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1-
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2:Ser
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Chap
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Ma3
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Reference
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+1)
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(2n
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.
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:
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)si
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,
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N,
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n+
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n∈
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roissa
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ou
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s
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etre
croissa
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nte
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s,..
.
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Suites
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siques
.
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.
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3-
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+∞
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λu
n−→
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+∞
λℓ.
b.Pro
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.
Siu
n−→
n→
+∞
ℓet
v n−→
n→
+∞
ℓ′al
ors
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−→n→
+∞
ℓℓ′
Side
plu
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sv n
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−→n→
+∞
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Siu
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n→
+∞
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continue
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que
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ℓ.
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ℓ−
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ℓ.
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.
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La
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nie
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existe
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...
.
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toute
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ℓ.
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...
.
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La
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−1
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dec
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les
term
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ite
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du
seco
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term
e.-Siq
=1
lasu
ite
est
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,to
us
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vale
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u0.
-Siq
=−
1la
suite
est
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ivem
ent
u0
et−
u0.
-Si|q|>
1La
suite
ne
conve
rge
pas
.-Si|q|<
1La
suite
conve
rge
vers
0.
La
som
me
des
npr
emie
rste
rmes
d’u
nsu
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geom
etiq
ue
vaut
:
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u2+
...+
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i=
∑i=
n
i=0q
i u0
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0
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n
i=0q
i
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01−
qn+
1
1−
q.
Mat
hem
atiq
ues
pour
lesignal
discr
et–
Ma3
2
Chap
itre
1:Suites
num
eriq
ues
Chap
itre
2:Ser
ies
num
eriq
ues
Chap
itre
3:Ser
ies
entier
es
Chap
itre
4:Tra
nsf
orm
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Z
Exe
mple
Tro
uvo
ns
une
form
ule
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lasu
ite
defi
nie
par
un+
2=
5un+
1−
6u
n
apar
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de
u0
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etu
1=
0.
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defi
nie
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une
recu
rren
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ble
.
Defi
nitio
nU
ne
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reel
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nie
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rren
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apar
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deu
xpr
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rmes
u0
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1s’il
existe
une
fonct
ion
f:R×
R→
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uf
:C×
C→
C)
telle
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2=
f(u
n+
1,u
n)
pour
tout
n∈
N.
Reg
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sle
ssu
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reel
les
defi
nie
spar
une
recu
rren
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linea
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:
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2+
bu
n+
1+
cun
=0
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0.
L’e
quat
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s’ap
pel
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cterist
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cie,
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∆=
b2−
4ac
.-Si∆
>0
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n=
λrn 1
+µrn 2
ou
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r 2so
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les
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xra
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f(u
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1.Sila
suite
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http://en.wikipedia.org/wiki/Logisticmap)
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0.
Rem
arque
Cet
tepr
oposition
n’e
stpas
utile
pou
rpr
ouve
rqu’u
ne
serie
conve
rge
mai
sse
ule
men
tpour
prou
ver
qu’u
ne
serie
div
erge
.
Exe
mple
s
La
serie
geo
met
rique
de
raison
q:∑
qn
div
erge
lors
que|q|≥
1.
Exe
mple
s
Ser
iege
omet
rique
de
raison
plu
spet
ite
que
1:u
n=(
1 2
)n.
Les
som
mes
par
tiel
les
vale
nt
SN
=
N∑ n=
0
1 2n=
1−
(1/2)
N+
1
1−
1/2
.
C’e
stune
serie
conve
rgen
teet
+∞∑ n=
0
1 2n
=2.
Ser
iege
omet
rique
de
raison
plu
sgr
ande
que
1:u
n=
2n.
Les
som
mes
par
tiel
les
vale
nt
SN
=
N∑ n=
0
2n
=1−
2N+
1
1−
2.
C’e
stune
serie
div
erge
nte
.
1-
Defi
nitio
ns
etnot
atio
ns.
Defi
nitio
ns
Soi
tu
nune
suite
num
eriq
ue.
La
suite
(SN)
de
term
ege
ner
al
SN
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0+
u1+
...+
uN
=N∑ n=
0
un
est
appel
eese
rie
de
term
ege
ner
alu
n.
SN
est
laso
mm
epar
tielle
d’o
rdre
N.O
nnot
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un
lase
rie
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ege
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n.
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nitio
ns
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un
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num
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Elle
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dite
conve
rgen
tesi
lasu
ite
des
som
mes
par
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(SN)
conve
rge
vers
un
nom
bre
S.
Dan
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pel
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mm
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lase
rie
etes
tnote
+∞∑ n=
0
un,
etR
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S−
SN
=
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n=
N+
1
un
est
lere
ste
d’o
rdre
Nde
lase
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Une
serie
non
conve
rgen
tees
tdite
div
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te.
Mat
hem
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ues
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Ma3
2
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itre
1:Suites
num
eriq
ues
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itre
2:Ser
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num
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ues
Chap
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3:Ser
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entier
es
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itre
4:Tra
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orm
eeen
Z
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atio
ns
sur
les
series
Pro
pos
itio
nSoie
nt∑
un
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v ndeu
xse
ries
,λ∈
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µ∈
R.Si∑
un
et∑
v nco
nve
rge
alor
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(λu
n+
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nve
rge
et
+∞∑ n=
0
(λu
n+
µv n
)=
λ
+∞∑ n=
0
un
+µ
+∞∑ n=
0
v n.
Dem
onst
ration
...
.
Rem
arques
-Si∑
un
conve
rge
et∑
v ndiv
erge
alor
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un
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div
erge
.-Si∑
un
et∑
v ndiv
erge
nt
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son
ne
sait
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un
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.Consider
ezu
n=
1/n
etv
n=
−1/n.
-La
serie
produit∑
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n’a
pas
pou
rso
mm
e(∑
un)(∑
v n).
Consider
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n=
(1/2)n
etv
n=
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.
Ser
ies
tele
scop
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Exe
mple
Les
som
mes
par
tiel
les
de
lase
rie∑
(1 n−
1n+
1)
seca
lcule
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lem
ent.
∑N n=
1(
1 n−
1n+
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=∑
N n=
11 n−∑
N n=
11
n+
1
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Cal
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ns
laso
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ons
p∈
N>
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ue
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vous
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de
lase
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Ser
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La
serie
geo
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ique
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term
ea
etde
raison
qes
t
∑
aqn.
Theo
rem
e
Si|q|<
1la
serie∑
aqn
conve
rge
vers
a1−
q.
Si|q|≥
1et
a6=
0la
serie∑
aqn
est
div
ergen
te.
Dem
onst
ration
.-c.
f.le
cours
sur
les
suites
-
Exe
mple
Mon
tron
sque
0,3
3333
...=
1 3.
La
serie
har
mon
ique
:∑
1 n.
Le
term
ege
ner
alte
nd
vers
0m
ais
lase
rie
div
erge
.
Les
som
mes
par
tiel
les
sont
SN
=∑
N n=
11 n.Con
sider
ons
lasu
ite
extr
aite
:T
N=
S2
N.O
na
alor
s
TN
+1−
TN
=2
N+
1∑ n=
1
1 n−
2N
∑ n=
1
1 n=
2N
+1
∑
n=
2N+
1
1 n
≥2
N×
12
N+
1=
1 2.
La
suite
extr
aite
(TN)
div
erge
,la
suite
(SN)
est
donc
auss
idiv
ergen
te:
lase
rie
har
mon
ique
div
erge.
Voir
auss
il’ex
erci
ce6
du
TD
1
Inte
rpre
tation
phys
ique
surhttp://www.etudes.ru(/ru/mov/mov006/index.php)
Theo
rem
esde
com
par
aiso
n
Theo
rem
eSoie
nt∑
un
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v ndeu
xse
ries
ate
rmes
pos
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avec
un
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v n.
La
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un
conve
rge
siet
seule
men
tsi∑
v nco
nve
rge.
Rap
pel
un
∼ +∞
v nsi
un
vn
−→n→
+∞
1.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Montr
ons
que
lase
rie∑
ln
(
1+
1 2n
)
div
erge
.
Theo
rem
esde
com
par
aiso
n
Theo
rem
eSoie
nt∑
un
et∑
v ndeu
xse
ries
ate
rmes
pos
itifs
avec
un≤
v npou
rto
ut
n∈
N. Si∑
v nco
nve
rge
alor
s∑
un
conve
rge.
Si∑
un
div
erge
alor
s∑
v ndiv
erge
.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Montr
ons
que
lase
rie∑
1 n2
conve
rge.
3-Ser
ies
ate
rmes
pos
itifs
Ce
sont
les
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un
avec
un≥
0pou
rto
ut
n∈
N.
Pro
pos
itio
nU
ne
serie
ate
rme
pos
itifs∑
un
est
conve
rgen
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men
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des
som
mes
par
tiel
les
est
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.
Dem
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.
Con
ditio
nsu
ffisa
nte
:La
suite
(Sn)
des
som
mes
par
tiel
les
est
croissa
nte
car
Sn+
1−
Sn
=u
n+
1≥
0.Side
plu
sel
lees
tm
ajor
eeal
ors
elle
conve
rge
(c.f.co
urs
sur
les
suites
).
Conditio
nnec
essa
ire
:Sila
suite
des
som
mes
par
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les
(Sn)
conve
rge,
elle
est
maj
oree
(c.f.co
urs
sur
les
suites
).
Theo
rem
e
Si∑
un
et∑
v nve
rifien
tu
n=
v nlo
rsque
n>
pal
ors
∑u
nco
nve
rge
siet
seule
men
tsi∑
v nco
nve
rge
S’ilex
iste
q∈
Nte
lque
un+
q=
v npou
rto
ut
nal
ors
∑u
nco
nve
rge
siet
seule
men
tsi∑
v nco
nve
rge
Dem
onst
ration
.
SiN
>p
ona
N∑ n=
0
un−
N∑ n=
0
v n=
p∑ n=
0
un−
v n=
A.
Les
som
mes
par
tiel
les
verifien
t∑
N n=
0u
n=
A+∑
N n=
0v n
.et
sont
donc
de
mem
enat
ure
.
On
aN∑ n=
0
un−
N−
q∑ n=
0
v n=
N∑ n=
0
un−
N−
q∑ n=
0
un+
q=
q∑ n=
0
un
=B
.
Les
suites
des
som
mes
par
tiel
les
sont
don
cde
mem
enat
ure
.
4-Ser
ies
ate
rmes
reel
s
Defi
nitio
nU
ne
serie∑
un
est
dite
abso
lum
ent
conve
rgente
sila
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stco
nve
rgen
te.
Theo
rem
eSi∑
un
est
une
serie
abso
lum
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ors
elle
conve
rge.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Montr
ons
que
lase
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n
n2
conve
rge.
Com
par
aiso
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inte
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e
Theo
rem
eSoit
f:R→
R≥
0une
fonct
ion
continue
etdec
roissa
nte
.
La
serie∑
f(n
)co
nve
rge
siet
seule
men
tsi
l’in
tegr
ale∫
+∞
0f(x
)dx
conve
rge.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
(Ser
ies
de
Rie
man
n)
Soit
α∈
R,le
sse
ries∑
1 nα
sont
appel
ees
series
de
Rie
man
n.
Montr
ons
qu’u
ne
serie
de
Rie
man
nco
nve
rge
siα
>1
etdiv
erge
siα≤
1.
Crite
rede
Cau
chy
Theo
rem
eSoi
t∑
un
une
serie
ate
rme
pos
itifs
telle
que
n√u
n−→
n→
+∞
ℓ.
Siℓ
<1,la
serie
conve
rge,
Siℓ
>1,la
serie
div
erge
.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Mon
tron
sque
lase
rie∑
1 nn
conve
rge.
Crite
rede
d’A
lem
ber
t
Theo
rem
eSoi
t∑
un
une
serie
ate
rme
positifs
telle
que
un+
1
un
−→n→
+∞
ℓ.
Siℓ
<1,la
serie
conve
rge,
Siℓ
>1,la
serie
div
erge.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Mon
tron
sque
lase
rie∑
1 n!
conve
rge.
Mat
hem
atiq
ues
pour
lesignal
discr
et–
Ma3
2
Chap
itre
1:Suites
num
eriq
ues
Chap
itre
2:Ser
ies
num
eriq
ues
Chap
itre
3:Ser
ies
entier
es
Chap
itre
4:Tra
nsf
orm
eeen
Z
La
serie∑
zn,z∈
C.
Pro
pos
itio
n
Si|z|≥
1la
serie∑
zn
est
div
erge
nte
.
Si|z|<
1la
serie∑
zn
conve
rge
abso
lum
ent
etsa
som
me
vaut
+∞∑ n=
0
zn
=1
1−
z.
Exe
mple
Cal
culo
ns
les
som
mes
des
deu
xse
ries∑
a net∑
bn
avec
a n=
cosnθ
2n
etb
n=
sin
nθ
2n.
5-Ser
ies
ate
rmes
com
ple
xes
Pro
pos
itio
nU
ne
serie
ate
rmes
com
ple
xes∑
un
conve
rge
siet
seule
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tsi
les
series
ate
rmes
reel
s∑
ℜe(u
n)
et∑
ℑm(u
n)
conve
rgen
t.
Defi
nitio
nU
ne
serie
ate
rmes
com
ple
xes∑
un
est
dite
abso
lum
ent
conve
rgente
sila
serie
ate
rmes
pos
itifs∑
|un|e
stco
nve
rgen
te.
Theo
rem
eSi∑
un
est
une
serie
ate
rmes
com
ple
xes
abso
lum
ent
conve
rgen
teal
ors
elle
conve
rge.
Dem
onst
ration
...
.
Ser
ies
alte
rnee
Defi
nitio
nU
ne
serie∑
un
est
dite
altern
ee
sice
ste
rmes
sont
alte
rnat
ivem
ent
positifs
etneg
atifs.
Theo
rem
eSoi
t∑
un
une
serie
alte
rnee
.Si|u
n|d
ecro
itet
tend
vers
0al
ors
lase
rie
∑u
nes
tco
nve
rgen
te.Plu
spr
ecisem
ent,
∣ ∣ RN
∣ ∣=∣ ∣
+∞∑
n=
N+
1
un
∣ ∣≤
|uN
+1|.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Mon
tron
sque
lase
rie∑
(−1)
n
nco
nve
rge
mai
sne
conve
rge
pas
abso
lum
ent.
Defi
nitio
nSoit∑
a nx
nune
serie
entier
ede
rayo
nde
conve
rgen
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.L’e
nse
mble
des
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Res
tle
dom
aine
de
conve
rgen
cede
lase
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travaille
avec
des
nom
bre
sre
els,
c’es
tun
inte
rvalle.
Sion
travaille
avec
des
nom
bre
sco
mple
xes
,c’
est
un
disque.
Exe
mple
s
Le
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie
reel
le∑
xn
est
1ca
r..
.
Le
dom
aine
reel
de
conve
rgen
cede
cett
ese
rie
est
]−
1,1[
.Elle
ne
conve
rge
que
pou
rx∈ ]
−1,
1[.
Le
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie
reel
le∑
xn n
est
1ca
r..
.
Le
dom
aine
reel
de
conve
rgen
cede
cett
ese
rie
est
]−
1,1[
.Par
contr
eel
leco
nve
rge
pou
rx∈
[−1,
1[.
Le
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie
reel
le∑
xn
n2
est
1ca
r..
.
Le
dom
aine
reel
de
conve
rgen
cede
cett
ese
rie
est
]−
1,1[
.Par
contr
e,el
leco
nve
rge
pou
rx∈
[−1,
1].
Lem
ma
Sila
serie∑
a nX
nco
nve
rge
et|x|<
|X|a
lors
lase
rie∑
a nx
nco
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abso
lum
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Dem
onst
ration
...
.
Theo
rem
eSoit∑
a nx
nune
serie
entier
e.Il
existe
un
uniq
ue
nom
bre
R≥
0,
even
tuel
lem
ent
infini,
telque
:
si|x|<
R,la
serie
conve
rge
abso
lum
ent,
si|x|>
R,la
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div
erge
.
Ce
nom
bre
est
appel
ele
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie.
Dem
onst
ration
...
.
1-
Defi
nitio
ns
etnot
atio
ns.
Defi
nitio
nU
ne
serie
entier
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serie∑
a nx
nou
xes
tun
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bre
reel
ou
com
ple
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a nes
tle
term
ege
ner
ald’u
ne
suite
de
nom
bres
reel
sou
com
ple
xes.
Ce
sont
des
som
mes
infinie
sde
puissa
nce
sde
x.Elle
sgen
eral
isen
tdonc
les
pol
ynom
es.
Exe
mple
s
Sia n
=0
lors
que
n>
pal
ors∑
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n=
a 0+
a 1x
+..
.+a p
xp.
Sia n
=1
pou
rto
ut
nal
ors∑
xn
est
une
serie
geo
met
rique.
Rem
arque
Si|x|<
1la
serie∑
xn
est
une
fonct
ion
de
xque
vous
connai
ssez
:
+∞∑ n=
0
xn
=1
1−
x.
Mat
hem
atiq
ues
pour
lesignal
discr
et–
Ma3
2
Chap
itre
1:Suites
num
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ues
Chap
itre
2:Ser
ies
num
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ues
Chap
itre
3:Ser
ies
entier
es
Chap
itre
4:Tra
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Z
3-
Oper
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sur
les
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entier
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entier
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R2
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som
me
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spec
tive
men
t.a
-Com
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1
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rie
est
]−
e,e
[.Sa
som
me
est
une
fonct
ion
g:]−
e,e
[→R
.La
connai
ssez
-vou
s?
2-
Det
erm
inat
ion
du
rayo
nde
conve
rgen
ce
Crite
rede
d’A
lem
ber
tSi
limn→
+∞
∣ ∣ ∣a n
+1
a n
∣ ∣ ∣=
ℓ6=
0
alor
sle
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie∑
a nx
nes
tR
=1 ℓ.
Crite
rede
Cau
chy
Si
limn→
+∞
n√
|an|=
ℓ6=
0
alor
sle
rayo
nde
conve
rgen
cede
lase
rie∑
a nx
nes
tR
=1 ℓ.
Dem
onst
ration
.-c.
f.co
urs
sur
les
series
num
eriq
ues
-
Rem
arques
-Le
criter
ede
d’A
lem
ber
tne
s’ap
pliq
ue
que
sia n
6=0
apar
tir
d’u
nce
rtai
nra
ng.
-Siℓ
=0
alor
sR
=+∞
,si
ℓ=
+∞
alor
sR
=0.
Defi
nitio
nSoi
t∑
a nx
nune
serie
entier
ede
rayo
nde
conve
rgen
ceR
.N
otons
DR
son
dom
aine
de
conve
rgen
ce.La
som
me
de
lase
rie∑
a nx
nes
tune
fonct
ion
de
x,f
:D
→R
(ou
C),
defi
nie
par
f(x
)=
+∞∑ n=
0
a nx
n.
Dan
sce
rtai
nca
son
peu
tca
lcule
rce
tte
som
me
Exe
mple
s
La
som
me
de
lase
rie∑
xn
est
+∞∑ n=
0
xn
=1
1−
xpour
x∈]
−1,
1[.
La
som
me
de∑
xn n
est
+∞∑ n=
1
xn n
=ln
(1+
x)
pour
x∈]
−1,1
[.
La
som
me
de∑
xn
n2
est
+∞∑ n=
1
xn
n2
=?
?pour
x∈]
−1,1
[.
5-
Dev
elop
pem
ent
ense
rie
entier
e
Defi
nitio
nSoit
Dun
inte
rval
lede
Rou
un
disque
de
Cco
nte
nan
t0.
Une
fonct
ion
f:D
→R
(res
p.
C)
est
dite
dev
elop
pab
leen
serie
entier
een
0s’il
existe
une
serie
entier
e∑
a nx
nde
rayo
nde
conve
rgen
ceR
>0
telle
que
f(x
)=
+∞∑ n=
0
a nx
npou
rto
ut|x|<
R.
Siel
leex
iste
cett
ese
rie
est
uniq
ue
etco
ınci
de
avec
lase
rie
de
Tay
lorde
fen
0.
Exe
mple
s
La
fonct
ion
(ree
lleou
com
ple
xe)
f(x
)=
ex
est
laso
mm
ede
lase
rie
...
La
fonct
ion
reel
leg(x
)=
e−
1
x2
prol
ongee
par
g(0
)=
0es
tde
clas
seC
∞m
ais
n’e
stpas
dev
elop
pab
leen
serie
entier
e.
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
s
Cal
culo
ns
laso
mm
ede
lase
rie
entier
e∑
(n+
2)x
n.
Cal
culo
ns∑
n≥
0x
n
n!.
4-
Pro
prie
tes
de
laso
mm
e
Theo
rem
eSoi
t∑
a nx
nune
serie
entier
ede
rayo
nde
conve
rgen
ceR
etf(x
)la
fonct
ion
defi
nie
par
laso
mm
ede
cett
ese
rie.
fes
tco
ntinue
sur
]−
R,R
[et
pour
tout
[a,b
]⊂
]−
R,R
[,
∫b
a
f(x
)dx
=
+∞∑ n=
0
∫b
a
a nx
ndx.
fes
tder
ivab
lesu
r]−
R,R
[et
sader
ivee
est
obte
nue
com
me
laso
mm
e
f′ (
x)
=+∞∑ n=
1
na n
xn−
1pou
rto
ut
x∈]
−R
,R[
fa
pou
rpr
imitiv
eva
lant
0en
0la
som
me
F(x
)=
+∞∑ n=
0
a nx
n+
1
n+
1dx.
b-
Multip
licat
ion
Pro
pos
itio
nLe
produit
de
deu
xse
rie
enti’e
rees
tune
serie
entier
e:
(∑
a nx
n)
×(∑
bnx
n)
=∑
c nx
n
avec
c n=∑
n k=
0a k
bn−
k.
Le
rayo
nde
conve
rgen
ceR
de
cett
ese
rie
entier
eve
rifie
R≥
min
(R1,R
2).
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
Cal
culo
ns
lase
rie∑
xn×∑
nx
n.
6-
Ser
ies
de
Lau
rent
Defi
nitio
nU
ne
serie
de
Lau
rent
est
une
serie
de
lafo
rme
∑ n∈
Z
a nx
n=∑ n≥
0
a nx
n+∑ n≤−
1
a nx
n.
C’e
stla
som
me
d’u
ne
serie
entier
eet
d’u
ne
serie
entier
een
x−
1.
Ree
criv
ons
lase
rie
:
∑ n∈
Z
a nx
n=
∑ n≥
0
a nx
n
︸︷︷︸
Conve
rge
si|x|<
R1
+∑ n≥
1
a −n
x−
n
︸︷︷
︸
Conve
rge
si|x
−1|<
R2
.
Pour
que∑
n∈
Za n
xn
conve
rge
ilfa
ut
que∑
n≥
0a n
xn
et∑
n≥
1a −
nx−
n
conve
rgen
t,c’
est-
a-dire
1 R2
<|x|<
R1.
Applic
atio
ns
Quel
est
ledev
elop
pem
ent
de
1√
1−
x2
?
Cal
culo
ns
a10
−3
pres
∫1
0
1−
e−
x
xdx.
Tro
uvo
ns
une
solu
tion
de
l’eq
uat
ion
diff
eren
tiel
le
2xy
′′+
2y′ −
y=
0
telle
que
y(0
)=
1so
us
form
ede
serie
entier
e.
cosh
x=
+∞∑ n=
0
(−1)
nx
2n
(2n)!
R=
+∞
sinh
x=
+∞∑ n=
0
(−1)
nx
2n+
1
(2n
+1)
!R
=+∞
(1+
x)α
=
+∞∑ n=
0
α(α
−1)
...(
α−
n+
1)
n!
xn
R=
1
ln(1
+x)
=
+∞∑ n=
1
(−1)
n+
1
nx
nR
=1
. . .
Dev
elop
pem
ents
ense
rie
entier
ede
fonct
ions
usu
elle
sRay
on
de
Fonct
ion
Ser
ieco
nve
rgen
ce
1
1−
x=
+∞∑ n=
0
xn
R=
1
ex
=
+∞∑ n=
0
xn n!
R=
+∞
cosx
=
+∞∑ n=
0
(−1)n
x2n
(2n)!
R=
+∞
sin
x=
+∞∑ n=
0
(−1)
nx
2n+
1
(2n
+1)
!R
=+∞
Mat
hem
atiq
ues
pour
lesignal
ediscr
et–
Ma3
2
Chap
itre
1:Suites
num
eriq
ues
Chap
itre
2:Ser
ies
num
eriq
ues
Chap
itre
3:Ser
ies
entier
es
Chap
itre
4:Tra
nsf
orm
eeen
Z
Mat
hem
atiq
ues
pour
lesignal
ediscr
et–
Ma3
2
Chap
itre
1:Suites
num
eriq
ues
Chap
itre
2:Ser
ies
num
eriq
ues
Chap
itre
3:Ser
ies
entier
es
Chap
itre
4:Tra
nsf
orm
eeen
Z
Dev
elop
pem
ent
ense
rie
de
Lau
rent
Cal
culo
ns
les
dev
eloppem
ents
ense
rie
de
Lau
rent
de
lafo
nct
ion
rationnel
le
f(x
)=
1
1−
x
suiv
ant
que|x|<
1ou|x|>
1.
Cal
culo
ns
ledev
elop
pem
ent
ense
rie
de
Lau
rent
de
lafo
nct
ion
g(x
)=
e2/x−
cos3x.
Exe
mple
s
Cal
culo
ns
ledom
aine
de
conve
rgen
cere
elet
ledom
aine
de
conve
rgen
ceco
mple
xeai
nsi
que
laso
mm
ede
lase
rie
de
Lau
rent
∑ n∈
Z
a nx
n
avec
a n=
{2−
nsi
n≥
0n−
1si
n≤
−1
.
Que
sepas
se-t
-ilav
ecla
serie
de
Lau
rent
∑ n∈
Z
bnx
n
don
nee
par
bn
=
{2n
sin≥
0n−
1si
n≤
−1
?
b.Suite
de
Dirac
:
La
suite
est
defi
nie
par δ(
0)=
1δ(
nT
e)
=0
pou
rto
ut
n∈
N>
0.
Sa
tran
sfor
mee
enz
:
Z[δ
(nT
e)]
=+∞∑ n=
0
δ(nT
e)
1 zn
=δ(
0)1 z0
=1
2-
Exe
mple
sfo
ndam
enta
ux.
a.Ech
elon
unite
:
Le
signal
est
U(t
)=
{1
sit≥
00
sit
<0
Son
echan
tillo
nag
ea
laper
iode
Te
est
lasu
ite
de
term
ege
ner
al
U(n
Te)
=1.
Sa
tran
sfor
mee
enz
:
Z[U
(nT
e)]
=
+∞∑ n=
0
U(n
Te)
1 zn
=
+∞∑ n=
0
1 zn
=z
z−
1
pou
rz∈
Cte
lque|z|>
1.
Defi
nitio
nSoi
ent
f:R→
Rune
fonct
ion
nulle
sur
R<
0(s
ignal
causa
l)et
Te∈
R>
0.L’e
chan
tillo
nnag
ede
fde
per
iode
Te
est
lasu
ite
(f(n
Te))
n=
(f(0
),f(T
e),
f(2
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f(3
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...)
La
tran
sfor
mee
enz
d’u
nec
han
tillo
nag
e(f
(nT
e))
nes
tla
som
me
de
lase
rie
:
F(z
)=
+∞∑ n=
0
f(n
Te)
1 zn.
lors
qu’e
lleex
iste
.O
nla
not
eF
(z),
Z[f
(nT
e)]
ou
Z[f
]si
Te
est
explic
ite.
Exe
mple
1-
Defi
nitio
ns
etnot
atio
ns.
Defi
nitio
nLa
tran
sfor
mee
enz
d’u
ne
suite
(an) n
est
laso
mm
ede
lase
rie
:
A(z
)=
+∞∑ n=
0
a n1 zn.
Sile
rayo
nde
conve
rgence
de
lase
rie∑
n≥
0a n
xn
est
R>
0alo
rs
A(z
)est
bie
ndefinie
pour
tout
z∈
Cte
lque∣ ∣1 z
∣ ∣<
Rso
it|z|>
1 R.
Le
fonct
ion
A(z
)es
tau
ssinot
eeZ
[an].
On
appel
le(a
n) n
l’or
igin
alde
A(z
).
Exe
mple
Sia n
=1
pou
rto
ut
nal
ors
lera
yon
de
conve
rgen
cede∑
n≥
01 zn
est
1.
Pou
rz
>1
ona
A(z
)=
+∞∑ n=
0
1 zn
=1
1−
1/z
=z
z−
1.
c.Ava
nce
Theo
rem
e(d
el’av
ance
)Soit
(vn) n
une
suite;not
ons
(wn) n
lasu
ite
don
nee
par
wn
=U
(n)v
n+
1.
Alo
rsZ
[wn]=
z(Z
[vn]−
v 0).
Dem
onst
ration
...
.
On
peu
tgen
eral
iser
ceth
eore
me
par
recu
rren
ce:
Z[U
(n)v
n+
p]=
zp
(
Z[v
n]−
p−
1∑ k=
0
v k zk
)
.
b.Ret
ard
Theo
rem
e(d
ure
tard
)Soit
(vn) n
une
suite;not
ons
(wn) n
lasu
ite
don
nee
par
wn
=v n
−p
sin≥
p>
0w
n=
0si
n<
p.
Alo
rs
Z[w
n]=
1 zpZ
[vn].
Dem
onst
ration
...
.
L’e
gal
ite
du
theo
rem
ede
reec
rit
Z[U
(n−
p)v
n−
p]=
z−
pZ
[vn].
3-
Pro
prie
tes.
a.Lin
earite
Theo
rem
eSoi
ent
(un) n
,(v
n) n
deu
xsu
ites
etλ,µ
deu
xnom
bres
.A
lors
Z[λ
un
+µv n
]=
λZ
[un]+
µZ
[vn].
Dem
onst
ration
...
.
Exe
mple
sCal
culo
ns
Z[c
os(ω
n)]
etZ
[sin
(ωn)]
.
c.Suite
expon
entiel
le:
Le
signal
est
f(t
)=
at=
exp(t
lna)
.
Son
echan
tillo
nag
ea
laper
iode
Te
est
lasu
ite
de
term
ege
ner
al
f(n
Te)
=an
Te.
Sa
tran
sfor
mee
enz
:
Z[a
nT
e]
=
+∞∑ n=
0
anT
e1 zn
=
+∞∑ n=
0
(aT
e
z
)n
=1
1−
aT
e
z
=z
z−
aTe
pou
rz∈
Cte
lque∣ ∣ ∣a
Te
z
∣ ∣ ∣<
1i.e.
|z|>
|a|T
e.
En
par
ticu
lier
Z[a
n]=
z
z−
apou
r|z|>
|a|.
⇒
6-
Tra
nsf
orm
eeen
zet
convo
lution
Rap
pel
s
1Sif
etg
sont
deu
xfo
nct
ions
nulle
ssu
rR
<0,on
not
e
(f∗g
)(x)
=
∫x
0
f(τ
)g(x−
τ)d
τle
pro
duit
de
convo
lution
de
fet
g.
2Si(a
n) n
et(b
n) n
sont
deu
xsu
ites
,on
not
e
(a∗b
) n=
n∑ k=
0
a kb
n−
kle
pro
duit
de
convo
lution
de
(an) n
et(b
n) n
.
Com
patibilite
Soit
Te
une
per
iode
d’e
chan
tillo
nnag
e,si
(an) n
est
l’ec
han
tillo
nnag
ede
fet
(bn) n
est
l’ec
han
tillo
nnag
ede
gal
ors
((a∗b
) n) n
est
l’ec
han
tillo
nnag
ede
(f∗g
).
5-
Val
eur
initia
leet
vale
ur
final
e
Theo
rem
e(d
ela
vale
ur
initia
le)
Soit
(an) n
une
suite
etA
(z)
satr
ansf
orm
eeen
z.Sila
limite
existe
ona
:
lim|z|→
+∞
A(z
)=
a 0.
Dem
onst
ration
...
.
Theo
rem
e(d
ela
vale
ur
final
e)Soit
(an) n
une
suite
etA
(z)
satr
ansf
orm
eeen
z.Sile
slim
ites
existe
nt
ona
:lim
|z|→
0+A
(z)
(
1−
1 z
)
=lim
n→
+∞
a n.
Dem
onst
ration
...
.
4-T
ransf
orm
eed’u
nsign
alper
iodiq
ue
Theo
rem
eSoi
ent
Te∈
R>
0et
fun
sign
alm
Te-p
erio
diq
ue.
Not
ons
f 0le
signal
f 0(t
)=
{f(t
)si
t∈
[0,m
Te[
0sinon.
Alo
rsZ
[f(n
Te)]
=z
m
zm−
1Z
[f0(n
Te)]
,
ou
avec
d’a
utr
esnota
tions
:
F(z
)=
zm
zm−
1F
0(z
).
pou
rz∈
Cte
lque|z|>
1.
Dem
onst
ration
...
.
d.M
ultip
licat
ion
par
n.
Pro
pos
itio
nSoi
t(v
n) n
une
suite.
Alo
rsZ
[nv n
]=
−z
d dzZ
[vn].
Dem
onst
ration
...
.
e.M
ultip
licat
ion
par
an,a∈
C.
Pro
pos
itio
nSoi
t(v
n) n
une
suite.
Alo
rsZ
[anv n
](z)
=Z
[vn](
z a
)
.
Dem
onst
ration
...
.
Suite
defi
nie
spar
une
recu
rren
cedou
ble
linea
ire.
αa n
+2+
βa n
+1+
γa n
=b
n
α,β
,γet
ant
des
const
ante
set
(bn) n
une
suite
don
nee
set
(an) n
est
lasu
ite
inco
nnue.
En
utilis
ant
lalin
earite
etle
theo
rem
ed’a
vance
,on
obtien
t
Z[a
n]=
Z[b
n]+
αa 0
z2+
(αa 1
+βa 0
)z
αz
2+
βz
+γ
Res
tea
trouve
r(a
n) n
...
Exe
mple
Tro
uve
rune
suite
(yn) n
telle
que
{y n
+2−
5y n
+1+
6yn
=δ
y 0=
1y 1
=0
.
Com
par
erav
ecl’ex
emple
de
lafin
du
chap
itre
sur
les
suites
Soit
A(z
)une
fonct
ion
d’u
ne
variab
leco
mple
xez.
Exi
ste-
t-il
(an) n
telle
que
A(z
)=
Z[a
n]?
Pre
mie
rem
ethode
:D
evel
opper
A(z
)en
serie
entier
ede
1 zen
utilis
ant
les
table
sde
series
entier
es.
Deu
xiem
em
ethode
:SiA
(z)
est
une
frac
tion
ration
nel
le,on
ladec
ompose
enel
emen
tssim
ple
spuis
onutilis
ele
spr
opriet
esde
laT
Zet
les
table
sde
tran
sfor
mee
susu
elle
s.
Exe
mple
(fin
de
l’ex
emple
pre
ceden
t)
Pre
nons
A(z
)=
z(z−
1)(
2z+
1)
=z(
1/3
z−
1−
2/3
2z+
1
)
=1 3
zz−
1−
1 3z
z+
1/2.
Or
d’a
pres
ceque
nou
sav
ons
dej
avu
:
Z[U
(n)]
=z
z−
1et
Z[(−
1/2)
nU
(n)]
=z
z+
1/2.
voir
l’ex
emple
c.
Nous
avons
don
cz
(z−
1)(
2z+
1)
=Z
[an]av
ec
a n=
1 3
[
1−(−
1 2
)n]
U(n
)
7-
Tra
nsf
orm
eein
vers
e&
Applic
atio
ns
Com
men
tre
trouve
rl’or
igin
ald’u
ne
tran
sfor
mee
enz
?
Exe
mple
On
cher
che
une
suite
(an) n
telle
que
{2a
n+
1+
a n=
U(n
)a 0
=0
.
La
tran
sfor
mee
enz
etan
tlin
eaire
onob
tien
t
2Z[a
n+
1]+
Z[a
n]=
Z[U
(n)]
Le
theo
rem
ede
l’av
ance
don
ne
Z[a
n+
1]=
z(Z
[an]−
a 0),
eton
adonc
2zZ
[an]+
Z[a
n]=
z
z−
1c’
est-
a-dire
Z[a
n]=
z
(z−
1)(
2z+
1).
Com
men
tob
tenir
a n?
Theo
rem
eSoi
ent
(an) n
et(b
n) n
deu
xsu
ites
.O
na
Z[(
a∗b
) n]=
Z[a
n]·Z
[bn].
Soie
nt
fet
gdeu
xsignaux
casa
ux
etF
(z)
etG
(z)
leurs
transf
orm
ees
enz
de
per
iode
d’e
chantillonnage
Te.O
na
Z[f
∗g]=
F(z
)·G
(z)
Dem
onst
ration
. Z[(
a∗b
) n]
=
+∞∑ n=
0
(a∗b
) n1 zn
=
+∞∑ n=
0
(n∑ k=
0
a kb
n−
k
)
1 zn
En
rem
pla
cant
n−
kpar
m:
=
+∞∑ m
=0
+∞∑ k=
0
a kb
m
1
zk+
m
=
(+∞∑ k=
0
a k1 zk
)(
+∞∑ m
=0
bm
1 zm
)