1-mécanique_synthèse

1MK02 : Mécanique des systèmes

MK02 : MMK02 : Méécanique des systcanique des systèèmes mes

« Approche Newtonienne de la mécanique des solides

»


Plan du coursPlan du cours

1 Modélisation des systèmes mécaniques :Rappels sur les bases, les repères, les coordonnées.Rappels sur les produits scalaire et vectoriel.Paramétrage dans l’espace, matrice de changement de repère.Modélisation de liaisons particulières : ressort et amortisseur

2 Cinématique du solide :Vitesse d’un point matériel et dérivation vectorielVitesse d’un point coïncident à un solideMouvements particuliers des solidesCIR, base et roulantesThéorie cinématique des mécanismes

3 Aspect dynamique des systèmes :Masse et centre de masseOpérateur d’inertie des solides.Principe fondamental de la dynamique et applications.Théorie dynamique des mécanismes


BaseBase

En 3D, une base est un ensemble de 3 vecteurs qui permettre de définir de manière unique n’importe quel vecteur de l’espace.

En mécanique, on utilise uniquement des Bases Ortho Normées Directe : BOND

xr y

r

zr

0. =yxrr

0. =zyrr

0. =xzrr

1. =xxrr

1. =yyrr

1. =zzrr


RepRepèère et coordonnre et coordonnééeses

Un repère est l’association d’une base et d’un point origine.

xr y

r

zr

Coordonnées d’un vecteur :

O

ur

),,( zyxBrrr

= ),,,0( zyxRrrr

=

P

zcybxaurrrr

++=

Bcba

u⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

Coordonnées d’un point :

zryqxpOPrrr

++=

Rrqp

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

Ce repère est dit cartésien

René Descartes1596 - 1650


CoordonnCoordonnéées particulies particulièèresres

Coordonnées cylindriques

xr

yr

zr

O

θur

rur

RcyRcah

r

cba

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡ θ

P

θ r

h

xr

yr

zr

Oθur

rur

P

θ

r

ϕ

RspRca

r

cba

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

ϕθ

Coordonnées sphériques

ϕur


Produit scalaireProduit scalaire

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

cba

ur⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

tsr

vr

Dans une BONDOn définit le produit scalaire

ctbsarvu ++=rr

.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0sincos

θθ

uu

ur

r

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=00v

v

r

r

On définit la norme

222. cbauuu ++==rrr

θ

Autre expression

θcos.. vuvurrrr

=


PropriPropriééttéés du produit scalaires du produit scalaire

Commutatif : uvvurrrr

.. = Bilinéaire : wuvuwvurrrrrrr

..).( λλ +=+

ur

vr θ

)(.cos.. / vprojorthouvuvu u

rrrrrrr== θ

Interprétation géométrique : projection orthogonale

Relation fondamentale entre produit scalaire et coordonnées dans une BOND ),,( zyxrrr

zzuyyuxxuurrrrrrrrrr

).().().( ++=

vuvurrrr

⊥⇔= 0.

[ ]°∈ 90,0θ


Produit vectorielProduit vectoriel

θ

vuwrrr

∧=

ur

vr

θ

vuwrrr

∧=

Dans une BOND, on définit le produit vectoriel

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

≡∧brasatcrcsbt

vurr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

tsr

vr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

cba

ur

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

θθθ

sin00

0sincos

00

uvvvu

Traduction dans une BOND particulière


PropriPropriééttéé du produit vectorieldu produit vectoriel

Anticommutatif : uvvurrrr

∧−=∧ Bilinéaire : wuvuwvurrrrrrr

∧+∧=+∧ λλ )(

Produit mixte : [ ] ).().().(,,det uwvvuwwvuwvurrrrrrrrrrrr

∧=∧=∧=

Double vectoriel :

wvuvwuwvurrrrrrrrr

).().()( −=∧∧

uwvvwuwvurrrrrrrrr

).().()( −=∧∧

ur

vr θ

)(.2sin.. ABCsurfacevuvu ==∧ θrrrr

Interprétation géométrique du produit vectoriel

A

B

C

vuvurrrr

//0 ⇔=∧

h


Bras de levierBras de levier

Soit un produit vectoriel : wvurrr

=∧

urv

r

wr

D

'vr

hvr

On représente les vecteurs et de manière à ce que leur origine soit commune.

ur

vr

L’ensemble des extrémitésdes vecteurs tel queest une droite D parallèle àpassant par l’extrémité de

ur

vr

'vr

wvurrr

=∧ '

Parmi les vecteurs on choisitle vecteur orthogonal àOn appelle ce vecteur le bras de levier.

'vr

hvr

ur

hvuvurrrr

∧=∧


OpOpéérateur de changement de baserateur de changement de base

1xr 1y

r

1zr

11

1

1

Bcba

v⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

22

2

2

Bcba

v⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

1O2xr

2yr2z

r

2O

On cherche à passer d’une base à l’autre

131

21

11

2

Bppp

x⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

132

22

12

2

Bppp

y⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

133

23

13

2

Bppp

z⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

r

[ ]2211 BB

vPvrr

←=

On pose la matrice de passage de la base B2 vers la base B1 :

[ ] [ ] [ ]12121221 ,,

BBBij zyxpPrrr

==←

Lorsque de 2 repères sont en mouvement un même vecteur possède plusieurs coordonnées.


Les angles dLes angles d’’EulerEuler

1xr

1yr

21 zzrr

=

1O

43 zzrr

=

32 xxrr

= 4xr

2yr

3yr

4yrθ

θ

ϕ

ϕ

ψψ

Pour paramétrer les angles d’une base par rapport à une autre, il faut choisir 3 angles.

Euler a proposé une décomposition appelée « angles d’Euler ». Il en existe d’autres !

Leonhard Euler1707 - 1783


Matrices de passage des angles dMatrices de passage des angles d’’EulerEuler

θ

32 xxrr

= 2yr

3yr

43 zzrr

= 21 zzrr

=

1xr

1yr

32 xxrr

=

2yr

21 zzrr

=

ψ ϕ

43 zzrr

=

3yr

4yr

32 xxrr

=

4xr

[ ]43←P[ ]32←P[ ]21←P

On représente les rotations entres les différents repères par des schémas.

On peut associer à chaque schéma une matrice de passage.


OpOpéérateur de changement de reprateur de changement de repèèrere

1xr 1y

r

1zr

1O2xr

2yr2z

r

2O11

1

1

Rcba

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

22

2

2

Rcba

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

On cherche à traduire les coordonnées d’un point M d’un repère R1 à un repère R2

11

1

1

21

Bwvu

OO⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

matrice de passage de B2 vers B1:

[ ]21←P

On utilise la relation de Chasles :

MOOOMO 2211 +=

La position relative des repères :


OpOpéérateur de changement de reprateur de changement de repèèrere

[ ]122

2

2

212

BBcba

PMO⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡ ←MOOOMO 2211 +=

11

1

1

21

Bwvu

OO⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡ ←

1

1

1

2

2

2

21

11

1

1

wvu

cba

Pcba

M

R

1

1

1

1

1

1 R

HR c

ba

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≡

On définit alors les coordonnées homogènes :

2

2

2

2

2

1 R

HR c

ba

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≡

La matrice 4x4 de passage des coordonnées homogènes :

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≡ ←←

101

1

1

2121

wvu

PR [ ] HR

HR MRM 2211 ←=


ModModéélisation des ressortslisation des ressorts

Remarque :Il n’existe pas de matériau indéformable, toute pièce se déforme sous l’effet des actions mécaniques qui s’exercent sur elle.

Définition :

Toute pièce peut être considérée comme un ressort dés l’instant où les déformations dues aux actions extérieures ne sont plus négligeables devant les échelles du système étudié.

Carbone diamant Polystyrène expansé


ÉÉlasticitlasticitéé / in/ inéélasticitlasticitéé

Arbre élastique :

Les déformations s’annulent lorsque l’effort s’annule.

4x4 inélastique :

Les déformations persistent lorsque l’effort s’annule.


Loi de comportement des structures continuesLoi de comportement des structures continues

Soit une tige circulaire de rayon R et de longueur L.

Le matériau qui la constitue est élastique, linéaire, homogène et isotrope.

La barre exerce un effort sur l’extérieur :

xF

AN : L = 1m / R = 1mm matériaux : acier E = 200 GPa / alliage d’aluminium 72 GPa

xr

yr

xFF extr

rr.→=

Donner l’expression littérale de :

Tracer son allure.

)(xF


Les diffLes difféérents types de ressort rents types de ressort

Ressort de translationPièce se déformant majoritairement en translation sous l’action d’une force

Ressort à câbleRessort hélicoïdauxRessort à lameDiaphragmeÉlastomères …

Ressort de rotationPièce se déformant majoritairement en rotation sous l’action d’un moment

Barre de torsionRessort spiralRessort hélicoïdauxÉlastomères …


DDééfinition de la raideur dfinition de la raideur d’’un ressortun ressort

On se place dans le cas des ressorts élastiques. (non franchissement de la limite élastique du matériau). On suppose connue la loi :

On se place à une position d’équilibreEt on définit la raideur du ressort dans cette position

)()( 00 xdxdFxk −=

F

x0x

0x

)( 0xk

Si on s’éloigne peu de la position d’équilibre on peut écrire alors :

xxkxFxxF Δ−=Δ+ )()()( 000

L’inverse de la raideur est appelée compliance.

)()( xFF extr =→


Ressort Ressort éélastique linlastique linééaireaire

Les ressorts linéaires ont une raideur constante k

F

x

x

)( 0Lk

On utilisera majoritairement des ressorts de translation élastiques et linéaires.

On les représentera de la manière suivante :

x

FF−

On choisit le point de linéarisation par rapport à la longueur du ressort à vide L0C’est-à-dire là où la force s’annule.

0L

xkLFxLF Δ−=Δ+ )()( 00

L’action du ressort sur l’extérieur :

( )0)( LxkxF −−=

xΔ


Association de ressortsAssociation de ressorts

TD : Donner les raideurs équivalentes de ces deux associations

1k 2k1k

2k

On étudie les associations de ressorts suivantes :

Association de ressorts en série

Association de ressorts en parallèle


Les amortisseursLes amortisseurs

Définition générale :

Les amortisseurs sont des systèmes qui transforment de l’énergie mécanique en énergie thermique.

Définition des amortisseur visqueux linéaires :

Systèmes qui engendrent une forceproportionnelle à la vitesse de déplacement de ses extrémités.

x

FF−

)(xFF exta &=→

xfF &−=

f est appelé coefficient de frottement visqueux.



1 Modélisation des systèmes mécaniques :Rappels sur les bases, les repères, les coordonnées.Rappels sur les produits scalaire et vectoriel.Paramétrage dans l’espace, matrice de changement de repère.Modélisation de liaisons particulières : ressort, amortisseur, fil,...


2 Aspect dynamique des systèmes :Masse et centre de masseOpérateur d’inertie d’un solide.Cinétique et dynamique d’un solide.Principe fondamental de la dynamique et applications.Théorie dynamique des mécanismes


Elle traite essentiellement de

Des points matériels P

Position :

Vitesse :

Accélération :

CinCinéématiquematique

La cinématique est la science du mouvement.

A ne pas confondre avec la Cinétique qui est la science de la quantité de mouvement…

OP

0/PV

0/Pγ

Des solides S

Vitesse de rotation :

Vitesse de points coïncidents :

0/SΩ

Par rapport à un repère de référence 0.

0/SMV ∈


DDééfinition de la vitesse dfinition de la vitesse d’’un pointun point

xr

yr

zr

O

0/PΓ

)(tPSoit un point P(t) mobile dans le temps par rapport à un repère ),,,0(0 zyxR

rrr=

La trajectoire du point P par rapport au repère R0 est l’ensemble des points parcourus par P dans le temps d’observation du système.

0/PΓ

Si la trajectoire est une fonction C1 on peut à tout instant définir la vitesse du point P par rapport à 0 :

000/ )()()(lim)(

RdtP t

dtOPd

dttOPdttOPtV =

−+=

→

r

TDTracé vitesse


Utilisation des coordonnUtilisation des coordonnééeses

000/ )()()(lim)(

RdtP t

dtOPd

dtdttOPdttOPtV =

+−+=

→

r

ztcytbxtatOPrrr

)()()()( ++=

D’après la définition

On utilise les coordonnées de P dans R0

dtztcytbxtazdttcydttbxdttatV

dtP])()()([)()()(lim)(

00/

rrrrrrr ++−+++++=

→

dtztcdttcytbdttbxtadttatV

dtP

rrrr )]()([)]()([)]()([lim)(00/

−++−++−+=

→

ztdtdcyt

dtdbxt

dtdatVP

rrrr)()()()(0/ ++=


DDééfinition de lfinition de l’’accaccéélléérationration

xr

yr

zr

O

0/PΓ

)(tPSoit un point P(t) mobile dans le temps par rapport à un repère ),,,0(0 zyxR

rrr=

Si la vitesse de P par rapport à R0 est une fonction C1 par morceau on peut définir l’accélération du point P par rapport à 0 :

0

0/0/0/00/ )()()()(lim)(

R

PPPdtP t

dttVd

dttVdttVt

rrrr

=−+

=→

γ

En tout point la vitesse de P par rapport à R0 est connue :

)(0/ tVP

r

)(0/ tVP

r

TDTracé vitesse


DDéérivation vectoriellerivation vectorielle

xr

yr

zr

)(turSoit un vecteur

Connu par ses coordonnées dans la base

)(tur

( )zyxBrrr

,,0 =

ztcytbxtaturrrr

)()()()( ++=

On définit sa dérivée par rapport au repère R0

ztdtdcyt

dtdbxt

dtdat

dtud

R

rrrr

)()()()(0

++=

O


Introduction du vecteur rotationIntroduction du vecteur rotation

xr

yr

zr

)(tir)(tj

r

)(tkrO

Soit une base Mobile par rapport à unrepère ),,,0(0 zyxR

rrr=

))(),(),((1 tktjtiBrrr

=

On cherche à définir un opérateur permettant d’exprimer facilement ladérivée du vecteur grâce à ses coordonnées dans B1.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

γβα

333231

232221

131211

0

)(aaaaaaaaa

tdtud

R

r

)(tur

)()()()()()()( tktjtiztcytbxtaturrrrrrr

γβα ++=++=

Les coordonnées de sont constantes dans la base B1

)(tur

)(tur


OpOpéérateur de drateur de déérivation : vecteur rotationrivation : vecteur rotation

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

γβα

333231

232221

131211

0

)(aaaaaaaaa

tdtud

R

r 1. =iirr

0.2 =dtidir

rdonc 011 =a

0. =jirr

0.. =+ jdtid

dtjdi

rrr

rdonc 2112 aa −=

La matrice est donc antisymétrique àdiagonale nulle. ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

γβα

γβα

12

13

23

2313

2312

1312

0 00

0)(

aaa

aaaaaa

tdtud

R

r

On pose donc le vecteur de rotation de B1 par rapport à R0 ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=Ω

12

13

23

00/1

aaa

B

r

Vitesse polaire


DDéérivation vectorielle cas grivation vectorielle cas géénnééral : Formule de ral : Formule de BourBour

xr

yr

zr

)(tir)(tj

r

)(tkrO

Soit une base Mobile par rapport à unrepère ),,,0(0 zyxR

rrr=

))(),(),((1 tktjtiBrrr

=

)(tur

)()()()()()()( tkttjttitturrrr

γβα ++=

Les coordonnées de sont connues dans la base B1.

)(tur

Formule de Bour

)()()( 0/110

tutdtudt

dtud

RR

rrrr

∧Ω+=

0/1Ωr

Le vecteur de rotation de B1 par rapport à R0 est connu :


Applications de la formule de Applications de la formule de BourBour

xr

yr

zr

)(tir)(tj

r

)(tkr

O

)(tM

O1

),,,(0 zyxORrrr

= ))(),(),(),(( 11 tktjtitORrrr

=

On calcule la vitesse et l’accélération par rapport au repère R0 à partir

de la vitesse et l’accélération par rapport au repère R1.

Ces démonstrations de feront en TD.


Composition des vitessesComposition des vitesses

Vitesse relative :

xr

yr

zr

)(tir)(tj

r

)(tkr

O

)(tM

O1

),,,0(0 zyxRrrr

=

))(),(),(),(( 11 tktjtitORrrr

=

1/Mrelative VVrr

=

Vitesse d’entraînement : MOVV Ontentraîneme 10/10/1 ∧Ω+=rrr

ntentraînemerelativeM VVVrrr

+=0/

0/MVr


Composition des accComposition des accéélléérationsrations

Accélération relative : 1/Mrelative γγrr

=

Accélération d’entraînement : [ ]MOMOdt

dOntentraîneme 10/10/11

0/10/1 ∧Ω∧Ω+∧

Ω+=

rrr

rrγγ

CoriolisntentraînemerelativeM γγγγrrrr

++=0/

Accélération de Coriolis : 1/0/12 MCoriolis Vrrr

∧Ω=γ

Gaspard Coriolis1792 - 1843


DDééfinition dfinition d’’un solideun solide

En mécanique, on appelle solide un corps qui vérifie :

0=dt

ABd

Quels que soient A et B deux points quelconques appartenant au solide.

Corollaire :Il est toujours possible (et souvent pratique) d’associer un repère à un solide.


DDééfinition de la vitesse dfinition de la vitesse d’’un point appartenant un point appartenant àà un solideun solide

xr

yr

zr

)(tir)(tj

r

)(tkr

O)(tMOs

),,,0(0 zyxRrrr

=

Soit un solide S auquel on associe un repère :Un point M mobile dans R0 coïncident avec Rs.

))(),(),(),(( tktjtitOR ss

rrr=

Repère d’observation :

MOVV SSOSSM ∧Ω+=∈ 0/0/0/

rrr

On définit la vitesse de M appartenant à S par rapport à R0


Relation de ChaslesRelation de Chasles

xr

yr

zr

O)(tMO1

S1

O2

S2

Pour passer d’un solide à l’autre on utilise la relation de composition des vitesses des solides

également appelée relation de Chasles :

0/11/20/2 ∈∈∈ += MMM VVVrrr

Michel Chasles1793 - 1880


DDéémonstration de la relation de Chasles des solidesmonstration de la relation de Chasles des solides

MOVV OM 20/20/0/2 2∧Ω+=∈

rrr

MOOOVVV OOM 20/2210/10/1/0/2 12∧Ω+∧Ω++=∈

rrrrr

MOMOMOVVV OOM 20/221/010/10/1/0/2 12∧Ω+∧Ω+∧Ω++=∈

rrrrrr

MOMOVVV OOM 21/210/10/1/0/2 12∧Ω+∧Ω++=∈

rrrrr

0/11/20/2 ∈∈∈ += MMM VVVrrr

On utilise la composition des vitesses diapo 37

On reconnaît la vitesse du point coïncident.


Champ de vitesse dChamp de vitesse d’’un solideun solide

xr

yr

zr

O)(tAOs

)(tB

AOVV OSA 10/10/10/ ∧Ω+=∈

rrr

On calcule les vitesses des points A(t) et B(t) coïncidents avec Rs

Soit un solide S auquel on associe un repère Rsmobile par rapport à R0

Rs

BOVV OSB 10/10/10/ ∧Ω+=∈

rrr

BAVV SBSA ∧Ω+= ∈∈ 0/10/0/

rrr

Le champ des vitesses des points coïncidents à un solide peut être décrit par un torseur dit cinématique.

{ }ASA

SS V ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧ Ω

≡∈ 0/

0/0/ r

r

υ


EquiprojectivitEquiprojectivitéé

Cette propriété découle directement de la définition des solides. 0=dt

ABd

ABVABV SBSA .. 0/0/ ∈∈ =rr

Quel que soit le couple de point (A,B)

0/SAV ∈

r

A

B

ABV SA .0/∈

r

0/SBV ∈

r

ABV SB .0/∈

r


Mouvements particuliers des solidesMouvements particuliers des solides

Rotation

{ }O

S⎭⎬⎫

⎩⎨⎧Ω

≡0

0/10/ r

r

υ

Il existe un point O /

Mouvement planTranslation

Il existe un point A /

0. 0/0/1 =Ω ∈SAVrr00/1

rr=Ω


Mouvement de rotationMouvement de rotation

{ }O

S⎭⎬⎫

⎩⎨⎧Ω

≡0

0/10/ r

r

υIl existe un point O tel que : OMV SM ∧Ω=∈ 0/10/

rr

Interprétation graphique

Vitesse orthoradialeDistribution linéaire des

vitesses sur le rayon

M∀


Mouvement de translationMouvement de translation

00/1

rr=Ω M∀ 0/0/ SASM VV ∈∈ =

rr

Interprétation graphique

Les vitesses de l’ensembledes points coïncidents avec S sont toutes identiques.

A


Mouvement planMouvement plan

Il existe un point A / 0. 0/0/ =Ω ∈SAS Vrr

Les vecteurs vitesses sont coplanaires à un plan de normale

].[. 0/0/0/0/0/ ABVV SSASSBS ∧Ω+Ω=Ω ∈∈

rrrrr

0/1Ωr

0/1Ωr


Vitesse de glissement et roulement sans glissementVitesse de glissement et roulement sans glissement

A une interface entre deux solides on peut définir au moins un point de contact I.

0/1∈IVr

0/2∈IVr

On définit la vitesse de glissement comme du point I de 2 par rapport à 1

0/10/21/2 ∈∈∈ −= III VVVrrr

On dit qu’il y a roulement sans glissement (RSG) au

point I de 2 par rapport à 1 :

01/2

rr=∈IV

⇔


Centre instantanCentre instantanéé de rotation (CIR)de rotation (CIR)

On se place dans un mouvement plan 0/0/0/0/ .. SASSBS VV ∈∈ Ω=Ωrrrr

),( BA∀

A B 0/SBV ∈

r0/SAV ∈

r On choisit deux points A et B coplanaires à un plan (P) de normale : 0/SΩ

r

On trace 2 droites perpendiculaires aux vitesses et coplanaires à P.

0R2 - Si les droites ne se coupent pas, on définit le CIR à l’infini, le solide est en translation instantanée

1 - Si les droites se coupent en un point IS0 on appelle ce point le centre instantané de rotation du solide S par rapport au repère 0.

0SI


Centre instantanCentre instantanéée de rotation suitee de rotation suite

A B 0/SBV ∈

r0/SAV ∈

r

0R 0SI

En appliquant l’équiprojectivité, on démontre que : 00/0

rr=∈SISV

A l’instant considéré, le solide S est en rotation instantanée par rapport 0 autour de son CIR.

Attention :

Un solide en mouvement plan qui possède un CIR n’a pas forcément un mouvement de rotation.

Il est en rotation si et seulement si

00/0

rr=

SIV


ThThééororèème des 3 plans glissantsme des 3 plans glissants

12

3

Soient 3 solides en mouvement plan par rapport à un repère 0.

On identifie 3 CIR

0R

31I

21I

32I

21I 31I 32I

32312/32/3312/332 IIVV II ∧Ω+= ∈∈

rrr

21311/21/2311/221 IIVV II ∧Ω+= ∈∈

rrr

021311/232312/3

rrr=∧Ω+∧Ω IIII

Les trois CIR sont alignés et vérifient :3231

2131

1/2

2/3

IIII

=ωω


Base et RoulanteBase et Roulante

Dans certaines applications particulières (came, cinématiques complexes) il est commode de définir 2 courbes relatives à un mouvement plan 2/1. On identifie les trajectoires d’un CIR.

12

21ILa trajectoire de I21par rapport à 2 est appelé la roulante.

La trajectoire de I21par rapport à 1 est

appelé la base.

Remarque : La base et la roulante roulent sans glisser l’une sur l’autre sur le CIR.


Analyse cinAnalyse cinéématique des mmatique des méécanismescanismes

Les liaisons vues en cours de construction doivent être connues sur le bout des doigts.

PTLRAP2

LALAaDPGHL

GL1

RTRaDPVEN0

3210T/R

On caractérise les liaisons par leur torseur cinématique : { }MMV

V⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ω

≡∈ 1/2

1/21/2 r

r


Nombre Nombre cyclomatiquecyclomatique

0

1

3 4

2

On part du graphe des liaisons

Nombre Cyclomatique :

C’est le nombre de cycles indépendants présents dans le graphe.

1+−= PL NNμ

Au sein d’un cycle on peut réaliser une fermeture cinématique qui fournit 6 équations :

{ } { } { } { }0/22/11/00/0 υυυυ ++=


DDééfinition de la mobilitfinition de la mobilitéé dd’’un systun systèèmeme

On compte le nombre d’inconnues cinématiques :

On compte le nombre d’équations cinématiques :

On résout le système linéaire cinématique :

∑= cc iI

cr

cr

cE

RSGc NE += μ6

cI On identifie le rang du sytème rc(le nombre d’équations libres du système)

On définit la mobilité du système comme la somme des inconnues cinématiques incalculables.

ccc rIm −=

cm

La mobilité correspond au nombre de paramètres indépendants capable de commander complètement le système.


ChaChaîîne fermne ferméée : syste : systèème vis me vis éécrouscrous

1

0

2

1 : Faire un graphe des liaisons

2 : Calculer le nombre cyclomatique

3 : Calculer la mobilité du système

0xr

1xr

1yr

)(tα

)(tα 0yr

0zr

0xr

O

A

Paramétrage du système :

0)( ztOAr

λ= Pas du système vis écrous : 1.5 −= trmmp

0yr

)(tβ

)(tβ2yr

0xr

210 zzzrrr

==

B

00 )( zthxeOBrr

+−=

2xr

210 zzzrrr

==


ChaChaîîne ouverte : exemple dne ouverte : exemple d’’un robotun robot

O

A

0

1

2

B

xr

yr

zr

rur

θur

)(tθ

)(tθ

zthtOAr

)()( =

)()()( tutrtAB r

r=

Paramétrage :

1 : Faire un graphe des liaisons

2 : Calculer le nombre cyclomatique

3 : Calculer la mobilité du système


Fermeture gFermeture gééomoméétriquetrique

0xr

1xr

)(tα

O

B

C

A

2xr

)(tβ

3

1

2

0

0yr

Dans certaines applications on reconnaît un cycle cinématique plan qui possède au moins 3 pivots perpendiculaires à ce plan (système 4 barres, bielle manivelle…).

Dans ces cas là il est astucieux de réaliser une fermeture géométrique :

Paramétrage : 1xeOAr

= 2xLABr

=

0yhBCr

= 0)( ytOCr

λ=

On cherche la loi entrée sortie : )(αλ

OCBCABOA =++

Puis on projette sur le repère O.



1 Modélisation des systèmes mécaniques :Rappels sur les bases, les repères, les coordonnées.Rappels sur les produits scalaire et vectoriel.Paramétrage dans l’espace, matrice de changement de repère.Modélisation de liaisons particulières : ressort et amortisseur


3 Aspect dynamique des systèmes :Masse et centre de masseOpérateur d’inertie des solides.Principe fondamental de la dynamique et applications.Théorie dynamique des mécanismes


CinCinéétique : tique : éénergie, masse, espace et tempsnergie, masse, espace et temps

On appelle masse la grandeur caractéristique de la quantité de matière.La masse d’un corps est directement fonction du nombre de nucléons qui le constitue.

La cinétique est le versant de la mécanique qui relie dans une même grandeur l’énergie : la masse, l’espace et le temps :

22..11 −= smkgJ

On pourrait distinguer cependant 2 types de masses :

La masse grave :

21212

2121 →→ −= u

dmmGF

rr∑ =→ RgSSext mF /γ

rrLa masse inertielle :

Dans l’état actuel des théories on suppose que ces 2 masses sont identiques


Impulsion / quantitImpulsion / quantitéé de mouvementde mouvement

PhilosophiaeNaturalis PrincipiaMathematicad’Isaac Newton publié en 1687

0dmdm =

Théorie de la relativitérestreinte d’Albert Einstein publiée en 1905

20/

0

)(1 cvdmdm

M−=

On définit l’impulsion (ou quantité de mouvement) d’une particule en mouvement par rapport à un référentiel 0.

dm

0/MVr

0/0/ MVdmpdrr

=Masse de la particule :

dm

Vitesse de la particule par rapport à 0 : 0/MVr

0/pdr

cvM <<0/


CinCinéétique dtique d’’un solideun solide

En utilisant la définition de la quantité de mouvement d’une particule

on va définir la quantité de mouvement d’un solide : ∫∫∫ ∈=

SM MS dmVp 0/0/

rr

∫∫∫ ∈=

SMS dmOMdtdp

00/

r

Il n’est pas commode d’utiliser des intégrales triples on simplifie l’expression avec l’hypothèse

d’un système à masse conservative.

O

dmdtOMdp

SMS

0

0/ ∫∫∫ ∈=

r

∫∫∫ ∈=

SMm dmOM

mOG 1

On définit le centre de masse par :

0/0/ SGmS Vmp ∈=rr

0/MVr

M


PropriPropriééttéés du centre de masses du centre de masse

∫∫∫ ∈=

SMm dmOM

mOG 1

Centre de masseMasse du solide

∫∫∫ ∈=

SMdmm

Définitions :

∫∫∫∫∫∫ ∈∈−=

SM mSMm dmMGdmOMOGm 0r

=∫∫∫ ∈SM m dmMG

Centre de gravité d’un groupe de solides ∑∑

=Σ iii

i OGmm

OG 1

Conséquences : Si la masse volumique du solide est homogène, le centre de masse est inclus dans les éléments de symétrie du système (axes ou plan)


Centre de masse = Centre dCentre de masse = Centre d’’inertieinertie

O

Le centre d’inertie dans la mécanique classique est confondu avec le centre de masse.

∫∫∫∫∫∫ ∈∈ ∈ =SMSM SM dmOM

dtddm

02

2

0/γr

C’est-à-dire que la quantité d’accélération de l’ensemble des points d’un solide est modélisable par l’accélération du centre

de masse auquel on affecte la masse totale du solide.

dmM 0/γr

M

∫∫∫ ∈=

SMdmOM

dtd

02

2

0/SGmm ∈= γr


Centre de masse et centre de gravitCentre de masse et centre de gravitéé

0)( gMgrr

=

On appelle centre de gravité le point G tel que l’on peut modéliser l’action de la gravité sur S comme un glisseur . { }

GGg

g

MR

Sg⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==→

0rr

rr

∫∫∫ ∈→ =SMSg dmMgR )(rr

0)(rrr

=∧= ∫∫∫ ∈SM

Gg dmMgGMM

Si le champs de pesanteur est homogène

00 gmdmgRSMSg

rrr== ∫∫∫ ∈→

[ ] 00

rrr=∧= ∫∫∫ ∈

gdmMGMSM m

Gmg

On identifie alors le centre de gravité au

centre de masse


Moment cinMoment cinéétiquetique

On définit le moment cinétique d’une particule comme le moment engendré par la quantité de mouvement de cette particule.

0/MVr

dm

Q

dmVQMpdQMd MdmQdm 0/0/0/

rr∧=∧=σ

∫∫∫ ∈∧=

SM MQS dmVQM 0/0/

rrσ

On en déduit alors le moment cinétique d’un solide

On choisit un point Q, fixe ou mobile par rapport à 0

M


MMééthode de calcul du moment cinthode de calcul du moment cinéétique dtique d’’un solideun solide

Q

Qs

Première étape on passe par un point Qs coïncident avec S

∫∫∫ ∈∧=

SM MQS dmVQM 0/0/

rrσ

∫∫∫∫∫∫ ∈∈∧+∧=

SM MsSM MsQS dmVMQdmVQQ 0/0/0/

rrrσ

QsSSGs

QS VmQQ 0/0/0/ σσ rrr

+∧= ∈

Deuxième étape on développe la vitesse de M en passant pas Qs.

[ ]∫∫∫∫∫∫ ∈∈ ∈ ∧Ω∧+∧=SM sSsSM SQss

QsS dmMQMQdmVMQ 0/0/0/

rrrσ

[ ]∫∫∫ ∈∈ ∧Ω∧+∧=SM sSsSQss

QsS dmMQMQVGQm 0/0/0/

rrrσ


Matrice dMatrice d’’inertieinertie

[ ]∫∫∫ ∈∧Ω∧

SM sSs dmMQMQ 0/

rOn va réaliser une analyse du terme

afin d’en déduire un opérateur qui va directement s’appliquer au vecteur rotation.

On exprime les coordonnées dans la même base :⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡Ω

cba

S 0/

r

[ ] ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++=∧Ω∧

zyx

zcybxacba

zyxMQMQ sSs )(2220/

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

zyx

MQs

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+−−−+

=∧Ω∧cba

yxzyxzzyzxxyxzxyzy

MQMQ sSs22

22

22

0/

r


Matrice dMatrice d’’inertieinertie

Qs

0B

s

zyx

MQ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡ On définit la matrice d’inertie

de S en Qs dans la base B0

B0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

22

22

22

BSSS

SSS

SSSQsS

dmyxdmyzdmxz

dmyzdmzxdmxy

dmxzdmxydmzy

I

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

−+−

−−+

=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫


PropriPropriééttéé de la matrice dde la matrice d’’inertieinertie

3 - La matrice d’inertie est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable dans une BOND.

Il existe une basse orthonormée directe dans laquelle la matrice est diagonale. On appelle les vecteurs de cette base les axes principaux d’inertie :

BOND

QsS

CB

AI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000000

1 - Les cœfficients diagonaux sont toujours positifs.

2 - Si le solide possède une masse volumique homogène et un plan de symétrie :

),,(00

00

zyx

QsS

CBDDA

Irrr⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

),( yxPrr

La matrice possède 2 coefficients nuls :


ThThééororèème de Huygensme de Huygens

Christiaan Huygens

1629 - 1695

Ce théorème permet d’exprimer la matrice d’inertie en n’importe quel point Qs.

cba

GQS ≡

Qs

G

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+−−−+

=∈22

22

22

babcacbccaabacabcb

mIGQsm

On indique les coordonnées du vecteur :

GQsm

GS

QsS III ∈+=

Avec la matrice d’inertie du point matériel Qs auquel on a affecté toute la masse du solide.

[ ]GQsmI ∈

Alors


DDéémonstration du Thmonstration du Thééororèème de Huygensme de Huygens

On exprime l’opérateur d’inertie en passant par le centre de gravité

[ ] [ ]∫∫∫∫∫∫ ∈∈+∧Ω∧+=∧Ω∧

SM sSsSM sSs dmGMGQGMGQdmMQMQ )()( 0/0/

rr

[ ] [ ]∫∫∫∫∫∫ ∈∈∧Ω∧=∧Ω∧

SMsSsSM sSs dmGQGQdmGQGQ 0/0/

rr

[ ] [ ]∫∫∫∫∫∫ ∈∈∧Ω∧=∧Ω∧

SMSsSM Ss dmGMGQdmGMGQ 0/0/

rr

[ ] [ ] [ ] 00/0/

rrr=∧Ω∧=∧Ω∧ ∫∫∫∫∫∫ ∈∈

GQdmGMdmGQGM sSSMSM sS

[ ] 0/0/ . SGSSM S IdmGMGM Ω=∧Ω∧∫∫∫ ∈

rr

[ ] [ ]∫∫∫ ∈∈ ∧Ω∧=SMsSs

GQsm dmGQGQI 0/

rEt on pose :


Utilisation des outils de CATIAUtilisation des outils de CATIA

Outil Matériau :

Permet d’appliquer les propriétés d’un matériau àune géométrie :

Masse volumique, Module d’Young,Conductivité thermique …

Outil Mesure d’inertie :

Permet de calculer les inerties des solides :

Masse,Centre de masse,Inertie


Outil de mesure dOutil de mesure d’’inertie inertie

Moments principaux

Axes principaux d’inertie


Torseur cinTorseur cinéétique rtique réécapitulatifcapitulatif

Calcul de la résultante : 0/0/ SGS Vmp ∈=rr

Calcul du moment : [ ] 0/0/0/0/ SQssSQssSGs

QS IVGQmVQQm Ω+∧+∧= ∈∈

rrrrσ

Formule de transport du moment : ABVm SGAS

BS ∧+= ∈ 0/0/0/

rrr σσ

Torseur cinétique : { }A

AS

SGS

VmC⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∈

0/

0/0/ σr

r

Soit un Solide S en mouvement par rapport à un référentiel 0.


StratStratéégie de calcul du moment cingie de calcul du moment cinéétiquetique

Il serait malhabile de calculer le moment cinématique en Q quelconque.

[ ] 0/0/0/0/ SQssSQssSGs

QS IVGQmVQQm Ω+∧+∧= ∈∈

rrrrσ

[ ] 0/0/ SGs

GS I Ω=

rrσ [ ] 0/0/ SQFs

QFS I Ω=

rrσ

Calcul au point G centre de gravité du solide (toujours possible).

Calcul au point QFappartenant S fixe par

rapport à 0 (si possible).


RRéésumsuméé des thdes thééories de Newtonories de Newton

« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui et ne le contraigne à changer d'état. »

Première loi de Newton

Seconde loi de Newton « L’accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. »

Troisième loi de Newton (principe des actions réciproques)

« Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensitéégale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B. »

« Deux référentiels d'espace en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre sont équivalents pour les lois de la mécanique. »

Le principe de relativité


RRééfféérentiel Galilrentiel Galilééenen

Newton POSTULE l’existence d’un temps et d’un espace absolu.

Cet ensemble forme ce que l’on appelle un référentiel Galiléen.

Ce référentiel est sensé être parfaitement immobile dans l’espace.

Le temps qui s’y écoule devient la référence des temps pour tous les autres référentiels.

Le seul candidat acceptable serait le centre de masse de l’univers.

Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton s’appliquent.

On utilise également le centre de masse du système solaire (héliocentrique) ou de centre de masse de la terre (géocentrique).


Principe fondamental de la statiquePrincipe fondamental de la statique

Règle n°1 « Il ne faut jamais essayer d’écraser une mouche avec une massue. »

Dans un référentiel galiléen la somme des torseurs des actions extérieures sur un groupe de solides statiques est nulle.

{ } { }∑ →=k

ik Sext0

La résolution graphique est à privilégier dés qu’elle est possible.

Solides soumis à 2 glisseurs : Les résultantes sont opposées de même droite d’action

Solides soumis à 3 glisseurs :

2 actions sont parallèles : la troisième est parallèle et on applique les bras de levier.

2 actions sont concourantes : la troisième est concourante et on applique le triangle des forces.


Principe de la conservation de la quantitPrincipe de la conservation de la quantitéé de mouvementde mouvement

Ce principe est plus général que les lois de Newton et les encapsule en un seul énoncé.

Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un corps C est égale la somme des forces qui s’appliquent dessus :

CF →1

r

CF →2

r

CF →3

r

CF →4

r0

0/CPr

∑ →= CextC F

dtPd rr

0

0/


HypothHypothèèse de masse conservativese de masse conservative

∑ →= MextM Fd

dtpd rr

0

0/

Dans un référentiel galiléen 0, on applique le principe de la conservation de la quantité de mouvement à chaque particule M constituant le solide S.

En supposant que les particules sont à masse conservative.

∑ →∈ =Γ MextSM Fddmrr

0/

dmdt

dmVddtpd

SMSMM

0/

0

0/

0

0/∈

∈ Γ==r

rr

MEXTFd →1

r

MEXTFd →2

r

MEXTFd →3

r

MEXTFd →4

r0

0/Mpr

M


IntIntéégration sur le solide des rgration sur le solide des réésultantessultantes

MEXTFd →1

r

MEXTFd →2

r

MEXTFd →3

r

MEXTFd →4

r0

0/SM∈γr

M


0/

On intègre sur le solide :

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ →→∈ ∈ +=Γji MjMiS MextSM SM FdFddm

,0/

rrr

0,

rrrr=+= →< →→ ∫∫∫∫∫∫ MiMjji MjMiji MjMi FdFdFd

Premier terme :

Deuxième terme :

0/0/ SGSM SM mdm ∈∈ ∈ =Γ∫∫∫ γrr

∫∫∫ →∈ =S MextSG Fdm

rr0/γ

Action réciproque


IntIntéégration sur le solide des momentsgration sur le solide des moments

On calcule le moment par rapport àQ point quelconque de l’espace :

On intègre sur le solide S.

On réalise la même simplification que pour la résultante.

∫∫∫∫∫∫ →∈ ∈ ∧=Γ∧S MextSM SM FdQMdmQM

rr0/


0/

∑ →∈ ∧=Γ∧ MextSM FdQMdmQMrr

0/

0rrr

=+ →< →∫∫∫ MiMjji MjMi FdFd ∫∫∫∫∫∫ →∈ ∈ ∧=Γ∧S MextSM SM FdQMdmQM

rr0/

Q

MEXTFd →1

r

MEXTFd →2

r

MEXTFd →3

r

MEXTFd →4

r0

0/SM∈γr

M


Relation entre moment cinRelation entre moment cinéétique et moment dynamiquetique et moment dynamique

On définit le moment dynamique du solide S par rapport à 0 exprimé au point Q.

∫∫∫ ∈ ∈Γ∧=SM SM

QS dmQM 0/0/

rrδ

On a déjà vu le moment cinétique et on chercher une relation entre les 2 thermes.

∫∫∫ ∈∧=

SM MQS dmVQM 0/0/

rrσ

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∈∈∈∧+∧=∧=

SMM

SM MSM M

QS dm

dtVdQMdmV

dtQMddmVQM

dtd

dtd

0

0/0/

000/

0

0/

rrrrσ

QSSM MSM M

QS dmV

dtOMddmV

dtQOd

dtd

0/0/

0

0/

00

0/ δσ rrrr

+∧+∧= ∫∫∫∫∫∫ ∈∈

QSSGQ

QS VVm

dtd

0/0/0/0

0/ δσ rrrr

+∧−= ∈ 0/0/0

0/0/ SGQ

QSQ

S VVmdt

d∈∧+=

rrrr σδ


Torseur dynamique rTorseur dynamique réécapitulatifcapitulatif

Calcul de la résultante :

Calcul du moment :

Formule de transport du moment : ABm SGA

SB

S ∧+= ∈ 0/0/0/ γδδrrr

Torseur dynamique : { }A

AS

SGS

mD

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∈

0/

0/0/ δ

γr

r

Soit un Solide S en mouvement par rapport à un référentiel 0.

0/SGm ∈γr

0/0/0

0/0/ SGQ

QSQ

S VVmdt

d∈∧+=

rrrr σδ


StratStratéégie de calcul du moment dynamiquegie de calcul du moment dynamique

Il serait malhabile de calculer le moment dynamique en Q quelconque.

[ ]00/0/ S

Gs

GS I

dtd

Ω=rr

δ

Calcul au point G centre de gravité du solide (toujours possible).

Calcul au point QFappartenant S fixe par

rapport à 0 (si possible).

0/0/0

0/0/ SGQ

QSQ

S VVmdt

d∈∧+=

rrrr σδ

[ ]00/0/ S

QFs

QFS I

dtd

Ω=rr

δ


Principe Fondamental de la Dynamique dPrincipe Fondamental de la Dynamique d’’un solideun solide

0

{ }Sext →3

{ }Sext →1 { }Sext →2

{ }0/SD

Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère Galiléen 0.

S subit des actions mécaniques extérieures. { }Sexti →

{ } { }∑ →= SextD iS 0/

Théorème de la résultante dynamique :

Théorème du moment dynamique :

∑ →∈ = SextSG Rmrr

0/γ

∑ →= QSext

QS M

rr0/δ Q∀


Application de la conservation du moment cinApplication de la conservation du moment cinéétique tique

La pirouette en patinage artistique est entièrement basée sur la conservation

du moment cinétique

Vidéo record du monde

Natalia Kanounnikov

Vitesse de rotation : 308 tr.min-1

[ ] 0/0/ SGs

GS I Ω=

rrσ csteI Szz =Ω 0/

r

Une diminution du moment d’inertie entraîne une augmentation de la vitesse de rotation.


StratStratéégie complgie complèète de calcul du moment dynamiquete de calcul du moment dynamique

QFSI

GS 0/σr QF

S 0/σr

GS 0/δr

QFS 0/δr

GSI

GQFm

GS

QFS III ∈+=

Au centre de gravité

En un point fixe du solide

En un point quelquonque du

solide

0/SΩr

0/SΩr

0dtd

0dtd

Torseur

TorseurQSS 0/δr

Lorsque l’on doit résoudre un problème de mécanique il faut choisir le point de calcul du moment dynamique.

Voici les chemins àprivilégier pour réaliser ces calculs.


PFD appliquPFD appliquéé àà un groupe de solidesun groupe de solides

12

3

{ }31 Sext → { }32 Sext →

{ }11 Sext →

{ }12 Sext → { }22 Sext →

{ }21 Sext →

On isole chaque solide et on écrit le PFD :

{ }31 SS ↔

{ }21 SS ↔

{ }32 SS ↔

{ } { } { }∑∑≠

→+→=ik

ikk

iki SSSextD 0/

Référentiel supposé galiléen

0

On additionne chaque équation { } { }∑∑ →=k

iki

i SextD 0/


Retour sur la thRetour sur la thééorie des morie des méécanismescanismes

0

1

3 4

2

On part du graphe des liaisons

On compte le nombre d’inconnues statiques de liaison : ∑= SS iI

On compte le nombre d’équations statiques : )1(6 −= PS NE

On compte le nombre de pièces isolables (toutes or bâti) : )1( −PN


RRéésolution du systsolution du systèème statiqueme statique

Sr

Sr

SE

SI

On écrit les ES équations de statique.

h

On trouves les rS équations libres du système.

Il reste parmi les IS inconnues statiques h inconnues incalculables.

On définit h comme le degrés d’hyperstatisme du système.

mEIh SS +−=

Formule non démontrée :

sS rIh −=


ChaChaîîne fermne ferméée : syste : systèème vis me vis éécrouscrous

1

0

2

1 : Appliquer le PFS à 1 et à 2

2 : Trouver l’action

3 : Calculer le degrés d’hyperstatisme du système0zr

0xr

O

AB

Pas du système vis écrous : 1.5 −= trmmp

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

12

12

12

12

12

12

221

NML

pNYX

π

{ }O

NmCExt

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==→

100

000

1

{ } ?2 ≡→Ext

On donne la forme du torseur entre l’écrou et la vis parfait :

Le système vis écrou est en équilibre statique.

{ } ?2 ≡→Ext


StratStratéégie de rgie de réésolution non galilsolution non galilééenneenne

1/SGr ∈= γγrr

[ ]GOGOdt

dOe 10/10/11

0/10/1 ∧Ω∧Ω+∧

Ω+=

rrr

rrγγ

cerSG γγγγrrrr

++=∈ 0/

1/0/12 SGc V ∈∧Ω=rrr

γ

Composition des accélérations appliquée au centre de gravité G du solide S passant par un référentiel R1 mobile par rapport à R0.

( )cerSext mR γγγrrrr

++=∑ →On applique le TRS /R0 supposé galiléen

1/SGceSext mmmR ∈→ =−−∑ γγγrrrr

[ ] rS

GS

ceSQ

Sext mGQdt

dmGQM S γσγγrrrr

∧+=+∧−∑ →

0

0/

PFD dans le référentiel R1 non galiléen.


StratStratéégie de rgie de réésolutionsolution

4 : Choix du point de réduction pour appliquer le TMD.

1 : Paramétrage du problème

3 : Choix du groupe de solides à isoler

2 : Choix du référentiel pour la résolution (galiléen / non galiléen)

5 : Choix du cheminement pour calculer du moment dynamique

Prise en compte des roulements sans glissement

Résolution cinématique si possible

Schémas des rotations

Calcul du degrés d’hyperstatisme si possible

1-mécanique_synthèse

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