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  • MMORIAL DES SCIENCES MATHMATIQUES

    OLIVIER COSTA DE BEAUREGARDLa relativit restreinte et la premiremcanique broglienneMmorial des sciences mathmatiques, fascicule 103 (1944), p.

    Gauthier-Villars, 1944, tous droits rservs.

    Laccs aux archives de la collection Mmorial des sciences math-matiques implique laccord avec les conditions gnrales dutilisation(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou im-pression systmatique est constitutive dune infraction pnale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la prsente mention de copyright.

    Article numris dans le cadre du programmeNumrisation de documents anciens mathmatiques

    http://www.numdam.org/

    http://www.numdam.org/item?id=MSM_1944__103__1_0http://www.numdam.org/legal.phphttp://www.numdam.org/http://www.numdam.org/

  • ,SH 53^6

    MMORIAL DKS

    SCIENCES MATHMATIQUES PUBLI SOUS LE PATRONAGE DK

    L'ACADMIE DES SCIENCES DE PARIS, DE8 ACADMIES DE BELGRADE, BRUXELLES, BUCAREST, COMBRE, CRACOVIE, KIBW,

    MADRID, PRAGUE, HOME, STOCKHOLM (FONDATION M1TTAG-LEFFLER), DE LA SOCIT MATHMATIQUE DE FRANCE, AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVAPJTS.

    DIRECTEUR :

    Henri VILLAT Membre de l'Institut,

    Professeur la Sorbonne, Directeur du Journal de Mathmatiques pures et appliques .

    FASCICULE Clll

    La Relativit restreinte et la premire Mcanique Broglienne Par M. Olivier COSTA DE BEAUREGARD.

    PARIS GAUTHIER-V1LLARS, IMPRIMEUR-DITEUR

    LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'COLE POLYTECHNIQUE

    Quai des Grands-Augustins, 55

    944

  • Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation rservs pour tous pays.

  • LA

    RELATIVIT RESTREINTE KT LA

    PREMIRE MCANIQUE RROGLIENNK

    Par M. Olivier COSTA DE BEAUREGARD.

    AVERTISSEMENT.

    Bien que notre expos de la Relativit restreinte puisse videm-ment servir d'introduction la gravifique einsleinienne, c'est surtout en vue de la Mcanique ondulatoire et quantique qu'il a t rdig. L'on ne s'tonnera donc pas de nous voir ngliger un certain nombre rie questions relevant de la Physique macroscopique, comme, par exemple, l'Electrodynamique des corps pondrables, ou des dvelop-pements de Mcanique des fluides. Par contre, l'existence des nouvelles Thories quantiques de Vlectron et du photon nous a amen examiner comment la question des moments cintiques propres se prsente au point de vue strictement relativiste; un raisonnement purement formel nous permet de justifier a posteriori certains des rsultats de Dirac.

    Ce que nous avons cherch avant tout, c'est mettre en pleine lumire les nouvelles acquisitions de principe que la Cinmatique, l'Optique, l'Eleclromagntisme et la Mcanique doivent la Rela-tivit restreinte. Limitant ainsi notre expos aux lois que la Physique prquantique considrait comme lmentaires, nous avons essay de bien faire sentir en quoi consiste Vesprit de la Relativit. Pour cela, nous raisonnons systmatiquement dans l'Univers quadridimensionnel

  • > OLIVIER COSTA DE BEAUREGARD.

    de Minkowski, aprs avoir introduit cette importante notion ds le dpari, propos de l'exprience de Michelson. Nous introduisons galement de manire systmatique, dans chaque problme, la forme diffrentielle complte, qui rsulte de la considration d'vnements la fois distants dans l'espace et successifs dans le lemps; cela nous permet de rendre leur symtrie des expressions dont la forme tronque habituelle rsulte de l'hypothse souvent implicite de la simultanit distance.

    On sait que la Mcanique ondulatoire est relativiste en ce sens qu'elle n'a pu se constituer et rester d'accord avec l'exprience qu'en respectant les nouvelles variances cinmatiques. mais quelle nya pas Vesprit vraiment relativiste. Le temps, notamment, y joue un rle privilgi par rapport l'espace, et celte dissymtrie des conceptions se rpercute sur la totalit des formules. Bien entendu, il ne s'agit pas il n'a jamais t question d'assimiler purement et simplement la variable lemp* aux coordonnes d'espace; mais il reste que la Relativit tablit de la manire la plus nette, et dans un esprit qui n'est pas sans rappeler celui de la Thermodynamique : i" une quivalence, c'est--dire une identit de nature profonde entre l'espace el le lemps; 2 une distinction dans les compor-tements, expliquant que l'espace soit rversible alors que le temps ne lest pas. Dans notre Chapitre I, nous cherchons noncer d'unt* manire parfaitement claire ce que nous appelons le premier et le second principe de la Relativit (n0s 2 et 3). Du strict point de vue relativiste, il semblerait tonnant d'avoir revenir sur des indica-tions aussi nettes qui, dictes par l'exprience macroscopique, reoiveni de l'exprience microscopique une confirmation remar-quable : pour russir, en effet, la Mcanique ondulatoire a du natre relativiste avec Louis de Broglie, et redevenir relativiste avec Dirac.

    Le conflit de la Relativit el des Quanta n'en reste pas moins trs aigu, comme on peut le voir sur beaucoup d'exemples, et notamment sur celui-ci : en Relativit, les grandeurs bien dfinies d'une manire intrinsque sont les densits; lorsqu'on veut passer aux grandeurs finies par intgration, et aussi lorsqu'on veut se ramener ensuite la considration d'un point matriel par passage la limite, on ren-contre souvent de l'arbitraire, et quelquefois des difficults (nos 23, 24 (t 27, 28). La Relativit tant restreinte que gnrale est vraiment une Physique du continu, dans laquelle le point matriel n'est

  • LA RELATIVIT RESTREINTE ET LA PREMIRE MCANIQUE BR0GL1ENNE. 3

    admis qu'aprs coup. En Physique quantique, c'est tout le contraire : les corpuscules sont regards comme rigoureusement ponctuels, et les densits qui ne servent que d'intermdiaires de calcul sont considres comme fictives du fait de leur interprtation probabiliste ; du reste, on constate qu'elles ne sont gnralement dfinies qu' des fonctions additives prs. Mais on peut se demander si le conflit ne met pas en ralit beaucoup moins en cause les rapports de l'espace et du temps entre eux, qu'il n'oppose les nouvelles conceptions quantiques encore incomprtement dgages aux anciennes conceptions continues qui s'avrent primes. 11 s'agirait alors moins d'un conflit entre les Quanta el la Relativit qu'entre les Quanta el la Physique du Continu. On peut penser que si l'on parvenait lucider le comportement lmentaire de l'espace et du temps, l'on verrait s'clairer bien des conceptions encore nigma-tiques, el peut-tre une symtrie meilleure se rtablir dans, les calculs.

    Quoi qu'il en soit, nous a\ons cherch donner un expos de la Relativit restreinte qui ne soit plus en rien rvolutionnaire . Ce qui a rendu trs paradoxale en fait l'apparition des thories relati-vistes, c'est que, les beaux difices de la Physique traditionnelle tant pour ainsi dire achevs, elles sont venues retoucher, parmi les diverses notions utilises, les plus primitives de toutes : celle d'espace et celle de temps, dont certains doutaient encore qu'elles fussent d'origine exprimentale. On a dcouvert en finissant des lois qui, logiquement, taient des prmisses. Mais, cette remarque faite, il faut se souvenir que l'histoire de la Physique a connu plusieurs grands renouvellements des conceptions admises : il srail d'autant plus inexact de mconnatre Vesprit trs classique de la Relativit que, prcisment, la Physique classique n'attendait que la Relativit pour trouver son expression synthtique. Synthse incomplte, on le sait, mme en Physique macroscopique : la belle construction rela-tiviste n'aura fait que prfacer la rvolution quantique , dont le. droulement semble encore loin de son achvement.

    Dans notre expos, nous nous sommes attach prsenter les choses sous la forme d'un raisonnement suivi, non pas axiomatique, mais physique et historique : troitement appuy aux faits exp-rimentaux nouveaux, et l'acquis thorique ancien. De la sorte, nous a\ons tout naturellement t amen suivre l'ordre de la dcou-

  • 4 OLIVIER COSTA DE BEAUREGARD.

    v e r t e et d e l ' e x p o s i t i o n d ' E i n s t e i n , ce q u e n o u s a v o n s fait e n n o u s

    i n s p i r a n t l a r g e m e n t d e s p r o g r s u l t r i e u r s , et en c h e r c h a n t r d u i r a

    le p l u s p o s s i b l e la p a r t d e l ' i n d u c t i o n .

    R a p p e l de que lques n o t i o n s . Nous employons continuellement le cal cul tensoriel ( 1 ) , mais toujours en axes cartsiens orthogonaux et d'gale mesure Ox\, . . . , xn, ce i | u i est la condition pour que les composantes cova riantes et contrcvariantes d'un tenseur soient toifjours gales entre elles: dans ces conditions, il n'y a donc aucun sens particulier a t tacher la position haute ou basse des indice*. Nous utilisons la convention de som /nation, suivant laquelle un indice rpt deux fois dans un monme est dit muet, et s 'entend automatiquement avec sommation. Par exemple.

    i =. n /z=n

    V*7-jt B,/ s'entend pour ^ / A 'y/B, / 7 n dsignant le nombre de dimension*

    de l'espace euclidien considr. De mme. V'//*. par exemple, s'entend iz=n

    pour ^ A ' i / * ; cette opration de contraction abaisse de *>. le rang d'un

    tenseur ; notamment en par tant d'un tenseur de rang pair, on peut former par contraction complte un invariant . i\ous prenons toujours soin d'crire les indices muets l'un suprieur et l 'autre infrieur, ce qui est une rgle indispensable en calcul tensoriel gnral.

    Problme du changement a"axes. Dfinition d'un tenseur. Les for mules d'un changement de / i-dre cartsien oblique consti tuent une substi-tution linaire homogne \\ coefficient* constants, et s 'crivent

    xl = 'jjri, ./' = o'x/ :

    les coefficients ol de la transformation in\erse sont les mineurs normaliss du J

    dterminant des coefficients ol de la transformation direct

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