공학석사학위논문

느슨한 케이블의 동적 해석을 위한

안정화 기법

2006년 2월

서울대학교 대학원

지구환경시스템공학부

박 연 철

iii

초 록

이 논문에서는 느슨한 케이블 해석 시에 발생하는 동적 불안정성을 제거하기

위한 복합 모델을 제안하고, 이 모델의 비선형 동적 특성에 대하여 연구하였다.

강한 인장력을 받는 케이블 지지 교량의 케이블과는 달리 느슨한 케이블에서는

자유진동 및 가진 진동 해석 시 압축력이 발생하게 된다. 이 경우 강성도 행렬

이 positive definiteness를 잃어버리게 되고 불안정한 해석 결과를 나타낸다.

이러한 문제점을 해결하기 위해 기존 연구자들은 비선형 뼈대 요소를 이용하여

해석을 수행하였으나, 뼈대 요소를 사용할 경우 무응력 상태에서 케이블의 형

성을 정의할 수 없다는 점과, 장력이 접선방향으로 작용한다는 케이블의 고유

특성을 만족시킬 수 없는 단점이 있었다. 본 연구에서는 케이블의 고유 특성을

만족시키면서 압축력으로 인한 불안정성을 제거하기 위하여 케이블 요소에 휨

강성과 회전관성을 가지는 선형 보 요소를 결합하여 문제점을 해결하였다. 느

슨한 케이블에 발생하는 압축력은 보 요소의 휨과 회전 관성이 저항하게 되므

로 안정한 해를 도출한다. 복합 모델은 케이블 모델보다 긴 시간 간격에서도

안정한 해를 도출할 수 있다. 본 논문에서는 제안된 모델의 타당성을 검증하기

위한 적용 예제로 경간-새그비 50인 현수 케이블을 사용하였으며, Newton-

Raphson 방법에 기초한 Newmark- β 시간 적분법을 사용하여 자유진동 모델

과 1 방향 지점 가진 모델 해석 결과를 기존 연구 결과와 비교하였다.

iv

주요어

동적 운동 방정식, 고유진동수, 비선형 해석, 케이블, 안정화, 유한요소법

학번 : 2004-21266

v

목 차

초록 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ iii

목차 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ v

그림목차 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ vii

표목차 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ x

1. 서론 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1

2. 케이블의 운동 방정식 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3

2.1 운동 방정식 및 변분식 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3

2.2 운동 방정식의 선형화 및 이산화 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8

3. 안정화 기법 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 14

3.1 불안정성의 발생 요인 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 15

3.2 안정화 기법 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 17

4. 수치 해석 예제 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 26

4.1 주파수 영역 해석 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 27

4.2 시간 영역 해석 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 31

4.2.1 자유진동 해석 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 33

4.2.1 지반 가진 진동 해석 : 양 지점 지반 가속도가 같은 경우(CASE I) ⋅⋅ 40

vi

4.2.1 지반 가진 진동 해석 : 양 지점 지반 가속도가 다른 경우(CASE II) 46

5. 결론 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 52

참고문헌 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 55

vii

그 림 목 차

그림 2.1 탄성현수선 케이블에 대한 좌표계 4

그림 2.2 케이블 세그먼트의 자유 물체도 5

그림 3.1 경간-새그 비 15

그림 3.2 보 요소와 결합된 케이블 요소 18

그림 3.3 보 요소 19

그림 4.1 해석 예제 26

그림 4.2 경간-새그비에 따른 무차원화된 고유 진동수 변화 28

그림 4.3 경간-새그비에 따른 무차원화된 동적 장력 변화 28

그림 4.4 경간-새그비에 따른 무차원화된 동적 정력 변화 30

그림 4.5 경간-새그비 1000인 복합 모델의 중앙 절점에서 수직진동 형상 36

그림 4.6 경간-새그비 50인 복합 모델의 중앙 절점에서 수직진동 형상 36

그림 4.7 경간-새그비 50인 복합 모델의 변형 에너지 변화 37

그림 4.8 경간-새그비가 50인 복합 모델의 진동 중 고유진동수 변화 37

그림 4.9 복합 모델과 케이블 모델의 중앙 절점에서 수직 진동형상 비교 38

그림 4.10 경간-새그비 50인 복합 모델의 장력 38

그림 4.11 경간-새그비 50인 케이블 모델의 장력 39

그림 4.12 복합모델의 시간 간격에 따른 중앙 절점에서 수직 진동 형상 39

그림 4.13 케이블 모델의 시간 간격에 따른 중앙 절점에서 수직 진동 형상 40

viii

그림 4.14 0.35 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I) 42

그림 4.15 0.35 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I) 42

그림 4.16 1.085 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I) 43

그림 4.17 1.085 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I) 43

그림 4.18 2%감쇠, 1.085 Hz로 가진 시 중앙 절점 수직방향 진동 형상

(Case I)

44

그림 4.19 25.7 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I) 44

그림 4.20 25.7 Hz로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I) 45

그림 4.21 2%감쇠, 25.7 Hz로 가진 시 중앙 절점 수평방향 진동 형상

(Case I)

45

그림 4.22 양 지점의 상대 변위에 따른 케이블 형상 비교(0.35 Hz 가진) 48

그림 4.23 0.35 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상(Case II) 48

그림 4.24 0.35 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II) 49

그림 4.25 양 지점의 상대 변위에 따른 케이블 형상 비교(1.085 Hz 가진) 49

그림 4.26 1.085 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II) 50

그림 4.27 1.085 Hz의 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상

(Case II)

50

그림 4.28 2%감쇠, 1.085 Hz로 가진 시 중앙 절점 수직방향 진동 형상

(Case II)

51

그림 4.29 25.7 Hz의 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상 (Case II) 51

ix

그림 4.30 25.7 Hz의 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II) 52

그림 4.31 2%감쇠, 25.7 Hz로 가진 시 중앙 절점 수평방향 진동 형상

(Case II)

52

x

표 목 차

표 4.1 예제로 사용된 케이블의 물성치 26

표 4.2 가진 진동수와 가진 가속도에 대한 가진 진폭 31

1

1. 서 론

케이블은 무게가 가볍고, 강한 인장력에도 저항할 수 있는 특성을 지니므로 토

목 구조물뿐만 아니라 해양 구조물이나 전기 분야에서도 많이 사용되고 있다.

케이블은 휨 강성이 작으므로 외적 여건의 변화에 따라 쉽게 진동하는 특성을

지니고 있을 뿐만 아니라 자유 진동 특성 또한 다른 구조물에서 발견하기 힘든

특이한 현상을 보인다. 이러한 케이블의 특성을 파악하기 위하여 최근 30 여 년

간 많은 연구가 이루어져왔다. Irvine 등은 수평 케이블을 정적 평형상태에서 포

물선 형상을 가진다고 가정하고 선형이론을 사용하여 케이블의 자유진동 특성

을 연구하였다[1]. 또한 Irvine 은 케이블의 경간-새그비의 변화에 따라 대칭 모

드와 비대칭 모드의 주파수가 일치하는 cross-over point 가 나타나고, cross-over

point 부근에서 동적 장력이 증폭되는 현상을 연구하였다.[1,2] 이러한 현상들은

수치적[4,7], 실험적[5]으로 검증이 되었다. 그러나 이러한 연구 결과들은 선형이

론을 사용하였으므로 경간-새그비가 큰 팽팽한 케이블에서는 비교적 정확한 해

석 결과를 보이지만 비선형성이 큰 느슨한 케이블에서는 해석 결과가 정확하지

못하다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 이전 연구자들은 케이블을 비선형

뼈대 요소로 모델링하는 방법을 사용하였다.[6,9] 그러나 비선형 뼈대 요소를

사용하는 경우 무응력 상태의 케이블의 형상이 정의되지 않는 케이블의 특성을

표현할 수 없는 문제점이 발생한다.

2

이 논문에서는 비선형 이론을 사용하여 동적 상태에 있는 케이블에 대한

기본 가정을 만족시키는 정확한 모델을 제안한다. 이 모델은 휨 강성이 없고,

무응력 상태에서의 형상을 유일하게 정의할 수 없으며, 동적 상태에 있는 케이

블의 형상으로부터 장력이 정의되고 강성이 발현된다는 가정으로부터 유도될

것이다. 유도된 케이블 모델은 강한 비선형성을 포함하는 모델이므로 해석적인

해를 구하기가 어렵다. 그러므로 유한 요소법에 의한 정식화를 하고, 잘 알려진

시간 적분 방법인 Newmark-β 방법을 이용하여 해를 구한다. 그러나, 유도된 모

델은 압축력으로 인하여 모델의 강성도 행렬이 positive definiteness 를 잃어버리

므로 해석 결과의 불안정성이 나타나게 된다. 이러한 문제점에 대한 보완책으

로 케이블에 휨 강성 및 회전 관성력을 도입하여 모델의 강성도 행렬이

positive definiteness 를 잃어 버리지 않게 될 것이다. 이렇게 개선된 모델을 복합

모델이라고 명명한다.

제안된 모델의 타당성과 효율성을 검증하기 위한 예제로 경간 거리 100m,

경간-새그비 50 인 느슨한 수평케이블을 사용한다. 정적 평형상태에서의 고유치

해석으로 고유진동수를 구하여 경간-새그 비에 따른 고유 진동수의 변화를 이

전 연구 결과와 비교한다. 일정한 초기 변위에 대한 진동형상으로 케이블 모델

의 진동 특성을 확인하고 복합 모델의 수치적 안정성과 정확성을 확인한다. 지

반 가진 시의 진동 특성을 확인하여 복합 모델의 거동 특성을 확인하고 타당성

을 검증한다.

3

2. 케이블의 운동 방정식

이 장에서는 자중 및 외부 하중을 받는 케이블의 동적 운동 방정식을 유도하고

유도된 운동방정식의 변분식을 제시한다. 유도된 운동방정식의 변분식은 케이

블 위치에 대한 비선형 방정식이 되므로 Newton-Raphson 방법에 기초한 반복

계산으로 풀기 위한 선형화된 증분식을 유도하고, 유한 요소법을 사용하여 이

산화한다.

2.1 운동방정식 및 변분식

그림 2.1 은 무응력 길이가 0l 인 2 차원 케이블 구조물의 좌표계를 보이고

있다. 휨 강성이 없는 케이블의 무응력 상태의 형상은 유일하게 결정할 수 없

으며, 장력이 케이블에 도입되면 케이블의 형상을 유일하게 결정할 수 있다.

케이블의 변형 후 형상은 무응력 상태의 형상에 무관하게 결정할 수 있다. 이

논문에서는 케이블의 무응력 상태에서 기준 형상을 무응력 상태에서의 원점에

대한 길이로 정의되는 라그랑지 (lagrangian) 좌표 s 에 의하여 직선으로 정의한

다. 무응력 상태에서 라그랑지 좌표 s 에 위치하고 있던 케이블의 한 질점은

변형 후에는 카테시안 (cartesian) 좌표계에서 x 에 위치하게 된다. )(sp 는 원점

으로부터 라그랑지 좌표 s 까지의 변형 후 케이블의 길이를 의미하며 다음과

4

같이 정의된다.

∫ +=s

dsdsdy

dsdxsp

0

5.022 ))()(()( (2.1)

식 (2.1)을 s 에 대하여 미분하여 정리하면 p 와 s 의 관계를 유도할 수 있다.

5.022 ))()((dsdy

dsdx

dsdp

+= (2.2)

그림 2.2 는 케이블의 자중만 작용하고 있을 경우 케이블의 왼쪽 지점에서

라그랑지 좌표가 s 인 임의 점까지의 자유 물체도를 보이고 있다. 케이블에는

인장력만 작용하게 되므로 평형방정식은 케이블의 인장력에 대하여 다음과 같

0l

그림 2.1 탄성현수선 케이블에 대한 좌표계

s

x (s)

p(s)

x

y )( 0lx

)0(x 무응력 상태의 기준형상

변형후 형상

5

이 표시된다

0

0

00

1

00

1

=+ρ−++

=+ρ−+

∫∫

∫∫s

y

s

y

s

x

s

x

dsfdsyqsFdpdyT

dsfdsxFdpdxT

&&

&&

(2.3)

여기서 T 는 점 )(sp 에서의 장력이고 1xF , 1

yF 는 각각 왼쪽 지점에서 각 좌표

방향으로 작용하는 재단력이며 xf , yf 는 케이블에 작용하는 외부 하중, q 는

변형 전 케이블의 단위 길이 당 중량 그리고 x&& , y&& 는 케이블 위 각 질점의 x ,

y 방향 운동의 시간에 대한 2 차 미분향으로 각 질점에서의 가속도를 의미한다.

식 (2.3)을 s 에 대하여 미분하여 정리하면 다음과 같이 표시된다.

x

y qs

1F

)(sT

1xF

1yF1yF

그림 2.2 케이블 세그먼트의 자유 물체도

6

0ρ)(ρ)(

0ρ)(ρ)(

=+−+=−−+

=+−=−−

yy

xx

fyqdpds

dsdyT

dsdfyq

dpdyT

dsd

fxdpds

dsdxT

dsdfx

dpdxT

dsd

&&&&

&&&&

(2.4)

케이블이 소변형 거동을 할 경우 케이블의 변형도는 다음과 같이 정의된다.

12

ε2

22

−=−

≅−

=dsdp

dsdsdp

dsdsdp

(2.5)

Hooke 의 법칙으로부터 케이블의 인장력을 다음과 같이 표시할 수 있다.

εEAT = (2.6)

여기서 E 는 탄성계수 (Young’s Modulus) 이고 A 는 변형 전의 케이블 단면적이

다. 식 (2.2)와 식 (2.5)를 식 (2.6)에 대입하면 장력을 케이블의 형상을 이용하여

정의할 수 있다.

]1))()([()1()( 5.022 −′+′=−=ε= sysxEAdsdpEAEAsT (2.7)

여기서 ) ( ′는 라그랑지 좌표 s 에 대한 미분을 의미한다. 식 (2.5)와 (2.6)을 이

용하여 변형 후 길이 p 에 대한 무응력 길이 s 의 변화율을 구할 수 있다.

EATdpds

/11

11

+=

ε+= (2.8)

7

식 (2.4)에 식 (2.8)을 대입하고 정리하면 케이블의 형상, 무응력 길이 그리고 장

력으로 정의되는 동적 평형 방정식을 구할 수 있다.

0)()/1

(

0)/1

(

=++ρ−++

=+ρ−+

y

x

fqydsdy

EATT

dsd

fxdsdx

EATT

dsd

&&

&&

(2.9)

케이블 운동방정식의 변분식은 식 (2.9)에 가상 위치를 곱하고 케이블의 전체

무응력 길이에 대하여 적분하여 구할 수 있다.

0))/1

((

0))/1

((

0

0

=++ρ−+

δ

=+ρ−+

δ

∫

∫

dsfqydsdy

EATT

dsdy

fxdsdx

EATT

dsdx

ly

lx

&&

&&

(2.10)

식 (2.10)의 각 방정식의 첫 번째 항을 부분 적분하여 정리하면 다음과 같다.

∫∫∫

∫∫∫

++′+

=′+

′+

+′+

=′+

′+

0

0

00

0

0

00

))(δ(/1

)δ(/1

)δ()δ(

)δ(/1

)(δ/1

)(δ)δ(

0

0

ly

l

ll

xl

l

ll

dsfqyyEAT

TydsyEAT

Tydsyy

dsfxxEAT

TxdsxEAT

Txdsxx

&&

&&

(2.11)

케이블 부재의 양단이 고정되어 있다고 가정하면 양단에서의 가상 위치는 항상

영이 되므로 식 (2.11) 에서 경계항은 영이 된다. 따라서 케이블의 운동방정식

에 대한 최종적인 변분식은 다음과 같다.

8

∫∫∫

∫∫∫

+=′+

′+

=′+

′+

000

000

))(δ(/1

)δ()δ(

)δ(/1

)(δ)δ(

ly

ll

xlll

dsfqydsyEAT

Tydsyy

dsfxdsxEAT

Txdsxx

&&

&&

(2.12)

2.2 운동 방정식의 선형화 및 이산화

식 (2.7)에서 정의된 것과 같이 케이블의 장력은 케이블의 형상 변수 x, y 에

대한 비선형 함수이므로 변분식 (2.12)는 케이블의 위치 변수에 대한 비선형 방

정식이다. 식 (2.12)는 시간에 대한 미분 항이 포함되어 있으므로 시간에 대하

여 이산화하고 각각의 이산화된 시간에 대하여 비선형 방정식 (2.12)를 Newton-

Raphson 방법에 기초한 반복계산에 의하여 풀어야 한다. 이산화된 시간 tt Δ+

에 대한 k 번째 반복계산에서 식 (2.12)는 다음과 같이 표시할 수 있다.

∫∫∫

∫∫∫

Δ+Δ+Δ+

Δ+Δ+

Δ+Δ+Δ+

Δ+Δ+

+=+

′+

=′+

′+

000

000

))()(δ()(/1

)δ()δ(

)()δ()(/1

)δ()δ(

l

tty

l

ttktt

k

ttk

l

ttk

ttx

ll

ttktt

k

ttk

l

ttk

dsfqydsyEAT

Tydsyy

dsfxdsxEAT

Txdsxx

&&

&&

(2.13)

식 (2.13)의 선형화된 증분식을 유도하기 위하여 케이블의 위치 변수와 장력에

대한 증분식을 정의한다.

9

TTTTT

yyyyy

xxxxx

ttk

ttk

ttk

ttk

ttk

ttk

Δ+=Δ+=

Δ+=Δ+=

Δ+=+=

Δ+−

Δ+

Δ+−

Δ+

Δ+−

Δ+

1

1

1 Δ

(2.14)

위 식에서 ttt ) () ( 0 =Δ+ 이고 t) ( 는 전 단계 시간에서 수렴된 값을 의미한다. 전

단계 시간에서의 모든 변수 값은 기지의 값이다. 변분식 (2.13)에 포함되어 있

는 케이블 장력에 대한 항은 일차 Taylor 전개에 의하여 근사할 수 있다.

TEATEAT

T

TEAT

TTEAT

TEAT

T

TTtt

k

ttk

Δ+

++

=

Δ+∂

∂+

+≈

+ =Δ+

Δ+

2)/1(1

/1

/1/1/1 (2.15)

위 식에 포함되어 있는 케이블 장력의 증분은 식 (2.7)의 일차 Taylor 전개에 의

하여 케이블 위치 변수의 증분으로 표시할 수 있다.

10

)(/1

))()((

)))()(())()((

(

)1()1(

5.022

5.0225.022

,,

1,,

1

1

yyxxEAT

EA

sysx

yyxxEA

ysysx

yx

sysxxEA

ydsdpEA

yx

dsdpEA

x

TyyTx

xTT

TTT

yyxxyyxx

ttk

yyxxyyxx

ttk

ttk

ttk

′Δ′+′Δ′+

=

′+′

′Δ′+′Δ′=

′Δ′+′

′+′Δ

′+′′

=

′Δ−′∂

∂+′Δ−

′∂∂

=

−′Δ′∂

∂+′Δ

′∂∂

+≈

−=Δ

====

Δ+−

====

Δ+−

Δ+−

Δ+

(2.16)

식 (2.14), (2.15) 및 (2.16)을 식 (2.13)에 대입하고 케이블의 위치 변수에 대한

일차 증분항 만을 포함시키면 선형화된 증분식을 유도할 수 있다.

∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫

∫∫

+−−=

Δ+

+Δ

+

+Δ

++Δ

+−−=

Δ+

+Δ

+

+Δ

++Δ

Δ+

Δ+

000

00

00

000

00

00

/1)δ()δ(ρ)δ(

)/1()δ(

)/1()δ(

/1)δ()δ(ρ

/1)δ()δ(ρ)δ(

)/1()δ(

)/1()δ(

/1)δ()δ(ρ

33

33

lll

tty

ll

ll

lll

ttx

ll

ll

dsds

ydEAT

Tds

yddsyydsfy

dsds

ydds

ydEAT

EAds

ydds

yddsds

xdds

xdEAT

EAds

ydds

yd

dsds

ydEAT

Tds

yddsyy

dsds

xdEAT

Tds

xddsxxdsfx

dsds

ydds

ydEAT

EAds

xdds

xddsds

xdds

xdEAT

EAds

xdds

xd

dsds

xdEAT

Tds

xddsxx

&&

&&

&&

&&

(2.17)

11

식 (2.17)는 하나의 행렬식으로 다음과 같이 표시할 수 있다.

∫∫

∫∫

′+

′−−

=Δ

+Δ

Δ+

00

00

/1)(δ)ρ)(δ(

)δ()δ(ρ

ll

tt

lc

l

dsEAT

Tds

dsds

dds

dds

xxxfx

xDxxIx

&&

&&

(2.18)

위 식에서 I 는 2 차 단위 행렬이며, ),( yx=x 이고, cD 는 케이블의 접선 강성

행렬로서 다음과 같다.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

dsyd

dsyd

dsyd

dsxd

dsyd

dsxd

dsxd

dsxd

EATEA

EATT

c 3)/1(1001

/1D (2.19)

식 (2.18)을 등매개 유한요소를 이용하여 이산화할 수 있다. 무응력 상태에서의

케이블의 기준 형상을 유한개의 요소로 분할하고 각각의 요소 내에서의 케이블

의 위치와 가상 위치를 각 케이블 요소의 형상함수와 절점 위치에 의하여 보간

한다.

eee XNx Δ≅Δ eee XNx δ≅δ

(2.20)

여기서 eN 는 요소 e 의 일차원 등매개변수 형상 함수 행렬이고, eXΔ 와 eXδ

12

는 각각 요소 e 의 절점 위치와 가상 절점 위치이다. 식 (2.20)을 식 (2.18) 에

대입하고 각 유한 요소에 대한 적분식으로 표시하면 다음과 같다.

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

′+

−ρ−⋅δ

=Δ⋅⋅δ+Δ⋅ρδ

Δ+

e l

eettee

e

e l

ec

eee

l

eee

e

ee e

dsEAT

T

dsds

0

00

)/1

( xBxNfNX

XBDBXXNNX

&&

&&

(2.21)

여기서 ds

d ee NB = 이고, ∑

e

는 유한요소 연산자이다. 식 (2.21)은 케이블 절점

의 모든 가상 위치에 대하여 성립하여야 하므로 케이블의 이산화된 증분형 평

형방정식은 최종적으로 다음과 같이 표시된다.

∑∫

∑∫∑∫

′+

−ρ−⋅

=Δ⋅⋅+Δ⋅ρ

Δ+

e l

eette

e

e l

ec

ee

l

ee

e

ee e

dsEAT

T

dsds

0

00

)/1

( xBxNfN

XBDBXNN

&&

&&

(2.22)

식 (2.22)는 매트릭스 형태의 수식으로 간단히 쓸 수 있다.

fXKXM Δ=Δ+Δ cc

&& (2.23)

여기서 XΔ 와 X&&Δ 는 각각 절점 위치와 절점 가속도를 의미하며, cM , cK , 그리

고 fΔ 는 각각 케이블의 질량행렬, 접선 강성도 행렬 그리고 불평형력으로서

다음과 같이 정의된다.

13

∑∫ ⋅=e el

eec ds

0

ρ NNM (2.24a)

∑∫ ⋅⋅=e l

e

c

e

ce

dsds

dds

d

0

NDNK (2.24b)

∑∫ ′+

−−⋅=Δ Δ+

e l

eette

e

dsEAT

Tds

d

0

)/1

ρ( xNxNfNf && (2.24c)

각각 이산화된 시간에 대하여 식 (2. 23)을 풀어 절점 위치의 증분을 구하고, 이

에 의하여 새로운 절점위치를 계산할 수 있다. 새로 계산된 절점 위치를 식

(2.7) 에 대입하여 각 케이블에서의 장력을 구할 수 있다. 이러한 과정을 불평

형력이 영으로 수렴할 때까지 반복하고, 해가 수렴하면 다음 시간에 대한 반복

계산을 수행한다. 시간에 대한 적분은 평균가속도법( 5.0=γ , 25.0=β )을 적

용한 Newmark-β method 를 사용한다.

14

3. 안정화 기법

2 장에서 정의한 케이블 요소를 이용한 동적 해석 결과는 CD-ROM 부록 동영상

3 에서 볼 수 있듯이 매우 불안정한 결과를 보인다. 그러한 이유는 다음과 같다.

느슨한 케이블에서는 진동중에 압축력이 발생할 수 있다. 압축력은 식 (2.24b)

의 강성도 행렬의 대각 요소를 음수로 만든다. 대각 요소가 음수가 되면 강성

도 행렬은 positive definiteness 를 잃어버리므로 동적 불안정성을 야기하게 된다.

이전 연구자들은 이러한 문제를 해결하기 위해 케이블 모델 대신에 비선형 프

레임 요소를 도입하여 앞에서 언급한 압축력으로 인한 문제점들을 해결 하였

다.[6,9] 그러나 비선형 뼈대 요소를 사용할 경우 부재에 인장력이 도입되지 않

더라도 부재 형상을 가지고 있게 되므로 케이블의 가장 큰 특징인 무응력상태

에서 케이블의 형상이 결정되지 않는다는 점을 모사하지 못한다. 또한 뼈대에

발생하는 축력 및 전단력으로 인하여 인장력이 항상 부재 접선방향으로 작용한

다는 특징 또한 만족 시킬 수 없다.

실제 케이블은 약간의 휨 강성을 가지고 있다. 그리고 진동으로 인한 회전

관성 또한 발생할 것이다. 그러나 케이블 모델은 이러한 물리적인 현상을 모사

하지 못한다. 따라서 휨에 대하여 저항할 수 있는 보 요소를 케이블 모델에 결

합함으로서 압축력의 발생으로 인한 강성의 손실을 보완하여 안정적인 해석 결

과를 얻을 수 있다.

15

3.1 불안정성의 발생 요인

케이블의 형상은 케이블에 걸린 장력에 의하여 결정된다. 따라서 케이블의

형상의 특징을 나타낼 수 있는 변수를 정의하면 케이블에 걸린 장력의 크기를

비교할 수 있다. 케이블 형상의 특징을 나타내는 변수로 경간-새그 비를 정의한

다. 경간-새그 비를 정의하는 요소들은 그림 3.1 과 같이 케이블이 정적 평형 상

태에 있을 경우 케이블의 각 질점 중 새그가 가장 큰 곳에서의 크기를 케이블

경간 거리로 나눈 값으로 식 (3.1)과 같이 정의한다.

dL

=ξ (3.1)

여기서 ξ 는 경간-새그 비를 의미하고, d 는 케이블에 발생한 최대 새그의 크기,

L은 경간 사이의 거리를 의미한다.

L

d

그림 3.1 경간-새그 비

16

운동중인 케이블은 케이블의 형상이 변한다. 케이블이 정적 평형상태에 있

을 경우에 경간-새그 비가 큰 경우에는 케이블의 형상을 유지하기 위해 큰 장

력이 걸려 있을 것이고, 경간-새그 비가 작은 경우에는 작은 장력이 걸려있을

것이다. 반대로 운동 상태에 있는 케이블의 경우 정적 평형상태를 기준으로 케

이블이 아래쪽에 위치하면 경간-새그 비는 작아지지만 정적 평형상태의 장력보

다 더 큰 장력이 걸릴 것이고, 위쪽에 위치하면 경간-새그 비는 커지지만 더 작

은 장력이 걸릴 것이다. 그러므로 경간-새그비가 작은 느슨한 케이블에서 케이

블이 정적 평형상태보다 위 쪽에 위치할 경우 압축력이 발생하는 구간이 발생

하게 된다.

2 장에서 구한 케이블의 운동 방정식은 케이블 부재에 발생하는 인장력에

의해 강성이 발현된다는 가정으로부터 정의되어있다. 그러나 이러한 가정은 압

축력이 발생할 경우 케이블의 강성이 사라지게 되므로 더 이상 성립할 수가 없

다. 식 (2.19)는 케이블의 접선 강성 행렬이다. 이 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

dsyd

dsyd

dsyd

dsxd

dsyd

dsxd

dsxd

dsxd

EATEA

EATT

c 3)/1(1001

/1D (2.19)

위 식에 식 (2.8)을 대입하고 다시 정리하면 다음과 같다.

17

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+=

θsinθcosθsinθcosθsinθcos

/11

/11

2

2

EATEAEAEAT

EAT

dsyd

dpds

dpds

dsyd

Tds

yddpds

dpds

dsxd

dsyd

dpds

dpds

dsxd

dsxd

dpds

dpds

dsxdT

EATcD

(3.2)

θ는 케이블 상의 한 질점에서 접선이 이루는 각이다. 일반적으로 케이블의

축방향 강성인 EA 는 장력에 비하여 매우 큰 값을 가지지만 θcos ,또는 θsin

가 0 에 가까워지면 장력의 값이 음이 될 경우에 접선 강성 행렬의 대각 요소

가 음수가 될 수 있다. 따라서, 접선 강성 행렬의 대각 요소가 음수가 되면 접

선 강성 행렬의 positive definiteness 를 잃게 되므로 CD-ROM 부록 동영상 3 과

같이 심한 국지적 진동이 발생하는 불안정한 해석 결과를 보이게 된다.

다음 절에서는 느슨한 케이블에 압축력의 발생을 줄이면서 안정된 해석 결

과를 얻을 수 있는 안정화 기법을 제시한다.

3.2 안정화 기법

강성도 행렬이 positive definiteness 를 잃는 것은 케이블이 진동 중에 압축력

으로 인하여 강성을 잃어버리는 것으로 볼 수 있다. 이러한 현상을 보이는 이

유는 실제 케이블의 거동을 케이블 모델이 정확히 모사하지 못하기 때문이다.

실제 케이블은 이상화된 케이블 모델과는 달리 약간의 휨 강성을 가지고 있다.

케이블이 인장력을 받고 있을 때는 휨 강성이 케이블의 거동에 아무런 영향을

18

주지 못하지만 압축력을 받을 경우에는 케이블이 휨에 의한 저항하게 된다. 케

이블 모델은 휨 강성이 정의되어있지 않으므로 압축력이 발생할 경우에 휨에

의한 저항을 전혀 모사하지 못하므로 강성을 잃어버리게 되는 것이다. 그러므

로 케이블 모델에 휨 강성을 도입하면 부족한 강성을 보완할 수 있다. 케이블

모델에 휨에 의한 거동을 추가하기 위하여 이 논문에서는 그림 3.2 에서 점선으

로 그려진 것과 같이 케이블의 각 절점 사이에 보 요소를 결합한다. 케이블의

거동은 일반적인 뼈대 구조물과 비교하여 상대적으로 큰 회전 변위를 일으키므

로 보 요소에 대한 평형방정식을 정의할 때 회전 관성력을 무시하지 않는다.

안정화된 케이블의 동적 해석 결과를 얻기 위해 추가하는 보 요소로는 베

르누이 보를 사용한다. 그림 3.3 은 단위 길이 당 질량이 bρ 이고, 휨 강성이

EI 인 베르누이 보이다. 회전 관성이 고려된 보 요소의 동적 평형방정식은 다

음과 같다.[15]

beam element

Cable element

그림 3.2 보 요소와 결합된 케이블 요소

19

02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂

∂ξ∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ξ∂∂

−∂∂

ρwEI

twI

tw

ob (3.3)

여기서, ξ는 보 요소의 부재 좌표계에서 재축 방향 좌표이고, w 는 정적 평형

상태를 기준으로 한 보의 재축 직각 방향 처짐이며, 보의 회전관성 모멘트 0I

는 AIIo ρ= 로 정의된다. I 는 보의 단면 2 차 모멘트, A 는 보의 단면적이다.

보의 단위 길이 당 질량은 케이블의 단위 길이 당 질량과 동일하며, 보의 단면

적 또한 케이블의 단면적과 같다. 보의 단면 2 차 모멘트는 케이블의 전체 단면

이 유효하고 강체로 거동하는 것으로 가정하여 계산한다.

보 요소에 대한 가상일의 원리는 식 (3.3)에 가상의 변위 wδ 를 곱하고 길

이에 대하여 적분한 식을 두 번 부분 적분하여 구할 수 있다.

ξ

w

),ξ( tw

l

그림 3.3 보 요소

20

eb

ell

ol

b

lMlMlVlwVw

dwEIwdwIwdww

fd ⋅δ=δθ+δθ+δ+δ

=ξξ∂

∂ξ∂δ∂

+ξξ∂

∂ξ∂δ∂

+ξρδ ∫∫∫)()()0()0()()()0()0(

)()()( 2

2

2

2&&&&

(3.4)

위 식에서 θ는 보의 회전각이며, edδ 와 ebf 는 각각 가상 재단 변위와 재단력

이고, V , M 은 부재에서 발생하는 전단력과 모멘트이다. 들보의 처짐 w 는

재단 변위와 Hermitian 형상 함수를 사용하여 표시할 수 있다.

e

bw dN ⋅= (3.5)

식 (3.5)를 식 (3.4)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

)ξξξ

ξξξ

ξρ(δ

δ

2

2

2

2e

l

bb

l

ebo

be

lbbb

e

eb

e

dEIdId dNNdNNdNNd

fd

∫∫∫ ∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+⋅

=⋅

&&&& (3.6)

위 식에서 우변의 첫 번째 항과 세 번째 항은 각각 보 요소의 일반적인 질량

행렬과 강성도 행렬이며, 두 번째 항은 단면의 회전 관성 행렬이다. 식 (3.6)은

모든 가상변위에 대하여 성립하여야 하므로 다음과 같이 표시된다.

eeb

eeI

eeb

e

l

bb

l

ebo

be

lbbb

eb dEIdId

dkdmdm

dNNdNNdNNf

++=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+= ∫∫∫&&&&

&&&& ξξξ

ξξξ

ξρ 2

2

2

2

(3.7)

식 (3.7)에서 정의된 보 요소의 일반적인 질량 행렬에는 보 요소의 강체 운동

21

성분도 들어있다. 그러나 케이블 요소의 강체 운동 성분은 이미 케이블 요소의

질량 행렬에 포함되어있고 보 요소는 케이블의 순수 휨 거동에 의해 발생하는

추가의 관성력 및 강성을 고려하기 위하여 도입된 항이기 때문에 보 요소의 질

량 행렬을 만드는 형상함수에서 강체 운동의 형상함수를 빼야한다. 보 요소의

강체 운동 성분은 다음과 같이 표시된다.

e

reb

eb

lwl

wl

w dN=ξ

+ξ

−= )()0()1( (3.8)

여기서 ebl 는 보 요소의 길이이고, rN 은 강체 운동에 대한 형상 함수 행렬이다.

)0,,0),1(( eb

eb

r llξξ

−=N (3.9)

식 (3.5)에 정의된 보 요소의 형상함수에서 강체 운동의 형상함수를 빼면 다음

과 같은 새로운 질량 행렬이 구성된다.

∫ −−=l

rbbrbeb dξ)()( NNNNm ρ (3.10)

새롭게 구성된 보 요소의 질량 행렬을 추가한 평형 방정식은 다음과 같다.

ee

bee

Ieb

eb dkdmmf ++= &&)( (3.11)

식 (3.11) 은 보 요소의 부재 좌표계에서 표시된 식이므로 적절한 변환 행렬을

22

이용하여 구조물 좌표계에 대한 식으로 변환할 수 있다. 구조물 좌표계에서

표시된 보 요소의 운동방정식 식 (2.23)에서 정의된 케이블 모델에 대한 운동방

정식에 더하면 휨 거동을 포함한 케이블의 이산화된 운동방정식을 구할 수 있

다.

fUKUXKX MM Δ=Δ+Δ+Δ+Δ Δ+Δ+Δ+Δ+ tt

btt

btt

ctt

c&&&& (3.12)

여기서, ∑ +=e

eI

ebb )( mmM , ∑=

e

ebb kK 이며, e

bM 와 ebK 는 각각 전체 좌표계

에서 표시된 보 요소의 질량 행렬과 강성도 행렬이다. tt Δ+U 는 현 시간 단계에

서의 보 요소가 연결되어 있는 절점에서의 변위이다. 보 요소로 구성된 구조

물의 변위는 케이블의 정적 평형상태를 기준으로 정의되어 있기 때문에 케이블

의 각 절점의 위치와 보 요소로 구성된 구조물의 변위 사이의 관계는 다음과

같다.

UXUUXUXX Δ+=Δ++=+= Δ+

−Δ+−

Δ+Δ+ ttk

ttk

ttk

ttk 11

00 or UX Δ=Δ (3.13)

위 식을 식 (3.12) 에 대입하면 복합 모델의 최종적인 증분형 운동방정식을 구

할 수 있다.

FUKKUMM Δ=Δ++Δ+ )()( bcbc

&& (3.14)

위 식에서 UKUMfF bb −−Δ=Δ && 이다.

23

감쇠 현상은 크기의 차이는 있지만 일반적으로 모든 구조물에서 존재하며,

물리적으로는 진동 에너지를 소산시키는 역할을 하며, 수치적으로는 동적 해석

을 보다 안정화시킬 수 있다. 그러나, 감쇠 현상을 정확히 수학적으로 모사하

는 것은 대단히 어려우며, 현재 사용되고 있는 대부분의 감쇠 모델은 실제 현

상을 근사적으로 모사하는 접근법이다. 감쇠 현상은 시스템의 실제로는 구조

물 응답에 대한 비선형 함수로 표시되지만, 이 연구에서는 감쇠력이 각 절점의

속도에 대하여 비례하는 점성 감쇠 모델을 사용한다. 점성 감쇠력이 고려된

운동 방정식은 다음과 같이 표시할 수 있다.

UCFUKKUCUMM &&&& −Δ=Δ++Δ+Δ+ )()( bcbc (3.15)

여기서 C 는 점성 감쇠 행렬이다. 점성 감쇠 행렬로서 모달 감쇠 행렬과

Rayleigh 감쇠 모델이 가장 널리 사용되고 있다. 케이블 구조물의 비선형 거동

으로 인하여 모달 감쇠 행렬은 구성하기가 어렵기 때문에 이 연구에서는 정적

평형 상태에서 접선 강성도 행렬과 질량 행렬로 구성할 수 있는 Rayleigh 감쇠

모델을 사용한다.

)()( 0

10 bcbc aa KKMMC +++= (3.16)

여기서 0a 와 1a 는 Rayleigh 감쇠 계수 이며, 0cK 는 정적 평형상태에서의 케이

블 구조물의 접선 강성도 행렬이다.

24

식 (3.15)는 시간에 대한 미분항이 포함되어있으므로 시간에 대한 이산화를 해

야만 이산화된 시간에 대하여 Newton-Raphson 방법에 기초한 반복계산으로 방

정식을 풀 수 있다. 평균가속도법이 적용된 Newmark- β 방법으로 시간에 대한

이산화를 수행한다. 이산화된 시간 tt Δ+ 에서 재단 변위와 속도는 다음과 같이

정의된다.

tttt

tttt

ttttt

Δ+Δ+

Δ+Δ+

Δ+Δ−+Δ+=

Δ+Δ−+=

XXXXXXXXX

&&&&&

&&&&&&

])(β[])(β)5.0[()()γ(]γ)1[(

22 (3.17)

식 (3.17)에 식 (3.13)를 대입하고, 정리하면 다음과 같다.

UUU &&&&& ΔΔ+Δ=Δ )γ()( tt (3.18a)

UUUU &&&&& ΔΔ+Δ

+Δ=Δ 22

)(β2

)()( ttt (3.18b)

식 (3.19a)는 식 (3.18b)를 가속도의 증분에 대하여 정리한 식이고, 식 (3.19a)를

식 (3.18a)에 대입하면 속도의 증분이 변위의 증분에 의한 함수로 정의된 식

(3.19b)를 얻을 수 있다.

UUUU &&&&&2β1

β1

)β(1

2 −Δ

−ΔΔ

=Δtt

(3.19a)

UUUU &&&& )2βγ1)((

βγ

βγ

−Δ+−ΔΔ

=Δ tt

(3.19b)

식 (3.19a), (3.19b)를 식 (3.15)에 대입하면 다음과 같이 시간과 공간에 대하여

25

이산화된 증분형 운동 방정식을 얻는다.

FUK ˆˆ Δ=Δ (3.20)

여기서 K̂ , F̂Δ 는 다음과 같이 정의된다.

)()β(

1βγ)(ˆ

2 bcbc ttMMCKKK +

Δ+

Δ++= (3.21a)

UCMM

UCMMFF

&&

&

])12βγ)(()(

2β1[

])1βγ()(

β1[ˆ

−Δ+++

−++Δ

+Δ=Δ

t

t

bc

bc

(3.21b)

설명의 편의를 위하여 2 장에서 정의한 모델을 케이블 모델, 그리고 3 장에서

정의한 케이블 모델에 보 요소가 추가된 모델을 복합 모델이라고 앞으로 명명

한다.

26

4. 수치 해석 예제

4 장에서는 3 장에서 구한 복합 모델을 이용하여 다양한 경간-새그 비를 가지는

케이블에 적용하여 주파수 및 시간 영역에서의 응답 특성을 파악한다. 해석에

사용된 예제는 그림 4.1 과 같은 경간이 100m 인 수평 케이블이다. 케이블의 유

한 요소 모델은 20 개의 선형 isoparametric 형상 함수를 사용하였다. 강성도 행

렬 계산에는 3 점 Gauss quadrature 가 사용되었고, 질량 행렬 계산에는 2 점

Gauss quadrature 가 사용되었다. 보 요소에는 3 장에서 설명한 바와 같이

Hermitian 형상 함수를 사용하였다. 감쇠 효과는 고려하지 않았으며 감쇠를 적

용하는 경우에는 1, 2 차 고유진동수에 대한 2%의 Rayleigh 감쇠를 사용하였다.

케이블의 주요 물성치를 표 4.1 에 제시하였다.

경간 거리 : 100m

sag

그림 4.1 해석 예제

27

표 4.1 예제로 사용된 케이블의 물성치

종류 단위 길이당 자중 탄성 계수 단면적 관성 모멘트

크기 3.223×103 N/m 2.067×1011 N/m2 4.199×10-2 m2 2.2452×10-3m4

4.1 주파수 영역 해석

케이블은 일정한 형상이 정해지지 않은 부정형의 구조물이므로 식 (3.1)과

같이 경간-새그 비로 형상을 정의하는 것이 일반적이다. 주파수 영역 해석에는

정적 평형상태에 있는 특정 케이블의 경간-새그 비를 가지는 케이블의 고유 진

동수를 고유치 해석을 통하여 구한다. 케이블의 경간-새그 비에 따라 강성이 바

뀌므로 고유진동수 또한 변하게 된다.[1,8] 경간-새그비의 변화에 따른 케이블의

진동 특성은 1, 차 고유진동수가 경간-새그비가 작아지면서 점점 증가하여 2 차

고유진동수와 거의 같은 값을 갖는 cross-over point 가 발생하고, cross-over point

를 전후하여 1, 2 차 고유진동 모드에 의한 동적 장력이 증폭되는 현상이 발생

한다는 점이 해석적[1,8], 실험적[5]인 방법으로 증명되어왔다.

그림 4.2 는 경간-새그비의 변화에 따른 무차원화된 1, 2 차 고유진동수를 안

상섭의 결과[3]와 케이블 모델에 의한 결과와 비교한 그래프이다. 무차원화된

고유진동수는 면내 진동에 대한 1, 2 차 고유진동수를 면외 진동에 대한 1 차 고

유진동수로 나누어준 값이다. 안상섭의 결과와 경간-새그비가 작은 느슨한 케이

블에서 차이가 발생한다. 안상섭의 모델은 현 방향의 진동을 무시하였기 때문

에 경간-새그비가 큰 경우에는 케이블의 강성이 크므로 현 방향의 진동이 거의

28

그림 4.2 경간-새그비에 따른 무차원화된 고유 진동수 변화

그림 4.3 경간-새그비에 따른 무차원화된 동적 장력 변화

1.0

2.0

3.0

101001000

1st mode by present study (cable model)2nd mode by present study (cable model)1st mode by Ahn's study2nd mode by Ahn's study

Dim

ensio

nles

s Fre

quen

cy

Span-Sag Ratio

0

2

4

6

8

10

101001000

1st mode tension by present study (cable model)2nd mode tension by present study (cable model)1st mode tension by Ahn's study2nd mode tension by Ahn's study

Dim

ensio

nles

s Dyn

amic

Ten

sion

Span-Sag Ratio

29

없으므로 고유진동수의 차이가 발생하지 않는다. 그러나 경간-새그비가 작은 느

슨한 케이블은 강성이 매우 작은 유연한 구조물이므로 현 방향의 진동이 구조

물의 전체적인 진동에 영향을 줄 수 있기 때문에 현 방향 진동을 무시한 안상

섭의 모델과 다른 결과를 보인다.

현 방향 진동의 고려 여부는 현 방향 진동의 영향이 큰 경사케이블에서 좀

더 명확하게 알 수 있다. 그림 4.3 은 60 도의 경사가 있는 케이블에서 각 경간-

새그비에 따라 1, 2 차 고유 진동 모드에서 발생하는 동적 장력 변화를 도시한

그래프이다. 동적 장력은 실제 케이블에 발생하는 장력에서 정적 평형상태를

유지하는 장력을 뺀 값이다. 무차원화된 동적 장력은 동적 장력을 정적 평형상

태에서의 장력으로 나누어서 구한다. 60 도 경사 케이블에서는 cross-over point 가

경간-새그비 92 에서 나타나고, 이 점을 전후로 하여 상대적으로 큰 동적 장력

이 발생한다. 안상섭의 결과는 동적 장력이 증폭되는 결과를 보이지만 1, 2 차

진동 모드에 의한 동적 장력이 cross-over point 에서 사라지는 결과를 보인다. 케

이블 모델을 이용하여 구한 동적 장력은 cross-over point 를 전후하여 동적 장력

의 증폭이 일어나고, 경간-새그 비가 작아지더라도 1 차 진동 모드에 의한 동적

장력이 완전히 사라지지 않고 연속적인 변화를 보이므로 안상섭의 모델보다 정

확한 결과를 보인다.

30

그림 4.4 경간-새그비에 따른 무차원화된 동적 정력 변화

케이블 모델과 복합 모델의 경간-새그비에 따른 고유진동수 변화를 그림

4.4 에 도시하였다. 복합 모델에서는 케이블 모델에 비하여 강성이 증가했기 때

문에 전반적으로 고유 진동수가 증가하였다. 복합 모델은 2 차 고유진동수가 1

차 고유진동수보다 많이 증가했기 때문에 cross-over point 가 경간-새그비가 작은

쪽으로 이동하였고, 경간-새그비가 cross-over point 보다 작은 구간에서 보 요소

의 강성이 전체 강성에 기여하는 비율이 늘어남에 따라 1, 2 차 고유진동수가

큰 구간보다 많이 증가하였다.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

101001000

1st natural frequency by hybrid model2nd natural frequency by hybrid model1st natural frequency by cable model2nd natural frequency by cable model

Freq

uenc

y (H

z)

Span-Sag Ratio

31

4.2 시간 영역 해석

시간 영역 해석은 크게 자유 진동 해석과 지반 가진 진동 해석으로 나눌

수 있다. 제안된 모델의 정당성을 확인하기 위하여 경간-새그 비가 50 인 느슨

한 수평 케이블을 대상으로 하여 해석을 수행하고, 필요한 경우 경간-새그 비가

1000 인 팽팽한 수평 케이블의 응답 특성과 비교한다. 자유진동해석에서는 이

논문에서 제안하는 케이블 모델을 이용한 해석의 정확도와, 해석 시간 간격에

따른 해의 안정성을 평가한다. 또한 진동으로 인한 케이블 형상의 변화에 따른

고유진동수 변화를 파악하고 FFT 해석을 통하여 주어진 예제의 지배적인 진동

수를 구한다. 자유 진동 해석을 위한 예제는 탄성 현수선 요소 모델로 만든 케

이블의 각 절점에 같은 크기의 하중을 주고 중앙 절점의 변위가 약 0.5m 일 때

각 절점에서의 변위 값을 초기 변위로 정하였다.

지반 가진 해석을 위한 예제는 양쪽 지점을 같은 지반 가속도로 가진하는

경우와, 서로 다른 지반 가속도로 가진하는 두 가지 종류로 구분된다. 가진 가

속도는 같은 지반 가속도로 가진하는 경우 0.39g 의 지반 가속도로 가진하였고,

서로 다른 지반 가속도로 가진하는 경우에는 한 쪽 지점은 0.39g, 다른 한 쪽

표 4.2 가진 진동수와 가진 가속도에 대한 가진 진폭

0.35 Hz 1.085 Hz 25.7 Hz

0.39 g ± 0.8 m ± 0.0823 m ± 1.467×10-4 m

0.351 g ± 0.72 m ± 0.7407 m ± 1.320×10-4m

32

지점은 0.351g 로 가진하여 10%의 가속도 차이를 두었다. 가진 주파수는 0.35

Hz 를 기준으로 수직, 수평 방향 1 차 고유진동수인 1.085 Hz 와 25.7 Hz 에 대한

해석을 수행하였다. 각 가진 진동수와 가진 가속도에 대한 가진 진폭은 표 4.2

와 같다. 지반 가진을 위한 지반 운동은 다음과 같이 정의한다.

[ ] )π2sin(β)πα2exp(1 ftftg −−=U (4.1)

대괄호 안의 항은 해석 결과의 수치적 불안정성을 피하기 위해 단계적으로 가

진하기위한 포함된 항이다. 본 논문에서는 0.1α = 을 사용하였다. 대괄호 안의

항은 수 주기 후 1 이 된다. f 는 가진 진동수, β는 가진 진폭, t 는 시간을 의

미한다. 시간 간격은 1/500 초를 사용하였고, 각 시간 단계에서 반복계산에 의한

수렴 기준은 다음과 같다.

910ε −Δ+

Δ+

≤=tt

ttk

U

U (4.2)

tt Δ+U 는 tt Δ+ 시간 단계에서 계산된 총 변위이고, ttkΔ+U 는 k 번째 반복계산으

로부터 구한 변위이다.

33

4.2.1 자유 진동 해석

자유 진동 해석을 위한 초기 변위는 경간-새그 비가 1000 인 팽팽한 복합

모델과 경간-새그비가 50 인 느슨한 복합 모델의 중앙 절점에서 진동 형상을 그

림 4.5, 4.6 에 도시하였다. 경간-새그비 1000 인 복합 모델의 진동형상을 CD-

ROM 부록 동영상 1 에, 경간 새그비 50 인 복합 모델의 진동형상을 CD-ROM

부록 동영상 2 에서 확인할 수 있다. 경간-새그 비가 1000 인 경우 정적 평형상

태에서의 장력이 약 4×10 7 N 이고, 경간-새그 비가 50 인 경우는 약 2×10 6 N 이

므로 약 20 배 가량의 차이가 난다. 경간-새그 비가 50 인 경우의 응답 특성을

살펴보면 아래쪽 꼭지점들은 초기 변위인 0.5m 부근에서 형성되지만 위 쪽 꼭

지점들은 대부분 초기 변위보다 더 큰 변위 값을 보인다. 그 이유는 정적 평형

상태에서의 장력이 동적 장력에 비하여 상대적으로 작으므로 진동 중에 케이블

이 정적 평형상태보다 위 쪽에 위치하게 되면 케이블의 강성이 상대적으로 많

이 약해지므로 변위가 더 크게 발생한다. 반면에 경간-새그 비가 1000 인 경우

는 정적 평형상태에서의 강성이 매우 크므로 진동으로 인한 동적 장력이 발생

하더라도 정적 평형상태의 장력보다 상대적인 크기가 매우 작다. 따라서, 진동

중의 장력 변화로 인한 강성 변화가 적으므로 아래, 위쪽 진폭이 일정한 응답

을 보이게 된다.

그림 4.7 은 경간-새그비 50 인 케이블의 진동 중 변형 에너지 변화를 도시

한 그래프이다. 케이블의 변형 에너지가 최대가 되는 부분은 케이블이 가장 아

34

래까지 내려왔을 경우로서 전체 변형 에너지 중 보 요소의 기여도는 거의 없다.

반대로, 보 요소의 변형에너지가 최대가 되는 부분은 케이블이 가장 위로 올라

갔을 경우로서 압축력이 발생하는 구간이다. 이 경우 케이블의 변형 에너지는

보 요소의 변형에너지에 비하여 상대적으로 매우 작다. 압축력에 의한 변형을

보 요소의 휨 강성으로 저항하는 것을 확인할 수 있다.

느슨한 케이블에서는 장력 변화로 인한 강성의 변화가 크기 때문에 진동

중에 고유진동수 또한 일정하다고 볼 수 없다.[12] 그림 4.8 은 복합 모델의 자

유 진동 중에 강성의 변화에 대한 1, 2 차 고유진동수의 변화를 나타낸다. 각 시

간 간격에서 케이블 형상에 대한 강성과 질량에 대하여 고유치 해석을 이용하

여 구하였다. 정적 평형 상태에서 고유치 해석으로 구한 1, 2 차 고유진동수는

1.085 Hz, 1.22 Hz 이며, 진동 중에 1 차 고유진동수는 약 0.7 Hz 에서 약 1.7 Hz 까

지, 2 차 고유진동수는 약 0.9 Hz 에서 약 1.7 Hz 까지 변하였다. 중앙 절점의 진

동 형상을 FFT 해석을 하여 구한 지배적인 진동수는 약 1.14 Hz 로 평가되었다.

복합 모델로 구한 해의 정확성을 평가하기 위하여 두 모델로 해석한 중앙

절점에서의 진동형상을 그림 4.9 에 그리고, 복합 모델로 해석한 장력 결과를

그림 4.10 에, 케이블 모델로 해석한 장력 결과를 그림 4.11 에서 비교 하였다.

케이블 모델에 의한 진동형상을 CD-ROM 부록 동영상 3 에 첨부하였다. 그림

4.8 에서는 정적 평형 상태를 기준으로 아래 쪽으로 진동의 경우에는 두 모델

모두 피크가 -2.5m 부근에서 형성되지만 위 쪽에서의 피크를 보면 케이블 모델

이 더 불안정하고 더 높다. 복합 모델로 구한 장력 그래프인 그림 4.10 과 케이

35

블 모델로 구한 장력 그래프인 그림 4.11 을 비교하면 케이블 모델의 경우 장력

이 음의 영역으로 들어가면서부터 매우 불안정한 보이지만 복합 모델은 전 시

간 구간에 걸쳐서 상대적으로 안정된 해석 결과를 보이므로 케이블의 형상에

변화에 따른 장력 변화를 복합 모델이 좀 더 정확하게 평가한다고 볼 수 있다.

그림 4.12 는 복합 모델의 수치적 안정성을 증명하는 그래프이다. 복합 모델

은 시간 간격을 1/100 초까지 늘이더라도 정확한 해석 결과를 보인다. 그러나

케이블 모델은 시간 간격이 1/100 초로 늘어나면 Newton-Raphson 방법의 특징인

quadratic 한 수렴성을 보이지 못하고 결국 그림 4.13 와 같이 해가 발산하는 결

과를 보인다. 그러므로 복합 모델이 케이블 모델에 비하여 수치적으로 안정한

모델임을 알 수 있다. 그림 4.13 에서 왼쪽 수직 축은 시간 간격 1/100 에 대한

축으로 -3.0m 에서 -0.5m 까지의 범위를 나타내고, 오른쪽 수직축은 시간 간격

1/500 에 대한 축으로서 -15m 부터 20m 까지의 범위를 나타낸다.

36

그림 4.5 경간-새그비 1000 인 복합 모델의 중앙 절점에서 수직진동 형상

그림 4.6 경간-새그비 50 인 복합 모델의 중앙 절점에서 수직진동 형상

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0 2 4 6 8 10

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8 10

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

37

그림 4.7 경간-새그비 50 인 복합 모델의 변형 에너지 변화

그림 4.8 경간-새그비가 50 인 복합 모델의 진동 중 고유진동수 변화

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 2 4 6 8 10

1st Natural Frequency

2nd Natural Frequency

Freq

uenc

y (H

z)

Time (sec)

0 100

1 105

2 105

3 105

4 105

0 2 4 6 8 10

Strain Energy of Cable

Strain Energy of Beam

Time (sec)

Ener

gy (N

-m)

38

그림 4.9 복합 모델과 케이블 모델의 중앙 절점에서 수직 진동형상 비교

그림 4.10 경간-새그비 50 인 복합 모델의 장력

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0 2 4 6 8 10

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

Hybrid ModelCable Model

-4 106

-2 106

0 100

2 106

4 106

6 106

8 106

0 1 2 3 4 5

Tens

ion

(N)

Time (sec)

39

그림 4.11 경간-새그비 50 인 케이블 모델의 장력

그림 4.12 복합모델의 시간 간격에 따른 중앙 절점에서 수직 진동 형상

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0 2 4 6 8 10

Time Step : 1/500Time Step : 1/100

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

-6 106

-4 106

-2 106

0 100

2 106

4 106

6 106

8 106

0 1 2 3 4 5

Tens

ion

(N)

Time (sec)

40

그림 4.13 케이블 모델의 시간 간격에 따른 중앙 절점에서 수직 진동 형상

4.2.2 지반 가진 진동 해석 : 양 지점 지반 가속도가 같은 경우 (CASE I)

양 지점 가진 가속도가 같은 경우 양 지점의 상대 변위가 없으므로 강체

운동을 한다고 볼 수 있다. 따라서 케이블의 수직방향 진동 보다는 수평방향

진동이 지배적이다. 그림 4.14 는 0.35 Hz 로 가진 시에 중앙 절점의 수평방향

진동 형상이다. 케이블 전체의 진동형상은 CD-ROM 부록 동영상 4 에 첨부되어

있다. 진동 형상이 정확하게 지점에서 가진 형상과 일치한다. 그림 4.15 는 같은

가진 조건에서 중앙 절점의 수직방향 진동 형상이다. 매우 작은 크기의 진폭을

보인다.

그림 4.16 은 수직 방향 진동의 1 차 고유진동수인 1.085 Hz 로 가진한 경우

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10

Time Step : 1/500 secTime Step : 1/100 sec

Ver

tical

Pos

ition

(m) V

ertical Position (m)

Time (sec)

41

수직방향 진동 형상이다. 전체 진동 형상은 CD-ROM 부록 동영상 5 에 첨부되

어있다. 가진 주파수가 수직 방향 1 차 고유진동수와 같으므로 0.35 Hz 로 가진

한 경우와 비교하여 상대적으로 큰 수직 방향 진동 형상을 보인다. 공진 진동

수 임에도 불구하고 완전히 발산하지 않는 이유는 그림 4.8 에 보였듯이 케이블

의 고유진동수가 진동 중에 일정하지 않은 것이 첫 번째 이유이고, 두 번째 이

유는 양 지점의 상대변위가 없는 가진을 받고 있으므로 수직 방향 진동 보다는

수평방향 진동이 지배적이기 때문이다. 그림 4.17 은 같은 조건에서 중앙 절점

의 수평방향 진동 형상이다. 수직 방향 공진 진동수의 영향을 거의 받지 않는

것을 알 수 있다. 그림 4.18 은 수직방향 1,2 차 고유진동수에 대한 2% Rayleigh

감쇠를 적용하였을 경우의 중앙 절점의 수직방향 진동형상이다. 감쇠의 영향이

전혀 나타나지 않는다.

그림 4.19, 4.20 은 수평 방향 1 차 고유진동수인 25.7 Hz 로 가진한 경우 수

평, 수직 방향 진동 형상이다. 전체 진동 형상은 CD-ROM 부록 동영상 6 에 첨

부되어있다. 1.085 Hz 로 가진한 경우와 반대로 수평방향 진폭이 가진 진폭보다

100 배 이상 커졌고, 수직 방향 진폭은 공진의 영향을 받지 않았다. 그림 4.21

은 1.085 Hz 로 가진 하는 경우와 마찬가지로 수직방향 1, 2 차 고유진동수에 대

한 2% Rayleigh 감쇠를 적용하였을 경우의 중앙 절점의 수평방향 진동형상이다.

감쇠의 영향으로 최대 진폭이 약 90% 가량 감소하였고 약 3 초 이후부터는 일

정한 진폭을 가지는 진동 형상을 보인다.

42

그림 4.14 0.35 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I)

그림 4.15 0.35 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I)

49.0

49.5

50.0

50.5

51.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

horizontal Position Ground Motion

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

) Ground M

otion (m)

Time (sec)

-2.00010

-2.00005

-2.00000

-1.99995

-1.99990

-1.99985

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

43

그림 4.16 1.085 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I)

그림 4.17 1.085 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I)

49.85

49.90

49.95

50.00

50.05

50.10

50.15

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30

horizontal position ground motion

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

) Ground M

otion (m)

Time (sec)

-2.02

-2.00

-1.98

-1.96

-1.94

-1.92

0 5 10 15 20 25 30

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

44

그림 4.18 2%감쇠, 1.085 Hz 로 가진 시 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I)

그림 4.19 25.7 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I)

49.97

49.98

49.99

50.00

50.01

50.02

50.03

0 2 4 6 8 10

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

-2.02

-2.00

-1.98

-1.96

-1.94

-1.92

0 5 10 15 20 25 30

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

45

그림 4. 20 25.7 Hz 로 가진한 경우 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case I)

그림 4.21 2%감쇠, 25.7 Hz 로 가진 시 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case I)

-2.00030

-2.00025

-2.00020

-2.00015

-2.00010

-2.00005

-2.00000

-1.99995

0 2 4 6 8 10

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

49.9980

49.9985

49.9990

49.9995

50.0000

50.0005

50.0010

50.0015

50.0020

0 2 4 6 8 10

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

46

4.2.3 지반 가진 진동 해석 : 양 지점 지반 가속도가 다른 경우 (CASE II)

양 지점에서 가진 가속도가 다른 경우 가속도가 같은 경우와는 매우 다른

거동 양상을 보인다. 양 지점에서 지반 가속도가 다르면 양 지점 사이에 상대

변위가 생기게 되고, 상대 변위에 의해서 케이블의 형상이 달라지기 때문이다.

케이블은 지점 변위에 매우 민감하므로 작은 지점 변위에 의해서도 매우 큰 형

상의 변화를 보인다.

그림 4.22 는 0.35 Hz 로 가진했을 경우 양 지점 사이의 상대 변위가 최대가

되었을 때 정해석으로 구한 케이블 형상을 나타낸 그래프이다. 이와 같이 케이

블은 지점에서 발생하는 상대 변위에 대하여 매우 민감하게 반응한다. 따라서

양 지점의 가진 가속도가 같은 경우와는 반대로 수직 방향 진동이 수평방향 진

동에 비하여 거동에 더 큰 영향을 미친다. 그림 4.23 은 중앙 절점에서 수평방

향 진동 형상을 그린 그래프이다. 전체적인 진동 형상은 CD-ROM 부록 동영상

7 에 수록되어있다. 이 경우 양 지점의 가진 진폭이 ± 0.8m, ± 0.72m 가 되는데

가운데 절점에서의 진폭은 정확하게 ± 0.76m 이므로 수평방향 진동은 앞의 예

제와 마찬가지로 지반 운동의 지배를 받는다. 그림 4.24 는 중앙 절점의 수직방

향 진동 형상을 그린 그래프이다. 그림 4.22 에서 중앙 절점위치의 편차는

0.68m 인데 비하여 그림 4.24 에서의 최대 진폭은 1.657m 이므로 수직방향 진동

이 지배적임을 알 수 있다.

그림 4.26 는 정적 평형 상태에서 수직 방향 1 차 고유진동수인 1.085 Hz 로

47

가진한 경우의 수직방향 진동형상이다. 전체적인 진동 형상은 CD-ROM 부록 동

영상 8 에 수록되어있다. 그림 4.25 는 가진 진폭의 차이에 따른 지점의 상대 변

위가 발생했을 경우 정적 평형 상태에서 케이블 형상이다. 이 경우 중앙 절점

에서의 상대 변위의 크기는 0.14m 이지만 그림 4.26 에서 수직 진폭은 최대

3.5m 까지 발생을 하고 가진 후 10 초부터 불규칙한 진동 형상을 보이므로 공진

이 발생한 것을 알 수 있다. 그러나 수평방향 진동형상은 그림 4.27 과 같이 공

진으로 인한 영향을 거의 받지 않는 것을 알 수 있다. 그림 4.28 은 수직방향

1,2 차 고유진동수에 대한 2% Rayleigh 감쇠를 적용하였을 경우의 중앙 절점의

수직방향 진동형상이다. 감쇠로 영향이 전혀 나타나지 않는다.

그림 4.29, 4.30 은 정적 평형상태에서 수평방향 진동의 1 차 고유진동수인

25.7 Hz 의 진동수로 가진한 경우 중앙 절점에서 발생하는 수평, 수직 방향 진

동 형상 그래프이다. 수평, 수직 방향 진동 형상은 수평방향 진동에서 공진 현

상이 발생한 것을 볼 수 있다. 그러나, 양 지점 사이의 상대 변위가 매우 작기

때문에 양쪽 지점에서 가진 가속도가 같을 경우의 진동 형상인 그림 4.19, 4.20

과 거의 비슷한 진동 형상을 보인다. 전체적인 진동 형상은 CD-ROM 부록 동

영상 9 에 수록되어있다. 그림 4.31 은 1.085 Hz 가진 케이스와 마찬가지로 수직

방향 1,2 차 고유진동수에 대한 2% Rayleigh 감쇠를 적용하였을 경우의 중앙 절

점의 수평방향 진동형상이다. 감쇠의 영향으로 최대 진폭이 약 90% 가량 감소

하였고 약 3 초 이후부터는 일정한 진폭을 가지는 진동 형상을 보인다.

48

그림 4.22 양 지점의 상대 변위에 따른 케이블 형상 비교(0.35 Hz 가진)

그림 4.23 0.35 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상(Case II)

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

0 20 40 60 80 100

vertical position (0.08m)vertical position(-0.08m)vertical position (0 m)

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Horizontal Position (m)

49.2

49.4

49.6

49.8

50.0

50.2

50.4

50.6

50.8

0 5 10 15 20 25 30

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

49

그림 4.24 0.35 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II)

그림 4.25 양 지점의 상대 변위에 따른 케이블 형상 비교(1.085 Hz 가진)

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

0 5 10 15 20 25 30

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

0 20 40 60 80 100

vertical position (0.00823m)vertical position(-0.00823m)vertical position (0 m)

Ver

tical

Pos

ition

(m

)

Horizontal Position (m)

50

그림 4.26 1.085 Hz 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II)

그림 4.27 1.085 Hz 의 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상 (Case II)

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

0 5 10 15 20 25 30

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

49.85

49.90

49.95

50.00

50.05

50.10

50.15

0 5 10 15 20 25 30

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

51

그림 4.28 2%감쇠, 1.085 Hz 로 가진 시 중앙 절점 수직방향 진동 형상(Case II)

그림 4.29 25.7 Hz 의 가진 시 중앙 절점에서 수평방향 진동 형상 (Case II)

49.97

49.98

49.99

50.00

50.01

50.02

50.03

0 2 4 6 8 10

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

0 5 10 15 20 25 30

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

52

그림 4. 30 25.7 Hz 의 가진 시 중앙 절점에서 수직방향 진동 형상 (Case II)

그림 4.31 2%감쇠, 25.7 Hz 로 가진 시 중앙 절점 수평방향 진동 형상(Case II)

-2.00025

-2.00020

-2.00015

-2.00010

-2.00005

-2.00000

-1.99995

0 2 4 6 8 10

Ver

tical

Pos

ition

(m)

Time (sec)

49.9980

49.9985

49.9990

49.9995

50.0000

50.0005

50.0010

50.0015

50.0020

0 2 4 6 8 10

Hor

izon

tal P

ositi

on (m

)

Time (sec)

53

5. 결 론

지금까지 개발된 해석 방법을 사용하면 장력 수준이 낮은 느슨한 케이블의 해

석 결과가 불안정하거나 케이블의 비선형성을 정확히 묘사하지 못하는 문제점

이 있었다. 이 논문에서는 느슨한 케이블 해석 시에 발생하는 수치적 불안정성

을 해결한 복합 모델을 제안한다.

케이블 모델을 이용하여 해석을 수행하는 경우 느슨한 케이블에서 수치적

불안정성이 발생한다. 수치적 불안정성이 발생하는 이유는 압축력이 발생할 경

우 강성도 행렬의 대각 요소가 음수가 되기 때문이다. 이러한 문제를 해결하기

위하여 보 요소를 케이블 모델에 결합하여 부족한 강성을 보완한다. 실제 케이

블은 이상화된 케이블 모델과는 다르게 약간의 휨 강성과 회전 관성을 가지고

있다. 그러므로 보 요소에 의한 휨 강성을 보완하여 실제 케이블과 더욱 가까

운 형태의 모델이 만들어진다.

제안된 복합 모델의 타당성을 확인하기 위하여 경간 길이 100m 인 수평케

이블에 적용하여보았다. 제안된 모델을 정적 평형상태에서의 고유치 해석을 할

경우 경간-새그비가 큰 케이블에서는 이전 연구 결과들과 같은 진동수를 보이

지만, 경간-새그비가 작은 느슨한 케이블에서는 보완된 강성으로 인하여 1,2 차

고유진동수가 증가하고, cross-over point 가 이전 연구 결과보다 경간-새그비가 작

아지는 결과를 나타내었다. 중력 방향으로 초기 변형을 주고 자유진동을 실시

54

할 경우 케이블 모델을 사용할 경우 느슨한 케이블 해석에서 발생하는 피크에

서의 심한 진동 형상과, 장력 변화가 안정화 되었다. 또한 케이블 모델을 사용

하였을 경우 진동 주기가 일정하게 나타나지 않았으나 복합 모델을 사용할 경

우에는 일정한 주기성이 명확히 나타났으며, 케이블 모델을 사용할 경우보다

더 긴 시간 간격을 이용하여 해석을 수행하여도 안정한 해석 결과를 보인다.

수평방향으로 지점을 가진하는 경우 양 지점의 가진 가속도가 같을 경우에는

수직방향 진동이 매우 작고, 수평방향 진동은 지점 가진 형상과 같은 진동 형

상을 보인다. 수평, 수직 방향 진동에 대한 정적 평형 상태에서의 고유진동수로

가진하여 공진을 발생시킬 경우 공진으로 인한 진폭의 증폭효과가 발생한다.

그러나 발산을 하는 결과는 보이지 않는다. 그 이유는 진동 중에 케이블의 형

상이 변하므로 변화하는 형상으로 인한 강성의 변화가 발생하기 때문에 구조물

의 고유진동수가 일정하지 못하기 때문이다. 양 지점의 가진 가속도가 다를 경

우 양 지점의 상대 변위로 인하여 수직 방향 진동이 지배적인 진동 형상을 보

이고, 수평방향 진동은 지반 가진 형상과 같은 형상을 보인다. 1,2 차 고유진동

수에 대한 Rayleigh 감쇠를 적용할 경우 수평, 수직 방향으로의 공진 진동수로

가진한 경우 수평방향 진동은 감쇠의 영향을 받지만 수직 방향 진동은 영향을

받지 않는다.

예제로 제안된 복합 모델의 타당성을 검증하였다. 제안된 모델은 느슨한 케

이블에서의 수치적 불안정성을 제거하고, 안정한 해석 결과를 나타낸다. 복합

모델을 이용하여 토목구조물에 대한 해석 뿐만 아니라 해양 구조물에 사용되는

55

접안 케이블(mooring cable)이나 고압 전선의 구조적 안전성 평가에도 사용될 수

있을 것으로 판단된다.

56

참고문헌

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Applications of Finite Element Analysis, 4th ed., John Wiley and Sons, New York,

NY

[18] Chopra, A.K. Dynamics of Structures, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River,

NJ

ABSTRACT

This paper derives the hybrid model to eliminate dynamic instability when analyzing slack

cable, and presents the nonlinear dynamic characteristics. Different from the highly

tensioned cable of cable supported bridge, compression is introduced into slack cable

during free vibration analysis and excited vibration analysis. When compression induced,

the stiffness matrix loses positive definiteness. Therefore, the compression occur severe

dynamic instability and it is impossible to use cable model. To solve this point at issue,

former researchers had used nonlinear frame element to analyze slack cable instead of

cable model. This research suggests the hybrid model by combining a beam element with a

cable model. The beam element has no axial stiffness and translational inertia, and only has

bending stiffness and rotational inertia. With the hybrid model, a beam element carries

compression and a cable model carries tension during vibration. The hybrid element draws

more stable solution with longer time step. Three numerical example is performed to

demonstrate the validity and the effectiveness of the proposed model compared with the

cable model. A suspension cable which has 50 span-sag ratio is used.

Key Word

Dynamic Equilibrium Equation, Natural Frequency, Non-linear Analysis, Stabilization,

Finite Element Analysis

Student Number : 2004-21266

감사의 글

많은 분들의 도움으로 미흡한 저의 논문을 마무리 할 수 있었습니다. 늘 열성적인 모

습으로 저를 지도해주셨던 이해성 선생님, 이 작은 지면을 빌어 정말 감사하다는 말씀

을 전하고 싶습니다. 가끔은 선생님의 야단이 속상할 때도 있었지만 학생에 대한 깊은

애정이 담긴 꾸지람인 것을 잘 알고 있습니다. 앞으로도 선생님의 기대에 부응하는 제

자가 되도록 노력하겠습니다. 그리고 학부, 석사과정을 거치면서 많은 가르침을 주셨던

장승필 교수님, 고현무 교수님, 오병환 교수님, 김재관 교수님께도 깊은 감사 드립니다.

회사에 계시지만 늘 연구실에 많은 관심을 쏟아주시는 용한이 형, 우리 연구실 1

호 커플이자 1호 박사이신 ‘여보세요’ 현우 형, 저에게 처음 케이블에 대하여 가르쳐

주시고 사소한 질문에도 자상한 설명을 해 주신 기석이 형, 스타 계의 지존이자 언제

나 열정적인 모습을 보여주시는 주성이 형, 방장으로서 언제나 연구실을 화목한 분위

기로 이끌어 준 승근이에게 감사의 말씀을 전합니다.

비록 지금은 먼저 취직하였지만 항상 나의 솔로 탈출을 위해 힘써준 세건이, 야행

성인 선배를 만나 항상 늦은 밤에 까지 같이 해준 재웅이, 연구실 입실 동기로 앞으로

케이블 해석을 이어갈 길제, 늘 열심히 하는 모습을 보이는 호진이, 종헌이 형, 살짝

늦게 연구실에 와서 클러스터의 소음에 고생한 상훈이 형, 그래픽 작업하느라 고생 많

았던 근원이, 그리고, 신입생 승한이 모두들 좋은 논문 쓰고 무사히 졸업하기를 기원하

고, 고맙다는 말을 전하고 싶습니다.

나의 투정과 엄살을 다 받아주었던 대학원 동기들, 술 한잔과 스타 한 판으로 나에

게 웃음을 주었던 준성이, 정규, 웅선이, 현철이, 승우 등 대학 동기들, 무슨 이야기

를 해도 늘 즐거운 사악파+α 친구들에게도 감사드립니다.

무엇보다도 언제나 저를 아껴주신 친지 여러분, 까탈스런 오빠 챙기느라 고생 많았

던 동생 연하, 마지막으로 언제나 아들의 건강과 미래를 걱정하여주시고 보살펴주신

아버지, 어머님께 진심으로 감사드리며 이 논문을 바칩니다.