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La statique Est l’étude des forces qui s’exercent sur un objet en équilibre et au repos … ou presque au repos (situation "quasi-statique") !

Ex.: étude des leviers. * Notion de "solide rigide" par rapport à "point matériel" * Notion de "moment des forces" * Notion de "centre de gravité"

3 v7

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Le moment des forces .1

Question: dans quelles conditions un objet se met à tourner autour d'un point ?

F2

F1

fixation (pivot)

Quelle formulation mathématique peut-on utiliser pour décrire cette situation ?

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Le moment des forces .2

F

r

on introduit le "moment" τ de F par rapport au point O: τ est donc lié au produit F r

O

point d'application

L'objet ne tourne pas si F=0 ou r=0

pivot

sens de rotation de l'objet

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Le moment des forces .3

F1 r

O

F2

r

O

F1 aura moins d'effet que F2 => seule la composante de F orthogonale à r, F⊥, met le corps en rotation: F⊥ = F sin( angle entre F et r ) = F sin(φ)

φ2 φ1

Dans le plan:

F r

O φ

F⊥

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Le moment des forces .4

F r

O

θ

τ = F r sin θ

Le moment est maximal quand θ = 90° ( ou 270°)

en conclusion, la formule qui semble convenir est:

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Le moment des forces .5

F r

O

θ

module: τ = F r sin θ τ  = r × F proposition:

Dans ce produit vectoriel, la direction de τ représente l'axe selon lequel le corps va tourner, poussé par la force.

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Moment des forces. Exemple 1

Fa Fb

a b

N

N - Fa - Fb = 0 N = Fa + Fb aFa + 0N - bFb = 0 aFa = bFb

P Q R

moment par rapport à Q

recherche de l'équilibre de la balançoire:

1) Somme des forces = 0 2) Somme des moments = 0

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Moment des forces. Exemple 1bis

Fa Fb

a b

N

N - Fa - Fb = 0 N = Fa + Fb 0Fa + aN - (a+b)Fb = 0 aN = (a+b)Fb a(Fa + Fb) = (a+b)Fb => aFa = bFb

P Q R

moment par rapport à P

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Moment de forces. Exemple 2

Biceps Humérus

Radius/Cubitus

E

T

w

poids ~ 2 kg a

b

a ~ 0.05 m b ~ 0.15 m

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Centre de gravité

Le moment produit par le poids d'un objet par rapport à un point quelconque est égal à celui d'un objet de même poids mais concentré dans un point: le Centre de Gravité (CG) de l'objet.

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Centre de gravité, deux corps

a b

wa wb

Centre de gravité: awa = bwb => a/b = wb/wa

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Centre de gravité, plusieurs corps X

0 w1 w2

w3

x1 x2 x3 xCG

Par la définition du CG: x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + ... = xCG(w1 + w2 + w3 + ...) = xCGwtot

wtot

xCG = x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + ...

wtot =

Σ xi wi

Σ wi

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C.G. de N points matériels

x

y

ri

rCG = Σ miri

Σ mi

mi : masse du point i ri : sa position

mi N

i=1

z

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C.G. d'un corps continu

x

y

r

rCG =

rρdV

ρdV: masse de l'élément de volume dV au point r

dV

z

ρdV

volume

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Couple de forces Deux forces de même grandeur mais de direction opposée sont appliquées a un objet de façon à créer un moment non nul.

z1

z2

F1

F2 F1 = - F2 | F1 | = | F2 | = F

€

τ = τ1 + τ2 = z1F − z2F =

= (z1 − z2)F = −dF

d

x y

dans l'exemple de la figure: