a. applications des principes de la...

Ce problème se propose d'explorer le thème du transfert thermique, dans différents domaines de la physique et à travers des applications pratiques et technologiques variées : ainsi seront étudiés tour à tour les principes généraux de la thermodynamique des machines thermiques, puis les systèmes thermiques ouverts industriels. Dans une deuxième partie, on s'intéresse plus particulièrement aux divers modes de transfert thermique que sont la conduction et la convection. Nous verrons ensuite comment cette modélisation des échanges thermiques permet d'envisager la régulation thermique d'un élément électronique. Dans une dernière partie, on étudie un mode de production de transfert thermique riche d'applications pratiques : le chauffage par induction électromagnétique. Les trois parties sont indépendantes les unes des autres. A. APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE A. I. Étude des systèmes fermés

A.I.1. Principes et définitions

A.I. 1.1. Rappeler l'énoncé du premier principe de la thermodynamique, pour un système fermé évoluant entre deux états d'équilibre thermodynamique : on notera E l'énergie mécanique (d'origine cinétique et/ou potentielle) du système.

A.I. 1.2. Rappeler l'énoncé du deuxième principe de la thermodynamique, pour

un système fermé évoluant entre deux états d'équilibre thermodynamique.

A.I.1.3. Rappeler la définition d'un gaz parfait. Donner l'expression des

fonctions d'état énergie interne U, enthalpie H, entropie S(T,V) et S(T,P) de ce gaz (T : température thermodynamique, V volume molaire, P pression). On introduira pour cela les capacités thermiques appropriées, qui seront supposées constantes dans le domaine de température considéré.

A.I.2. Application : transformation isotherme d'un gaz parfait

On considère une mole de gaz parfait placé dans un cylindre vertical de section S et de grande hauteur, fermé par un piston horizontal mobile sans frottement. Le cylindre, aux parois diathermes, est plongé dans un thermostat de température uniforme et constante T0. À l'état initial le gaz est en équilibre thermodynamique avec le milieu extérieur, sa pression est notée P0. A.I.2.1.On ajoute alors très progressivement des masselottes sur le piston,

jusqu'à ce que la masse finale déposée soit égale à M ; on fait alors l'hypothèse que la transformation subie par le gaz est réversible.

A.I.2.1.1.Déterminer la pression Pl du gaz dans son état d'équilibre

final.

Partie_CI_sujet_phys.doc C1

A.I.2.1.2.Exprimer la variation d'énergie interne, le travail W et le flux thermique Q reçus par le gaz lors de cette transformation, en fonction de T0, P0 et P1.

A.I.2.1.3.Exprimer la variation d'entropie du gaz, l'entropie échangée

puis l'entropie créée lors de cette transformation. Commenter. A.I.2.2.À partir du même état initial, on

ajoute brutalement l’intégralité de la masse M ; on fait alors l'hypothèse que la pression extérieure exercée sur le piston varie suivant une fonction échelon (figure 1).

Pext P1 P0 0 t Figure 1

A.I.2.2.1.Exprimer la variation d'énergie interne, le travail W et le

flux thermique Q reçus par le gaz lors de cette transformation, en fonction de T0, P0 et Pl.

A.1.2.2.2.Exprimer la variation d'entropie du gaz, l'entropie échangée

puis l'entropie créée lors de cette transformation. Commenter : on pourra s'aider d'une représentation graphique faisant intervenir les fonctions f(x) = ln (x) et g(x) = x-1.

A.I.3. Application : étude théorique d'une machine thermique

A.I.3.1.Montrer l'impossibilité de réaliser un moteur cyclique monotherme,

c'est-à-dire d'une machine thermique décrivant une évolution cyclique en contact avec une seule source de chaleur, décrite ici comme un thermostat idéal de température T0.

A.I.3.2.Soit une machine thermique ditherme cyclique, en contact avec une

source chaude idéale (température TC) et une source froide idéale (température TF)

A.I.3.2.1.Démontrer l'inégalité de Clausius liant les transferts thermiques

QC et QF reçus par le système pendant la durée d'un cycle en provenance, respectivement de la source chaude et froide, et les températures TF et TC.

A.I.3.2.2.Dans le cas du moteur ditherme, dans quels sens se font

effectivement les transferts thermiques ?

A.I.3.2.3.Établir le théorème de Carnot, montrant l'existence d'un rendement maximal de ce moteur et explicitant ce dernier.

A.I.4. Application : étude d'un climatiseur fonctionnant entre deux sources non idéales

On s'intéresse désormais à un climatiseur domestique cyclique réversible, fonctionnant dans un salon et en contact avec l'air extérieur ; ce dernier est


modélisé par un thermostat idéal de température T0. L'air contenu dans la pièce, et que l'on désire refroidir, a une capacité thermique totale C constante ; il se comporte comme un gaz parfait et les transformations sont supposées isochores. À l'état initial, la température T de la pièce vaut T0. La température finale souhaitée est T1. A.I.4.1.Exprimer QF, transfert thermique reçu par le fluide évoluant dans le

climatiseur, de la part de la source froide c'est-à-dire de l'air du salon. A.I.4.2.En déduire, par application du deuxième principe, l'expression de QC,

transfert thermique reçu par le fluide évoluant dans le climatiseur, de la part de la source chaude c'est-à-dire de l'air extérieur.

A.I.4.3.Déterminer le travail W fourni par le moteur alimentant le climatiseur.

Commenter. A.I.4.4.AN : T0 = 303 K ; C = 1,3 × 106 J.K-1. On désire abaisser la température

intérieure de 10 K en une demi-heure. Calculer la puissance mécanique que doit développer le moteur électrique du climatiseur.

A.II. Étude des systèmes ouverts en régime permanent A.II. 1. Principes et définitions

On étudie l'écoulement d'un fluide (figure 2) dans une canalisation, en régime permanent (aucune grandeur physique de ce fluide ne dépend explicitement du temps).

volume (V) Amont Aval dme dmS

Figure 2

En amont, l'état du fluide est décrit par sa pression P1, sa température T1, le volume massique v1, l'énergie interne massique u1, l'enthalpie massique h1. Les grandeurs correspondantes pour l'aval sont notées P2, T2, v2, u2 et h2. On note qe le transfert thermique ou quantité de chaleur massique reçu par une unité de masse de fluide lors de l'écoulement d'amont en aval ; de même on note wi le travail massique reçu, dit utile, ou, encore indiqué, autre que celui des forces de pression : ce travail est éventuellement fourni par les parties mobiles de la machine dans lequel se fait l'écoulement. L'écoulement est supposé horizontal et lent : on négligera donc les variations d'énergie potentielle de pesanteur et d'énergie cinétique du fluide. On note Σ le système ouvert constitué par le fluide contenu dans le volume (V) ;


on définit de plus un système fermé Σ*, constitué à l'instant t du fluide contenu dans Σ(t) et de la masse élémentaire dme qui va entrer dans (V) entre les instants t et t+dt. À l'instant t+dt, Σ* est donc constitué du fluide contenu dans Σ(t+dt) et de la masse élémentaire dms qui est sortie de (V) entre les instants t et t+dt. A.II.1.1.Montrer qu'en régime permanent dme = dms, noté désormais dm. A.II.1.2.Exprimer le travail des forces de pression reçu en amont par la masse

dme = dm entre t et t+dt, en fonction de P1, v1 et dm. Même question pour le travail aval reçu par dms.

A.II.1.3.En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système

fermé Σ*, montrer que : h2 - h1 = wi + qe. A.II.2. Application : compresseur à deux étages (figure 3)

On étudie l'étage de compression d'une turbine à gaz réalisant une compression en deux étapes de l'air (considéré comme gaz parfait) avec une réfrigération intermédiaire. Les deux compresseurs basse pression (BP) et haute pression (HP) sont considérés comme adiabatiques, et les évolutions y sont permanentes et réversibles. La réfrigération (2-3) s'effectue à pression constante.

1 BP HP 4 2 3

Figure 3

Données : Points 1 2 3 4 T(K) T1= 300 T2 T3 = T1 T4

P(bar) P1 = 1 P2 P3 = P2 P4 = aP1

On note :

- a le rapport de compression totale cherché : a = P4/P1- r le rapport intermédiaire : r = P2/P1

La capacité thermique massique à pression constante de l'air est : cp = 1,0 kJ.kg-1.K-1 et le rapport γ = cp/cv = 1,40. A.II.2.1.Exprimer littéralement le travail indiqué massique total de compression

fourni par les parties mobiles des compresseurs à l'air dans l'évolution 1–4 en fonction de cp, T1, a, r et γ.


A.II.2.2.Déterminer la valeur de r qui rend minimal ce travail avec a = 25. A.II.2.3.Calculer les températures T2 et T4. A.II.2.4.La réfrigération de l'air lors de l'évolution 2–3 est assurée par une

circulation d'eau liquide qui entre à la température t0 = 283 K et dont la température finale ne doit pas dépasser, pour des raisons écologiques, 293 K. Sachant que le réfrigérant est parfaitement calorifugé, déterminer le débit massique d'eau minimal nécessaire. On donne la capacité thermique massique de l'eau liquide : ceau = 4,18 kJ.kg-1.K-1 et le débit massique d'air dans l'installation : dair = 1.3 kg.s-1.

A.II.3. Application : Cycle de Rankine d'une machine à vapeur

On étudie en régime permanent la machine motrice à vapeur d'eau ci-contre (figure 4) dans laquelle l'eau décrit le cycle suivant :

Détente adiabatique et réversible dans la turbine T

Refroidissement et condensation totale à pression constante P2 dans le condenseur Cd

Compression adiabatique de l'eau liquide dans la pompe P

Chauffage et vaporisation totale à la pression constante P1 dans la chaudière Ch : la vapeur est juste saturante à sa sortie (titre en vapeur x = masse vapeur/masse totale = 1).

1 T Ch 2 4 Cd 3 P

Figure 4

On résume les données thermodynamiques utiles de l'eau aux deux pressions considérées dans le tableau suivant :

P(bar) T(K) h’(kJ.kg-1) s’(kJ.kg-1.K-1) lV(kJ.kg-1)

P2 = 0,2 330 250 0,83 2350 P1 = 55 540 1180 2,97 1600

h' (respectivement s') représente l'enthalpie (respectivement l'entropie) massique du liquide saturant (titre en vapeur x = 0) ; lV est l'enthalpie massique de vaporisation. A.II.3.1.Le travail d'alimentation de la pompe est supposé négligeable. Justifier

cette hypothèse et en déduire que la transformation peut être considérée comme isenthalpique.

A.II.3.2.Déterminer l'entropie s2, le titre en vapeur x2, l'enthalpie h2, au point 2.


A.Il.3.3.En utilisant le premier principe de la thermodynamique appliqué aux

systèmes ouverts, calculer :

A.II.3.3.1.La quantité de chaleur massique q1 fournie dans la chaudière à 1,0 kg d'eau.

A.II.3.3.2.La quantité de chaleur massique q2 cédée par 1,0 kg d'eau au

condenseur.

A.II.3.3.3.Le travail indiqué massique w fourni dans la turbine.

A.II.3.3.4.Le rendement thermique de cette machine. Le comparer au rendement du cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes.

A.II.3.4.Allure du cycle dans le diagramme entropique.

Il s'agit du diagramme (T,s) où l'on place en abscisse l'entropie massique s du fluide, et en ordonnée la température T. On pourra considérer que la courbe de saturation a approximativement la même allure que dans le diagramme de Clapeyron (p,V).

A.II.3.4.1. Déterminer l'allure des isobares à l'intérieur de la courbe de

saturation. Placer les isobares P1 et P2.

A.II.3.4.2. On admettra que pendant l'évolution 3-4 le fluide se comporte pratiquement à tout instant comme un liquide saturant (x = 0). Tracer l'allure du cycle décrit dans le diagramme considéré.

A.II.3.4.3. Comment est modifiée cette allure si l'évolution dans la

turbine est irréversible ?

B. DIFFUSION THERMIQUE On se propose d'étudier dans cette partie différents modes de transfert thermique dans une carte électronique modélisée (figure 5) par un conducteur parallélépipédique d'épaisseur faible e, de longueur L et de largeur a.

a e 0 L x

Figure 5

On note µ sa masse volumique, λ sa conductivité thermique et c sa capacité thermique massique. La longueur L est suffisamment grande pour que l'on adopte dans un premier temps une modélisation unidimensionnelle des transferts thermiques : il n’y a pas de perte thermique par convection sur les surfaces latérales. On note donc T(x,t) la température le long de la plaque à l'instant t.


B.I. Transfert par conduction thermique B.I.1. Équation de la chaleur

Le vecteur densité de courant thermique suit ici la loi de Fourier : →

Qj (x,t) = – λ T(x,t) grad⎯⎯→

B.I.1.1.Déterminer l'unité de λ. B.I.1.2.Effectuer un bilan d'énergie sur un système élémentaire contenu entre

les abscisses x et x+dx de la plaque et en déduire une relation entre Qxjx

∂∂

et Tt

∂∂

.

B.I.1.3.En déduire l'équation aux dérivées partielles qui régit T(x,t), connue

sous le nom d'équation de la chaleur : tT

xTD 2

2

∂∂

=∂∂ , D étant la diffusivité

thermique. Déterminer l'expression de D et son unité.

B.I.2. Contact avec deux sources de chaleur idéales

On suppose ici que la plaque conductrice est en contact à son extrémité x = 0 avec un thermostat à la température T0 (constante et uniforme) ; il en est de même en x = L avec un thermostat à la température T1. On se place de plus en régime permanent ; alors la loi de température ne dépend plus que de x. B.I.2.1.Déterminer la loi de température T(x) le long de la plaque et le flux

thermique Φ à travers la plaque. B.I.2.2.En développant clairement l'analogie thermo-électrique, définir et

exprimer la résistance thermique Rth de la plaque. Donner son unité.

B.I.3. Transfert convectif Une surface S à la température T, en contact avec de l'air à la température Ta, échange par convection avec celui-ci une puissance thermique PC (sortant algébriquement de la surface S) telle que : PC = αS(T - Ta). On est toujours en régime permanent. B.I.3.1.Quelle est l'unité de α ? Montrer que cet échange convectif est décrit par

une résistance thermique de convection RC. B.I.3.2.On reprend les mêmes hypothèses qu'en B.I.2. pour la carte électronique

(e<<a) et on tient compte de ces échanges convectifs supplémentaires sur la surface latérale. On pose δ2 = λ(e)/2α. Donner la dimension de δ. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ(x) = [T(x) – Ta] en

régime permanent.


En déduire la nouvelle répartition de température T(x) (à l'aide de L, δ, Ta, T0 et T1).

Étudier le cas particulier où L>>δ.

B.I.4. Application : comportement thermique d'un transistor de puissance

Afin d'optimiser les performances d'un transistor de puissance, il est important de maintenir sa température de fonctionnement dans des limites raisonnables. On choisit pour cela d'utiliser un radiateur, directement lié au boîtier, afin d'augmenter les transferts thermiques avec l'air extérieur. Le but de cette question est de choisir le radiateur le mieux adapté aux conditions d'utilisation. On note Φ le flux (ou puissance) thermique que doit dissiper le transistor de puissance en régime permanent, R la résistance thermique convective transistor-radiateur, Rrad la résistance thermique convective des échanges air-radiateur (figure 6). Les températures de l'air ambiant et du transistor sont respectivement Ta et T (supposée uniforme). Dans une étape intermédiaire on pourra introduire la température moyenne TR (uniforme) du radiateur.

T Φ

R Rrad Ta

Figure 6

B.I.4.1.Déterminer l'expression de Rrad qui permet de dissiper en régime

permanent le flux Φ (en fonction de R, T, Ta et Φ). B.I.4.2.Le catalogue de composants d'un fournisseur donne la courbe suivante

(figure 7) exprimant l'évolution de la résistance thermique (exprimée en K.W-1) des radiateurs disponibles en fonction de leur longueur (exprimée en mm). Déterminer la dimension utile du radiateur que l'on doit commander. AN : Φ = 40 W, Ta = 293 K, T = 413 K, R = 0,5 K.W-1

Figure 7


B.I.5. Analyse en régime transitoire

On tient compte maintenant des capacités thermiques respectives C et CR du transistor et du radiateur. B.I.5.1.Écrire les équations différentielles qui régissent l'évolution de T(t) et

TR(t). B.I.5.2.Justifier soigneusement que l'on puisse décrire le système thermique

étudié par le circuit électrique équivalent de la figure 8 ; pour cela indiquer clairement les équivalents thermiques correspondants des divers éléments électriques introduits.

T TR

• • I R1 R2 C1 C2

• Figure 8 Ta

Dans la suite du problème, la transformée de Laplace d’une fonction F(t) sera notée F(p) ; la grandeur complexe indépendante du temps associée sera notée F(jω). Aucune notion sur les transformées de Laplace n’est nécessaire : on pourra utiliser, au choix, la forme complexe ou la notation de Laplace en écrivant : p = jω avec j2 = -1. B.I.5.3.En déduire la fonction de transfert définie par :

H(p) = H(jω) = Φ− )TT( a

B.I.5.4.On se place dans l'approximation RRradCCRω2<<1. En déduire l'ordre de

grandeur de la constante de temps caractéristique de l'évolution temporelle de la température T(t) du transistor. A.N. : C = 100 J.K-1 ; CR = 200 J.K-1.

B.I.5.5. Discuter a posteriori la validité de l'hypothèse simplificatrice.

B.II. RÉGULATION DE TEMPÉRATURE

Dans cette partie, on se propose d'asservir en température le composant électronique étudié, afin de tester l'évolution de ses performances. Le boîtier dont il est solidaire est mis au contact d'une plaque de chauffage, parcourue par une résistance électrique, alimentée par une puissance électrique P(t). Le modèle électrique équivalent est identique au précédent.


T T2

• • P(t) R1 R2 C1 C2

• Figure 9 Ta

T2 représente la température de la plaque de chauffage, enregistrée par une sonde thermique. On pose θ = T2 - Ta et on prend désormais les valeurs C1 = 400 J.K-1, C2 = 1000 J.K-1, R1 = 1,0 K.W-1, R2 = 4,0 K.W-1.

On définit alors la fonction de transfert : B(p) = (p)P(p)θ

B.II.1.Montrer que B(p) peut être mis sous la forme :

B(j ω) = B(p) = 0

020 0

Bp² p2m 1

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠

On pourra réutiliser les calculs faits en B.I.5.3. et déterminer les coefficients B0, m0 et ω0. AN. Calculer les valeurs de ces coefficients.

B.II.2.Donner l'allure du diagramme de Bode en amplitude de B(j ω), le diagramme de Bode représentant 20 log|B(jx)| en fonction de logx avec x = ω/ω0

B.II.3.Pour réguler la différence de température θ, on boucle le système étudié

selon le schéma d'asservissement suivant (figure 10) :

θC P(p) θ + –

Figure 10

C(p) B(p)

θC est la température dite de consigne, c'est à dire la température imposée à l'entrée du système et surtout, la valeur issue du cahier des charges vers lequel on souhaite faire tendre la grandeur sortie ; C(p) représente le processus de commande de la résistance chauffante, assimilable à un système linéaire proportionnel : C(p) = Γ où le gain Γ est une constante.

B.II.3.1.Quelle est l'unité de Γ ?


B.II.3.2.Déterminer l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée :

H(p) = (p)θ

(p)θ

C

La mettre sous la forme canonique suivante :

H(p) = H(j ω) = 0

21 1

Hp² p2m 1⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠

Calculer les coefficients H0, m et ω1.

B.II.3.3.Calculer la valeur de Γ permettant d'obtenir m ≈ 0,7. Quel est l'avantage de ce choix ?

B.II.3.4.Le gain Γ ayant été réglé à la valeur précédente, on impose une

consigne échelon, c'est à dire une variation quasi-instantanée (ou brutale) de la température de consigne, d'amplitude θ0 = 100 K (figure 11).

Cθ

0θFigure 11

t

B.II.3.4.1.En régime permanent établi, déterminer la valeur de la

température de la plaque ; en déduire l'écart statique entre la température de consigne et la température obtenue :

= - θ

∞θ

∞ε

∞ε ∞θ 0. B.II.3.4.2.Calculer le temps au bout duquel la réponse du système

diffère de moins de 5% de sa valeur finale, appelé tr « temps de réponse à 5% », sachant que pour m ≈ 0,7 , tr ≈ 3/ω1.

B.II.3.4.3.Calculer en pourcentage l'amplitude relative D du premier

dépassement défini par D = (θmax - ∞θ )/ et donné par

l'expression :

∞θ.mD 100exp

1 m²π⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

B.II.3.4.4.Donner l'allure de θ(t).

B.II.3.5.Afin de diminuer l'écart statique ∞ε , on décide d'augmenter le gain Γ.

B.II.3.5.1.Déterminer la valeur de Γ permettant d'obtenir ≈ –1 K. ∞ε


B.II.3.5.2.En déduire la nouvelle valeur du coefficient d'amortissement

m de la transmittance en boucle fermée. Commenter.

B.II.3.5.3.Calculer la nouvelle amplitude relative du premier dépassement.

B.II.3.5.4.Donner l'allure de θ(t). Commenter les avantages et les

inconvénients de la nouvelle valeur de Γ. Pourrait-on procéder autrement pour diminuer l'écart statique ?

C. UN EXEMPLE DE TRANSFERT THERMIQUE : LE CHAUFFAGE PAR INDUCTION C.I. En classe de première scientifique

C.I.1.Proposer trois activités réalisées au cours d’une séance de

55 minutes illustrant le paragraphe 2 : Champ magnétique créé par un courant.

C.I.2.Présenter une expérience permettant de mesurer la composante

horizontale du champ magnétique terrestre. Donner les ordres de grandeur des mesures à effectuer et des différents paramètres à choisir.

Voir en annexe I, à la fin de sujet, l’extrait du programme de physique-chimie de la classe de première série scientifique (BO n°7 du 31 août 2000).

C.II. En classe de PCSI Construire une séquence pédagogique détaillée et argumentée, permettant de déterminer l’expression littérale du champ magnétique créé par un solénoïde de rayon a, à spires jointives et parcourues par un courant d'intensité I sur son axe de révolution. Voir en annexe II, à la fin de sujet, l’extrait du programme de physique-chimie de la classe de PCSI (BO n°5 du 28 août 2003).

C.III. Chauffage par induction On dispose un cylindre métallique d’axe Oz, de conductivité électrique γ, de rayon a et de longueur L, à l’intérieur d’un solénoïde infini coaxial, parcouru à

présent par un courant sinusoïdal. On pourra noter = B→B 0 cos(ωt) le champ

magnétique créé par le solénoïde en tout point du cylindre métallique.

→

zu

On néglige le champ magnétique produit par les courants induits.

C.III.1.Justifier le fait que le champ est source d’un champ électrique que l’on cherche à déterminer. Montrer en particulier, par des considérations de

→B E

→


symétrie à expliciter clairement, que le champ est orthoradial et ne dépend que de la distance r du point considéré à l’axe Oz.

E→

C.III.2.Par intégration de l’équation de Maxwell Faraday, via le théorème de Stokes,

sur un contour judicieux, donner l’expression du champ en tout point du cylindre.

E→

C.III.3.Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le conducteur. C.III.4.Le chauffage par induction est couramment utilisé industriellement : l’une des

applications récentes est la vitrification des déchets nucléaires par induction directe en creuset froid. Cette technique consiste à créer des courants induits directement dans le verre que l’on désire fondre, en injectant par la suite dans ce matériau les résidus nucléaires à isoler. Le verre est d’abord préchauffé par métallothermie ; à la température obtenue, il possède alors une faible résistivité électrique ρ= 1/γ = 10 Ω.cm. L’inducteur entourant le creuset est alimenté par un générateur de courant haute fréquence f0 =300 kHz. Le champ magnétique créé est supposé uniforme, d’amplitude B0=0,5 T. Le creuset est assimilé à un cylindre, transparent aux ondes électromagnétiques, de hauteur L=20 cm, de rayon a= 30 cm. Calculer numériquement la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le verre, grâce à ce procédé. À titre d’information, cette technique permet de produire environ 50 kg/heure de verre fondu.


Annexe I

Extraits du programme de physique-chimie de la classe de première série scientifique ((BO n°7 du 31 août 2000)

B . Magnétisme. Forces électromagnétiques. Objectifs À cause de l’importance de l’attraction électrique entre charges de types opposés, la matière est presque toujours macroscopiquement neutre et les forces électrostatiques alors inobservables. Aussi ce sont les forces « magnétiques » qui ont au niveau macroscopique le rôle technique et industriel le plus important. De plus ces forces entraînent des effets mécaniques immédiatement observables, sans précautions particulières, permettant des manipulations aisées. Enfin, on dispose là d’une interaction à distance, bien visible et contrôlable ; c’est une situation de choix pour introduire pour la première fois un concept nouveau, celui de champ, grandeur qui caractérise localement l’espace où se produisent les effets étudiés, mécaniques dans le cas présent.

Exemples d’activités Contenus Connaissances et savoir-faire exigibles

Étude documentaire sur l’histoire du magnétisme et de l’électromagnétisme.* Expérience de l’aimant brisé. Comparaison de deux champs magnétiques. Mise en œuvre d’expériences montrant les caractéristiques du champ magnétique créé par : - un courant rectiligne ; - une bobine ou un solénoïde. Comparaison du champ externe d’un solénoïde et celui d’un barreau aimanté. Mise en évidence du champ magnétique terrestre. Utiliser la loi de Laplace pour interpréter des expériences telles que : -barre mobile sur rails, -action entre courants parallèles, -mouvement d’une bobine au voisinage d’un aimant. Mise en évidence du principe de fonctionnement d’un haut-parleur électrodynamique, d’un moteur à courant continu. Observer le fonctionnement en microphone d’un HP électrodynamique.

1.. Le champ magnétique. Action d’un aimant, d’un courant continu, sur une très courte aiguille aimantée. Vecteur champ magnétique B : direction, sens, valeur et unité. Exemples de lignes de champ magnétique ; champ magnétique uniforme. Superposition de deux champs magnétiques (addition vectorielle) 2. Champ magnétique créé par un courant. Proportionnalité de la valeur du champ B et de l’intensité du courant en l’absence de milieux magnétiques. Champ magnétique créé par : - un courant rectiligne ; - un solénoïde. 3. Forces électromagnétiques. Loi de Laplace ; direction, sens, valeur de la force : F=IlBsinα

Une petite aiguille aimantée permet d’obtenir la direction et le sens du champ magnétique dans une petite région de l’espace. Les caractéristiques du vecteur champ magnétique. Réaliser des spectres magnétiques Utiliser une sonde à effet Hall. Les lignes de champ magnétique se referment sur elles-mêmes. Connaître la topographie du champ magnétique créé par : - un courant rectiligne ; - un solénoïde. Savoir que la valeur de B dépend de la géométrie du courant et du point de mesure. Appliquer la loi de Laplace pour évaluer la force qui s’exerce sur une portion rectiligne de circuit. Sur un schéma de principe donné, représenter la force de Laplace qui explicite le fonctionnement : - d’un haut-parleur électrodynamique ; -d’un moteur à courant continu. Connaître les ordres de grandeur de la puissance des moteurs électriques usuels.


4. Couplage électromécanique.

Conversion d’énergie électrique en énergie mécanique. Rôle moteur des forces de Laplace. Observation de l’effet réciproque associé au mouvement d’un circuit dans un champ magnétique : conversion d’énergie mécanique en énergie électrique.

*Activités pouvant donner lieu à l’utilisation des technologies de l’information et de la communication Commentaires Champ magnétique Toute étude des actions mécaniques s’exerçant entre des aimants, ainsi que leur interprétation, sont exclues ; l’action sur une petite aiguille aimantée est constatée et sert simplement de support expérimental pour introduire la notion de champ magnétique. L’unité est donnée et la valeur d’un champ magnétique est mesurée par une sonde spécifique (teslamètre). L’expression du champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde de grande longueur, si elle est donnée, le sera sous la forme : B = µ0nI avec µ0 = 4π×10-7 SI. Remarque . On appelle « champ » toute grandeur , fonction des coordonnées de position d’un point de l’espace, utilisée pour décrire localement les propriétés de la matière ou pour interpréter les phénomènes qui s’y produisent ; on parle ainsi de « champ de pression » (exemple des cartes méteo) ; de même la distribution spatiale de température est un « champ de température » même si l’expression est peu utilisée ; ce sont deux exemples de champs scalaires. Si la grandeur est vectorielle, on parle de « champ vectoriel », exemples : champ électrique, champ magnétique, champ de vitesses dans un fluide.


Annexe II

Extraits du programme de PCSI à la rentrée 2003 (BO n°5 du 28 août 2003 et BO n°43 du 20 novembre 2003)

D.3) Magnétostatique En première année, on se borne à admettre toutes les lois de la magnétostatique (Biot et Savart, conservation du flux de B, théorème d’Ampère) et on fait constater leur cohérence sur quelques exemples simples.

Programme Commentaires

Distributions de courant électrique filiformes : recherche des invariances par rotation, par translation ; recherche de plans de symétrie et d’antisymétrie.

En première année, on se limite aux courants filiformes. On appelle antisymétrie une symétrie par rapport à un plan accompagnée du changement de sens du courant.

Champ magnétostatique B : loi de Biot et Savart pour les circuits fermés filiformes.

Le potentiel-vecteur est hors programme en première année.

Topographie : lignes de champ et tubes de champ. Propriétés de symétrie du champ magnétostatique ; caractère axial du champ B.

Les équations différentielles des lignes de champ et leur intégration sont exclues en première année. Sur des exemples de cartes de champ magnétique, on fait apparaître le lien entre les propriétés de symétrie des sources et celles du champ créé.

Flux de B, sa conservation. Circulation de B, théorème d’Ampère.

Ces propriétés sont admises.

Exemples de calcul de champ B : champ d’un fil rectiligne illimité, champ sur l’axe d’une spire circulaire et sur l’axe d’un solénoïde circulaire.

On fait remarquer que le fil rectiligne illimité modélise un circuit fermé comportant une portion rectiligne dont la longueur est grande devant sa distance au point où le champ B est évalué. Aucune technicité de calcul ne doit être recherchée.

Limite du solénoïde infiniment long : champ en tout point intérieur.

Aucune démonstration de la nullité du champ à l’extérieur d’un solénoïde illimité n’est exigible. L’examen qualitatif de la carte du champ d’un solénoïde de longueur finie permet de faire comprendre ce résultat.

Champ B créé par un dipôle magnétique. On prend comme modèle la spire circulaire ; on définit son moment magnétique M ; on donne les conditions de l’approximation dipolaire ; on admet l’expression du champ à la fois en coordonnées sphériques et sous forme intrinsèque. On rapproche ces expressions de celle du champ créé en un point éloigné sur l’axe d’une spire circulaire. On exploite à cette occasion toutes les propriétés de symétrie de cette situation. On fait remarquer enfin qu’en dehors de l’approximation dipolaire, les lignes de champ du doublet de charges électriques et de la spire circulaire ne sont pas les mêmes.

En conclusion de cette partie, on compare les propriétés des champs E et B statiques, en particulier leur topographie et leurs symétries respectives.


Rapport sur la composition sur la physique et le traitement informatisé de l’information

Le sujet porte cette année sur la thermodynamique, domaine fondamental pour le physicien. Il ne s’en tient pas à des développements théoriques. Les auteurs ont voulu qu’à côté des indispensables questions sur les énoncés des principes, des applications concrètes soient envisagées : le fonctionnement de machines de la vie courante (climatiseur, compresseur, machine à vapeur), la diffusion de la chaleur dans des systèmes électroniques ainsi que le chauffage à induction sont donc abordés. Cette dernière partie permet une ouverture vers l’électromagnétisme et fait, en outre, l’objet de questions d’ordre didactique. Comme chaque année, la qualité des copies va du très bon (la meilleure copie a obtenu 13,35/20) au très insuffisant. D’assez nombreux candidats n’obtiennent pas les résultats escomptés alors que, finalement, ce ne sont pas les connaissances qui font le plus défaut : de nombreux points sont perdus « bêtement ». Les lignes qui suivent leur sont particulièrement destinées. Elles s’adressent également aux professeurs qui envisagent de se présenter lors de la prochaine session. Le jury les y encourage fortement, tout en souhaitant qu’ils puissent bénéficier de l’indispensable préparation. Notons encore que la présentation des copies, la syntaxe et l’orthographe (« boussole », « étallonnage », entropie « crée», par exemple, reviennent souvent) ne sont pas toujours à la hauteur de ce que l’on attend d’enseignants en activité. Il en est de même pour l’écriture des symboles et les dénominations associées aux unités attachées aux différentes grandeurs. A. APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE

A. I. Étude des systèmes fermés. A. I. 1. Les principes de la thermodynamique ont une grande importance en physique et, sous une forme ou sous une autre, ils constituent le sujet de questions souvent posées à l’écrit comme à l’oral, en physique comme en chimie. Il n’est donc pas mauvais de commencer une préparation au concours par là : le candidat a tout intérêt à avoir présent à l’esprit un énoncé correct qu’il connaît parfaitement et qu’il peut écrire de mémoire. Le sujet est un peu délicat mais de gros efforts ont été faits ces vingt dernières années sur le plan didactique. Il existe sur le marché d’assez nombreux manuels qui réussissent à être clairs, relativement simples et raisonnablement complets. Bien entendu, cela n’enlève rien aux qualités des grands classiques, souvent américains ou russes, plus complets mais plus difficiles. La simple écriture d’une relation mathématique ne peut pas, à elle seule, constituer une réponse acceptable. Sans prétendre constituer un corrigé, les lignes suivantes reviennent sur ces points importants.

A. I. 1. 1. Premier principe. Afin d’englober le cas général (où, par exemple, le système est soumis à un champ extérieur et où le centre d’inertie n’est pas immobile), l’énoncé impose que l’on prenne en compte l’énergie mécanique E qu’il faut ajouter à l’énergie interne U. Toutefois, il est rare que l’énergie mécanique intervienne en thermodynamique. Quelques fautes sont fréquemment rencontrées : 1) La conservation de l’énergie est souvent mentionnée au point qu’il y a parfois confusion. Le sujet est en effet voisin mais le premier principe mentionne une variation d’énergie. La mécanique (conservation) prend en compte toutes les forces, extérieures mais aussi intérieures : pour ces dernières, la somme est nulle mais la somme des travaux ne l’est pas en général. En thermodynamique, les systèmes sont plus complexes et les forces intérieures sinon inconnues, du moins difficiles à prendre en compte (ou alors, il faut avoir recours à des modèles spécifiques, ce que,

Partie_CII_rap_ecrit_phys.doc C17

précisément, la thermodynamique évite de faire) : le point de vue est différent et on tient compte seulement des travaux des forces extérieures (pression, notamment). Il n’y a plus conservation mais variation. 2) Il y a souvent confusion entre système isolé et système fermé. Ce n’est évidemment que pour le premier qu’on peut écrire ∆U = 0. Un système fermé interagit avec l’extérieur, avec lequel, simplement, il n’échange pas de matière. 3) La variation d’énergie interne d’un état d’équilibre à un autre peut être nulle pour différentes raisons. Deux reviennent souvent :

- Un cycle fait revenir au point de départ. Les états initial et final sont identiques : ils ont même énergie interne. Il en est de même de l’entropie et de toutes les fonctions d’état.

- L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température. Si celle-ci est la même dans l’état initial et l’état final, l’énergie interne n’a pas varié. En revanche, affirmer que l’énergie interne n’a pas changé parce que la transformation est réversible est faux puisque la variation des fonctions d’état ne dépend pas du chemin suivi, c’est-à-dire de la façon (réversible ou non) dont se fait la transformation. 4) Le travail et la chaleur (ou flux thermique) sont des transferts d’énergie : on peut donc parler d’échange d’énergie par travail ou d’échange de travail entre le système et l’extérieur ; on peut dire que telle source fournit de la chaleur au système. Mais il n’est pas correct de parler de quantité de chaleur ou quantité de travail ou d’écrire des relations comme ∆U = ∆W + ∆Q (en donnant à ∆ le sens de « variation de … ») ou U = W +Q. 5) La thermodynamique suppose que le système étudié est macroscopique et qu’on peut définir un équilibre au moins global auquel correspond la valeur d’une fonction d’état, l’énergie par exemple. Pendant une transformation, il n’en est plus de même et, en général, sauf dans le cas limite de la réversibilité, les paramètres et les fonctions d’état ne sont plus définis à chaque instant. On ne peut donc écrire des différentielles ou des variations infinitésimales que comme éléments d’une transformation réversible. Différentielle et variation sont souvent confondues ou utilisées l’une pour l’autre. Une différentielle (totale, disait-on autrefois) comme dU est un objet mathématique qui, un peu comme une dérivée, n’est pas systématiquement associée à une transformation. Le physicien peut toutefois définir une transformation infinitésimale (forcément réversible) pour laquelle il calcule la variation d’énergie interne du système qu’il peut assimiler à une différentielle. Il peut passer par le calcul du travail δW et de la chaleur échangés δQ dans lesquels le signe δ signifie simplement que ces quantités sont petites (1er ordre), sans les propriétés des différentielles (th. de Schwarz). Une variation d’énergie interne entre deux états 1 et 2 est une différence et n’est une intégrale que sur un chemin correspondant à une transformation réversible. Si la transformation 1 → 2 est irréversible, on peut

imaginer une transformation réversible 1 → 2 pour laquelle on peut calculer . La variation

d’énergie interne est la même pour les 2 transformations.

∫2

1Qδ+Wδ=U∆

A. I. 1. 2. Deuxième principe. Une présentation souvent utilisée actuellement décompose l’entropie en deux termes, l’un d’échange et l’autre interne, toujours positif ou nul, qui traduit l’irréversibilité. Par ailleurs, les littéraires et les philosophes se sont un peu approprié le terme d’« entropie » auquel ils donnent un sens apocalyptique et dont l’augmentation (automatique) traduit le désordre inéluctable. Le physicien doit être plus précis.

Il n’est pas vrai que, d’une façon générale, S2 – S1 ∫2

1 TQδ

= .

Il n’est pas vrai que l’entropie augmente forcément. Il n’est même pas vrai que l’entropie d’un système fermé augmente forcément lors d’une transformation irréversible : un fer à repasser, chaud et débranché, mis au réfrigérateur, voit son entropie baisser.


Ce qui est vrai, c’est que la variation d’entropie contient, dans le cas général, un terme positif qui traduit effectivement l’irréversibilité. Ceci entraîne que lors de l’évolution spontanée d’un système isolé (auquel on a enlevé par exemple des contraintes internes), l’entropie augmente. Il n’est pas correct d’écrire le second principe dans sa généralité sous une forme différentielle telle que : dS = δSrev + δSirrev. La différentielle dS de la fonction d’état S est mathématiquement définie. Mais, s’il y a irréversibilité, la notion de transformation infinitésimale n’existe pas, pas plus que δSirrev. A. I. 1. 3. Le gaz parfait est un modèle et rien n’interdit un gaz diatomique (pour lequel γ ne vaut pas 5/3) de se comporter, au moins dans un certain domaine, comme un gaz parfait. Certains candidats confondent gaz parfaits, gaz à molécules à un seul atome et gaz rares. L’expression des fonctions U, H et S (et non seulement leurs différentielles) est explicitement demandée. La connaissance de S (donc de ∆S) et le calcul de l’entropie d’échange permettent, dans les questions suivantes et pour une transformation subie par un gaz parfait, de déterminer l’entropie d’irréversibilité et d’assurer la compatibilité des résultats avec les prévisions du 2ème principe. Le fait que l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépende que de la température a pour conséquence que dans les deux transformations étudiées en A. I. 2. 1. et A. I. 2. 2., l’énergie interne ne varie pas : ∆U = 0.

A. I. 2. A. I. 2. 1. De façon surprenante, beaucoup de candidats se trompent à la première question, pourtant simple : P1 = P0 + Mg/S. Certaines relations proposées sont visiblement inhomogènes. Dans une transformation, le fait que la température soit la même au début et à la fin ne signifie nullement qu’elle a été la même à chaque instant. Elle l’est effectivement si on imagine une suite de transformations infinitésimales isothermes dont l’ensemble constitue une transformation réversible à température constante. Si la transformation est irréversible, la température n’est même pas définie à chaque instant. Les erreurs de signe dans le calcul du travail sont fréquentes. Le bon sens fait deviner que si la pression finale P1 est supérieure à la pression initiale P0, « on appuie plus fort à la fin » et du travail est effectivement reçu par le système : W > 0. L’expression W = RT0.Ln (P0/P1) a toutes les chances d’être fausse. La confusion entre température et chaleur subsiste et on lit assez souvent des phrases comme : « la température étant maintenue constante, il n’y a pas d’échange de chaleur ». A. I. 2. 1. La transformation est isotherme et réversible : on connaît la fonction P(V). Il est possible d’utiliser la relation δW = -P(V).dV donc W = ∫-P(V).dV, les bornes de l’intégrale étant le volume initial et le volume final. A. I. 2. 2. La transformation est brutale donc irréversible : la relation précédente ne peut pas s’appliquer. Cette fois, la mécanique donne la réponse : W = F.L = Pext.∆V = P1.(V1 – V0). Le signe est évident et W = -P1.(V1 – V0). A. I. 2. 2. et A. I. 1. 3. L’état final (P1, V1, T1) est le même. La variation d’entropie ∆S est donc la même. Ce qui diffère, c’est la répartition entre entropie d’échange et entropie créée.

A. I. 3. A. I. 3. 1. L’impossibilité de réaliser un moteur cyclique monotherme n’a pas une vague origine plus ou moins philosophique. C’est une conséquence directe du 2ème principe qui est à démontrer. A. I. 3. 2. Nombreux sont les candidats qui écrivent incorrectement le 2ème principe et obtiennent l’inégalité de Clausius avec le signe inversé :

∆S = QF/TF + QC/TC et ∆S > 0 entraînent QF/TF + QC/TC > 0 !!! L’inégalité de Clausius n’entraîne pas de façon évidente que QF < 0 et QC > 0. Un petit raisonnement, qui utilise le fait que les températures absolues sont positives, est nécessaire (certains utilisent le diagramme de Raveau, ce qui effectivement possible). La chaleur va effectivement spontanément du chaud vers le froid. Mais, là, il y a un moteur et l’argument n’est pas recevable.


A. I. 4. Le climatiseur. Le travail est ici positif mais le traitement n’est pas très différent de celui du moteur. Des erreurs souvent faites dans le calcul de QC donnent une puissance pour le moteur électrique d’une dizaine de kilowatts, ce qui est quand même beaucoup.

A. II. Étude des systèmes ouverts en régime permanent.

A. II. 1. Principes et définitions. On demande ici de reprendre la démonstration du premier principe appliqué aux systèmes ouverts (c’est à dire échangeant de la matière avec le milieu extérieur) en régime stationnaire. Il faut décomposer le travail total reçu par le système en travail des forces pressantes en amont et en aval et en travail indiqué ou utile échangé avec les parties mobiles en contact avec le système. A. II. 2. Application : compresseur à deux étages. Il s’agit d’une application du premier principe des systèmes ouverts. Le travail demandé ne peut être calculé. avec l’expression du travail des forces pressantes, puisque celui-ci est déjà comptabilisé dans la fonction enthalpie. Seules les compressions adiabatiques 1-2 et 3-4 font intervenir un travail indiqué qui est alors égal à la variation d’enthalpie. A.II.3. : Cycle de Rankine d’une machine à vapeur. Cette partie a été rarement abordée. Là encore, il s’agit d’une application du premier principe des systèmes ouverts à un fluide, ici l’eau, qui change d’état. Le diagramme entropique de l’eau a été confondu avec le diagramme de Clapeyron, la courbe de saturation a approximativement la même allure mais les isobares, isothermes et isentropiques sont différentes.

B. DIFFUSION THERMIQUEB. I. Transfert par conduction thermique. Cette partie est souvent abordée, parfois avec succès. Il est vrai qu’elle ne doit pas trop surprendre car les équations traduisant les transferts thermiques par conduction (Fourier) sont bien connues ; par ailleurs, les questions sur la convection ne nécessitent aucune connaissance particulière. L’analogie « thermique » « électrique » est correctement abordée, les équations demandées sont obtenues et

les transformations p×↔ωj×↔dtd

et p1

↔ωj1

↔dt∫ en général connues.

Malheureusement, il se confirme qu’une bonne partie des candidats n’est pas suffisamment à l’aise dans l’utilisation des nombres complexes. Les calculs d’impédance et d’admittance complexes de cellules en Π demandent en effet du soin et une certaine maîtrise du sujet. La mise des fonctions de transfert sous forme de quotient de polynômes est source de nombreuses erreurs qui empêchent ces candidats d’obtenir des résultats qui semblaient largement à leur portée. Les quelques remarques qui suivent portent sur des points plus particuliers.

B. 1. 1. Pour déterminer l’unité de λ, il faut bien entendu connaître celle de la densité de courant thermique. Les ampères ne doivent pas intervenir, quelles que soient les analogies qui vont être développées ensuite. B. 1. 2. B. 1. 3. La signification de δ est pratiquement évidente. L’introduction de cette longueur simplifie grandement l’écriture des équations et de leur solution. B. 1. 4 et 5 Pour résoudre ces questions, il n’était pas nécessaire d’avoir répondu aux précédentes.


B. II Régulation de température. Cette partie est plus rarement abordée. Le principe de la transformation de Laplace est parfois connu mais, visiblement, d’assez nombreux candidats manquent de confiance en eux. Seuls, ceux qui ont résolu sans trop de difficulté les questions précédentes poursuivent et, pour certains, achèvent pratiquement cette partie.

C. CHAUFFAGE PAR INDUCTIONLes questions concernant les activités ou les séquences pédagogiques sont souvent traitées de façon incorrecte, les candidats s’en tenant à des généralités qui ne présentent guère d’intérêt. Il arrive également que les réponses ne soient qu’une simple paraphrase de l’énoncé ou des commentaires du programme. La difficulté de ce type de question est d’arriver à un compromis : il faut être précis sans être trop prolixe et savoir mettre en exergue les points importants et délicats. Ces questions sont difficiles, donc importantes dans le barème, parce que le candidat a non seulement à résoudre les questions posées mais aussi à en formuler l’énoncé. C. I. Classe de première scientifique La force de Laplace et l’induction électromagnétique sont presque hors-sujet. Les expériences proposées peuvent être très classiques. Il faut quand même noter que :

La simple observation des spectres magnétiques (limaille ou tout autre procédé) ne permet pas d’avoir une idée de l’intensité du champ. Quand on augmente l’intensité du courant (dans des proportions raisonnables), il ne se passe rien de visible.

L’expérience d’Oersted correspond à une simple observation qualitative. La géométrie du système ne permet pas d’aller au-delà.

Le champ magnétique a 3 composantes. Les sondes de Hall (pour la plupart) ne permettent que d’en mesurer une ou l’intensité du champ. Trop souvent, on a l’impression qu’en « baladant » la sonde, on obtient facilement la valeur du champ. Sans être extrêmement délicate, la mesure demande du soin et la connaissance préalable de la direction du champ.

L’observation aisée d’effets produits par des champs magnétiques (en l’absence de noyaux ferromagnétiques) nécessite des courants importants. Les laboratoires disposent de générateurs proches des sources de tension ; affirmer qu’un courant de 4 A est dangereux et qu’il ne peut être manipulé que par le professeur n’a pas de sens.

La boussole dite des tangentes est une bobine plate. Il est vrai que le champ est inhomogène sur une distance de l’ordre de la taille de l’aiguille aimantée. La disposition dite de Helmholtz est de ce point de vue préférable. Glisser une boussole à l’intérieur d’un solénoïde est également faisable mais repérer l’orientation de l’aiguille aimantée (qui doit être petite) est beaucoup plus difficile, le solénoïde n’étant pas transparent.

C. II. Classe de PCSI Il est demandé, non une vérification expérimentale de la relation Bz = µ0.n.I mais une étude des symétries qui permet une simplification initiale de la résolution du problème. Rappelons que, dans l’approximation de la bobine de longueur infinie (solénoïde), le champ est uniforme à l’intérieur et que la formule précédente est valable même en dehors de l’axe. Dans le cas d’une bobine longue mais de longueur finie, la situation est évidemment un peu plus compliquée au voisinage des extrémités. Rappelons que les lignes de champ peuvent traverser (avec réfraction) les nappes de courant, ce qui renforce l’analogie barreau aimanté – bobine longue. C. III. Chauffage par induction Les candidats ont bien conscience que le fait que le champ magnétique soit une fonction du temps donne un champ électrique induit.

La relation = - →rot

→E

→

t∂B∂

est souvent connue, la signification du mot « orthoradial » beaucoup moins.


→B

→E

Spire du solénoïde

i

plan de symétrie pour le courant

plan d’antisymétrie

Un plan passant par l’axe de la bobine n’est pas, pour les courants, un plan de symétrie mais un plan d’antisymétrie. Le champ magnétique est dans le plan d’antisymétrie et perpendiculaire au plan de symétrie. Le champ électrique est perpendiculaire au plan d’antisymétrie et dans le plan de symétrie La notation utilisant le symbole opérateur « nabla » a ses limites : le rotationnel d’un vecteur n’est pas forcément orthogonal à ce vecteur (pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que, si on ajoute un vecteur constant ou un gradient au vecteur dont on calcule le rotationnel, celui-ci ne change pas). La puissance moyenne cherchée n’est pas la puissance rayonnée mais celle dépensée par effet Joule :

>E<γ=τd

dP 2 .


CORRIGÉ A. APPLICATIONS DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE A. I. Étude des systèmes fermés

A.I.1. Principes et définitions A.I. 1.1.

Premier principe : Pour un système macroscopiquement au repos, il existe une fonction d’état extensive U appelée énergie interne relative au système (S) telle que lors d’une transformation de ce système, sa variation est égale à la somme du travail W et du transfert thermique Q échangés avec l’extérieur :

∆( U) = W + Q U = EC(microscopique d’agitation) + Ep(potentielle microscopique) Pour un système en mouvement par rapport à un référentiel, on peut utiliser la notion d’énergie totale : ∆ E = ∆ (U + Ec (macroscopique) + Epext) = Wautre + Q Epext = énergie potentielle d’interaction entre le système et l’extérieur, Wautre travail des forces extérieures ne dérivant pas d’une énergie potentielle, travail électrique, transfert de rayonnement. A.I. 1.2. Deuxième principe de la thermodynamique A tout système thermodynamique est associé une fonction d’état notée S, appelée entropie : - l’entropie d’un système isolé croît jusqu’à l’établissement d’un état d’équilibre .Elle est alors maximale ; - l’entropie est une grandeur extensive. Dans une transformation quelconque d’un système (S) couplé à une source de chaleur idéale de température Te et une source de travail idéale, la variation d’entropie se met sous la forme :

∆S = Séchange + Scrée

avec Séchange = 2

e1

qTδ

∫ . L’intégrale est calculée le long du chemin réellement suivi par le système au cours de

l’évolution. Scrée représente la création d’entropie due au caractère irréversible de l’évolution. Scrée> 0 si transformation irréversible ; Scrée = 0 si transformation réversible. Remarques : • Source de chaleur idéale La variation d’entropie d’une source idéale de chaleur lors d’une transformation infinitésimale est donnée par dS = Qδ e/Te car on admet que les transferts d’énergie interne sont réversibles. Un thermostat de très grande capacité calorifique et dont la température reste constante peut être considérée comme une source idéale : sa variation d’entropie est alors donnée par : ∆S= Qe/Te, Qe est l’énergie thermique reçue par le thermostat. • Source de travail idéal L’entropie d’une source de travail idéal reste constante au cours d’une transformation. Il n’y a aucune dissipation d’énergie par frottement à l’intérieur du système. Son évolution est totalement irréversible. Cette démarche permet de ne tenir compte que des causes d’irréversibilité internes au système (S) en éliminant les causes d’irréversibilité externes. • Dans le cas d'un chemin irréversible pour calculer Séchange, il faut modéliser l’échange ou alors connaître

comment se fait le transfert, par convection, conduction (loi de Fourier ..)

Partie_CIII_cor_ecr_phys.doc C23

A.I.1.3. Un gaz est dit parfait si les actions mécaniques exercées sur les molécules sont assimilables à des chocs, interactions infiniment brèves qui ne s’exercent qu’à l’occasion de leur contact.

Hypothèses du modèle : − molécules assimilables à des points matériels ; − vitesse d’agitation des molécules isotrope dans toutes les directions ; − gaz en équilibre thermodynamique interne : les grandeurs statistiques ont la même valeur dans tout le gaz ; − la vitesse des molécules n’est pas modifiée par la présence des parois ; − pression du gaz parfait monoatomique p= nm u²/3 u² vitesse quadratique moyenne. pV= 1/3 n* M u² avec n*= n NA/V n quantité de matière dans le volume V or ½ mu² = 3/2 kBT d’après les statistiques. soit P.V = nNAkBT = n.R.T Pour un gaz parfait monaoatomique dU = 3/2 nRdT Plus généralement pour un gaz parfait son énergie interne U et son enthalpie H ne dépendent que de la température : la dépendance de CV et Cp en fonction de la température ne pouvant pas être déterminée par les principes de la thermodynamique : dU = CV(T).dT et dH= Cp(T).dT Si CV et Cp peuvent être considérés comme constantes, U - U0 = CV(T – T0) ; H–H0 = Cp(T-T0) ; Cp – CV = R ; Cp/ CV = γ dU = cV dT = T dS – pdV T dS = PdV + CVdT TdS = - Vdp +Cp dT

S(T,V) = S(T0V0) + CV ln(T/T0) +R ln(V/V0) ; S(T,P) – S(T0,P0) = Cpln(T/T0) – R ln(P/P0))

A.I.2. Application : transformation isotherme d'un gaz parfait A.I.2.1.1 Dans l’état final il y équilibre mécanique : le piston est au repos : P1.S= P0S +Mg P1 = P0+Mg/S A.I.2.1.2. Première loi de Joule U(T) isotherme ⇒ ∆U = 0 ;

W = - = - RT∫PdV 0 ∫ VdV

= - RT0 ln(Vfinal/Vinitial) = RT0 ln(P1/P0)

∆U = W + Q = 0 ⇒ Q = - W Q = RT0 ln(P0/P1) A.I.2.1.3. ∆S = − R ln (P1/P0) entropie échangée : Se = Q/T0 = - R ln (P1/P0) donc Scréée = Si = ∆S - Se = 0 conforme au caractère réversible de la transformation. A.I.2.2 Transformation brutale irréversible A.I.2.2.1. On a toujours à l’équilibre final ∆Τ = 0 ⇒ ∆U = 0 (ne dépend pas du chemin) Selon l’hypothèse la force extérieure appliquée est F = P1.S = Pext.S W = − = − P∫ dVPext 1(Vfinal – Vinitial) = -RT0 +P1(P0Vinitial)/P0 = -RT0+P1RT0/P0

W= RT0( 1

0

PP

-1) Q = ∆U –W = − W Q = − RT0( 1

0

PP

-1)


A1.2.2.2 On a toujours ∆S = − R ln (P1/P0) car fonction d’état

Se = Q/T0 = − R( 1

0

PP

-1)

D’où Scréée = ∆S - Se = R( 1

0

PP

-1) – R ln( 1

0

PP

) = R( 1

0

PP−1 – ln 1

0

PP

))

∀ x = 1

0

PP

> 1 Scréée = R = (x-1) – ln x >0 car x-1 >ln x ⇒ Sréée >0 conforme au 2nd principe

A.I.3. Application : étude théorique d'une machine thermique A.I.3.1

Partie_CIII_cor_ecr

Q W

système

Source de chaleur T0

Source de travail

Soit W, Q les grandeurs énergétiques reçues par le système fluide pendant un cycle. Alors au cours d’un cycle ∆ U = W+Q = 0 ∆ S=0 = Se + Scréée Se = Q/T0 ⇒ Q 0, car S≤ créée 0 donc cela entraîne : W≥ >0 Le système ne peut que recevoir du travail. Impossibilité du moteur monotherme. A.I.3.2. QF QC W

système

Source chaude TC S F

l

A.I.3.2.1. Au cours d’un cyOr ∆U = W+ QF + ⇔ QC/TC

Source de travai

_phys.doc C25

cle, la machine thermique est telle queQC = 0 ∆S = 0= QC/TC + QF/TF + Scré

+ QF/TF 0 (Inégalité de Clausius) ≤

ource froide T

: ∆U= 0 et ∆S =0 ée ;

A.I.3.2.2. Dans le cas du moteur ditherme : W 0 ⇒ Q≤ F + QC > 0 ; − QF – TF/TC QC > 0 ; QC(1-TF/TC) > 0 ⇒ QC > 0 et QF < 0 La source chaude transfère un flux thermique vers le moteur alors que le moteur transfère un flux thermique vers la source froide. A.I.3.2.3. Rendement ou efficacité du moteur : η = |W| /QC = (QF+QC)/QC = 1 + QF/QC

D’après l’inégalité de Clausius, QF/QC < − TF/TC

η η≤ max = 1- TF/TC

A.I.4. Application : étude d'un climatiseur fonctionnant entre deux sources non idéales La température de l’une des sources varie I.4.1. L’air contenu dans le salon a une capacité thermique C ; sa variation d’énergie interne est ∆U = C(T1-T0) Elle a reçu un transfert thermique − QF de la part du climatiseur : ∆U = − QF ; QF= C(T0-T1) A.I.4.2. L’air extérieur est une source de capacité infinie .C’est une source idéale. Considérons le système air + climatiseur + salon ∆S = 0 = ∆Sair = ∆Sclimatiseur + ∆Ssalon : le climatiseur évolue de façon réversible ∆Sair =−QC/T0 . ∆Sclimatiseur = 0 ; ∆Ssalon = C.ln(T1/T0) car Ds = CdT/T (transformation isochore) soit QC = T0C ln(T1/T0) On peut considérer le climatiseur seulement ∆Sclimatiseur = 0= ∆SeC + ∆SeF car le climatiseur fonctionne de façon réversible

∆SeC = QC/T0 ∆SeF = − C dT/T = −C ln(T1

0

T

T∫ 1/T0) d’où QC = T0C ln(T1/T0)

A.I.4.3. ∆ U = 0 au cours des différents cycles donc : W = – (QF+QC) = CT0 (y−1 – lny) avec y = T1/T0 donc W > 0 A.I.4.4. AN / P = W/∆t = 122 W raisonnable (0,5 A en 220 V). Trouver une dizaine de kilowatts ne l’est pas.

A.II. Étude des systèmes ouverts en régime permanent

A.II. 1. Principes et définitions A.II.1.1. La masse M(t) du fluide contenu dans (V) est indépendante du temps car le régime est permanent M(t) = M(t+dt) La masse du système fermé Σ∗ est invariante. mΣ∗(t) = mΣ∗(t+dt), soit M(t)+dme = M(t+dt)+dmS ⇒ dme = dmsEn régime permanent dme = d mS, noté désormais dm. A.II.1.2. En amont, compression du fluide ; il reçoit un travail : δw1 = P1 dV1 = P1v1dm

Partie_CIII_cor_ecr_phys.doc C26 En aval, détente du fluide : il fournit un travail : δw2 = - P2dV2 = − P2v2dm

A.II.1.3. Premier principe appliqué à Σ∗ fermé entre t et t+dt dU* = δW+δQ et dU* = U*(t+dt)-U*(t) = [UΣ(t+dt) + dm u2] – [UΣ(t) + dm u1] = dm (u2-u1) car UΣ indépendant du temps. δWpression = δW1 + δW2= (P1v1 – P2v2) dm sans oublier δWindiqué = widm δQ = qedm Donc (u2 - u1) dm = (P1v1 - P2v2) dm + widm + qedm soit avec h = u+Pv h2 - h1 = wi + qe.

A.II.2. Application : compresseur à deux étages .

1 CP Q= 0 Q=0 CP 4 BP HP P2 = P3 2 3

A.II.2.1. Il faut appliquer le théorème démontré précédemment : Transformation : 1-2 ∆ h12 = Cp(T2-T1) = wi12 + qe12 = wi12

Transformation 3-4 ∆ h34 = Cp(T4-T3) = wi34 + qe34= wi34 Le travail indiqué est le travail utile fourni aux deux compresseurs : wi = wi12 + wi34 = Cp(T2+T4-2T1) On admet une évolution adiabatique et réversible dans les compresseurs ; avec un gaz parfait et CP = constante on peut appliquer la loi de Laplace PVγ = constante ⇒ P(1-γ)Tγ = constante ⇒ P1

(1-γ)/γT1γ = P2

(1-γ)/γT2γ et P2

(1-γ)/γT1γ = P4

(1-γ)/γT4γ d’où

T2 = T1r(γ-1)/γ et T4 = T1(r/a)(1-γ)/γ

On en déduit donc wi = CpT1(r(γ-1)/γ + (r/a)(1-γ)/γ - 2) A.II.2.2. Posons α = (γ-1)/γ ; il s’agit de rendre minimale l’expression f(r) = r α + (r/a)- α

⇒ df/dr = α r α−1 - α(r/a)- α−1 =0 ⇒ r α = (r/a)- α ⇒ r = a = 5 A.II.2.3. On a alors T2 = T1 5 α avec α = 2/7 ⇒ T2 = 1,58 T1 = 475 K et T4 = T1 (5/25) −α = T2T2 = T4 = 475 K A.II.2.4 Réfrigérant calorifugé ⇒ Pthermique eau + Pthermique air = 0 deau ceau ∆t + d air Cp(T3–T2) = 0 En effet Pthermique air = d air qe. Or ∆ h23 = wi23 + qe23 = Cp(T3-T2) : wi23=0 ⇒ deau = dair Cp/ceau (T2-T3)/ ∆t AN : deau = 5,4 kg.s-1


A.II.3. Application : cycle de Rankine d'une machine à vapeur A.II.3.1. Estimation du travail reçu par la pompe : ∆ h34 = wi34. Or dh = TdS +VdP En négligeant la variation d’entropie de la phase liquide (très faible par rapport aux entropies gazeuses) on en déduit que wi ~ ∫VdP ~ V∆P

Or les volumes des liquides sont environ 1000 fois plus faibles que ceux des gaz. V ~ 10-3 m3.kg-1

D’où wi ~ 10-3×50×10-5 = 5 kJ.kg-1

wi négligeable par rapport aux autres travaux mis en jeu ⇒ wi ~ 0 et ∆h ~ 0 compression isenthalpique du liquide A.II.3.2.

Point 1: vapeur juste saturante à P = P1 = 55 bar ⇒ s1 = s55 (55 bar) = s’55+Lv(55)/T1 Numériquement s1 = 5,93 kJ.kg-1.K-1

Transformation 1-2 : transformation isentropique ⇒ s2 = s1 = 5,93 kJ.kg-1.K-1 Titre en vapeur : sous la pression saturante de 0,2 bar : s2 = s’( p= 0,2) + x2Lv/T2 x2 = (s2 – s’(0,2))×T2/lv(0,2) = (5,93-0,83)×330/2350 ~ 0,72 ou 0,717 De même : h2 = h’(0,2) + x 2 Lv (0,2 )= 250+ 0,72 x 2350 = 1934 kJ.kg-1

s2 =5,93 kJ.kg-1.K-1 h2 = 1934 kJ.kg-1

A.II.3.3.1 Transformation. 4-1 : ∆ h41 = wi41 + q1 = q1 (pas de partie mobile) donc q1 = h1 – h4

Or ∆ h34 = 0 ⇒ h4 = h3 = h’(P2) = 250 kJ.kg-1 (en 3 liquide saturant sous la pression P2 = 0,2 bar) h1 = h’’(P1) = h’(P1)+lv(T1) = 1180 +1600 = 2780 kJ.kg-1

AN: q1 = 2780-250 = 2530 kJ.kg-1

A.11.3.3.2. Transformation 2−3 : ∆ h23 = wi23 + qe23 = −q2 = h3-h2

q2 = h2 – h3 = 1934-250 = 1684 kJ.kg-1

q2= 1684 kJ.kg-1

A.I1.3.3.3. Dans la turbine détente adiabatique qiT = 0 : ∆ h12 = wiT +0 ∆ h12 = h2-h1 = 1934-2780 = − 846 J WiT = − 846J A.II.3.3.4. Rendement : η = |wiT| / q1 η = 846/ 2530 ~ 0,33 Rendement de Carnot : ηmax = 1-Tmin/Tmax = 1- 330/540 = 0,39 On obtient bien η<ηmax


A.II.3.4.Allure du cycle dans le diagramme entropique. A.II.3.4.1. Les isobares à l'intérieur de la courbe de saturation sont des isothermes car P = f(T) ⇒ droites horizontales A.II.3.4.2.

. A.II.3.4.3. Si l’évolution 1-2 est adiabatique irréversible, alors ∆S12 > 0 ⇒ on aboutit à (2’) situé « à droite » de (2) sur l’isobare P2 à T2

B. DIFFUSION THERMIQUE B.I. Transfert par conduction thermique

B.I. 1. Équation de la chaleur B.I.1.1. j = puissance/surface s’exprime en W.m


Q-2

gradruuuu

a e 0 L

T

T1 4 1 P1

T2 P2

3 2 2’ S

T s’exprime en K.m-1

L'unité de λ : W.K-1 m-1

B.I.1.2.

Puissance algébriquement sortante du système : [jQ(x+dx)-jQ(x)] S = Qxjx

∂∂

Sdx

Cette puissance = perte d’énergie du système /unité de temps = -tU

∂∂

avec dU = µcTS dx

−tU

∂∂

= µcS dx tT

∂∂

Qxjx

∂∂

+µcTt

∂∂

= 0

B.I.1.3. Or = − λ

xQj xT

∂∂

⇒ ²T TD.x² t

∂ ∂=

∂ ∂ avec D = λ/µc ⇒ D s’exprime en m².s-1

B.I.2. Contact avec deux sources de chaleur idéales B.I.2.1.

Régime permanent Tt

∂∂

= 0, 2

2

xT

∂∂

= 0 ⇒ T(x) = Ax+B linéaire

T(x=0) = T0 ; T(x=L) = T1 ⇒ T(x) = T0 + (T1-T0)x/L

= jΦ Q S = - λxT

∂∂

S = λS(T0-T1)/L

B.I.2.2 Électricité Thermique Potentiel V T0-T1 Intensité I ou puissance ΦRésistance électrique R = V/I résistance thermique Rth = (T0-T1)/ Φ soit Rth= L/ λS ( Rélectrique = L/γS) Unité : K.W-1

B.I.3. Transfert convectif B.I.3.1. PC = αS(T - Ta) : unité de α : W.m-2 K-1 Résistance thermique de convection : RC = (T - Ta)/PC = 1/αS B.I.3.2.

δ² = λe/2α d’où δ est homogène à une longueur Bilan entre x et x+ dx

S = ae

µcS Tt

∂∂

dx dt = dt[ jQ (x) – jQ (x+dx)]S-2αdx(a+e) (T – Ta)dt = –S Qxjx

∂∂

dt dx – 2αdx(a+e) (T – Ta)dt

µcTt

∂∂

= – Qxjx

∂∂

– 2 α((a+e)/ae) (T-Ta) = ²Tx²

∂λ

∂ - [2h(a+e)/ae] (T-Ta)

µcTt

∂∂

= ²Tx²

∂λ

∂ - (2h/e) (T-Ta) si e << a

θ(x) = [T(x) – Ta]. µc tθ

∂∂

= λ²x²

∂ θ∂

− 2h

eθ

En régime permanent, compte tenu de la définition de δ : ²x²

∂ θ∂

− 1²

θδ

= 0

θ(x) = A sh(x/δ) + B ch(x/δ) En x=0 : θ = B = T0-Ta

En x= L : θ(L)= T1-Ta = A sh(L/ δ)+ B ch(L/δ) D’où B = T0-Ta et A = [(T1-Ta)-(T0-Ta) ch(L/δ)]/sh(L/ δ) T(x) – Ta = (T0-Ta) ch(x/δ) + sh(x/δ) [(T1-Ta) – (T0-Ta) ch(L/δ)]/sh(L/ δ)]


Cas particulier si L >> δ

Alors T(x) – Ta = (T0-Ta) ch(x/δ) − (T0-Ta) sh(x/δ) = (T0-Ta) exp(–x/ δ) : la température tend vers Ta

On retrouve la relation directement en admettant que θ(x) = C exp(− x/ δ ) et en écrivant les conditions aux limites

T(x) – Ta = (T0-Ta) exp(–x/ δ)

B.I.4. Application : comportement thermique d'un transistor de puissance B.I.4.1. En régime permanent, le même flux thermique Φ traverse les différents éléments aux interfaces transistor-radiateur et radiateur-air Soit : (T-TR) = R et (TΦ R-Ta) = Rrad Φ ⇒ T- Ta = (R+ Rad) Φ (association série) Rad = –R + (T-Ta)/ Φ B.I.4.2. AN : Φ = 40 W ; Ta = 20°C ; T= 140°C ; R = 0,5 K.W-1

Rad = 120/40 –0,5 = 2,5K.W-1 ; Rad = 2,5K.W-1

Par lecture sur la courbe, on en déduit qu’il faut commander un radiateur de longueur l = 60 mm

BI.5. Analyse en régime transitoire B.I.5.1.

Bilan énergétique du transistor : CTt

∂∂

= – (T-TΦ R)/R

Bilan énergétique du radiateur : CR RTt

∂∂

= (T-TR)/R – (TR–Ta)/Rrad

B.I.5.2. T TR

• • I R1 R2 C1 C2

• Figure 8 Ta

T→VT ; TR→VR ; Ta→Va ; →I ; C→C

Φ1 ; CR→C2 ; R1 = R ; R2 = Rad

Loi des nœuds en T et TR

C1 dVT/dt = I +(VR-VT)/R1

C2 dVR/dt = (VT-VR)/R1 + (Va-VR)/R2 B.I.5.3. H(p) = H(jω) = a(T T )−

Φ

I.Z = VT−Va

Z = R1+1/(1/R2+jC2ω) Z = (R1+R2+jR1R2C2ω)/(1+jR2C2ω) i /I= 1/(1+jC1ωZ) (diviseur de courant) et T-Ta = Z i (T-Ta)/I = Z/(1+jC1ωZ) soit H = (R1+R2+jR1R2C2ω)/(1+j[(R1+R2)C1+R2C2] ω - R1R2C1C2ω2)


Finalement : H = (T-Ta)/Φ = (R+Rrad +jRRradCRω)/(1+j[(R+Rrad)C+RradCR] ω−RRradCCRω2) B.I.5.4. RRrad C CR ω² << 1 Alors H = N(ω)/(1+jωτ) avec τ = (R+Rrad)C+RradCR La constante de temps τ est caractéristique de l'évolution temporelle de la température T(t) du transistor. AN : τ = RradCR+R C +RadC = 800s = 13,3 min τ = 13,3 min B.I.5.5. H(p) = N(p)/(1+τp) p de l’ordre de grandeur de 1/τ RRrad C CR /τ² = 3,9×10−2 << 1 L'approximation à un 1er ordre est légitime.

B.II. RÉGULATION DE TEMPÉRATURE


θ = T2-Ta ; C1= 400 J.K-1 ; C2 = 1000 J.K-1 ; R1 = 1,0 K.W-1 ; R2 = 4,0 K.W-1. L'action de la puissance électrique P(t) sur la différence de température θ peut être représentée par la fonction de

transfert : B(p) = (p)

P(p)θ

T T2

• • P(t) R1 R2 C1 C2

• Figure 9 Ta

B.II.1. La fonction de transfert H(p) = (T-Ta)(p)/P(p) et θ = Z2(T-Ta)/(R1+Z2) avec 1/Z2 = 1/R2 + jC2ω Soit θ = R2/(R1+R2+jR1R2C2ω) On en déduit : B(p) = R2/(1+[(R1+R2)C1+R2C2]p+R1R2C1C2p²] Soit B0 = R2 ; ω0 = [R1R2C1C2]–1/2 ; m0 = [(R1+R2)C1+R2C2] ω0/2 A.N : B0 = 4 K.W-1 ; ω0 = 7,9×10-4 s-1 ; m0 = 2,37

B(j ω) = B(p) = ( )6

41,6.10 p² 600p 1+ +

|B| = 2/1222 ))1(46,22(4

xx −+ B.II.2. Il s’agit d’un filtre passe-bas du second ordre x→ 0 B(p)→ B0 = 4 GdB = 20lg|B(jω)| = 12 x→ B(p)→B∞ 0ω0

2/p2 GdB = 12,04 – 40 lgx

GdB 12 dB lgx 0,3 1 – 28

x = 1 lg x = 0 GdB = −14,47 Pour x = 0,2 GdB= 9 dB affaiblissement de 3 dB x=2 G= -15,8 x= 10 G= −28,8 x=0,1 G= 11,23 x=0,08 G = 11,5

B.II.3.


θC ε P(p) θ + –

Figure 10

C(p) B(p)

C(p) représente le processus de commande de la résistance chauffante, assimilable à un système linéaire proportionnel : C(p)= Γ. B.II.3.1. L'unité de Γ P(p) = Γ(θC – θ) unité W.K-1

B.II.3.2. ε = θC-θ et θ = ΓB ε

H(p) = c

(p)(p)

θθ

= ΓB(p)/[1+ΓB(p)]

H(p) = H(jω) = 0

21 1

Hp² p2m 1⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠

Ho = ΓB0/[1+ΓB0] m = m0/(1+ΓB0)1/2 et ω1 = ω0(1+ΓB0)1/2

B.II.3.3. Dans une réponse à un échelon m= 1 critique m>1 apériodique amorti m < 1 pseudo périodique amorti On veut Γ pour m ≈ 0,7. Oscillation pseudo-périodique très amorti. Système rapide pour le retour à l’équilibre. m = m0/(1+ΓB0)1/2 = 0,7 ; Γ = 2,616 W.K-1

B.II.3.4. B.II.3.4.1. θ∞ de la température de la plaque lim θ(t) = lim pθ(p) avec θ(p) = H(p) θC(p) t→∞ p→0 θ∞ = H0θC = 100 H0 avec H0 = 2,62×4/(1+4×2,62) = 0,9128. Soit θ∞ = 91,3 K L'écart statique ε∞ entre la température de consigne et la température obtenue : ε∞ = θ∞ – θC = – 8,7 K B.II.3.4.2. Lorsque tr temps au bout duquel la réponse du système diffère de moins de 5% de sa valeur finale, dit « temps de réponse à 5% » , sachant que pour m ≈ 0,7, tr ≈ 3/ω1. ω1 = ω0(1+ΓB0)1/2 = 2,68×10-3s-1

tr = 1120 s ≈ 19 min

B.II.3.4.3. Amplitude relative D du premier dépassement en % définie par D = (θmax–θ∞)/θ∞ et donné par l'expression :

.mD 100exp1 m²π⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

= 4,6%

B.II.3.4.4. Allure de θ(t) : amorti fortement. B.II.3.5. B.II.3.5.1. Valeur de Γ permettant d'obtenir ε∞ ≈ –1 K ⇒ θ∞ = 99 K soit H0 = 0,99 = ΓB0/[1+ΓB0] Donc ΓB0 = H0/(1-H0) = 99 ⇒ Γ = 99/4 = 24,75 W.K-1


B.II.3.5.2. m = m0/(1+ΓB0)1/2 = m0/10 = 0,237 <0,7 B.II.3.5.3. On obtient : D =46,5%, soit θmax = 145 K B.II.3.5.4. m a beaucoup diminué : la réponse est donc peu amortie Inconvénients grand dépassement, augmentation du temps de réponse

θ(t) en K 145 99 0 t

Il est plus indiqué d’utiliser un correcteur intégral et proportionnel pour annuler l’erreur statique. C. UN EXEMPLE DE TRANSFERT THERMIQUE : CHAUFFAGE PAR INDUCTIONC.I. En classe de première S C.I.1. 3 activités. Par exemple : visualisation de spectres, comparaison entre les spectres des courants et des aimants rotation d’un aiguille aimantée (expérience d’Oersted), influence du sens du courant, solénoïde parcouru par un courant : étude des différents paramètres (I , N et l ) B proportionnel à I en un point, utilisation d’un teslamètre B lié au sens de I C.I.2. Mesure de la composante horizontale de Bterrestre. - boussole orientée dans le champ BT, placée perpendiculairement à l’axe d’un solénoïde parcouru par un courant ou utilisation des bobines d’Helmholtz − Utilisation de la boussole des tangentes - mesure de la déviation de la boussole lorsque l’on fait circuler un courant ; soit α. Alors tan α = Bsolénoïde/BT

En faisant varier I, on trace tan α = f(I). On vérifie le caractère rectiligne, on détermine la pente pour trouver BT. Ordres de grandeur : BT = 2,0×10-5 T (composante horizontale) Solénoïde n = 1000 spires par unité de longueur (500 spires sur 20 cm par exemple) I = 4 mA, B = 2,0×10-5 T Alors α proche de 45°

C.II. En classe de PCSI - champ magnétique créé par une spire parcourue par le courant I0 en un point de son axe : analyse des symétries

détermination de la direction de →B

écriture de la loi de Biot et Savart intégration - passage au solénoïde fini : écriture de l’élément de courant intégration

- passage au solénoïde infini sur l’axe - utilisation du théorème d’Ampère pour justifier le champ uniforme

Remarque : l’énoncé n’indiquant pas si le solénoïde est infini ou non, il est possible d’accepter la démarche suivante : - champ créé par un solénoïde analyse des symétries analyse des invariances par translation, rotation

⇒ (M) = B(r) en coordonnées cylindriques →B

→

zujustification qualitative de B = 0 à l’extérieur (cf programme) utilisation du théorème d’Ampère

calcul de →B intérieur

C.III. CHAUFFAGE PAR INDUCTION C.III.1.

= - →rot

→E

→

∂∂

tB

; E→

m = −At

∂∂

ur

champ électromoteur A→

= A(r) pour le champ uniforme eθ

→

Conducteur placé dans un champ magnétique variable ⇒ existence d’un champ électrique induit, puis courants volumiques induits dits courants de Foucault.

Sources du champ : distribution de courant i(t) variable dans le solénoïde. Tout plan contenant l’axe Oz

est plan d’AS pour ces courants ⇒

→E

→E (M) ⊥ plan (O,M,z) ⇒ orthoradial

→E

En supposant le cylindre suffisamment long : invariance par translation le long de Oz, invariance par

rotation autour de Oz ⇒ ne dépend ni de z, ni de θ : = E(r) →E

→E

→

θu

C.III.2. Théorème de Stokes : = − →rot

→E

→

∂∂

tB

⇒ ∫C

→E . = −

→ld ∫∫S

→

dtdB

. →dS

Prenons comme contour le cercle de rayon r = OM, centré sur Oz et pour surface le disque de rayon r.

E(r)×2πr = - dtdB

×πr2 = ωB0 sinωt×πr2

→E (r,t) = ½ B0ω sinωt r

→

θu C.III.3. Puissance volumique instantanée cédée à la matière : Pvol = . = γE

→j

→E 2

Puissance volumique moyenne < Pvol> = γ <E2> = γB02ω2r2/8


Puissance totale : P = < P∫∫∫ vol>dτ = < P∫=

a

0r

vol(r)> 2πr dr l

P = γB02π al 4ω2/16

C.III.4. AN : γ = 10 Ω-1.m-1 ; ω = 2πf0 = 6π×105 s-1

P = 2,8 GW Valeur un peu trop élevée, comparée à la réalité industrielle. Le champ B utilisé est en réalité plus faible.


a. applications des principes de la...

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