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Optique

3. Systèmes optiques

Laurence BERGOUGNOUX

http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~bergougnoux/

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http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~bergougnoux/

Systèmes optiques

Cours n◦3

1 Introduction2 Principes3 Systèmes optiques

IntroductionStigmatismeLe dioptre sphériqueExercicesLentilles mincesInstruments optiques

4 Sources et Détecteurs5 Applications

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Systèmes optiques Introduction

Un Système Optique :

C’est une succession de milieux homogènes, isotropes, d’indices 6=. Lessurfaces de séparation sont de formes géométriques simples pour êtrefacilement usinées.

les systèmes dioptriques constitués de milieux transparents. Lalumière les traverse ne subissant que des réfractions.les sytèmes catadioptriques où la lumière après plusieurs réfractionssubit au moins une réflexion.Un système est centré si toutes les surfaces des dioptres sont centréessur un même axe.

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But : donner une image (copie) d’un objet original

Systèmeoptique

A B

Il y a un sens : 1 face d’entrée et 1 face de sortie.

Exemples : œil, microscope, objectif photo, télescope . . .

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Image d’un point objet Ao

a) objet et image réels

Systèmeoptique

Ao A

i

Ao

I’

no

I

J’

J

ni

b) objet réel, image virtuelle

Ao A

i

Ao

I’

no

I

J’

J

ni

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Image d’un point objet

c) objet virtuel et image réelle

Ao A

i

Ao

I’

no

I

J’

J

ni

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Image d’un point objet

image réelle : le faisceau émergent du système optique est convergent.Image sur un écran ou un détecteur CCD.

image virtuelle : le faisceau émergent du système optique est divergent.Impossible d’avoir l’image sur un écran. Ex : le miroir

pas d’image nette : tous les rayons issus de A ne passent pas par lepoint image. Un point objet → une multitude points : l’image estfloue.

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Systèmes optiques Stigmatisme

Définition du stigmatisme

→ Si B est l’image optique de A, tous les rayons issus de A passent par B.→ D’après le principe de Fermat : le chemin optique est constant quelquesoit le rayon considéré.

Un système optique est stigmatique pour un couple de points (A, B)⇔

Il existe une famille de courbes reliant A et B telles que LAB = cste,c.a.d. indépendant du trajet considéré.

Rmq : Condition de stigmatisme rigoureux difficile à satisfaire même pour desinstruments simples car les surfaces optiques faciles à réaliser sont sphériques ouplanes.

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Instruments stigmatiques par réfraction (dioptrique)

On se place entre 2 milieux homogènes d’indices optiques no et ni

Ai est l’image optique de Ao

Chemin optique constant : noAoI + niIAi = cste

Ces surfaces réfractantes sont appelées ovoïdes de Descartes.

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Instruments stigmatiques par réfraction (dioptrique)

Cas intéressant : constante nulle ⇒ noAoI + niIAi = 0

→ sphère qui divise harmoniquement le segment AoAi

→ les deux points s’appellent les points de Weierstrass.

Un dioptre sphérique est stigmatique uniquement pour un couple de points.

nn'

Ao

Ai

I

Application : objectif de microscope.

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Instruments stigmatiques à surfacesréfléchissantes(catadioptrique)

Considérons un point (B) à l’infini, image optique du point A→ chemin optique constant : AI + IB = cste

Considérons un plan (P), QB = cst, soit AI + IQ = cste→ parabole de foyer A

A

B

I

Q

P

Applications : phares, fours solaires, antenne parabolique.Optique (3) 11 / 51


Miroir plan

C’est un des rares systèmes au stigmatisme rigoureux pour tous les points.

La constante est nulle.

AoAi

I

Ai est l’image virtuelle de Ao.

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Exercice

Déterminer la dimension minimale et la position d’un miroir pour qu’unepersonne se voit de la tête aux pieds.

hmiroir

d

H

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Soluce

Déterminer la dimension minimale et la position d’un miroir pour qu’une personne sevoit de la tête aux pieds.

αhmiroir

d

H

d

tanα =H

2d=hmiroir

d

soit hmiroir = H/2 et le miroir doit être placé en position haute.

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Stigmatisme approché

La plupart des instruments d’optique (lentilles, miroirs sphériques,...) nesont pas stigmatiques ; l’image d’un point est une tache. C’est acceptable sila tache reste petite devant la résolution des détecteurs.

Résolutions de quelques détecteurs :

≈ 4 µm cellules de la rétine de l’œil humain

≈ 5− 30 µm grain d’argent (émulsion photo)

≈ 5 µm au minidétecteur CCD (caméra numérique)

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Stigmatisme : conclusions

Les instruments stigmatiques sont rares !Les lentilles et miroirs sphériques ne sont pas rigoureusementstigmatiques.Les détecteurs (oeil, caméra) supportent un stigmatisme approché.

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Systèmes optiques Dioptre sphérique

Dioptre sphérique

Facilité de réalisation des surfaces sphériques :La majorité des appareils optiques sont constitués uniquement de dioptreset de miroirs sphériques ou plans.

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Géométrie du dioptre sphérique

A B

I

H C

θ1

1n 2n

α

θ2

S

θ0 β

Deuxième loi de Snell-Descartes ?

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Géométrie du dioptre sphérique

A B

I

H C

θ1

1n 2n

α

θ2

S

θ0 β

triangle AIC : θ0 + α+ π − θ1 = π, soit θ1 = θ0 + α,triangle IBC : θ2 + β + π − α = π, soit θ2 = α− βSnell-Descartes θ2 = Arcsin

(n1sinθ1n2

)Optique (3) 19 / 51


Approximation de Gauss

Les points objets et les points images doivent être situés près de l’axeoptique.Les rayons lumineux doivent être peu inclinés par rapport à l’axeoptique ⇒ sin(θ) ≈ θ, cos(θ) ≈ 1, tan(θ) ≈ θ

Limitée à l’approximation de Gauss, l’optique géométrique porte le nomd’optique paraxiale.

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Le dioptre sphérique dans l’approximation de Gauss

A B

I

H C

θ1

1n 2n

α

θ2

S

θ0 β

sin θ1 ≈ θ1 et sin θ2 ≈ θ2

θ0 ≈ tan θ0 =IH

AH≈ IS

AS

α ≈ tanα =IH

HC≈ IS

SC

β ≈ tanβ =IH

HB≈ IS

SB

n1 sin θ1 = n2 sin θ2θ1 = θ0 + α et θ2 = α− β

n1θ1 = n2θ2 Keplern1(θ0 + α) = n2(α− β)n1θ0 + n2β = (n2 − n1)α

n1IS

AS+ n2

IS

SB= (n2 − n1)

IS

SC

n1AS

+n2SB

=(n2 − n1)

SC

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A B

I

H C

θ1

1n 2n

α

θ2

S

θ0 β

n1AS

+n2SB

=(n2 − n1)

SC

Terme de droite correspond à la construction du dioptre :→ SC = R est le rayon de courbure du dioptre.

En écriture algébrique, on prend S comme origine, et on oriente dans la directionde la lumière :

− n1

SA+

n2

SB=

(n2 − n1)R

→ Formule de conjugaison du dioptre (R = SC).

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SC

CS

R>0 R<0

R peut être > 0 ou < 0.

La vergence du dioptre V =(n2 − n1)

R s’exprime en m−1 = δ (dioptrie)

Si V < 0→ dioptre divergent.Si V > 0→ dioptre convergent.

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Foyer image

Si A est à l’infini, les rayons parallèles vont converger en un point foyerimage B.

AF =Bi

Position du foyer image ?

− n1

SA+

n2

SB=

(n2 − n1)SC

= V

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Foyer image

Si A est à l’infini, les rayons parallèles vont converger en un point foyerimage B.

AF =Bi

− n1

SA+

n2

SB=

(n2 − n1)SC

= V

SA = −∞

n2

SFi

= V → SFi =n2V

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Foyer objet

B

F =Ao

Les points issus du foyer objet donnent une image à l’infini.Position du foyer objet ?

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Foyer objet

Les points issus du foyer objet donnent une image à l’infini.

B

F =Ao

− n1

SA+

n2

SB=

(n2 − n1)SC

= V

SB =∞

− n1

SF0

= V → SF0 = −n1V

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Grandissement

B

A

A'

B'

S

α

C

Plan objetPlan image

Le rayon qui passe par le centre du dioptre n’est pas dévié.

tanα =AA′

CA=BB′

CB

Le grandissement est défini par

G =BB′

AA′=CB

CA

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Grandissement

G =BB′

AA′=CB

CA

Or − n1

SA+ n2

SB= (n2−n1)

SC

n1(1

SC− 1

SA) = n2(

1

SC− 1

SB)

n1SA− SCSCSA

= n2SB − SCSCSB

n1CA

SA= n2

CB

SB

G =CB

CA=n1n2

SB

SA

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Grandissement

G =CB

CA=n1n2

SB

SA

Dans le cas du dioptre plan, R = SC =∞, V = 0 soit

− n1

SA+

n2

SB= 0

Soit

G =n1n2

SB

SA= 1

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Exercice n◦1 : Position et taille d’une image

1) Calculer la vergence d’un dioptre convergent en air/verre (n=1,5) derayon 2 cm.

2) Trouver la position de l’image d’un objet situé à 10 cm du dioptre et legrandissement.

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Exercice n◦1 : Position et taille d’une image

1) Calculer la vergence d’un dioptre convergent en air/verre (n=1,5) derayon 2 cm.

V =(n2 − n1)

SC=

1.5− 1

0.02= 25δ

2) Trouver la position de l’image d’un objet situé à 10 cm du dioptre et legrandissement.

+n2

SB= V +

n1

SA

+1.5

SB= 25− 1

0.1= 15

SB =1.5

15= 10cm

G =n1n2

SB

SA=

1

1.5

10

−10= −0.66

(l’image est à l’envers)Optique (3) 32 / 51


Exercice n◦2 : Déformation en présence d’un bloc deplexiglass

On pose un bloc de plexiglass (de taille e et d’indice np) sur une feuilleécrite. Quelle est la position et la taille de l’image ?

enp

A A’

B

S

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Exercice n◦2 : Déformation en présence d’un bloc deplexiglass

n1 = np, n2 = 1 , SA = −e, V = 0la formule de conjugaison donne :

− n1

SA+

n2

SB= V

npe

+1

SB= 0

SB = − e

np

G =n1n2

SB

SA= 1

L’image a la même taille mais on la voit décalée.

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Exercice n◦3 : Poisson rouge

Où voit-on un poisson rouge placé au centre d’un aquarium sphériquerempli d’eau (rayon R) ? Avec quel grandissement ?

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Exercice n◦3 : Poisson rouge

Où voit-on un poisson rouge placé au centre d’un aquarium sphériquerempli d’eau (rayon R) ?

− n1

SA+

n2

SB=n2 − n1SC

n1 = n, n2 = 1 , SA = −R, SC = −R,

n

R+

1

SB= −1− n

R

SB = −R

On voit le poisson au centre de l’aquarium, à sa position réelle.Grandissement ?G = n1

n2

SBSA

= n soit 4/3.

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Systèmes optiques Lentilles minces

Lentilles minces

Milieu d’indice n2 limité par deux dioptres sphériques :le dioptre d’entrée : S1, C1, V1 : A→ I

le dioptre de sortie : S2, C2, V2 : I → B

A BC1

n1 n1n2

S1C2 S2I

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Lentilles minces : Formules de conjugaison

pour le dioptre d’entrée :

− n1S1A

+n2S1I

= V1, G1 =n1n2

S1I

S1A

pour le dioptre de sortie :

− n2S2I

+n1S2B

= V2, G2 =n2n1

S2B

S2I

avec chacun pour vergence :

V1 =n2 − n1S1C1

, V2 =n1 − n2S2C2

Approximation de lentille mince :

S1S2 � S1A, S2B → S1 = S2 = O

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Lentilles minces . . .

Somme des formules de conjugaison :

− n1OA

+n2OI− n2OI

+n1OB

= V1 + V2

La vergence de la lentille est :

V = V1 + V2 = −n1OA

+n1OB

V = (n2 − n1)(

1

S1C1− 1

S2C2

)

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Lentilles minces

Pour une lentille mince dans l’air où n1 = 1 :

V = − 1

OA+

1

OB

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Lentilles minces : grandissement

AA′ → II ′ → BB′

G1 =II ′

AA′, G2 =

BB′

II ′

Grandissement de la lentille :

G =BB′

AA′= G1.G2 =

OB

OA

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Foyers image et objet

Foyer image : image d’un point à l’infini (OA→∞)

OFi =1

V

Foyer objet : objet dont l’image est à l’infini (OB →∞)

OFo = −1

V

Distance focale :OFi = −OFo = f =

1

V

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Exemples

Lentilles convergentes :

Biconvexe Plan-convexe Ménisque schéma

Lentilles divergentes :

Biconcave Plan-concave Ménisque schéma

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Constructions géométriques

3 rayons particuliers :→ celui passant par O n’estpas dévié, si le milieu est le mêmede chaque côté de la lentille→ celui // à l’axe avant lalentille est dévié et le rayonsortant passe par le foyerimage F’→ celui passant par F avant lalentille est dévié et ressort // àl’axe

F F'O

A'

B'

BAα

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Exercice : Lentilles minces

Trouver la position et la taille de l’image par le calcul et par constructiongraphique dans les cas suivants :

Lentille convergente de 50δ, objet de hauteur 1 cm.◦ objet réel à 6 cm,◦ objet réel à 1 cm,◦ objet virtuel à 3 cm.

Lentille divergente de -50δ, objet de hauteur 1cm.◦ objet réel à 2 cm,◦ objet virtuel à 1 cm,◦ objet virtuel à 4 cm.

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Soluces : Lentilles minces convergentes

OB s’obtient à partir de V = − 1OA + 1

OB , le grandissement G = OBOA

Lentille convergente avec V = 50 δ

◦ OA = −6 cm → OB = 3 cm G = −0.5 image réelle

F

O

A'

B'

BA

α

OA= -6 cmf=2 cm =1/50δ

OB= 3 cm

F'

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◦ OA = −1 cm → OB = −2 cm G = 2 image virtuelle

F

O

A'B'

B A

OA= -1 cm

f=2 cm =1/50δ

OB=-2 cm

F'

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◦ OA = 3 cm → OB = 1.2 cm G = 0.4 image réelle

F

OB'

B A

OA= 3 cm

f=2 cm =1/50δ

OB=1.2 cm

F'

A'

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Soluces : Lentilles minces divergentes

Attention pour les lentilles divergentes V < 0, F et F’ sont permutés !◦ OA = −2 cm → OB = −1 cm G = 0.5 image virtuelle

F’

O

A'

B'

B

A

OA= -2 cm

f=-2 cm =-1/50δ

OB= -1 cm

F

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◦ OA = 1 cm → OB = 2 cm G = 2 image réelle

F’

O

A'

B'

B

A

OA= 1 cm

f=-2 cm =-1/50δ

OB=2 cm

F

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◦ OA = 3 cm → OB = −6 cm G = −2 image virtuelle

F’

O

A'

B'

B A

OA= 3 cm

f=-2 cm =-1/50δ

OB= -6 cm

F

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