PSICoursdeSII Page1/20 EvaluationdesperformancesdesSLCI--StabilitPSI Cours de SII C.I.2EVALUATION DES PERFORMANCES DUN SYSTEME ASSERVI ISTABILITE Table des matires 1Notiondestabilit..................................................................................................................3 1.1StabilitDfinitions.....................................................................................................3 1.2Aspectmathmatique:LesplesdelaFTBF................................................................3 1.3Rductiondelordredunsystmepledominant......................................................4 1.4Possibilitdinstabilitaprsbouclagedunsystmepourtantstable............................7 2tudedelastabilitpartirdelanalysedelaFTBF...........................................................9 2.1EtudedelastabilitpartirdesplesdelaFTBF.........................................................9 2.2CritredeRouthsimplifi..............................................................................................9 2.3ExempledelachainedergulationdelinclinaisonduscooterUNOIIIenmodeauto-balanc:..................................................................................................................................12 2.4Etudedelastabilitdessystmesmulti-variables........................................................12 3tudedelastabilitpartirdecritresgraphiquessurlaFTBO........................................15 3.1Stabilitd'unsystmeboucl........................................................................................15 3.2CritredureversdansleplandeBode.........................................................................16 3.3Margesdestabilit........................................................................................................17 3.4ApplicationsurlachainedergulationdelinclinaisonduscooterUNOIIIenmodeauto-balanc:..........................................................................................................................18 3.5Amortissementetmargedephase................................................................................19 4Causesdinstabilit..............................................................................................................20 4.1Lesretardspurs.............................................................................................................20 4.2Legainenboucleouverte.............................................................................................20 4.3Lesintgrateurs.............................................................................................................20 PSICoursdeSII Page2/20 EvaluationdesperformancesdesSLCI--StabilitExempledesystmeasservi:BPG Uno Scooter ConceptLe scooter BPG Uno III est un parfait exemplede systme asservi qui doit tre ncessairementstable pour un bon fonctionnement. Lquilibredu systme est notamment obtenu grce unsystme gyroscopique coupl un calculateurtraitant les informations et transmettant lesconsignesauxdeuxmoteurslectriquesquipantlesdeuxgroupespropulsion.(http://bpg-motors.com/).Onquantifielesperformancesdestabilit,prcisionetrapiditdunsystmeasservi,selonlvaluationde3critresquesontrespectivementlesdpassements,lerreuretletempsderponse5%.Lastabilitestunenotiongnralenonspcifiquedessystmesasservismaiselleprendcependantunegrandeimportancedanslecasdecessystmes,caronsouhaitetoujoursquunsystmeasservisoitstable.Lastabilitestdonclaperformancequel'onregardeenpremieretilestinutiledanalyserlesautresperformancessilesystmenestpasstable. UnoI(Conceptinitial)UnoIIIPSICoursdeSII Page3/20 EvaluationdesperformancesdesSLCI--Stabilit1Notion de stabilit 1.1Stabilit Dfinitions Exemplesdesystmesstables:figures1-1et1-2:Exempledesystmeinstable:figure1-3.Ladfinitiondelastabilitd'unsystmelinairepeutprendredeuxformesquivalentes:Unsystmeeststablesiuneentreborne*correspondunesortieborne.Unsystmeestditstablesisarponselibre**tendverszro,quandt.*Lentrepeuttreuneconsigneouuneperturbation**Lorsquelentreprsenteunretourzro(exempleunDirac,uncrneau)Unsystmerelinstableoscillejusqusadestruction.Cesoscillationssontdanslecasgnrallimitesparlesdiffrentessaturations(limitesdesamplificateursoprationnels,butesphysiques,).CeslimitationsphysiquesfontquelessystmesnesontplusmodlisablespardesSLCI.Ilsferontlobjetdtudesspcifiques.Nousallonsdvelopperdeuxtypesd'tudes,selonquel'onanalyselafonctiondetransfertenboucleferme(FTBF)dusystme,oubienlafonctiondetransfertenboucleouverte(FTBO).1.2Aspect mathmatique : Les ples de la FTBFConsidronsunsystmeasservimodlisparunefonctiondetransfertenbouclefermeT(p).Sionlesoumetuneimpulsione(t)=o(t)=E(p)=1,onobtient:S(p)=T(p)H(p)peuts'crire,pardcompositionenlmentssimples,souslaforme:T(p)=Ei=1nCi(p-pi)qiolespisontlesples(pi=ai+jeipourlesplescomplexes)delafonctiondetransfert.Lasortieseradelaforme:s(t)=A1+Ei=2n0Ait(i-1)(i-1)!+ Ek=1n1Bk.epk.t+Ej=1n2Djeoj.t.sin(ejt+)Onconstateauvudecetteexpressionquelarponseimpulsionnellegardeunevaleurfinie,silesconditionssuivantessontvrifies:-lespk(plesrels)etlesoj;(partiesrellesdesplescomplexes)doiventtrengatifspourquelesexponentiellescorrespondantessoientdcroissantes,-lesAidoiventtretousnulspourquelasortielibrereviennezro.Cequirevientdirequilnedoitpasyavoirdeplenul,doncpasdintgrateurdanslaFTBF. Figure1-1SLCIFigure1-2SLCIFigure1-3SLCIPSICoursdeSII Page4/20 EvaluationdesperformancesdesSLCI--StabilitOnpeutconcluredecettetudequepourqu'unsystmelinairesoitstable:-Ilfautquelesplesdesafonctiondetransfertsoient -desplesrelstousstrictementngatifs -desplescomplexespartierellestrictementngative.Exemple:unefonctiondetransfertenboucleferme:-2plesnuls-1plerelsimplep=a-1plereldoublep=b-2plescomplexesconjugussimplesp=cj.dOnsoumetcemodleuneentreenDirace(t)=o(t)=E(p)=1S(p)peutdoncscrire:( )2 2 2 2N( p )S(p)=H(p) E(p)=H(p) 1p (p-a).(p-b) . (p-c) d = +S(p)peutensuitesedcomposer:1 2 1 22 2 2 2A A B C C D.p ES(p)p p a p b p ( p b ) ( p c ) d+= + + + + + +LatransformeinversedeLaplacedeS(p)permetleretourtemporel:a.t b.t b.t c.t c.t1 2 1 2D.c Es( t ) A A .t B.e C .e C .t.e D.e .cos( d.t ) .e .sin( d.t ) .u( t )d+ | |= + + + + + + |\ .Pourquelasortiereviennezro,ilnefautpasdintgrateuretilfautquea,b,c,ngatifs.Cequirevientbiendirequelesplesdelapartierelledesracineseststrictementngative.Cetnoncnepermetcependantpasdequalifierlecomportementd'unsystmeasservi.Eneffet,unsystmetrsmalamortiserastableausensstrictduterme,maisjugd'unestabilitinsuffisante(mauvaisamortissement).End'autrestermes,ilnousserancessaired'allerau-deldecettedfinitionpourprciserlaqualitdelastabilitd'unsystmedonn.1.3Rduction de lordre dun systme ple dominant. Pourmieuxencomprendrelerledesplesdelafonctiondetransfertenboucleferme,(FTBF),onareprsentdansleplancomplexe(fig1-4et1-5)lalluredelarponselimpulsiondeDiracselonlapositiondesplesdelaFTBFdunsystme. On retrouve les sorties instables dj tudies correspondant des parties rellesngativesounulles.Pourlesplespartierellengative,larponseconvergeverszroetpluslepleestloigndelaxeimaginaire,plusladcroissanceestrapide.Lamortissementcrot.Onobservequelesracinescomplexesconjuguesfontapparatredesoscillations.Ondistinguelesracinesrellesparleurabsencedoscillation.Lecasparticulierdusecondordre:onpeutreliercescomportementslvolutiondelapulsationpropree0etducoefficientdamortissementz. PSICoursdeSII Page5/20 EvaluationdesperformancesdesSLCI--StabilitCasparticulier1:Unsystmeprsentantuncertainnombredeplescomplexespartierellenulleestunsystmejusteoscillant(ousystmemarginalementstablemaisconsidrinstable.Casparticulier2:Unsystmeintgrateurpur(deFTBF=1/p)estunsystmeinstablecaruneentreenchelonconduitunesortieenrampe.Exempledeplespourunsecondordre:220 0KT(p)=2 z p1+ p + ReImLamortissementdelarponsecrotINSTABILITEINSTABLEts(t)INSTABLEts(t)PlemultipleINSTABLEts(t)PlesimpleINSTABLEts(t)PlemultipleINSTABLEts(t)ts(t)PlesimpleQUASIINSTABLEPlesconjugusPlesconjugusPlesconjugusPlesconjugusSTABLEts(t) STABLEts(t)STABLEts(t)STABLEts(t)Pseudo-pulsationdelarponsecrotSTABILITEFigure1-4Casdesracinesrellesz>1 2i 0 0r =-z z -1 Casdesracinescomplexesz-180G