18 décembre 2015 - professeur à l'institut de science
TRANSCRIPT
Mémoire présenté devant l’ENSAE Paris Tech
pour l’obtention du diplôme de la filière Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
18 décembre 2015
Par : Clémence ABRAHAMIAN
Titre: Volcans, météorites et convergence
Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de l’Institut
des Actuaires signature
Entreprise :
Nom : Scor IP
Signature :
Membres présents du jury de la filière Directeur de mémoire en entreprise :
Nom : Edern Le Roux
Signature :
Invité :
Nom :
Signature :
Autorisation de publication et de
mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels
(après expiration de l’éventuel délai de
confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat Signature du candidat
Bibliothèque :
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE)
3, Avenue Pierre Larousse – 92245, MALAKOFF CEDEX, FRANCE
Résumé
Mots clés : catastrophe naturelle, modèle catastrophe, volcan, météorite, quantile, loiempirique, convergence, période de retour.
Du fait de sa probabilité d’occurrence faible, le risque associé aux éruptions volcaniqueset aux chutes de météorites n’est pas toujours modélisé. Ces catastrophes naturelles sontmalgré tout couvertes dans certains contrats d’assurance et de réassurance.
L’objectif de ce mémoire est de construire pour ces deux périls un modèle catastrophepermettant de déterminer une distribution de pertes à l’échelle d’un pays et à l’échellemondiale.
Ces modèles utilisent le PIB par habitant croisé avec la densité de population pour déter-miner l’exposition. La modélisation de l’aléa se base sur une observation de la fréquenceet de la sévérité historique. La vulnérabilité à l’aléa volcanique se base sur des rapports dedestruction pour les événements historiques majeurs. Pour les météorites, la vulnérabilitéest déterminée par le lien entre l’énergie dégagée et le taux de destruction similaire à celuiobservé lors d’explosions nucléaires.
On observe une grande volatilité des résultats pour ces périls de faible fréquence et desévérité extrême. Une étude des théorèmes de convergence de la distribution empiriquepermet de maîtriser cette volatilité. On détermine ainsi un intervalle de confiance pourchaque période de retour dépendant du nombre d’années de simulation et du modèlesous-jacent.
Abstract
Key words : natural disaster, catastrophe modelling, volcano, meteorite, quantile, em-pirical distribution, convergence, return period.
Due to their low occurrence probability, the risks related to volcanic eruptions andmeteorite falls are not always modeled. Still, these natural disasters are covered by someinsurance and reinsurance contracts.
The main goal of this thesis is to build a catastrophe model for these two perils for deter-mining a loss distribution at the country level and at the global scale.
These models use the GDP per capita and the population density in order to determinethe exposure. The hazard modelling is based on observation of the historical frequencyand severity. The vulnerability to volcanic hazard draws on destruction reports about thesignificant historical events. For meteorites, vulnerability is determined by the relation-ship between the total energy released and the destruction rate similar to that observedin nuclear explosions.
There is a high volatility in results for those perils with low frequency and extreme severity.Study on convergence theorems for empirical distribution enable to control this volatility.Thus, it is possible to calculate a confidence interval for each return period depending onthe number of years simulated and the underlying model.
2
Remerciements
Je tiens particulièrement à remercier la SCOR pour m’avoir donné l’opportunité de réalisermon stage de fin d’études dans un environnement professionnel de qualité.
J’adresse toute ma gratitude à Edern LE ROUX pour avoir accepté d’encadrer mon mémoireet pour sa disponibilité, sa pédagogie et ses encouragements.
Je remercie l’équipe ILS de SCOR Investment Partners pour m’avoir accueillie dans leuréquipe.
Je suis reconnaissante à l’INSA de Toulouse ainsi qu’à l’ENSAE pour la qualité de leurs en-seignements.
Je tiens également à remercier les stagiaires de la SCOR, notamment Morgane BARDON, Clo-thilde DAVESNE, Léa MALAPERT, Sara MARZAK et Julie PLOUTON pour leurs conseils,leurs partages d’expérience et leur sympathie au quotidien.
3
Table des matières
1 Présentation 71.1 Les catastrophes naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Modèles CAT [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Module exposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Module aléa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Module vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Module financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Périls non modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Couverture assurantielle des périls non modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Différentes approches de modélisation du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Modélisation basée sur l’historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Modélisation purement physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3 Approche hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Convergence des lois empiriques 182.1 Inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Théorème de Glivenko-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Convergence quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Approximation de la distribution de quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . 192.8 Distribution statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 Distribution du quantile empirique de loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 202.10 Loi du quantile empirique de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Modèle d’éruption volcanique 243.1 Description du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Formation et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Étapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Module vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3 Module aléa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.4 Module exposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4
3.3 Approche exacte du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Période de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Approche par simulation du modèle 1 et étude sur la convergence . . . . . . . . 403.4.1 Fonctions empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Distribution des quantiles empiriques du modèle . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.1 « Fit » de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2 Distribution des quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Modèle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8 Comparaison des modèles et résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8.1 Comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8.2 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.8.3 Résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Météorites 654.1 Introduction et description du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Evénements historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Étapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Étude de la vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.3 Module aléa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.4 Exposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.5 Evénements historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.6 Étude de la répartition des pertes économiques à l’échelle mondiale . . . 754.3.7 Résultat à l’échelle mondiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.8 Résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.9 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Conclusion 86
Annexes 94A Indice d’explosivité volcanique (VEI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94B Lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C Estimation de paramètres de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5
Introduction
La plupart des contrats d’assurance et de réassurance couvrent le risque d’exposition auxcatastrophes naturelles. L’occurrence d’une ou plusieurs de ces catastrophes peut causer despertes importantes pour l’assureur et le réassureur, voire mettre à mal sa solvabilité.
Afin d’évaluer ce type de risques, les compagnies utilisent des modèles catastrophes (RMS,EQE, AIR) permettant de simuler des événements naturels et de déterminer leur impact fi-nancier sur un portefeuille.Il existe des modèles pour de nombreux périls comme les ouragans Atlantique et les tremble-ments de terre Californie mais certaines catastrophes telles que les éruptions volcaniques etles chutes de météorites ne sont pas encore modélisées.
Ce mémoire s’intéresse au risque induit par une éruption volcanique et au risque consécutifà un impact météoritique. L’objectif de ce mémoire est de construire pour ces deux périls unmodèle catastrophe permettant de déterminer une distribution de pertes à l’échelle mondialeet à l’échelle de certains pays.
Les propriétés et théorèmes sur la convergence des fonctions empiriques sont également dis-cutés et un résultat sur la distribution des quantiles empiriques en fonction du nombre desimulation et du modèle sous-jacent est présenté.
La première partie du mémoire fait l’objet d’une description du contexte de l’étude. En premierlieu sont introduits les catastrophes naturelles et les modèles CAT associés. En second lieu,les périls non modélisés sont présentés.La deuxième partie présente les propriétés sur la convergence des fonctions empiriques etpropose un résultat sur la distribution des quantiles empiriques.La troisième partie s’intéresse à la modélisation de ces deux périls supercatastrophique : leséruptions volcaniques et les chutes de météorites. Chacun de ces risques est traité en deuxgrandes étapes : une présentation détaillée du risque étudié suivi de la modélisation du péril.
6
1 Présentation
1.1 Les catastrophes naturellesLes tempêtes, les inondations, les tremblements de terres, les tsunamis, les éruptions volca-niques sont des exemples de phénomènes naturels entraînant des dommages à la fois matérielset humains. Ces catastrophes sont définies comme naturelles en opposition aux catastrophes« man-made » causées par l’homme (AZF, Wall Trade Center, Costa Concordia...).La carte ci-dessous localise les catastrophes naturelles de l’année 2012.
Figure 1.1 : Catastrophes naturelles de l’année 2012
D’un point de vue assurantiel, les catastrophes naturelles sont des sinistres pouvant affecterun grand nombre de polices. L’assurance et la réassurance interviennent en effet dans l’aideà l’indemnisation de ce type de dommages.
7
Une distinction est faite entre pertes assurées, pertes économiques et pertes humaines. Lespertes économiques correspondent au coût total d’une catastrophe naturelle. Elles incluentles pertes liées aux dommages non assurés (bâtiments publics, centrales nucléaires, franchises...).Seule une partie des dommages occasionnés sont couverts par l’assurance. Le taux de pénétra-tion de l’assurance aux catastrophes naturelles dépend notamment du type de biens couverts(bâtiments publics, automobiles, résidentiel, commercial) et du pays. Par exemple, on estimequ’en France métropolitaine, 99% [5] des biens résidentiels sont assurés contre le tremblementde terre alors qu’au Japon, 28% [4] du marché est assuré.
Les tableaux 1.2, 1.3 et 1.4 reflètent ces différentes visions de l’impact des catastrophes na-turelles. Le tableau 1.2 représente les événements les plus coûteux depuis 1980 en terme depertes économiques. Le tableau 1.3 considère les pertes assurées. Le tableau 1.4 représente lesévénements les plus meurtriers de ces 35 dernières années.
Selon la vision de l’impact choisie, les événements recensés ne sont pas les mêmes. L’industriede l’assurance et de la réassurance s’intéresse principalement aux dommages assurés.
Figure 1.2 : Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de pertes économiques.
8
Figure 1.3 : Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de dommages assurés
Figure 1.4 : Catastrophes naturelles les plus meurtrières
Un assureur/réassureur s’engage à prendre en charge une partie de ces risques en échanged’une prime. Les assureurs comme les réassureurs doivent donc comprendre les effets et lescauses de tels événements afin de mieux les anticiper et honorer leurs engagements en cas desinistres. Afin d’estimer les impacts financiers liés à ces catastrophes naturelles, des modèlescatastrophes (appelés modèles CAT) ont fait leur apparition dans les années 90. Les principaux
9
modèles CAT sur le marché sont AIR (1987) [1], RMS (1988)[21] et EQE (1994) [6].
1.2 Modèles CAT [12]Un modèle CAT est chargé d’évaluer l’impact d’un péril naturel sur un portefeuille d’assuranceen prenant en compte la résistance des polices à ce péril (vulnérabilité) et les conditionsfinancières de ces polices (franchises, limites ...). Tous les modèles CAT sont construits suivantle même schéma et incluent les modules suivants :
• Module exposition
• Module aléa
• Module vulnérabilité
• Module financier
Figure 1.5 : Schéma de la structure d’un modèle CAT
1.2.1 Module exposition
Ce module est utilisé pour identifier la localisation géographique de chaque police en fonctiondes informations fournies. Cette géolocalisation est souvent définie par une adresse et nondes coordonnées géographiques. Il faut alors réussir à faire correspondre à cette adresse descoordonnées géographiques. On parle de géocodage.Parfois, une police peut être localisée dans une zone (un département par exemple) et non à
10
un emplacement précis. Le modèle doit alors « désagréger » cette police sur l’ensemble de lazone. A la fin de l’exécution du module exposition, les polices doivent être positionnées avecprécision sur une carte. Leur emplacement aura un impact direct sur l’exposition à l’aléa.
1.2.2 Module aléa
Le module aléa a pour but de déterminer à quelle fréquence et à quelle intensité le risquese matérialise. Ce module doit permettre de générer un catalogue stochastique d’événements.Ce module doit également extrapoler à partir d’un historique de données limité un ensembleplus large d’événements probables. Le module aléa peut être construit à partir de donnéeshistoriques, de modélisation physique ou stochastique1.
1.2.3 Module vulnérabilité
L’analyse de la vulnérabilité consiste en l’estimation des conséquences d’un aléa sur le planéconomique ou humain. Plus précisément, ce module crée des courbes de vulnérabilité reliantune intensité physique (vitesse de vent, mouvement de sol, hauteur d’eau...) à un taux dedestruction en fonction des caractéristiques des biens (type de bâtiments, âge du bâtiment...).Ces fonctions sont croissantes en fonction de l’intensité de l’événement. Elles peuvent êtredéterminées à l’aide d’une expertise ingénierie ou d’une analyse des sinistres historiques. Ce-pendant, deux structures ayant les mêmes caractéristiques et subissant un aléa identique neréagiront pas toujours de la même façon. Il existe donc une incertitude autour de la valeurmoyenne.
Figure 1.6 : Courbe de vulnérabilité et incertitude, RMS
La courbe de vulnérabilité permet ainsi de déterminer un taux de destruction pour une policeà partir de l’intensité de l’aléa.
1Cf Section 1.4
11
1.2.4 Module financier
Ce module transforme une perte brute en une perte nette. La perte nette est obtenue enappliquant à la perte brute les franchises, les limites, les traités de réassurance par risque, lacoassurance... Par exemple, dans le cas où les conditions financières se limitent à l’applicationd’une franchise et d’une limite, l’expression de la perte nette est la suivante :
PerteNette = max(min (PerteBrute − Franchise, Limite) , 0)
La perte nette est la somme qui est à charge de l’assureur. C’est la perte assurée.
1.3 Périls non modélisésCertains périls ne sont pas modélisés par les modèles CAT. Ceci peut s’expliquer par différentesraisons :
• La puissance de calculs nécessaire : Certains risques comme les inondations ou lagrêle doivent être étudiés de façon très précise puisqu’ils varient fortement en fonctionde la localisation (gradient de risque important). La maille d’analyse (en mètres) de cesrisques est d’environ 10m×10m et requière donc des capacités de calcul importantes. Parexemple, simuler les évènement inondations à une maille 10m×10m en Europe nécessitede modéliser les interactions physiques entre 1011 cellules.
• La petite probabilité d’occurrence : Les assureurs et réassureurs attachent peud’importance à certains périls ayant une faible fréquence d’apparition (éruptions volca-niques, impacts de météorite...).
• Exclusion de la feuille de route des modélisateurs : Certains risques ne sont pasencore modélisés par les modèles CAT par faute de temps. Les modélisateurs privilégientcertains périls, notamment pour des raisons commerciales. Par exemple, les modèles detremblements de terre et d’ouragans aux États-Unis ont été les premiers développés.
Ainsi, les inondations au Canada, les tempêtes en Australie, la grêle en Europe, les érup-tions volcaniques, les chutes de météorites... sont des périls peu ou pas modélisés en 2015.L’occurrence d’une de ces catastrophes peut néanmoins avoir des conséquences majeures pourl’industrie de l’assurance.
1.4 Couverture assurantielle des périls non modélisésCertains contrats d’assurance couvrent contre l’occurrence de périls non modéli-sés.
En France, la loi 82-600 du 13 juillet 1982 relative à l’indemnisation des victimes de catas-trophes naturelles introduit la garantie catastrophes naturelles. Voici un extrait de l’article 1de cette loi :
12
Figure 1.7 : Extrait de la loi 82-600 du 13 juillet 1982
Ainsi, cette garantie assure la couverture de tous les périls naturels, qu’ils soient modélisés ounon modélisés.Cependant, la législation autour de la couverture des catastrophes naturelles varie suivant lespays, voir au sein d’un même pays. Aux États-Unis, il existe par exemple des modalités decouverture spécifiques pour les tremblements de terre en Californie.
Les périls couverts dans les contrats de réassurance dépendent de l’écriture du contrat. Selonles contrats, les périls non modélisés peuvent être inclus ou exclus des couvertures. Ci-dessousun exemple de clause de contrat de réassurance.
Figure 1.8 : Extrait d’un contrat de réassurance
Les contrats d’assurance/réassurance évoluent dans le temps ainsi que le montrent les deuxcontrats ci-dessous, les périls concernant les éruptions volcaniques et les chutes de météoritesn’apparaissant qu’en 2015.
13
Figure 1.9 : Évolution des périls couverts dans les contrats de réassurance
1.5 Différentes approches de modélisation du risque
1.5.1 Modélisation basée sur l’historique
1.5.1.1 Approche « burning cost »
L’approche « burning cost » repose sur l’étude historique d’un échantillon de données. C’estune méthode par expérience basée sur la sinistralité observée dans le passé afin d’estimer lasinistralité future.Voici un exemple d’estimation de la perte annuelle moyenne en utilisant l’approche « burningcost » :
Figure 1.10 : Cas pratique « burning cost »
Le montant de la perte annuelle moyenne selon cette approche représente la moyenne despertes par année soit 16 635 544 e.Ainsi dans cet exemple, l’approche « burning cost » ne modélise pas l’occurrence d’une ca-tastrophe naturelle de perte supérieure à 45 millions d’e. Cette méthode de modélisation
14
purement historique est limitée par les événements antérieurs. Elle ne rend pas compte del’ensemble des scénarios probables.
La modélisation des catastrophes naturelles convient mal à une approche « burning cost » carce type de péril a généralement une faible fréquence et une forte intensité. Il arrive que l’onne dispose pas d’historique de pertes pour ce type de péril.
1.5.1.2 Approches par simulations basées sur l’historique
Ces approches se servent des données historiques afin d’extrapoler de nouvelles données engénérant des événements non observés mais probables.
Figure 1.11 : Exemple de « fit » d’une loi de fréquence à partir de l’historique
Certains modèles peuvent se servir de l’historique des pertes afin de calibrer des lois defréquence et de sévérité.Cependant, l’application de cette théorie sur un échantillon faible (faible historique) conduit àde fortes incertitudes d’estimations. En d’autres termes, ces techniques statistiques ne garan-tissent pas forcément la précision physique du catalogue des risques. C’est ici qu’interviennentles modèles purement physiques comme les modèles climatiques, utilisés depuis longtemps parla communauté scientifique pour mieux comprendre le système terrestre.
1.5.2 Modélisation purement physique
1.5.2.1 Les modèles climatiques
Les modèles physiques d’évaluation du risque tels que les modèles climatiques permettent demieux comprendre le système terrestre et les risques qui sont liés. Ils peuvent être utilisés
15
dans l’évaluation des risques naturels en apportant une précision physique.
Ces modèles sont des copies informatiques de la Terre et résolvent les équations qui régissentl’atmosphère et les océans. Leur objectif est de reproduire aussi fidèlement que possible
Figure 1.12 : Modèle de climat (ccstib)
le comportement du climat terrestre. La figure1.12 illustre la structure en 3D d’un modèleclimatique. Les modèles climatiques peuventêtre utilisés afin de concevoir des modules derisques liés à des phénomènes climatiques ex-trêmes complexes.
Les simulations à long terme de ces mo-dèles peuvent produire des événements ex-trêmes représentatifs des changements clima-tiques. On peut ainsi créer des modulesde risques spécifiques adaptés au futur en-vironnement de la Terre et réaliser desétudes sur l’impact des changements clima-tiques.
En pratique, un modèle purement physique peuts’avérer trop complexe à appliquer. Actuelle-
ment, les modèles climatiques sont utilisés pour des prévisions climatiques mais la résolutionspatio-temporelle des calculs diminue avec le temps de prévision. Les résultats de ces modèlessont précis à très court terme (1jour), satisfaisants entre 2 et 7 jours et médiocres au-delà.
1.5.2.2 Application à l’évaluation du risque sismique
Des modèles physiques pourraient modéliser de façon plus précise certains risques comme lerisque sismique. Il serait alors possible d’étudier les plaques tectoniques et leur vitesse dedéplacement, leur résistance, la force de tension... Les tremblements de terre et l’intensitéassociée pourraient alors être prédits.
1.5.2.3 Application à l’évaluation du risque volcanique
Le risque volcanique pourrait être évalué par des modèles physiques. Pour chaque volcan, ilest possible d’étudier la formation du magma, de suivre précisément l’évolution de la pressionà l’intérieur de la chambre magmatique, d’analyser le type de roches et d’en déduire la pro-babilité d’éruption et d’explosion. Des scientifiques réalisent d’ailleurs de nos jours ce genred’études sur certains volcans et sont capables de faire des prédictions à court terme. Cepen-dant, ces études requièrent du temps, un travail approfondi et des connaissances physiquespoussées. Il faut donc trouver un compromis entre des modèles statistiques et des étudespurement physiques.
16
1.5.3 Approche hybride
La plupart des modèles CAT ont aujourd’hui une modélisation hybride. C’est un mélangeentre modèles statistiques et caractéristiques physiques.
Prenons l’exemple d’un modèle ouragan Atlantique classique. Une approche basée sur l’histo-rique peut déterminer le lieu de formation ainsi que la trajectoire de l’ouragan en utilisant leslieux de formation historiques et leurs trajectoires. Les caractéristiques physiques permettentensuite de déduire l’empreinte de vent associée par exemple.
Il serait également possible de déterminer les points de formation d’ouragan de manière hy-bride : utiliser les ouragans passés afin d’obtenir des historiques de températures à la surfacede l’eau, des profondeurs d’eau et des cisaillements de vent verticaux. Utiliser les caractéris-tiques physiques afin de créer une fonction de ces différents paramètres pourrait permettre desimuler la création de ce type de phénomène :
17
2 Convergence des lois empiriques
Ce chapitre rappelle les théorèmes et résultats des lois empiriques puis présente une propriétésur la distribution des quantiles empiriques1.
2.1 Inverse généraliséL’inverse généralisé de la fonction de répartition F de X est défini par :
∀p ∈ [0, 1], F−1X (p) = inf{x ∈ R : F (x) ≥ p}
Par convention F (−∞) = limx→−∞
F (x), F (+∞) = 1 et inf∅ = +∞.
On appelle qp = F−1X (p) le quantile d’ordre p de la loi de X.
2.2 Fonction de répartition empiriqueLa fonction de répartition empirique d’un échantillon X1, ..., Xn est définie par
∀x ∈ R, Fn(x) = 1n
n∑i=1
1(Xi≤x).
2.3 Théorème de Glivenko-CantelliSoit X1, ..., Xn une suite de variables aléatoires i.i.d. de fonction de répartition F et soit Fnla fonction de répartition empirique de F . Alors
a) ∀x ∈ R, Fn(x) p.s.−→n→∞
F (x);
b) supx∈R|Fn(x)− F (x)| = ||Fn − F ||∞
p.s.−→n→∞
0
D’après le théorème de Glivenko-Cantelli la fonction de répartition empirique converge presquesûrement vers la fonction de répartition théorique.
1Informations tirées de [30, 3, 7, 8, 13]
18
2.4 Statistique d’ordre
Soit X1, ..., Xn une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. (X(1,n), ..., X(n,n))est la statistique d’ordre obtenue après réarrangement croissant de l’échantillon. On a donc :
X(1,n) ≤ X(2,n) ≤ ... ≤ X(n,n)
avec X(1,n) = min(X1, X2, ..., Xn) et X(n,n) = max(X1, X2, ..., Xn).Ainsi la statistique d’ordre de rang i d’un échantillon correspond à la i-ème plus petite valeur.
2.5 Quantiles empiriquesAvec les notations précédentes, on définit le quantile empirique d’ordre p de l’échantillonX1, ..., Xn noté Qn,p = F−1
n (p) comme étant
Qn,p = limε→0
X([np−ε]+1,n)
={
X(np,n) si np est entierX([np]+1,n) sinon.
où [np] désigne la partie entière de np.
2.6 Convergence quantiles empiriques
Soit p ∈ [0, 1]. Lorsque F est continue strictement croissante, la suite des quantiles empiriquesconverge presque sûrement vers les quantiles théoriques qp. Autrement dit
Qn,pp.s.−→n→∞
qp
2.7 Approximation de la distribution de quantiles empiriquesVoici un résultat sur la convergence des quantiles empiriques qui permet de connaître la vitessede convergence.Soit un échantillon X1, ..., Xn, on a p ∈]0, 1[ et qp le quantile théorique d’ordre p. On supposeque ∀i ∈ {1...n}, Xi possède une densité f continue en qp telle que f(qp) > 0. On se placedans le cas où np est entier. X(k,n) = X(np,n) est la statistique d’ordre de rang k et correspondau quantile empirique d’ordre p pour un nombre de simulation n. On a la convergence en loisuivante :
X(np,n) − qpLoi−→n→∞
N(
0, p(1− p)nf2(qp)
)On en déduit que pour n assez grand,
V ar(X(np,n)) = p(1− p)nf2(qp)
−→n→∞
0
19
2.8 Distribution statistique d’ordreSoit X1, ...Xn un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distri-buées de fonction de répartition FX . La fonction de répartition de la k-ème statistique d’ordreest alors :
P(X(k,n) ≤ x)
)= FX(k,n)(x) = P (au moins k des n X sont ≤ x)
=n∑j=k
(n
j
)P(X1 ≤ x)j(1− P(X1 ≤ x))n−j
=n∑j=k
(n
j
)F (x)j(1− F (x))n−j
En dérivant FX(k,n)(x) par rapport à x, la densité suivante est obtenue :
fX(k,n)(x) = k
(n
k
)F (x)k−1(1− F (x))n−kf(x)
2.9 Distribution du quantile empirique de loi uniformeProposition.Soit X1, ..., Xn un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distri-buées selon une loi uniforme U [0, 1].On définit k tel que
k ={
[np] si np entier[np] + 1 sinon
Alors, le quantile empirique d’ordre p correspond à la k-ème statistique d’ordre et suit une loiBeta : B(k, n− k + 1)
Démonstration.X1, ..., Xn ∼ U [0, 1].
f(x) ={
1 ∀x ∈ [0, 1]0 sinon.
F (x) =
0 ∀x < 0x ∀x ∈ [0, 1[1 ∀x ≥ 1
20
n=10 000
Tirages
Den
sité
0.997 0.9972 0.9974 0.9976 0.9978 0.998 0.9982 0.9984 0.9986 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1
020
040
060
080
010
00
n=100 000
Tirages
Den
sité
0.997 0.9972 0.9974 0.9976 0.9978 0.998 0.9982 0.9984 0.9986 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1
050
015
0025
0035
00
n=10 000 000
Tirages
Den
sité
0.997 0.9972 0.9974 0.9976 0.9978 0.998 0.9982 0.9984 0.9986 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1
010
000
2000
030
000
4000
0
Figure 2.1 : Densité de loi Beta pour différentes valeurs de n et p = 0.999
fX(k,n)(x) = k
(n
k
)F (x)k−1(1− F (x))n−kf(x)
= k
(n
k
)xk−1(1− x)n−k
= kn!
k!(n− k)!xk−1(1− x)n−k
= n!(k − 1)!(n− k)!x
k−1(1− x)n−k ∼ B(k, n− k + 1)
2.10 Loi du quantile empirique de variables aléatoiresProposition.Soit X1, ..., Xn un échantillon de variables aléatoires de fonction de répartition FX . Alors,∀p ∈ [0, 1], ∀n ∈ N, la fonction de répartition du quantile empirique Qn,p de X s’écrit :
21
FQn,p(x) = FZ(FX(x)) où Z ∼ B(k, n− k + 1)
On rappelle que k est défini tel que
k ={
[np] si np entier[np] + 1 sinon
Figure 2.2 : Illustration de la distribution du quantile empirique
Soit Qn,p = F−1X (U(k,n), alors la fonction de répartition de Qn,p s’écrit :
FQn,p(x) = P(Qn,p ≤ x) = P(F−1X (U(k,n)) ≤ x)
= P(FX(F−1X (U(k,n))) ≤ FX(x))
= P(U(k,n) ≤ FX(x))= FU(k,n)(FX(x))
U(k,n) représente la k-ème statistique d’ordre d’un échantillon de loi uniforme U [0, 1] et suitune loi Beta B(k, n− k + 1).
22
La distribution du quantile empirique s’obtient par composition de la fonction de répartitiond’une loi Beta correctement paramétrée (en fonction du nombre d’années de simulation n etde l’ordre du quantile) et de la fonction de répartition de X. En dérivant FQn,p , l’expressionsuivante de la densité fQn,p est obtenue :
fQn,p(x) = F ′U(k,n)(FX(x))× F ′X(x)
= fU(k,n)(FX(x))× fX(x)
23
3 Modèle d’éruption volcanique
Après une description du phénomène physique et des exemples historiques, l’objectif de cettepartie est la modélisation d’éruptions volcaniques.
3.1 Description du risqueLe nombre exact de volcans dans le monde est inconnu. Environ 1 500 volcans sont connuspour avoir été actifs au cours des 10 000 dernières années. On observe en moyenne 50 à 70éruptions dans le monde chaque année. Les informations ci-après sont tirées de [22, 25, 28].
3.1.1 Origine
Figure 3.1 : Structure interne de la Terre
La Terre est composée de plusieurscouches comme le montre la figure 3.1.Le noyau est divisé en deux parties ;la partie externe du noyau est à l’étatfondu, alors que la partie interne està l’état solide. Autour, on distingue lemanteau inférieur et le manteau supé-rieur. La croûte terrestre englobe cet en-semble.
Deux phénomènes sont à l’origine de lacréation des volcans :- Lorsque les plaques tectoniques se dé-placent au-dessus d’un point chaud fixetrès profond, on parle de volcanisme depoint chaud. Les îles volcaniques dans lesocéans sont de ce type. C’est le cas parexemple de l’île de la Réunion ou de l’ar-chipel d’Hawaï.- Lorsqu’une plaque océanique s’enfoncesous une plaque continentale ou sous une autre plaque océanique, ce phénomène entraîne laformation d’une cordillère ou d’un arc insulaire. On parle alors de volcanisme de subduction.La ceinture de feu du Pacifique (Ring of Fire) est constituée d’arcs volcaniques.
Le magma est un mélange de gaz et de roches en fusion. Il est issu de la fusion d’une partiedes roches du manteau supérieur et de la croûte terrestre. On retrouve dans le magma de
24
la vapeur d’eau, du dioxyde de carbone et du dioxyde de soufre. La viscosité du magmadépend de sa température, de sa teneur en eau, de sa teneur en gaz, de son acidité et de laprésence de sodium, calcium, magnésium et de fer. L’acidité dépend de sa teneur en silice. Unmagma acide a une viscosité élevée, il est riche en silice (plus de 66%). L’évolution du magmaest différente en fonction de sa composition et de sa localisation. On différencie le magmabasaltique, andésitique et rhyolitique. Le magma tend à remonter à la surface puisqu’il estmoins dense que les roches qui l’entourent (la densité du manteau est de 3.4 et celle du magmade 2.9). Lors de sa remontée, il peut s’accumuler à certains endroits appelés les chambresmagmatiques. Lors d’une éruption, le magma remonte de la chambre magmatique à la surfacepar la cheminée volcanique.
3.1.2 Formation et composition
Figure 3.2 : Schéma d’un volcan
Il y a deux grandes catégories d’éruptions :les éruptions effusives et les éruptions explo-sives :
- Les volcans effusifs résultent du phénomènede point chaud. Le magma des éruptions effu-sives peut atteindre 1 200◦) et est plutôt fluide.Il contient peu de silice (environ 45%). Quandune éruption survient, le magma sort aisémentet produit ainsi des coulées de laves relativementcalmes. Le magma fluide engendre des roches basal-tiques.
- Les volcans explosifs sont la conséquence d’unphénomène de subduction. Le magma des éruptions explosives est moins chaud (800◦) maisplus visqueux. Ce type de magma contient beaucoup de silice (70%). Lorsque le magmaremonte dans la cheminée, un dôme se crée et la pression à l’intérieur du volcan augmentejusqu’à ce qu’une explosion ait lieu. Le magma des volcans explosifs engendre des rochesvolcaniques de type andésites.
25
3.1.3 Impact
3.1.3.1 Effets des éruptions
- Les coulées de lave sont des cou-lées de roche en fusion (1000◦).Elles détruisent tout sur leur passagemais avancent lentement (environ 100m/h). Elles sont caractéristiques deséruptions effusives.- Les coulées de nuées ardentes (oupyroclastiques) sont des nuages degaz et de tephra se déplaçant à trèsgrande vitesse (200 à 600 km/h) et dehaute température (100◦-500◦). Le te-phra est un mélange de particules deroches et de cendres.- Phénomènes supplémentaires : Lescoulées de lahars, mélange d’eau etde débris de roches s’ajoutent parfoisà l’éruption. Elles peuvent s’apparen-ter à des coulées de boue. De plus,une éruption volcanique peut être àl’origine d’un séisme ou, si elle se pro-duit dans la mer et proche des côtes,à l’origine d’un tsunami. Figure 3.3 : Éruption du Lascar, Chili (1993)
3.1.3.2 Exemples de dégâts historiques
Ce paragraphe présente quelques exemples d’éruptions historiques et leurs impacts :
• L’éruption du Mont Pinatubo, Philippines (1991)
Elle est l’éruption de VEI 61 la plus récente et éjecta 10 km3 de magma. Environ 17 Mt deSO2 furent injectés dans la stratosphère. Le nuage de cendres recouvrit plus de 300 000 km2.400 km2 de terres furent totalement brûlées par les lahars. 2 000 km2 furent recouverts de10cm de cendres et 120 000 km2 d’au moins 10mm. Cette éruption eut un impact sur lestempératures mondiales avec un refroidissement global de 0.6◦dans l’hémisphère Nord.
1Le VEI mesure l’intensité de l’explosion. Pour une description détaillée du VEI, se référer à l’Annexe 1
26
• L’éruption du Mont Tambora, Indonésie (1815)
L’éruption du Mont Tambora est la plus récente éruption de VEI 7. Le son de l’explosionfut entendu à plus de 2 600 km du volcan. L’explosion fut 52 000 fois plus puissante que lebombardement d’Hiroshima [11] et environ 10 000 personnes furent directement tuées. Cetteéruption dégagea plus de 100 km3 de matériaux dans l’atmosphère et environ 400 000 km2
furent recouverts d’au moins 10 mm de tephra. Les rejets de SO2 dans l’atmosphère furent telsque le climat mondial subit en moyenne un refroidissement de 3◦. L’année 1816 fut appeléel’année sans été. Selon [20], le bilan humain de cette catastrophe a été estimé à plus de 100000 morts.
Figure 3.4 : 1816, l’année sans été
• L’éruption du Krakatoa, Indonésie (1883)
L’intensité de l’éruption de 1883 du Krakatoa est estimée de VEI 6. Les explosions furententendues à plus de 5 000 km. Le Krakatoa rejeta environ 20 km3 de matériaux. Cette année-là, les températures moyennes mondiales chutèrent de 1.2◦C. Une des particularités de cetteéruption fut la succession de tsunamis qui suivirent l’éruption. La vague la plus haute attein-gnit 47m. Le bilan humain fut catastrophique, le nombre de victimes étant estimé à plus de30 000 morts.
• L’éruption du Mont St. Helens, États-Unis (1980)
Le Mont St Helens se trouve dans l’Etat de Washington. L’éruption de 1980 de VEI 5 estl’éruption récente la plus importante aux États-Unis2. L’explosion dégagea une énergie équi-valente à 1 600 fois celle d’Hiroshima. 1.2 km3 de matériaux furent rejetés et de la cendre sepropagea sur plus de 57 000 km2. 57 personnes furent tuées et les pertes économiques ont étéestimées entre deux et trois milliards de dollars.
2dans les 48 États continentaux hors Alaska
27
• Caldeira de Yellowstone, États-Unis
Figure 3.5 : Localisation de la Caldeira de Yellowstone
La Caldeira de Yellowstone au nord-ouest des Etats-Unis est également appelée le super-volcande Yellowstone. S’étendant sur trois Etats (Wyoming, Idaho et Montana), c’est l’un des plusgrands super-volcans du monde, capable de produire une éruption de VEI 8. Trois éruptionshistoriques furent de cette intensité et sont à l’origine de la formation de la caldeira : la plusviolente connue s’est déroulée il y a 2.1 millions d’années, rejetant 2 450 km3 de matières.Une seconde éruption il y a 1.2 million d’années émit 280 km3 de matières volcaniques. Unetroisième connue sous le nom de l’éruption de Lava Creek s’est produite il y a 640 000 ans etrejeta 1 000 km3 de matériaux.
• Le volcanisme en France
Le risque volcanique concerne principalement les DOM-TOM : Guadeloupe, Martinique etRéunion. Des volcans en sommeil sont présents en Polynésie française et en métropole dansle Massif Central. A titre d’exemple, l’éruption de la montagne Pelée en 1902 est à l’ori-gine de la disparition de la ville de Saint-Pierre en Martinique. C’est une des éruptions lesplus meurtrières du XXème siècle (30 000 victimes). Le Piton de la Fournaise sur l’île de laRéunion est reconnu comme l’un des volcans les plus actifs de la planète ; ses éruptions sontfréquentes (plusieurs fois par an) mais de faible intensité. En métropole, on peut citer lesvolcans d’Auvergne considérés comme éteints.
28
3.2 ModélisationCette partie a pour objectif d’évaluer le risque volcanique en modélisant les éruptions les plusdestructrices (VEI ≥ 6). Les étapes de la modélisation sont similaires à celles des modèlesCAT. Après avoir créé la base de données, les taux de destruction seront déterminés dansle module vulnérabilité. Le module aléa associera la probabilité d’occurrence d’une éruptionextrême à un aléa géographique. Le module exposition utilisera la densité de population ainsique le PIB par habitant pour finalement pouvoir estimer les pertes associées.
3.2.1 Étapes préliminaires
3.2.1.1 Création de la base de données
L’objectif est de créer une base de données des éruptions volcaniques de VEI ≥ 6.La recherche a été effectuée à partir de plusieurs sources disponibles sur internet. Afin demaximiser la fiabilité de la base de données, les éruptions retenues sont les éruptions citéespar plusieurs sources [22, 25, 27, 9, 26]. La figure 3.6 est un extrait de cette base.
Figure 3.6 : Extrait de la base de données
Pour chaque éruption, le VEI, le nom, l’année, le lieu et les coordonnées correspondantes sontrenseignés. Cette base compte 93 éruptions de VEI ≥ 6 sur plusieurs millions d’années.
3.2.1.2 Discrétisation de la Terre
La surface de la Terre est divisée en 64 800 carrés. Chaque carré représente 1◦ de longitude et1◦ de latitude. Le périmètre de la Terre est de 40 075 km à l’équateur et correspond à 360◦.Par conséquent, un degré équivaut à 111,32km à l’équateur. 1◦ de latitude correspond toujoursà 111,32km mais 1◦ de longitude varie selon la latitude. 1◦ de longitude à une latitude de 60◦(latitude de Saint-Pétersbourg par exemple) correspond environ à 55,8km. La discrétisationde la Terre dans le modèle ne prend pas en compte ce phénomène et divise la Terre en carrésde 100km par 100km quel que soit la longitude et la latitude. On considérera donc par la suiteque l’aire de chaque carré est égale à 10 000 km2. La superficie totale de la Terre à partir dumodèle est donc de 650 millions de km2. En comparaison, la superficie réelle de la Terre est510 millions de km2.
29
3.2.1.3 Détection des pays
Il faut associer chaque carré à un pays. Pour ce faire, on teste tout d’abord si le centre dechaque cellule correspond à un pays. Pour tous les carrés dont le centre n’appartient à aucunpays, on procède au même test en considérant cette fois-ci le coin Nord-Ouest du carré. Ainside suite pour les trois autres coins du carré. A la fin de ces tests, tous les carrés ayant au moinsune portion dans un pays sont rattachés à ce pays. La figure 3.7 illustre cette méthodologie.
Figure 3.7 : Illustration de la méthodologie de détection des pays
Cette méthode teste si chaque carré est dans un pays ou non. Cependant, lorsqu’un pays estpartiellement dans le carré, toute l’aire du carré est identifiée comme faisant partie de ce pays.C’est le cas dans l’illustration ci-dessus avec la France. Une approximation de la superficie estdonc introduite par cette méthode.Voici une comparaison entre la superficie réelle et celle estimée pour certain pays.
Figure 3.8 : Comparaison de la superficie de certains pays
Ce phénomène sera amplifié pour les formes de pays non régulières ainsi que pour les îles. Autotal, 23866 carrés sur 64800 sont rattachés à un pays. Ceci équivaut à 36% de la planète, unnombre supérieur à la proportion réelle connue qui est de 29%.
3.2.2 Module vulnérabilité
Ce module a pour but d’estimer le taux de destruction lié à une éruption volcanique de VEIélevé. La destruction est estimée en étudiant les dégâts des éruptions historiques de VEI≥ 6.
30
L’éruption du Mont Tambora en 1815, de VEI 7, dégagea environ 100km3 de matières. Desdépôts de cendres volcaniques d’au moins un mètre furent enregistrés dans un rayon de 75kmautour du volcan.
Figure 3.9 : Destruction estimée de l’éruption du Mont Tambora (1815)
L’éruption du Pinatubo en 1991, de VEI 6, dégagea environ 10km3 de matériaux dans l’at-mosphère. Les 2 000 km2 alentour furent recouverts d’au moins 10 cm de cendres. Deux basesmilitaires américaines qui se trouvaient dans la région ont été sévèrement endommagées. Ellesétaient situées respectivement à 75 km SO et 25 km E de l’éruption.
31
Figure 3.10 : Destruction estimée du Pinatubo (1991)
Figure 3.11 : Schéma de matrice de des-truction
D’après ces informations historiques, on suppo-sera par la suite que le taux de destruction d’uneéruption volcanique de VEI élevé est de 40%dans un rayon de 50 km autour du volcan. Les100 km supplémentaires alentour seront suppo-sés partiellement détruits (1%). La figure 3.11schématise la matrice de destruction correspon-dante.
La perte totale en chaque carré sera calculée commela somme des pertes des carrés endommagés, enutilisant la matrice de destruction.
32
3.2.3 Module aléa
3.2.3.1 Probabilité d’occurrence
La base de données créée recense 54 éruptions de VEI 6, 30 éruptions de VEI 7 et 9 éruptionsde VEI 8 remontant à plusieurs millions d’années. La base de données est plus précise pourles époques récentes. On constate une augmentation de la fréquence avec le temps comme lemontre la figure ci-dessous sur les éruptions de VEI 6.
Figure 3.12 : Évolution dans le temps du nombre d’éruptions volcaniques
Selon la base, 21 éruptions de VEI 6 se sont produites durant les 2 derniers millénaires. Seule-ment 11 éruptions ont eu lieu durant les 2 millénaires précédents. Entre 2 000 et 4 000 ansavant notre ère, 4 éruptions sont recensées dans cette base. Il n’y a pas de raison justifiée pourque le nombre d’éruptions augmente avec le temps. Ceci peut en revanche s’expliquer parune meilleure observation des éruptions récentes, toutes les anciennes éruptions n’ayant pasencore été découvertes à ce jour. C’est pourquoi l’étude de la fréquence de ce type d’éruptionsera réalisée sur l’historique des 2 000 dernières années.
Sur cet historique, la base de données indique 21 éruptions de VEI 6 et 4 éruptions de VEI7. Au total, 25 éruptions de VEI ≥ 6 se sont produites sur les 2 000 dernières années ce quidonne donc une probabilité d’occurrence de 25/2000 = 0.0125.
Ainsi, la probabilité qu’il y ait une éruption de VEI ≥ 6 dans l’année est de p6/7 = 0.0125. Laprobabilité que l’intensité soit de VEI 6 sachant que l’éruption a eu lieu est p6 = 21/25 = 0.84et la probabilité qu’elle soit de VEI 7 est p7 = 4/25 = 0.16.
33
Par la suite, on ne fera pas de distinction entre la destruction d’un VEI 6 et d’un VEI 7 :on supposera donc que la probabilité d’occurrence d’une éruption de VEI élevé est 0.0125en appliquant la matrice de destruction déterminée dans le module vulnérabilité (mélange deVEI 6 et de VEI 7).
3.2.3.2 Aléa géographique
L’aléa géographique concerne l’étude de la répartition des volcans dans le monde.
Figure 3.13 : Répartition des volcans dans le monde
La base de données utilisée contient 1578 volcans et provient de [18, 25].On calcule la probabilité que l’éruption ait lieu dans un carré donné. S’il n’y a pas de volcandans un carré, alors la probabilité est de zéro. 811 carrés sont de probabilité non nulle c’est-à-dire sont des zones à volcan. Certains carrés peuvent compter jusqu’à 14 volcans selon la zone.
Remarque : La probabilité d’occurrence est calculée sur un historique d’éruptions de VEIsupérieur ou égal à 6. On fait donc l’hypothèse que tous les volcans dans la base de donnéessont susceptibles de générer une éruption d’une telle intensité.
3.2.4 Module exposition
L’objectif est d’associer un PIB (Produit Intérieur Brut) à chaque carré en utilisant la densitéde population et le PIB par pays.
34
3.2.4.1 Étude sur la densité de population
La base de données pour la densité de population utilisée est tirée de la NASA [16]. C’est unformat « raster » de résolution 1◦. Il faut étendre le « raster » au même format que celui desprobabilités d’éruption et ainsi obtenir 64800 cellules. Le nombre d’habitants par carré estobtenu en multipliant chaque cellule de densité par l’aire de chaque carré soit 10 000 km2.
La méthode de discrétisation de la Terre entraîne une approximation du nombre d’habitants.La population mondiale estimée est de 9 694 328 737 habitants pour une population mondialeréelle d’environ 7 330 675 000.
3.2.4.2 Étude du PIB par habitant
Rappelons que le PIB est un indicateur économique de la richesse produite par année dansun pays donné. Le PIB par habitant mesure le niveau de vie des habitants d’un pays.
La base de données utilisée provient de la banque mondiale [24]. Elle indique les PIB par pays.
En superposant le « raster » de détection des pays et celui du PIB par pays, on obtient le PIBpar habitant pour chaque cellule du « raster ». On peut ainsi en déduire le PIB de chaquecarré en multipliant le PIB par habitant par le nombre d’habitants dans chaque carré. Larichesse de chaque carré sera supposée par la suite égale au PIB par carré.
Le PIB obtenu est une approximation. La figure ci-dessous compare le PIB par pays issu denos approximations au PIB par pays issu de la base de données pour certains pays.
Figure 3.14 : Comparaison du PIB de certains pays
Les PIB estimés sont tous supérieurs aux réels. Ceci est lié à la surestimation de la superficiedes pays.
Ce module permet ainsi d’estimer le coût de chaque carré. Le taux de destruction du modulevulnérabilité pourra être appliqué sur ces coûts.
35
3.3 Approche exacte du modèle 1
3.3.1 Principes et hypothèses du modèle
Il ne peut y avoir qu’une éruption dans l’année avec probabilité d’occurrence p. La probabilitéd’occurrence pour une éruption de VEI ≥ 6 est p = 0.0125. On rappelle qu’aucune distinctionn’est faite sur les pertes engendrées par des éruptions de VEI 6 ou 7. La matrice de destructionconsidérée est celle présentée dans le module vulnérabilité de la section précédente. Le modèles’écrit :
X ={C si I = 10 si I = 0
X est une variable aléatoire représentant la perte annuelle.I est une variable aléatoire de Bernoulli représentant l’occurrence d’une éruption dans l’année.I ∼ Bern(p) avec p = 0.0125.C représente la loi de coût lorsqu’une éruption survient. C dépend de la localisation desvolcans3.I supposé ⊥⊥ C.
3.3.2 Fonction de répartition
La fonction de répartition globale des pertes annuelles à l’échelle mondiale s’écrit en fonctionde la fonction de répartition de la loi de coût. Cette fonction de répartition peut s’écriresimplement. En effet,
P(X ≤ x) = P(X ≤ x|I = 1)P(I = 1) + P(X ≤ x|I = 0)P(I = 0)= p× P(C ≤ x) + (1− p)= p× FC(x) + (1− p)
p est la probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption de VEI ≥ 6.C est la loi de coût lorsqu’une éruption a lieu.FC(x) représente la fonction de répartition de la loi de coût.
FC(x) = P (C ≤ x) =64800∑j=1
P(Cj ≤ x|J = j) ∗ P(J = j)
Il y a 64800 lieux d’éruptions possibles.Cj représente le coût lorsque l’éruption survient dans le carré j. J est donc à valeurs dans{1, ..., 64800} et P(J = j) = pj est la probabilité que l’éruption ait lieu dans le carré j.
La figure ci-dessous présente la fonction de répartition de cette loi de coût.
3cf 2.2.3 Aléa géographique
36
Costs ($bn)
Pro
babi
lity
00.
10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80.
91
0 50 100 200 300 400 500 60010
Figure 3.15 : Fonction de répartition de la loi de coût
Si une éruption de VEI ≥ 6 a lieu, la probabilité que son coût soit supérieur à 10 milliards dedollars est environ égale à 10%.
Figure 3.16 : Décomposition du coût maximal ($ md)
37
Les coûts varient entre 0 et 611 milliards de dollars. Le coût maximal de 611 milliards corres-pond à la perte si une éruption de VEI ≥ 6 a lieu aux alentours de Tokyo.
D’après les taux de destruction d’une éruption de VEI ≥ 6, si la zone de Tokyo est touchéepar une éruption de cette intensité, la destruction à 40% de cette zone entraînerait un coûtde 600 milliards de dollars. En ajoutant les coûts des zones adjacentes, la perte totale liée àune éruption dans cette zone (carré vert sur la figure 3.16) serait de 611 milliards de dollars.
La figure 3.17 représente la fonction de répartition de la perte annuelle dans le modèle.
Figure 3.17 : Fonction de répartition de la perte annuelle
La probabilité que la perte annuelle soit supérieure à 10 milliards de dollars est de 0.122%.En effet,
P(X ≤ x) = p× FC(x) + (1− p)
Et pour x = 10 milliards, P(X ≤ x) = 0.9987801 donc P(X > x) = 1− P(X ≤ x) = 0.122%.
38
3.3.3 Période de retour
La fonction de répartition du modèle peut être représentée en fonction des périodes de retour.La perte associée à une période de retour T est définie comme étant :
Perte(T ) = F−1X
(1− 1
T
)Un évènement entraînant une perte x de période de retour de 100 ans signifie que cet événe-ment a une probabilité de 1/100 = 1% de dépasser x dans l’année.
Return Period (years)
Cos
ts (
$ bn
)
100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 40 000 100 000
0
100
200
300
400
500
600
Figure 3.18 : Pertes en fonction des périodes de retour du modèle 1
Une période de retour de T années correspond au quantile d’ordre(1− 1
T
). Ainsi, la période
de retour de 1 000 ans correspond dans le modèle 1 au quantile d’ordre 0.999 et sa valeurest de 12.68 milliards de dollars. Le quantile d’ordre 0.9999 correspondant à une période deretour de 10 000 ans est 103.36 milliards de dollars.
On dispose de la fonction de répartition exacte du modèle 1. Nous allons nous servir de cemodèle pour étudier la convergence d’une approche par simulation pour ce type d’événement(faible fréquence/sévérité extrême).
39
3.4 Approche par simulation du modèle 1 et étude sur laconvergence
Une simulation représente une année et n correspond au nombre d’années de simulationseffectuées. Comme dans la partie précédente, chaque année a une probabilité p = 0.0125d’entraîner une éruption. Les années où une éruption survient, la perte associée est tiréealéatoirement en fonction de la probabilité liée à la répartition géographique des volcans. Uneannée sans éruption n’entraîne pas de perte.
3.4.1 Fonctions empiriques
3.4.1.1 Fonction de répartition empirique
La figure ci-dessous représente 20 fonctions de répartition empirique créées à partir de 100000 années de simulation.
Figure 3.19 : Fonctions de répartition empirique pour 100 000 années de simulation
40
3.4.1.2 Période de retour empirique
La figure 3.20 représente les pertes du modèle 1 en fonction des périodes de retour à partir de100 000 années et 10 millions d’années de simulations. La courbe rouge est la courbe théorique.
n=100 000
Return Period (years)
Cos
ts (
$ bn
)
100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 40 000 100 000
0
100
200
300
400
500
600
700
n=10 000 000
Return Period (years)
Cos
ts (
$ bn
)
100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 40 000 100 000
0
100
200
300
400
500
600
700
Figure 3.20 : Comparaison des pertes en fonction des périodes de retour pour 100 000 et 10millions d’années de simulation
La figure 3.20 illustre la convergence des quantiles empiriques4. Ce phénomène n’est pas vérifiéaux points de discontinuité (fonction de répartition discrète). Le paragraphe suivant étudie ladistribution des quantiles empiriques de ce modèle.
3.4.2 Distribution des quantiles empiriques du modèle
Cette partie s’intéresse à la distribution des quantiles empirique du modèle 1.On prend l’exemple de la distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999 suivant lenombre d’années de simulation n.
4Cf chapitre 2
41
On rappelle5 l’expression de la fonction de répartition du quantile Qn,p :
FQn,p(x) = FU(k,n)(FX(x))
On rappelle que k est défini tel que :
k ={
[np] si np entier[np] + 1 sinon
U(k,n) représente la k-ème statistique d’ordre d’un échantillon de loi uniforme U [0, 1] et suitune loi Beta B(k, n− k + 1).
La distribution du quantile peut alors être déterminée pour différentes valeurs de n.
n=10 000
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
00.
050.
10.
150.
2
n=100 000
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
00.
050.
150.
250.
35
n=10 millions
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
00.
10.
20.
30.
40.
5
Figure 3.21 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
5Cf section 2.10
42
Remarques sur la distribution du quantile empirique
La valeur théorique du quantile d’ordre 0.999 est 12.68 milliards de dollars. Pour n=10 millionsannées de simulation, le quantile d’ordre 0.999 prend trois valeurs avec probabilité non nulle :11, 13 et 14.5 milliards. Les sauts s’expliquent par la fonction de répartition du modèle 1. Laloi de ce modèle est discrète et comporte des zones de discontinuité :
F (X ≤ 10.86) = 0.9989861F (X ≤ 12.68) = 0.9990019F (X ≤ 14.31) = 0.9990098
La figure 3.22 représente un zoom de la fonction de répartition entre les probabilités 0.998 et1. Le cercle gris cible une zone de forte discontinuité autour de 12 milliards de dollars.
Figure 3.22 : Zoom de la fonction de répartition du modèle 1
La figure 3.23 représente la distribution du quantile pour 1 milliard et 10 milliards d’années desimulations. Le quantile prend alors respectivement deux valeurs avec probabilité non nulle,puis, une unique valeur correspondant au quantile théorique.
43
n=1 milliard
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29
00.
150.
30.
450.
60.
750.
9n=10 milliards
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29
00.
150.
30.
450.
60.
750.
9
Figure 3.23 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
Ayant déterminé la distribution du quantile en fonction de n, l’espérance et la variance peuventêtre calculées en utilisant les probabilités associées à chaque quantile.
E[Qn,p] =f∑i=1
yipi
E[Q2n,p] =
f∑i=1
y2i pi
y1, ..., yi, ..., yf correspondent aux quantiles associés aux probabilités p1, ..., pi, ..., pf .
V ar(Qn,p) = E[Q2n,p]− E[Qn,p]2 =
f∑i=1
y2i pi − (
f∑i=1
yipi)2
Pour les trois différentes valeurs de n utilisées ci-dessus, les espérances et variances correspon-dantes sont présentées dans le tableau ci-dessous.
Nb années de Espérance Variancesimulations ($ md) ($ md)
1 000 13.37 46.4410 000 13.12 7.54100 000 13.22 1.131 000 000 12.72 0.0710 000 000 12.68 2.34e-09
Table 3.1 : Espérance et variance pour différentes valeurs de n
44
Tirages et intervalle de confiance
La figure 3.24 représente pour différentes valeurs de n, le tirage de 1000 quantiles d’ordre0.999.
Figure 3.24 : Représentation des quantiles empiriques d’ordre 0.999 en fonction de n
Pour ce quantile d’ordre 0.999, les pertes varient approximativement entre 0 et 100 milliardsde dollars. Le trait horizontal rouge représente la valeur théorique de ce quantile, soit 12.68milliards de dollars. L’intervalle de confiance à 95% est représenté en vert sur la figure 3.24.
On appelle intervalle de confiance pour θ de niveau de confiance 1 − α tout intervalle IC telque :
P(θ ∈ IC) = 1− α
Dans le cas présent, θ est le quantile théorique. Un intervalle de confiance à 95% signifie qu’ily a 95% de chance pour que la valeur théorique du quantile soit dans cet intervalle.
La distribution du quantile empirique d’ordre p du modèle 1 pour n années de simulationQn,p a pour expression :
FQn,p(x) = FU(k,n)(FX(x))
Pour calculer l’intervalle de confiance à 95% il faut s’intéresser aux quantiles qp d’ordre p =0.025 et p = 0.975. L’intervalle de confiance est alors :
IC = [q0.025, q0.975]
45
IC =[F−1Qn,p
(0.025), F−1Qn,p
(0.975)]
où qp = F−1Qn,p
(p) = inf{x ∈ R, FQn,p(x) ≥ p}
= inf{x ∈ R, FU(k,n)(FX(x)) ≥ p}
Nb années de Borne inf Borne supsimulations ($ md) ($ md)
1 000 3 4910 000 5 30.5100 000 10.5 191 000 000 11 15.510 000 000 11 14.5
Table 3.2 : Valeurs IC pour certaines valeurs de n
La figure 3.25 représente la distribution du quantile empirique d’ordre 0.999 en fonction de n.L’intervalle de confiance à 95% est représenté en bleu et le quantile théorique est représentéen rouge.
Figure 3.25 : Distribution du quantile empirique en fonction de n
46
3.5 Du discret au continuLa loi de coût issue du modèle 1 est une loi discrète. Pour simplifier le modèle et afin de nepas avoir à conserver la distribution discrète, on cherche dans cette section à approximer laloi de coût avec une loi continue. Autrement dit, afin de « lisser » les résultats du modèle, oncherche à « fitter » la loi de coûts discrète par une distribution continue.
3.5.1 « Fit » de loi
La figure 3.26 représente la distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu.
Figure 3.26 : Distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu
Les lois de sévérité usuelles sont la loi lognormale, la loi de pareto, la loi gamma, la loi d’ex-tremum généralisée, la loi de pareto généralisée6...
Ces lois peuvent être paramétrées, par exemple, par la méthode du maximum de vraisem-blance, la méthode des moments ou encore par la méthode des moindres carrés7.
La figure 3.27 compare la répartition des coûts et plusieurs répartitions « fittées ».6Détails en annexe7Détails en annexe
47
Figure 3.27 : Comparaison des distributions paramétrées
Aucune des lois ci-dessus ne « fit » la distribution initiale des coûts de manière satisfaisante.On fait le choix d’utiliser une loi GEV dans le cas continu car cette dernière modélise lesfaibles périodes de retour de manière satisfaisante (erreur par la méthode des moindres carrésla plus faible sur les périodes de retour de 1 à 100 ans).
On rappelle que la loi GEV a trois paramètres : un paramètre de position µ, un paramètre dedispersion σ et un paramètre de forme ξ. Selon le paramètre de forme ξ, on parle de distri-bution de Gumbel, Fréchet et Weibull. Dans notre modèle, le « fit » correspond à un ξ > 0,c’est donc une loi de Fréchet.
3.5.2 Distribution des quantiles empiriques
Ce paragraphe a pour objectif de déterminer la distribution des quantiles empiriques. La mé-thodologie suivie est identique à celle de la section 3.4.2. Comme précédemment, l’exemple dela distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999 est donc choisi.
48
En utilisant la distribution des coûts issue de la loi de Fréchet, la fonction de répartition despertes du modèle est continue. La distribution des quantiles empiriques correspondant estalors régulière.
Soit Q(n,p) le quantile empirique d’ordre p pour n années de simulation. La fonction de répar-tition de Q(n,p) est :
FQn,p(x) = P(Qn,p ≤ x) = FU(k,n)(F̂X(x))
FU(k,n) est la fonction de répartition d’une loi Beta B(k, n− k + 1)8.F̂X est la fonction de répartition continue issue du « fit » par la loi de Fréchet.
n=10 000
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
05.
38−
091.
61−
082.
69−
08
n=10 000
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
05.
38−
091.
61−
082.
69−
08
n=10 000
valeur du quantile ($ md)
prob
abili
té
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
05.
38−
091.
61−
082.
69−
08
Figure 3.28 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
La figure 3.28 présente la distribution du quantile d’ordre 0.999 pour différentes valeurs de ndans le cas où la loi de coût utilisée dans le modèle est la loi de Fréchet.
8Cf section 2.9
49
La figure 3.29 est une représentation de la distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999en fonction de n. Les densités pour n = 10000 et n = 100000 années sont précisées en bleu,ainsi que les bornes de l’intervalle de confiance à 95% en pointillés bleus. Les pointillés rougesreprésentent la valeur du quantile théorique soit 5.15 milliards de dollars.
Figure 3.29 : Représentation de la distribution du quantile empirique en fonction de n
50
3.6 Modèle 2
3.6.1 Principes et hypothèses du modèle
Ce modèle suppose qu’il peut y avoir au maximum par année une éruption de VEI≥ 6 parcarré. Chaque carré j suit une loi de Bernoulli de paramètre bj .
X =64800∑j=1
CjBj
Cj représente le coût du carré j.Bj ∼ Bern(bj)
bj = p× (Nb Volcanoes In i)Total nb Volcanoes = p× pj
On rappelle que p est la probabilité d’occurrence annuelle d’une éruption de VEI ≥ 6.X est la perte annuelle.Les Bj sont supposés ⊥⊥.
3.6.2 Fonction de répartition théorique
Voici l’écriture de la fonction de répartition théorique :
FX = P(X ≤ x) = P(64800∑i=1
CiBi ≤ x)
= P(C1B1 + C2B2 + ... + C64800B64800 ≤ x)
= P(811∑i=1
CiBi ≤ x)
La somme est réduite à 811 puisque c’est le nombre de carrés ayant une probabilité non nulled’éruption. Sur ces 811 carrées, il y en a 175 qui correspondent à des zones de coût nul. Ainsi,lorsqu’une éruption survient, il y a environ 78% de chance qu’elle engendre des pertes.
Cette fonction de répartition est en escalier et on peut déterminer le nombre de sauts :n∑k=0
(n
k
)=
n∑k=0
n!k!(n− k)!
Par la formule du binôme de Newton, on en déduit :n∑k=0
(n
k
)=
n∑k=0
1k1n−k(n
k
)= (1 + 1)n
= 2n
n = 811 donc la fonction de répartition est à 2811 = 1.365609 e+244 sauts. Il n’existe pas deformule fermée pour cette fonction de répartition. Il est donc nécessaire de l’estimer empiri-quement.
51
3.6.3 Simulations et résultats empiriques
On garde uniquement les carrés avec au moins un volcan soit 811 carrés. On effectue n annéesde simulations. Les années de simulations sans éruptions volcaniques sont ignorées dans unpremier temps. Pour les n années ayant subi au moins une éruption, le coût correspondantest calculé. Chacun des coûts obtenus est équiprobable soit de probabilité 1
n . Une fonctionde répartition empirique est obtenue en ordonnant les coûts et en prenant la probabilité cu-mulée. Les années sans éruptions ayant été ignorées jusqu’ici, on calcule par cette méthodeP(X ≤ x|X > 0).
Figure 3.30 : Fonction de répartition empirique du modèle 2
Pour obtenir la fonction de répartition complète de X, la formule des probabilités totale estutilisée, X étant une variable aléatoire positive.
P(X ≤ x) = P(X ≤ x|X = 0)P(X = 0) + P(X ≤ x|X > 0)P(X > 0)= P(X = 0) + P(X ≤ x|X > 0)(1− P(X = 0))
52
car P(X ≤ x|X = 0) = 1
La fonction de répartition empirique obtenue pour 10 millions d’années de simulation est re-présentée par la figure 3.30.
La probabilité pour que la perte annuelle dépasse 10 milliards de dollars est environ de 0.106%.En effet, P(X ≤ x) = 0.9989372 pour x = 10milliards donc P(X > x) = 1 − P(X ≤ x) =0.106%.
La figure suivante correspond aux pertes en fonction des périodes de retour.
Return Period (years)
Cos
ts (
$ bn
)
100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 40 000 100 000
0255075
100
200
300
400
500
600
700
Figure 3.31 : Pertes du modèle 2 en fonction des périodes de retour
La période de retour de 1 000 ans correspond au quantile d’ordre 0.999 et a pour valeur 10.36milliards de dollars.
53
3.7 Modèle 3
3.7.1 Principes et hypothèses du modèle
Ce modèle estime un nombre d’éruptions dans l’année puis relie chaque éruption à un coût.
X ={∑N
i=1Ci si N > 00 si N = 0
La loi de fréquence est notée N.N ∼ P(p) avec p = 0.0125Ci le coût de l’éruption i.N ⊥⊥ Ci et les Ci iid.Le montant de perte d’une éruption a une fonction de répartition FCLa perte annuelle X a une distribution de Poisson composé de paramètres p et FC .
3.7.2 Fonction de répartition théorique
Voici l’expression de la fonction de répartition de ce modèle :
FX(x) = P (X ≤ x)
= P(0 ≤ x|N = 0)× P(N = 0) +∞∑n=1
{P(N = n)× P(
n∑i=1
Ci ≤ x|N = n)}
= P(N = 0) +∞∑n=1{P(N = n)× FC1+...+Cn(x)}
= P(N = 0) + P(N = 1)FC1(x) + P(N = 2)FC1+C2(x) + ...
On rappelle que Ci représente le coût de l’éruption i. Cette fonction de répartition n’a pasde formule fermée. La fonction de répartition empirique permet donc d’estimer la fonction derépartition réelle.
3.7.3 Simulations et résultats empiriques
On effectue n années de simulation. On conserve uniquement les années ayant connu au moinsune éruption. On déduit le coût associé à chaque éruption. Une perte par année d’éruptionest ainsi calculée. On associe une probabilité à chacune de ces pertes. Un retraitement surla fonction de répartition est nécessaire puisque les années de simulations sans éruptions ontété ignorées. La fonction de répartition empirique estimée est en effet P(X ≤ x|N > 0). Enutilisant les probabilités totales, on retrouve la fonction de répartition complète.
FX = P(X ≤ x) = P(X ≤ x|N = 0)P(N = 0) + P(X ≤ x|N > 0)P(N > 0)= P(N = 0) + P(X ≤ x|N > 0)(1− P(N > 0))
54
A partir de la fonction de répartition empirique, il est possible de déterminer les périodes deretour correspondantes. La figure 3.32 représente les pertes en fonction des périodes de retourpour un nombre de simulation n = 10 millions.
Return Period (years)
Cos
ts (
$ bn
)
1 10 100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 40 000 100 000
0255075
100
200
300
400
500
600
700
Figure 3.32 : Pertes du modèle 3 en fonction des périodes de retour
La période de retour de 1 000 ans correspond au quantile d’ordre 0.999 et a pour valeur 12.48milliards de dollars.
55
3.8 Comparaison des modèles et résultats par paysCette section compare dans un premier temps les résultats des modèles 1,2 et 3. Un paragrapheest consacré à l’étude de sensibilité à la matrice de destruction. Enfin, des résultats détailléspar pays sont présentés.
3.8.1 Comparaison des modèles
Les hypothèses des trois modèles présentés sont différentes. Ce paragraphe présente des résul-tats de comparaison de ces trois modèles. Le modèle 1 est un modèle simple dont l’hypothèseprincipale est qu’il ne peut y avoir qu’une éruption par année. L’avantage de ce modèle estqu’on dispose de la fonction de répartition exacte. Le modèle 2 suppose qu’il peut y avoir,chaque année, une éruption dans chaque carré. Le modèle 3 estime un nombre d’éruption parannée puis relie chaque éruption à un lieu. Un même lieu peut subir plusieurs éruptions dansla même année. Les modèles 2 et 3, plus complexes, nécessitent une approche par simulation.
Figure 3.33 : Pertes des 3 modèles en fonction des périodes de retour
56
La figure 3.33 représente sur le même graphique la distribution des pertes des trois modèlesen fonction des périodes de retour. Les pertes des modèles 2 et 3 sont issues de n = 1 milliond’années de simulation.
Le tableau 3.3 compare quantitativement les pertes pour les périodes de retour de 1 000 ans, 5000 ans et 10 000 ans pour les trois modèles. Les résultats sont exprimés en milliards de dollars.
Période de retour Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3
100 ans 0.001 - -1 000 ans 12.68 10.70 10.825 000 ans 57.16 55.37 57.1610 000 ans 103.36 80.19 103.36
Table 3.3 : Comparaison de pertes pour certaines périodes de retour
Liens entre les modèles.On considère les trois modèles équivalents pour les faibles périodes de retour (inférieur à 6400 ans). Ces périodes de retour correspondent en effet à la probabilité qu’il y ait moins dedeux éruptions dans l’année : 1
0.01252 = 6400.
Le modèle 3 est équivalent au modèle 1 lorsque N = 1 c’est à dire lorsqu’il y a au maximumune éruption dans l’année.
L’équivalence des modèles 2 et 3 peut s’expliquer par le paradigme de Poisson.
Paradigme de Poisson :On considère un grand nombre n de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre bj(j = 1, 2, ..., n) correspondant à n événements tels que l’évènement j se réalise avec la pro-babilité bj . Si les bj sont « petits » (environ < 0.1), alors le nombre de réalisations de cesévénements peut être approximé par une loi de Poisson de paramètre
∑nj=1 bj .
On rappelle que le modèle 2 suppose qu’il peut y avoir au maximum par année une éruption deforte intensité par carré. Chaque carré j suit une loi de Bernoulli de paramètre bj . Le nombred’éruption dans l’année correspond donc à une somme de Bernoulli. Le modèle 3 est un modèle« fréquce-coût » et le nombre d’éruption par année suit une loi de Poisson P(p = 0.0125).En utilisant les notations des modèles présentés, la somme des variables de Bernoulli du modèle2 peut être approximé par une loi de Poisson de paramètre λ =
∑nj=1 bj =
∑nj=1 p × pj = p,
équivalente à la loi de fréquence du modèle 3.
57
3.8.2 Étude de sensibilité
3.8.2.1 Sensibilité aux taux de destruction
L’objectif de ce paragraphe est d’étudier la sensibilité des modèles à la matrice de destruction.Cette matrice a été déterminée dans la section 3.2.2 en étudiant les dégâts historiques d’érup-tion de VEI 6 et de VEI 7 et en prenant comme références l’éruption du Pinatubo en 1991(VEI 6) et l’éruption du Mont Tambora en 1815 (VEI 7). Cependant, il est difficile d’obtenirdes informations détaillées concernant les dégâts de ce type d’éruption et il est souvent délicatde juger de leur fiabilité quand bien même les informations sont disponibles.
Le tableau 3.4 ainsi que la figure 3.34 introduisent les différents taux de destruction utiliséspour étudier cette sensibilité.
Taux de destruction Taux de destructioncentral secondaire
Modèle initial 0.4 0.01Version 1 0.4 0Version 2 0.4 0.2Version 3 1 0.01Version 4 0.3 0.01
Table 3.4 : Hypothèses des taux de destruction
Figure 3.34 : Schéma des taux de destruction
Le tableau 3.5 compare ensuite les pertes du modèle pour certaines périodes de retour pourles différents taux de destruction présentés. Les pertes du tableau sont exprimées en milliardsde dollars.
58
Période de retour Modèle initial Version 1 Version 2 Version 3 Version 4
100 ans 0.001 0 0.01 0.001 0.0011 000 ans 12.68 9.67 50.43 25.03 10.205 000 ans 57.16 41.45 339.04 124.69 44.5510 000 ans 103.36 83.00 463.28 227.86 82.61
Coût max 611.91 600.61 826.65 1512.83 461.76
Table 3.5 : Sensibilité du modèle 1 aux taux de destruction
3.8.2.2 Sensibilité à la fréquence des éruptions
La fréquence annuelle d’éruptions volcaniques de VEI ≥ 6 a été déterminée dans le modulealéa (section 3.2.3). Cette probabilité, notée p, est alors fixée à p = 0.0125. Cette sectionétudie la sensibilité de cette probabilité d’occurrence.Le tableau 3.6 compare les pertes du modèle pour certaines périodes de retour lorsque lafréquence annuelle d’éruptions volcaniques de VEI ≥ 6 est modifiée. Les pertes du tableausont exprimées en milliards de dollars.
Période de retour p=0.01 p=0.01125 p=0.0125 p=0.01375 p=0.015
100 ans 0 0 0.001 0.016 0.0351000 ans 9.76 10.6 12.68 16.96 17.445 000 ans 52.19 52.19 57.16 62.52 62.5210 000 ans 67.10 69.59 103.36 107.77 107.77
Table 3.6 : Sensibilité du modèle 1 à la fréquence des éruptions
59
3.8.3 Résultats par pays
L’objectif de cette section est d’analyser pour certains pays la fonction de répartition despertes liées à la probabilité d’éruption volcanique.
3.8.3.1 Les États-Unis
La base de données recense 106 volcans aux États-Unis. 1 223 carrés sont considérés dans cepays. Les volcans se trouvent dans 69 carrés.La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption dans le monde est p = 0.0125. Cependant,la probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption aux États-Unis est pUSA = 106
1578×0.0125 =0.00083. On rappelle que le nombre total de volcans dans le monde est de 1578.
La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption aux États-Unis dans une zone9 donnéevarie entre 0 (pour les zones des États-Unis sans volcans) et pUSA =4.75e-05 (pour la zone desÉtats-Unis à 6 volcans, l’Oregon). Toutes les zones à un volcan ont une probabilité annuelled’éruption de pUSA =7.92e-6. Le nombre de volcans et les zones dans lesquelles ils se trouventsont illustrés par la carte ci-dessous.
Figure 3.35 : Nombres de volcans aux États-Unis
Intéressons-nous aux résultats du modèle 1 pour les États-Unis.La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de 0.9991603. En effet,ceci correspond aux réalisations des événements suivants :
• A : Il n’y a pas d’éruption dans l’année.
• B : Il y a une éruption dans l’année mais elle ne se produit pas aux États-Unis.9un carré issu de la discrétisation de la Terre
60
Autrement dit :
P(XUSA ≤ 0) = (1− 0.0125)︸ ︷︷ ︸A
+(
0.0125× (1578− 106)1578
)︸ ︷︷ ︸
B
= 0.9991603
Si une éruption se produit aux États-Unis, la perte varie entre 5.5 millionset 46 milliards de dollars selon le PIBde la zone. La perte minimale corres-pond à une zone en Alaska. La figure3.36 indique en vert les trois zones desÉtats-Unis où la perte excède 10 mil-liards de dollars si une éruption sur-vient dans cette zone.
Figure 3.36 : Coûts les plus élevés
Voici la fonction de répartition correspondante à la perte annuelle aux États-Unis. La repré-sentation se fait en fonction des périodes de retour.
Figure 3.37 : Représentations de la fonction de répartition USA d’après le modèle 1
Le tableau 3.7 présente les pertes associées à quelques périodes de retour.
61
Périodes de retour Pertes ($ milliards)
100 ans 01000 ans 05 000 ans 2.310 000 ans 4.2
Table 3.7 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volca-nique aux États-Unis
3.8.3.2 Le Japon
La base de données recense 78 volcans au Japon. 74 carrés sont dénombrés dans ce pays etles volcans sont présents dans 30 carrés.La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption au Japon dans une zone donnée varieentre 0 et pJPN =5.54e-05. Cette dernière valeur correspond à la probabilité de la zone à 7volcans. Toutes les zones à 1 volcan ont une probabilité annuelle d’éruption de pJPN =7.92e-6.Le nombre de volcans dans chaque zone est illustré par la carte ci-dessous.
Figure 3.38 : Nombre de volcans au Japon
La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de 0.9993821. En effet :
P(XJPN ≤ 0) = (1− 0.0125)︸ ︷︷ ︸A
+(
0.0125× (1578− 78)1578
)︸ ︷︷ ︸
B
= 0.9993821
Les pertes au Japon si une éruption survient varient entre 2 et 611 milliards de dollars. Surles 30 carrés pouvant subir une éruption au Japon, 24 génèreraient une perte supérieure à 10milliards de dollars.
62
Figure 3.39 : Pertes au Japon en fonction des périodes de retour
La figure ci-dessus représente les pertes annuelles dues aux éruptions volcaniques au Japonen fonction des périodes de retour. Le tableau 3.8 présente les pertes associées à quelquespériodes de retour.
Périodes de retour Pertes ($ milliards)
100 ans 01000 ans 05 000 ans 48.510 000 ans 62.5
Table 3.8 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volca-nique au Japon
63
3.8.3.3 La France métropolitaine
La base de données recense 2 volcans en France métropolitaine. 78 carrés sont considérés dansce pays et les volcans sont présents dans 2 carrés.La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption en France métropolitaine dans une zonedonnée varie entre 0 et pFRA = 7.92e− 06.La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de0.9999842 En effet :
P(XFRA ≤ 0) = (1− 0.0125)︸ ︷︷ ︸A
+(
0.0125× (1578− 2)1578
)︸ ︷︷ ︸
B
= 0.9999842
Les pertes en France si une éruption survenait seraient de 4.7 milliards de dollars (volcanpyrénéen) ou de 168.8 milliards de dollars (volcan d’Auvergne).
Figure 3.40 : Pertes en France métropolitaine en fonction des périodes de retour
La figure 3.40 représente les pertes annuelles dû aux éruptions volcaniques en France métro-politaine en fonction des périodes de retour. Le quantile d’ordre 0.99999 correspondant à unepériode de retour de 100 000 ans a pour valeur 4.7 milliards de dollars.
64
4 Météorites
4.1 Introduction et description du risque
Une distinction doit être faite entre météorïde, météore et météorite1 :
• Les météorides sont des fragments d’astéroïdes ou de comètes. La plupart proviennentde la collision d’astéroïdes et se déplacent dans le système solaire.
• Dès lors qu’une méteorïde franchie l’atmosphère terrestre, elle brûle et se désintègretout en se déplaçant à grande vitesse (entre 10km/sec et 75km/sec). On parle alors demétéore ou de bolide. Les météores sont communément appelés des étoiles filantes.
• Les météorites sont des fragments de météroïdes qui n’ont pas eu le temps de sedésintégrer dans l’atmosphère et qui atteignent la surface de la Terre avant d’exploser.
Figure 4.1 : Illustration de météores (Manhattan Prep et The Telegraph)
1Informations tirées de [2]
65
4.2 Evénements historiques
Environ 150 cratères d’impact ont été découverts à ce jour[23].
La météorite de Chicxulub qui explosa il y a 65 millions d’année dans la péninsule du Yucu-tan au Mexique dégagea une énergie totale équivalente à plus de 100 millions de mégatonnesde TNT. A titre de comparaison, la puissance de cette explosion est équivalente à plus de 1milliard de fois la puissance de celle d’Hiroshima. Cette météorite, la plus grande découverteà ce jour, serait à l’origine de l’extinction des dinosaures.
Aujourd’hui, l’impact d’une météorite de ce type causerait des dégâts à l’échelle mondiale. Lapériode de retour de ce type d’événement est cependant de plusieurs millions d’années.La météorite Barringer d’environ 50 mètres de diamètre et plus de 300 000 tonnes explosa ily a 50 000 ans dans le nord de l’Arizona. L’énergie totale dégagée par l’explosion est estiméeà 150 fois celle d’Hiroshima2, équivalente à 2.5 mégatonnes de TNT. Le cratère Barringer està ce jour le cratère météoritique le plus connu au monde et le plus étudié.
Figure 4.2 : Cratère Barringer en Arizona
Les impacts de météorites ne sont pas les seuls événements météoritiques pouvant entraînerdes dégâts : les explosions de météorides dans l’atmosphère sont à prendre en compte.
La NASA enregistre chaque année plusieurs explosions de météorides dans l’atmosphère. Cesbolides, de diamètre inférieur à 100 mètres, se désintègrent dans l’atmosphère et explosentavant d’atteindre la surface de la Terre. La NASA a enregistré en 2015 37 explosions dansl’atmosphère. Ces explosions de météorides détectées correspondent à des énergies supérieures
2Informations tirées de [14, 28]
66
à 1 GJ [15].
L’American Meteor Society (AMS) récupère depuis 2005 des rapports d’explosion de météo-ride soumis par le public. En 2015, 11 255 rapports ont été envoyés à l’AMS et 2 970 explosionsmétéoritiques ont ainsi été recensées [2].
Ces événements ont tendance à être moins intenses que les impacts météoritiques mais plusfréquents. Ce type d’évènement peut entraîner des dégâts.
Un exemple récent est la météoride qui franchit l’atmosphère en février 2013 au-dessus deChelyabinsk en Russie. Cette météoride faisait initialement entre 15 et 20 mètres de dia-mètre pour un poids estimé à 10 000 tonnes. Elle a parcouru l’atmosphère pendant 30
Figure 4.3 : Toungouska, environ 20ans après l’explosion de 1908 (the Leo-nid Kulik Expedition)
secondes à une vitesse d’environ 65 000 km/havant d’exploser à 23km au-dessus de la surfacede la Terre. Cette météore dégagea une éner-gie totale d’environ 1.8 millions de GJ, ce quicorrespond à une explosion d’environ 500 kilo-tonnes de TNT. L’énergie dégagée par l’explo-sion est ainsi équivalente à plus de 30 fois Hiro-shima.
L’explosion de 1908 à Toungouska en Sibérie estl’explosion de météore la plus forte de ces dernièresannées. Selon la NASA [17], ce bolide de 100 000tonnes parcourut l’atmosphère à une vitesse d’envi-ron 60 000 km/h. Il explosa entre 5 et 10 km au-dessus du sol et libéra une énergie d’environ 3 mé-gatonnes de TNT soit 185 fois Hiroshima.
L’objectif de cette section est de créer un modèle d’évaluation du risque météoritique.
67
4.3 Modèle
La structure de ce modèle est identique à celle du modèle volcan3. La création du modèlesera basée sur une étude de l’exposition, une étude du module vulnérabilité et une étude dumodule aléa. A la fin de cette section, les résultats du modèle seront présentés.
4.3.1 Étapes préliminaires
4.3.1.1 Création de la base de données
La NASA enregistre depuis 1994 les explosions de météores dans l’atmosphère et mesureles intensités associées. Sur cette carte, la NASA caractérise l’intensité des explosions demétéorides en utilisant l’énergie rayonnante en GigaJoule.
Figure 4.4 : Explosions de météores enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013
Radiant Energy (GJ) 100 500 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Nb of Event 202 65 28 9 3 1
Table 4.1 : Résumé des explosions enregistrées par la NASA entre 1994 et 20133Cf Section 3.2
68
Les énergies enregistrées par la NASA ne sont pas représentatives de l’ensemble des intensitésd’explosion possibles puisqu’elles s’étendent de 100 à 1 million de GJ. On souhaite trouverune fonction qui relie une intensité d’explosion à un nombre d’événements.
On observe que le nombre d’événements sur 20 ans pour les énergies supérieures à 1 000 GJévolue par un facteur de 3 toutes les puissances de 10.On choisit alors arbitrairement d’utiliser la fonction suivante :
Nb = 36−log10(Energie) (4.1)
log10 correspond au logarithme de base 10.
Il est ainsi possible d’estimer un nombre d’événements sur 20 ans pour des intensités supé-rieures à celles enregistrées par la NASA. La figure 4.5 compare le nombre d’explosions demétéores sur 20 ans issu de l’équation (4.1) avec le nombre d’explosions enregistré par laNASA. Le nombre d’explosions historiques correspond aux points bleus et le nombre d’explo-sions issu de l’équation (4.1) est représenté en rouge. Le tableau 4.2 présente, à partir de cettefonction, le nombre d’événements sur 20 ans, la fréquence annuelle correspondante ainsi quela période de retour pour différentes intensités.
Figure 4.5 : Nombre d’explosions de météores sur 20 ans en fonction de l’énergie
69
Radiant Energy (GJ) 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 ≥ 1 000 000 000
Nb of event 27 9 3 1 0.33 0.11 0.056
Annual frequency 1.35 0.45 0.15 0.05 0.0167 0.0056 0.0028
Return period 0.741 2.22 6.67 20 60 180 360
Table 4.2 : Synthèse des résultats issus de la fonction (4.1)
On estime ainsi par cette méthode qu’un évènement de même intensité que Toungouska (en-viron 10 millions de GJ d’énergie rayonnante) se produit environ une fois tous les 60 ans.
Les résultats de cette section seront utilisés par la suite pour déterminer la fréquence et lasévérité du modèle4.
4.3.1.2 Discrétisation de la Terre
De la même façon que le modèle volcan, cette étude se base sur une discrétisation de la Terreen carrés. La surface de la Terre est divisée en 259 200 carrés. Chaque carré représente cettefois-ci 0.5◦de longitude et 0.5◦de latitude. On considèrera dans ce modèle que l’aire de chaquecarré est égale à 50km × 50km soit 2 500 km2.
4.3.2 Étude de la vulnérabilité
4.3.2.1 Matrice de destruction
L’objectif de ce paragraphe est de déterminer une matrice de destruction en fonction del’intensité de l’explosion de météore. On utilisera dans cette section les équivalents TnT etnon les énergies rayonnantes en GigaJoule. Cette étude de vulnérabilité s’appuiera sur ladestruction liée aux explosions atomiques.Les intensités enregistrées par la NASA sont des énergies rayonnantes en GigaJoule. PeterBrown et d’autres scientifiques ont proposé une expression pour relier l’énergie rayonnante E0en kilotonne TNT à une énergie totale E en kilotonne TNT :
E = 8.2508× E0.8850
La conversion peut être ainsi faite en utilisant la conversion d’un kilotonne de TNT en Joule :
1 kt = 4.185× 1012J
Les résultats de deux simulateurs[19, 10] d’explosion atomique sont utilisés pour estimer lesmatrices de destruction associées aux explosions météoritiques, en fonction de l’énergie dé-gagée en équivalent TnT . Ces simulateurs indiquent les rayons de surpression générés parune détonation au sol. On estime qu’une zone en surpression de 5 psi (345 hPa) subit une
4Cf section 4.2.3
70
destruction de 25%. Une surpression de 2 psi entraîne une destruction de 5%. Le tableau 4.3présente les rayons de surpression (2 et 5 psi) en fonction de l’intensité en kilotonne de TNT.
Puissance explosion TNT (kt) 136 500 1 000 8 000 60 000 500 000
Rayon de surpression 5 psi (km) 2.33 3.59 4.52 9.04 17.7 35
Rayon de surpression 2 psi (km) 4.07 6.28 7.92 15.84 45 95
Table 4.3 : Rayons de surpression en fonction de l’intensité de l’explosion
Les taux de destruction pour les différentes intensités d’explosion sont déterminés en faisantle rapport entre la superficie des cercles de destruction et la superficie des carrés du modèle.
La figure 4.6 illustre la méthode d’estimation des matrices de destruction dans le cas d’uneexplosion de 8 mégatonnes de TNT (équivalente à l’intensité de Toungouska).
Figure 4.6 : Méthode d’estimation de la matrice de destruction associée à une explosion de8 Mt TNT
Cette méthode est appliquée aux différentes intensités d’explosion. La figure 4.7 schématise
71
les matrices de destruction ainsi obtenues.
Figure 4.7 : Schéma des matrices de destruction en fonction de l’intensité de l’explosion
4.3.3 Module aléa
4.3.3.1 Étude de la fréquence
Ce paragraphe a pour but d’étudier la fréquence annuelle d’explosions de météores.
Les explosions d’énergie inférieure à 100 000 GJ ne seront pas modélisées car supposées nonrisquées de pertes nulles. On s’intéresse à la probabilité d’occurrence d’explosions dégageantune énergie radiante supérieure ou égale à 100 000 GJ (équivalente à 136 kilotonnes de TNT).Les énergies considérées dans le modèle vont de 100 000 GJ (136 Kt) à 1 milliard de GJ (500Mt TNT). En reprenant les résultats de l’étude préliminaire5, la probabilité d’occurrence d’une
5Cf Section 4.2.1
72
explosion d’énergie ≥ 100 000 GJ est calculée comme la somme des fréquences annuelles dechaque intensité d’explosion.Soit I l’ensemble discret des énergies considérées, alors la fréquence annuelle d’explosion p esttelle que :
p =∑i∈I
AnnualFreqi
Les énergies en Mt TNT considérées dans le modèle sont {0.136; 1; 8; 60; 500} et les fréquencesannuelles associées sont {0.15; 0.05; 0.0167; 0.0056; 0.0028}. La probabilité d’occurrence d’uneexplosion est donc p = 0.15 + 0.05 + 0.0167 + 0.0056 + 0.0028 = 0.225.
On fait le choix arbitraire d’utiliser une loi de Poisson pour caractériser la fréquence d’explo-sions et on a donc P(p) = P(0.225).
Remarque : La fréquence annuelle d’explosions de météores d’intensité 500 Mt TNT utiliséeest en réalité la fréquence annuelle d’explosions d’intensité supérieure à 500 Mt TNT. Lesprobabilités d’occurrence d’explosions d’intensité plus importante que 500 Mt TNT sont doncprises en compte dans la probabilité d’occurrence d’une explosion météoritique. La loi defréquence permet ainsi d’estimer le nombre d’événements d’énergie ≥ 100 000 GJ.
4.3.3.2 Étude de la sévérité
Il faut ensuite déterminer la probabilité que ce soit telle ou telle intensité lorsqu’il y a uneexplosion d’énergie ≥ 100 000 GJ.
La probabilité que l’explosion corresponde à une énergie donnée est déterminée par la fré-quence annuelle de ce type d’événements divisée par la fréquence annuelle totale d’explosionssoit
P(energyi | Event) = AnnualFreqip
Le tableau 4.4 présente ainsi la probabilité de l’intensité de l’explosion sachant qu’une explo-sion a eu lieu.
Equivalent TNT (Mt) 0.136 1 8 60 ≥ 500
Probability 0.667 0.222 0.074 0.0247 0.0123
Table 4.4 : Probabilités liées à la sévérité de l’explosion
4.3.3.3 Aléa géographique
Le modèle suppose que la répartition des chutes de météorites est uniforme géographiquement.La probabilité que l’explosion ait lieu dans un carré est identique pour tous les carrés.
73
4.3.4 Exposition
De la même façon que dans le modèle volcan, le PIB de chaque carré est déterminé en utilisantla densité de population et le PIB par pays.
Figure 4.8 : Représentation de l’exposition en Europe
4.3.5 Evénements historiques
Selon [29], l’explosion de Chelyabinsk en 2013 correspond à une perte de 33 millions de dollars.Selon le modèle, si la même explosion survenait de nouveau, la perte serait de 43 millions dedollars.Une explosion de la même intensité que celle de Chelyabinsk (environ 500 kilotonnes TNT)entraînerait 725 millions de dollars de dégâts si cette-dernière survenait au-dessus de Paris.La perte correspondante serait de 3 milliards à New-York et 2.15 milliards de dollars à Tokyo.
Le modèle estime que le bolide qui explosa au-dessus de Toungouska en 1908 entraînerait uneperte de 2 millions dollars si cet évènement se reproduisait aujourd’hui au même endroit.
74
Une explosion identique à l’évènement de Toungouska entraînerait une perte de 4.6 milliardsde dollars au-dessus de Paris, 18 milliards à New-York et 13 milliards à Tokyo.
La figure 4.9 représente la décomposition de la perte liée à une explosion de météorïde dansla région parisienne dégageant une énergie équivalente à 60 Mt TNT. La perte économiquetotale pour cet évènement serait ainsi de 22 milliards de dollars.
Figure 4.9 : Décomposition de la perte (en million de $ ) sur Paris pour une explosiond’intensité 60 Mt TNT
4.3.6 Étude de la répartition des pertes économiques à l’échelle mondiale
Les figures 4.10 et 4.11 représentent la répartition des coûts sachant qu’une explosion derespectivement 136 kt TNT et 500 Mt TNT a eu lieu.
75
Figure 4.10 : Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 136 kilotonnes TNT a eulieu
Figure 4.11 : Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 500 mégatonnes TNT a eulieu
76
La figure 4.11 présente donc la répartition des pertes sachant qu’une explosion d’énergieéquivalente à 500 Mt TNT est survenue. Le modèle estime que la perte économique maximaleà l’échelle mondiale est à Tokyo. Ainsi, l’explosion d’une météoride dégageant 500 Mt TNTdans cette zone entraînerait une perte de 190 milliards de dollars. D’après la construction dumodèle, sachant qu’il y a eu une explosion de météoride d’énergie équivalente à 500 Mt TNT,la probabilité pour que l’explosion est lieu à Tokyo est de 1/259200. La figure 4.12 représentela décomposition des pertes si une explosion de météoride de 500 Mt TNT survenait à Tokyo.
Figure 4.12 : Répartition des pertes économiques pour une explosion de 500 Mt TNT àTokyo
77
La période de retour associée à cette perte est cependant très grande. En effet, la probabilitépour que cette situation se produise correspond à la survenance des trois événements suivants :il faut qu’il y ait une explosion, que cette explosion soit d’intensité équivalente à 500 Mt TNTet que cette explosion survienne au-dessus de Tokyo. En probabilité, on a donc 0.225×0.0123×(1/259200) ce qui correspond à une période de retour de 93 millions d’années.
4.3.7 Résultat à l’échelle mondiale
Le modèle utilise d’abord la fréquence annuelle d’explosion d’énergie ≥ 100 000 GJ pour dé-terminer le nombre d’explosions de météores par année.En utilisant l’hypothèse de répartition uniforme géographique, le modèle relie chaque explo-sion à une localisation.L’étude de sévérité permet d’associer chaque explosion à une intensité.Les matrices de destruction de l’étude de vulnérabilité permettent ensuite de relier chaqueexplosion à un coût.
Les résultats sont obtenus par simulation : n années sont simulées et les années ayant connuau moins une explosion de météore d’énergie supérieure ou égale à 100 000 GJ sont conser-vées. Les pertes par année de simulation sont calculées. Une probabilité est ensuite associéeà chacune des pertes, de façon empirique. La fonction de répartition empirique obtenue estconditionnelle la survenance d’au moins un évènement dans l’année. En utilisant les probabi-lités totales, la fonction de répartition empirique complète est obtenue.
A partir de cette fonction de répartition empirique, il est possible de déterminer les périodesde retour correspondantes.
Le tableau 4.5 présente quantitativement les pertes économiques mondiales associées auxpériodes de retour de 100, 1000, 5 000, 10 000 et 100 000 ans et estimées à partir de 10millions d’années de simulation.
Périodes de retour Pertes ($ million)
100 ans 251000 ans 4355 000 ans 1 66410 000 ans 3 041100 000 ans 19 654
Table 4.5 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle
La figure 4.13 présente les pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodesde retour estimées à partir de 10 millions d’années de simulation.
78
Figure 4.13 : Pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodes de retour
4.3.8 Résultats par pays
Cette section étudie le risque météoritique à l’échelle de certains pays : les États-Unis, laFrance et le Japon.
La répartition géographique du risque étant supposée uniforme, plus la superficie du pays estgrande et plus le risque est important.
4.3.8.1 Résultats pour la France
Il y a 290 carrés de 25 000 km2 rattachés à la France soit une superficie de 725 000 km2. Onrappelle que la méthode de discrétisation de la Terre surestime la superficie réelle des pays.
Les pertes associées à la France varient entre 2,5 millions de dollars et 63 milliards. Le tableau4.6 présente les pertes économiques pour le risque météoritique en France pour certainespériodes de retour issues de 10 millions d’années de simulation.
79
Périodes de retour Pertes ($ million)
100 ans 01000 ans 05 000 ans 11510 000 ans 208100 000 ans 1 328
Table 4.6 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour la France
La figure 4.14 représente les pertes économiques pour le risque météoritique en France enfonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.14 : Pertes économiques à l’échelle de la France en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.7 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion mé-téoritique en France. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensité del’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT) 0.136 1 8 60 ≥ 500
Période de retour (années) 5 958 17 876 53 627 160 883 321 913
Table 4.7 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions en France
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une fois
80
tous les 50 000 ans en France.
4.3.8.2 Résultats pour les États-Unis
Il y a 4 739 carrés de 25 000 km2 rattachés aux États-Unis soit une superficie de 11 847 500km2. Ceci représente environ 2% de la superficie totale de la Terre selon le modèle.
Les pertes pouvant être engendrées par une explosion météoritique aux États-Unis variententre 4 892 dollars (explosion équivalente à 136 kt TNT au nord-est de l’Alaska) et 183 mil-liards de dollars (explosion équivalente à 500 Mt TNT à New-York).
La figure 4.15 représente les pertes économiques pour le risque météoritique aux États-Unisen fonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.15 : Pertes économiques à l’échelle des États-Unis en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.8 présente les pertes économiques pour le risque météoritique aux États-Unispour certaines périodes de retour issues de 10 millions d’années de simulation.
81
Périodes de retour Pertes ($ million)
100 ans 01000 ans 805 000 ans 43610 000 ans 831100 000 ans 6 537
Table 4.8 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météo-ritique aux États-Unis
Le tableau 4.9 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion météo-ritique aux États-Unis. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensitéde l’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT) 0.136 1 8 60 ≥ 500
Période de retour (années) 365 1 094 3 282 9 845 19 699
Table 4.9 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions aux États-Unis
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une foistous les 3 000 ans aux États-Unis.
4.3.8.3 Résultats pour le Japon
Il ya a 238 carrés de 25 000 km2 rattachés au Japon soit une superficie de 595 000 km2.
Les pertes pouvant être engendrées par une explosion météoritique au Japon varient entre 15millions de dollars (explosion équivalente à 136 kt TNT au nord de l’île d’Hokkaido) et 190milliards de dollars (explosion équivalente à 500 Mt TNT à Tokyo). Le tableau 4.10 présenteles pertes économiques pour le risque météoritique au Japon pour certaines périodes de retourissues de 10 millions d’années de simulation.
Périodes de retour Pertes ($ million)
100 ans 01000 ans 05 000 ans 11810 000 ans 359100 000 ans 2 923
Table 4.10 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météo-ritique au Japon
82
La figure 4.16 représente les pertes économiques pour le risque météoritique au Japon enfonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.16 : Pertes économiques à l’échelle du Japon en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.11 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion mé-téoritique au Japon. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensité del’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT) 0.136 1 8 60 500
Période de retour (années) 7 260 21 781 65 344 196 034 392 246
Table 4.11 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions au Japon
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une foistous les 65 000 ans au Japon.
83
4.3.9 Étude de sensibilité
Cette section évalue la sensibilité du modèle à certaines hypothèses.
4.3.9.1 Sensibilité aux taux de destruction
Lors de l’étude de vulnérabilité, un choix arbitraire a été fait pour traduire la surpressionen taux de destruction. L’hypothèse initiale suivante a été faite : Une zone de surpression de5 psi subit une destruction de 25% et une surpression de 2 psi entraîne une destruction de5%. Étudions d’abord comment sont modifiés les résultats du modèle lorsqu’on change cettehypothèse initiale et qu’on considère une destruction de 50% pour une zone de surpression de5 psi et une destruction de 10% pour une surpression de 2 psi. Le tableau 4.12 compare alorsce résultat pour différentes périodes de retour. Les pertes sont exprimées en millions de dollars.
Période de retour Modèle initial Nouvelle hypothèse
100 ans 25 411 000 ans 435 7705 000 ans 1 664 4 66310 000 ans 3 041 9 586
Table 4.12 : Sensibilité du modèle aux taux de destruction
Le tableau 4.13 compare les pertes de différentes périodes de retour pour différentes variationsdes taux de destruction autour du modèle initial. Les pertes sont exprimées en millions dedollars.
Variation taux de destructionPériode de retour -5% -1% Modèle initial +1% +5%
100 ans 0 0 25 151 6371 000 ans 8 81 435 1 993 8 1155 000 ans 389 943 1 664 5 542 20 98310 000 ans 889.5 1 884 3 041 8 010 28 620
Table 4.13 : Sensibilité du modèle aux taux de destruction
4.3.9.2 Sensibilité à la fréquence
La fréquence annuelle d’explosions de météores d’énergie ≥ 100 000 GJ est déterminée dansle module aléa. Elle est déterminée en additionnant les fréquences annuelles d’explosions dechaque intensité considérée dans le modèle. Ces fréquences annuelles ont été déterminées àpartir du nombre d’explosions sur 20 ans calculé d’après la fonction suivante :
Nb = 36−log10(Energie)
84
Cette fonction a été déterminée en se basant sur la fréquence de « petites » explosions demétéorites (entre 100 GJ et 1 million GJ d’énergie rayonnante). Cependant, plus l’explosionde météorite est intense et plus cette fonction surestime la fréquence. Un évènement du typeChixculub par exemple a une période de retour de 400 000 ans avec le modèle initial. Cephénomène peut être corrigé en modifiant la fonction initiale par la fonction ci-dessous :
Nb = 56−log10(Energie)
La période de retour d’un évènement de type Chixculub correspond à présent à 39 millionsd’années. Ceci modifie également les explosions de faible intensité. Le nombre d’explosions demétéores de 1 000 GJ sur 20 ans, initialement de 27 devient alors 125.
Le tableau 4.14 compare les résultats de ces deux hypothèses pour différentes périodes deretour. Les pertes sont exprimées en million de dollars.
Période de retour Modèle initial Nouvelle hypothèse
100 ans 25 401 000 ans 435 4355 000 ans 1 664 1 12010 000 ans 3 041 1 565
Table 4.14 : Sensibilité du modèle à la fréquence
Plus généralement, la probabilité d’occurrence d’une explosion dans le modèle initial est de0.225. Le tableau 4.15 présente les pertes pour différentes périodes de retour lorsque la fré-quence annuelle d’explosion est modifiée. Les pertes du tableau sont exprimées en million dedollars.
Variation fréquence annuelle d’explosionPériode de retour -20% -10% 0 +10% +20%
100 ans 17 22 25 30 351000 ans 360 402 435 470 5035 000 ans 1 399 1 480 1 664 1 744 1 93410 000 ans 2 615 2 678 3 041 3 115 3 444100 000 ans 15 216 14 747 19 654 17 581 20 255
Table 4.15 : Sensibilité du modèle à la fréquence
85
5 Conclusion
Nous avons construit deux modèles catastrophes permettant de modéliser la perte économiquerésultant d’éruption volcanique et d’impact météoritique.
Le modèle d’éruption volcanique se base sur la fréquence historique des éruptions ayant un in-dice d’explosivité volcanique (VEI) supérieur à 6. La localisation des éruptions dans le modèlese base sur une densité spatiale paramétrée par le nombre de volcans dans la zone étudiée.Une fois les éruptions simulées, leur coût économique est estimé en appliquant un taux dedestruction au PIB de la zone de l’éruption. On obtient ainsi une distribution de pertes éco-nomiques à l’échelle mondiale. On peut également obtenir des distributions de pertes par paysen se restreignant aux pertes issues du pays concerné. On obtient les résultats suivants (enmilliards de dollars) :
Périodes de retour Pertes Monde Pertes US Pertes Japon Pertes France
100 ans 0 0 0 0200 ans 0.6 0 0 0500 ans 4.3 0 0 01 000 ans 12.6 0 0 05 000 ans 57.2 2.3 48.5 010 000 ans 103.4 4.2 62.5 0100 000 ans 557.8 31.4 107.8 4.71 000 000 ans 611.9 46.3 611.9 16.9Pertes max 611.9 46.3 611.9 16.9
Table 5.1 : Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et àl’échelle de trois pays pour le modèle volcan (en milliards de dollars)
Le modèle d’impact météoritique se base sur la distribution récente des entrées atmosphé-riques qui est extrapolée avec une loi de type Gutenberg Richter : Nb = 36−log10(Energie). Ondétermine les coûts associés à chaque météorite simulée en reliant la puissance d’une entréeatmosphérique avec la puissance dégagée par une explosion atomique. Le modèle donne lesrésultats suivants (en milliards de dollars) :
86
Période de retour Pertes Monde Pertes US Pertes Japon Pertes France
100 ans 0.03 0 0 0200 ans 0.07 0 0 0500 ans 0.2 0.02 0 01 000 ans 0.44 0.08 0 05 000 ans 1.7 0.4 0.1 0.110 000 ans 3 0.8 0.4 0.2100 000 ans 18.8 7 3 1.31 000 000 ans 64.3 26 19 10Pertes max 190 183 190 63
Table 5.2 : Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et àl’échelle de trois pays pour le modèle météorite (en milliards de dollars)
Après avoir construit les modèles, une analyse de la vitesse de convergence a été effectuée.Cette analyse permet de déterminer un intervalle de confiance dépendant du nombre d’annéesde simulation pour chaque période de retour.
Ces modèles permettent d’obtenir de manière rapide une vision probabiliste de ces deux périlsà faible fréquence et grande sévérité. Les principales limites des modèles sont dues aux fortesapproximations effectuées à chaque étape de la construction des modèles :- détermination de la fréquence,- taux de destruction induits par un évènement,- exposition économique dans chaque zone.Afin d’améliorer les résultats des modèles, une analyse plus fine de chacun des points s’avèrentnécessaire.
Les résultats des deux modèles représentent des pertes économiques. Les notions de franchises,de limites... ne sont pas modélisées. Une recherche sur le taux de pénétration de l’assurancepar pays pour calculer des pertes assurées et non des pertes économiques pourrait être envi-sagée.
87
Table des figures
1.1 Catastrophes naturelles de l’année 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de pertes économiques. . . 81.3 Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de dommages assurés . . . 91.4 Catastrophes naturelles les plus meurtrières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Schéma de la structure d’un modèle CAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Courbe de vulnérabilité et incertitude, RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Extrait de la loi 82-600 du 13 juillet 1982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Extrait d’un contrat de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Évolution des périls couverts dans les contrats de réassurance . . . . . . . . . . 141.10 Cas pratique « burning cost » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11 Exemple de « fit » d’une loi de fréquence à partir de l’historique . . . . . . . . 151.12 Modèle de climat (ccstib) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Densité de loi Beta pour différentes valeurs de n et p = 0.999 . . . . . . . . . . 212.2 Illustration de la distribution du quantile empirique . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1 Structure interne de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Schéma d’un volcan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Éruption du Lascar, Chili (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 1816, l’année sans été . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Localisation de la Caldeira de Yellowstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Extrait de la base de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Illustration de la méthodologie de détection des pays . . . . . . . . . . . . . . . 303.8 Comparaison de la superficie de certains pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9 Destruction estimée de l’éruption du Mont Tambora (1815) . . . . . . . . . . . 313.10 Destruction estimée du Pinatubo (1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.11 Schéma de matrice de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.12 Évolution dans le temps du nombre d’éruptions volcaniques . . . . . . . . . . . 333.13 Répartition des volcans dans le monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.14 Comparaison du PIB de certains pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.15 Fonction de répartition de la loi de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.16 Décomposition du coût maximal ($ md) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.17 Fonction de répartition de la perte annuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.18 Pertes en fonction des périodes de retour du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . 393.19 Fonctions de répartition empirique pour 100 000 années de simulation . . . . . 40
88
3.20 Comparaison des pertes en fonction des périodes de retour pour 100 000 et 10millions d’années de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.21 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . . . 423.22 Zoom de la fonction de répartition du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.23 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . . . 443.24 Représentation des quantiles empiriques d’ordre 0.999 en fonction de n . . . . . 453.25 Distribution du quantile empirique en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . 463.26 Distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu . . . . . . . . . . . . . 473.27 Comparaison des distributions paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.28 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . . . 493.29 Représentation de la distribution du quantile empirique en fonction de n . . . . 503.30 Fonction de répartition empirique du modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.31 Pertes du modèle 2 en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . . . 533.32 Pertes du modèle 3 en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . . . 553.33 Pertes des 3 modèles en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . . 563.34 Schéma des taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.35 Nombres de volcans aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.36 Coûts les plus élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.37 Représentations de la fonction de répartition USA d’après le modèle 1 . . . . . 613.38 Nombre de volcans au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.39 Pertes au Japon en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . . . . . 633.40 Pertes en France métropolitaine en fonction des périodes de retour . . . . . . . 64
4.1 Illustration de météores (Manhattan Prep et The Telegraph) . . . . . . . . . . . 654.2 Cratère Barringer en Arizona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Toungouska, environ 20 ans après l’explosion de 1908 (the Leonid Kulik Expe-
dition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Explosions de météores enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013 . . . . . . 684.5 Nombre d’explosions de météores sur 20 ans en fonction de l’énergie . . . . . . 694.6 Méthode d’estimation de la matrice de destruction associée à une explosion de
8 Mt TNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7 Schéma des matrices de destruction en fonction de l’intensité de l’explosion . . 724.8 Représentation de l’exposition en Europe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.9 Décomposition de la perte (en million de $ ) sur Paris pour une explosion
d’intensité 60 Mt TNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.10 Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 136 kilotonnes TNT a eu lieu 764.11 Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 500 mégatonnes TNT a eu
lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.12 Répartition des pertes économiques pour une explosion de 500 Mt TNT à Tokyo 774.13 Pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodes de retour . . . 794.14 Pertes économiques à l’échelle de la France en fonction des périodes de retour . 804.15 Pertes économiques à l’échelle des États-Unis en fonction des périodes de retour 814.16 Pertes économiques à l’échelle du Japon en fonction des périodes de retour . . 83
89
1 VEI USGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
90
Liste des tableaux
3.1 Espérance et variance pour différentes valeurs de n . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Valeurs IC pour certaines valeurs de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Comparaison de pertes pour certaines périodes de retour . . . . . . . . . . . . . 573.4 Hypothèses des taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5 Sensibilité du modèle 1 aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6 Sensibilité du modèle 1 à la fréquence des éruptions . . . . . . . . . . . . . . . 593.7 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volca-
nique aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volca-
nique au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Résumé des explosions enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013 . . . . . . 684.2 Synthèse des résultats issus de la fonction (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3 Rayons de surpression en fonction de l’intensité de l’explosion . . . . . . . . . . 714.4 Probabilités liées à la sévérité de l’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle . . . . . . . . . . . . 784.6 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour la France . . . . 804.7 Périodes de retour de certaines intensités d’explosions en France . . . . . . . . 804.8 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque mé-
téoritique aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.9 Périodes de retour de certaines intensités d’explosions aux États-Unis . . . . . 824.10 Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque mé-
téoritique au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.11 Périodes de retour de certaines intensités d’explosions au Japon . . . . . . . . . 834.12 Sensibilité du modèle aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.13 Sensibilité du modèle aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.14 Sensibilité du modèle à la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.15 Sensibilité du modèle à la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale età l’échelle de trois pays pour le modèle volcan (en milliards de dollars) . . . . . 86
5.2 Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale età l’échelle de trois pays pour le modèle météorite (en milliards de dollars) . . . 87
91
Bibliographie
[1] AIR Worldwide. url : http://air-worldwide.com/.[2] American Meteor Society. url : http://www.amsmeteors.org.[3] Mikael Beatriz et Alkéos Michaïl. Probabilités et Statistiques Elémentaires. http:
//www.impan.pl/~rziel/Preprint653.pdf. 2011-2012.[4] Philip Brasor et Masako Tsubuku. “Temblors in the home insurance business”. In :
the japan times (2015).[5] Lucie Calvet et Céline Grislain-Letrémy. “L’assurance habitation dans les départe-
ments d’Outre-mer : une faible souscription”. In : Économie et Statistique n447 (2012),p. 57–70.
[6] CoreLogic. url : http://eqecat.com.[7] Jean-François Delmas. Quantiles : définitions et estimation à l’aide de la théorie des
lois de valeurs extrêmes. http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/mrf.html. 2008.[8] Léonard Gallardo. Chapitre 4 : Notions sur les statistiques d’ordre et les distributions
d’échantillonage. http://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/Stat2008-4.pdf.2008.
[9] Geology. url : http://geology.com/volcanoes.[10] HYDESim. url : http://meyerweb.com/eric/tools/gmap/hydesim.html.[11] Jessica KANDLBAUER. Impact environnemental de l’éruption de Tambora de 1815 à
l’horizon 2015. University of Bristol, 2009.[12] Edern Le Roux. Mélange de modèles catastrophes à l’échelle d’un bassin. ISUP, 2013.[13] Florent Malrieu. Test de Kolmogorov-Smirnov-Convergence des quantiles empiriques.
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~malrieu/AGREG/quantiles.pdf. 2014-2015.[14] NASA. Earth Observatory. url : http://earthobservatory.nasa.gov.[15] NASA. Near Earth Object Program. url : http://neo.jpl.nasa.gov/fireballs.[16] NASA. Socioeconomic Data and Applications Center. url : http://sedac.ciesin.
columbia.edu/data/collection/gpw-v3.[17] NASA Science. url : http : / / science . nasa . gov / science - news / science - at -
nasa/2008/30jun_tunguska.[18] NOAA, National Oceanic and Atmospheric Administration. url : https://www.ngdc.
noaa.gov/hazard/volcano.shtml.[19] NukeMap. url : http://nuclearsecrecy.com/nukemap/.
92
[20] Anthony Reid. “Lessons of Tambora ignored, 200 years on”. In : East Asia Forum(2015).
[21] Risk Management Solutions, Inc. url : http://rms.com.[22] Smithsonian Institution, Global Volcanism Program. url : http://volcano.si.edu/.[23] David Stock. “Spectacular Earth Impact Craters”. In : New Scientist (2009).[24] The World Bank. url : http://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.CD.[25] United States Geological Survey. url : http://volcanoes.usgs.gov.[26] VOGIPRA, Volcano Global Risk Identification and Analysis Project. url : http://
www.bgs.ac.uk/vogripa.[27] Volcano discovery. url : http://www.volcanodiscovery.com/volcanoes.html.[28] Wikipedia. url : http://en.wikipedia.org.[29] Moran Zhang. “Russia Meteor 2013”. In : International Business Times (2013).[30] Ryszard Zielinski. Optimal Quantile estimators small sample approach. http://www.
impan.pl/~rziel/Preprint653.pdf. IMPAN 2004.
93
Annexes
A Indice d’explosivité volcanique (VEI)L’indice d’explosivité volcanique ou VEI pour Volcanic Explosivity Index permet de décrirela taille ou magnitude des éruptions explosives volcaniques. Cette échelle d’explosivité dé-pend principalement du volume des matériaux éjectés et de la hauteur du nuage d’éruption.Cette échelle va de 0 à 8 comme l’illustre la figure ci-dessous. Chaque numéro représente uneaugmentation d’un facteur d’environ 10 dans le volume des matériaux en km3.
Figure 1 : VEI USGS
94
B Lois de probabilitésLoi GammaLa distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres : un paramètre de forme k etun paramètre d’échelle θ. La densité de probabilité de cette loi est de la forme :
f(x; k, θ) = 1Γ(k)θk x
k−1e−xθ x > 0
L’espérance et la variance d’une loi Gamma de paramètre {k; θ} sont :
E[X] = kθ et V ar(X) = kθ2
Loi Log-NormaleSupposons que X ∼ N (µ, σ2), alors Y = expX ∼ LN (µ, σ2).La densité de Y est donnée par
f(y;µ, σ) = 1y√
(2πσ2)exp [−1
2( log(y)− µσ
)2]
Ses premiers moments s’obtiennent à partir de la transformée de Laplace de la gaussienne :
E[Y t] = E[expXt] = exp tµ+ σ2 t2
2
Loi de ParetoLa loi de Pareto notée Pa(α, λ) admet pour densité
f(x;α, λ) = αλα
(λ+ x)α+1 α > 0
On a notamment :E[X] = λ
α− 1 et V ar(X) = αλ2
(α− 1)2(α− 2)
Loi d’extremum généraliséeLa loi d’extremum généralisée ou GEV pour Generalized Extreme Value est connue sous lenom de la loi de Fisher-Tippett. La fonction de répartition est
F (x;µ, σ, ξ) = exp (−[1 + ξ(x− µσ
)]−1/ξ+ )
avec (1 + ξ(x− µ)/σ)+ = max(0, 1 + ξ(x− µ)/σ).µ ∈ R est un paramètre de position, σ > 0 est un paramètre de dispersion et ξinR est unparamètre de forme.
Les valeurs ξ = 0, ξ > 0 et ξ < 0 correspondent respectivement aux lois de Gumbel, Fréchetet Weibull :
95
• Loi de Gumbel
F (x;µ, σ, 0) = exp (− exp (−(x− µ)/σ)) , ∀x ∈ R
• Loi de Fréchet
F (x;µ, σ, ξ) ={
0 si x ≤ µ.exp (−((x− µ)/sigma)−1/ξ) si x > µ
• Loi de Weibull, (σ > 0)
F (x;µ, σ, ξ) ={
exp (−(−(x− µ)/sigma)−1/ξ) si x < µ1 si x ≥ µ.
Loi de Pareto généraliséeLa loi de Pareto généralisée ou GPD pour Generalized Pareto Distribution regroupe troisdistributions selon les valeurs du paramètre de forme, loi de Pareto usuelle pour ξ > 0, loi dePareto de type II pour ξ < 0 et la loi exponentielle pour ξ = 0. La fonction de répartition est
G(x;µ, σ, ξ) =
(1− (1 + ξ x−µσ )−
1ξ )1x∈]µ,µ−σ
ξ[ si ξ < 0
(1− exp (−x−µσ ))1x≥0 si ξ = 0
(1− (1 + ξ x−µσ )−1ξ )1x≥0 si ξ > 0
96
C Estimation de paramètres de loiEn statistique classique, l’estimation des paramètres d’une loi de probabilité peut se faireen utilisant différentes méthodes et notamment la méthode des moments ou la méthode dumaximum de vraisemblance. Illustrons ces méthodes pour la loi exponentielle.Soit X1, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle exp (λ),λ > 0, la fonction de densité est définie pour x > 0 comme
f(x;λ) = λ exp (−λx)
Estimation par la méthode des momentsL’espérance de cette loi est E(X) = 1/λ
La moyenne empirique X̄ = 1n
∑ni=1Xi est utilisée comme estimateur de l’espérance.
L’estimateur de λ par la méthode des moments est donc
λ̂ = 1/X̄
Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance La vraisemblance est lasuivante :
L(x1, ..., xn;λ) =n∏i=1
f(xi;λ)
=n∏i=1
λ exp (−λxi)
= λnn∏i=1
exp (−λxi)
= λn exp (−λn∑i=1
xi)
La log de vraisemblance s’écrit donc :
logL(x1, ..., xn;λ) = log(λn exp (−λn∑i=1
xi)) = n log(λ)− λn∑i=1
xi
L’estimateur du maximum de vraisemblance λ̂ de λ est obtenu en annulant la dérivé première :
∂ logL(x1, ..., xn;λ)∂λ
= n
λ−
n∑i=1
xi = 0
d’oùλ̂ = 1
1n
∑ni=1 xi
Il faut vérifier que la dérivé seconde est bien négative :
∂2 logL(x1, ..., xn;λ)∂λ2 = − n
λ2 ≤ 0
97