7-sollicitations composées

Leçon 7 Sollicitations composées LPGCE 2009-2010

Leçon7: Sollicitations composéesDans les quatre Leçons précédents, nous avons étudiéchaquesollicitation simple pouvant se produire dans une structure composée depoutres, à savoir l’effort normal N(x) de traction – compression, l’efforttranchant ou de cisaillement T(x), le moment de flexion Mmoment de torsion Mt(x).Pour chacune de ces sollicitations N(x), T(x), Mf(x) et Mavons établiles formules permettant de calculer, une fois détermindiagrammes deleur évolution le long de la poutre :· le champ de contrainte en tous points d’une section, et plusparticulièrement la contrainte maxi· le champ des déformations· les déplacements (translations et rotations)· la rigidité ou raideur (analogie avec des ressorts)Dans le cas plus général, ces quatre sollicitations peuvent existersimultanément dans une structure, on parle alors de sollicitationscomposées (ou combinées).L’étude des sollicitations composées est très simple sur le principe, il suffit desuperposer les quatre états de sollicitations simples pour obtenir les résultats.Lorsque les grandeurs sont vectorielles, il faut faire une somme vectorielle :cas des contraintes, déformations et déplacements.Pour une grandeur scalaire telle que l’énergie de déformation, on fait la somme algébrique.Ce principe s’appelle le principe de superposition. Il est vque lesstructures travaillent dans le domaine élastique du matHooke :proportionnalité entre contraintes et déformations), que les déplacements sont petits et que les effets des forces ne sont pas influencés par les déplacements.Par exemple, lorsqu’une compression axiale se combine flexion, lesdéplacements dus aux charges transversales modifient lforcesaxiales qui produisent une flexion additionnelle, dans ce cas la méthode desuperposition est défaillante. Dimensionnement des structures Notion de contrainte équivalentePour dimensionner une structure on dispose d’une part, des


formulespermettant de calculer les contraintes en tout point det d’autrepart des limites du matériau en traction pure. Sauf cas exceptionnel, unestructure ne sera jamais sollicitée uniquement en traction pure, on comprendalors aisément qu’il est difficile de pouvoir comparer la rmécaniquedu matériau soumis à un état composé de contrainte tractionpure.On peut donc se demander quelles combinaisons des composantes des

contraintes σ, τxy et τxz provoqueront la plastification (voire la rupture) dumatériau dans la structure.

On définit alors une contrainte dite contrainte équivalente

,τ xy, τxz)qui est fonction de l’état de contrainte et qui pourra êà la limiteen traction du matériau.Cette contrainte équivalente n’est pas une contrainte runecontrainte de comparaison pour évaluer la résistance de la structurerelativement aux propriétés du matériau.Plusieurs critères ont été étudiés et confirmés expérimentalement. Le critère leplus utilisé pour les matériaux métalliques isotropes les plus courants est lecritère de Von Mises,pour estimer le seuil de plastification critères existent, citons à titre d’exemple les critères de plastificationde Rankine (cas des matériaux fragiles), de Tresca–Guest, de MohrCoulomb,de Drucker–Prager ou encore pour les composites orthotropes le critère de rupture de Hill.

Etudions à présent quelques exemples: flexion +extension & flexion+ Torsion & Extension + torsion1) FLEXION + EXTENSION.

On se propose d'étudier une poutre de section rectangulaire (12x36), sollicitée dans les conditions ci-dessous :


On isole la poutre, bilan des actions extérieures, P.F.S., afin de connaître les actions extérieures, ici on a :

On recherche le torseur de cohésion, à savoir :

tronçon BC.

tronçon AC.

On est bien en présence d'une sollicitation d'extension et de flexion simple.

On obtient les diagrammes suivants :


On trouve que la section la plus sollicitée se situe à l'abscisse x = 300.

On recherche alors les contraintes séparément, à savoir :

contrainte d'extension.

contrainte normale maxi de flexion.

On procède ensuite à la superposition en additionnant les contraintes.


On observe dans la superposition un décalage de la fibre neutre.

2) FLEXION + TORSION.

Dans ce cas on ne peut utiliser la superposition car les contraintes de flexion sont normales et celles de torsion sont tangentielles. On pondère l'une avec l'autre et l'on réalise 2 étudesune en flexion, l'autre en torsion.

Flexion : Moment Idéal de Flexion (utilisé pour le calcul).

Torsion : Moment Idéal de Torsion (utilisé pour le calcul).

exemple :

On se propose de rechercher le diamètre ( coef. Sécurité s = 4 ) de len XC32, représenté ci-dessous.

Une étude préliminaire permet de réaliser les diagrammes suivants :


Commençons par rechercher le moment de flexion maximal.

soit en C : 1110 daN.m (cas étudié) en B : 409,4 daN.m

étude de flexion :

On utilise alors la condition de résistance en flexion pour avoir le diamètre, à savoir

étude de torsion :

On utilise alors la condition de résistance en torsion pour avoir le diamètre, à savoir

On peut donc prendre un diamètre à partir de 118 mm, par exemple d = 120 mm.

3) EXTENSION + TORSION.

Dans ce cas on ne peut utiliser la superposition car les contraintes d'extension sont normales et celles de torsion sont tangentielles. On utilise alors la relation ci-dessous


exemple :

On se propose de vérifier la résistance dsupportant une charge de 5000 daN, réalisé en XC42 (Re = 320 MPa ), représenté ci-dessous.

Vis = 45 , filet carré, pas 10

Axe = 35

Couple moteur Cm = 225 N.m

Couple frottement Cf = 40 N.m

section a :

En traction, on a alors

En torsion, on a alors

On a donc finalement comme coefficient de sécurité :

section b :

En traction, on a alors

En torsion, on a alors

On a donc finalement comme coefficient de sécurité :

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