2 calc algebrique

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

CALCUL ALGEBRIQUE Activit conseille Activit conseille

p20 n1 : Reconnatre la forme dune expression algbrique

p60 n1 : Reconnatre la forme dune expression algbrique

ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014 I. Somme de termes et produit de facteurs

1. Exemples :

Sommes (ou diffrences) de termes

Produits de facteurs

x 3 (2x + 4) + 3x

(5 x) (9 + 9x) 3 + (2 + 3x)(x 2)

(6x + 1)( x 1) 2(1 + 6x)

(8 x)(2 + x) (3 + 8x)(x 8)2

Remarque :

x23

est appel un quotient. Cest le produit de 3 et de linverse de 2 x.

2. Valeurs interdites :

Pour certaines expressions dpendantes de x, il existe des valeurs de x pour lesquelles on ne peut pas calculer lexpression. Exemple :

Soit A(x) = 5

4xx

++

.

Pour x = -4, 4 + x = 0. Il nest donc pas possible de calculer A(-4). Pour lexpression A(x), x dsigne un nombre rel diffrent de -4.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

p35 n1 4 p35 n6 et 7

Ecrire des phrases exprimant des expressions algbriques

p75 n1 5 p83 n105, 106

Ecrire des phrases exprimant des expressions algbriques

ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014

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II. Dvelopper et factoriser 1. Distributivit

Dfinitions : Dvelopper cest transformer un produit en une somme (ou diffrence) de termes. Factoriser cest transformer une somme en un produit de facteurs. Exemple :

x(4 y) = 4x xy On dit que la multiplication est distributive par rapport laddition (ou la soustraction). Dans lexemple, on a distribu la multiplication par x sur les termes 4 et y.

2. Double-distributivit Proprit :

3. Identits remarquables Proprit : Pour tous nombres rels a et b, on a :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 (a + b)(a b) = a2 b2

DEVELOPPER

FACTORISER

DEVELOPPER

FACTORISER

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Exemples : 3x 5( )

2= 3x( )2 2 3x 5+52 = 9x2 30x + 25

2x 1( ) 2x +1( ) = 2x( )212 = 4x2 1

25x2 + 20x + 4 = 5x( )2 + 20x + 22 = 5x + 2( )2

Mthode : Dvelopper une expression Dvelopper et rduire lexpression suivante :

A = x + 2( ) 4x 3( ) x 7 x( ) On dveloppe le membre de gauche en appliquant la double-distributivit et le membre de droite en appliquant la distributivit.

A = x + 2( ) 4x 3( ) x 7 x( )= 4x2 3x + 8x 6 7x + x2

= 5x2 2x 6

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

p35 n8 p35 n10 p36 n11 14

p39 n61

p75 n6 10 p75 n11


4. Factoriser

Mthode : Factoriser une expression Factoriser les expressions suivantes :

B = 3 2 + 3x( ) 5+ 2x( ) 2 + 3x( )C = 2 5x( )2 2 5x( ) 1+ x( )D = 5 1 2x( ) 4 + 3x( ) 2x 1( )E = 3x2 x

Pour factoriser, il faut trouver dans chacun des termes de lexpression un facteur commun. Il sagit ici de 2 + 3x. B = 3(2 + 3x) (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(3 (5 + 2x)) = (2 + 3x)(3 5 2x) = (2 + 3x)( 2 2x)

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C = (2 5x)2 (2 5x)(1 + x) = (2 5x)(2 5x) (2 5x)(1 + x) = (2 5x)((2 5x) (1 + x)) = (2 5x)(2 5x 1 x) = (2 5x)(1 6x ) Lorsque le facteur commun nest pas immdiatement apparent, il est parfois possible de modifier lcriture dun des termes de lexpression pour faire apparatre un facteur commun : D = 5(1 2x) (4 + 3x)(2x 1) = 5(1 2x) + (4 + 3x)(1 2x) = (1 2x)(5 + (4 + 3x)) = (1 2x)(9 + 3x) E = 3x2 x = 3x2 x x 1 = x(3x 1) Exercices conseills Exercices conseills

p36 n17 et 18 p75 n12, 13 p81 n76, 77 p80 n64, 65 p81 n74*

ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014 Mthode : Factoriser en utilisant une identit remarquable Factoriser lexpression suivante : A = (3x + 1)2 49 On reconnat une identit remarquable du type a b = (a b)(a + b) avec a = 3x + 1 et b = 7. A = (3x + 1)2 49 = (3x + 1)2 72 = ((3x + 1) 7)((3x + 1) + 7) = (3x + 1 7)(3x + 1 + 7) = (3x 6)(3x + 8)

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Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir p36 n19 21 p36 n23 p40 n64

p36 n22 p75 n14, 15, 17, 16*, 18*


III. Rduire au mme dnominateur Dfinition : Rduire au mme dnominateur c'est transformer une somme (ou une diffrence) de deux fractions en une seule fraction. Proprit : Pour tout nombre a, b, c et d, rels on a :

ab+ c

d= ad

bd+ bc

bd= ad + bc

bd

Mthode : Rduire au mme dnominateur Rduire les expressions suivantes au mme dnominateur :

A = 7x

x 2

53 x

B = 3+ 5x

2x +1

A = 7xx 2

5

3 x

=7x 3 x( )

x 2( ) 3 x( ) 5 x 2( )

3 x( ) x 2( )=

7x 3 x( ) 5 x 2( )x 2( ) 3 x( )

=21x 7x2 5x +10

x 2( ) 3 x( )=7x2 +16x +10

x 2( ) 3 x( )

B = 3+ 5x2x +1

=31+

5x2x +1

=3 2x +1( )

2x +1+

5x2x +1

=3 2x +1( ) + 5x

2x +1

=6x + 3+ 5x

2x +1

=11x + 32x +1

Exercices conseills Exercices conseills

p36 n25 27 p80 n67, 68 ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014

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