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7/24/2019 10.3 - Asservissement - SLCI performances.pdf

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Sciences Indusrielles

Systmes linaires continus invariantsPerformance des systmes asservis

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

PERFORMANCES DES

SYSTEMES ASSERVIS

1 Stabilit des systmes asservis

1.1 Notion de stabilitLa stabilit est communment reconnue comme tant associe la notion dquilibre :Prenons les deux posi tions dqui libre dun pendul e :

A gauche si on carte le pendule de sa position dquilibre, il finira par la reprendre.A droite, si on carte le pendule de sa position dquilibre, il sen carte dfinitivement.

On peut largir cette notion :

Etudions le mouvement dune bille reposant sur diffrentes formes.

I l faut donc tudier la qual itde la stabi l i td un systme asservis de faon plus prcise.

En quil ibreinstabl

En quil ibre stable

Equi l ibre instable Equi l ibre stable Equi li bre indif frent

Equi li bres mul tiples stableet instable sui vant le

domaine dvoluti on


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1.2 Aspect mathmatiqueUn systme est stable si toute entre borne, le systme rpond par une sortie borneUn systme est stable si sa rponse libre (quation diffrentielle sans second membre) tendvers 0 lorsque le temps tend vers linfini.

On a vu que toute fonction de transfert et donc en particulier la fonction de transfert globale

dun systme pouvait se mettre aprs dcomposition en lments simples sous la forme :

( ) i ii i

cH p avec p

p p=

les ples de la fonctions de transfert globale du systme.

Or aprs transforme inverse de Laplace, on saperoit que :

Les ples nuls engendrent des solutions de la forme nt (non born)

Les ples rels engendrent des solutions de la forme( )p tie ( )0iborn si p <

Les ples complexes qui sont ncessairement conjugus engendrent des solutions de la

forme : ( )( ) ( )Re

sin i i

p tite + ( )( )Re 0iborn si p <

La condi ti on gnrale de stabi l i test donc que les ples de la f oncti on de transfer t gl obal edu systme soient partie relle str ictement ngative.

Ce critre est une condition de stabilit mais ne permet pas de quantifier la qualit de cette

ventuelle stabilit, ce que nous ferons plus tard.

1.3 Critre algbrique de ROUTH

Ce critre algbrique permet de savoir si un systme est stable ou non sans en dterminer la

qualit. Il permet de savoir si les zros dun polynme sont parties relles ngatives ou non.Pour la stabilit on sintresse aux ples de la fonction de transfert, donc aux zros du

polynme au dnominateur :( )

( ) ( )( )

pD p avec H p

D p=

Posons : 1 0( ) ........n

nD p b p b p b= + + +

Les zros de D(p) donc les ples de la fonction de transfert sont parties relles strictementngatives si deux conditions :

Conditi on 1 :Tous les coeff icients ib sont posi ti fs.

Conditi on 2 :Tous les coeff icients de la premire colonne du tableau ci -dessous doiventtre positi f .

Le tableau se constitue de la faon suivante :

Les deux premires lignes se remplissent avec les coefficients du polynme D(p).Les lignes suivantes se dduisent des deux immdiatement prcdentes, de la faon suivante :


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+

-

pn bn bn-2 bn-4pn-1 bn-1 bn-3 bn-5Pn-2

1 2 3

1

n n n n

n

b b b bc

b

= 1 4 5

1

n n n n

n

b b b bd

b

=

etc

3 1n ncb dbc

p1=p

p0=1

Remarque :si les coefficients nexistent pas, on y met des zros et on ne va pas plus loin.

Remarque :Si un zro apparat dans la premire colonne, on ne peut plus calculer les autreslignes. On sintresse donc aux zros du polynme (p+a)D(p) qui a les mmes zros que D(p)avec a en plus. Donc si a>0, cela ne change rien a la stabilit de notre systme et cela nous

permet deffectuer les calculs (en gnral on prend a=1).

1.4 Application un deuxime ordreOn prend un systme reprsent par un deuxime ordre retour unitaire dont le schma blocest donn ci-dessous :

2

20 0

2

220 0

2

0 0

21

211

21

BF

BF

BF BF

K

ppK

FTBFK pp

pp

+ += =

+ +++ +

avec1

BF

KK

K=

+

1BF

K

=

+ 0 0 1BF K = +

Ples de la fonction de transfert en boucle ferme (FTBF) :

Si 1BF < les ples sont :2

0 0 Re 01BF BF BF BFj <

Si 1BF > les ples sont :2

0 0 1 0BF BF BF BF <

Conclusion : Un deuxime ordre est toujours stable (encore une fois sans notion de qualitde cette stabilit)

1recolonne

2

2

0 0

21

K

pp

+ +

E S


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+

-

1.5 Stabilit des systmes bouclsOn va chercher quantifier la qualit de cette stabilit en dfinissant des marges vis--vis dela stabilit limite.

On considre le systme bouclclassique :

( ) ( )FTBO A p B p= et( )

1

( )

( ) ( 1)

A pFTBF

A p B

A

Fp

p

TBO

=

+

=

+

Faire ltude de la stabilit de ce systme revient faire ltude des solutions du

polynme :1 0FTBO+ = soit 1FTBO=

Donc l tude de la stabilitse fai t dans ce cas sur la FTBO

Le poin t -1 est appelpoin t cr itique

Conditi on pratique de stabi l i t:Le but est de scarter le plus possible du point critique pour

lequel :( )

1 je

= . Soit

0

180

dBH dB

=

=

Marge de Gain :Valeur courante :10dB

On lit la marge de gain sur les diagrammes de Bode de la FTBO

E S

A(p)

B(p)

On se place au point cri tiquesur le diagramme de phase

( ) 180 = et on li t la

marge de gain sur lediagramme de gain .

La mar ge de gain est l car tentr e 0dB et le gain au pointcri ti que en phase.

Si on ampli fi e aupoint cri tique, lesystme est instable :MG0

( )HdB

( )

-180

MG < 0

Point cri tiqueen phase


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Marge de Phase :Valeur courante 45

On lit la marge de phase sur les diagrammes de Bode de la FTBO

Marge de phase et de gain sur un diagramme de Black :Elles sont dfinies de faons identiques mais se lisent diffremment, comme suit :

( )HdB

( )

-180

On se place au pointcri tique en gain (0 dB) eton l i t la marge de phasesur le diagramme de phaseLa marge de phase est

l cart en -180et la phaseau point cri tique en gain.

Si la phase au poin tcri tique en gain estinfrieure -180,alor s le systme estinstable et 0 <

Si la phase au poin tcri tique en gain estsuprieure -180,le systme est stableavec une marge de

phase 0 >

Poin t cri tiqueen gain 0 dB

0 0

0 >

0 0

20LogKAvec gain K

Sans gain K

E S

A(p)

B(p)

1

p


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( )

+

-

Avec intgration dans la boucle ouverte, la FTBO de ce systme

devient :1

( ) ( )FTBO A p B pp

=

Linfluence de laction intgrale est trs simple sur les courbes de phase des diagrammes de

Bode. En effet la phase dun intgrateur est constante et vaut -90. Donc les courbes de Bodesont translates de -90 vers le bas chaque fois que lon rajoute un intgrateur.

Conclusion : L action intgrale dgrade la stabil itdes systmes

2 Prcision des systmes asservis.

2.1 Ecart Erreur - Prcision

La prcision caractrise lcart entre la consigne et la valeur atteinte.

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) ( )0

e t s t p E p S pt p

= =

daprs le thorme de la valeur finale.

[ ]( )

lim ( ) 1 ( ) ( )( )0

S ppE p H p avec H p FTBF

E pp= = =

Considrons un systme retourunitaire pour regarder la prcisiondun systme.

( )( ) (0) (0) 0

( )

BOK N pA p FTBO avec N Dp D p

= = = =

Donc : 0

( )

lim1p

pE p

FTBO = +

-180

Point cri tiqueen phase sansintgration

Point cri tique en phas avec uneintgr ation dplacver s lagauche, c est dire vers leszones damplif ication :

Mauvais pour la stabil it

Point cri tique en phas avec unedoubl e i ntgration dplacversla gauche, c est dire vers leszones damplif ication au gainstatiqueaMG -20LogKLe syst me est d stabilis

Aucune intgrati on

Une intgrat ion

Seconde intgration

E S

A(p)


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2.2 Prcision statique

Lerreur statique note s est lerreur en rgime tablie pour une entre de type

chelon : ( ) A

E p

p

=

Donc :0

si 0:pasd'intgrationenboucleouverte1lim

1 0 si 1:aumoinsunintgrateurenboucleouverte

BOsp

BO

AA

KK

p

=

+= =+

Conclusion : L err eur statique dun systme bouclest nul le si on a au moins un intgrateur en

boucle ouverte. L er reur statique est d autant plus faible que le gain en boucle ouverte KBOest

grand quand i l n y a pas d intgrateur en boucle ouverte.

2.3 Prcision dynamique

Lerreur en vitesse ou prcision dynamique ou encore erreur de tranage s est lerreur en

rgime tabli pour une entre rampe du type2

( ) V

E pp

=

Donc :0

1

si a=0pasd'intgrateurenboucleouverte

lim si a=1unintgrateur enboucleouverte

0 si a 2 au moinsdeuxintgrateursenboucleouverte

tp

BO BO

V V

K Kp p

= =

+

2.4 RsumOn peut gnraliser la notion de prcision en fonction du nombre dintgrateur dans la boucleouverte sous forme dun tableau :

Entre Prcision, erreur 0 intgrateur 1 intgrateur 2 intgrateur 3 intgrateurEchelon : A u(t) Er reur statique

1 BO

A

K+

0 0 0

Rampe : V t u( t) Er reur en vitesse

BO

VK

0 0

Parabole :2 ( )t u t

Er reur enacclration

BOK

0

2.5 Influence des perturbations

Soit le systme perturb reprsent par le schma bloc ci-dessous :


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+

- +

+

P

+

-

1

E est l entre du systme, c est di re la consigneS est la sor tie du systme, c est di re la rponse l entre EP est une seconde entre du systme appele perturbation car elle est subie, c est di requ on ne la matr ise pas : le vent , la houle, les courant dans le cas d un pil ote automati quede bateau chargde mainteni r le cap de l embarcation.

: est l err eur du systme puisque cest l a di f frence entr e

l entre E (ce que l on veut f aire) et la sortie S (ce que l on a fait)

Plaons nous dans le cas gnral pour les fonctions de transfert F1et F2 :

Cest dire :1

1 11 1

1

1 11

( )polynomeen p avec (0) 1( )( ) avec

( )polynomeen p avec (0) 1( )

N p NK N pF p

D p Dp D p=

= =

Et :2

2 22 2

2

2 22

( )polynomeenpavec (0) 1( )( ) avec

( )polynomeenpavec (0) 1( )

N p NK N pF p

D p Dp D p=

= =

Il existe deux types derreur sur ces systmes puisque lon a deux types dentres diffrentes.

On peut donc dcomposer lerreur en deux :

Une erreur vis--vis de lentre, cest dire la consigne ( perturbation nulle) : 1

Une erreur vis--vis de la perturbation ( consigne nulle) : 2

On a alors : 1 2 = +

Calculons 1 :On peut refaire le schma bloc avec une perturbation nulle :

1 E S =

1 2 1S F F=

Donc 11 21

E

F F =

+

Calculons 2 :

On peut refaire le schma bloc avec une entre nulle :

2 S =

[ ]2 1 2S F P F = +

E S

F1(p) F2(p)

E SF1(p) F2(p)

S

-

F1(p) F2(p)+

+

P

2


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Do : 22

1 21

F P

F F =

+

Les erreurs vis--vis de lentre ayant dj t abordes, on ne sintresse ici qu lerreur

statique vis--vis de la perturbation.

On soumet donc le systme une perturbation chelon (erreur statique), et on regarde quelleest lerreur gnre : 2 2 2

0lim ( ) lim ( )st p

t p p

= =

022 2

0 01 2

( ) ( )lim ( ) lim avec ( )

1 ( ) ( )s

p p

PP p F pp p p P p

F p F p p

= = =

+

( ) ( )

2 1 1

1 2 1 2

0 2 0 2 0 22

0 0 01 21 2 1 2

lim lim lim1

sp p p

P K p P K p P K p

K KK K p K K p

+ + = = =

+ +

Donc si on veut annuler lerreur statique vis--vis dune perturbation (ce qui est trs

intressant tant donne quen gnral on ne matrise pas cette perturbation) : il faut 1 1

Conclusion : Pour annu ler l er reur statique vis--vis d uneper turbation , il faut pl acer au moins un i ntgrateur avant celle-ci .

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