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CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES

Expressions algbriques Transformations dexpressions algbriques en vue dune rsolution de problme.

Associer un problme une expression algbrique. Identifier la forme la plus adquate (dveloppe, factorise) dune expression en vue de la rsolution du problme donn. Dvelopper, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples.

Les activits de calcul ncessitent une certaine matrise technique et doivent tre loccasion de raisonner. Les lves apprennent dvelopper des stratgies sappuyant sur lobservation de courbes, lanticipation et lintelligence du calcul. Le cas chant, cela saccompagne dune mobilisation claire et pertinente des logiciels de calcul formel.

quations Rsolution graphique et algbrique dquations.

Mettre un problme en quation. Encadrer une racine dune quation grce un algorithme de dichotomie.

Pour un mme problme, combiner rsolution graphique et contrle algbrique. Utiliser, en particulier, les reprsentations graphiques donnes sur cran par une calculatrice, un logiciel.

Inquations Rsolution graphique et algbrique dinquations.

Modliser un problme par une inquation. Rsoudre une inquation partir de ltude du signe dune expression produit de facteurs du premier degr. Rsoudre algbriquement les inquations ncessaires la rsolution dun problme.

Pour un mme problme, il sagit de : combiner les apports de lutilisation dun graphique et dune rsolution algbrique, mettre en relief les limites de linformation donne par une reprsentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynmes de degr 2

Fonctions de rfrence Variations de la fonction carr. Fonctions polynmes de degr 2.

Connatre les variations de la fonction carr. Reprsenter graphiquement la fonction carr. Connatre les variations des fonctions polynmes de degr 2 (monotonie, extremum) et la proprit de symtrie de leurs courbes.

En particulier, faire remarquer que la fonction carr nest pas linaire. Les rsultats concernant les variations des fonctions polynmes de degr 2 (monotonie, extremum) et la proprit de symtrie de leurs courbes sont donns en classe et connus des lves, mais peuvent tre partiellement ou totalement admis. Savoir mettre sous forme canonique un polynme de degr 2 nest pas un attendu du programme

I. EXPRESSIONS ALGEBRIQUES Dans une expression algbrique, certains nombres sont reprsents par des lettres. On ne peut donc pas les calculer. Mais on peut les transformer (rduire, dvelopper, factoriser) pour mieux les exploiter. a. Distributivit Pour tous nombres k, a et b, on a :

Dvelopper

k(a + b) = ka + kb

Factoriser Exemples :

5(2x + 3) = 10x + 15 3x(1 2x) = 3x 6x 2x(7x + 3) = 14x3 + 6x b. Double distributivit Pour tous nombres a, b, c et d on a :

Dvelopper

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Factoriser Exemple : f(x) = (4x 3)(2x + 5) f(x) = 8x + 20x 6x 15 f(x) = 8x + 14x 15

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c. Identits remarquables Pour tous nombres a et b on a :

Dvelopper

(a + b) = a + 2ab + b (a b) = a 2ab + b (a b)(a + b) = a b

Factoriser

d. Polynme du second degr On appelle polynme du second degr toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres relles, et a 0. Exemples :

A(x) = x + 8x 9 et B(x) = -x + 52 x + 3

7 sont des polynme du second degr.

Le polynme A(x) peut scrire sous plusieurs formes : - Forme dveloppe : A(x) = x + 8x 9 - Forme factorise : A(x) = (x 1)(x + 9) - Forme canonique : A(x) = (x + 4) 25

On appelle forme canonique dun polynme du second degr toute criture o la variable x napparat quune seule fois. Exemple : On veut mettre sous forme canonique A(x) = x + 8x 9. A(x) = x + 8x 9 A(x) = x + 2 4 x 9 (1) On fait apparatre une expression du type a 2ab A(x) = x + 2 4 x + 4 4 9 (2) On rajoute/enlve un + b pour pouvoir factoriser. A(x) = x + 24x + 4 16 9 (3) On reconnat une identit remarquable que lon va factoriser. A(x) = (x + 4) - 25 (4) On obtient A(x) sous forme canonique. Remarque : Tout polynme peut tre mis sous forme dveloppe ou canonique. Mais tous ne sont pas factorisables (en ltat actuel de nos connaissances). II. EQUATIONS ET INEQUATIONS PRODUIT a. Equations du type (ax +b)(cx + d) = 0 Thorme : Un produit A B est nul si et seulement si A = 0 ou B = 0

Autre formulation : A B = 0 A = 0ouB = 0

Exemple :

(x + 3)(x 5) = 0 x + 3 = 0oux 5 = 0

x = -3oux = -5

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b. Equations du type x = a Thorme : Soit a > 0; lquation x = a admet exactement deux solutions, a et - a Dmonstration :

x = a x a = 0 x a = 0 (x a)(x + a)

x a = 0oux + a = 0

x = aoux = - a

Exemple :

x = 3 quivaut x = 3oux = - 3

Attention : il ne faut pas confondre - 3 (qui est loppos de 3) et -3 qui nexiste pas ! Remarques :

- Si a = 0, lquation x = a quivaut x = 0 . - Si a < 0, lquation x = a na aucune solution dans Y.

c. Signe dun produit Le signe dun produit est dtermin par le nombre de facteurs ngatifs. - Si ce nombre est pair, alors le produit est positif. - Si ce nombre est impair, alors le produit est ngatif.

Exemple : Etude du signe de A = (3x 2)(-4x 7) laide dun tableau de signe :

x - 74

23

3x 2 + -4x 7 +

(3x 2)(-4x 7) + Conclusion :

A est positif quand x [- 74 ; 2

3]

A est ngatif quand x ]- ; - 74] [2

3 ; +[

signifie Union ou runion de deux intervalles. d. Inquation produit Pour rsoudre ces inquations en procdant de la faon suivante :

1. On se ramne une inquation dont le second membre est nul. 2. On factorise lautre membre. 3. On dresse un tableau de signe. 4. On en dduit lensemble des solutions de linquation.

Exemple :

La solution de linquation (3x 2)(-4x 7) > 0 est lintervalle ]- 74 ; 2

3[

0

0

0 0

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III. FONCTION CARRE Tout nombre rel a un carr. On appelle fonction carr la fonction f : x x dfinie sur ]- ; +[. a. Sens de variation de la fonction Thorme : La fonction f : x x est croissante sur [0; +[ La fonction f : x x est dcroissante sur ]- ; 0] Dmonstration 1 : Soit a et b positifs tels que a < b Si on multiplie par a positif : a < ab. Et si on multiplie par b positif : ab < b. donc :

a < ab < b Donc f est croissante sur [0; +[

Soit a et b ngatifs tels que a < b Si on multiplie par a ngatif : a > ab. Et si on multiplie par b ngatif : ab > b. donc :

a > ab > b Donc f est croissante sur ]- ; 0[

ou Dmonstration 2 : Soit a et b rels tels que a < b. Etudions le signe de f(b) f(a) = b a = (b a)(b + a) Dans tous les cas b a > 0 car a < b. Si a et b sont positifs alors b + a > 0 donc (b a)(b + a) > 0 donc f est croissante sur [0; +[

Si a et b sont ngatifs alors b + a < 0 donc (b a)(b + a) < 0 donc f est dcroissante sur ]- ; 0[

Conclusion : b. Courbe reprsentative Daprs le tableau de variation, la courbe reprsentatif de la fonction f : x x admet pour minimum 0 quand x vaut 0. Pour tout x, f(-x) = (-x) = x = f(x) On dit alors que cette fonction est paire, ce qui signifie quun nombre et son oppos ont toujours la mme image. Graphiquement, cela signifie que pour toute valeur de x, les points de la courbe M(x ; f(x)) et M(-x ; f(-x)) ont la mme ordonne, et sont donc symtriques par rapport laxe des ordonnes. Pour construire la courbe, on va choisir quelques valeurs positives de x, puis on compltera le trac par symtrie par rapport laxe des ordonnes :

x 0 1 2 3 f(x) 0 1 4 9

x

f

- +0

0

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Remarque :

11 2

4 : la fonction carr nest pas linaire.

4 12 1

9 43 2

: laccroissement nest pas linaire, donc la fonction carr nest pas affine.

Cette courbe sappelle une parabole. Remarques : Si 0 < x < 1, on a x < x : la courbe est au dessous de la droite y = x Si x > 1, on a x > x : la courbe est au dessus de la droite y = x Toute quation du type x = a admet :

Si a > 0, deux solutions a et - a Si a = 0, une solution unique : 0 Si a < 0, aucune solution

IV. FONCTION POLYNOME DU SECOND DEGRE a. Dfinition On appelle fonction du second degr toute fonction dfinie sur ]- ; +[ par :

f(x) = ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres relles, et a 0. On a vu quune telle fonction peut tre crite sous la forme canonique f(x) = a(x )2+

y = a

y = a y = a- a a 2 solutions 1 seule solution Pas de solution

O I

J

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b. Sens de variation On admettra que le sens de variation dune fonction du second degr dpend du signe de a. Si a > 0, f admet un minimum quand x = Si a < 0, f admet un maximum quand x = c. Courbe reprsentative La courbe (V ) reprsentant une fonction du type du f(x) = ax2 + bx + c = a(x )2+ est une parabole de sommet S( ; ) Si a > 0, la parabole est dans le mme sens que la fonction carr. Si a < 0, la parabole est retourne Remarques : - Cette fonction nest pas paire, mais elle admet pour axe de symtrie la droite parallle (OJ) passant par S. - Le point dintersection de (V ) avec (OJ) est le point C de coordonnes (0 ; c) - Les points dintersections ventuels de (V ) avec (OI) sont les points A(x1 ; 0) et B(x2 ; 0) o x1 et x2 sont les solutions de lquation f(x) = 0 (que lon rsout en factorisant f(x) )

x

f

- +

x

f

- +

Si a > 0 Si a < 0

O I

J

c

S