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CEA/SHFJ 1ESIEA – Reconstruction tomographique

Méthodes standards de

reconstruction tomographique

en SPECT/PET

Philippe Ciuciu (CEA/SHFJ)

[email protected]

http://www.madic.org/people/ciuciu


Cours préparé à partir des cours de Master de physique

médicale, Univ. Paris Sud (Orsay)

d‘Irène Buvat (CNRS, INSERM U678)

Et

de Claude Comtat (CEA/SHFJ)


Plan

Le problème de la reconstruction tomograhique

Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée

Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées


Problématique : images détectées par la gamma caméra

Intégrale du rayonnement émis dans différentes directions


Problématique : signaux détectés par le tomographe à EP

Lignes de réponse dans toutes les directions

plans droits

plans croisés

plans droits


Problématique : estimer la distribution 3D du radiotraceur

coupe transaxiale(ou transverse)

coupe coronale

coupe sagittale

… à partir de mesures intégrales de cette distribution dans différentes directions


Reconstruction tomographique : factorisation du problème

volume 3D étudié

détecteur en position 1 projection 2D

x

y

z

Ensemble de projections 2D

reconstruction d’un volume 3D

Ensemble de projections 1D

détecteur en position 1 projection 1D

coupe axiale

juxtaposition des coupes volume 3D

reconstruction d’une coupe 2D


Principe de la reconstruction tomographique

projection 1 3 4

16 32 64

rétroprojection

r


projection filtréer

rétroprojection filtrée

Principe de la reconstruction tomographique


Opérateurs impliqués en reconstruction tomographique

u = x cos + y sin

p(u,) = f(x,y) dv-

f *(x,y) = p(u,) d

0

projection rétroprojection

x

yv


Théorème de la tranche centrale

x = cos y = sin du.dv = dx.dy

transformée de Fourier 1D

P(,) = f(x,y) e-i2u du.dv = f(x,y) e-i2(xx+yy) dx.dy -

+

-

+

-

+

-

+

x

y

u = x cos + y sin v

p(u,)

p(u,) = f(x,y) dv-

+P(,) = p(u,) e-i2u du

-

+


Plan





Rétroprojection filtrée

x = cos y = sin

= x2 + y

2

d x.d y = d.du = x cos + y sin

f(x,y) = F(x, y) ei2(xx+yy) d x. d y

-

+

-

+P(,) = F(x, y)

= P(, ) ei2(xx+yy) d x. d y -

+

-

+

= P(, ) | |ei2u d . d 0

-

+

= p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) | |ei2u d 0

-

+


p(u,)

P(,) || P(,) p’(u,)

f(x,y)

TF

filtrage TF-1

rétroprojection

projections images reconstruites

+f(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d

0 -

Algorithme de rétroprojection filtrée


Filtered Back-Projection FBP :

1) calculer la transformée de Fourier 1D d’une

projection pour un angle fixé

2) multiplier par le filtre rampe ||

3) calculer la transformée de Fourier inverse 1D de

la projection filtrée

4) rétroprojeter la projection filtrée

5) répéter les étapes 1 à 4 pour chaque angle



p(xr,)

xr

p(xr,)*h(xr)

xr

Convolution par le filtre rampe

h(xr) = F-1{|vxr|}

Opération de projection effectuée

par le scannerRétroprojection



Insuffisance du filtre rampe

w

filtre rampe x filtre de Hann filtre résultant

||

0

1

0 0,8

||w

0 0,8

0

1

0 0,8

1

0

+

||wf(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d

0 -


Effet du Filtrage

16 36 72 144

1 2 4 8

Sans filtrage,# = 144

Avec filtrage,# = 144

1 2 4 8

16 36 72 144


SPECT cérébral HMPAO Tc-99m

Syndrome de fatigue chronique

Avant traitement Après traitement IRM anatomique


Plan





Reconstruction analytique vs algébrique

rétroprojection filtrée reconstruction algébrique


Améliorer le Compromis Résolution Bruit

Modèles plus complexes :bruit statistiquedispositif d’acquisition

analytique itérative

reconstructions itératives

reconstructions analytiques

Modèle :Intégrale ligne


Reconstructions Itératives en TEP

Modèle « réaliste »

Trop complexe pour une inversion analytique directe

Approcher la solution pas à pas, en partant d’une image initiale


Plutôt que d’estimer la distribution 3D par une implémentation discrète d’une solution analytique telle que FBP (opération directe), on l’estime par une succession d’affinages :

• meilleure modélisation du dispositif discret d’acquisition des données que le modèle de l’intégrale ligne

• incorporation d’un modèle statistique de bruit dans les données

• Intégration durant le processus de reconstruction

d’informations a priori connues sur l’image.

Reconstructions Itératives


Reconstructions Algébriques et Statistiques

On distingue deux classes d’approches itératives:

1)algébriques [1]

– incluent un modèle discret du dispositif d’acquisition

2)statistiques

– incluent un modèle discret du dispositif d’acquisition

– incluent un modèle statistique du bruit

– peuvent inclure un a priori (bayésiennes)


Reconstructions Itératives : Caractéristiques

Une reconstruction itérative est caractérisée par [Fessler98]:

• Un modèle paramétrique de l’image, = {j | j = 1,...,n} ;

• un modèle des mesures, reliant les données discrètes

mesurées y = {yi | i = 1,...,m} à l’image :

• un modèle du bruit, c’est-à-dire une distribution de

probabilité pour y ;

• Un critère à minimiser et un algorithme itératif de

minimisation

1

Em

i ij jj

y A


Plan





Paramétrisation de l’Image

• Voxel

1

, , , ,

1 , , / 2avec , ,

0 sinon

n

j j j jj

f x y z x x y y z z

x y zx y z

2 2 2

1

, ,n

j j j jj

f x y z b x x y y z z

• Blobs :fonctions à symétrie sphérique (fonctions généralisées de Kaiser-Bessel) qui se chevauchent [Lewitt90,Lewitt92]

1

, , , ,n

j jj

f x y z f x y z

Paramétrisation non unique de l’image


Modèle d’acquisition : Matrice système

3 3

1

E d dm

i i i j jj

y s f s f

x x x x x x

si(x) probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant en x.

Aij probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant dans le voxel j

A peut être complexe à souhait…

3

1

E avec dm

i ij j ij i jj

y A A s f

x x x

approche matricielle


Matrice Système géométrique

Pixel j

paire de détecteurs i

i) projection géométriqueAij volume d’intersection entre le voxel j et la LOR i


ii) angle solideAij angle solide sous lequel la paire de détecteurs i est vue depuis le voxel j

Pixel j

ij

paire de détecteurs ipaire de détecteurs i

ij’

Pixel j’

ij’ > ij

Matrice Système géométrique (suite)


• profondeur de pénétration dans le cristal

Pixel j

• diffusions dans les cristaux• non-colinéarité de la paire

de photons• LOR non mesurées (gaps)• …

Pixel j

Modéliser dans la matrice système


Matrice système peut être gigantesque (tera-octet)

1) calculer les éléments de la matrice en ligne (routine clinique, généralement uniquement géométrique)

2) techniques de factorisation [Qi98] :

A = Asens. dét. Arép. dét. Aattn Agéom.

Asens. dét. : sensibilité des détecteurs (diagonale)

Arép. dét. : fonction de réponse des détecteurs

Aattn : atténuation (diagonale)

Agéom. : projection géométrique

Factorisation de la matrice système


Modèle du Bruit (TEP)Hypothèse de Poisson pour l’acquisition si :

• le nombre d’atomes du traceur injecté suit une distribution de Poisson

• les localisations spatiales des atomes du traceur, en tout instant, sont des variables aléatoires indépendantes

• les instants auxquels surviennent la désintégration des atomes du traceur sont des variables aléatoires indépendantes, qui suivent une loi exponentielle de moyenne = t1/2/ln2

• les processus de détection de chaque désintégration sont des processus aléatoires indépendants (pas de temps mort)


Plan





Données pré-traitées :ré-échantillonage, correction de l’efficacité de détection, de l’atténuation, des coïncidences fortuites et diffusées, du temps mort,…

Données pas Poisson

Données Poisson : corrections dans la matrice système

Pour satisfaire un modèle de Poisson, il faut inclure TOUTES les corrections dans la matrice système et ne reconstruire que des données brutes. Souvent, non réalisable.

Modèle du Bruit (suite)


Choix d’un modèle statistique de bruit• Aucun : y = A·

• Bruit blanc gaussien :

voxels j

Poissoni ij jy A

voxels j

Gauss , 1ii i ij j yy y A

• Bruit gaussien corrélé/coloré

• Bruit poissonnien

voxels j

Gauss , à déterminer ...ii i ij j yy y A

Avec bruit : y = A·b


Distributions de Poisson et de Gauss

Distribution de Poisson :• variable entière positive• un seul paramètre

(moyenne = variance)

2

e!

,

x nxP n x

n

n x n x

Distribution de Gauss :• variable réelle• deux paramètres

(moyenne et variance)

21

2

2 2

1, e

2

,

x x

P x x

x x x


Fonction de Coût/Critère

(y,A) terme d’attache de l’image aux données de projection mesurées y, ie vraisemblance des observations

U() terme d’attache de à un modèle a priori de l’image ie terme de régularisation

Contrainte (non négativité, …)

ˆ arg min ( , ) ( )U

0

y A


Attache aux données :vraisemblance

• Bruit poissonnien : distance de Kullback-Leibler [Titterington87]

Mesure la distance entre les mesures et le modèle

2( , ) i i

i

y y A A

22( , ) i i ii

y y A A

( , ) log ii i i

ii

yy y

y A A

A

i ij jj

A A

• Bruit blanc gaussien : terme de moindres-carrés

• Bruit gaussien corrélé : moindres-carrés pondérés (WLS)

[Fessler94]


Maximum de vraisemblance

Approche statistique : terme d’attache aux données maximum de vraisemblance

ˆ arg max log ( | ) ( )p U y

Modèle de bruit poissonnien :

log ( | ) log , , log !i i i ii

p L y y y A A

MLˆ arg max L

Maximum de vraisemblance (ML), sans a priori


Maximum a Posteriori

Approche statistique : modèle a priori règle de Bayes

| |

log | log log

p pa posteriori p

p

p L p p

yy

y

y y

Maximum a posteriori (MAP) [Hebert89]

MAPˆ arg max logL p

Typiquement : e Up


Exemple d’A Priori : Champ de MarkovChamp de Markov : modèle de corrélations spatiales locales

N3D 3D ( )

( )j k

jkj k N j

VU

d

2quad.

2

Huber 2

2

2

2

V t t

t tV t

t t

[Geman84]


Incorporation Information Anatomique

Modèle simple :

désactiver (jk = 0) les corrélations locales si deux voxels j et k appartiennent à deux structures anatomiques différentes

3D ( )

( )j k

jkjkj k N j

VU

d

Image anatomique obtenue par : IRM ou Rayons X (CT)


Maximisation itérative du critère

Une fois définis :

• un modèle de l’image (voxels, blobs)

• un modèle de l’acquisition (matrice A)

• un modèle statistique du bruit (Poisson, Gauss)

• un critère (Moindres-Carrés, ML, MAP)

Il nous reste à choisir un algorithme permettant de le maximiser

Algorithme le plus classique :

EM-ML et variations (OSEM, RAMLA, …)


Algorithme Expectation Maximization (EM) [Dempster77]

Critère : fonction de vraisemblance (ML)Algorithme EM : recherche du maximum de vraisemblance

MLˆ arg max log , ,i i i

i

y

A A

A) Absence de maxima locaux

2L : semi-définie négative car T · 2L·

L() est concave : maximisation locale converge vers un

maximum global

22Matrice Hessian :

,ik i il

k l ii

A y ALL

A


MLˆ arg max log , ,i i i

i

y

A A

Espace incomplet y :

pas de maximisation analytique car p(yi|) dépend de {j | j = 1,...,n}

Espace complet x (y+données manquantes) :

contribution du voxel j à la mesure i {xij | j = 1,...,n; i = 1,...,m; yi = jxj}

p(xij|j) ne dépend que de j

EM-ML (2)


log | log log !ij ij j ij j iji j

p x A A x x

Maximisation analytique désormais possible

Mais x inconnu !!!

Principe de l’algorithme EM [Dempster77]

Plutôt que de maximiser log p(x | ), on maximise

l’espérance sur x de log p(x | ), en utilisant une

estimation (p) de pour estimer x

EM-ML (3)


EM-ML (4)

Deux étapes dans EM :

1) calcul de l’espérance (E-step)

2) maximisation de l’espérance (M-step)

On montre que L((p+1)) L((p))

| E log | ,p pQ p x y

1 arg max |p pQ


E-step :

( )

| , log,

pij jp

i i ij jpi j i

AQ y A

A

A

M-step :

( )( 1)

,

pjp i

j ij pij i i

i

yA

A

A

EM-ML (5)


Exemple d’application de EM-ML

itérations : 1 2 3 4

itérations : 6 8 16 32


EM-ML : inconvénients

• convergence trop lente pour cette application

– EM version accélérée : OSEM

– autre algorithme de maximisation : RAMLA

• amplification du bruit avec les itérations

– régularisation de MV : MAP (=MVP)

– arrêter avant convergence

– lisser l’image reconstruite


EM-ML : Convergence Lente

L(

), Q

(

(p) )

L()Q((p)), approximation de L()


OSEM : Accélération de EM-ML

( )( 1)

,s

s

sjs i

j ij sij i S i

i S

yA

A

A

Ordered-Subset Expectation Maximization [Hudson94]

1 itération M subsets

M EM iterations

Sous-itération : utiliser qu’un sous-ensemble de projections (subset)


RAMLA : Alternative à EM-ML

Row Action Maximum Likelihood Algorithm [Browne96]

Row Action : uniquement 1 mesure yi est considérée par sous-itération (1 ligne i de Aij)

( 1) ( ) ( ) 1,

avec mod 1

s

s

s

is s sj j s j i js

i

s

yA

i s m

A

s : paramètre de relaxationis : choix de l’ordre des mesures important pour accélérer

convergence


EM/ML : amplification du bruit Arrêter après 12 itérations ?


Régulariser ML• Approche de type MAP (aussi appelée PML pour

Penalized ML)

– inclure dans la fonction un a priori de lissage (terme de régularisation)

– maximisation plus complexe, dépendant du terme de régularisation : De Pierro MAP-EM modifié (valable avec OSMAP) [1], Gradient conjugé pré-conditionné [2], Space-alterning generalized EM (SAGE) [3], …

• Arrêt avant convergence et/ou post-filtrage

• Corrélations locales introduites par la paramétrisation de l’image (blobs)


Régularisation : résolution vs bruit

Poids de la régularisation,

• paramètre (PML/PWLS)

• largeur filtre de lissage (après OSEM)

• largeur blobs• fréquence coupure(FBP),

fixe le rapport signal-sur-bruit. Compromis bruit-contraste dépend du critère et du modèle de bruit.


FORE+OSEM : modèle de bruit incorrect

Implémentation classique de EM-ML en milieu clinique :• acquisition en mode 3D pour sensibilité • OSEM 2D pour rapiditéS

pre-correct3D data

Post-filtration Gauss

FORE OSEM

A = Agéom.

• FORE exige des projections consistantes, corrigées pour les fortuits, l’attenuation, les diffusés, etc.

• Données corrigées ne sont plus distribuées selon Poisson.

• ML (OSEM) s’attend à des données distribuées selon Poisson


Modèle de bruit incorrect artéfactsImages moyennes de 50 simulations, 1 à 10 itérations

FORE+AWOSEM

FORE+OSEM

FORE+AWOSEM

FORE+OSEM


Attenuation-Weighted OSEM (AWOSEM)

Solution simple à mettre en œuvre

HypothèseCorrection de l’atténuation responsable de la plus grande partie de la déviation à une distribution de Poisson en corps-entier

Inclure la correction de l’atténuation dans la matrice système

pre-correct

3D data

Post-filtration Gauss

FORE OSEMA = Aattn Agéom.

de-correct 2D attn

.


Application à données corps-entier FDG

3DRP FORE+OSEM FORE+AWOSEM

shfj


ConclusionReconstructions itératives : grandes potentialités,

MAIS

attention à la manière dont elles sont mises en œuvres :

• une mauvaise modélisation (acquisition, bruit, a priori) peut induire des erreurs de quantification importantes (biais) ;

• prendre garde à la vitesse non-uniforme de convergence (AWOSEM plus lent que OSEM)

• bien valider leur emploi par rapport à leurs conditions d’utilisation

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