Classe preparatoire ATS mathematiquesFiche d’exercices : Calculs de primitives et d’integrales

Exercice 1 Calculer une primitive des fonctions suivantes (preciser sur quel in-tervalle).

f1 : t 7→ (2t2 + 3t+ 1) f2 : t 7→ (t+ 1)√t f3 : t 7→ (1 + t)2√

tf4 : t 7→ t2 − t+ 1

t+ 1

f5 : t 7→ cos4(t) f6 : t 7→ cos3(t) sin(t) f7 : t 7→ cos(3t) sin(2t)

Exercice 2 Calculer les integrales suivantes :

I1 =

∫ 1

0

x3 − 3x

x2 − x− 2dx I2 =

∫ π/4

0

(1 + tan(x))2dx I3 =

∫ π/2

0

sin3(x)dx

Exercice 3 Calculer la primitive qui s’annule en a des fonctions suivantes a l’aided’integrations par parties (preciser l’intervalle de travail).

g1 : t 7→ t3 ln(t) (a = 1) g2 : t 7→ Arcsin(t) (a = 0) g3 : t 7→ t2 Arctan(t) (a = 0)

g4 : t 7→ e2t cos(t) (a = 0) g5 : t 7→ sin(ln(t)) (a = 1)

Exercice 4 Soit α ∈ R. Calculer les integrales suivantes a l’aide d’integrationspar parties. ∫ 1

0

t3 eαt dt

∫ π

0

t2 sin(αt)dt.

Exercice 5 Calculer une primitive des fonctions suivantes a l’aide d’un change-ment de variable (preciser l’intervalle de travail).

h1 : x 7→ 1

x2 + 16, h2 : x 7→ x√

1− x4, h3 : x 7→ cosx√

9− sin2 x,

h4 : x 7→ 1

ch(x). h5 : x 7→ 1

1 + x+ x2

Exercice 6 Calculer les integrales suivantes en effectuant un changement de va-riable :

J1 =

∫ (ln 3)/2

0

ex

1 + e2xdx J2 =

∫ 1

0

1− t2

(1 + t2)2dt (poser t = tan(u))

J3 =

∫ 3

1

dx

(1 + x)√x, J4 =

∫ 3

2

dx

x√x2 − 1

(poser u =√x2 − 1).

Exercice 7 Calculer les integrales suivantes :

K1 =

∫ π/2

0

sin(x)dx

(cos(x) + 2).(cos(x)− 2), K2 =

∫ π/4

0

sin(2x)dx

1 + cos2(x), K3 =

∫ π/3

π/4

dx

cos4(x).

Exercice 8 Les integrales de Wallis

Pour tout n ∈ N, on pose Wn =

∫ π/2

0

sinn(x)dx.

1. Calculer W0 et W1.

2. A l’aide d’un changement de variable, montrer que Wn =

∫ π/2

0

cosn(x)dx.

3. (a) A l’aide d’une integration par parties, donner une relation entre Wn et Wn−2

pour tout n > 2. (remarquer que sinn(x) = sin(x). sinn−1(x)).

(b) En deduire que

W2n =(2n)!

(2nn!)2π

2et W2n+1 =

(2nn!)2

(2n+ 1)!.

Exercice 9 Pour tout p, q ∈ N, on pose : Ip,q =

∫ 1

0

xp(1− x)qdx.

1. Pour tout p ∈ N, et tout q ∈ N∗, exprimer Ip,q en fonction de Ip+1,q−1.

2. En deduire la valeur de Ip,q en fonction de p et q.