1 cours master opsi option op ue 8 : optique pour l'instrumentation astronomique module «...
TRANSCRIPT
1
Cours Master OPSI Option OP
UE 8 : Optique pour l'Instrumentation Astronomique Module « Optique Adaptative »
1ière partie : Formation d’image et turbulence atmosphérique
Thierry Fusco
Département d’Optique Théorique et Appliquée – ONERA, Châtillon
Tél. 01 46 73 47 37
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
2
Plan du cours (première partie)
Propagation optique
Diffraction
Formation des images
Lien imagerie et interférométrie
Aberrations optiques
Polynômes de Zernike
Turbulence atmosphérique
Fonction de transfert optique longue pose
Diamètre de Fried
Phase turbulente
Images courte pose
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
3
Propagation optique comme filtre spatial linéaire
Linéarité de l’équation de propagation de la lumière dans la plupart des milieux courants (milieux dits linéaires)
Transposition de la théorie des systèmes linéaires :• La réponse à une « entrée » complexe se décompose sous la forme de
réponses à des « entrées élémentaires » : réponses impulsionnelles• Théorème de superposition
Si invariance par translation (isoplanétisme en optique) : • Une seule réponse impulsionnelle décrit complètement le système, • La sortie est la convolution de « l’entrée » par la réponse impulsionnelle • dans l’espace de Fourier : filtrage des fréquences de « l’entrée » par la
fonction de transfert du système
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
4
Propagation optique
Approche scalaire
traiter indépendamment toutes les composantes transverses des champs, valide si :
• taille des objets diffractants est grande devant la longueur d’onde
• observation des champs loin des objets diffractants
Cas des ondes monochromatiques :
- amplitude complexe du champ scalaire au point P
U(P) U(P) exp( i(P))
- en optique, c'est l'intensité I qui nous intéresse, en fait
l'amplitude du vecteur de Poynting : I c
4E H U
2
- équation de propagation d'Helmholtz sans source : 2 k 2 U 0
avec k 2
, laplacien 2 x 2
y 2
z2
- fonction de Green en espace libre : l'onde sphérique G(P) exp(ikr)
r
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
5
Diffraction par une ouverture S
n)diffractio la de(et n propagatio la de linéarité la de expression
),(fonction unepar )( entréeen champdu n pondératio
de points lespar émises"" sphériques ondesd'ion superposit de Intégrale -
dehorsen 0et ouverturel' dans perturbénon incident champ
deplan le dans limitesaux conditions + : hypothèses
)()()( avec
),cos()exp(
)(1
)(
forme la sous Fresnel Huygensd’ Principe -
:plan écran un par n diffractio la de Exemple
100
0
01
21
201
201
20101
0101
0101
PPhPU
S
US)U(P
Sr
zzyyxxr
dsrnr
ikrPU
iPU
S
r01
P1 x x1
z
P0 x
n
y0
x0
y1
S
Plan d’observation
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
6
Diffraction de Fresnel
Dimensions transverses petites devant distance de propagation z z1 z0 :
cos(n ,
r 01) 1 et r01 z
Alors U(P1) 1
iz U(P0)exp(ikr01)dx0dy0 avec U(P0) 0 si P0 S
Approximation de Fresnel :
r01 z 1 12
x1 x0
z
2
12
y1 y0
z
2
alors
U(x1, y1) exp(ikz)
iz U(x0,y0)exp i
k
2z(x1 x0)2 (y1 y0)2
dx0dy0
U(x1,y1) est maintenant la convolution de U(x0,y0) avec le noyau de Fresnel exp iz
(x 2 y 2)
U(x1,y1) exp(ikz)
izexp i
k
2z(x1
2 y12)
U(x0,y0)exp ik
2z(x0
2 y02)
exp i
2z
(x1x0 y1y0)
dx0dy0
Termes : de déphasages, TF U(x0,y0)exp ik
2z(x0
2 y02)
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
7
Diffraction de Fraunhofer
- Approximation supplémentaire par rapport à Fresnel :
terme de phase quadratique négligeable sur toute l'ouverture S
z (x02 y0
2) d2 4 où d taille de l'ouverture, alors
U(x1, y1) exp(ikz)
izexp i
k
2z(x1
2 y12)
U(x0, y0)exp i2z
(x1x0 y1y0)
dx0dy0
U(x1, y1) exp(ikz)
izexp i
z
(x12 y1
2)
TF U(x0, y0)P(x0, y0)
où U(x0, y0) champ incident sur l'ouverture et P(x0, y0) fonction de tansmission de l'ouverture
- Conditons à 1m et diamètre d'ouverture 1cm : z 100m
pour Fraunhofer on parle de diffraction à l'infini, pour Fresnel de diffraction à courte distance
transition à la distance de Rayleigh tel que: zR d d d'où zR d2 - En fait en optique on ne détecte que l'intensité lumineuse (photons) et non l'amplitude du champ :
I(x1, y1) 1
2z2 TF U(x0, y0)P(x0, y0) 2
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
81,22/D
0,0175 0,0042
Diffraction par une ouverture circulaire
Ouverture P(x0, y0) circ2r0
d
de transformée de Fourier
2J1(dr1)
dr1Pour une onde plane incidente, U(x0, y0) 1, alors
I(x1,y1) 2J1(dr1 z)
dr1 z
2
appelé tache d'Airy
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
9
Cas de l’image par une lentille mince
L’optique géométrique nous dit : si lentille parfaite (ou faibles angles), l’image stigmatique de l’objet est la superposition de tous les points imagés de l’objet : linéarité ;dans le plan (focal) d’observation, chaque point image est conjugué d’un point de l’objet ;
Mais en plus en « haute résolution angulaire », contrairement à l’optique géométrique : par la diffraction du diaphragme pupillaire, l’image d’un point n’est pas un point !
Plan d’observation conjugué de l’objet
Plan du diaphragme pupillaire
Objet : points sources à l’infini
Distance focale f
U(x0, y0)
U(x1, y1)
Lentille
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
10
Lentille mince comme élément déphaseur : par son indice et son épaisseur
- Approximation paraxiale : dimensions transverses petites, surfaces paraboliques
transmission : t(x,y) exp if
(x 2 y 2)
- A partir du champ incident dans la pupille, on trouve alors le champ dans le plan focale :
U(x1,y1) 1
ifTF U(x0,y0)P(x0,y0) 1
ifTF P(x0,y0) si U(x0,y0) 1 onde plane
c'est la diffraction de Fraunhofer de l'ouverture P(x0,y0) ramenée à distance finie par la lentille
- Donc l'image d'un point source par une lentille mince ayant une pupille circulaire est :
I(x1,y1) 2J1(dr1 f )
dr1 f
2
, c'est la réponse impulsionnelle de la lentille
Cas de l’image par une lentille mince
Système optique limité par la diffraction : l’onde incidente venant d’un point source est parfaitement convertie par le système en une onde sphérique convergente au point conjugué du plan image.
Pour tout écart à l’onde sphérique idéale, le système est dit avoir des aberrations.
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
11
Formation des images
objetl' dans moyenne intensitél' den répartitio ),(),(où
),(),(),(
objetl' de autrel' àpoint un d'et tempsle dans aléatoireest phase ladont champs de moyenne
tsindépendan esélémentair sources pointscar si sauf 0)()(
)()()()()(,),(
: notée temps,le dans moyenne uneest mesurée intensitél'
instantané champ le représente )y, U(xe,incohérent lumièreEn -
pupille la deion transmisslaest ),(où )),((),(
: Fraunhofer den diffractio la de cas le Dans -
),(),(),(
),( de pas dépend ne ),( : queisoplanéti domaineun dans
sourcepoint un pour champdu complexe amplitudel' représente ),(où
),,,(),(),(
:objet plan le dans champdu fonction en écrires'peut imageplan le dans champ le
optiques, systèmes les danset libre espaceen n propagatio la de linéarité la defait Du -
2
0000
00
2
01010011
000*
0
0001*
010*
01
2
1111
11
11
0001010011
0011
11
0001010011
yxUyxO
dydxyyxxhyxOyxI
UU
ddhhUUIyxU),yI(x
yxPyxPTFyxh
dydxyyxxhyxUyxU
yxyxh
yxh
dydxyyxxhyxUyxU
jiji
ijjiji
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
12
Formation des images
- L'équation I(x1,y1) O(x0,y0) h(x1 x0,y1 y0)
2dx0dy0
s'écrit généralement de manière simplifiée sous la forme :
I(x,y) O(x,y) S(x,y) où I(x,y) est le produit de convolution
de l'objet O(x,y) par S(x,y) = h(x,y)2, la réponse impulsionnelle du système
appelée en optique : la fonction d'étalement de point (FEP),
ou point spread function (PSF) en anglais.
- Dans l'espace de Fourier dual, l'équation de formation des images s'écrit :˜ I ( fx, fy ) ˜ O ( fx, fy ) ˜ S ( fx, fy )
˜ I , ˜ O et ˜ S sont les transformées de Fourier (les spectres) de I,O et S
où ˜ S ( fx, fy ) est la fonction de transfert optique (FTO) du système
- Fonction de transfert de modulation : FTM = ˜ S ( fx, fy )
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
13
Fonction de transfert optique
˜ S ( fx, fy ) TF Sx
f,
y
f
=
Sx
f,
y
f
exp i2 fx
x
f fy
y
f
dx
f
dy
f
où ( fx, fy ) définissent une fréquence spatiale angulaire, f focale de l'optique
on note ( x,y ) =x
f,
y
f
et h( x, y )
P(x p , y p )exp i2 x
x p
y
y p
dxpdyp
or S( x,y ) = h( x,y )2
TF P(x p , y p ) 2
- Fonction de transfert optique = fonction d'autocorrélation de la pupille
˜ S ( fx, fy ) 1
S P(x p, y p )P*(x p fx,y p fy )dxpdyp
où S est la surface de la pupille
- Propriétés de la FTO
˜ S (0,0) 1 et ˜ S ( fx, fy ) ˜ S (0,0)
fréquence spatiale maximum d , si fx2 fy
2 d alors ˜ S ( fx, fy ) 0
si système limité par la diffraction : FTO réelle et paire
si aberrations : FTO complexe mais partie réelle paire, imaginaire impaire
fxP(xp,yp)
˜ S (f )
f (d )
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
14
Imagerie = interférométrie
décalageaucun sans franges desion superposit:Airy d' Tache
à franges desn orientatio , )()(
avec
l)(k, pupilles sous de couples lespar moyenne
produits franges deréseaux desion superposit intensité
)()(2cos),(),(2),(),(
)()(2exp),(),(),(
taillede pupilles sous Nen pupille la pensée lapar découpant En
)(2
exp),(),(
:elle)impulsionn (réponse imagel' dans Intensité
)(2
exp),(),(),(
: Fraunhofer den diffractiopar focalplan le dans Champ
111
111
1
*
1
2
11
11
1 1
*11
00
2
0001010011
000101000011
klkllklk
lklkN
k
N
klllkk
N
kkk
lklkN
k
N
lllkk
fff
yyy
f
xxx
f
yyy
f
xxxyxPyxPyxPyxS
f
yyy
f
xxxiyxPyxPyxS
dydx
dydxyyxxf
iyxPyxS
dydxyyxxf
iyxPyxPTFyxU
f kl
f mn
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
15
Imagerie = interférométrie
Pour un couple de sous pupille, avec P(x0,y0) C te P
S(1) 2P 2 2P 2 cos 2
f kl
1
C'est l'expérience des trous d'Young
S(1), le réseau de franges, est la réponse impulsionnelle
Par transformée de Fourier on a :
˜ S (f ) 2P 2(
f ) 2P 2 1
2 (f
f kl ) (
f
f kl )
˜ S (f ) est la fonction de transfert optique (autocorrélation des deux trous)
TF
˜ S (f )
-fkl fkl
S(1)
1/fkl
En observant un objet O() de spectre ˜ O (
f ) exp( ˜ O
(f ))
I(1) ˜ O (
f 0) ˜ O (
f kl ) cos 2
f kl
1 ˜ O
(f kl ) , visibilité des franges : ˜ O (
f kl ) ˜ O (
f 0)
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
16
Aberrations optiques
Aberrations : les rayons issus d’un point source ne convergent pas tous vers le même point image
En optique géométrique, rayons lumineux au front d’onde
Aberrations : écarts introduits sur les fronts d’onde par rapport aux surfaces d’onde idéales planes ou sphériques
Défaut de mise au point (défocalisation)
Lentille épaisse (aberration sphérique)
Lame inclinée à face plane et parallèle dans un faisceau convergent (astigmatisme)
Miroir parabolique hors axe (coma)
Courbure de champ, distorsion…
Aberrations = défauts de chemin optique = déphasages de l’onde à introduire dans la pupille du système
Onde déformée rayons déviés
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
17
Aberrations optiques
Les sources :
Difficultés à réaliser les surfaces idéales ou à trouver les bons indices de réfraction pour les matériaux à utiliser
Chromatisme de l’indice nInhomogénéité des matériaux
Erreurs de polissage
Erreurs de centrage, d’alignement des pièces optiques
Contraintes des fixations
Effets de variation de la température (indice n(T), déformation)
Effets de déformation par la gravité
L’atmosphère terrestre
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
18
Image perturbée par la turbulence
Images : limitée par la diffraction dégradée par la turbulence
/D
/ro
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
19
Décomposition des aberrations de la phase sur une base de modes
Les polynômes de Zernike : () = aiZi(
1
)
avec ai Spup 1 (
)
pupille
Zi()d
base orthonormée : Spup 1 Zi(
)
pupille
Z j ()d
ij
Propriété importante : variance spatiale de la phase sur la pupille
2 Spup
1 (()
pupille
)2 d ai
2
2
avec moyenne spatiale de
Polynômes de la forme: polynôme en rn et cosm ou sinm avec m n
- Piston : Z1(r,) =1,
- Basculements (tilts) : Z2(r,) = 2rcos et Z3(r,) = 2rsin
- Défocalisation : Z4 (r,) = 3(2r2 1)
- Astigmatismes : Z5(r,) = 6r2 sin2 et Z6(r,) = 6r2 cos2
- Comas : Z7(r,) = 8(2r3 2r)sin et Z8(r,) = 8(2r3 2r)cos
- Comas triples : Z9(r,) = 8r3 sin3 et Z10(r,) = 8r3 cos3
Les polynômes de Zernike
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
20
Exemples de surfaces d’onde Zernike
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
21
Réponses impulsionnelles au foyer d’un instrument ayant une seule aberration de type Zernike
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
22
Fonction de transfert optique avec aberrations
- Toutes les aberrations sont exprimée dans la pupille du système
attention les aberrations peuvent dépendre de la direction dans le champ de vue !
- Dans un domaine isoplanétique du champ de vue:
Défauts de chemin optique : différence de marche W (x p ,y p ) dans la pupille
Phase aberrante correspondante : (x p ,y p ) 2
W (x p,y p )
Amplitude complexe du champ dans la pupille : U(x p ,y p ) exp(i(x p,y p ))
Fonction de transfert optique = autocorrélation du champ dans la pupille
˜ S (f ) 1
S exp i (
p ) (
p
f ) P(
p )P*(
p
f )d
p
- Découpe de la pupille en N sous pupilles :
décalage des réseaux de franges par les déphasages (p ) (
p
f )
en fonction de f et pour une fréquence
f en fonction de
p , donc brouillage de l'image
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
23
FTO avec turbulence atmosphérique
A travers l' atmosphère les ondes initialement planes sont perturbées
Amplitude complexe du champ incident dans la pupille :
0(x p,y p ) A(x p,y p )exp(i(x p ,y p )) A0 exp (x p ,y p ) i(x p,y p ) (x p,y p ) fluctuations de la phase du champ (aberration)
(x p,y p ) fluctuations de l' amplitude du champ (scintillation)
Fonction de transfert optique " atmosphère + système":
˜ S (f ) 1
S 0(
p )0
* (p
f )P(
p )P*(
p
f )d
p
En imagerie longue pose : moyenne statistique sur la turbulence ˜ S (f )
turb
˜ S (f ) 1
S 0(
p )0
*(p
f ) P(
p )P*(
p
f )d
p
Fonction de cohérence du champ 0 : 0(p )0
*(p
f ) exp i (
p ) (
p
f )
si on néglige les effets de la scintillation
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
24
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
25
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
26
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
27
Perturbation des fronts d’onde par la turbulence
- Déplacement des masses d’air dans l’atmosphère : écoulements turbulents
- Mélange à l’interface de couches de températures différentes
- Fluctuations spatiales de la température = fluctuations d’indice
- Sur le trajet d’un faisceau lumineux la vitesse de la lumière fluctue
avances et retards des ondes traversant ce milieu inhomogène
- Modélisation de l’atmosphère en couches turbulentes introduisant chacune des variations de différence de marche
Pour chaque couche atmosphérique, fluctuation de la différence de marche :
Wh () n(
h
h h ,z)dz
Fluctuation d'indice n(,z) : variable aléatoire centrée
de densité spectrale donnée par Kolmogorov : n (f ) 0,033(2 )
23 Cn
2(z)f
113
où Cn2(z) constante de structure de l'indice
Dépendance négligeable en de n, donc Wh achromatique
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
28
Spectre de Von Karman des fluctuations de l’indice
Mesures de la grande échelle
sur plusieurs sites : comprise
entre 10 et 100m principalement
Divergence du spectre de Kolmogorov aux basses fréquences spatiales !
Modèle plus physique d'une grande échelle Lo de formation des tourbillons et
d'une petite échelle lo de dissipation de l'énergie turbulente (viscosité, diffusion thermique)
Spectre de Von Karman : n (f ) 0,033(2 )
23 Cn
2(h)f
2
1
Lo
2
116
exp (f lo)2
Domaine inertiel
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
29
Répartition de la turbulence avec l’altitude
Répartition de la turbulence en couches, caractérisées par la valeur de Cn2(h)
qui décroît globalement avec l’altitude Turbulence uniquement significative en dessous de 20kmTurbulence très forte au niveau du sol (et de jour)
Mesure instantanée à Paranal (ballon) Modèle d’Hufnagel-Valley
Tropopause
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
30
Mesure optique de Cn2(h) par SCIDAR
Log
10(
Cn2 (
h))
( m
-2/3
)
Avila et al. 1998
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
31
FTO : cas d’une couche turbulente au sol
Cas d'une seule couche d'épaisseur h : écran de phase mince
Champ incident 1 onde plane
Différence de marche introduite W0() n(
0
h ,z)dz
avec h suffisamment grand : W0() gaussienne car somme d'un grand nombre de v.a.
Champ en sortie :0() exp(i
2
W0()) exp(i(
)) couche mince diffraction négligeable
0(p )0
*(p
f ) exp i (
p ) (
p
f )
0(p )0
*(p
f ) = exp 1
2 (p ) (
p
f ) 2
car v.a. gaussienne centrée
Fonction de structure de la phase : D (r ) (
) (
r ) 2
Fonction de structure de l'indice : Dn (r) n() n(
r ) 2 Cn
2r2
3 loi d'Obukhov
D (r ) D (r) 2,91
2
2
r5
3Cn2(h)h
d'où ˜ S (f )
1
Sexp( 1
2 D ( f ))
P(p )P*(
p
f )d
p
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
32
FTO : cas de plusieurs couches turbulentes
Pour une couche quelconque : champ incident h j h j()
champ sortant h j() h j h j
()exp(i j (
))
fonction de cohérence h j()h j
* (
r ) h j h j
()h j h j
* (
r ) exp 1
2 D j(r)
Diffraction de Fresnel entre deux couches atmosphériques
h j h j() h j1
()
1
i(h j 1 h j )exp
i2
(h j 1 h j )
h j1
() F
2
(h j 1 h j )
h j h j()h j h j
* (
r ) h j1
()h j1
* (
r ) F
2
(h j 1 h j )
F *
2
(h j 1 h j )
h j h j()h j h j
* (
r ) h j1
()h j1
* (
r )
invariance de la fonction de cohérence par diffraction de Fresnel
Pour plusieurs couches : 0(p )0
*(p
f ) exp 1
2 D j(
f )
j
0(p )0
*(p
f ) exp 1
2 2,912
2
Cn2(h)dh
0
f
53
exp( 1
2 D( f ))
Scintillation négligeable donc : D( f ) D 0
( f )
hj+1+hj+1
hj+1
hj+hj
hj
h0
Fresnel
Fresnel
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
33
Diamètre de Fried
> Fonction de transfert longue pose : ˜ S (f ) exp 1
2 D( f ) 1
S P(
p )P*(
p
f )d
p
˜ S (f ) exp 1
2 D( f ) T(
f ) où T(
f ) FTO du télescope (incluant ses aberrations)
> Définition du diamètre de Fried : diamètre du télescope donnant une résolution équivalente
- à la diffraction RD = TD (f ) d
f
4 (D )2 D diamètre du télescope parfait
- turbulence seule R = exp 12 D(
f ) d
f
4 (ro )2 ro diamètre de Fried
ro 0,4232
2
Cn2(h)dh
0
35
65 et exp 1
2 D( f ) exp 1
2 6,88f
ro
53
Si h altitude des couches à la verticale, alors pour une observation avec un angle zénithal
ro 0,4232
21
cosCn
2(h)dh0
35
> Largeur de l'image si D ro : le seeing ro 15
> Imagerie longue pose : I(x, y) O(x, y) S(x, y)
et ˜ I ( fx , f y ) ˜ O ( f x, f y ) ˜ S ( fx , f y ) ˜ O ( fx , f y )exp 12 D(
f ) T(
f )
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
34
Phase turbulente
- Approximation de champ proche : scintillation négligeable
condition : D h , h altitude couche principale, alors
˜ S (f ) exp 1
2 D 0(
f ) T(
f ) avec D 0
(r) 6,88 r ro 5
3
Champ incident dans la pupille 0(p ) exp(i0(
p ))
- Approximation optique géométrique : 0(p ) j (
p )
j
- Caractéristiques de la phase turbulente :
Spectre spatiale des fluctuations de phase ( f ) n ( fx, fy,0) 2 2h
Temps de corrélation (hypothèse de Taylor) : o 0,314 ro v
où vitesse transverse moyenne du vent v Cn2(h)v
53dh
0
Cn2(h)dh
0
35
Angle d'isoplanétisme : o 2,91 2 2Cn
2(h)h5
3dh0
35
0,314 ro h
avec l'altitude moyenne h Cn2(h)h
53dh
0
Cn2(h)dh
0
35
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
35
Ordres de grandeur des principaux paramètres
- Limite de résolution imposée par la turbulence
le seeing ro moyen : ~ 1 arcsec (~ 5 rad)
très bon : ~ 0,5 arcsec
- Cas du seeing moyen :
Diamètre de Fried ro 65
10cm à 0,5m et 60cm à 2,2m
Temps de corrélation o 65, pour v 10m /s
3ms à 0,5m et 18ms à 2,2m
Angle d'isoplanétisme o 65, pour h 2km
3 arcsec à 0,5m et 18 arcsec à 2,2m
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
36
Phase turbulente sur les Zernike
La phase est une variable aléatoire centrée, les coefficients ai aussi
Variance spatiale moyenne de : 2
turb ai
2
turb2
1,03 D ro 5
3 (rad2)
Variances des ai :
tilts : a22 a3
2 0,45 D ro 5
3 (rad 2)
degré radial n = 2 : a42 a5
2 a62 0,023 D ro
53
degré radial n = 3 : a72 a8
2 a92 a10
2 0,0062 D ro 5
3
Covariances presque toutes nulles sauf pour même fonction azimutale a2a8 0
Si on corrige les deux tilts : résiduelle
2 ai2
4
0,134 D ro 5
3 (rad 2)
Après extraction des N premiers Zernike :
résiduelle
2 ai2
N 1
0,3N 56 D ro
53 (rad2)
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
37
Variances des coefficients de Zernike pour la turbulence
loi asymptotique pour n grand
ai2 (n 1) 11/ 3(D /ro)5 / 3
degré n 1
degré n 2
degré n 3
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
38
Spectres temporels des coefficients de Zernike
fréquence de coupure modale
fc 0.3 n 1 v D
f 17
3
f 0
Densité spectrale de puissance :
TF ai(t) 2Hypothèse de Taylor = « turbulence gelée »
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
39
Décorrélations angulaires des coefficients de Zernike
Corrélations angulaires = grandeur statistique
angle à 50% de corrélation
D (n 1)h
ai(o)ai(o ) ai2
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
40
Image courte pose à travers la turbulence
Image dégradée par la turbulence : réseaux de franges aléatoirement superposés du fait de la phase turbulente aléatoire dans la pupille
/r o
/D
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
41
Interférométrie de speckles (tavelures)Plutôt que des moyennes d’images (longue pose) moyennes
d’autocorrélations d’images courte pose (Labeyrie 1970)
Les speckles porteurs de la haute résolution angulaire avec un fort brouillage mais information haute fréquence non totalement perdue
Calcul de l'autocorrélation des images : I(1) I(
1
)d
1
Dans l'espace de Fourier, calcul de la densité spectrale des images:
˜ I (f )
2
˜ O (f )
2˜ S (
f )
2
où ˜ S (f )
2
est appelée fonction de transfert de speckle et
représente la densité spectrale des images d'un point source
Forme asymptotique de la fonction de transfert de speckle :
˜ S (f )
2
˜ S (f )
2
0,435 ro D 2To(
f ) où To(
f ) FTO télescope parfait
partie basse fréq. nulle si f ro
partie haute fréquencetrès faible mais non nulle
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
42
Bilan formation d’images et turbulence
FEPFTO
T.
Fu
sco
,ON
ER
A,
Mas
ter
OP
SI
- E
U8,
mo
du
le «
op
tiq
ue
adap
tati
ve »
43
Bibliographie
M. Born et E. Wolf, Principles of optics, Pergamon Press, 6eme Ed., 1980
J.W. Goodman, Introduction to Fourier optics, Mc Graw Hill, 1968
F. Roddier, The effects of atmospheric turbulence in optical astronomy, dans Progress in optics (E. Wolf Ed.), North Holland Publishing Company, 1981
V. I. Tatarski, Wave propagation in a turbulent medium, Dover, 1961
D. Alloin et J. M. Mariotti (Eds.), Diffraction-limited imaging with very large telescope, NATO ASI Series, Kluwer Academic Publishers, 1989
D. Alloin et J. M. Mariotti (Eds.), Adaptive optics for astronomy, NATO ASI Series, Kluwer Academic Publishers, 1994
F. Roddier (Ed.), Adaptive optics in astronomy, Cambridge University Press, 1999