351rations sur les fractions.doc) - ed.gov.nl.ca · module 5 159 mathématiques 7e année ... la...

$: 351rations sur les fractions.doc) - ed.gov.nl.ca · Module 5 159 Mathématiques 7e année ... La leçon 5.1 du manuel de l’élève modélise brièvement les fractions ayant un dénominateur$
Programme d’études – Mathématiques 7e année Module 5

159

Mathématiques 7e année

Module 5

Les opérations sur les fractions

Durée approximative : 24 heures

[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation


160

Module 5 - Les opérations sur les fractions


161

Module 5 Aperçu Introduction Les élèves se concentreront sur l’acquisition des compétences et des connaissances nécessaires pour additionner et soustraire des fractions. Voici ce qui est important dans ce module :

• Les fractions équivalentes représentent des quantités égales. • Le concept de fraction équivalente est très utile lorsque l’on compare, classe, simplifie et utilise

des fractions. • L’utilisation de matériel de manipulation tel que des bandes et des cercles fractionnaires, des

droites numériques et des blocs-formes constitue un moyen efficace de modéliser l’addition et la soustraction des fractions. Cela permet de créer une base concrète pour un concept traditionnellement difficile.

• L’addition et la soustraction des fractions nécessitent des dénominateurs communs. • Les stratégies d’estimation de ces deux opérations sont fondées sur l’utilisation de points de

repère tels que 0, 4

3,

2

1,

4

1, etc.

Contexte Les élèves modéliseront, à l’aide de matériel de manipulation, l’addition et la soustraction de fractions. On les encouragera à généraliser spontanément des règles fondées sur leurs recherches s’appliquant à ces opérations. Grâce à ces recherches et aux conseils de l’enseignant, les élèves découvriront la nécessité d’utiliser des dénominateurs communs pour additionner, soustraire, comparer et classer les fractions. Ils découvriront l’algorithme d’addition et de soustraction des fractions. Encore une fois, l’estimation jouera un rôle important, car elle aidera les élèves à décider si leurs réponses sont « logiques ». Les élèves appliqueront ces algorithmes à l’addition et à la soustraction de nombres mixtes.

Pourquoi ces concepts sont-ils importants? L’acquisition d’une bonne compréhension de l’addition et de la soustraction des fractions permettra aux élèves :

• De comprendre des situations réelles dans lesquelles on a besoin de fractions, par exemple : L’horloge (« moins le quart »). Électricien (calibre/longueur des fils). Plomberie (épaisseur des tubes, diamètres des tubes, longueur des tubes). Menuisier (épaisseur/longueur/largeur du bois). Ingénieur (seulement des équations mathématiques). Fabrication métallique (longueur/largeur/épaisseur du métal). Impôts/budget (bien entendu, calcul mathématique). Cuisine (mesures telles qu’une DEMI-tasse...). Dans votre voiture (km PAR heure, km PAR litre). Achat en général (1 cent vaut 1/100 de un dollar, écriture de chèques).

• D’être prêt à apprendre et à comprendre des sujets futurs en mathématiques tels que l’algèbre et les proportions.

« Ce n’est pas qu’ils ne peuvent pas voir la solution. C’est qu’ils ne peuvent pas voir le problème. »

[Traduction] G. K. Chesterton (1874 – 1936)

Domaine : Le nombre


162

Résultat d’apprentissage général: Développer le sens du nombre

Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7N5. Démontrer une compréhension de l’addition et de la soustraction de fractions positives et de nombres fractionnaires positifs, avec ou sans dénominateurs communs, de façon concrète, imagée et symbolique (se limitant aux sommes et aux différences positives). [C, CE, L, R, RP, V]

Indicateurs de rendement

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage La leçon 5.1 du manuel de l’élève modélise brièvement les fractions ayant un dénominateur commun au moyen de blocs-formes, d’horloges et de cercles fractionnaires. La démonstration porte principalement sur les fractions ayant des dénominateurs communs, mais on trouve aussi quelques exemples dans lesquels un dénominateur est un simple multiple d’un autre. Les enseignants devront modéliser plusieurs autres exemples au moyen de ce matériel de manipulation afin de s’assurer que l’élève comprend. Les élèves devraient aussi avoir la possibilité de faire des modélisations au moyen de matériel de manipulation, car il s’agit d’expériences pratiques. La leçon 5.2 utilise des bandes fractionnaires et des droites numériques pour répondre aux exigences des mêmes indicateurs. Les élèves devraient être capables d’utiliser les modèles pour comprendre les fractions équivalentes et leur utilité dans l’addition de fractions et la conversion de fractions en leur forme la plus simple. À l’aide des feuilles reproductibles sur les bandes fractionnaires et les droites numériques des pages 64-67 du ProGuide, les élèves combineront des bandes fractionnaires et des droites numériques pour modéliser des sommes et pour illustrer le concept du dénominateur commun.

7N5.2 Déterminer la somme de deux fractions positives ayant des dénominateurs communs.

7N5.1 Modéliser l’addition de fractions positives données, de façon concrète, et les noter de façon symbolique.

7N5.3 Déterminer un dénominateur commun pour les fractions positives d’un ensemble donné.

7N5.4 Simplifier une fraction positive donnée en déterminant le facteur commun au numérateur et au dénominateur.

Domaine: le nombre


163


Stratégies d’évaluation Papier et crayon

Écrivez une phrase d’addition représentant la fraction totale de chaque hexagone ombré. Utilisez une phrase d’addition pour trouver la valeur totale des hexagones ombrés dans chacun des cas.

A.

B.

C.

Observation informelle

Une autre activité semblable consisterait à créer des cartes avec des phrases d’addition et leurs équivalents dans des blocs-formes de la même façon que dans l’exercice Crayon et papier ci-dessus. Chaque élève devrait recevoir une carte avec soit la phrase d’addition ou la représentation du bloc-forme. Les cartes devraient être mélangées et les élèves devraient les associer. Chaque groupe devrait expliquer à un autre groupe ou à la classe pourquoi il s’est regroupé.

Ressources/Notes La Bibliothèque virtuelle en mathématiques offre une activité intéressante sur l’addition en utilisant des dénominateurs communs avec divers modèles au site : http://nlvm.usu.edu/fr/nav/frames_asid_106_g_3_t_1.html?from=category_g_3_t_1.html Chenelière Mathématiques 7*

Leçon 5.1 Leçon 5.2 Module 5: Les opérations sur les fractions GE: ProGuide, p. 4–6 & p. 7–11 FR : 5.13, 5.18, 5.27 FR : 5.10, 5.11, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.19, 5.28 FRO 28, FRO 25 CD-ROM Module 5 FR

ME: p. 178–180

ME: p. 181–185

Cahier d’activités et d’exercices pp. 106–108 pp. 109–111 * Légende GE : Guide d’enseignement (ProGuide) ME : Manuel de l’élève FR : Feuille reproductible FRO : Feuille reproductible- Outil

Domaine : Le nombre


164


Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7N5. Démontrer une compréhension de l’addition et de la soustraction de fractions positives et de nombres fractionnaires positifs, avec ou sans dénominateurs communs, de façon concrète, imagée et symbolique (se limitant aux sommes et aux différences positives). [C, CE, L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Dans les leçons précédentes, les élèves ont utilisé des modèles pour faire des additions en se servant de dénominateurs communs. Ils ont aussi modélisé des dénominateurs différents quand l’un des dominateurs était un multiple de l’autre. La leçon 5.3 établit l’algorithme d’addition des fractions. L’addition des fractions ayant des dénominateurs différents qui ne sont pas des simples multiples les uns des autres nécessite que les élèves multiplient le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même nombre. Exemple :

L’idéal serait que les élèves utilisent le plus petit commun multiple des dénominateurs différents.

Selon des points de repère (presque 1

0, ,12

) établis dans le module

3, les élèves estimeront la solution et utiliseront leur estimation pour vérifier si la réponse obtenue à l’aide de l’algorithme est logique ou non. (Ce développement se poursuit à la page suivante…)

7N5.5 Modéliser l’addition de fractions positives ayant des dénominateurs différents, de façon concrète, et les noter de façon symbolique.

7N5.6 Déterminer la somme de deux fractions positives ayant des dénominateurs différents.

Domaine: le nombre


165


Stratégies d’évaluation

Crayon et papier

1. Créez trois phrases d’addition qui donnent la même somme que 6 3

12 12+ . Vous ne pouvez pas utiliser des dénominateurs

communs dans les phrases que vous créez. 2. Carré magique. La somme de chaque rangée, colonne et

diagonale de ce carré magique doit être égale à 1. Trouvez les valeurs manquantes.

Carré magique Solution 5

12

7

12

1

3

1

4

1

6

5

12

5

12

7

12

1

3

1

12

1

4

1

4

1

2

3. Un tangram est un casse-tête carré composé de sept formes.

A. Supposez que le morceau A est 1

4. Quelles sont les

valeurs des morceaux B, C, D, E, F et G? B. Quelle est la somme de A et B? C. Si vous soustrayez D de l’ensemble du casse-tête, quelle

valeur reste-t-il? D. Quels sont les deux morceaux du tangram dont la somme

est égale à la valeur de C? E. Inventez un problème et résolvez-le.

Ressources/Notes

Chenelière Mathématiques 7

Leçon 5.3 Module 5: Les opérations sur les fractions GE: ProGuide, p. 12–15 FR : 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.20, 5.29 FRO 27 FRO 28 CD-ROM Module 5 FR

ME: p. 186–189

Cahier d’activités et d’exercices : p. 112–114

Domaine : Le nombre


166



Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Voici un autre exemple d’addition de fractions ayant des dénominateurs différents. Trouvez la somme des fractions :

6

1

4

3+

Les élèves devraient se rendre compte que 4

3est un peu plus qu’un

demi et que 6

1 est un peu moins qu’un demi, donc la réponse

devrait être proche de 1. Ils peuvent aussi utiliser l’algorithme précédent pour calculer :

12

1112

2

12

92

2

6

1

3

3

4

36

1

4

3

=

+=

×+×=

+

Enfin, ils devraient se demander si leur réponse de 12

11 est

raisonnable par rapport à leur estimation de 1. Remarque : Quand un dénominateur commun doit être trouvé, le dénominateur commun choisi devrait être le plus petit dénominateur commun. La multiplication des dénominateurs des fractions additionnées ou soustraites ne garantit pas l’obtention du plus petit dénominateur commun. Le plus petit dénominateur

commun de 6

1

4

3+ est 12 et non pas 24.

7N5.5 Modéliser l’addition de fractions positives ayant des dénominateurs différents, de façon concrète et les noter de façon symbolique. (suite)

7N5.6 Déterminer la somme de deux fractions positives ayant des dénominateurs différents. (suite)

Domaine: le nombre


167


Stratégies d’évaluation Rendement

Utilisez des blocs-formes pour créer un motif sur du papier triangulé (feuille reproductible-outil 27). Utilisez ensuite l’addition de fractions pour nommer le motif. Envisagez d’employer le motif de fleurs illustré à l’annexe 5-A (Programme d’études en anglais). Il est possible d’avoir des phrases d’addition différentes pour nommer un même motif.

Journal

1. Si un problème nécessite que vous additionniez des quarts et des tiers, est-il possible que la somme soit des sixièmes? Pourquoi cela est-il possible ou non? Vous pouvez utiliser un exemple ou un diagramme pour faciliter l’explication de votre réponse.

2. Si un problème nécessite que vous additionniez des quarts et

des tiers, est-il possible que la somme soit des septièmes? Pourquoi cela est-il possible ou non? Vous pouvez utiliser un exemple ou un diagramme pour faciliter l’explication de votre réponse.

Entrevue

Un élève était absent de la classe hier. Aujourd’hui, lors de la

résolution d’un problème, il a suggéré que 5 5 10

6 8 14+ = . Comment

pourriez-vous le convaincre qu’il ne s’agit pas d’un résultat raisonnable? Jeu/Activité

Se reporter à l’annexe 5-B pour le jeu Connect Three (Programme

d’études en anlais).

Ressources/Notes


Leçon 5.3 (suite)

Domaine : Le nombre


168


Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7N5. Démontrer une compréhension de l’addition et de la soustraction de fractions positives et de nombres fractionnaires positifs, avec ou sans dénominateurs communs, de façon concrète, imagée et symbolique (se limitant aux sommes et aux différences positives). [C, CE, L, R, RP, V] (suite)


Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

La leçon 5.4 du manuel de l’élève commence par la soustraction de fractions ayant des dénominateurs différents au moyen de blocs-formes. Les élèves apprendront que l’addition et la soustraction de fractions ayant des dénominateurs différents s’effectuent selon le même algorithme. L’enseignant voudra peut-être modéliser plusieurs exemples en se servant de cercles fractionnaires ou de bandes fractionnaires.

Par exemple : 4 1

5 5−

Dans ce cas, les élèves doivent comprendre qu’ils retirent tout simplement une partie d’un ensemble de quantités équivalentes.

On peut en faire une démonstration en modélisant 4

5 au moyen de

bandes fractionnaires ou de cercles fractionnaires et en retirant une

portion représentant1

5. La réponse est la portion restante de

3

5.

La soustraction de fractions ayant des dominateurs différents qui ne sont pas des multiples simples les uns des autres nécessite que les élèves multiplient le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même nombre. Ceci est identique à l’algorithme utilisé pour l’addition.

L’idéal serait que les élèves utilisent le plus petit multiple commun (PPMC) des dénominateurs différents.

Selon les points de repère (proche de 1

0, ,12

) établis dans le

module 3, les élèves estimeront la solution et utiliseront leur estimation pour vérifier si le résultat obtenu avec l’algorithme est raisonnable.

7N5.7 Modéliser la soustraction de fractions positives de façon concrète et les noter de façon symbolique.

7N5.8 Déterminer la différence de deux fractions positives ayant des dénominateurs communs.

7N5.9 Déterminer la différence de deux fractions positives ayant des dénominateurs différents.

Domaine: le nombre


169


Stratégies d’évaluation Observation

Demandez aux élèves d’utiliser des diagrammes ou du matériel concret pour justifier cette information. 3 1 3 1 2 1

8 4 8 4 4 2

−− = = =

−

Observation informelle

Les élèves peuvent jouer au jeu Le tic-tac-toe des fractions. Il s’agit d’un jeu très utile pour l’addition et la soustraction de fractions. Voir ProGuide (page V) et les feuilles reproductibles 5.8a, 5.8b et 5.8c.

Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7

Leçon 5.4 Leçon 5.5 Module 5: Les opérations sur les fractions GE: ProGuide, p. 17–20 & p. 21–24 FR : 5.12, 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.21, 5.30 FR : 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.22, 5.31 CD-ROM Module 5 FR FRO 24 et FRO 28

ME: p. 191–194

ME: p. 195–198

Cahier d’activités et d’exercices : p. 115–117 p. 118–120

Domaine : Le nombre


170




Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Trouvez la différence entre les fractions suivantes :

3

1

9

4−

Les élèves devraient penser que 9

4 est un peu moins qu’un demi et

que 3

1 est aussi un peu moins qu’un demi. La différence entre ces

deux fractions devrait par conséquent être proche de 0 ou juste un peu supérieure à 0.

9

19

349

3

9

43

3

3

1

9

43

1

9

4

=

−=

−=

×−=

−

Finalement, ils devraient se demander si le résultat de 9

1 est

raisonnable par rapport à leur estimation de 0.

7N5.7 Modéliser la soustraction de fractions positives, de façon concrète, et les noter de façon symbolique. (suite)

7N5.8 Déterminer la différence de deux fractions positives ayant des dénominateurs communs. (suite)

7N5.9 Déterminer la différence de deux fractions positives ayant des dénominateurs différents. (suite)

Domaine: le nombre


171




Leçon 5.4 Leçon 5.5 (suite)

Domaine : Le nombre


172




Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les modèles de l’addition et de la soustraction ayant été étudiés par les élèves, les mêmes modèles et compétences peuvent être utilisés dans l’étude des fractions mixtes. Les leçons 5.6 et 5.7 explorent la soustraction de nombres mixtes au moyen de cercles fractionnaires, de droites numériques et de bandes fractionnaires. La leçon 5.7 propose aussi des réglettes Cuisenaire comme modèle pour la soustraction des fractions mixtes. Pour utiliser ce modèle, les enseignants peuvent cliquer sur le lien figurant dans la section des ressources du présent document. Lorsqu’ils additionnent ou soustraient des fractions mixtes, les élèves peuvent procéder de diverses façons. Ils peuvent choisir de conserver les fractions mixtes sous leur forme originale ou ils peuvent les convertir en fractions impropres. Pour l’addition :

Forme de la fraction mixte Forme de la fraction impropre

18

13

...54,36,1818

5518

33

18

223

3

6

11

2

2

9

116

11

9

116

51

9

21

=

=

+=

×+×=

+=

+

(Ce développement se poursuit à la page suivante…)

7N5.11 Déterminer la somme ou la différence de deux nombres fractionnaires ayant des dénominateurs communs.

7N5.10 Modéliser l’addition et la soustraction de nombres fractionnaires ayant des dénominateurs communs de façon concrète et les noter de façon symbolique.

7N5.12 Modéliser l’addition et la soustraction de nombres fractionnaires ayant des dénominateurs différents de façon concrète et les noter de façon symbolique.

7N5.13 Déterminer la somme ou la différence de deux nombres fractionnaires ayant des dénominateurs différents.

Domaine: le nombre


173


Stratégies d’évaluation Entrevue

Soit les deux problèmes suivants : 3

14

− et 3

110

− .

Sans faire de calculs, expliquez comment vous pourriez déterminer quel est le plus grand des deux résultats. Journal

Décrivez au moins deux façons de calculer1 5

4 22 6

− .

Ressources/Notes Une introduction sur les réglettes Cuisenaire se retrouve au site (anglais): http://teachertech.rice.edu/Participants/silha/Lessons/cuisen2.html


Leçon 5.6 Leçon 5.7 Module 5: Les opérations sur les fractions GE: ProGuide, p. 25–29 & p. 30–34 FR : 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.23, 5.32 FR : 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.24, 5.33 FRO28 CD-ROM Module 5 FR

ME: p. 199–203

ME: p. 204–208

Cahier d’activités et d’exercices : p. 121–122 p. 123–124

Domaine : Le nombre


174




Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Pour la soustraction :

Forme de la fraction mixte Forme de la fraction impropre

21

141

21

122

7

7

3

21

3

3

7

42

3

21

7

42

−=

×−×=

−

Les élèves éprouveront des difficultés avec 12–14. Ils devraient penser de la façon suivante :

21

141

21

12

21

211 −etet ,

ce qui permet de calculer :

21

1921

141

21

331

=

−

21

1921

35

21

547

7

3

5

3

3

7

183

5

7

183

21

7

42

=

−=

×−×=

−=

−

7N5.11 Déterminer la somme ou la différence de deux nombres fractionnaires ayant des dénominateurs communs. (suite)

7N5.10 Modéliser l’addition et la soustraction de nombres fractionnaires ayant des dénominateurs communs, de façon concrète, et les noter de façon symbolique. (suite)

7N5.12 Modéliser l’addition et la soustraction de nombres fractionnaires ayant des dénominateurs différents de façon concrète et les noter de façon symbolique.(suite)

7N5.13 Déterminer la somme ou la différence de deux nombres fractionnaires ayant des dénominateurs différents. (suite)

Domaine: le nombre


175



Ressources/Notes Une introduction sur les réglettes Cuisenaire se retrouve au site (en anglais) : http://teachertech.rice.edu/Participants/silha/Lessons/cuisen2.html


Leçon 5.6 leçon 5.7 (suite)

Domaine : Le nombre


176



Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Tout au long des sections sur l’addition et la soustraction des fractions, il est nécessaire que les élèves simplifient leurs réponses. Les réponses simplifiées peuvent être des fractions propres, des fractions impropres ou des nombres mixtes dans leur forme la plus simple, suivant le contexte du problème.

Exemple : Kyra prépare des biscuits. Elle a 1

24

sacs de pépites de

chocolat. Elle ajoute 2

13

des sacs de pépites dans sa pâte à

biscuits. a) Quelle fraction de la quantité totale de sacs de pépites de chocolat reste-t-il?

b) Kyra décide alors d’ajouter aussi 11

12 sac de pépites de caramel

écossais à la pâte. Combien de sacs de pépites Kyra utilise-t-elle au total dans la préparation de ses biscuits?

Pour la partie a), les élèves devraient se dire que « 1

24

sacs » est

un peu plus que deux sacs. Kyra utilise ensuite 2

13

sacs, ce qui est

un peu moins que deux sacs. Par conséquent, il lui restera deux petites quantités ou environ la moitié d’un sac. Ensuite ils calculent :

12

71220

1227

4

4

3

5

3

3

4

935

49

3

21

4

12

=

−=

×−×=

−=

−

Il reste à Kyra 7

12sac de

pépites de chocolat.

Les élèves doivent examiner leur réponse pour déterminer si elle est raisonnable. Dans ce cas, sept douzièmes est très proche d’une moitié.

(Ce développement se poursuit à la page suivante…)

7N5.14 Simplifier la solution d’un problème qui comprend la somme ou la différence de deux fractions positives ou de nombres fractionnaires.

7N5.15 Résoudre un problème donné comportant l’addition ou la soustraction de fractions positives ou de nombres fractionnaires et vérifier la vraisemblance de la solution.

Domaine: le nombre


177


Stratégies d’évaluation Journal

Est-il possible de trouver deux nombres mixtes dont l’addition donne un entier? Expliquez votre réponse et donnez un exemple justifiant votre explication. Cayon et papier

1. Andrew joue de la guitare dans un orchestre de rock. Dans un

morceau qui a 36 mesures de longueur, il joue 1

42

mesures,

s’arrête pendant 3

88

mesures, joue 16 autres mesures, s’arrête

pendant 1

24

mesures et joue la dernière partie. Combien y a-t-il

de mesures dans la dernière partie?

2. Cette semaine, Mark s’est exercé au piano pendant 1

32

h, a joué

au soccer pendant 1

64

h et a parlé au téléphone pendant 1

43

h.

A. Combien d’heures Mark a-t-il passé à s’exercer au piano et à jouer au soccer?

B. Combien d’heures de plus Mark a-t-il joué au soccer plutôt que de parler au téléphone?



Domaine : Le nombre


178


Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 7N5. Démontrer une compréhension de l’addition et de la soustraction de fractions positives et de nombres fractionnaires positifs, avec ou sans dénominateurs communs de façon concrète, imagée et symbolique (se limitant aux sommes et aux différences positives). [C, CE, L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

Pour la partie b), les élèves devraient penser que 1

24

sacs est un

peu plus que deux sacs et que 11

12 est presque un sac plein. Par

conséquent, Kyra utilise un peu plus que 3 sacs de pépites au total. Ensuite, ils calculent :

Kyra a utilisé en tout 1

36

sacs de pépites.

On remarquera que la réponse finale doit être simplifiée. Les élèves doivent examiner leur réponse pour déterminer si elle est raisonnable. Dans ce cas, la réponse est très proche de l’estimation.

7N5.14 Simplifier la solution d’un problème qui comprend la somme ou la différence de deux fractions positives ou de nombres fractionnaires. (suite)

7N5.15 Résoudre un problème donné comportant l’addition ou la soustraction de fractions positives ou de nombres fractionnaires, et vérifier la vraisemblance de la solution. (suite)

Domaine: le nombre


179


Pistes d’évaluation




180

351rations sur les fractions.doc) - ed.gov.nl.ca · module 5 159 mathématiques 7e année ... la...

Documents