Problème 1 : Moteur de Stirling (CCP MP 2011)

Dans le moteur étudié ici, un gaz se déplace entre deux chambres, à travers un

régénérateur. Le rôle du régénérateur est primordial pour obtenir une bonne

efficacité. Le gaz chaud pénètre dans la partie chaude du régénérateur et est

progressivement refroidi pour ressortir par l’autre extrémité à une température

voisine de celle de la source froide. Inversement, lorsque le gaz repasse de la chambre

froide à la chambre chaude, il est progressivement réchauffé dans le régénérateur.

Ceci permet d’effectuer une partie des transferts thermiques à l’intérieur même du

moteur.

Ce problème permet de comprendre l’intérêt du régénérateur dans le calcul de

l’efficacité.

Constante du problème

Constante des gaz parfaits : 1 18, 314 J mol KR − −=

Données sur le dihydrogène ( 2H )

On considèrera dans ce problème que le dihydrogène se comporte comme un gaz

parfait.

Masse molaire : 2

3 1H 2, 00 10 kg molM − −= ×

Rapport des capacités thermiques : 1, 40p

V

C

Cγ = =

Description du cycle de Stirling

Le cycle associé à un moteur

de Stirling est constitué de 2

isothermes et de 2 isochores. Il

est décrit comme suit :

� 1 2→ : compression

isotherme mécaniquement

réversible à f 313 KT = ;

� 2 3→ : transformation isochore de la température f 313 KT = à la température

c 1173 KT = ;

� 3 4→ : détente isotherme mécaniquement réversible à c 1173 KT = ;

� 4 1→ : transformation isochore de la température c 1173 KT = à la température

f 313 KT = .

Caractéristiques du moteur étudié

Température de la source chaude : c 1173 KT =

Température de la source froide : f 313 KT =

Volume minimum du gaz : m 1, 0 LV =

Volume maximum du gaz : M 2, 0 LV =

Masse de dihydrogène contenue dans le moteur : 10 gm =

Dans toutes les questions

de ce problème, le

volume du régénérateur

est nul ( r 0V = ) comme indiqué sur la figure 2.

Dans un premier temps, on ne prend pas en compte le régénérateur.

1. Déterminer la quantité n de gaz et les pressions 1p , 2p , 3p et 4p .

2. Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme ( )p V .

3. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne abU∆ et les transferts

énergétiques, abW et abQ , entre un état a et un état b pour une transformation

isotherme mécaniquement réversible.

4. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne cdU∆ et les transferts

énergétiques, cdW et cdQ , entre un état c et un état d pour une transformation

isochore.

5. Calculer numériquement les travaux 1 2W → , 2 3W → , 3 4W → et 4 1W → .

6. Calculer numériquement les transferts thermiques 1 2Q → , 2 3Q → , 3 4Q → et 4 1Q → .

7. Que valent les transferts thermiques cQ et fQ provenant des thermostats chaud et

froid si aucun dispositif supplémentaire n’intervient (pas de régénérateur) en fonction

des transferts thermiques 1 2Q → , 2 3Q → , 3 4Q → et 4 1Q → ? Effectuer l’application

numérique.

8. Que vaut le travail W sur le cycle ? Effectuer l’application numérique.

9. En déduire numériquement l’efficacité sans régénérateur ( sre ).

On prend maintenant en compte la présence du régénérateur, que l’on supposera

parfait (volume négligeable, transfert parfait). Les transferts thermiques 2 3Q → et

4 1Q → sont alors internes.

10. Vérifier que les transferts thermiques 2 3Q → et 4 1Q → se compensent.

L’efficacité est alors calculée à partir de 1 2 3 4

3 4

W We

Q→ →

→

+= − .

11. Justifier cette expression.

12. Exprimer l’efficacité (e ) en fonction de cT et fT . Effectuer l’application

numérique.

13. Comparer l’efficacité (e ) à l’efficacité de Carnot ( Ce ).

Problème 2 : Modèle d'atmosphère (CCP PSI 2015)

On s’intéresse à l’équilibre de l’air dans l’atmosphère terrestre. Les valeurs de

référence pour la température et la pression seront celles relevées à la surface de la

Terre, à savoir P0 = 1,0 105 Pa et T0 = 300 K. L’air sera assimilé à un gaz parfait.

On repère ici l’espace par le trièdre (O, x, y, z). L’axe des z vertical est dirigé vers le

haut et son origine O coïncide avec la surface de la Terre.

A.l - Equilibre isotherme de l’atmosphère

On suppose ici que la température de l’atmosphère est uniforme et vaut T0 pour tout

z. On note pair(z) la masse volumique de l’air à l’altitude z.

1°) On note Mair la masse molaire de l’air. Quels sont les deux principaux

constituants physicochimiques de l’air ? En quelles proportions molaires y sont-ils

présents ? En ne considérant que ces deux principaux constituants de l’air,

déterminer la valeur numérique de Mair.

2°) En écrivant une condition d’équilibre mécanique sur un élément infinitésimal

d’atmosphère situé entre les altitudes z et z + dz, montrer que : air

dPg

dzρ= −

3°) Déterminer l’expression de la pression P(z) de l’air en fonction de l’altitude z.

4°) En déduire un ordre de grandeur de l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère.

A.2 - Equilibre de l’atmosphère caractérisée par un gradient de température et

formation de la base du nuage.

La température dans les basses couches de l’atmosphère n’est pas uniforme mais

décroît avec l’altitude. Dans cette partie, on admettra que cette température suit une

décroissance affine de la forme :

T(z) = T0 - λ z

avec T0 = 300 K et λ = 0,007 K.m-1.

5°) a) a) A partir de la condition d’équilibre mécanique d’un élément infinitésimal

d’atmosphère, déterminer l’expression littérale de P(z).

b) Les applications numériques donnent :

Altitude (km) 0,5 2 5 8 11 14 Pression (Pa) 94 500 79 300 54 800 36 700 23 700 l4 600

Jusqu’à quelle altitude et avec quelle précision, le modèle de l’atmosphère

isotherme est-il pertinent ?

A.3 - Profil de température au sein d’une colonne d’air humide à toutes les altitudes,

formation du nuage

D’un point de vue thermodynamique, l’ascension verticale d’une colonne d’air

humide, depuis la surface de la Terre à la pression P0, jusqu’à l’altitude z à la

pression P(z), sera assimilée à une détente adiabatique et mécaniquement réversible.

Par ailleurs, l’air humide contenant une faible quantité de vapeur d’eau sera encore

assimilable à un gaz parfait de masse molaire Mair.

6°) Ecrire le système d’équations permettant de déterminer le profil de température

T(z) au sein d’une colonne d’air humide, en équilibre mécanique, pour toutes les

altitudes.

La résolution des équations précédentes aboutit à l’expression :

02

( ) .(1 )z

T z Tz

= − avec ( )0

2 1 air

RTz

M g

γγ

=−

7 ° ) a) Par extrapolation, évaluer la pression de vapeur saturante de l’eau à

l’altitude z = 500 m.

b) En supposant que la fraction molaire de l’eau dans la colonne d’air humide est

de 4 %, montrer que l’eau devrait se liquéfier en dessous de 500 m.

c) En général, les observations rendent compte d’une liquéfaction survenant à

des altitudes légèrement supérieures. Expliquer. Ce phénomène de métastabilité

existe aussi pour des corps très purs lors du changement d’état liquide-solide.

Dans ce dernier cas, quel nom lui est associé ?

A.4 - Stabilité du nuage : pourquoi les gouttelettes d’eau de la partie inférieure du

nuage ne tombent-elles pas ?

On supposera dans cette étude sur la stabilité du nuage que l’air est immobile

dans le référentiel terrestre et a une masse volumique constante ρair = l,2 kg.m-3.

On repère ici l’espace par le trièdre (O’, x, y, z’). L’axe des z’ vertical est

dirigé vers le bas et son origine O’ coïncide avec la base d’un cumulo-nimbus (figure

4) On considère la chute d’une fine gouttelette d’eau liquide de rayon r = 0,01 mm,

située initialement à 2 000 m au-dessus de la surface de la Terre et dépourvue de

vitesse initiale. On suppose que les frottements exercés par l’air sur la gouttelette

sont modélisables par la force 6 airf rvπη= −�

�

, où ηair correspond à la viscosité de l’air et

v à la vitesse de la gouttelette.

8°) a) Faire un bilan des forces exercées sur la gouttelette d’eau.

b) Pourquoi est-il légitime de ne pas prendre en compte la poussée d’Archimède ?

c) En déduire l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v de la gouttelette

d’eau.

9°) Montrer que la gouttelette d’eau tend à atteindre une vitesse limite, notée vlim,

dont on précisera l’expression ainsi que sa valeur numérique.

10°) Evaluer un ordre de grandeur de la durée nécessaire pour que la gouttelette

d’eau atteigne sa vitesse limite.

11°) A l’aide d’une approximation que l’on justifiera, déterminer la durée de chute

d’une gouttelette d’eau depuis la base d’un cumulo-nimbus, initialement située à 2

000 m au-dessus de la surface de la Terre, jusqu’au sol.

12°) Par ailleurs, quel phénomène thermodynamique peut justifier la stabilité

mécanique du nuage, même en l’absence de courants ascensionnels suffisants ?

Problème 3 : Système liquide-vapeur

Propriétés thermodynamiques de l’eau

1 1L 4,18 kJ kg Kc − −= : capacité thermique massique de l’eau liquide

4 11,5 10 Kα − −= × : coefficient de dilatation isobare de l’eau liquide

Notations

θ : température en degré Celsius

sp : pression de vapeur saturante

Lv : volume massique du liquide saturant

Lh : enthalpie massique du liquide saturant

Gv : volume massique de la vapeur saturante

Gh : enthalpie massique de la vapeur saturante

x : titre en vapeur du système

mv : volume massique du système

mh : l’enthalpie massique du système

( )ℓ v T : enthalpie massique de vaporisation à la température T

A. Préliminaires

1. Montrer que −

=−

m L

G L

v vx

v v.

On admettra que de même −

=−

m L

G L

h hx

h h.

2. Rappeler la relation reliant ( )ℓ v T à ( )Gh T et ( )Lh T .

B. Détente adiabatique réversible

On considère un cylindre indéformable calorifugé. Il est fermé par un piston, également calorifugé.

Initialement, le volume du cylindre est = 10 LV .

L’introduction d’une masse = 10 gm d’eau dans le cylindre permet d’obtenir un système liquide-

vapeur en équilibre à la température θ = °100 C .

L’entropie massique du système à la température T , s’écrit

( )( )

= + +ℓV

L, lnT x

s x T c T csteT

.

1. Déterminer le titre initial en vapeur x de ce système.

2. Ce système subit une détente adiabatique réversible de la température θ à la

température θ′ = °50 C .

Montrer que le titre massique en vapeur ′x du système liquide-vapeur à la fin de la

détente s’écrit ( ) ( )

( ) ( )θ θθ θ

θ θ θ θ

−′ ′ = + ′ ′ ′−

G LL

G L

lnh h

x c xh h

.

3. Quel titre massique en vapeur ′′x aurait-on dû avoir, à la température

θ = °100 C , pour qu’au cours de la détente définie ci-dessus (B.2.) ce titre reste

constant ?

C. Turbine à vapeur

Dans cette partie les calculs concernent une masse = 1, 00 kgm de fluide.

Dans le circuit secondaire d’une centrale nucléaire, le fluide caloporteur traverse un générateur de

vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d’alimentation.

Les transformations subies par l’eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit ci-

dessous :

� →A B : compression adiabatique réversible, dans la pompe d’alimentation, de la

pression =1 0, 056 barp à la pression =2 69,200 barp , du liquide saturant sortant

du condenseur à la pression 1p et à la température 1T (état A).

Cette compression entraine une élévation ∆T de la température du liquide.

� →B D : échauffement isobare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène

le liquide de l’état B à l’état de liquide saturant sous la pression 2p et à la

température 2T (état D).

� →D E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression 2p .

� →E F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de 2p à 1p .

� →F A : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression 1p , de la vapeur

présente dans l’état F .

1. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron ( ),p v .

2. Que valent les températures 1T et 2T ?

En déduire les valeurs des températures AT , DT , ET et FT correspondant

respectivement aux états A , D, E et F .

3. La différentielle de l’entropie massique du liquide s’écrit, en fonction des variables

T et p , α= −L L

dd d

Ts c v p

T.

On note ∆ = −B AT T T l’élévation de température du liquide dans la pompe

d’alimentation. Sachant que ∆ ≪ AT T , calculer ∆T .

On supposera, pour ce calcul, que le volume massique Lv du liquide reste quasiment

constant et égal à − −× 3 3 11 10 m kg . On rappelle également que pour ε ≪ 1,

( )ε ε+ ≃ln 1 .

Dans la suite du problème on négligera ∆T .

4. Calculer le titre Fx et l’enthalpie massique mFh du système liquide-vapeur sortant

de la turbine (état F ).

5. Calculer les quantités d’énergie 1Q et 2Q reçues par 1, 00 kg d’eau, par transfert

thermique, respectivement dans le condenseur et dans le générateur de vapeur.

6. Calculer le travail W reçu, par 1, 00 kg de fluide, au cours du cycle.

7. Calculer l’efficacité ρ (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette

efficacité à celle ρC d’un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures

extrêmes 1T et 2T .

8. Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on peut négliger la

variation d’enthalpie ∆ ABh . Montrer, alors, que le travail W peut s’exprimer en

fonction des enthalpies massiques du fluide à l’entrée et à la sortie de la turbine.

1/14