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MAT3253Géométrie I

Professeur: Jurek Czyzowicz

Consultations: Lundi 10h-11h30Mercredi 10h00 – 11h30

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Liens internet utiles• http://www.cut-the-knot.org/ WhatIs/WhatIsGeometry.shtml• http://www.elvenkids.com/tools/ geometria/Geometria.php• http://mrperezonlinemathtutor.com/

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Géométrie comme science• ; geo = terre, metria = mesure• L’un de deux domaines de mathématiques pré

moderne (autre - étude de nombres)• La science mathématique des figures dans le plan

et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace.

• Les progrès des connaissances ont rendu la définition classique beaucoup trop restrictive. On peut parler de la géométrie de l’espace-temps et de nombreux espaces abstraits. La distinction entre ce qui est et n’est pas géométrique est alors délicate. Toute structure, tout modèle, tout univers possible, peut être étudié, d’une façon géométrique. On peut alors définir la géométrie comme la science des positions.

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L’importance de la géométrie• Euclide a réuni l’ensemble des

connaissances géométriques de son temps d’un telle façon qu’elles soient toutes ou bien des vérités premières, des axiomes, ou bien des théorèmes, prouvés à partir des axiomes.

• Cette méthode axiomatique a un immense prestige aux yeux des scientifiques et des philosophes en tant qu’idéal de perfection du raisonnement.

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Exemples d’applications de la géométrie

• Topographie (parcellisation des terres en Grèce antique)

• Physique • Mécanique (architecture, dessin

industriel)• Navigation (trigonométrie)• Informatique (CAO, infographie)• Beaucoup d’autres (astronomie,

géographie, etc.)

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Aperçu historique: Les Indes (3000 – 500 a.J.C.)

• Conséquence de la planification urbaine• Harappa et Mohenjo-Daro, 3000 a.J.C.

(les rues aux angles parfaitement droits, briques «compas» de Lothal (sections de 40 degrés))

• Période de Vedic (1500-500 a.J.C.), formes géométriques dans les autels, théorème de Pythagore, la valeur de (correcte jusqu’aux 2 chiffres décimaux)

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Aperçu historique: Grèce antique (600 – 300 a.J.C.)

• Nouvelles figures, courbes, surfaces• Déduction logique plutôt que

tâtonnement• Étude de formes abstraites (formes

physiques – approximations)• Théorie axiomatique (paradigme idéal

pour 2,000 ans)

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Aperçu historique: Grèce antique (600 – 300 a.J.C.)

• Thalès (635-543 a.J.C.), introduit la déduction mathématique

• Pythagore (582-496 a.J.C.)• Euclide (325-265 a.J.C.), Elements

d’Euclide

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Aperçu historique. Géométrie Euclidienne• Cinq postulats (axiomes)

Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Tous les angles droits sont égaux entre eux. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les

angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

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Aperçu historique. Géométrie Euclidienne

• Règle et compas• Trisection de l’angle, la duplication du

cube, quadrature du cercle

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Aperçu historique. Géométrie islamique (700 – 1500)

• Optique, miroirs des sections coniques

• Théorie d’équations cubiques• Courbes comme équations• Géométrie algébrique• Arithmétique appliquée aux objets

géométriques

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Aperçu historique (1600 + )• Géométrie analytique (coordonnées et équations),

René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665)

• Début du calculus (ex. applications géométriques: tangente à une courbe, surface enfermée), Isaac Newton (1642-1727), Gottfried von Leibniz (1646-1716)

• Cinquième postulat d’Euclide – géométrie non-Euclidiene (Bernhard Riemann 1854), application à la théorie de la relativité d’Albert Einstein

• L’introduction à la rigueur mathématique (David Hilbert - Base de la géométrie )

• Topologie• Géométrie algorithmique, infographie

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Lieux géométrique• Un lieu géométrique désigne l'ensemble

des points du plan ou de l'espace possédant une certaine propriété (vérifiant une condition donnée), à l’exclusion de tous les autres points du plan.

• Exemple : Le lieu géométrique des points M dont la distance à un point fixe A est égale à R est le cercle de centre A et de rayon R.

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Concepts de base. Point

• Le point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie (on dirait aujourd'hui ce qui n'a aucune dimension ou aucune épaisseur.) Toutes les figures du plan et de l'espace sont constituées d'ensemble de points.

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Concepts de base. Droite.

• Vision naïve • « La ligne droite est le plus court

chemin pour aller d'un point à un autre ».

• Définition formelle d'Euclide• une ligne est une longueur sans largeur; • et une ligne droite est une ligne

également placée entre ses points.

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Concepts de base. Droite. Droite ordonnée.

• Deux droites sur le plan peuvent être sécantes (elles s’intersectent) ou parallèles

• Une droite ordonnée est une droite pour laquelle nous avons défini le sens (direction)

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Concepts de base. Demi-droite.

• Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci.

• Par exemple la demi-droite [MN) a pour origine M et passe par N (elle passe par N et continue après N).

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Concepts de base. Segment.• un segment (ou un segment de droite) est

un « morceau » de droite compris entre deux points, les extrémités de ce segment.

• Plus formellement, si on se donne deux points distincts A et B, le segment [AB] est l'ensemble (ou lieu) des points qui appartiennent à la droite passant par ces deux points, et qui sont entre A et B  (ces derniers points sont inclus dans le segment). On étend la définition précédente au cas où les deux points A et B sont confondus ; le segment [AA] se réduit alors au point A : [AA] = {A}.

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Concepts de base. Segment.

• La longueur d’un segment est la distance entre ses extrémités.

• Le milieu du segment est un point du segment, équidistant de ses extrémités.

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Concepts de base. Distance.• La distance entre deux objets géométriques

est la plus petite distance entre deux points, chacun appartenant à l’un de ces objets

• La distance entre deux objets géométriques non disjoints est égale à zéro

• Exemples: le cas de deux segments, un point et une droite, un point et un segment

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Concepts de base. Angle.• Un angle est la portion de plan comprise

entre deux demi-droites de même origine• L’origine commune est le sommet de

l’angle • Les deux demi-droites sont les côtés de

l’angle• L’angle se mesure dans le sens antihoraire

(c’est-à-dire la mesure de l’angle dans le sens horaire est négative)

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Concepts de base. Mesure d’un angle en degrés.

• 1o est la mesure d’un angle au centre (d’un cercle) interceptant le 1/360e de la circonférence du cercle

• Un angle au centre qui intercepte le quart de la circonférence a pour mesure 90o (un angle droit). Deux demi droites (droites) sont perpendiculaires si leur angle est droit

• Un angle au centre qui intercepte la moitié de la circonférence a pour mesure 180o (un angle plat)

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Concepts de base. Mesure d’un angle en radians.

• 1 rad (radian) est la mesure d’un angle au centre interceptant sur la circonférence un arc de longueur égale au rayon du cercle

• Un angle plat a une mesure de rad

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Concepts de base. Plan.

• En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions.

• Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini.

• L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

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Concepts de base. Plan.

• Trois points distincts et non alignés; • Une droite et un point n'appartenant

pas à cette droite; • Deux droites non confondues et

sécantes; • Deux droites non confondues et

parallèles;

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Concepts de base. Plan cartésien• Dans le plan cartésien, les points sont définis à

l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.• Sur le plan cartésien il y a deux droites

ordonnées perpendiculaires appelées axes (axe des abscisses - x et axe des ordonnées y). Leur point commun est appelé l’origine

• Soit un points A dans le plan cartésien. On appelle (xA,yA) les coordonnées du point A si xA

est la distance entre point A et l’axe des ordonnées et yA est la distance entre point A et l’axe des abscisses. On appelle xA l’abscisse et yA l’ordonnée du point A.

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Concepts de base. Droite dans un plan cartésien

• L’équation Ax+By+C=0 pour trois constantes quelconques A, B, et C désigne une droite dans un plan cartésien

• Seulement les coordonnées cartésiennes des points appartenants à la droite respectent son équation