1 exercices sur les deformations - expoetudeexpo-etude.fr/.../2019/05/correctionsdeformations1.pdf1...
TRANSCRIPT
-
1 Exercices sur les DEFORMATIONS
Exercice 1.1
On considère le champ de déplacement suivant :
3
4
2
4
1
4
3
3
4
2
4
1
4
2
3
4
2
4
1
4
1
10.510.210.33
10.210.410.32
10.3310.3210
XXXu
XXXu
XXXu
1. Calculer le tenseur symétrique de déformation et le tenseur antisymétrique de rotation
2. Calculer la dilatation linéaire (allongement relatif) dans la direction 1 31
32
a e e
3. Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?
=======================================================================
CORRECTION
======================================================================= 1. Calculer le tenseur symétrique de déformation et le tenseur antisymétrique de rotation
T
HH2
1 et
T
HH2
1
Or 4
1 2 3 3 3
( ) 2 3 4 2 .1 0
3 3 2 5
H g ra d u
et est symétrique donc H et 0
2. Calculer la dilatation linéaire (allongement) dans la direction 1 31
32
a e e
L'allongement dans la direction a est donné par: ( ) . .a a a
Soit 4
1 1
1 2 3 3 32 2
( ) 2 3 4 2 . 0 . 0 .1 0
3 3 2 5 3 3
2 2
a
donc:
4 4 4 4 4
1 9 1 1
42 2 2 2
( ) 3 3 . 0 .1 0 0 . 0 .1 0 2 .1 0 6 .1 0 8 .1 0
3 5 3 4 3 33 3
2 2 2 2
a
3. Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?
4 4 41 .1 0 4 .1 0 5 .1 0 0tr
Or 1
3
d
tr I donc le tenseur de déformation est déjà déviatorique : déformation sans changement de
volume.
-
Remarques:
tr : caractérise le changement de volume au voisinage d'un point matériel (un invariant du tenseur ).
1
3s
tr : déformation principale moyenne.
La partie sphérique du tenseur de déformation 1
3
s
tr I
caractérise la dilatation uniforme au voisinage
d'un point matériel.
La partie déviatorique du tenseur de déformation 1
3
d s
tr I
caractérise la distorsion sans
changement de volume au voisinage d'un point matériel.
-
Exercice 1.2
Soit le vecteur déplacement
1 2 3
1 2 3
1 3
3 5 2 3 2
7 1 2 1 0
6 2 0
X X X
u X X X
X X
:
1. Déterminer le tenseur de déformation et de rotation. 2. Calculer le tenseur déviateur de déformation.
=======================================================================
CORRECTION
======================================================================= 1. Déterminer les tenseurs de déformation et de rotation.
Les tenseurs de déformation et de rotation se déduisent du tenseur gradient par
T
HH2
1 et
T
HH2
1 .
3 5 2 3 2
( ) 7 1 2 1 0
6 0 2 0
H g ra d u
:
2052
51215
21535
et
054
508
480
2. Calculer le tenseur déviateur de déformation.
Le tenseur déviateur de déformation se détermine par 1
3
d
tr I .
Or la trace du tenseur de déformation est égale à 3 5 1 2 2 0 3tr
Donc le tenseur déviateur de déformation
3 4 1 5 2
1 5 1 3 5
2 5 2 1
d
-
Exercice 1.3
Sous l’action des charges extérieures, les déplacements en un point P 321
,, xxx sont définis à partir de l’état neutre :
3 3
1 1 2
3 3
2 1 2
3
2 .1 0 1 0
3 .1 0 2 .1 0
0
u x x
u P u x x
u
1. Définir les tenseurs de déformation et de rotation 2. A l’aide de la représentation de Mohr, déterminer les déformations et les directions principales
3. Au point P, on place une jauge électrique dans une direction 1 1, , 02 2
q
. Quelle sera la mesure ainsi
effectuée.
=======================================================================
CORRECTION
=======================================================================
1. Définir les tenseurs de déformation et de rotation
1
2
T
H H
et 1
2
T
H H
or 3
2 1 0
1 0 . 3 2 0
0 0 0
H
; 3
2 1 0
1 0 . 1 2 0
0 0 0
et
3
0 2 0
1 0 . 2 0 0
0 0 0
2. A l’aide de la représentation de Mohr, déterminer les déformations et les directions principales Une déformation principale évidente est 0. La direction principale associée à cette déformation principale est
3
0
0
1
e
.
Plaçons nous dans le plan 1 2,e e , le point 3 3
1 1 1 2, 2 .1 0 , 1 0A
et le point
3 3
2 2 1 2, 2 .1 0 , 1 0B
sont diamétralement opposés sur le cercle de Mohr associé aux deux
déformations principales qui restent.
-
Le centre du cercle 02
10.210.2
2
33
BA
C
xxx
Le Rayon du cercle 2 22 2 3 3 3
2 .1 0 1 0 5 .1 0A C A
R x x y
Donc les 2 autres déformations principales sont3
1 , 25 .1 0
Cx R
Les déformations principales (1 2 3
) sont :
33
3
2
33
1
10.23.210.5
0
10.23.210.5
Comme illustré dans la figure ci-dessus, l'angle 1
ˆ( C A ) est égal à 2 , avec représente l'angle orienté 1
1(e , )e
entre la direction principale associée à 1
et la direction d'allongement au point A (en l'occurrence 1e puisque
l'allongement en ce point est donné par 1 1
).
( 2 )A
A C
yta n
x x
3
3
1 1 1 0 1 11 3 .2 8
2 2 2 .1 0 2 2
A
A C
ya tn a tn a tn
x x
L’angle entre 1e (la direction d'allongement au point A) et la direction principale associée à 1
( )
Donc la direction pour la première déformation principale est :
0
223.0
973.0
0
28.13sin
28.13cos
In
Comme la deuxième déformation principale est la composante2 3 3
, la deuxième direction est
1
0
0
IIn .
La troisième direction se déduit directement par un produit vectoriel pour obtenir un trièdre directe :
0
973.0
223.0
1
0
0
0
223.0
973.0
IIIIIInnn
3. Au point P, on place une jauge électrique dans une direction 1 1, , 02 2
q
. Quelle sera la mesure
ainsi effectuée.
La jauge de déformation mesure un allongement (dit aussi dilatation linéaire). Donc
3 3
3 3 3
1 1 3 1
2 2 2 22 .1 0 1 0 0
1 1 1 1 3 1. . 1 0 2 .1 0 0 . . .1 0 . .1 0
2 22 2 2 20 0 0
0 0 0 0
e q q
3 31 0
-
Exercice 1.4
On place 3 jauges électriques en un point M d’une structure. La première placée suivant 1
x mesure une déformation de
0.4. La deuxième placée suivant 2
x mesure une déformation de 0.266. La troisième placée suivant la bissectrice de ces
deux axes mesure une déformation de -0.225.
Déterminer le tenseur des déformations. En déduire par la représentation de Mohr, les déformations et directions
principales.
=======================================================================
CORRECTION
=======================================================================
On a un problème plan. On peut donc simplifier le tenseur de déformation comme suit: 1 1 1 2
1 2 2 2
=> 3 inconnues.
Les jauges de déformation mesurent une dilatation linéaire. Donc
1 1 1 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
( ) . . . . 2n n
e n n n n n n nn n
4.00
1.
0
1.
11
2212
1211
ae ; 266.0
1
0.
1
0.
22
2212
1211
ce ;
225.02
2
1
2
1
.
2
1
2
1
.12
2211
2212
1211
ce => 558.0
12
Le point 558.04.0 A et le point 558.0266.0B
Le centre du cercle
333.02
266.04.0
2
BA
C
xxx
Le Rayon du Cercle
562.0
558.0333.04.02222
ACA
yxxRayon
Donc les déformations principales sont
562.0333.0 RayonxC
soit
229.0
895.0
2
1
L’angle de la direction principale entre le point A et la
déformation principale est
6.41726.0
33.04.0
558.0
2
1
2
1atn
xx
yatn
CA
A
x1
x2
a
bc
x1
x2
a
bc
Dilatation linéaire
Dis
torsio
n
Cercle
Point A
point B
Diamètre
Centre
A
B
O
-
Donc la direction pour la première déformation principale est donc
6.41sin
6.41cosI
n
La deuxième direction a un angle de 90° avec la première direction : 0. III
nn
;
6.41cos
6.41sinII
n
-
Exercice 1.5
Le tenseur gradient de déplacement en un point O a pour matrice dans un système d’axes orthonormés 21
, xx :
0 0 .1
0 0
i
j
U
x
1. Quelles sont les coordonnées des points M,N,P, dans l’état actuel ? (construction graphique) Coordonnées initiales en mm : M(100,0) ; N(0,100) et P(100,100)
2. Calculer la partie symétrique ij
et la partie antisymétriqueij
. Quelles sont les nouvelles coordonnées
des points M,N,P, après la déformationij
. Calculer l’angle de rotation (le vérifier graphiquement).
3. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales.
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
1. Quelles sont les coordonnées des points M,N,P, dans l’état actuel ? (construction graphique)
Coordonnées initiales en mm : M(100,0) ; N(0,100) et P(100,100)
XX
xXFx
..
, et Xxu
; X
X
uXIFu
..
; I
X
uF
or HPP Ix
uF
;
10
1.01F Donc les coordonnées actuelles : OO
0
0
0
0
10
1.01 ;
MM
0
100
0
100
10
1.01 ;
100
10
100
0
10
1.01N ;
100
110
100
100
10
1.01P
2. Calculer la partie symétrique ij
et la partie antisymétriqueij
. Quelles sont les nouvelles
coordonnées des points M,N,P, après la déformationij
. Calculer l’angle de rotation (le vérifier
graphiquement).
005.0
05.00
2
1
,, ijjiijuu et
005.0
05.00
2
1
,, ijjiijuu .
OO
0
0
0
0
105.0
05.01 ;
5
100
0
100
105.0
05.01M ;
100
5
100
0
105.0
05.01N ;
105
105
100
100
105.0
05.01P .
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
OM=M'
M''
N N'N''
P P'
P''
-
05.0100
5"tan
OM
MM
3. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales.
Le point 05.00A et le point 05.00 B
Le centre du cercle 02
00
2
BA
C
xxx
Le Rayon du Cercle 05.005.0002222
ACA
yxxRayon
Donc les déformations principales sont 05.00 RayonxC
soit
05.0
05.0
2
1
L’angle de la direction principale entre le point A et la déformation principale est
45
2
90
.0.0
05.0
2
1
2
1atn
xx
yatn
CA
A
Donc la direction pour la première déformation principale est donc
2
2
2
2
In
La deuxième direction a un angle de 90° avec la première direction : 0. III
nn
;
2
2
2
2
IIn
-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
-0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075
Dilatation linéaire
Dis
tors
ion
Cercle
Point A
point B
Diamètre
Centre
A
B
O
-
Exercice 1.6 Chargement déformation d’un barreau rectangulaire
Dans un repère orthonormé direct (zyx
EEEO
,,/ ) le milieu continu étudié est défini par :
22;
22;0 ezehyhLx
La section définie par x=L est encastrée dans un milieu galiléen indéformable. L’état de déformation en tout
point M(x,y,z) est défini par :
zz
yyxy
xyxx
ij
00
0
0
avec
2
2
2
2
12
142
13
121
h
BxyA
eh
h
y
eh
A
h
BxyA
eh
zzyy
xy
xx
Dans ces expressions A, B et représentent des constantes.
On a L = 120 mm, h = 20 mm, e = 5 mm, A = 5 10-4
mm², B = 2.5 10-3
mm², =0.29
1. Au point Q (80,10,0) situé sur la face AB, on colle une rosette de trois jauges à 45° selon le schéma ci-
dessus. Quelles doivent être les valeurs données par ces jauges
2. Au point Q, quel est le changement de volume ? En déduire le tenseur de déformation déviatorique ? 3. Les équations de compatibilités sont-elles satisfaites, en un point quelconque du barreau ?
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
1. Au point Q, valeurs données par ces jauges ?
2
22
2
2
2
2
1200
012143
12
0143
1212
1
h
BxyA
h
BxyA
h
yA
h
yA
h
BxyA
ehQ
ij
2
4
4
2
4
4
2
24
2
24
2
4
4
20
1080105.21210529.000
020
1080105.21210529.01
20
104
3
105129.02
0120
104
3
105129.02
20
1080105.212105
100
1Q
ij
510
6.100
06.10
005.5
Qij
Jauge a : 555105.5
0
0
1
.10.
0
0
5.5
0
0
1
.
0
0
1
.10.
6.100
06.10
005.5
ijija
nne
C’
A’ B’
A B
D C
D’
yE
xE
z
E
-
Jauge b :
55
55
1095.1102
6.1
2
5.5
2
1
0
2
1
.10.
2
6.1
0
2
5.5
2
1
0
2
1
.
2
1
0
2
1
.10.
6.100
06.10
005.5
ijijb
nne
Jauge c : 555106.1
0
1
0
.10.
6.1
0
0
1
0
0
.
1
0
0
.10.
6.100
06.10
005.5
ijijc
nne
2. Au point Q, quel est le changement de volume ?
555 103.210.6.16.15.510.
6.100
06.10
005.5
trtrV
V
ij
En déduire le tenseur de déformation déviatorique ?
555 10.
37.200
037.20
0074.4
100
010
001
103
3.210.
6.100
06.10
005.5
3
1
ijijijij
tre
3. Les équations de compatibilités sont-elles satisfaites, en un point quelconque du barreau ?
iljkjkilijklklij ,,,, Soit
xxyzyzxxzxxyxyzx
zzxyxyzzyzzxzxyz
yyxzxzyyxyyzyzxy
xzxzxxzzzzxx
yzyzyyzzzzyy
xyxyxxyyyyxx
,,,,
,,,,
,,,,
,,,
,,,
,,,
2
2
2
Or ijppijij
EE
1
2
22
2
2
2
2
1200
012142
13
0142
1312
1
h
BxyA
h
BxyA
h
yA
h
yA
h
BxyA
ehij
Donc les dérivées du tenseur de déformation non-nulles sont
0
0
0
,
,
,
xyxy
xxyy
yyxx
;
0
0
0
,
,
,
yzyz
yyzz
zzyy
;
0
0
0
,
,
,
xzxz
xxzz
zzxx
0
0
0
0
,
,
,
,
yyxz
xzyy
xyyz
yzxy
;
0
12
0
0
,
3,
,
,
zzxy
xyzz
yzzx
zxyz
eh
B
;
0
0
0
0
,
,
,
,
xxyz
yzxx
zxxy
xyzx
Donc le champ est incompatible
-
Exercice 1.7 : Jauges de déformation
On considère un point P à la surface d’un corps en un endroit où ne s’applique aucune
force extérieure. Les résultats d’enregistrés sur chaque jauge d’une rosette à 45° collée
dans le plan tangent en P sont
mm
mJ
1061
1 ;
mm
mJ
5.237 ; mm
mJ
586
2
1. Quels sont les éléments du tenseur de déformation.
2. Dans quelle direction enregistrerait-on une dilatation linéaire nulle ?
3. Dans quel système d’axes enregistrerait-on une distorsion extremum ?
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
1. Quels sont les éléments du tenseur de déformation.
Dans le plan on a le tenseur suivant
2212
1211
ij avec comme valeur issue des jauges
mm
mJJJ
mm
mJ
mm
mJ
0
2
58610615.237
2;586;1061
21
12222111
2. Dans quelle direction enregistrerait-on une dilatation linéaire nulle ?
02sin2cos22
12
22112211
e ;
5.823
5.2372cos
2211
2211
=>
4.53
3. Dans quel système d’axes enregistrerait-on une distorsion extremum ?
Quand
2cos2sin2
12
2211
est maximum ou minimum
Soit
2cos2
02211
=> 02cos =>
4 2k
avec k un entier
-
Exercice 1.8 : Jauges d’extension
En vue de déterminer expérimentalement le tenseur des déformations au
point M d’un ouvrage, on place autour de ce point un dispositif
expérimental (6 jauges extensométriques voir figure jointe) permettant
la mesure directe des allongements unitaires suivant les 6 directions
considérées.
En appelant FEDCBA
,,,,, les 6 mesures effectuées, définir
le tenseur des déformations au point M.
Application numérique :
333
33
105.4;105.1;105.4
0;103;106
FDB
ECA
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
Les 6 jauges de déformation mesurent une dilatation linéaire. La dilatation linéaire est égale à dans le plan
21
, xx
sincos2sincos
0
sin
cos
..
0
sin
cos
12
2
22
2
11
332313
232212
131211
jiji
nn
.
La dilatation linéaire est égale à dans le plan 32
, xx
sincos2sincos23
2
33
2
22 .
La dilatation linéaire est égale à dans le plan 31
, xx
sincos2sincos13
2
33
2
11 .
Or les directions des 6 jauges sont :
31
3
32
2
21
1
45sin45cos
45sin45cos
45sin45cos
xxn
xn
xxn
xn
xxn
xn
F
E
D
C
B
A
133311
33
233322
22
122211
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
F
E
D
C
B
A
soit
ECD
EAF
CAB
E
C
A
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
23
13
12
33
22
11
; A.N.
02
1103
2
1105.1
02
1106
2
1105.4
1032
1106
2
1105.4
0
103
106
33
23
33
13
333
12
33
3
22
3
11
,
0
105.1
0
0
103
106
23
3
13
12
33
3
22
3
11
-
Exercice 1.9 : Jauges de déformation
Sur une pièce soumise à un chargement mécanique, on place une rosette d’extensométrie afin de déterminer
l’état de déformation en ce point. La rosette est composée de trois jauges placées à 0°, 120° et 240° de la
direction X1 du repère carthésien défini pour exprimer le tenseur des déformations.
1. Les variations relatives de longueur suivantes ont été mesurées successivement à la surface d’une pièce :
0,1 10-3
, 0,1415 10-3
et -0,2915 10-3
.
Déduisez les composantes du tenseur des déformations, en supposant un état de déformation plan
2. Déterminez la dilatation linéaire une direction à 60° de la direction X1. 3. Déterminer le tenseur de déformation déviatorique.
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
1. Les variations relatives de longueur suivantes ont été mesurées successivement à la surface d’une
pièce : 0,1 10-3
, 0,1415 10-3
et -0,2915 10-3
.
Déduisez les composantes du tenseur des déformations, en supposant un état de déformation plan
Les 3 jauges mesurent des dilatations linéaires l’une selon l’axe 1, la deuxième selon une direction de 120° par
rapport à cet axe 1 et la dernière selon une direction de 240°.Une dilatation linéaire est défini par : jiij
nne
avec
000
0
0
2212
1211
ij
, soit2
2222112
2
1112 nnnne
. Les trois directions de mesure sont
0
0
1
,
0
23
21
et
0
23
21
, soit le système d’équation à résoudre :
2212
11
240
2212
11
120
110
4
3
2
3
4
4
3
2
3
4
e
e
e
soit
3
2
3
1
0120240
22
12024012
011
eee
ee
e
=>
33
22
33
12
3
11
10.1333,010.3
1,01415,02915,02
10.25,010.1415,02915,0
3
1
10.1,0
2. Déterminez la dilatation linéaire une direction à 60° de la direction X1.
Le vecteur de direction à 60° est :
0
23
21
soit 2402212
11
60
4
3
2
3
4ee
3. Déterminer le tenseur de déformation déviatorique.
Le tenseur déviatorique est défini par :ijkkij
d
ij
3
1
or la trace du tenseur est égale à 33
10.0333,010.1333,01,0
kk
donc le déviateur :
3310.
0111,000
01222,025,0
025,01111,0
10.
3
0333,000
03
0333,01333,025,0
025,03
0333,01,0
ij
-
Exercice 1.10 : Déformations principales
On considère un solide soumis à un état de déformation uniforme, représenté
par le tenseur des déformations suivant :
1. Déterminer les déformations principales par la méthode de votre choix.
2. Quel est l’angle de rotation entre le repère initial et le repère principal ?
310.
000
004,007,0
007,02,0
ij
===================================================================
CORRECTION
===================================================================
1. Déterminer les déformations principales par la méthode de votre choix.
Une des déformations principales est égale à MPa01 . Pour les 2 autres il faut soit résoudre
0det ijij
ou de passer par le cercle de Mohr.
Cercle de Mohr :Le centre du cercle à pour abscisse :332211
1008.0102
04.02.0
2
Cx .Le
rayon est égale à 3322
10139.01007.008.02.0
Rayon . Donc les deux autres valeurs
propres sont 3
210219.0
Rayonx
c ,
3
310059.0
Rayonx
c . Pour avoir les
déformations principales il suffit de classer les valeurs de i
telle queIIIIII
donc
3310059.0;0;10219.0
IIIIII
Résoudre 0det
ijij :
0det ijij
=> 01007.01004.0102.02
333
=>
0100129.01016.0632
. Soit 66
23
100772.0100129.041016.0
Donc les deux autres valeurs propres sont 363
210219.0
2
100772.01016.0
,
3
63
310059.0
2
100772.01016.0
. Pour avoir les déformations principales il suffit de classer
les valeurs de i
telle queIIIIII
donc 33 10059.0;0;10219.0
IIIIII
2. Quel est l’angle de rotation entre le repère initial et le repère principal ?
13.15
08.02.0
07.0
2
1
2
1atn
xx
yatn
cA
A
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
(10-3
) Dilatation linéaire
(10
-3)
Dis
tors
ion
Cercle 1
Point A
point B
Diamètre
Centre
Cercle 2
Cercle 3
A(0.2;-0.07)
B(-0.04;0.07)