2013 mp ccp physique i-corrigé

8/19/2019 2013 MP CCP Physique I-corrigé

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C. Caire CCP 2013 Physique I Corrigé 1/10 Ce fichier est issu du site http://sites.google.com/site/concourscpgecorrections/home Toute copie sur un autre site est illégale et s’est faite sans l’aval de l’auteur.

CCP – Physique IProposition de corrigé

Mécanique

I U n e m o t o e t so n co n d u c t eu r1) Roulement sans glissement : la vitesse des points de contact des roues avec le sol est égalé à

celle du sol, donc nul. On exploite le torseur cinématique aussi connu sous le nom de relation

de Varignon : ∧ ou 0 Soit sous forme algébrique : .Remarque : l’énoncé fait explicitement usage du vocabulaire de résultante et de moment quisont spécifiques des torseurs, j’en use donc dans ce corrigé mais on peut bien sûr s’en passer,c’est-à-dire en faire sans le savoir tel un M. Jourdain moderne.

2)

Le moment cinétique des roues est déterminé sur le barycentre, il se confond donc avec lemoment cinétique barycentrique des roues dans leur référentiel barycentrique respectif.

Référentiel dans lequel chaque roue est un solide en simple mouvement de rotation.Nous avons donc immédiatement : ∗ et ∗ .On peut aussi appliquer le th de Koenig, bien sûr..mais comme il ne sera bientôt plus auprogramme, n’en prenez pas l’habitude..

3) Le moment cinétique en G de l’ensemble moto+conducteur+roues est la somme des momentscinétiques de trois solides distincts : le « solide » moto+conducteur et les « solides » roues.Pour l’ensemble moto+ conducteur que nous identifierons par l’indice 3, nous sommes en G,point qui est en translation par rapport au barycentre propre du dit solide, que nousnommerons .Le moment cinétique barycentrique de 3 est nul puisque ce solide ne tourne pas. Nous avons

∧ ∧ De même ∧ et ∧ On somme pour obtenir le moment cinétique global : ∧ On identifie sans peine le dernier terme à la somme des poids barycentrique qui est égale à 0 , soit :

4)

TRD(s) appliqués sur la roue 1+roue2+solide 3, on introduit les réactions des axes sur les

roues que nous noterons pour chacune des roues, nous obtenons :roue 1 roue 2 Solide 3 On somme les trois TRD pour obtenir : Soit le système algébrique : Résultat immédiat si on applique le TRD sur l’ensemble des trois systèmes, si toutefois on veutmodéliser l’action motrice du moteur il est « bon » d’évoquer les actions sur les roues..


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5) On applique le TMD sur l’ensemble du système. ∑ L’ensemble des forces étant dans le plan (xOy) l’équation se résume à une équation scalairesur l’axe Oz avec , il ne reste plus qu’à substituer les vitessesangulaires pour satisfaire les exigences de l’énoncé avec :

6) Roue avant en mode libre (pas de couple moteur).

On applique le TMD : ∑ =>

« Logiquement », la roue arrière est motrice et il faut intégrer dans son bilan de TMDl’existence d’un couple moteur Γ , nous aurions alors Γ

7) Nous avons et => 1 Il nous reste à résoudre le système Soit :

8) Posons 0.1, la seule roue qui peut décoller du sol est la roue avant comme le confirme

l’approche analytique et la pratique usuelle si 0.Calculons 86.9 . 0, la valeur est positive, la roue avant restera donccollée au sol.

9)

Calculons 24 et 790 , soit || 0.3 quotient effectivement inférieur au coefficientde frottement introduit, ce qui démontre le non glissement.

10)

Cf question 6

11) Nous avons Γ 0.Pas de mise en forme requise, toute forme est donc acceptable…La puissance est le produit d’un terme constant et d’une fonction linéaire, elle croit donclinéairement avec le temps.

12) Changement de perspective :Le conducteur a soulevé sa moto, elle fait désormais un angle avec l’horizontale, bien que lachose ne soit pas claire dans l’énoncé, nous supposerons ici que l’angle évoqué est constant.Cette hypothèse implicite repose sur le fait que dans le cas contraire il nous faudrait connaîtrele moment d’inertie moto+conducteur qui n’est à aucun moment fourni dans l’énoncé. Lapratique de ce genre de devinettes nuit à l’essence du problème, nous apprécierions l’oubli de

cette « tradition » dans les futures épreuves.Le moment cinétique se résume à celui de la roue 2 :

13) Les forces de frottement de l’air étant toujours négligées, il ne reste que le poids et la réactiondu sol au niveau de la roue 2, soit :∑ . sin cos cos sin Les paramètres apparaissant dans les parenthèses sont les distances de « bras de levier »,soit la distance horizontale cos sin et verticale sin cos séparantle point de contact du barycentre G.


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14) Le théorème du moment dynamique nous donne l’équation : sin cos cos sin Le TRD nous donne : et .Soit sin cos cos sin.L’équation est unique et admet une solution, toutefois ce n’est pas celle que suggère d’utiliserl’énoncé.Il préfère se servir de sin cos cos sin.Soit

sin cos cos sin.

Une recherche numérique nous donne un zéro pour 19.10°, ce qui est conforme augraphe fourni dans l’énoncé.Le zéro nous assure d’une vitesse angulaire de la roue constante…ce qui est en conflit avecl’hypothèse d’accélération constante.

Il faut en fait coupler cette courbe avec celle obtenu par le TRD : D’où la figure :

Le point d’intersection correspond à un angle 17.9°.C’est la valeur recherchée.

15) Nouveau changement de perspective :

On revient à l’état de la question 11 et on ajoute une force de frottement .L’étudiant avisé saura, bien sûr, s’y retrouver et évitera de confondre les résultats établis desq1à11 avec ceux des 12à14, n’est-il pas ?

Nous avons : La remarque sur la « ligne d’action » horizontale permet de s’affranchir du moment de cetteforce de frottement en G (il est nul) soit : et avec Γ si on considère que le frottement a un moment nul sur lesroues. Quelques substitutions plus tard nous obtenons :

1

17 18 19 20 1 22Q en degrés

-100

-50

50

100Moment

17 18 19 20 1 22Q en degrés

-100

-50

50

100Moment


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16) S’il existe une vitesse limite elle vérifie : 0, soit ℓ

Pour démontrer qu’il existe une vitesse limite, le moyen le plus rapide est de résoudrel’équation, ce qui est fait par la suite.

17) On normalise l’équation précédente =>

ℓ 0 On identifie :

18) On résout par séparation de variable :

ℓℓ

ℓ La partie de gauche se décompose en élément simple

, on pourra aussireconnaitre la fonction arcth u, soit ℓ ℓ Soit en variables réduites :

I I P o i n t m a tér i e l d a n s u n f l u i d e

1) On étudie une particule dans un fluide et dans un référentiel non galiléen.L’inventaire des forces correspond à la prise en compte des forces d’inertie d’entrainement, de

la poussée d’Archimède et du poids. Dans l’inventaire sont absentes les forces de trainée et laforce de Coriolis, nous en déduisons donc, de nouveau « implicitement », que la particule estimmobile dans le référentiel lié au fluide dénommé …′.Le mouvement de la particule sera donc circulaire uniforme…

Respectons l’énoncé, dans nous ne tenons compte que de F et du poids, soit le système :

Ω Ω 1 où on pose Ω

Vu l’implicite et l’explicite, nous sommes probablement ici confrontés à un œuvre digne du

regretté festival d’Avoriaz (Coriolis négligé, pas de trainée etc...)

Pour information, F n’est autre que la surpression différentielle créé par le mouvement dufluide « immobile dans le référentiel tournant » autour de la particule, elle génère unecomposante supplémentaire de la poussée d’Archimède. La considérer seule sans la causesource (l’entrainement du fluide) est une aberration…

Les équations I et II identifient l’objet comme un oscillateur spatial, décrit par une trajectoireelliptique s’il se limitait à un plan, la III se résout par un mouvement uniformément accéléréverticalement.

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


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2) Etude de quelques cas (très) particuliersa)

La solution est cosΩ et sinΩ, les équations rendent compte d’unmouvement hélicoïdale, circulaire dans sa restriction au plan et ascensionnel. Idem pour leréférentiel non galiléen si ce n’est que la vitesse angulaire y vaut alors Ω ω.En gros, la particule décrit un mouvement dont la trace est circulaire dans le planhorizontal, tout en se déplaçant verticalement, c’est une hélice à pas variable (mvt accelérésur l’axe vertical). Bien sûr, elle tourne plus vite que le fluide, et se déplace donc dans lefluide, sans aucune interaction tangentielle avec le dit fluide, sans effet de trainée etc…

La probabilité de la crédibilité de la chose appartient à un ensemble de mesure nulle…

b) Subtile différence… cosΩ sinΩ et 0 Soit un mouvement oscillant sur l’axe X, avec toujours le mouvement ascensionnel !

Tout aussi crédible que le cas précédent sauf en cas d’ingestion de substanceshallucinogènes, ce que nous déconseillons sincèrement.

3) On se place désormais dans le référentiel non galiléen…et on se rappelle qu’il existe des forcesde trainée dans un mouvement de ce type (ouf !).On supposera que le terme accélération relative désigne l’accélération dans ′.Nous avons :

, 2 ∧ 220 , ∧ ∧ 0 4) Ecrivons le PFD dans le RNG en intégrant les forces d’inertie et la force de frottement : Ω 2 2 Ω 2 2 1 2

5) Vu l’introduction tardive de l’énoncé, nous conservons l’usage de la notation Ω et nommons

Ω

Ω

, les équation se résument alors à :

2 Ω 0 et 2 Ω 0 Plusieurs possibilités s’offrent à nous pour résoudre ces équations, vu le couplage anti-symétrique nous utiliserons la réduction complexe en posant . Nous sommons lapremière équation avec la deuxième après l’avoir multiplié par .Nous obtenons : 2 Ω 0 Nous reconnaissons une équation homogène d’ordre deux, l’espace des solutions est générépar les fonctions propres de type où p vérifie l’équation : 2 Ω 0 Les racines de cette équation sont complexes et dépendent dans leur forme des valeursaffectées aux paramètres.

Elles vérifient ∆ avec ∆ Ω Ω 2.Bien que solvable formellement, le processus est long et laborieux, qui plus est l’absence deconditions initiales rend impossible la détermination des solutions exactes, nous « tablons »sur une plaisanterie de fin de sujet que le concepteur a voulu imposer aux étudiants.Son sens de l’humour aura été apprécié.

Le mouvement traduit des termes oscillants (valeurs imaginaires) et des termes réels(dissipatifs),le « bidule » va tourner en spiralant vers le centre tout en montant.


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Bien sûr, on pourrait là aussi suivre l’énoncé et négliger Coriolis…

Amusons nous, l’équation serait alors : 2 Ω 0, d’où des racines Ω Les solutions générales seront du type Ω Φde même sur aux constantes près Ω Φ x et y ont donc même pulsation, négliger Coriolis n’est possible que si ≫ or on a parailleurs Ω 1 qui est supérieur à . Le paramètre doit dont vérifier :

1 ≫ Vu la plage de variation classique des masses volumiques, c’est pratiquement impossible.Autre plaisanterie sans doute ?

6) On cherche le régime permanent de ces équations, on obtient 0, 0 et où est lavaleur maximale en altitude dans le récipient.


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Thermodynamique

I I I Com p a r a i so n d e s f e nêt r e s à d o u b l e v i t r a g eL’appellation infrarouge lointain est maladroite, elle correspond aux longueurs d’ondes de 15 μ à100 μ, une vitre est opaque à l’infrarouge thermique, l’auteur a visiblement confondu ces deuxdomaines.

1) Questions préliminairesa) Loi de Wien

Apparemment l’énoncé n’a pas jugé bon de fournir la constante de Wien, facheux !On peut l’estimer avec le Soleil (5000 ∗ 600 3 10 . ).Gageons que la mémoire de silicium de nombreuses machines fut ici mise à contribution.Conséquence sans doute d’une période de crise : la prime à la pompe !

b) 300 Infrarouge Thermique aux alentours des 10μ 5800 K domaine visible aux alentours des 600 .

c) Une question à l’emporte-pièce.

Considérons 600 comme la longueur d’onde d’émissivité maximale, le rayonnements’étend donc jusqu’à 600 ∗ 8 4.8 μ. Sans doute le résultat attendu par le concepteur.Si on prend l’IR thermique à 10 μ, la même analyse cette fois en marge inférieure nous ditqu’il descend jusqu’à 10 μ ∗ 0.5 5 μ. Bref un seuil aux environs de 5 μ est à prévoir cequi est conforme aux prescriptions constructeurs.

2) Comparaison simple et double vitragea) On a le schéma suivant

ϕ : flux incident solaire, ϕ : flux renvoyé par le corps noir dans l’IR, ϕ :flux émis par lavitre. Le système étant en régime stationnaire les bilans de flux sont à somme nulle, nous

avons donc : ϕ ϕ ϕ et ϕ ϕ Soit : ϕ 2 Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan : 433 .La température est extrêmement élevée en raison des hypothèses simplistes du modèle etdu flux solaire « équatorial ».

b)

Le schéma est désormais celui-ci :

Avec les équations : ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ et ϕ.Nous en déduisons

ϕ 2 ϕ,

4 ϕ et

ϕ 3

Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan : 480 .

Verres

r

v /2

v /2

CorpsNoir

Verres

r

v /2

v /2

d /2

d /2

CorpsNoir


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c) Le flux solaire est interrompu. La capacité thermique des vitres étant négligeable, onconsidère qu’elles sont en permanence à l’équilibre thermiqueNous avons donc pour la vitre : ϕ ϕ ,Le flux perdu par le corps noir vaut donc ϕ ϕ ϕ Un bilan d’énergie nous donne

On intègre pour obtenir :

.Nous en déduisons 1.17 10 19 30 Remarque : La précision est ici illusoire car les données sont fournies avec des chiffressignificatifs variant de 1 à 3, le souci de l’énoncé d’avoir des secondes dans ce cadre relèvede l’acte de foi, puisqu’on fournit des secondes à …10 mn près !Le concepteur n’a probablement pas lu le chapitre incertitudes et mesures de nos nouveauxprogrammes de lycée….

d) On reprend mais cette fois ci avec deux vitres.

vitre d : ϕ et vitre v : ϕ ϕ, soit ϕ ϕ ϕ

L’intégration nous donne : : .

Nous en déduisons 1.75 10 29 20 . Même remarque sur la précision.3)

Amélioration par métallisation externea)

Intéressante hypothèse dans ce paragraphe : la métallisation n’a aucun effet sur lerayonnement visible mais agit sur le rayonnement IR, nous sommes là en présence d’untraitement très très spécial !Il y a un ratio de deux entre les émissivités propres à chaque surface, le bilan est donc lesuivant sur le flux total :

Avec les équations : ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ et ϕ.Nous en déduisons ϕ 3 ϕ, 6 ϕ et ϕ 4 .Rapportons au flux surfacique et utilisons la loi de Stefan : 515 .

b) On reprend la démarche sauf que le facteur de réduction est cette fois ci de 4.

Soit : , nous en déduisons 2.

4) Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage.a)

Question de cours de Sup : Pression cinétique d’un gaz parfait mono-atomique.L’évocation des trois directions à vitesse identique et dans les deux sens n’a du éclairer queles exégètes…Nous avons ∗ 3 en raison de l’isotropie.Nous introduisons la densité particulaire n, considérons les particules qui vont frapper uneparoi de surface S orienté selon x pendant dt, elle se trouve dans le volume .Elles sont au nombre de ,mais seule la moitié se dirige selon x, nous avons donc unnombre de particules avec : .Le modèle est celui du choc élastique, chaque particule passe de l’impulsion à ,soit une variation d’impulsion de 2.Au niveau de l’ensemble nous aurons 2 => ∗ L’identification avec la pression nous donne

∗

.

b) Nous avons par ailleurs , soit ∗

Verre

Métal

s

r

v /2

v /2

d

d

CorpsNoir


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c) On remplace simplement : √ La conductivité varie donc en fonction de la température.

d) Aucune démonstration requise, c’est le classique résultat : e) Cf. Cours.

f)

Le ratio des conductivités vaut 1.35, la distance avec l’argon vaudra donc 7.37,précision illusoire comme précédemment.Non la différence n’est pas importante si on peut négliger les phénomènes de convection.g) Le flux entre les deux vitres est la somme des flux de rayonnement et des flux de

conduction. Soit :Φ En linéarisant Φ 4

h)

On en déduit la résistance thermique correspondante :

sans rayonnement : 42 10 . avec rayonnement : 4 12 10 . Oui la contribution du rayonnement est importante.

i)

C’est la convection…Si la distance devient trop grande entre les deux plaques, des cellules de type Rayleigh-Bénard se forment et assurent le transfert thermique.

j) Justification délicate (impossible) sans une estimation des coûts des procédés. La seuleévidence est que le gain relatif est le plus important lorsqu’on passe d’un simple vitrage àun double. Vu que le ratio surface vitres/mur n’est pas donné le bilan de transfert par unitéde surface à travers un mur est décoratif…

I V B i l a n t h e r m i q u e d ’ u n e m a i s o n c l im a t i sée en été Les préliminaires signalent la machine comme idéale, il s’agit donc d’une machine de Carnot.

1) Maison sans circulation d’aira)

Sur un cycle, la variation d’une fonction d’état est nulle donc : Δ 0 b) La machine étant réversible, nous avons :Δ éé 0 c)

Le cop s’obtient par le quotient : AN = 29.3.Très large surestimation des COP en vigueur mais c’est le prix de l’idéal !

d) La puissance électrique vaut 34.1 .e) On reprend la précédente avec un COP de 3, soit 333 .


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2) Prise en compte de la circulation d’air sec

a) Le volume massique de l’air entrant vaut .On supposera que le volume massique de l’air sortant correspond à un air à la température, et vaut donc .Le système étant en régime stationnaire, la masse se conserve nous avons : , , or

, / 31.9 ..

b)

Ecriture malheureuse, la puissance thermique reçue eut été préférable à cette écriturepseudo-différentielle.

Nous avons , , c) Le climatiseur doit compenser les pertes initiale et le réchauffement du à l’apport d’air sec.

Soit AN : 1320 .

d) On divise par le COP : 414 e)

L’air est saturé en eau, la pression de vapeur saturante chutant environ de moitié, la moitéde l’eau vapeur va se transformer en eau liquide provoquant un dépôt d’humidité (c’est lephénomène responsable de l’apparition d’une grande quantité d’eau sur la surface d’unebouteille très fraiche et étanche). Cette transformation libère de l’énergie qui augmente leréchauffement de la pièce et qu’il faut donc compenser.

in

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