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$: 1. INTRODUCTION 2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUEget-couffignal.pagesperso-orange.fr/.../cours_mecanique/dynamique.pdf · C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours$
C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique BTS.doc L.D. 14/03/2005 PAGE 1/7

DYNAMIQUE DU SOLIDE 1. INTRODUCTION

La dynamique est la partie de la mécanique qui étudie les relations entre les déplacements des solides et leurs causes, c’est à dire les actions mécaniques extérieures qui agissent sur eux.

2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE Dans un repère galiléen, un système matériel (S) soumis à des Actions Mécaniques extérieures quelconques modélisables par :

{ }τ S S

S S

S SA A

/

/

/

( )

( )=

≠

≠

r r

r rR

M

0

0

a un mouvement tel que:

r r r

r rr

R

M

( )

( ) ( )

/ *( )

* ( )

/ *( )

S S iS

i G

S S i i iS

m M M

AAM m M

= =

= ∧

∑

∑

γ γ

γ

où:

mi représente la masse du volume élémentaire lié au point Mi . γ(G) est l’accélération du Centre de Gravité.

Remarques: La première équation vectorielle s’appelle : Equation de la résultante dynamique. La deuxième équation vectorielle s’appelle : Equation des moments dynamiques.

3. SOLIDES EN MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE :

3.1. Cas du Mouvement Rectiligne Uniforme :

Dans ce cas, γMi = 0 ∀ i donc, γG = 0, on en déduit que : { }τS S

S S

S SG G

/

/

/

( )

( )=

=

=

r r

r rR

M

0

0

On retrouve l’expression du P.F.S. qui est donc valable aussi lorsque le système isolé a un mouvement rectiligne uniforme.

3.2. Cas du Mouvement rectiligne Uniformément Varié :

Dans ce cas, γMi = Cte ∀ i donc, γG = Cte, on montre que : { }τγ

S S

S S G

S S

m

G G

/

/ * ( )

/

( )

( )=

=

=

r r

r rR

M 0

Le plus souvent, seule l’équation de la résultante dynamique est utilisée.


4. SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE DE SYMETRIE

Mouvement de rotation / à un axe fixe ⇒ en tout point I de l’axe de rotation : V(I) = 0 et γ(I) = 0 Mouvement de rotation / à un axe de symétrie ⇒ G ∈ à l’axe de rotation donc γ(G) = 0

On montre que dans ce cas le principe s’écrit: { }τθS S

S S

S S GG

zG

I Z/

/

/

( )

( ) *&&=

=

=

r r

r r

R

M

0

où: IGz est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ( G, z ). &&θ est l’accélération angulaire du solide autour de l’axe ( G, z ). z est l’axe de rotation. 4.1. Notion de moment d’inertie : (unité : kg.m2)

Dans le cas général, le calcul d’un moment d’inertie est complexe car il s’exprime par une intégrale triple sur le volume. L’expression générale pour le calcul d’un moment d’inertie par rapport à un axe (G, z ) est :

IGzV

r dmr = ∫ 2* où: r est la distance du point M considéré à l’axe (G, z )

dm est l’élément de masse élémentaire liée au point M.

4.2. Exemple de calcul:

z

Calcul du moment d’inertie d’un cylindre plein par rapport à son axe de symétrie de révolution. - Choix de l’élément de volume: - Calcul de l’élément de volume:

- Calcul du moment d’inertie :

4.3. Formulaire sur les moments d’inertie des principaux volumes :

G

S z

R

h G


Cylindre plein de diamètre 2r et de longueur 2l

m : masse du cylindre plein V = π.r².2l :Volume

IGx = IOx = mr²2

IGy = IGz = mr²4 + ml²

3

IOy1 = IOz1 = mr²4 + 4ml²

3

Cylindre creux de diamètre extérieur 2R, de diamètre intérieur 2r et de longueur 2l

m : masse du cylindre creux V = π.(R² - r²).2l :Volume

IGx = IOx = m(R²+r²)2

IGy = IGz = m(R²+r²)4 + ml²

3

IOy1 = IOz1 = m(R²+r²)4 + 4ml²

3

Tige pleine de diamètre négligeable et de longueur 2l

m : masse de la tige pleine IGx = IOx = 0

IGy = IGz = ml²3

IOy1 = IOz1 = 4ml²3

Sphère de Rayon r

m : masse de la sphère

V = 4πr3

3 : Volume

IGx = IGy = IGz = 2mr²5


Cône plein de diamètre 2r et de hauteur h

m : masse du cône plein

V = πr²h3 :Volume

IGx = IOx = 3mr²10

IGy = IGz = 3mr²20 + 3mh²

5

IOy1 = IOz1 = 3mr²20 + mh²

10

Parallélépipède

rectangle de largeur b, de

hauteur h et de longueur 2l

m : masse du parallélépipède V = b.h.2l : Volume

IGx = IOx = m12 (b²+h²)

IGy = m12 (h²+4l²) IGz = m12 (b²+4l²)

IOy1 = mh²12 + 4ml²

3

IOz1 = mb²12 + 4ml²

3

Tore

m : masse du tore V = 2π²R r² : Volume

IGx = m4 (4R²+3r²)


5. SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE (G n’appartenant pas à cet axe): Le P.F.D. a pour expression :

{ }τγ

θS S

S S

S S A

m

Az

A

G

ZI/

/

/

( )

( )

* ( )

*&&=

=

=

r r

r r

R

M

avec: IAz = IGz + M*r2 Relation tirée du théorème de HUYGHENS

6. NOTION DE FORCE D’INERTIE: PRINCIPE D’ALEMBERT

r r rR ( )/ * ( )S S G im F= = −γ où : Fi est appelée force d’inertie.

Cette force Fi est opposée à l’accélération. Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe différent de l’axe de symétrie de révolution, la force centrifuge (comme l’accélération) en G peut être décomposée suivant deux directions principales: - la normale à la trajectoire du point G: Fin = - m* γn = -m* [AG]* ω2

* n - la tangente à la trajectoire du point G: Fit = - m* γt = -m* [AG]* dω/dt * t L’intérêt d’utiliser la notion de force d’inertie, est d’assimiler l’effet d’inertie à une force extérieure et de pouvoir résoudre le problème comme un problème de statique. Dans ce cas, toutes les méthodes et théorèmes abordés en statique sont utilisables.

G

n

t Fin

Fit ω dω/dt

A G

S (masse M) z

r


7. EXERCICES D’APPLICATION

7.1. Moments d’inertie Déterminer les moments d’inertie suivants : Caractéristiques : Moment d’inertie Ioz Masse ponctuelle

Masse : M = 10 kg Distance de l’axe : OM =0.2m

Cylindre plein

Masse volumique : ρ =7800 kg/m3 Rayon : R = 0.5 m Hauteur : h = 2 m

Cylindre creux

Masse : M = 35 kg Rayon extérieur : R = 0,5m Rayon intérieur : r = 0.4 m

Cylindre creux

Masse : M = 2 kg Diamètre extérieur : D = 0.1 m Epaisseur négligeable

Cylindre creux

Masse : M = 2 kg Diamètre extérieur : D = 0.1 m Epaisseur négligeable Excentration : e = 0,5 m

7.2. Solide sur plan incliné

Soit un solide (S) de masse M, en appui sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. Hypothèse :

- On néglige les frottements de l’air.

Déterminer son accélération sous forme littérale dans les deux cas suivants:

- On néglige les frottements au niveau du contact. - On prend en compte le frottement entre le solide et le plan

(coefficient f) Application numérique: M= 200 kg, α = 25° , f = 0,3

→Y

α

G

→X

→P

z

o

M

z

o

z

o

z

o

z

o

e


7.3. Démarrage à vide d’un moteur électrique

On étudie le couple de démarrage à vide d’un moteur électrique dont le rotor a une inertie autour de son axe de rotation équivalente à celle d’un cylindre de rayon r = 60 mm et de masse M = 3 kg. L’axe de rotation est noté →z. Le temps nécessaire pour que le moteur atteigne sa vitesse nominale de 150 rd/s est de 0,75 s. En supposant le mouvement uniformément varié, déterminer son accélération puis le couple de démarrage à vide.

7.4. Vibreur

Le système vibrant étudié, est constitué d’un arbre en liaison pivot par rapport au bâti. La vibration est engendrée par l’excentricité d’une masselotte cylindrique liée complètement à l’arbre.

Données numériques:

Vitesse de rotation de l’arbre : Nm = 2000 tr/mn Temps d’accélération pour atteindre la vitesse nominale: ta = 1,2 s Masse de la masselotte : Mm = 1,2 kg Diamètre de la masselotte: D = 140 mm Inertie et masse de l’arbre négligeables devant la masselotte. Longueurs: AC = CB = 40 mm CG = 10 mm

Déterminer le couple moteur nécessaire en phase d’accélération, en supposant le mouvement uniformément varié. Déterminer les actions dans les liaisons lorsque le mouvement est uniforme.

CG

C

BA

y

x z

y

u

α

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