чисельності.

67

Складність економічних взаємовідносин привела до необхідності

вивчення взаємодій системи груп, що характеризують цю економічну систему.

Загальна математична модель економічної системи, що складається із множин

взаємодіючих груп, може бути представлена системою нелінійних

диференціальних рівнянь.

( ) nstYdtdY

ss ,1,, ==ψ , (3)

де ( ) ∑≠=

+−=n

sjj

sjjssssss YYaYbY1

γψ (4)

Вперше моделі такого виду були досліджені у роботах В. Вольтерра.

Вони можуть описувати різні види систем незалежно від їх природи. Рівність

(4) носить загальний характер. Її називають еволюційною рівністю.

Схематично математичне моделювання економічних систем, що

розвивається, можна зобразити за допомогою наступної схеми.

Соціально-економічні системи вирішують проблеми глобального

характеру, пов’язані з світовим історичним розвитком суспільства: проблема

війни і миру, проблема медичного обслуговування населення, проблема

освіти.

Економічні системи, що розвиваються

Соціально-економічні системи

Техніко-економічні системи

Економіко-політичні системи

Природно-екологічні системи

Галузеві системи

Регіональ-ні

системи

Економіко-демографічні системи

Міжгалузеві системи

68

Глобальні проблеми економіко-демографічного характеру пов’язані з

необхідністю раціонального регулювання демографічного росту. Основна

задача – вивчення залежності процесів народжуваності і смертності від різних

факторів.

Глобальні проблеми природо-екологічних екологічних систем зв’язані з

використанням природних ресурсів, забрудненням навколишнього

середовища, збільшенням врожайності.

Техніко-економічні системи вимагають вирішення проблем

моделювання народногосподарських процесів на рівні держави, району.

Розроблені динамічні моделі цих систем.

В моделі Ріденура представлений експоненціальний закон росту як

загальний закон техніко-економічного розвитку, враховуючи що ступінь

визнання будь якого нового продукту суспільством пропорційний числу

потенційних виробників.

ALdtdL

= ,

де L– кількість споживачів, А - коефіцієнт пропорційності.

Коефіцієнт А визначає ймовірність того, що особа, котра вперше

познайомилась технікою, стане потенційним споживачем. Ця ймовірність

запишеться

−=

max

1L

LaA ,

де а – константа, maxL - верхня границя кількості споживачів. Співставляючи

ці дві рівності одержимо

−=

max

1L

LaLdtdL .

Розв’язком буде функція

( ))exp(1

)0(1 max

max

atLL

LtL−

−+

= ,

де )0(L - початкове значення величини.

69

В моделі Гартмана припускається, що швидкість зміни інформації в

процесі розвитку пропорційна загальній кількості вже накопиченої

інформації.

ALYdtdY

= ,

де А-ймовірність того, що науковець, що зустрів „одиницю” інформації, буде

взаємодіяти з нею і утворювати нову інформацію, L - чисельність науковців,

які працюють в будь якій області дослідження.

Але в новій області дослідження число вчених зростає по експоненті:

( ) ( )taLtL 00 exp= .

Тому маємо, що

( )YtaALdtdY

00 exp= .

Враховуючи, що, А=const, одержимо розв’язок

( )

−

= 1expexp 0

0

00 ta

aALYY .

В моделі Холтона вважається, що А – величина змінна, тому що

загальна кількість відповідної інформації має верхню границю maxY . У цьому

випадку величина А – ймовірність реакції й генерацій нової в даній області

інформації зменшується, коли джерело ідей вичерпується. Тобто маємо

−=

max1 1

YYaA ,

де, а1=const, L(t)=const. Інтегруванням отримуємо:

( ) ( )

( ) ( )( )tLaYY

YtY

1max exp10

1

0

−

−+

= .

Ці моделі мають як сильні так і слабкі сторони. Наприклад, із моделі

Холтона слідує що ймовірність реакції, в результаті якої одержується якісно

нова інформація, в середньому пропорційна числу зіткнень між „молекулами”

– вченими і інформацією. Тобто, чим краща технічна бібліотека і чим більше

часу вчені проводять в ній, тим вони більше повинні створювати нової

70

інформації. Але, взагалі кажучи, це невірно, оскільки при обмеженому часі і

силах, вчений, що витрачає час тільки на читання літератури, нічого не

створить. Крім того, із цих моделей випливає, що нова інформація може

виникати раптово. Але це теж невірно. Так як процес доведення інформації до

науковців не досконалий через вплив різних факторів.

Для опису процесу акумуляції знань при науково-технічному розвитку

Р. Єнсеном була представлена інша математична модель:

( ) ( )[ ]tLtLAdtdY 2⋅+= λ ,

де Y(t) – загальна кількість наявної інформації; L(t)- загальна кількість

науковців; λ - коефіцієнт зв’язку між вченими (зазвичай λ =1/2), що

відповідає загальному числу можливих зв’язків між вченими.

−=

max1 1

YYaA .

Ця модель розглядається для

( ) ( )taLtL 00 exp= , maxYY < .

Звідки

( ) ( )[ ]12exp4 0

2

1

−= taLaAtY .

Недолік моделі Єнсена в тому, що якщо число вчених L(t) велике то

квадратний член втрачає практичний зміст

В області малих L(t) модель Єнсена представляє процес народження

нової інформації працюючих між собою членами дослідницької групи

Узагальнена модель науково-технічного розвитку була представлена

вченим А.Л. Флойдом. Основна ідея методу полягає в розрахунку ймовірності

покращення показника ефективності системи зв’язку від затрачених сил

вчених і спеціалістів.

Оцінимо ймовірність покращення деякого показника ефективності

системи від початкового рівня до більш високого рівня v одним спеціалістом

за одну спробу при умові, що загальне число можливих методів рівне n, а

число сприятливих - m. Очевидно, вона що буде рівна

71

( )nmVP =1, .

Розглянемо цю ймовірність на інтервалі часу t∆ зв’язавши цей інтервал

із середньостатистичним числом спеціалістів W, які працюють в області

покращення показника, і які здійснюють N – спроби в одиницю часу. Ця

ймовірність буде рівна

( )tNW

nmtvP

∆

−−=∆ 11, (5).

Можна побудувати залежність числа можливих методів покращення

показника ефективності від досягнутого рівня v.

Із малюнка видно, що з покращенням показника ефективності число

успішних методів в нашому розпорядженні зменшується. Природно вважати,

що незначне покращення показника ефективності відповідає незначній зміні

числа успішних методів, що залишилися.

Крива, що описує цю залежність, нагадує відому в хімії криву

поглинання. Тому першим наближенням можна вважати

( )mncvm

−−=∆∆ . (*)

72

Тобто справедлива наступна гіпотеза: швидкість зменшення числа

успішних методів прямо пропорційна числу поглинутих методів для

досягнення даного рівня показника ефективності.

Рівняння (*) після граничного переходу і інтегрування до максимально

можливого значення показника ефективності v=V набуває виду:

( )[ ]∫ ∫ −−−=→−=−

0

exp1v

V

v

vVcnmdvc

mndm (6)

Підставляючиnm із (6) в (5), одержимо:

( ) ( )[ ]tcNWvVtvP ∆−−−=∆ exp1 .

Інтегруючи на всьому числовому інтервалі маємо, що

( ) ( )

−−−= ∫

∞−

NWdtcvVtvPt

exp1, .

Проаналізуємо зміни c(t), N(t), W(t) в підінтегральному виразі:

c(t) з часом змінюється не дуже швидко, оскільки визначається

загальним розвитком техніки;

N(t) - „гарна” функція часу, що залежить від напрямків

покращення в техніці;

W(t) в загальному випадку може змінюватись довільно.

Зупинимось на особливому типі змін, пов’язаному із виникненням

науково-технічного прогресу із старої області науки і техніки в нову. Швидкий

і успішний розвиток нової області науки і техніки пов’язане як з активізацією

загальної діяльності в цій області так і „переміщенням техніки” (наприклад

перехід інженерів з однієї області в іншу); цей перехід, безперечно, впливає на

криві тенденції змін розвитку електроніки пов’язані з ефективністю і

розмірами блоків. Точна форма такого переходу невідома. Але зрозуміло, що

функція – W(t) монотонно-зростаюча від різниці значень показника

ефективності для нової області науки й техніки v і старої v(c). Флойд одержав

співвідношення

( ) ( ) ( )tWvvtW c 0−= ,

73

де ( )tW0 – відносно повільний змінний постійний ріст кількості спеціалістів.

Підставивши останню рівність в попередню, одержимо:

( ) ( ) ( ) ( )dttTvvvVtvPt

c

−−−−= ∫

∞−

exp1, ,

де ( ) ( ) ( ) ( )tWtNtctT 0= .

Флойд вивчив поведінку цієї функції в часі і показав, що вона

змінюється повільно.

Для інтегрування приймається наступна гіпотеза: P(v,t)=0,5. Іншими

словами, вважається, що рівними є як успішні спроби покращити показник

ефективності системи, так і неуспішні. Підставимо

P(v,t)=0,5

і одержимо

( ) ( ) ( )∫∞−

−−−=t

c dttTvvvV5.0ln .

Продиференціювавши по часу, маємо

( )( ) ( )tTvv

vVdtdv

c−=−

− 2 .

Дана рівність - це рівняння з розподільними змінними. Воно може бути

записане у вигляді

( )( ) ( )∫∫ =−−

tt

c

dttTvvvV

dv

00

.

Введемо позначення: vVx −= , cvV −=β . Тоді ліва частина запишеться,

як

( ) ( )∫∫ =−

tt

dttTxxdx

002 β

.

Розклавши цю рівність на елементарні дроби одержимо:

( )∫ ∫=

−

++−x t

dttTdxxxx0 0

22111

ββ

β.

Після інтегрування одержимо:

74

( )∫=+

+

− t

dttTcxx

x

012 ln1 ββ

β.

Введемо позначення

VvVv

vVvV

xY

c

c

−

−=

−−

==1

1β .

Отримаємо рівність

( )( )[ ] 1212 1ln1 ctccYY

vV c

+=++−−

Враховуючи константи, маємо, що

( ) tcYY 21ln ′=+− .

Ця формула використовується Флойдом для практичних розрахунків.

Для зручності функція ( ) tcYY 21ln ′=+− табульована і по ній побудована

номограма. Величини

Vvc нанесені на верхній горизонтальній лінії. За

базисну точку взято 1=

Vvc .

Послідовність розрахунку по номограмі:

1. Будується т. М з координатами

Vv

Vvc , .

75

2. Через т. М і базисну точку проводиться пряма до перетину з

віссю координат (т. К)

3. Із т. К проводиться пряма, паралельна осі абсцис до перетину

з кривою Флойда (т. Р).

4. Абсциса т. Р (т. Q) визначає значення лінійної функції

( )1ln2 −+=′ YYtc .

5. Виконуючи вказану процедуру декілька разів одержуємо

статистику по функції 2c′ .

6. За допомогою методу найменших квадратів визначаємо

невідомий коефіцієнт лінійної функції 2c′ .

7. Для потрібних нам моментів часу it визначаємо значення

кривої Флойда

( ) iiii tcYY 21ln ′=+−=Φ .

8. Повторюємо все з п. 4 до п. 1 в зворотному порядку.

В результаті отримуємо iv , відповідні випадкам часу it .

Точність прогнозу за допомогою методу Флойда може бути підвищена,

якщо відмовитись від дослідження номограми і перейти до чисельних

алгоритмів.

В цьому випадку метод допускає узагальнення, коли P(v,t )відмінна від

0,5 і може приймати вихідне значення, що задається в кожному конкретному

випадку. При P(V,t)=a, 10 ≤≤ a рівність Флойда набуває вид

( ) ( )( ) 431ln ctctYtY +=−+ , (**)

де, с3 ,с4 - довільні константи. Позначимо ( ) ( )( )1ln −+=Φ tYtYi , тоді задача оцінки

с3 ,с4 може бути вирішена за допомогою методу найменших квадратів:

( )( )∑

=

→Φ−+r

i ccictc1 ,

242

43

min ,

де r– число проведених вимірювань.

При прогнозі, 0=cv , V=100%, тому із (**) одержуємо рівність Флойда

виду

76

( )( ) ( ) 05.311.0

100100

100ln −=

−+

−

ttVtV

tV .

Цей розрахунок кращий і точніший тому, що виключає графічну

побудову і проміжні розрахунки.

Газова промисловість являє собою приклад галузі народного

господарства, що відіграє стратегічну роль і повинна швидко адаптуватись до

зовнішніх умов. Основні напрямки розвитку науково-технічного прогресу

транспортуванні газу як одного із найбільш важливих питань газової

промисловості характеризуються, перш за все, нарощуванням потужності

компресорних станцій на одиницю довжини єдиної системи газопостачання

(ЄСГ), а також переходом на газопровід збільшеного діаметру. В

математичних моделях розвитку трубопровідного транспортування газу це

відображається за допомогою процесів самоорганізації в просторі по середній

питомій потужності, що припадає на одиницю довжини газу, що

транспортується, а також часовій самоорганізації по середнім діаметрам ЄСГ.

Середні діаметри визначаються за формулою

L

DlD

n

iii

cep

∑== 1 ,

де iD – діаметр i - го газопроводу, що входить в ЄСГ; il - протяжність i - го

газопроводу, L - сумарна протяжність.

В середньому через 5-7 років проходило утворення часових

впорядкованих структур. Статистичний аналіз показує, що кожна така

структура описується своєю логарифмічною функцією.

Сумарна потужність агрегатів компресорних станцій магістральних

газопроводів визначається для кожного газопроводу, що входить в ЄСГ за

формулою

∑=

=m

jjNN

1,

де jN – потужність j–ї компресорної станції, що входить вданий газопровід; m

– загальне число компресорних станцій на газопроводі.

77

Процес самоорганізації приводить до концентрації потужності

компресорних станцій в районі 13-14 тис. км. на рівні 6 млн. кВт, що

характеризує тенденцію росту потужності агрегатів компресорних станцій і

стабілізації протяжності ЄСГ за роками.

Важливим елементом підвищення ефективності науково-технічного

процесу в еволюційних техніко-економічних системах – ріст масштабів

розвитку системи. Це, по суті, кількісний ріст системи. Кількісний ріст

лінійних розмірів системи природнім образом приводить до росту її поверхні

(площі поверхні) і об’єму. Причому, темпи росту поверхні і об’єму різні, тому

що площа росте пропорційно x2, а пропорційно x3.

Важливо відмітити, що нескінченний ріст лінійних розмірів без

корінних змін структури (форми) системи принципово неможливий.

Розглянемо прогноз енергоекономічних витрат при магістральному

транспортуванні газу.

Рік Дійсні

значення витрат

газу, використані

на власні

потреби, %

Прогнозові

значення, %

Відносні

витрати, %

1979 8,11 8,32 2,5

1980 9,44 9,37 0,7

1981 10,28 10,11 1,6

1982 11,72 12,25 3,5

1983 12,91 12,71 1,5

1983 13,74 13,94 1,3

Останнім часом з’явились праці, в яких моделі розглядаються як

результат дифузії, проникнення різних технологій в техніко економічних

системах. Процес розвитку макросистеми розглядається як розповсюдження

78

нової техніки, технології в макросистемі при стриманій консервативній дії

старої техніки.

Нехай ( )tY1 - степінь впровадження нової техніки в деяку техніко-

економічну систему, ( )tY2 степінь використання старої технології в техніко-

економічній системі. Тоді відносне впровадження технології в момент часу t

складе

( ) ( )21

11 YY

tYt+

=ν ,

а старої технології

( ) ( )( ) ( )tYtY

tYt21

22 +

=ν ,

причому зрозуміло, що

121 =+YY .

Припустимо, що кожна із технологій описується логарифмічною

функцією

tbaY

Yk11

1

11ln −=− ,

tbaY

Yk22

2

22ln −=− ,

iii kba ,, - константи, що характеризують відповідні початкові умови, швидкість

росту, рівень росту.

Знайшовши ( )t1ν і ( )t2ν одержимо

t111

1

1ln βα

νν

+=

−

,

де )( 121 aac −=α ; )( 211 bbc −=β , c - відсоткове відхилення від рівнозваженого

стану.

Розглянемо застосування еволюційних моделей до аналізу технологій

транспортування газу по трубах різного діаметру як функції часу. Вихідні дані

приведені в таблиці.

79

Спочатку в якості старої технології прийнята технологія

транспортування газу по трубам діаметром 108-820 мм., а в якості нової -

транспортування по трубах 1200 мм. В цьому випадку рівняння має вигляд

t03.149.121

ln1

1 +−=

−νν .

В іншому випадку нова технологія це технологія транспортування по

трубах діаметром 1420 мм. В цьому випадку рівняння має вигляд

t06.178.61

ln1

1 +−=

−νν .

Зміни діаметра газопроводів в газовій промисловості

Рік Частка газопроводів різного діаметра, мм

108-

820

1020 1220 1420

1960 96,8 3,2 - -

1961 95,0 5,0 - -

1962 93,8 7,2 - -

1963 88,8 11,2 - -

1964 85,2 13,8 - -

1965 82,1 17,9 - -

1966 78,8 21,2 - -

1967 85,3 24,7 - -

1968 75,0 24,1 0,9 -

1969 72,3 24,9 4,4 -

1970 70,6 24,1 5,9 -

1971 69,9 23,9 6,2 -

1972 67,1 23,3 8,4 1,2

1973 65,4 20,5 12,2 1,9

1974 62,5 20,0 14,7 2,8

1975 60,1 20,6 15,6 3,7

1976 59,2 20,0 16,6 4,2

80

7977 57,59 19,69 16,86 5,86

Вихід

В обох випадках, як показують розрахунки, втрати не перевищують 5%,

що говорить про високу точність і достовірність математичної моделі.

До фізико-хімічних систем відносяться досить багато процесів,

пов’язаних з фізичними, біохімічними, фізико-хімічними перетвореннями

явищ. Найбільш широко питання фізико-хімічних систем висвітлені в працях

І. Пригожина і його учнів (Брюссельська школа). „Нерівновага – джерело

розвитку” – ось основний теза Брюссельської школи.

Основна характеристика фізико-хімічної системи по І. Пригожину -

термодинамічна ентропія, що задовольняє рівність

HdHddH ei += ,

де dH – приріст загальної ентропії; Hdi – виробництво ентропії в середині

системи; Hde - виробництво ентропії, що виникає за рахунок взаємодії системи

з навколишнім середовищем.

Згідно II закону термодинаміки

0≥Hdi ,

тобто в замкненій системі виникнення ентропії завжди невід’ємне. У випадку

0=Hdi виникають оборотні, процеси, що не знищують структуру; у випадку

0>Hdi виникають процеси, що знищують структуру системи. Для замкнутих

систем 0=Hde , а у випадку відкритих систем Hde може приймати різні

значення. Для розрахунку повної ентропії системи Пригожин використовує

методи лінійної нерівнозваженої термодинаміки. Аналіз стану еволюційної

системи з позиції термодинаміки дозволив Пригожину сформулювати

висновок проте, що оборотні і необоротні процеси народжують два типи

різних структур: рівнозважені і нерівнозважені. Причому, нерівнозважені

структури за рахунок притоку енергії і матерії у відкритій системі можуть

зберігатись в просторі і часі досить довго. Ці структури Пригожин назвав

81

дисипативними. Дисипативна система (або дисипативна структура) —

відкрита нелінійна система, яка є далекою від стану термодинамічної

рівноваги. Прикладом економічної дисипативної структури може бути місто,

яке існує до тих пір, поки воно споживає продукти, паливо і інші предмети,

виробляючи продукцію і відходи.

Із всієї множини можливих дисипативних структур система Пригожина

вибирає ту, яка відповідає мінімуму ентропії. Виникнення дисипативних

структур проходить в результаті випадкових флуктуацій, що проходять в

еволюційній системі. Ці випадкові флуктуації виводять систему із положення

термодинамічної рівноваги і при відповідних умовах притоку енергії в

систему і матерії можуть виникати дисипативні структури.

Згідно законів термодинаміки виділення тепла Q в системі пропорційне

об’єму V, а тепловіддача в навколишнє середовище Q∆ пропорційні площі

поверхні S.

Внаслідок цього, при відсутності структурних змін системи в процесі

росту її лінійних розмірів вона неминуче повинна без кінця нагріватись і

згоріти.

Самоорганізація приводить до таких структурних змін, змін форм

системи, які швидко збільшують її поверхню і попереджують вказаний процес.

Самоорганізація лежить в основі еволюційних біологічних систем, приводячи

до періодичного поділу клітинок в процесі росту. Завдяки самоорганізації

може бути пояснений відомий універсальний закон зміни витрат в залежності

від потужності утворюючого об’єкту

32

aNk = ,

де К– капітальні витрати на створення і побудову об’єкта; N - потужність

утворюючого об’єкта; а – масштабний коефіцієнт пов’язаний з

конкретизацією об’єкта. Самоорганізація тут проявляється в тому, що

потужність утворюючого об’єкту приблизно пропорційна його об’єму, а

капітальні витрати – його поверхні. Наглядна ілюстрація самоорганізації в

82

системах, що розвиваються, проявляється особливо при визначенні граничних

форм і їх поверхонь.

Отже, процес розвитку систем по Пригожину – це процес послідовних

переходів в ієрархічній системі дисипативних структур при неперервно

зростаючій складності.

По суті, ідеї Пригожина добре пов’язані з ідеями синергетики. З позиції

синергетики процес утворення дисипативних структур і представляє собою

процес самоорганізації. Враховуючи універсальний характер процесів

дисипації енергії матерії і інформації у відкритих системах, поняття

дисипативної структури легко може бути перенесено і на техніко економічні

системи, що розвиваються.

83

§3. Теоретичні аспекти самоорганізації динамічних систем

Як відомо, математичними образами особливих станів системи у

фазовому просторі являються особливі точки: фокус, пучок і т. д. Для

нелінійних систем ці особливі точки можна розглянути як асимптотичні

граничні стани. Для складних нелінійних систем великої розмірності ці

граничні стани в n - вимірному фазовому просторі можуть створювати деякі

множини. Поведінка траєкторії руху системи в колі ці множин може бути

різна. Деякі множини особливих точок в фазовому просторі можуть володіти

відштовхувальними властивостями для траєкторії руху системи, інші –

притягуючими, треті – нейтральними. Синергетика акцентує увагу на

притягуючих множинах – атракторах. Атрактор (англ. attract — притягати) —

множина точок у фазовому просторі, до якої збігаються фазові траєкторії

дисипативної системи. Очевидно, потрапляючи в область атракторів, система

втягується в неї і може вийти із неї тільки за рахунок потужних зовнішніх

збурень, що руйнують структуру системи. Це дозволяє рахувати атрактори

областями самоорганізації системи. Синергетика розглядає атрактори, як

математичні образи дисипативних структур, що виникли в еволюційних

системах. Таким чином, процес розвитку з точки зору синергетики можна

трактувати, як вияв властивості атрактивності в траєкторіях руху систем у

фазовій площині.

Найпростіший приклад атрактора в двовимірному фазовому просторі –

граничний цикл, який , як відомо, показує у фазовій площині стійкі гармонійні

коливання. У випадку підвищення розмірності фазового простору, наприклад,

при переході до тривимірного – ми маємо тор. Двовимірний тор відображає

траєкторії руху системи, які складені з суми двох гармонійних коливань різної

амплітуди і частоти. Аналогічно можна представити собі багатовимірний тор

в багатовимірному фазовому просторі, що відображає складні коливання на

виході еволюційної системи.

84

Синергетика розглядає атрактори, які лежать на многовидах.

Особливістю многовидів є той факт, що кожна точка многовида

відображається в точку відрізка прямої (і навпаки) у фазовому просторі.

Як видно із малюнка, граничний цикл лежить на многовиді. Вони

бувають трьох видів: стійкі, нестійкі, центральні. Під стійкими розуміють

множину всіх точок траєкторії, що закінчують при ∞→t в околі якої-небудь

особливої точки, що лежить на даному многовиді. Під нестійкими розуміють

множину точок траєкторії при 0→t , що починаються в околі будь-якої

особливої точки. Також існують центральні многовиди, які не можуть бути

віднесені ні до першого, ні до другого випадків.

При якісних дослідженнях самоорганізації в еволюційних системах

вводиться принцип підкорення.

Запишемо рівняння еволюції для багатовимірної структури, що

складається із r – простих макроекономічних систем:

+++++=′

++++++=′

++++++=′

++++++=′

.........................................

........................................

............

2211

22211

22222222121222

21111112112111

rsrrsrrrrr

ssrssrsssssss

rrss

rrss

YYYYYYY

YYYYYYYYY

YYYYYYYYYYYYYYYYYY

βγγα

βγγγα

βγγγα

βγγγα

85

Розглядаючи систему цих диференціальних рівнянь можна виділити

різні по характеру поведінку в часі розв’язки sY цієї системи.

Очевидно, найбільший вклад у розв’язок внесуть лінійні члени з

коефіцієнтами sα . Частина цих членів з достатньо великими від’ємними по

величині sα будуть визначати затухаючі моди, друга частина з додатними sα

будуть визначати незатухаючі моди. Тоді всі підсистеми, визначені

диференціальними рівняннями в складній системі, розіб’ємо на дві групи:

S=1,2,…,m - стійкі (затухаючі) моди;

S=m+1,m+2,...,r - нестійкі (незатухаючі) моди.

При тривалому спостереженні системи модами S=1,2,…,m можна

знехтувати і зберегти лише S=m+1,m+2,...,r. Тоді можна говорити, про

підпорядкування мод з індексом S=1,2,…,m модами з індексом

S=m+1,m+2,...,r.

У цьому випадку параметри rmm ααα ,...,, 21 ++ можна вважати керуючими

параметрами - параметрами порядку. Самоорганізація в системі буде

проходити дійсно при зміні цих параметрів порядку.

Структури самоорганізації будуть виникати за рахунок взаємодії мод

rmm YYY ,...,, 21 ++ . Найбільш сильні моди при взаємодії можуть подавити слабші

моди; створюється своєрідна конкуренція мод в розвиваючій системі.

Синергетика розглядає процес самоорганізації, як конкуренцію мод в

еволюційній системі.

Розглянемо математичну модель самоорганізації в простій одновимірній

техніко-економічній системі.

Рівняння еволюції має вид:

2YYdtdY βα += ,

де1c

F−=ηα , ∑

=

′=

m

i i

ii x

xb1

η - середні темпи росту ресурсів системи; ( )xF - функція

системи; 11 c=β ;с1 - коефіцієнт при першому члені розкладу в ряд Тейлора.

86

Вважаючи, що при відсутності науково-технічного прогресу вихід

системи визначається функцією ( )xF , можемо побачити, що дія науково-

технічного прогресу приведе до того, що вихід визначається розв’язком

нелінійного рівняння 2YYdtdY βα += . Таким чином, розбіжність між початковим

виходом системи і динамікою випуску, що визначається цим рівнянням, є

кількісною мірою тієї самоорганізації, що виникла в даній техніко-

економічній системі. Дане нелінійне рівняння відоме, як частковий випадок

рівняння Бернуллі, для якого легко отримати аналітичний розв’язок.

Загальний розв’язок можна записати у вигляді

( ) ( )

( ) ( ) ( )∫−−

= t

t

dttItttY

tItY

00

1 β,

де ( ) ( )

−= ∫

t

t

dtttI0

exp α .

Розглянемо частковий випадок, коли на систему діє автономний

науково-технічний прогрес, тобто

( )t

t 1−=ηα , ( )

( )( )txtFt 1=β .

Підставляючи ці вирази ( )tα і ( )tβ в ( )tY та інтегруючи, одержимо

( )( )[ ]

( ) ( )( )( )

( )( )∫ ∫−−

−−

−−

+= t

t

t

t

tt

tt

dttxtF

etxF

dtttY

ettttY

0 0

0

0

00

00

11

1

η

η

. (1)

Формула ця може бути використана для кількісної оцінки

самоорганізації еволюційної техніко-економічної системи з функцією ( )( )txF і

діючого на цю систему науково-технічного прогресу, нейтрального по Хіксу,

при оцінці прогнозованого розвитку цієї системи.

Як приклад розглянемо єдину систему газопостачання (ЄСГ). Одне із

важливих напрямків науково-технічного прогресу в ЄСГ – зниження

енергетичних витрат (витрата газу на власні потреби транспортування)

шляхом цілеспрямованого запровадження енергозберігаючих технологій

87

транспортування газу. Дослідження, проведені в газовій промисловості,

показують, що витрати газу на власні потреби – своєрідна виробнича функція

ЄСГ. А це значить, можемо записати, що

( ) ( )LTFxFz ,== ,

де Т – товаротранспортна робота; L - чисельність працівників. В силу

однорідності функції z можна перейти до окремих витрат (витрат на одного

робітника):

)()1,(1 ∗=== TLTF

Lz

Lz ϕ .

Ця залежність достатньо гарно описується параболою третього порядку: 3

210∗∗ ++= TaTaaz ,

де z – окреме використання газу в ЄСГ на власні потреби; ∗T - окрема

транспортована робота ЄСГ.

Залежність ( )*Tϕ може розглядатись для ЄСГ, як деяка прогнозуюча

модель паливно-енергетичних витрат, не враховуючи фактору впливу

науково-технічного прогресу.

Використовуючи (1), для окремих витрат газу на власні потреби з

врахуванням впливу науково-технічного прогресу можемо записати

( )( )[ ]

( )( )( )

( )( )∫ ∫ ∗

−−

∗

−−

−−

+= t

t

t

t

tt

tt

dttTtz

etTz

dttz

ettttz

0 0

0

0

00

00

1 11

1

η

η

. (2)

На малюнку криві, що відображають динаміку зміни витрат газу на

власні потреби в часі. Крива )(1 1 tz− повністю розрахована з рівняння (2)

шляхом інтегрування на інтервалі (t0.=1975:, t=1980). Як видно із малюнка

враховуючи вплив науково-технічного прогресу на зниження паливно-

енергетичних витрат дозволяє знизити помилку прогнозування з 10-15 до 1-

1,5%. В якості кількісної міри самоорганізації системи можна взяти

( ) ( )tztzz −=∆ 1 . Із збільшенням періоду розвитку ЄСГ степінь її самоорганізації

росте.

88

Криві динаміки паливно-енергетичних витрат: )(1 1 tz− - з врахуванням

НТП; )(2 tz− - згідно залежності )( ∗Tz .

Розглянемо математичну модель самоорганізації двовимірної

макроекономічної структури.

Із загального опису 4-вимірної макроекономічної структури складної

техніко-економічної системи двовимірна структура визначається, як

частковий випадок.

++=′

++=′2

222121222

2112112111

YYYYYYYYYYβγα

βγα (3)

Для дослідження процесів самоорганізації, що виникають в техніко-

економічній системі, використовуються принципи підкорення і побудови

атракторів. Принципи підкорення буде справедливий лише в тому випадку,

якщо моди Y1(t) і Y2(t) володіють тимчасовою ієрархією, тобто їх постійні часи

значно відрізняються одне від одного. Нехай Y2(t) - повільно затухаюча мода,

а Y1(t) - швидко затухаюча мода. Фізично це буде означати, що відношення

приростів )(1 tY∆ , )(2 tY∆ за короткий проміжок часу t∆ набагато менше одиниці

89

11

2 <∆∆

YY .

Таке припущення дає змогу представити перше рівняння системи у

вигляді

++=′ 2

11

121

1

12111 YYYYY

αβ

αγ

α ,

α - тут досить велика величина, що перевищує на порядок другий

співмножник, який у свою чергу тепер має один порядок з правою частиною

другого рівняння системи (3).

<=> 111

11 α

εα . Систему (3) тепер можна

записати у вигляді

++=′

++=′

.2222121222

21

1

121

1

1211

YYYYY

YYYYY

βγα

αβ

αγε

При 0→ε система ця переходить у вироджену систему

=++

++=′

.021121

1

121

2222121222

YYYY

YYYYY

βαγ

βγα

Вироджена система, на відміну від повної системи, містить лише одне

диференціальне рівняння і одне алгебраїчне. Диференціальне рівняння

виродженої системи відображає динаміку зміни повільної моди, а алгебраїчне

рівняння швидкої моди.

Розглянемо рівняння швидкої моди: воно буде мати вигляд прямої лінії.

112

11

12

12 YY

γβα

γα

−−= .

Побудувавши цю пряму у фазовій площині в координатах (Y1, Y2)

одержимо фазовий портрет системи

90

Поведінка траєкторії руху системи буде залежати від знаків коефіцієнтів

1211 ,, γβα . Якщо 0,0,0 1121 >>< βγα , то рух системи буде проходити по прямій

АВ. Припустивши 012 >γ , бачимо, що при зміні знаку β в системі буде

проходити процес самоорганізації і він буде переходити на криву АС. При

подальшій зміні знаку 1β система знову буде повертатись на пряму АВ. Тобто

1β стає керуючим параметром. Теоретично параметри 112,αγ також можуть

бути керуючими, але в реальних умовах зміна їх знаків приводить до від’ємних

значень, що в принципі неможливо. Слід відмітити, що все це справедливо

лише при умові наявності швидких і повільних мод. У фазовій площині (Y1, Y2)

з’являються многовиди, що різко відрізняються одне від одного зі швидкістю

зміни змінних.

Дійсно, в будь-якій точці фазової площини фазової траєкторії (за

виключенням ε –околу кривої 021121

1

121 =++ YYYY β

αγ ) мають нахил 1~

1

2 <εdYdY ,

тобто ці фазові траєкторії майже горизонтальні їх називають областями

швидких рухів, в яких Y1 швидко змінюється вздовж Y2=const. На

горизонтальних випадках траєкторії швидкість руху

11

21 α==

dtdY .

91

Тобто дуже велика в порівнянні зі швидкістю руху по кривій

02121

1

121 =++ YYYY

αγ . Як наслідок, загальний час досягнення деякого стану на цій

кривій визначається характером руху вздовж цієї кривої, тобто по суті

залежить від початкових значень повільної моди Y2 і не залежить від

початкових значень швидкої моди Y1. Враховуючи той факт, що крива

дорівнює 0 і для виродженої системи характеризує залежність стану рівноваги

моди Y1(t) у функції Y(t) від областей фазового простору, можна оцінити

стійкість. Очевидно, стійкість буде визначатися знаком похідної

( ) 02121

1

121

1

=++∂∂ YYYYY α

γ ,

причому ті точки кривої, де похідна додатна, є нестійкі, а там, де вона від’ємна

– стійкі. По цим напрямкам система буде рухатись швидко. В напрямку самої

прямої ( )2121

1

121 YYYY ++

αγ система буде рухатись повільно. З критеріїв, записаних

вище, легко одержати загальний критерій самоорганізації системи, коли вона

переходить від швидких рухів до повільних.

+−= 2

1

121 1 YY

αγ .

При порушенні цієї рівності система переходить від швидких до

повільних.

92

§4. Теорія катастроф в процесах самоорганізації динамічних і

техніко-економічних систем

В процесі самоорганізації техніко-економічних систем виникають

дисипативні структури. Моделями дисипативних структур у фазовому

просторі служать атрактори. В процесах самоорганізації можливий один

простий випадок, коли система перескакує від одного атрактора до другого (ці

різкі переходи іноді називають змінами фаз). Цією властивістю володіють так

звані градієнтні динамічні системи, тобто такі системи, рух яких у фазовій

площині може бути представлений рівнянням

),( UYgradVI −= ,

де Y – вектор траєкторії руху системи, V- вектор керуючих параметрів

(наприклад, γβα ,, – для техніко-економічної системи).

Будемо вважати, що в порівнянні зі зміною параметрів точка у фазовій

площині набагато швидше досягає мінімуму і зупиняється там (швидкий рух).

Такий математичний опис стрибкоподібних змін поведінки системи у

фазовій площині і дає елементарна теорія катастроф.

В перше термін „теорія катастроф” був введений французьким

топологом Ф. Томом для математичного опису явищ, зв’язаних з різкими

стрибками і якісними змінами картини процесу, що досліджувався.

Значення дослідження Ф. Тома полягає в тому, що він з’єднав з теорією

біфуркацій ідеї Уітні про особливості гладких відображень. Це відкрило

можливість системного застосування теорії катастроф до широкого кола

прикладних досліджень у економіці, фізиці, екології.

Довгий час вважалось, що теорія катастроф здатна лише якісно

відобразити явища. Якісні методи дають відповіді на питання суто якісного

характеру, наприклад обвалиться міст, чи впаде ж на землю її супутник. І лише

вихід у світ книги Т. Томсона і М. Стюарта „Теория катастроф и ее

приложения” розвіяла думку про чисто якісний характер теорій катастроф. Як

відмічалось Р. Томом, програма створення теорії катастроф базується на

93

формуванні структурно стійких еволюційних в часі динамічних систем, що

переходять одна в одну. Ці переходи Том назвав катастрофами, а їх

послідовність в часі – морфологією процесу. Розвиток цієї програми було

пов’язано з рядом проблем математичного характеру, тобто описом поведінки

дивних атракторів, атракторів суто хаотичної природи. В наш час програма

Томсона, названа елементарною теорією катастроф, повністю виконана і

знайшла застосування в дослідженнях широкого класу динамічних

градієнтоподібних систем.

На деякому многовиді (частіше всього це n - вимірний евклідовий

простір Rn ) розглядається динамічна система звичайних диференціальних

рівнянь першого порядку, розв’язних відносно похідних, права частина якої

залежить від параметрів

( )UYfI ;= ,

де Y=(Y1, Y2,…, Yn) ∈ Rn і f - гладка функція.

Така система прямує до єдиного граничного стану (в деяких випадках

існує декілька таких граничних точок), якими може бути замкнута траєкторія,

деяка поверхня, а також деякий многовид. Зв’язна множина таких граничних

точок системи диференціальних рівнянь називають центром притягання.

Множина траєкторій поля, що притягуються до деякого центру притягання,

утворює в просторі область дії центра притягання.

Якщо в системі є декілька перетинаючи центрів (декілька локальних

мінімумів функції V), то між ними виникає конкуренція. Система залишаться

в стані рівноваги, відповідного деякого локального мінімуму до тих пір, поки

цей мінімум не зникне. В цьому випадку система стрибком переходить в

другий стан рівноваги, відповідний другому локальному мінімуму.

94

Області дії, що відповідають різним центрам, відділяються

гіперповерхнями, регулярно розташованими в просторі. Вважають, що точки

рівноваги системи співпадають з критичними точками функції f0, , тобто

точками, в яких частинні похідні перетворюються в нуль.

В просторі зміни U змінюється як сама система, так і її інтегральні криві

у фазовому просторі Rn. Важливо для кожного значення параметра відмітити

у фазовій площині точки мінімуму функції. Головне завдання - прослідкувати

за характером зміни стаціонарних особливих точок (мінімуми, максимуми,

сідла, вироджені особливі точки ) при зміні параметрів. Особливі точки

неперервно змінюючись в часі можуть зникати і з’являтися, як правило,

парами.

Розглянемо відповідні змінні динамічної системи на функціональній

діаграмі в області OU.

Розглядається градієнтна динамічна система ),( UYgradVI −= , рух якої

здійснюється у фазовій площині по градієнтним лініям деякої функції V до

мінімуму. Припускається, що швидкість цього руху вища швидкості зміни

параметра. В силу цього припущення перехід від одного стану рівноваги

системи до другого стійкого стану при плавній зміні параметра протікає

практично раптово, тому в теорії катастроф прийнято вважати, що система

95

завжди знаходиться в стані рівноваги, що відповідає точці мінімуму функції

Vu при зміні параметра U.

Точки біфуркаційної діаграми, поблизу яких стаціонарні точки функції

V змінюються неперервно і число їх не змінюється, утворюють в просторі

параметрів ряд областей – фаз, а поверхня, що розділяє такі дві області,

складається із точок, де при переміщенні параметра від однієї області до

другої зникає або виникає одна пара стаціонарних точок функції, що

збігаються при цьому над самою поверхнею. Точки, де збігається велика

кількість стаціонарних точок, утворюють множину меншої розмірності, по

якій збігаються гіперповерхні поділу. Слід підкреслити, що над кожною

областю біфункціональної діаграми лежить певне число стаціонарних точок,

які при зміні параметра U описують відповідне число листів поверхні, пара

яких склеюється над кожною граничною поверхнею області, а решта

переходять через неї в листи такої ж поверхні над сусідньою коміркою

(можливий також випадок, коли всі листи переходять через границю і

з’являються два нових).

Множина К параметрів U, при яких проходить зміна фаз, називається

множиною катастроф.

Множині катастроф К належать такі точки 2RU ∈ , для яких в деякій

точці У виконується умова

0=∂∂

i

u

YV при і=1,...,n і 0det

2=

∂∂∂

ii YYV .

Сукупність катастрофічних точок процесу (множина К) визначає

морфологію процесу. На погляд здається практично не можливим положення

гребнів, що розділяють сфери дії різних центрів притягання. Але якщо

необхідно визначити лише якісну (топологічну) структуру відділяючих

поверхонь, то проблема вирішується за допомогою правила Максвела

(система знаходиться в положенні рівноваги, що відповідає найменшому із

локальних мінімумів). В цьому випадку можна показати, що відділяючі

96

поверхні утворені лише невеликим числом стійких сингулярностей

(особливостей), завжди одних і тих же.

Повний список таких сингулярностей був складений Р. Томом.

Таким чином, вивчення динамічних систем градієнтного типу зведено

до класифікації сім’ї гладких кривих nRV ∈ RR r → . Такі сім’ї класифікуються

з точністю до еквівалентності, що визначаються наступним чином: r-

параметричні сім’ї V і W еквівалентні у випадках:

1. Диффеоморфізму RR r →:α ;

2. Гладкого відображення f: RRR hn →× такого що при

кожному nRU ∈ відображення fu являється диффеоморфізмом;

3. Гладкого відображення RRr →:β , такого що.

( ))()(),(),( UYYfVUYW u βα += .

Сім’я називається структурно-стійкою, якщо для будь-якого малого

збурення W виконується співвідношення V~V+W.

У класифікаційній теоремі Тома, іноді ще її називають основним

результатом теорії катастроф, показано, що при 4≤r в типовому випадку сім’я

V структурно стійка і еквівалентна одній із сім’ї даних з таблиці.

Список елементарних катастроф

Число

параметрів

Канонічна форма Назва особливості

1

13

1 UYY +

Складка –

руйнування центру

притягання і

поглинання його

центром

притягання з

меншим

потенціалом.

97

2

++± 12

21

14

1 2YUYUY

Збірка –

поділ центру

притягання на два

окремих центри.

3

YUYUYUY 33

23

15 +++

Хвіст

ластівки – поверхня

фронту хвилі

утворює борону,

дном якої служить

ударна хвиля.

4

( )YUYUYUYUY 42

33

24

16 ++++±

Метелик –

виникає в

результаті

розшарування,

набухання ударної

хвилі із вільною

границею.

3

23122

113

222

1 YUYUYUYYY ++++

Гіперболічна

омбілічна точка –

представляє собою

гребінь хвилі, що

розпадається.

3

23122

113

222

1 YUYUYUYYY +++−

Еліптична

омбілічна точка –

представляє собою

кінчик шипа типу

загостреної

піраміди з

98

трикутною

основою.

4

( )24132

222

114

222

1 YUYUYUYUYYY +++++±

Параболічна

омбілічна точка –

структура,

перехідна між

гіперболічним і

еліптичним

типами, що має

форму гриба,

утвореного

потоком

Серед всіх цих особливостей найбільш цікава на практиці збірка Уітні.

Вперше відкрив і вивчив цю особливість американський тополог Хасслер

Уітні, проводячи систематичне дослідження можливостей класифікації

функцій, а також відображень евклідових просторів.

Основні положення теорії катастроф в економіці являють собою

катастрофи типу збірка, а також простий вид катастрофи – складка.

Катастрофа „складка” залежить від одного керуючого параметра 1U і

задається однопараметричною сім’єю функцій наступного виду:

( ) YUYUYV 13

1 31; += .

При 01 <U ( )1;UYV має дві критичні точки, при 01 =U критичні точки не

існують. Всі функції ( ) UYYUYV +=31, з 0>U якісно однорідні і не мають

критичних точок. Всі функції з 0<U також якісно однорідні. Два якісно різних

типи мають загальну границю – сепаратрису 0=U .

99

Функція ( )UYV , при 0,0,0 <=> UUU .

Біфуркаційна множина складки складається із єдиної точки 0=Y . Місце

розташування критичних точок визначається розв’язком рівняння

012 =+= UYVy .

Критичне утворення представляється наступним малюнком.

Критичне утворення:

1)положення критичних точок ( )UYV , як функції U ;

100

2) критичне значення функції ( )UYV , в залежності від величини U

3) критична кривизна функції U в залежності від величини U .

В критичних точках функція ( )UYV , набуває наступних значень:

( ) 32

11 32, UUYV = , для 1UY −−= ;

( ) 32

11 32, UUYV −= , для 1UY = .

Власні значення матриці стійкості в цих точках рівні

21

122 2/ UdYVd −= , для 1UY −−= ;

21

122 2/ UdYVd = , для 1UY −= .

Катастрофа „збірка” залежить від двох керуючих параметрів і задається

наступною сім’єю функцій:

( ) YUYUYUUYV 22

14

21 21

41;; ++= .

Графічно це зобразити можна так:

В середині області, що має форму збірки, ( )21;; UUYV має три ізольовані

критичні точки. На межі функція даної сім’ї має ізольовану критичну точку і

двічі вироджену критичну точку. Початок координат є тричі вироджена

критична точка катастрофи „збірка”.

101

Критичні двічі вироджені і тричі вироджені критичні точки катастрофи

„збірка” визначається прирівнюючи першу, другу і третю похідну функції

( )21;; UUYV до нуля:

0213 =++ UYUY , (1)

03 12 =+UY , (2)

06 =Y . (3)

Умова (1) виконується в критичних точках; умови (2) і (3) – в двічі

вироджених критичних точках, а (1) і (3) – в тричі вироджених критичних

точках. Оскільки точки простору керуючих параметрів, які параметризують

функції з двічі виродженими критичними точками, визначаються із рівностей

(1) і (2), то знайшовши із (2) значення U , одержимо 22 3YU −= . Підставляючи

цей вираз в (1) замість Y , одержимо співвідношення

023

22

31 =

+

UU (4)

Воно визначає параметричне представлення зв’язку між. 1U і 2U .

Таким чином, рівняння (1) визначає множину критичних точок.

Співпадання двох критичних точок проходить при виконанні (2). Проекція цієї

множини на площину параметрів дає множину катастроф К, що

представляється параболою (4). Біфуркаційна діаграма катастрофи „складка”

представляє собою криву з точкою повернення до нуля.

Розглянемо біфуркаційну діаграму, а точніше два можливих шляхи від

А до В. При повільному переміщенні по верхньому шляху від А до В нічого не

виникне. При переміщенні по нижньому шляху в точці Д на віддаленій від А

стороні „клюва” виникає скачок з одного листа на інший. Над областю в

середині „клюва” лежить три листи, які парами зникають при переході у

внутрішню область, над якою лежить один лист.

Якщо ж повернутись від В до А по нижньому шляху то качок виникне в

т. С на ближній до А сторони.

102

Приведемо приклад розрахунку катастроф на прикладі моделі

визначення моментів зниження ефективності газотранспортних систем.

Окрема вага газу, що йде на власні потреби, в загальному об’ємі газу,

що перекачується – одна з важливих характеристик трубопровідного

транспорту газу. Як показали результати аналізу, цей показник найбільш тісно

зв’язаний з об’ємом товаротранспортної роботи. Цей зв’язок близький до

функціонального з кореляційним відношенням 98,0=η .

На основі обробки статистичних даних про розв’язок трубопровідного

транспорту газу країни були одержані кількісні значення параметрів моделі,

що виражається залежністю кількості газу, використаного на власні потреби,

від товаротранспортної роботи 3

110 tataaz ++= ,

де z використання газу на власні потреби (м3 в рік);

Ріст об’єму і середньої довжини транспортування газу привели до

різкого збільшення товаротранспортної роботи і, як наслідок, до росту

енерговитрат ( витрат газу на власні потреби) які в подальшому можуть

досягти величини, що приводить до різкого падіння ефективності

трубопровідного транспорту газу. Із цього випливає, що економічна

103

ефективність транспорту газу в певній мірі залежить від долі газу S ,

використаного на власні потреби в загальному об’ємі передбачуваного газу

Q . Враховуючи це зауваження і використовуючи співвідношення 3

110 tataaz ++= , запишемо рівняння, що є умовою економічної роботи

газотранспортної системи:

3110 tataaS

LT

сер

++= ,

де Т - товаротранспортна робота, що обчислюється у вигляді добутку об’єму

перекачування газуQ на середню довжину перекачування газу серL (м3 в рік),

210 ,, ааа - параметри, обчислені методом найменших квадратів. Значення їх

складають відповідно: 1,850851*10-1 ; 3,019795*10-5 ; 3,13869*10-17 .

Це рівняння балансу дозволяє підібрати типові функції еволюції

газотранспортної системи (катастрофи). Використання функції катастроф дає

можливість виявити якісні особливості розвитку складної системи і в деяких

випадках пояснити на перший погляд незрозумілі стрибки в розвитку системи.

Враховуючи все це і використовуючи канонічне рівняння „збірки” для

вихідної змінної Т одержимо наступне рівняння:

02

21 aTTaLSaTсер

+

+−= (5)

Проводячи інтегрування і вводячи відповідні заміни змінних, запишемо

функцію V системи 2~4~

21

41 TT aV += ,

де

TaT 42

~

= ; 2

1

a

LSa

a сер−

= ; 4

2

0

aa

b = .

Множина критичних точок визначається рівнянням ( ) 0;; =′ baTVT , тобто

003

2 =+

−+ aT

LsaTaсер

a .

Співвідношення двох критичних точок виникає при

104

( ) 0;; =′′′ baTVTT .

Тобто

0~3 2 =+ aT .

Проекція цієї множини на площину параметрів трубопровідного

транспорту газу дає множину катастроф К. Це рівняння – пів кубічна парабола

0274 23 =+ ba (6)

Стрибок (зміна технологій) в трубопровідному транспорті газу виникає

в той момент, коли шлях розвиту системи перетинає поверхню катастрофи, що

задовольняє останнє співвідношення (6).

Для знаходження співвідношення параметрів, що характеризують точку

перетину катастрофи типу „збірка” з кривою динаміки розвитку

газотранспортної системи, необхідно використати рівняння (5) і (6). В

результаті отримаємо критичне значення L′ ,що визначає момент скачка

32

2132

03 43 aaaL +=′ , (7)

де серLSL =′ .

Таким чином, для визначення моменту стрибка проведені послідовні дії:

задане найкраще з точки зору економічної ефективності значення S і за

формулою (7) обчислюємо відповідне йому значення середньої довжини

перекачки газу Lсер; потім порівнюємо одержані значення Lсер із статистикою

(прогнозом) відповідного параметра по рокам Lфакт. для визначення року, в

якому Lсер перевищить Lфакт. Одержаний момент і буде визначати область

нестійкого розвитку. Насправді, для того, щоб запобігти попадання у таку

ситуацію, необхідно раніше, тобто до вказаного року, розробити і

запровадити заходи науково технічного прогресу (нові технології), здатні

сповільнити ріст енерговитрат (стабілізувати величину S на існуючому рівні).

105

S

(відносні одиниці)

Lсер,

км

t, рік

0,02 464 1960

0,03 697 1966

0,04 925 1971

0,05 1161 1974

0,06 1393 1976

0,07 1626 1977

0,08 1858 1980

0,09 2090 1982

0,10 2322 1984

0,11 2554 1990

0,12 2787 1995

0,13 3019 2000

В таблиці наведена залежність між параметрами S , Lсер, t. Із таблиці

видно, що нестійкий розвиток системи був у 1971 році, а в перспективі

нестійкий слід чекати в 1995 році. Ці дані, що одержані експериментальним

шляхом, підтверджують співпадання їх з даними фактичного розвитку галузі і

дозволяють розкрити причини сачків в розвитку, які існували у 1971 році.

Моделювання процесу заміни старої технології новою, більш сучасною,

представляє собою виявлення загальних закономірностей утворення, стійкості

і порушення непостійних і просторових структур в складних нерівнозважених

системах.

Для класичної задачі дифузії у випадку гіперболічного закону росту

нової технології доведено, що існує єдиний стійкий розв’язок, що являє собою

хвилю. Гранична форма хвилі, що характеризує процес розповсюдження

технологій, визначається числовим розв’язком системи диференціальних

рівнянь. Недолік експериментальних даних про процес дифузії не дозволяє

одержати точні дані про форму хвилі у випадку двох конгруентних технологій.

106

Тому при знаходженні форми хвилі для нових (N) і старих (R) технологій

використовується класифікаційна теорема Тома, що дозволяє застосовувати

канонічне рівняння катастрофи „складка” для моделювання дифузії

технологій (на прикладі різних видів діаметрів труб).

На користь такої апроксимації свідчить той факт, що границя

розповсюдження технологій має вид стійкої хвилі, що співпадає з

просторовим зображенням катастрофи „складка” і характерної їй структурній

стійкості.

Просторово процес переходу від старої до нової технології можна

зобразити у вигляді стрибка з одної поверхні типу „складка” на другу.

В момент 1 при всіх змінах області керуючої змінною (U) умови

сприяють розвитку технології, яка одержує широке розповсюдження. Але

зміна умов розвитку технології R приводить до того, що в момент з’являється

можливість для запровадження нової технології. Спостерігається типове

проходження кривої „складка”, тобто розглянута ситуація диффеоморфна

107

дотиканню параболи і її дотичної. Це дозволяє стверджувати, що залежність

розподілу видів технологічного устаткування асимптотичною наближається

до залежності, що визначена поблизу точки дотику законом квадратного

кореня, інваріантно відносно диффеоморфізму.

Таким чином, процес дифузії технологій може бути представлений у

вигляді послідовності хвиль кожна з яких характеризується своєю поверхнею

типу „складка”, при цьому форма хвилі апроксимується законом виду:

(міра розповсюдження технології)~a(час життя технології)1/2.

Для перевірки рекомендованої гіпотези було проведено співставлення

результатів з фактичними даними про структуру протяжності газопроводу по

діаметрам, а також даними у зростаючій структурі газопровідної сітки.

Рік 108-529мм. 720-820мм. 1020мм. 1220мм. 1420 мм.

1970 44,3 28,0 24,9 4,4 -

1972 42,9 27,1 24,1 5,9 -

1973 43,2 26,7 23,9 6,2 -

1974 41,6 25,5 23,3 8,4 1,2

1975 40,6 24,8 20,5 12,2 1,9

1976 39,3 23,2 20,0 14,7 2,8

1980 37,0 23,1 20,6 15,6 3,7

1985 36,7 22,5 20,0 16,6 4,2

В якості міри розповсюдження технологій було вибрано відношення

протяжності газопроводів даного типу до загальної протяжності газопровідної

сітки.

Форма хвилі для старих технологій (труби з діаметром від 108 до

1020мм ) визначалась рівнянням

( ) 21

ii xcbR −= ,

108

де iR – доля протяжності газопроводів i – го діаметру в загальній протяжності

газопроводів (для існуючої технології); ix - час життя технології i – го

діаметру; b, c - коефіцієнти, визначені експериментально. Для нових

технологій, що характеризуються використанням труб діаметром 1220-1420

мм. апроксимована залежність одержана виходячи із співвідношення

( ) 21

cxbN ii −= .

де iN –доля протяжності газопроводів i –го діаметра в загальній протяжності

газопроводів.

Визначення коефіцієнтів проводилось методом найменших квадратів

по наступним формулам:

а) для нових технологій:

2

11

2

1

2

11

2

−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

jj

N

jj

N

jj

N

jjj

N

ji

xxN

yxxyNb , (8)

22

11

2

1

2

111

2

: b

xxN

xyxyxc

N

jj

N

jj

j

N

jj

N

jj

N

jj

N

jj

−

−−=

∑∑

∑∑∑∑

==

==== ; (9)

б) для старих технологій:

2

11

2

1

2

11

2

−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

jj

N

jj

N

jj

N

jjj

N

ji

xxN

yxxyNb , (10)

22

11

2

1

2

11

2

1

2

: b

xxN

yxxyxc

N

jj

N

jj

N

jjj

N

jj

N

jj

N

jj

−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

==== , (11)

де N - кількість точок статистики.

Криві, що апроксимують поведінку досліджуваних груп діаметрів,

розраховані по формулам, що наводяться в таблиці.

109

Діаметр

газопроводу, мм

Вид кривої, що апроксимує

розвиток технології

Рік запровадження

технології

1220 y=4,636715(x-3,9856*10-7)1/2 1968

1420 y=5,241429(x-2,70362)1/2 1972

Всі нові технології

(1220, 1420)

y=8,947233(x-2,809589)1/2 1968

108-529 y=9,402759(50,64215-x)1/2 1941

720-820 y=7,970979(34,15009-x)1/2 1951

Всі старі

технології

(108-1020)

y=15,64482(64,14431-x)1/2 1941

1. Всі діаметри 108-1020 мм.;

2. 720—820 мм.;

3. 108 – 529 мм.;

4. 1220, 1420 мм.;

110

5. 1220 мм.;

6. 1420 мм.

На малюнках показані криві, що підтверджують залежність степеня ½

між розміром дифузії технології і часом її існування.

Криві дають гарну точність апроксимації з вихідними даними.

Максимальна величина помилки не перевищує 7%. Одержані криві свідчать

про можливість застосування теорії катастроф з керуючими параметрами – в

даному випадку катастрофи типу „складка” – для аналізу і прогнозу процесу

розвитку і змін технологій в трубопровідному транспорті газу. Хороша якість

апроксимації дає можливість прогнозувати час повного відмирання того чи

іншого виду технологічного устаткування.

Приведемо тепер одержанні залежності до канонічного виду катастрофи

„складка”. Для всіх старих технологій діаметрів від 108 до 1020 мм. має місце

залежність

( ) 212 14431,6464482,15 xR −= .

Покладаючи RY = - вихідний параметр; ( )yxa −= 14431,6464482,15 2

керуюча змінна, перепишемо (8) у вигляді ( ) 0;2 ===dY

aYdVaY

Інтегруючи (9), одержимо канонічний вид функції типу „складка”

( ) aYYaYV += 3

31, .

Аналогічно одержимо рівняння „складка” для нових технологій

( ) aYYaYV += 3

31, ,

де ;NY = ( )809589,2447233,8 2 −−= xa .

Раніше проведені дослідження дозволяють припускати існування

аналогічного виду залежностей від інших видів технологічного устаткування

в різних галузях народного господарства.

111

Розділ 4. Моделювання процесів прийняття рішень.

§1. Етапи процесу прийняття управлінських рішень

Функція прийняття рішень безпосередньо пов'язана з цілеспрямованою

діяльністю людини. У щоденному житті кожен індивід приймає велику

кількість рішень: про вибір професії, місце роботи, формування сім'ї,

проведення відпочинку, розподіл бюджету тощо. Формування та вибір цих

рішень відбувається емпірично: шляхом логічного мислення та інтуїції.

Як керівник, людина в процесі управління приймає рішення у

політичній, економічній, соціальній, культурній та інших сферах діяльності.

Наслідки цих рішень торкаються інтересів та впливають на життя великих

спільнот, на суспільство в цілому. Тому помилки в прийнятті рішень можуть

призвести до великих моральних і матеріальних втрат. Про важливість рішень

Джордж Гордон писав так: "Ухвалення рішень - основа основ державного

управління, як і всієї організованої людської поведінки". У зв'язку з цим

закономірною є вимога підвищення ефективності управлінських рішень на

основі наукового підходу до їх формування та вибору. Адже ніщо так

негативно та дестабілізуюче не впливає на поведінку людей, їх спільну працю,

як прийняття непродуманих, некомпетентних, несвоєчасних рішень. Теорія

державного управління характеризується науковим підходом до прийняття

рішень: виникла загальна теорія, розробляється методологія, тобто технологія

прийняття рішень і їх виконання, удосконалюється процес навчання кадрів

апарату управління.

Застосування наукового підходу дозволяє керівнику більш об'єктивно

оцінювати проблемну ситуацію, враховувати наявні ресурси та обмеження,

формулювати та аналізувати варіанти рішень, вибирати серед них найбільш

оптимальне та передбачати його можливі наслідки. Знання теорії прийняття

рішень - це професійна компетентність кожного керівника. В умовах

становлення демократичного суспільства та ринкової економіки питання

112

підвищення якості та ефективності рішень, які приймаються і реалізуються, а

також оперативність їх вирішення, набувають особливої гостроти.

Управлінське рішення розглядається як процес вироблення та реалізації

раціонального варіанту проблеми чи завдання та як фіксований правовий акт

(нормативний чи індивідуальний). Ці стадії управлінських рішень

взаємозв'язані і однаковою мірою важливі як для теорії, так і практики

державного управління. Потрібно дослідити процедуру ухвалення та

виконання управлінських рішень, яка є оціночним критерієм керівних

здібностей.

Крім того, важливість управлінських рішень та й самої функції

прийняття рішень у процесі державного управління зумовлена тим, що їх

ухвалення, по-перше, чітко простежується як умова виконання всіх інших

функцій; по-друге, є безпосереднім продуктом діяльності керівників усіх

рівнів управління; по-третє, є одним із важливих засобів формування

соціальних інтересів і, по-четверте, виступає однією з форм реалізації

соціальних інтересів. Можна сказати, що управлінське рішення і процес його

ухвалення являють собою фундаментальну детермінанту колективної (і

взаємопов'язаної з колективною) людської поведінки та спільної комбінованої

діяльності людей, зумовленої необхідністю задоволення індивідуальних

інтересів. Управлінські рішення, відображаючи суспільні потреби та інтереси,

у свою чергу, сприяють їх реалізації, формуючи спрямування поведінки людей

у сфері управлінських, адміністративно-правових відносин, змінюючи тією чи

іншою мірою їх вартісну орієнтацію.

До основних ознак управлінських рішень можна віднести такі:

-рішення передбачає наявність можливих варіантів дій та вибору одного

з них у відповідності з існуючими обставинами, інтересами і потребами;

-вибір прийняття варіанту дій є результатом свідомої, розумово-

психологічної діяльності керівника;

-необхідність та головний зміст рішення визначається метою спільної

діяльності ;

113

-управлінське рішення володіє активуючою та організуючою силою;

-в основі управлінського рішення лежить організаційна діяльність

людей.

Головна особливість управлінських рішень, яка відрізняє їх від інших

рішень, полягає в тому, що їх ціллю є забезпечення оптимальних умов спільної

діяльності людей. Таким чином, управлінське рішення, як форма виявлення

волі суб'єкта власності чи його представника (органу, посадової особи -

керівника) щодо підпорядкованого об'єкта, являє собою результат відбору із

численних варіантів поведінки (руху) управлінської системи такого, що

більше інших відповідає конкретній ситуації та цілям функціонування даної

системи на відповідному етапі її розвитку.

Прийняття рішень не слід розглядати як особливу і дуже відмінну

функцію управління. Як зазначають Леслі Рю і Лойд Байєр, ухвалення рішень

охоплює всі основні функції управління: планування, організацію,

укомплектування штату, мотивацію й контроль. Обставини, при яких

ухвалюються рішення, значною мірою визначають моделі чи теорії прийняття

рішень, які можна застосувати у практичній діяльності. Теорія і практика

проблем, що виникають у ході управлінської діяльності, виробили загальну

логічну послідовність процесів вирішення проблем. Для успішного виконання

керівником своїх функцій йому необхідно знати закономірності етапів

вироблення рішень і порядку дій на кожному з них. Розглянемо основні етапи

процесу прийняття управлінських рішень.

Вихідним моментом вироблення рішення вважається виникнення

ситуації, яка вимагає його прийняття. Ситуація може складатися у

надходженні розпорядження про необхідність виконання певних дій чи

прийняття рішення з якоїсь конкретної проблеми та її практичного вирішення.

Це етап усвідомлення проблеми, коли визнається невідповідність існуючого

стану системи прогнозованому. Тому виникає необхідність у внесенні певних

корективів. Більшість проблем має велику кількість рішень, тобто різних

способів переходу з одного стану до іншого.

114

Етап виникнення ситуації дещо виходить за рамки процесу прийняття

рішення, оскільки його вироблення починається, по суті, тільки після

виникнення ситуації. Однак з'ясування порядку дій керівника на цьому етапі є

вкрай важливим і необхідним, оскільки від цього залежить результат усіх

подальших дій та правильність прийняття рішення. Саме на цьому етапі

керівник повинен усвідомити суть проблеми та її зміст, а також взаємозв'язок

з іншими сторонами управлінського процесу для врахування при підготовці та

прийнятті рішення.

Для того, щоб змінити ситуацію потрібно:

а) шукати й аналізувати інформацію, що стосується проблеми; чим

більше інформації про стан проблеми, чим більше вона структурована, тим

ефективнішим буде результат;

б) узагальнити проблему, визначити важливість проблеми;

в) використати індивідуальні або групові методи для визначення і

аналізу проблеми.

Головне завданням на цьому етапі - оцінити потребу в прийнятті нового

управлінського рішення.

Підготовка необхідної інформації.

Підготовка та прийняття рішення передбачає збір та обробку необхідної

інформації. На цьому етапі з'ясовується директивна інформація та правова

сторона проблеми, вивчається нормативна інформація та наукові

напрацювання з питання, що вирішується, досвід, збирається внутрішня

поточна інформація і дані про ресурси для реалізації рішення. До інформації,

яка збирається та обробляється, висуваються відповідні вимоги, про які

йшлося вище. При збиранні інформації слід зосередитися на пошуках лише

такої кількості даних, які б забезпечили прийняття рішення, тобто інформація

повинна бути достовірною, об'єктивною, своєчасною та достатньою. Цей етап

може бути найбільш трудомістким і тривалим. До того ж, цей пошук може

дати зворотні результати при зміні ситуації під час збору фактичних даних в

умовах, що швидко змінюються.

115

Створення альтернативних варіантів розв'язання проблеми.

Однією з характерних рис управлінського процесу є багатоваріантність

шляхів переходу системи з одного стану в інший, чи можливість прийняття

великої кількості різних рішень з однієї й тієї ж проблеми. В умовах

адміністративно-командної системи управління практика одноваріантного

вирішення проблем, була швидше правилом, ніж винятком. Ефективність

прийнятих рішень була досить низькою. В умовах ринкових відносин, коли

різко зростає ступінь ризику і знижується ступінь визначеності проблемної

ситуації, потреба у розробці багатьох альтернативних (взаємовиключних)

варіантів майбутнього рішення стає життєво необхідною. Варіанти та їх оцінка

є найважливішими умовами ефективності управлінського рішення, що

визначається через відношення ступеня досягнення поставлених перед

системою цілей до затрат на їх реалізацію.

На основі отриманої інформації можна розробити альтернативні

рішення. Ключем оцінки альтернатив є відповідність очікуваного результату

бажаним обставинам. Для оцінки альтернатив необхідно: оцінити очікуваний

результат кожної альтернативи; оцінити очікувану вартість альтернатив;

оцінити несподівані фактори, властиві кожній альтернативі. Враховуючи, що

максимальної відповідності альтернативних результатів і бажаної ситуації

важко досягти, необхідно визначити максимально можливі варіанти

вирішення проблеми. Оцінка наслідків альтернатив одна з найбільш

трудомістких дій, пов'язана, найперше, з використанням економіко-

статистичних, математичних методів аналізу витрат і результатів, а також

розгляду соціально-політичних наслідків і факторів.

Визначення критеріїв.

Принципово важливим є висунення і запровадження за можливістю

несуперечливих критеріїв внутрішньої (з точки зору певної організації) та

кінцевої (суспільної) доцільності тих чи інших дій управлінської системи.

Міркування про досягнення певних завдань повинні узгоджуватися з

відповідними критеріями рішення. Це можуть бути соціальні, економічні

116

критерії ефективності. Цей етап стосується оцінюючого аспекту проблеми. Це

найбільш важливий крок для запровадження цінностей і філософії в

управлінський аналіз, тому що "критерії" - це стандарти оцінок для суджень

про "сприятливість" проектованих наслідків кожної з альтернатив. Критерії

застосовуються для оцінки наслідків, а не альтернатив. Можна вирізнити такі

основні критерії: законність, політична прийнятність, економічна

справедливість, придатність до втілення в життя, можливість вдосконалення.

Аналіз можливих наслідків.

Це один із найважчих етапів процесу прийняття рішень, адже потрібно

відповісти на три важливих питання:

-чи виправдані труднощі реалізації програми?

-чи потрібна спеціальна підготовка (навчання, тренування)?

-чи є необхідні ресурси?

Альтернативи пропонують не тільки різні, а часто прямо протилежні

виходи з проблемної ситуації. Ось чому суб'єкт управління перед тим, як

зупинитися на єдиному варіанті, повинен порівняти альтернативи, оцінити їх,

виявити позитивні та негативні сторони, проаналізувати можливі наслідки, які

випливатимуть із цих альтернатив. Для такого аналізу доцільно брати

принципово різні варіанти, кожен з яких повинен розглядатися в певному

взаємозв'язку як з іншими варіантами, так і з іншими проблемами, що

вирішуються. Жоден варіант рішення поставленого завдання не повинен

відкидатися без ретельного аналізу, зокрема, аналізу причин, через які його не

слід використовувати. Поверхневий аналіз можливих наслідків

альтернативних рішень, недооцінка чи переоцінка їх якості в майбутньому

можуть призвести до того, що перед суб'єктом виникнуть суттєві труднощі та

протиріччя. Тут особливо необхідно звернути увагу на розвиток у керівників

та працівників, які беруть участь у розробці управлінських рішень, таких

творчих здібностей, як чутливість до проблем, швидкість і гнучкість мислення,

здатність по-новому визначити проблему, оригінальність мислення.

117

Аналіз наслідків альтернатив - одна з найбільш трудомістких дій, що

пов'язана з використанням економічно-статистичних, математичних

методів аналізу витрат та результатів, а також розгляду соціально-політичних

наслідків і факторів.

Прийняття (вибір) рішення.

Це творчий процес вибору з числа можливих альтернатив єдиної, яка

приймається до виконання. Для процесу ухвалення управлінських рішень

характерні багатогранність і складність взаємовпливів соціальних,

економічних, політичних і технічних факторів та інформації, а тому головна

роль у пошуку оптимального чи допустимого рішення відводиться людині. Як

би ефективно не використовувались інформаційна та обчислювальна техніка

на етапі збору інформації та даних і навіть підготовки варіантів поведінки,

функція вибору оптимального варіанту, тобто функція прийняття рішення

покладена на керівника. Будучи творчою діяльністю, процес ухвалення рішень

спонукає до активної реалізації сили і потенціалу людського розуму. Адже

рішення - не просто елементарне логічне узагальнення інформації, а продукт

творчого мислення, інтуїції та фантазії людини. Формальні методи і технічні

засоби використовуються нею в процесі прийняття рішень у якості

допоміжних інструментів. Тому процес прийняття рішення - завжди вольовий

акт, соціальна дія, яка виражає не тільки потреби та інтереси особи та

відображає інтереси певних соціальних сил у суспільстві, а й реалізує ці

соціальні інтереси. Ось чому зростає відповідальність управлінців за прийняті

рішення. У кожній конкретній ситуації існує декілька об'єктивно можливих

рішень. На вибір рішення впливають такі фактори: цілі; право керівника

приймати ті чи інші рішення; наявність ресурсів; здібності керівника і його

працівників.

Досвід, розуміння сутності проблеми, передбачення перспективи та

інтуїція допомагають оцінити значимість альтернативних варіантів і вибрати

найбільш раціональне рішення. На перший план висуваються вищевикладені

якості управлінського рішення логіко-аналітичного, емоційно-вольового й

118

організаційно-правового актів. Головною вимогою до управлінського рішення

є чіткість, зрозумілість для виконавців, конкретність та підконтрольність.

Затвердження рішення є актом його офіційного прийняття, воно

повинне даватися виконавцям у письмовій формі або електронній формі і за

підписами посадових осіб, які уповноважені їх затверджувати. У рішенні

накреслюється програма дій для його виконання: що робити; кому виконувати;

термін виконання; як виконувати; хто і як контролює виконання рішення.

Доведення управлінських рішень до виконавців.

Важливою вимогою на цьому етапі є оперативність доведення рішення

до виконавців. Для цього необхідно визначити способи і форми передачі

рішення; визначити час, необхідний на його передачу; уточнити способи і

засоби підтримки зв'язку і порядку взаємодії виконавців і т.д.

Правильно довести рішення до виконавців означає вибрати найбільш

відповідний вид оформлення рішення в команду (наказ, розпорядження,

постанова тощо) і викласти його так, щоб виконавець зрозумів проблему і

чітко бачив ціль, а також усю структуру проблеми, що вирішується у цілому

та своє місце у ній. Керівник повинен спонукати виконавця до ініціативного

вирішення часткових завдань, що витікають із загальної проблеми; зробити

виконавця своїм однодумцем, не примушувати, а переконувати в необхідності

та правильності прийнятого рішення.

Організація виконання рішень.

Після оприлюднення рішення виконавці з урахуванням отриманих

основних вказівок розробляють детальні плани і програми дій. В них

виділяють окремі завдання, призначають відповідальних, визначають строки

виконання. Наявність в організації чіткого розподілу і координації функцій,

дієвих регламентів і процедур управління - важливі фактори успіху в їх

виконанні.

Важливою частиною цього етапу є забезпечення діяльності виконавців.

При цьому розрізняють матеріально-технічне і фінансове забезпечення;

організаційне забезпечення; психологічне забезпечення; стимулювання

119

роботи виконавців. Зрозуміло, що забезпечення діяльності виконавців

повинне здійснюватися у рамках законності з дотриманням вимог керівних

документів.

Важливо не просто ознайомити колектив (чи окремих службовців) із

змістом управлінського рішення, а й здійснити комплекс заходів з метою

унеможливити емоційні бар'єри, подолати пасивність виконавців,

мобілізувати їхню енергію та ініціативу на реалізацію нових настанов.

Керівник повинен стимулювати розвиток ініціативи у виконавців; дати їм

необхідні повноваження; звільнити від дріб'язкової опіки; не обмежувати у

виборі способів та засобів виконання часткового завдання в рамках правових

норм і їх функціональних обов'язків. Суть завдання у тому, щоб забезпечити

не тільки правильне, адекватне трактування змісту вимог, які містить рішення,

а й показати роль та відповідальність кожного виконавця, привести у дію їх

особисту активність, перевести зовнішні вимоги рішення на внутрішні

настанови підлеглого, поєднавши їх з його особистими потребами та

інтересами.

Контроль.

Контроль розповсюджується як на підсумки, так і на хід реалізації

управлінських рішень. Принциповою вимогою до ефективного

функціонування системи управління є об'єктивність контролю. У процесі

контролю за діями виконавців керівник повинен встановити: чи досягнута

запланована рішенням мета, тобто, чи виконане рішення повністю, частково

або не виконане, в якій частині не виконане і т.д.; якщо ціль досягнута, то чи

був процес її досягнення найкращим (оптимальним), чи відповідали методи і

засоби її досягнення вимогам законодавства. Якщо мета не виконана, то

необхідно встановити, які основні причини цього, в якій частині вони

залежали від виконавців, а в якій - від правильності та обґрунтованості самого

прийнятого рішення.

120

Оцінка рішення та отриманих результатів.

Оцінки успіхів та невдач повинні бути диференційовані у відповідності

з їхнім впливом на хід (а не тільки на результат) справи. Аналіз і узагальнення

досвіду - головний шлях до самонавчання та вдосконалення системи

управління.

Головне значення цієї стадії управлінського процесу полягає у

встановленні зворотного зв'язку від реалізації рішення до попередніх

аналітичних та директивних стадій, а саме до пошуку нових альтернатив, зміні

умов постановки проблеми, корекції рішень, і навіть перегляду поставленої

мети, оцінки ефективності виконання рішення. У результаті визначається

відповідальність тих, хто приймав рішення, за компетентність, якість,

своєчасність прийнятого рішення та виконавців - за ступінь адекватності

виконання цього рішення. Крім того, цей етап дає змогу виявити міру

реалізації соціальних інтересів, які були виражені в управлінському рішенні.

Підсумовуючи, можна виділити такі основні блоки процесу вироблення

управлінських рішень: 1) виникнення ситуації, яка вимагає прийняття

рішення; 2) підготовка необхідної інформації; 3) підготовка та оптимізація

майбутнього рішення; 4) ухвалення (вибір) рішення; 5)організація виконання

прийнятого рішення.

121

§2. Функції групового вибору

У багатьох ситуаціях більш корисно проводити ранжирування всіх

кандидатів замість того, щоб вказувати єдиного переможця, наприклад, при

відборі кандидатур на посаду різними фахівцями, оскільки в цьому випадку

потрібно буде зробити пропозицію кандидату, що зайняв друге місце, якщо

перший відмовиться від роботи, третьому якщо відмовиться другий і т.д.

Кажучи більш строго, нехай є безліч осіб І, занумерованих числами 1,2...,

. Нехай елементами множини А є деякі об'єкти, альтернативи, чинники,

події, кандидати, про яких і виносять свої думки індивідууми з множини І.

Позначимо через Pі, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑡𝑡 ранжування альтернатив з А, вказане i-m

індивідуумом. Для а, b Є А запис aPіb вживатиметься, якщо i-й індивідуум

ставить а на вище місце, ніж b. Таким чином, aPіb означає, що з точки зору

і-го індивідуума а бажаніше b або а вищої якості, або а є більш важливим і т.д.

Зазвичай ми будемо інтерпретувати ранжування в термінах переваг.

У наших ранжуваннях допускатимуться зв'язки. Якщо об'єкти

(альтернативи) а і b вважаються індивідуумом i зв'язаними, ми писатимемо

aTіb. (Якщо ранжирування проводилося по відношенню переваги, тоді Tі

інтерпретується як відношення "байдужості"). Зручно представляти Pі,

виписуючи елементи А в стовпець в порядку зменшення, краще зверху вниз.

Таким чином, якщо А = { х, у, z, v), то одне з ранжувань Pі має вигляд

y-v

u

Дефіс між у і v вказує, що вони зв'язані в ранжуванні, тобто має місце

уTіv. Крім того, в Pі елемент х займає вище місце, як у і v, які у свою чергу

вище за u.

За припущенням кожне ранжування Р транзитивне, тобто якщо аPb і bPс,

то справедливо і аPс, і асиметрична, тобто аPb і bPа не виконуються

одночасно.

122

Набір ранжувань ( P1 , P2 ,….. Pn,), членів, що виражають перевагу групи,

визначає груповий профіль. Один з профілів множини А ={ х, у, z, v } для

групи з трьох індивідуумів має вигляд

P1 P2 P3

x y x-u

y x v

u-v u y

v

Позначимо через Ф=Ф(А) сукупність всіх можливих ранжувань А і

нехай Фt(А)=Ф×Ф×…..×Ф. Таким чином Фt(А) позначає сукупність всіх

профілів групи з t індивідуумів на множині А.

Нас цікавить наступна проблема: як знайти за даним профілем

( P1 , P2 ,….. Pt,) "виграшну" альтернативу або, в менш загальній постановці,

як знайти ранжування Р на А, яке виражає узгоджену думку групи. Якщо

кожне ранжування Pі отримується у результаті впорядкування за перевагою,

то Р представляє групову перевагу. Оскільки по груповому ранжуванню

можна визначити "переможця", зосередимо свою увагу на проблемі

знаходження такого ранжування. Проте слід мати на увазі, що це може

виявитися більш важким завданням, як просто виявити переможця.

Правило побудови групового ранжування за груповим профілем

називатиметься груповою функцією узгодження. Якщо ранжування

відображають переваги, особливо, коли множиною індивідуумів І є все

суспільство, то часто говорять про функцію групового (суспільного) вибору.

Групову функцію узгодження можна представляти, як функцію

F:Фt(А)→Ф(А). Визначимо, які функції F можна вважати "розумними".

Зосередимо увагу на випадку впорядкування по перевагах. Слід мати на увазі

й інші інтерпретації ранжувань Рі .

Одним з очевидних принципів для отримання групового ранжування є

правило простої більшості: якщо дано профіль ( P1 , P2 ,….. Pt), альтернатива

123

а отримує в груповому ранжуванні вище місце, як альтернатива b, тоді і тільки

тоді, коли більшість (тобто більше половини) індивідуумів оцінює а вище b.

Нехай А ={ х,у, z}, t = 3, а груповий профіль має вигляд

P1 Р2 Р3

х у z

у z х

z х у

Більшість індивідуумів ранжують х вище у, у вище z і z вище х. За

правилом простої більшості в груповому ранжуванні Р повинно виконуватися

хPу, yPz і zPx. Проте ранжування з такими трьома властивостями не існує!

Оскільки ранжування асиметричне, то zpx означає, що xpz не виконане. Тому

таке "ранжування" не задовольняє умові транзитивності. Цей приклад

ілюструє парадокс голосування (парадокс Кондорсе). Об'єднання

індивідуальних ранжувань по відношенню переваги на основі правила простої

більшості не обов'язково приведе до групового ранжування. Відповідно до

визначення групової функції узгодження або вибору, правило простої

більшості навіть не завжди задає таку функцію, оскільки не всякому профілю

ставиться у відповідність ранжування.

Неважко описати функції групового вибору, що ставлять у відповідність

кожному профілю допустиме ранжування. Один з прикладів - правило Борда.

Нехай величина Bі(а) рівна числу альтернатив а, розташованих нижче

альтернативи а в ранжуванні Pі, і 𝐵𝐵(𝑎𝑎) = ∑ 𝐵𝐵𝑖𝑖(𝑎𝑎)𝑡𝑡𝑖𝑖=1 . B(а) називається числом

Борда для альтернативи а. Функція вибору Борда визначається таким чином: у

груповій перевазі а вище b тоді і тільки тоді, коли В(а) більше, ніж В(b). Для

прикладу, розглянемо наступний груповий профіль:

P1 Р2 Р3 Р4

х у v x

у u х y

u х у u-v

v v u

124

Тоді B1(х) = 3, B2(х) = 1, B3(х) =2 і B4(х) = 3, тому В (х) = 9.

Аналогічно,

В(у) =2 + 3+1 + 2 =8,

B(u) = 1 + 2 + 0 + 0 = 3,

B(v) =0 + 0 + 3 + 0 = 3.

Таким чином, згідно правила Борда, х отримує більш високе, місце, як у, у

вище u і v , а u і v рівноцінні (зв'язані). Групове ранжування має вигляд :

Р

X

У

U-V

Правило Борда завжди приводить до ранжування, але не завжди це

ранжування узгоджується з нашим інтуїтивним уявленням про

"справедливість". Наприклад, розглянемо наступний профіль:

P1 Р2 Р3 Р4 Р5

х x x x y

у y y y z

z z z z u

u u u u v

v v v v w

w w w w x

Тут B(x)=20, B(y)=21 , тому переможцем буде y, хоча чотири з п'яти

індивідуумів вважають х найкращим кандидатом.

Неважко описати і інші функції групового вибору. Але іноді буває важко

визначити, яка з двох функцій вибору більш "обґрунтована". У таких випадках

один з можливих підходів полягає в тому, що спочатку записуються умови,

яким повинна була б задовольняти "обґрунтована" функція групового вибору,

а потім з'ясовується, чи можна з них вивести конкретну функцію або клас

таких функцій.

125

§3. Теорема Ерроу

У цьому параграфі будуть розглянуті наслідки з використання набору

аксіом для функції групового вибору, які запропонував в дещо іншій формі

нобелівський лауреат Кеннет Ерроу. У цих аксіомах сформульовані умови,

яким повинна задовольняти "розумна" функція групового вибору.

Аксіома 1 (позитивний зв'язок групових і індивідуальних переваг).

Якщо функція групового вибору визначає по даному профілю, що а важливіше

b, то ця перевага збережеться, якщо профіль змінити таким чином:

1) індивідуальні переваги для пар альтернатив, відмінних від а, не

міняються;

2) індивідуальна перевага для альтернативи а і будь-якої іншої

альтернативи може змінитися тільки на користь а.

Для ілюстрації цієї аксіоми розглянемо чотирьох покупців, що

вибирають автомобіль з множини А = {"Форд", "Шеві", "Плімут"}. Їх вибір

визначає наступний груповий профіль:

P1 P2 P3 P4

"Форд" "Шеві" "Шеві" "Плімут"

"Шеві" " Форд" "Форд" "Форд"-"Шеві"

"Плімут" "Плімут" "Плімут"

Припустимо, що функція групового вибору визначає ранжування

"Форд"

"Шеві"

"Плімут"

Розглянемо тепер профіль другої групи покупців:

"Форд" "Форд" "Шеві" "Плімут"

"Шеві" "Шеві" "Форд" "Форд"

"Плімут" "Плімут" "Плімут" "Шеві"

126

Тоді = P1 і = P3 . У ранжуванні "Шеві" стає менш важливим, як

"Форд", хоча як і раніше важливіше "Плімута". У "Шеві" стає менш

важливим, ніж "Форд" і, як і раніше, менш важливий, як "Плімут". Таким

чином, якщо функція групового вибору задовольняє аксіомі 1 і в якості

альтернативи взяти "Форд", то в другій групі "Форд", як і раніше, важливіший

"Шеві".

Аксіома 2 (незалежність незв'язаних альтернатив). Нехай А1 - довільна

підмножина альтернатив А. Якщо при зміні профілю індивідуальні переваги

серед елементів А зберігаються то групові переваги, що виходять для

початкового і зміненого профілю, на альтернативах з А1 повинні співпадати.

Аксіома 2 стверджує, що в груповому ранжуванні результати попарних

порівнянь альтернатив, що не входять в А1 ,і їх порівнянь з альтернативами з

А1, не пов'язані з результатами порівнянь альтернатив з А1. Для ілюстрації цієї

аксіоми візьмемо А = {"Форд", "Шеві", "Плімут", "Фольксваген", "Датсун"}.

Нехай А1 ={ "Форд", "Шеві", "Плімут" } і t = 3. Розглянемо профілі:

P1 P2 P3

"Форд" "Фольксваген" "Форд"-"Шеві "-"Плімут"-"Фольксваген"

"Фольксваген" "Плімут"-"Датсун" "Датсун"

"Датсун" "Шеві"

"Шеві"-"Плімут" "Форд"

і

"Датсун" "Плімут" "Форд"-"Шеві"-"Плімут"

"Форд" "Шеві" "Фольксваген"-"Датсун"

"Шеві"-"Плімут" "Фольксваген"

"Фольксваген" "Датсун"

"Форд"

В P1 і на А1 маємо ранжування

"Форд"

"Шеві"-"Плімут"

127

У P2 і - ранжування

"Плімут"

"Шеві"

"Форд"

і в P3 і - ранжування

"Форд"-"Шеві"-"Плімут".

Таким чином, згідно аксіоми 2, які б групові ранжування не виходили

для першого і другого профілів на множині А, вони повинні співпадати на А1.

Якщо додаються дві нові альтернативи -"Датсун" і "Фольксваген", - які

порівнюються між "Фордом", "Шеві" і "Плімутом" і при цьому результати

індивідуальних попарних порівнянь між "Фордом", "Шеві" і "Плімутом" не

міняються, то і в груповому узгодженому ранжуванні результати попарних

порівнянь між "Фордом", "Шеві" і "Плімутом" також не міняються.

Аксіома 3 (суверенність громадян). Для кожної пари альтернатив а і b

існує профіль, для якого в груповому ранжуванні а важливіше b.

Якщо б ця аксіома не виконувалася, то знайшлася б пара альтернатив а і

b таких, що незалежно від індивідуальних переваг, навіть якщо для кожного

покупця а важливіше b, в груповому ранжуванні альтернатива а ніколи не буде

важливіше b. В цьому випадку результат суспільного (групового) порівняння

а і b нав'язаний групі і переваги громадян (покупців) не відіграють ніякої ролі.

Аксіома 3 буде мати місце при виконанні наступної природної умови: якщо

кожен покупець ставить а попереду b, то для групи а важливіше, як b.

Аксіома 4 (відсутність диктатора). У групі немає такого індивідуума, що

якщо для нього а важливіше b при будь-яких а і b є А, тоді і для групи а повинно

бути важливіше b, незалежно від переваг інших індивідуумів.

Якщо для покупця j аксіома 4 порушена, природно назвати його

«диктатором». Інша частина суспільства (групи) може мати вплив на

остаточний результат порівняння альтернатив а і b тільки тоді, коли для j вони

байдужі.

128

Проаналізуємо тепер аксіоми Ерроу для різних значень t і n = . При

t=1, коли є тільки один покупець, аксіоми Ерроу тривіальні. Аналогічна

ситуація у разі n=1. Якщо n=2, то при всіх t ≥ 2 правило простої більшості

визначає функцію групового вибору, що задовольняє аксіомам Ерроу. Для

перевірки аксіоми 1 зауважимо, що якщо для більшості людей а важливіше b,

то ця перевага збережеться при пересуванні b на нижче місце у деяких

ранжуваннях. Аксіома 2 представляє інтерес лише при A1≠A; у нашому

випадку A1 може складатися тільки з одного елементу. Оскільки є єдине

ранжування на одноелементній множині, аксіома 2 тривіально

задовольняється. Аксіома 3 виконується, так як для наступного профілю за

правилом простої більшості а важливіше b:

P1 P2 . . . Pt

a a a

b b b

Щоб переконатися в справедливості аксіоми 4, розглянемо спочатку

випадок t > 2. Тоді для профілю, що наведено нижче, за правилом простої

більшості а вище, ніж b, хоча для j-го покупця b важливіше а.

P1 P2 … Pj-1 Pj Pj+1 … Pt

а а ... а b а ... а

b b ... b а b ... b

Якщо t = 2, то для наступного профілю група вважає а і b рівноцінними,

хоча покупець і так не вважає!

Pі Pj

а b

b a

Розглянемо тепер випадок, коли кількість альтернатив не менше трьох і

група складається хоча б з двох індивідуумів, тобто n≥3 і t ≥ 2. Тоді

справедлива наступна теорема.

Теорема 1 (теорема Ерроу про неможливість). Нехай множина

альтернатив А містить не менше трьох елементів, число індивідуумів t не

129

менше двох і Фt(A) - безліч всіх профілів на А для групи з t індивідуумів. Тоді

функції групового вибору, що визначені на Фt (А) і задовольняє аксіомам 1-4,

не існує.

Ця теорема абсолютно вражаюча, оскільки на перший погляд аксіоми

1-4 цілком природні. Іншими словами, теорема стверджує ,що якщо функція

групового вибору задовольняє аксіомам 1 і 2, тоді вона або нав'язана, або

диктаторська.

130

§4. Суміщення шкал

Зараз розглянемо можливість обмеження множини допустимих профілів

(вхідної інформації) в ситуації колективного прийняття рішень. Ми змінимо

наше поняття функції групового вибору і визначимо її як процедуру, що

знаходить групове ранжування для кожного профілю з деякої множини

профілів. Буде показано, що якщо профіль отримується в результаті

спеціальної процедури, то правило простої більшості не приводить до

парадоксу голосування, тобто може використовуватися для визначення

ранжування. Тому правило простої більшості є функцією групового вибору в

тому розумінні, що для кожного профілю з деякої відібраної множини

профілів воно будує ранжування. Ця функція вибору задовольнятиме всім

аксіомам Ерроу, якщо змінити їх так, щоб вони відносилися тільки до профілів

з виділеної множини.

Розглянемо поняття медіани. Якщо безліч чисел S (можливо з

повтореннями) містить непарне число елементів перерахованих в порядку

зростання, то медіаною називається число, що знаходиться в середині цієї

послідовності. Таким чином, якщо S містить 2а + 1 елементів, то медіаною S

буде (к+ 1)-й елемент. Наприклад для множини S={1,5,2} впорядкована

послідовність елементів має вигляд 1, 2, 5 і медіаною служить число 2. Якщо

S = {1,4,3,3,6}, то впорядкованою послідовністю елементів служить 1,3,3,4, 6,

а медіаною буде число 3.

Наведемо приклад ситуації, коли правило простої більшості дає

ранжування. Припустимо, що кандидати в президенти х, у, z і т. д. оцінюються

по шкалі від 0 до 100 згідно загального числа набраних голосів на основі

процедури голосування відповідно до закону про вибори. На цій шкалі

кандидати можуть також оцінюватися відповідно з їх консерватизмом,

лібералізмом, відношенням до військових витрат і т. д.

Нехай при розгляді можливих кандидатів індивідуум визначає на цій

шкалі свою ідеальну оцінку (ця оцінка характеризує його перевагу в

приведеній вище шкалі 0-100), наприклад, рівну 20, 80 або 100. Тоді він

131

вважає, що кандидат а важливіше кандидата b в тому і тільки тому випадку,

якщо відстань від а до ідеалу менше відстані від b до ідеалу.

Теорема 1. Нехай А - множина альтернатив, R2k+1(А) - множина всіх

профілів групи з (2к + 1) індивідуумів на А, отриманих за суміщеною

кількісною шкалою. Функція групового вибору Кумбса на R2k+1(А) співпадає з

правилом простої більшості.

Кумбсом були сформульовані інші умови, при яких правило простої

більшості приводить до ранжування. Припустимо, що немає можливості

чисельно оцінити всі альтернативи або ідеальні оцінки індивідуумів. Проте

можна побудувати єдине впорядкування всіх альтернатив і індивідуумів. Для

простоти вважатимемо, що отримане ранжування повне, тобто не має зв'язків.

Наприклад, для чотирьох альтернатив х,у, u, v і трьох індивідуумів 1, 2,

3 однією з таких ранжувань виявляється наступна:

х

2

y

u (1)

1

v

3

Можна проінтерпретувати це таким чином: альтернативи

розташовуються по спаданню їх ступеня переваги - х,у,u,v; індивідуум 2

вважає, що його місце на цій шкалі десь між х і у індивідуум 1 вважає, що його

місце між u і v і т. д. Таке впорядкування називається суміщеною якісною

шкалою індивідуумів і альтернатив (на відміну від кількісної суміщеної

шкали, ця носить назву якісної). На ній можна визначити відстань від одного

елемента до іншого, вважаючи його рівним числу елементів між ними плюс

одиниця. Якщо на суміщеній шкалі є зв'язки, то відстань визначається трохи

інакше. У нашому прикладі відстань від 2 до 1 рівна 3, від у до u рівна 1, від у

до v рівне 3 і т. д. По суміщеній якісній шкалі індивідуумів і альтернатив

132

індивідуум i може визначити своє ранжування таким чином: якщо i

знаходиться на рівній відстані від двох альтернатив а і b, то в якості більш

переважної він може вибрати будь-яку з них; інакше переважною є найближча

до нього альтернатива. Отримане в результаті ранжування не має зв'язків. У

нашому прикладі для індивідуума 1, поза сумнівом, v важливіше у і х, u

важливіше у і х, у важливіше х. Вибір між u і v для нього довільний,

наприклад, він може вибрати u. Тоді його ранжуванням буде:

u

v

y

х

Припустимо, що груповий профіль (тобто ранжування всіх членів групи)

виходить саме таким чином. Якщо в множині індивідуумів міститься непарне

число елементів, рівне 2к+1, то на ньому можна вибрати медіану, а саме (к+1)-

го індивідуума, рахуючи з будь-якого кінця. У нашому прикладі їм

виявляється індивідуум 1. Тепер природним чином можна визначити функцію

вибору, яку також називатимемо функцією групового вибору Кумбса: у якості

групового ранжування вибирається ранжування індивідуума що є медіаною. У

наступному результаті використовується відсутність зв'язків у повній

суміщеній якісній шкалі .

Теорема 3. Нехай А - множина альтернатив, a S2k+1(A) - множина всіх

профілів групи з (2k+1) індивідуумів на A, отриманих по суміщеній якісній

шкалі. Функція групового вибору Кумбса на S2k+1(A) співпадає з правилом

простої більшості , що визначає ранжування.

Теорема 4. Функція групового вибору Кумбса на S2k+1(A) (правило

простої більшості) задовольняє всім аксіомам Ерроу.

Повернемося до суміщеної якісної шкали і виберемо деякий профіль,

довільним чином видаливши зв'язки. Отримаємо наступний профіль:

133

Р1 Р2 Р3

u х v

v у u

у u y

x v x

Теорема 5. Профіль ранжувань без зв’язків Ф можна отримати за

повною суміщеною якісною шкалою тоді і тільки тоді, коли Ф задовольняє

умові однопіковості.

134

§5. Відстані між ранжуваннями

Кемені і Снеллом був запропонований інший підхід визначення

функції групового узгодження.

Розглянемо наступні ранжування множини А = {"Форд", Шеві",

"Плімут", "Фольксваген", "Датсун"}

Р Q R

"Форд" "Датсун" "Шеві"

"Шеві" "Фольксваген" "Форд"

"Плімут" "Плімут" "Плімут"

"Фольксваген" "Шеві" "Фольксваген"

"Датсун" "Форд" "Датсун"

Мабуть, природно вважати ранжування Р і Q сильно віддаленими один

від одного, а ранжування R і Р близькими. Тому має сенс говорити про

відстань між двома ранжуваннями. Позначимо через d(P,Q) відстань між

ранжуваннями Р і Q. Якби можна було точно вимірювати відстань, то за

розумне правило отримання узгодженої групової думки слід було б прийняти

наступне: за даним профілем ранжувань (P1, P2,.., Pt) знайти ранжування Р з

найменшою відстанню від всіх ранжувань Pі. Природний шлях, що уточнює

це правило, полягає в тому, щоб вибрати в якості Р медіану, таке ранжування

Р, що Pi) мінімальна . В подальшому будуть розглянуті інші шляхи

для уточнення цього правила. Враховуючи теорему Ерроу, можна очікувати,

що процедура або порушить одну з його аксіом, або буде не в змозі вибрати

єдине ранжування Р, або буде володіти обома цими недоліками. Проте, навіть

якщо дана процедура не приведе до вибору єдиного ранжування Р, вона зможе

обмежити розгляд множиною розумних узгоджених ранжувань Р. Ця нова

процедура виявиться неефективною, якщо ми не знатимемо, як вимірювати

відстань d(P,Q). Слідуючи Кемені і Снеллу, перерахуємо аксіоми, яким міра

відстані могла б задовольняти. Якщо така множина аксіом задана, то є декілька

135

можливостей. По-перше, може знайтися ряд функцій відстані, що

задовольняють аксіомам. По-друге, може не існувати жодної такої функції

відстані. Знайомство з теоремою Ерроу припускає, що це найбільш реальна

можливість. Нарешті, може знайтися єдина функція відстані , що задовольняє

цим аксіомам. Така ситуація є найкращою, оскільки для неї аксіоми точно

визначають спосіб вимірювання відстані. Аксіоми в цьому випадку

називаються категоричними.

Перед формулюванням аксіом, мабуть, має сенс визначити ранжування Q,

що знаходиться між двома іншими ранжуваннями Р і R. Q знаходиться між Р і

R, якщо для кожної пари альтернатив а і b з А результат їх порівняння в Q

знаходиться між результатами їх порівняння в Р і R. А саме, якщо в Р і R

результати порівняння а і b співпадають, вони повинні співпадати і в Q. Якщо

ж в Р і R різні результати порівняння а і b, то результат порівняння в Q

співпадає з одним з них, причому в Q альтернативи а і b можуть бути зв'язані

(рівноцінні), якщо в одному випадку а важливіше b, а в іншому b важливіше a.

Наприклад, нехай А = {"Форд", "Шеві", "Плімут", "Фольксваген" }, а

ранжування Р, Q, Q',R мають наступний вигляд:

Р Q Q' R

"Форд" "Шеві" "Шеві" "Шеві"

"Шеві" "Форд" "Форд"-"Плімут" "Фольксваген"

"Плімут" "Фольксваген" "Фольксваген" "Плімут"

"Фольксваген" "Плімут" "Форд"

Тоді Q знаходиться між Р і R, оскільки для пари {"Форд", "Шеві"} Q

співпадає з R; для пари {"Плімут", "Шеві"} Q співпадає з Р і R; для пари

{"Форд", "Плімут"} Q співпадає з Р; для пари {"Форд", "Фольксваген"} Q

співпадає з Р, для пари {"Шеві", "Фольксваген") Q співпадає з Р і R і для пари

{"Плімут", "Фольксваген"} Q співпадає з R. Аналогічно Q' знаходиться між Р

136

і R, оскільки для пари { "Форд", "Шеві" } Q' співпадає з R; для пари {"Шеві",

"Плімут"} Q' співпадає з Р і R; пара {"Форд", "Плімут" } зв'язана в Q', тоді як

в Р важливіше "Форд", а в R важливіше "Плімут" і т. д. Якщо Q знаходиться

між Р і R , іноді користуватимемося позначенням В(Р, Q, R).

Аксіома 1. d(P, Q) ≥0 і рівність досягається тоді і тільки тоді, коли

P=Q.

Аксіома 2. d(P, Q)= d(Q, P).

Аксіома 3. d(P, Q)+ d(Q, R) ≥d(P, R) і рівність досягається тоді і тільки

тоді, коли В(Р, Q, R).

Перша частина аксіоми 3 - звичайна нерівність трикутника. Якщо

вважати Р, Q і R точками на площині, то тоді Q знаходиться між двома іншими

точками Р і R тоді і лише тоді, коли лежить на відрізку прямої, що їх сполучає,

або коли найкоротший шлях з Р в R проходить через Q, або коли

d(P, Q)+ d(Q, R)= d(P, R). Ці міркування пояснюють другу частину аксіоми 3.

Наша наступна аксіома стверджує, що міра відстані не залежить від

конкретних "назв", які дано елементам з А. Іншими словами, якщо елементи А

перейменувати, то відстані не повинні змінитися. Тобто, це означає, що якщо

ранжування Р, Q, P',Q' мають вигляд

Р Q P' Q'

"Форд" " Плімут" "Шеві" "Форд"

"Шеві" "Шеві" "Плімут" "Плімут"

"Плімут" "Форд" "Форд" "Шеві"

то d(P, Q) співпадає з d(P', Q'), оскільки Р' і Q' можна отримати із P і Q

перейменуванням "Форд" в "Шеві", "Шеві" в "Плімут" і "Плімут" в "Форд".

Перейменування об'єктів з А зазвичай називається перестановкою А, тобто

взаємно однозначним відображенням А на себе. Тоді аксіома перестановки

об'єктів формулюється таким чином:

137

Аксіома 4. Якщо ранжування Р' і Q' отримують з ранжувань Р і Q

відповідно однією перестановкою елементів множини A, то d(P,Q)= d(P',Q').

Аксіома 5. (неформальне формулювання). Якщо ранжування Р і Q

співпадають на початку і в кінці, і відрізняються тільки на множині

елементів в середині, то відстань між Р і Q залежить тільки від

впорядкувань цих середніх елементів.

Перш ніж уточнити цю аксіому, проілюструємо її на прикладі.

Припустимо, що проводиться вибір кольорових телевізорів і множиною

альтернатив є А={"Зеніт", "РСА", "Магновокс", "Сільванія", "Моторола",

"Філко"). Розглянемо наступні ранжування (для простоти опускаємо лапки):

Р Q P' Q'

Зеніт Зеніт РСА РСА

РСА РСА Магнавокс- Магновокс

Сільванія

Магновокс- Магновокс Моторола Моторола

-Сільвания

Моторола Моторола Філко Сільванія

Філко Сільванія Зеніт Філко

Філко Зеніт

Тоді P і Q відрізняються лише на середньому сегменті, що містить

Магновокс, Сільванію і Моторолу. Вони співпадають на верхньому сегменті,

що містить Зеніт і РСА і нижньому сегменті, що містить Філко. Крім того, Р' і

Q' відрізняються на середньому сегменті, що містить Магновокс, Сільванію і

Моторолу, і співпадають на верхньому сегменті, що містить РСА, і нижньому

сегменті, що містить Філко і Зеніт. По аксіомі 3 d(P, Q)= d(P', Q').

Для уточнення аксіоми 5 введемо поняття сегменту ранжування.

Підмножина S з А називається сегментом ранжування Р, якщо кожен елемент

138

а з A \S знаходиться або вище за будь-який елемент з S, або нижче будь-якого

елементу з S. S називається власним сегментом, якщо S ≠ А.

Наприклад, в у розглянутому вище ранжуванні множини {Магновокс,

Сільванія ,Моторола} і { РСА, Магновокс, Сільванія, Моторола} суть

сегменти. Множина { РСА, Моторола) не буде сегментом, оскільки між РСА і

Моторолою знаходиться Магновокс. Множина {РСА, Магнавокс } також не

буде сегментом, оскільки Сільванія знаходиться не вищим і не нижче

Магновокс. Якщо S = S(P) - сегмент ранжування Р, то множина = (Р), що

містить всі елементи вище S в Р і множині = (Р), що містить всі елементи

нижче S в Р, також сегменти. P(S), P( ) і Р( ) позначають ранжування

отримані з Р для елементів, що входять в сегменти S, і , відповідно.

Наприклад, для ранжування Р, якщо S(P)={Магновокс, Сільванія, Моторола},

то = (Р) = { Зеніт, РСА} і = (Р)= { Філко}. Крім того, P(S), P( ) і Р( )

мають наступний вигляд:

P(S) P( ) Р( )

Зеніт Магнавокс-Сільванія Філко

РСА Моторола

Якщо S - загальний сегмент двох ранжувань Р і Q, то (Р) може не

співпадати з (Q). Будемо казати, що ранжування Р і Q узгоджені поза S, якщо

S їх спільний сегмент і (P)= (Q) = , (Р)= (Q)= . P( )= Q( ) і

Р( )=Q( ). Після цих зауважень можна дати строге формулювання аксіоми 5.

Аксіома 5. Нехай S - сегмент ранжувань Р, Q, P',Q'; ранжування Р, Q і

ранжування P',Q' попарно узгоджені поза S і P(S)= Р'(S), Q(S)= Q'(S). Тоді

d(P, Q)= d(P', Q').

У нашому прикладі для S = { Магновокс, Сільванія, Моторола }, легко

перевірити, що Р і Q, P' і Q' узгоджені зовні S і P(S)=P'(S), Q(S)= Q'(S).

Відповідні ранжування приведені нижче.

139

P( )= Q( ) Р( )=Q( ) P'( )= Q'( )

Зеніт Філко РСА

PCA

P'( )= Q'( ) P(S)=P'(S) Q(S)=Q'(S)

Філко Магновокс-Сільванія Магновокс

Зеніт Моторола Моторола

Сільванія

Таким чином, за аксіомою 5 d(P, Q)= d(P', Q').

Остання аксіома достатньо довільна і приймається з міркувань

зручності: у ній встановлюється одиниця вимірювання.

Аксіома 6. Мінімальна позитивна відстань між елементами з Ф(А)

рівна 1, тобто для всіх Р і Q з Ф(А), d(P,Q)= 0 або d(P,Q) ≥ 1, а для деяких Р і

Q з Ф(А) d(P,Q) = 1.

Тепер розглянемо питання існування функції відстані, що задовольняє

аксіомам Кемені і Снелла. Якщо така функція існує, то чи єдина вона?

Теорема 1. Для кожної множини альтернатив А, що містить не менше

двох елементів, існує єдина функція відстані d на Ф(А)×Ф(А), що задовольняє

аксіомам 1-6.

Нехай Р і Q - ранжування на множині А, і а, b - елементи А. Покладемо

ðP,Q(а,b), рівним 0, якщо порядок а і b співпадає в P і Q; рівним 2, якщо в

одному ранжуванню а перевершує b, а в другому b перевершує а, і рівним 1,

якщо у одному ранжуванні або а перевершує b, або b перевершує а, а в іншому

ранжуванню а і b зв'язані. Тоді функція d(P, Q) рівна сумі значень ðP,Q(а,b) по

всім (невпорядкованим) парам {а,b) з А.

Наприклад, візьмемо наступні ранжування Р і Q:

140

Р Q

"Форд" "Форд-"Плімут"

"Шеві" "Шеві"

"Плімут"

Тоді

d(P, Q)= ðP,Q ("Форд", "Шеві") + ðP,Q ("Форд", "Плімут") + ðP,Q ("Плімут",

"Шеві") =0+1 + 2 = 3.

Тепер перевіримо, що визначена таким чином функція d, задовольняє

аксіомам 1-6 для кожної множини альтернатив А, що містить не менше двох

елементів.

Аксіома 1 виконується. Всі величини ðP,Q (а, b) додатні. Тому сума всіх

величин ðP,Q (а, b) також додатна. Крім того ця сума рівна 0 тоді і тільки тоді,

коли кожен її член рівний 0, або, що еквівалентно, коли для всіх а,b з А

ранжування P і Q співпадають, тобто Р = Q.

Аксіома 2 виконується. Ця аксіома вірна, оскільки ðP,Q (а, b) = ðQ,P (а, b).

Аксіома 3 виконується. Визначимо ðP(а, b) таким чином:

ðP(а, b)= (1)

Тоді для всіх а, b з А маємо

ðP,Q (а, b) = ׀ ðP(а, b)- ðQ(а, b) ׀ ,

(2) .׀ ðP(а, b)- ðR(а, b) ׀ ≤ ׀ ðQ(а, b)- ðR(а, b) ׀+ ׀ ðP(а, b)- ðQ(а, b) ׀

Утворивши нерівності (2) для всіх пар (а, b), отримаємо першу частину

аксіоми 3, тобто

d(P,Q)+ d(Q,R) ≥d(P,R). (3)

Рівність в (3) може досягатися тільки тоді, коли в (2) є рівність для всіх (a,b) з

А, що в свою чергу означає, що ðQ(а, b) знаходиться між ðP(а,b) і ðR(а,b). Таким

чином, легко бачити, що рівність в (2) для всіх пар (а,b) з А означає, що Q

знаходиться між Р і R.

Аксіома 4 виконується. Перестановка елементів А не впливає на d, тому

що приводить до складання (у іншому порядку) тих же доданків ðP,Q (а, b).

141

Аксіома 5 виконується. Легко перевірити, що, коли ранжування Р і Q

співпадають на початкових і кінцевих елементах і відрізняються лише на

середньому сегменті S, ðP,Q (а, b) =0 при а є S або b є S. Таким чином, d(P,Q)

отримується сумуванням членів ðP,Q (а,b) для а і b з S, що і означає виконання

неформального формулювання аксіоми 5.

Якщо є спосіб вимірювання відстані між двома ранжуваннями, то з його

допомогою можна визначати групову функцію узгодження. Назвемо медіаною

профілю ранжувань (Р1,P2 ,…..Pt) таке ранжування Р, що Pi )

мінімальна, а середнім ранжуванням - таке ранжування P, що

мінімальна. Бажано вибирати в якості узгодженого групового ранжування

медіану або середнє. Медіана і середнє є в статистиці мірами "центральності",

і дійсно, можна було би використовувати замість медіани або середнього будь-

яке поняття центральності.

Наведемо декілька прикладів. Розглянемо профіль:

P1 P2 P3

"Форд" "Форд" "Шеві"

"Шеві" "Шеві" "Форд"

"Плімут" "Плімут" "Плімут"

Маємо, що медіаною є ранжування :

P

"Форд"

"Шеві"

"Плімут"

Справді Pi ) = 0 + 0 + 2 = 2, тоді як для будь-якого іншого

ранжування Q Pi ) ≥ 3. Щоб показати це, відмітимо спочатку, що якщо

Q=P3, то Pi )= 2 + 2 + 0 = 4. Далі, якщо Q ≠P1, P2, P3, то за аксіомою 6

d(Q, Рi) ≥ 1 для всіх i. В даному прикладі узгоджене ранжування, визначене

медіаною, співпадає з двома з трьох ранжувань профілю. За допомогою

середнього визначається ранжування вигляду

142

Q

"Форд"-"Шеві"

"Плімут"

Для нього = + + = 3. Легко бачити, що ця величина

мінімальна, оскільки для будь-якого іншого ранжування Q або d(Q, Р1)≥ 2, або

d(Q,P3) ≥2, і тому ≥ 4. Таким чином, середнє відрізняється від

медіани, в середньому ранжуванні "Форд" і "Шеві" рівноцінні і виявляються

важливішими "Плімут". Обидві процедури є достатньо розумними: перша

приймається більшістю, в другий наявні дані про перевагу "Форд" і "Шеві"

вважаються недостатніми. Таким чином, залишається проблема визначення

процедури, що приводить до більш обґрунтованої функції для вибору відстані.

Використання як групової функції узгодження медіани і середнього

приводить і до іншої серйозної проблеми. Виявляється, що медіана і середнє

визначаються не єдиним чином. Розглянемо для прикладу профіль

P1 P2 P3

"Форд" "Шеві" "Плімут"

"Шеві" "Плімут" "Форд"

"Плімут" "Форд" "Шеві"

У цьому випадку три ранжування P1 , P2 і P3 є медіанами. Середнім

виявляється єдине ранжування "Форд"-"Шеві"-"Плімут", що свідчить про

зв'язок всіх трьох елементів. Знов обидва підходи здаються достатньо

природними: перший рекомендує експертам "прийняти свій вибір", а другий

вважає, що наявні відмінності в даних недостатньо великі. На жаль, якщо

медіана не єдина, її не можна використовувати для визначення функції

групового узгодження в прийнятому нами сенсі: потрібно вибрати єдине

узгоджене ранжування. Проте, якщо профіль повністю симетричний, то на

рівні з одним природно відібрати і декілька ранжувань.

Середні також визначаються не однозначно, в чому можна переконатися

розглянувши наступний профіль:

143

P1 P2

"Форд" "Плімут"

""Шеві" "Шеві"

"Плімут" "Форд"

Середніми виявляються ранжування:

"Шеві" "Форд"-"Плімут" "Форд"-"Шеві"-"Плімут"

"Форд"-"Плімут" "Шеві"

Як згадувалося при обговоренні теореми Ерроу, розумний підхід полягає

в ослабленні вимог до функції групового узгодження. Якщо відмовитися від

виявлення єдиного узгодженого ранжування ,то медіана і середнє визначають

цілком допустимі функції групового узгодження. Проте проблема вибору між

ними залишається.

144

Список використаних джерел

1. Аптер М. С. Кибернетика и развитие. М.: Мир, 1970. 216 с.

2. Бугай А. С. Короткий тлумачний математичний словник. К.: Радянська

школа, 1964. 427 с.

3. Варфоломеев В. И. Алгоритмическое моделирование элементов

экономических систем: Практикум. М.: Финансы и статистика, 2000.

208 с.

4. Варшавский. А. Е. Научно-технический прогресс в моделях

экономического развития. М.: Финансы и статистика, 1984. 208 с.

5. Васюта О.А. Проблеми економічної стратегії України в контексті

глобального розвитку. Тернопіль, 2001. 338 с.

6. Вилкас Е. Й., Майнинас Е. З. Решение, теория, информация,

моделирование. М.: Радио и связь, 1981. 328 с.

7. Вітлінський В. В. Моделювання економіки : Навч. посібник. К.:

КНЕУ,. 2003. 408 с..

8. Гарбарчук В. И. Моделирование конфликтных проэктных ситуаций и

принятие решений методами векторных игр. Моделирование сложных

процесов и систем. Киев: Наукова думка, 1985. 350 с.

9. Гилмор В. Е. Прикладная теория катастроф. : в 2 т. М.: Мир. 1984. Т. 1.

350 с.

10. Глеман М. А., Варга Т.И. Вероятность в играх и развлечениях. М.:

Просвещение, 1979. 176 с.

11. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование

развивающихся систем. М.: Наука, 1983. 351 с.

12. Касаткин В. Н. Необычные задачи математики. К. : Радянська школа,

1987. 127 с.

13. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.:

ЮНИТИ, 1998. 240 с.

145

14. Кучин Б. Л. Управление развитием экономических систем. М.:

Экономика, 1990. 158 с.

15. Малиновський В.Я. Державне управління: Навчальний посібник.

Луцьк: Ред.-вид. відд. "Вежа " Вол. держ. ун-ту ім. Лесі Українки, 2000.

558 с.

16. Маркович Д. Социальная экология. М., 1991. 361 с.

17. Моисеев Н. Н. Человек и ноосфера. М., 1990. 368 с.

18. Платонов Г. В. Диалектика взаимодействия общества и природы. М.,

1989. 477 с.

19. Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями

к социальным, биологическим и экологическим задачам. – М, 1986.

496 с.

20. Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование. М.:

Солон, 2002. 111 с.

21. Щедрин Н. И., Корхов А. Н. Єномико-математические методы в

торговле. М.: Экономика, 1980 215 с.

146

Предметний покажчик

Альтернатива 121 Атрактор 83 Гомоморфізм 8 Гра з «природою» 42 Гра матрична 25 Гра скінченна Груповий профіль 122 Елементарна катастрофа 96

Змішані стратегії 35 Ізоморфізм 8 Крива Перла 65 Логістична крива 16 Макромодель 10 Максимін 32 Матриця ризиків 43 Мікромодель 11 Мінімакс 33 Множина катастроф 95

Модель Вольтерра 67 Модель Гартмана 69 Модель детерміністична 13

Модель Єнсена 70 Модель Ріденура 68 Модель стохастична 13

Модель Холтона 69 Парадокс Кондорсе 123

Правило Борда 123 Ранжування 121 Ризик 42 Рівняння балансу 11 Синергетика 61 Система дисипативна 81

Стратегія гравця 25

Теорія ігор 24 Теорія катастроф 92 Функція Гомпертця 16

Функція логістична 65

Функція цільова 16