5 modelisation slci

S.I.I. / Automatique / Modlisation des systmes linaires continus et invariants

1/8

AUTOMATIQUE Modlisation des systmes linaires continus et invariants

I. Les systmes linaires continus et invariants

I.1. Les systmes continus

Un systme est dit continu par opposition un systme discret, lorsque les variations des grandeurs physiques le caractrisant sont des fonctions temps continu et que lon peut donc dfinir ces grandeurs tout instant. On parle aussi dans ce cas de systmes analogiques. La plupart des systmes physiques peuvent tre considrs comme continus dun point de vue macroscopique. Un systme informatique par contre a besoin dun temps non nul pour raliser un traitement de linformation. Il ne peut donc traiter que des chantillons des signaux continus qui lui sont soumis, on parle dans ce cas de systme chantillonn (voir systmes discrets ou numriques).

I.2. Les systmes linaires

Le comportement linaire dun systme peut se traduire par leffet est proportionnel la cause . En fait, la notion de linarit repose sur deux principes : Le principe de proportionnalit et le principe de superposition.

a. Principe de proportionnalit :

Le schma ci-dessous traduit le comportement dun systme proportionnel. La caractristique dun tel systme est bien une fonction linaire de coefficient directeur A.

s(t) e(t) A

e(t)

s(t)

Si s(t) = A.e(t) alors, .s(t) = .A.e(t)

b. Principe de superposition :

Si s1(t) = A.e1(t) et si s2(t) = A.e2(t), alors, s1(t) + s2(t) = s(t) = A.e1(t) + A.e2(t)=A.[ e1(t)+ e2(t)]. Cette proprit de superposition des grandeurs dentre et de sortie est utilise en lectricit et dans lanalyse des systmes en automatique (plusieurs sources, entres, ).

c. Systmes linaires :

Daprs les principes exposs plus haut, on peut dfinir un systme linaire de la manire ci-dessous :

s1(t) e1(t) A

s2(t) e2(t) A

s1(t) + s2(t) e1(t) + e2(t) A


2/8

d. Linarisation :

Quelques non linarits :

I.3 Les systmes invariants

Un systme invariant est un systme dont les caractristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps (systme qui ne vieillit pas). Cette proposition peut se traduire par limplication : Si e(t) induit s(t) alors, pour tout dcalage temporel , e(t + ) induit s(t + ).

s1(t) e1(t) A s1(t + ) e1(t + ) A

Un systme est donc invariant si la relation entre - sortie ne se modifie pas dans le temps. Un four nest pas par exemple un systme rigoureusement invariant car son isolation se dtriore sensiblement dans le temps. Comme pour la linarit, cette notion dinvariance doit tre comprise au sens dune certaine approximation.

En toute thorie, les systmes physiques ne sont ni continus (dun point de vue microscopique), ni invariants (vieillissement des composants), ni linaires. En pratique, nous nous ramnerons au cas des systmes linaires, continus et invariants par des hypothses simplificatrices le plus souvent justifies.

Exemples : quelques systmes fondamentaux

o Systmes lectriques

E C

i : intensit (A) ; u : tension (V) ; R : rsistance () ; L : inductance (H) ; C : capacit (F) ; kE : constante de f.c.e.m. (V.rad-1.s) ; kC : constante de couple (N.m/A).

De nombreux systmes ne rpondent pas au principe de proportionnalit, do la ncessit doprer une linarisation pour une zone restreinte de comportement que lon veut rguler. On tudiera alors des petites variations autour du point de fonctionnement. Une solution consiste remplacer la caractristique e/s non linaire par sa tangente au point de fonctionnement choisi (caractristique linaire).

e(t)

s(t)

s1

e1

Zone dapproximation linaire


3/8

o Systmes mcaniques

o Systmes hydrauliques

dtdhSq .=

RPPq 01 =

o Systmes thermiques

dtdCQ .=

RQ 21 =

II. Modle de connaissance - modlisation par quation diffrentielle

Le modle mathmatique gnral d'un systme linaire continu et invariant est de la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )teatedtd

atedtd

atsbtsdtdbts

dtdb

m

m

mn

n

n 0101 ...... +++=+++ ,

Soit ( ) ( )==

=

m

pp

p

p

n

qq

q

q tedtd

atsdtdb

00.

Dans le cas des systmes rels (mcanique, lectrotechnique, lectronique, ), nous avons toujours (sauf approximation) n m . Ce type d'quation diffrentielle peut devenir difficile rsoudre. Aussi, il existe une mthode permettant de transformer une quation diffrentielle en une quation algbrique, c'est la mthode par transforme de LAPLACE. De plus et surtout, la transforme de Laplace permet dintroduire la notion de fonction de transfert, utile pour la reprsentation de systmes dquations sous forme de schmas blocs et ltude harmonique des systmes.

F : force (N) M : masse (Kg) k :raideur (N/m) f : coefficient de frottement visqueux (N .m-1.s)

C : couple (N.m) I :moment dinertie (Kg.m2) k :raideur (N.m/rad) f : coefficient de frottement visqueux (N .m.rad-1.s)

q : dbit volumique (m3/s) S : surface (m2) R : rsistance hydraulique (Pa.m-3.s)

Q : flux de chaleur (W ou J/s) C : capacit calorifique (J.K-1) R : rsistance thermique (K/W)


4/8

III. Rsolution dquations diffrentielles par transforme de Laplace

III.1. Transforme de Laplace

a. Dfinition :

La transforme de LAPLACE d'une fonction f(t), est une fonction causale, elle est nulle pour t


5/8

c. Proprits :

o Linarit :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )tgbtfatbgtaf LLL +=+ o a et b sont des constantes ;

o Drivation :

( )( ) ( )( ) ( )+= 0' ftfptf LL ;

Souvent (mais pas toujours ...), les conditions initiales sont nulles (conditions dHeaviside) et cette relation devient ( )( ) ( )( )tfptf LL =' et ( ) ( )( )tfp

dttfd n

n

n

LL =

.

o Intgration :

On pose ( ) ( )g t f t dt= et ( ) ( )( )tfpF L= ,

( )( ) ( ) ( )p

gppF

tg+

+=0L

o Thormes aux limites :

Thorme de la valeur initiale : ( ) ( )lim limt p

f t pF p

=0

;

Thorme de la valeur finale : ( ) ( )lim limt p

f t pF p+

=0

;

(Valable uniquement si la fonction f(t) est borne, condition de stabilit).

o Thorme du retard :

( )( ) ( )pFetf p =L .

o Translation dans le plan complexe :

( )( ) ( )apFtfe at += .L .

o Produit de convolution :

Soient ( )( ) ( )pFtf =L et ( )( ) ( )pGtg =L . Alors ( ) =

t

dtgfpGpF0

)()()()( 1-L , appel produit de convolution des fonctions f et g.

o Le produit des transformes nest pas la transforme des produits.

( )( ) ( ) ( )pGpFtgtf .)( L


6/8

III.2. Rsolution dquations diffrentielles par transforme de Laplace

( ) ( )==

=

m

pp

p

p

n

qq

q

q tedtd

atsdtdb

00

Equation diffrentielle

( ) =+++ pSbpbpb nn )....( 01 ( )pEapapa mm )....( 01 +++

Equation algbrique

Transforme de Laplace

( ) )(.)...()...(

01

01 pEbpbpbapapapS

nn

mm

+++

+++=

Solution dans le domaine de Laplace

Transforme inverse

Pour t 0 ( ) =ts .

Solution dans le domaine temporel

IV. Reprsentation par fonction de transfert

On rappelle le schma bloc d'un systme quelconque sans perturbations :

SYSTEME entre sortie

On reprend l'quation diffrentielle gnrale :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b ddt

s t bddt

s t b s t addt

e t addt

e t a e tn

n

n m

m

m+ + + = + + +... ...1 0 1 0 .

En supposant que les conditions initiales sont nulles, on peut transformer l'quation ci-dessus de la manire suivante : On pose ( ) ( )( ) ( ) ( )( )tepEettspS LL == et toutes les conditions initiales nulles. On a alors ( ) ( ) ( ) ( )pEpte

dtd

etpSptsdtd n

n

nn

n

n

=

=

LL .

L'quation diffrentielle gnrale devient donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b p S p b pS p b S p a p E p a pE p a E pn n m m+ + + = + + +... ...1 0 1 0 .

On pose alors ( ) ( )( ) 0101

...

...

bpbpbapapa

pEpSpF

nn

mm

+++

+++== ,

F(p) est la fonction de transfert du systme. Elle na de sens que pour des conditions initiales nulles. Le systme peut se modliser comme suit :

F(p) E(p) S(p)


7/8

La fonction de transfert peut aussi scrire sous la forme suivante :

( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )nm

ppppppppzpzpzpzpCpF

=

......

......

.

321

321

o n

mb

aC = ; Les zi sont les zros de F(p) : racine du numrateur ; Les pi sont les ples de F(p) : racine du dnominateur

On peut alors mettre en vidence le gain du systme :

( )

=

=

=

n

j j

m

i i

pp

zp

pKpF

1

1

1

1.

Lorsque =0 alors K est appel gain statique. La classe du systme est non nulle lorsque le dnominateur possde des racines nulles, reprsente donc le nombre dintgrations prsentes dans la fonction de transfert.

Cas particuliers :

o Systme du 1er ordre

Un systme du 1er ordre est rgi par une quation diffrentielle de la forme :

( ) ( ) ( )tKedt

tdsts =+ .

La fonction de transfert est donc de la forme :

( )p

KpF.1 +

=

o Systme du 2nd ordre

Un systme du 2nd ordre est rgi par une quation diffrentielle de la forme :

( ) ( ) ( ) ( )tKedt

tsddt

tdsts =++ 2

2

200

12

.


( )2

200

121 pp

KpF

++

=

K : gain du systme ; est la classe de la fonction de transfert ( N ) ; n : ordre de la fonction de transfert.

K : gain statique ([s]/[e]) ; : coefficient d'amortissement (sans dimension) ; 0 : pulsation propre du systme non amorti (rad/s).

K : gain statique ([s]/[e]) ; : constante de temps (s).


8/8

o Intgrateur

Un systme intgrateur est rgi par une quation diffrentielle de la forme : ( ) ( )tKe

dttds

= .


( )pKpF =

o Drivateur

Un systme drivateur idal est rgi par une quation diffrentielle de la forme :

( ) ( )dt

tdeKts = .


( ) KppF =

Remarque :

En ralit, ce type de systme nexiste pas et on a plutt ( )p

KppF+

=

1 avec suffisamment petit.

K : gain (([s]/[e]).s-1)

K : gain (([s]/[e]).s)

5 modelisation slci

Documents