2 circuits monophasés -...

Chapitre

2

Machines électriquesLST GESA

Circuits Monophasés

Systèmes monophasés

2

2 Plan

•Fonctions Périodiques

•Grandeurs sinusoïdales

•Importance du régime sinusoïdal

•Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale

•Exemple


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2 Fonctions Périodiques

Une fonction périodique est une fonction qui vérifie la relation f(t)=f(t+nT), où n est un nombre entier et T la période mesurée en unité de temps.


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2 Quelques définitions

Valeur crête ou amplitude A:valeur maximale d’une fonction périodique


5


Valeur crête à crête:écart maximal d’amplitude atteint durant une période


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•Valeur moyenne


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•Valeur efficace:

En anglais: rms value (Root Mean Square)

La valeur efficace est toujours positive !

2 2 21 2 ....... n

eff

X X XX X

n


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•Facteur de forme:

Régime Sinusoidal :

eff

moy

XFX

0.707 1.110.632

eff m

moy m

X XFX X

•Facteur de crête:

Régime Sinusoidal :

max

moy

XFX

1.4140.632

m m

moy m

X XFX X


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2 Fonctions sinusoïdales


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2 Fonctions sinusoïdales : fréquence

Fréquence: Nombre de cycle par unité de temps


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2

L’unité de mesure la fréquence: le Hertz (Hz)

Un Hertz correspond à la fréquence d’un phénomène périodique dont la période T est une seconde

Heinrich Hertz (1857-1894), physicienallemand. Ses travaux confirmèrent lathéorie électromagnétique de la lumièrede Maxwell.

Fonctions sinusoïdales : fréquence


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2 Fonction sinusoïdale: fréquence angulaire ou pulsation

Fréquence angulaire ou pulsation: ω

Unité rad/s


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2 Fonction sinusoïdale: valeurs moyenne et efficace

• Valeur moyenne

• Valeur efficace


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2 Valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale:

•Valeurs efficaces


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2 Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales

• Déphasage entre u(t) et i(t): ϕ = α − β• Remarque: on considère toujours la valeur principale du déphasage comprise entre –π et π.

•ϕ > 0 tension en avance sur le courant•ϕ < 0 tension en retard sur le courant


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2 Échauffement d’une résistance

Lorsque la tension est sinusoïdale, la puissance moyenne dissipée dans une résistance est égale à l’intégrale, sur une période, du produit du courant et de la tension instantanés.


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18



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La valeur efficace a été définie de sorte qu’un volt continu ou 1 volt alternatif produise le même échauffement dans une résistance!


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2 Importance du régime sinusoïdal

La production d’énergie électrique fournit une tension sinusoïdale: conversion énergie mécanique – énergie électrique: rotation d’un bobinage placé dans un champmagnétique


21


La seule fonction périodique qui possède une dérivée et une intégrale analogue


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La somme de deux fonctions sinusoïdales est une fonction sinusoïdale


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2

Développement en série de Fourier: représentation d’unsignal périodique f(t) par des fonctions sinusoïdales

Importance du régime sinusoïdal


24

2Représentation d’un signal périodique par desfonctions sinusoïdales:

Exemple :

Fonction sinusoïdale redressée:

2 Premiers termes de la série de Fourier:


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Exemple :

Fonction sinusoïdale redressée:

4 premiers termes de la série de Fourier


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Exemple :

Fonction triangulaire

4 premiers termes de la série de Fourier


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Transformation de Fourier:Généralisation de la série de FourierAnalyse fréquentielle de signaux nonpériodiques


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2 Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale


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30



31

2

• Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension appliquée u(t)• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des éléments et celui fourni par la source• Tracer chacun de ces courants

Exemple 1

Ri Ci Li( ) 170cos 157,16

u t t

17046,80,722

RC FL H


32

2 Exemple 1


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2

Cet exemple nous montre que la solution pour uncircuit simple est déjà laborieuse et deviendraitvite inutilisable pour des problèmes complexes.

Exemple 1


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2

• Phaseurs et nombres complexe• Nombres complexes

– Notions d’algèbre complexe– Formule d’Euler– Dérivation et intégration

• Phaseurs– Définition– Opérations élémentaires

• Impédance et admittance

Circuits en régime sinusoïdal


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2 Phaseurs et nombres complexes

Phaseur: moyen simple de représenter des tensions et courants sinusoïdaux. Cette méthode a été proposée par C.P. Steinmetz et est basée sur la relation d’Euler

Charles Proteus Steinmetz (1865-1923),ingénieur électricien américain d’origineallemande. Il développa la méthodesymbolique pour les calculs en courantalternatif.

Transformation dePhaseurs

max 0( ) cosv t V t V


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2


37

2 Nombres complexes: définition

• On appelle nombre complexe z toute expression de la forme

Avec

z a jb

1j 2 1j

3j j 4 1j …….etc

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), astronome,mathématicien et physicien allemand. Ilintroduisit le calcul complexe en 1801


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2

• Égalité de deux nombres complexes

•Conjugué complexe de

Notions d’algèbre complexe


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2

• Addition et soustraction

• Multiplication



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2

• Division

•Conjugué complexe des opérations élémentaires



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2

Nombres complexes:

représentation géométrique

z a jb On appelle a la partie réelle, et b la partie imaginaire du nombre complexe z. Re( ) Im( )a z b z

Représentation dans le plan complexe:


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2

: Module du nombre complexe

: Argument du nombre complexe

Nombres complexes:

représentation géométrique


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2

Nombres complexes:

D’autres propriétés

Distance entre deux nombre complexes:


44

2

Nombres complexes:

Formule d’Euler

Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suissemort à Saint-Pétersbourg


45

2

Nombres complexes:

Formule d’Euler


46

2

Nombres complexes:

Dérivation par rapport à l’argument


47

2

Nombres complexes:

Integration par rapport à l’argument


48

2

Puissance

Racine

Nombres complexes:

Puissance et Racine


49

2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale

Rappel: Formule d’Euler

Soit une fonction sinusoïdale

:valeur instantanée complexe


50

2 Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale


51

2 Le phaseur

Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le termeexp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.


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2 Le phaseur

Dans un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent,tous les courants et les tensions ont la même pulsation ω. Le termeexp(jωt) est donc commun à toutes les grandeurs (courants et tensions) du circuit. Toute grandeur peut être caractérisée uniquement par son amplitude (valeur efficace) X et sa phase θ.


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2 Diagramme des phaseurs


54

2

Addition

Opérations élémentaires sur les phaseurs


55

2

SoustractionOpérations élémentaires sur les phaseurs


56

2

Multiplication



57

2

Quotient



58

2 Dérivation d’une grandeur sinusoïdale


59

2 Dérivation d’une grandeur sinusoïdale


60

2 Integration d’une grandeur sinusoïdale


61

2 Dérivation et intégration d’une grandeur sinusoïdale

• L’utilisation d’une représentation complexe des grandeurssinusoïdales permet de remplacer les opérations dedérivation et d’intégration par une multiplication ou unedivision par jω.

• Ainsi une équation intégro-différentielle se transforme enune équation algébrique!


62

2 Interprétation géométrique


63

2 Interprétation géométrique


64

2 Impédance et admittance

L’impédance complexe d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal:

L’admittance complexe d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal:


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Z exprimé en ohm Y exprimé en siemens


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68

2 Application à la résistance


69

2 Application à une inductance


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2 Application à un condensateur


71

2

•Evaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension appliquée u(t)• Déterminer analytiquement le courant dans chacun des éléments et celui fourni par la source• Tracer chacun de ces courants

Ri Ci Li( ) 170cos 157,16

u t t

17046,80,722

RC FL H

Exemple


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2

• Source avec impédance interne• Réseaux d’impédances

– Impédances en série– Impédance en parallèle

• Diagramme de phaseur et d’impédance• Lieu complexe• Diviseurs de tension et de courant• Théorèmes de Thévenin et de Norton en régime Sinusoïdal• Exemples


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2

Généralisation de la notion de résistance interne: impédance interne

iZ

0U

I

uZU

0 iU U Z I

Source avec impédance interne


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2 Source avec impédance interne

Représentation équivalente en terme de source de courant

1i

i

YZ

I

U1

uu

YZ

0I

0

1i

i

i

YZ

I I Y U


75

2 Equivalence sources de tension/courant

1i

i

YZ

I

U1

uu

YZ

0I

iZ

0U

I

uZU

0 0

000

i

ii

U Z IUI Y UZ


76

2 Mise en série d’impédances (d’admittances)

1Z2Z 3Z nZ s kZ Z

1

n

s kk

Z Z

1 1

1 1 11s n n

sk

k k k

YZ Z

Y


77

2

1Y 2Y nY..............p kY Y

1

n

P kk

Y Y

1 1

1 1 11P n n

Pk

k k k

ZY Y

Z

Mise en parallèle d’impédances (d’admittances)


78

2 Bipôles composites élémentaires


79

2 Bipôles composites élémentaires


80

2 Diagramme d’impédance


81

2

Circuit RLC série

Diagramme d’impédance


82

2

Circuit RLC série



83

2

R CLI

U

Circuit RLC série



84

2

3R 3LI

3U

1R

2L

1C

1U

1I

2I

Diagramme de phaseur: circuit série-parallèle


85

2 Lieu complexe: circuit résonnant série


86

2 Lieu complexe: circuit résonnant série


87

2 Tripôles équivalents


88

2 Diviseurs de tension


89

2 Théorème de Thévenin en régime sinusoïdal

Toutes les sources ont la même fréquence


90

2 Théorème de Norton en régime sinusoïdal

Toutes les sources ont la même fréquence


91

2 Exemple 1: Circuit RL série


92

2 Exemple 2: Circuit RC série


93

2 Exemple 3: Circuit RLC

Déterminer le courant i(t)


94

2 Exemple 4: Théorème de Thévenin


95

2

•Puissance instantanée en régime sinusoïdal• Puissance active P• Puissance réactive Q• P et Q pour une résistance, une inductance, une capacité• P et Q pour une impédance• Puissance apparente S• Facteur de puissance• Correction du facteur de puissance• Exemple

Circuits en régime sinusoïdal IV


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2 Puissance instantanée en régime sinusoïdal


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100



101

2 Puissances active et réactive


102

2 P et Q pour une résistance


103

2 P et Q pour une Inductance


104

2 P et Q pour une Inductance


105

2 P et Q pour une mpédence


106

2 Puissance apparente complexe


107

2 S pour une impédance


108

2 S pour une impédance


109

2 Puissance Apparente


110

2

Ligne monophasée, charge RL en série

Puissance réactive: exemple


111

2 Puissance réactive: exemple


112

2 Puissance réactive: exemple


113

2

kVA

RkW

kVA

Puissance réactive: exemple


114

2 Facteur de puissance


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2 Amélioration du facteur de puissance

•En général, dans l’industrie, les charges sont de nature inductive

• Pour tirer le maximum des équipements, la puissance réelle doit se rapprocher le plus possible de la puissance apparente, i.e. on doit minimiser la puissance réactive


116

2

•Dans le triangle des puissances, la longueur S doit tendre vers celle de P et φ doit être aussi petit que possible.

• On diminue cet angle en ajoutant des condensateurs en parallèle avec la charge: c’est la correction du facteur de puissance.

Amélioration du facteur de puissance


117

2

•Réduit la puissance réactive et le courant absorbé par la charge.• La puissance active transitée par les transformateurs est optimisée.• Réduit la chute de tension dans les conducteurs.• Réduit les pertes de puissance dans les conducteurs lors• La section de conducteur peut être réduite au minimum (économies).• Le prix de base de l'énergie électrique (kWh) augmente si le FP est faible. • Moins de puissance doit être généré (avantages environnementaux).

Avantage de l’amélioration du facteur de puissance

2 circuits monophasés -...

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