1

Le mouvement

v 7.3

1

2

Le mouvement

Nous avons besoin de a) un observateur b) l'objet (point matériel, quark, projectile, voiture, planète, galaxie) c) des instruments calibrés par des unités de mesure d'espace et temps ex.: un mètre et une horloge d) un protocole de mesure

3

Le Mouvement Rectiligne .1

Passage à t0 = 35,25 s

Passage à t1 = 38,35 s

XX0 = 2,14 cm X1 = 16,24 cm 0

Vitesse: v = 14,10/3,10 = 4,54 cm/s

Δt = 38,35 − 35,25 = 3,10 s ΔX= 16,24 - 2.14 = 14,10 cm

4

Les unitésSystème International (SI): m, kg, s (mks) Autre possibilité cm, g, s (cgs) (... mais encore: inch, pound, s,...)

1 kg: masse du cylindre en Pt du Bureau des Poids et Mesures de Sèvres 1 s : 9 192 631 770 la période de la radiation d'une transition du Cs133 1 m : distance parcourue dans vide par la lumière en 1/299792458 s (ancienne définition: 1 650 763,73 la longueur d'onde de la radiation d'une transition du krypton 86)

Q.: comment on avait défini ces grandeurs à l'époque de Napoléon ?

5

Mesure des distancesO(1 m): mesure de la longueur par un mètre rigide gradué O(1 µm): réticule dans un microscope O(1 nm): méthodes de physique atomique (Scanning Tunneling Microscope) O(1 fm): physique nucléaire (expérience de Rutherford) O(< 1 fm): physique des particules (idem, à haute énergie)

O(1 km): photo aérienne, trigonométrie, temps de propagation d'une onde e.m. (radar,...)

Etoiles proches: parallaxe

Etoiles éloignées: Luminosité apparente = L étoile / r2

Galaxies: idem, Luminosité des galaxies

Ordre de

6

HubbleDeepField

7

Mesure du temps... nécessite un système en mouvement:

- mouvement des astres

- sablier

- bougies étalonnées

- systèmes oscillants pendules ressorts lame de quartz dans un circuit oscillant oscillations dans une horloge atomique

8

Quelle est la précision de la mesure ?Erreurs systématiques: associées à la précision de l'appareillage

Mesure d'une longueur: x1 = 16,24 cm erreur de calibration de la réglette ± 0,02 cm erreur de lecture par l'observateur ± 0,02 cm Résultat: x1 = 16,24 ± 0,04 cm

Temps [s], par 10 chronométreurs: 38,35 38,33 38,34 38,34 38,35 ...

Moyenne = 38.35 s é.q.m. = 0.011 s erreur sur moyenne =

€

100.011

Erreur statistique ± 0,004

38.35 s

temps (sec)

Entries

Mean

RMS

10

38.35

0.1114E-01

0

1

2

3

4

5

38.3 38.32 38.34 38.36 38.38 38.4 t [sec]

9

Mouvement rectiligne .2Le long de la trajectoire rectiligne, on effectue quelques mesure de vitesse...

v (entre t1 et t2) ≡ v1 v (entre t2 et t3) ≡ v2 v (entre t3 et t4) ≡ v3 etc... si v1 = v2 = v3 = ... la vitesse est constante: le mouvement est rectiligne et uniforme.

Attention: les {vi } sont des valeurs moyennes sur un intervalle de temps fini => pour plus de précision il faut introduire la vitesse instantanée

v(t1) = limite pour Δt → 0 de Δx/Δ t au temps t ~ t1

[v] = [longueur]/[temps] unités : cm/s

10

Vitesse instantanéeparcours [km]

temps [heures]

50

100

0 1 2

v = 0

v > 0

La vitesse instantanée est la pente de la courbe x(t)

x

t

v < 0

parcours d'une voiture sur une autoroute rectiligne

t1 t2

x2x1

11

Vitesse instantanée et accélération

vitesse [km/h]

temps [heures]

50

100

0 1 2

décélération

accélération

parcours [km]

temps [heures]

50

100

1 2

v = 0

v > 0xv < 0

12

Accélération

v(t) [km/h]

temps t [heures]

50

100

0 1 2

L'accélération (instantanée) a(t) est la pente de la courbe v(t)

[a] = [l]/[t2] unités : cm s-2

t1 t2

13

Quelques formules (voir plus loin)

Si a = 0, alors v = cte, et x(t) = x(0) + v t

Si a = cte, alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2

1 2

Exemple: chute verticale d'un corps depuis une hauteur y = h

v(t) = v(0) − g t avec g = 9.81 m s−2

y(t) = h + v(0)t − g t2

y

h

1 2

0

cte: constante

14

Mouvement en 2D

x

y

t0

t1 t2

t3

t4

t5position au temps t donnée par le couple de fonctions:

x = x(t) y = y(t)

vitesse au temps t donnée par: vx(t) = dx/dt vy (t) = dy/dt

r

€

! r (t) ≡

x(t)y(t)

#

$ %

&

' ( ≡ r(t)

€

! v (t) ≡ v(t) =

drdt

(t) = ˙ r (t)

15

Exemple

Projectile lancé d'une tour, vitesse // au sol: vx(0) = V, au temps t=0. On néglige l'effet de l'air => vx

(t) = V = cte.

x

y V

g

vx(t) = V

vy(t) = - g t

x = 0 + V t y = h - g t2 / 2

Forme de la trajectoire: t = x/V y = h - g x2 / (2V2)

mouvement horizontal uniforme

0

mvt vertical soumis à la pesanteur

on décompose le mouvement: une composante // à x et une // à y

16

Exemple .2 Distance maximale pour un projectile

xΘ

v

0

y

?

17

Equations du mouvement

si a = constante alors v(t) = v(0) + a t et x(t) = x(0) + v(0) t + a t2 / 2

Dès définitions de vitesse et accélération:

On veut savoir quelle est la position et vitesse d'un objet à un certain moment, à partir des caractéristiques de son mouvement

18

Eq.s mouvement .2 * Calcul de la vitesse au temps t, a= cte:

€

v(t) = v(0) + adt0

t

∫ = v(0) + a dt0

t

∫ = v(0) + a(t − 0) = v(0) + at

avec v(0) la vitesse initiale.

* La position au temps t1:

€

x(t1) = x(0) + v(t)dt0

t1

∫ = x(0) + (v(0) + at)dt0

t1

∫ =

= x(0) + v(0)dt0

t1

∫ + at dt0

t1

∫ = x(0) + v(0)t1 +12at1

2

19

Eq.s mouvement avant Newton

t 0 τ 2τ 3τ

v 0 aτ a(2τ) a(3τ)

vmoyenne aτ/2 a3τ/2 a5τ/2

x 0 τ (aτ/2) = x(τ)+ a3τ2/2 = aτ2/2 = a4τ2/2 = a(2τ)2/2 a(3τ)2/2

€

vmoyenne(t1,t 2) =v(t1) + v(t 2)

2

€

x(t 2) ≈ x(t1) + vmoyenne(t1,t 2) × (t 2 − t1)

€

12at2

t

20

Annexe: les VECTEURS

21

Scalaires et vecteurs

Une grandeur physique qui s’exprime par un nombre réel est dite scalaire (de « scala » = échelle). C’est le cas de la température. P. ex.: on attribue à chaque point de la salle de cours un nombre qui représente la température: T(x,y,z).

Si l’on a besoin d’exprimer aussi une « direction » et pas seulement une intensité, alors on se sert de vecteurs. P. ex.: dans une rivière on doit indiquer la vitesse des molécules d’eau, au temps t: Vx(x,y,z,t), Vy(x,y,z,t), Vz(x,y,z,t) sont les trois composantes du vecteur vitesse V, au temps t, dans un point (x,y,z) de la rivière.

22

Les vecteurs

rx

y

ry

xy

€

! r ≡ r ≡

rx

ry

rz

#

$

% % %

&

'

( ( ( ≡

r1r2

r3

#

$

% % %

&

'

( ( (

rx

"gras"flèche

(norme de r) ≡ | r | = rx2 + ry

2 + rz2

longueur

^ indique un vecteur de norme = 1

r = x rx + y ry + z rz ^ ^ ^

(l'axe z sort du dessin)

23

Les vecteurs, notations (3D)

€

! r ≡ r ≡

rx

ry

rz

#

$

% % %

&

'

( ( ( ≡

r1r2

r3

#

$

% % %

&

'

( ( (

r ≡! r ≡! r = rx

2 + ry2 + rz

2 ≡ ri2

i=1,3

∑

gras

€

ˆ v = 1! v ! v un vecteur unitaire qui sert à indiquer la direction:

24

Les vecteurs, opérationsOPERATIONS ADDITION v = a + b MULTIPLICATION PAR SCALAIRE v = s a PRODUIT SCALAIRE s = a . b PRODUIT VECTORIEL v = a × b ≡ a ∧ b

Ex: multiplication du vecteur (2,3,-1) par le scalaire 0.5

€

0.5 ⋅23−1

$

%

& & &

'

(

) ) )

=

11.5−0.5

$

%

& & &

'

(

) ) )

25

Les vecteurs, addition

b

x

y

bx

by P

O

Q

a

OQ = a + b

OQ − b = a

€

OQ =axay

"

# $

%

& ' +

bxby

"

# $

%

& ' =

ax + bxay + by

"

# $

%

& '

Addition de vecteurs

exemple en 2D

26

Les vecteurs, produit scalaireProduit scalaire: a • b = |a| |b| cos(φ) = a' |b| = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

φ

a

ba'

φ : angle entre a et b

a

ba'le produit est < 0

le produit est = 0 si φ est droit !

le produit est > 0

* calcul d'un angle: cos(φ) = a • b / |a| |b| => φ = arccos( a • b / |a| |b| ) * norme (longueur) d'un vecteur: |a| = a • a

Exemples:

27

Les vecteurs, produit vectoriel

Produit vectoriel v = a × b est un vecteur orthogonal à a et à b de norme : |v| = |a| |b| sin(φ)

φ : angle entre a et b

a

b

v

φ

|v| est égale à l'aire du parallélogramme de côtés a et b

v1 = a2b3 - a3b2 v2 = a3b1 - a1b3 v3 = a1b2 - a2b1

Q1: Signification du produit mixte: (a × b) • c ? Q2: Montrer que a × b = - b × a