cours optique

Lycee La MartiniereMPSI 2013

Optique geometrique

Chapitre 1 { Bases de loptique geometrique

I Introduction a loptique geometrique

1 La lumiere est un phenomene ondulatoire

1.1 Caracteristiques de londe lumineuse

La lumiere est une onde electromagnetique caracterisee par les amplitudes couplees du champelectrique et du champ magnetique.Cette onde se propage dans le vide avec une vitesse egale a la celerite de la lumiere dans le vide :

c 3:108 m:s 1

Londe peut aussi se propager dans un milieu materiel, avecune vitessev 6 c.Londe lumineuse peut etre caracterisee :

{ par sa vitessev dans le milieu,{ par sa longueur donde dans le vide 0,{ par sa frequence .

Denition : lumiere

direction depropagation

E

B

l

Un champ electrique est par exemple cree par un condensateur.Il est note ~E , lunite associee est le Volt par metre.La foudre met en jeu des champs electriques de lordre de 300kV.m 1.Un champ magnetique est cree par exemple par un aimant, oupar une bobine parcourue par un courant electrique (solenode).Il est note ~B et lunite associee est le Tesla.Un aimant cree un champ magnetique de lordre de 10 3 T.Des bobines supraconductrices peut generer un champ de lordrede 1 T.

Pour une onde electromagnetique, la longueur donde dansle vide 0 et la frequence de londe sont lieespar :

0 = c

Selon la frequence de londe electromagnetique, on parle plutot donde lum ineuse, ou donde radio, derayons X, etc...

en m en Hz en m en Hzrayons 10 14 | 10 12 1022 | 10 20 infrarouge 8:10 7 | 10 3 4:1014 | 10 11

rayons X 10 12 | 10 9 1020 | 10 17 communication satellite 10 2 | 10 1 1010 | 10 9

ultraviolet 10 9 | 4 :10 7 1017 | 10 15 ondes radar 10 1 | 1 109 | 10 8

visible 4:10 7 | 8 :10 7 8:1014 |4 :1014 ondes radio 10 1 | 10 4 109 | 10 4

Exercice 1 : Lumiere visibleLil est sensible aux longueurs donde entre 0; 4 m (violet) et 0 ; 8 m (rouge), cest la lumiere

visible.1. Le maximum de sensibilite de lil humain est dans le jaun e : pourquoi ?2. Calculer les frequences correspondant aux extremites du spectre visible.3. Quappelle-t-on lumiere infrarouge et lumiere ultraviolette ?

2/41 Optique geometrique

Chaque couleur correspond a une longueur donde approximative :

violet bleu vert jaune orange rouge en m 0,4 0,47 0,52 0,58 0,6 0,65 en nm 400 470 520 580 600 650 en A 4000 4700 5200 5800 6000 6500

1.2 La lumiere transporte de lenergie

Lenergie lumineuse permet la photosynthese des plantes, la formation des nuages et des vents, le bronzagede la peau, selon des processus plus ou moins complexes.

Lenergie transportee par la lumiere ne varie pas contin uement, mais de facondiscrete (par saut). La plusfaible quantite denergie possible est un quantum denergie , appele photon.

Lenergie E dun photon ne depend que la frequence de londe :

E = h

ou h est la constante de Planck :h 6; 62:10 34 J:s

Relation energie - frequence

2 Propagation dans des milieux transparents

Soit v la vitesse de la lumiere dans un milieu materiel transparent : v 6 c.Lindice n du milieu est deni par :

n = c=v

donc : n > 1Le milieu est dautant plus refringent que n est grand.

Denition : indice dun milieu materiel

Quelques valeurs numeriques : vide n=1 par denitionair n=1,0003 valeur approchee : n 1eau n=1,33 n 4=3verre n=1,5 verre ordinairediamant n=2,4

Le chemin optique parcouru par la lumiere est :

= n d

ou d est la longueur geometrique du trajet lumineux C.

Denition : chemin optique

3 Sources lumineuses

3.1 Lampe a incandescence

Dans lampoule dune lampe ordinaire, un lament de tungstene est porte a haute temperature (2 800 K en-viron), dans une atmosphere inerte, sans oxygene. Il ny apas combustion, ni fusion du metal (sa temperaturede fusion etant superieure a 2800 K).

Le lament emet alors de la lumiere, dont le spectre est donne sur la gure jointe : il sagit dun rayon-nement thermique. Le spectre estcontinu , il recouvre le domaine du visible : la lumiere est blanche.Lespectre setend au-dela du visible, dans linfrarouge notamment.

Lallure du spectre emis par rayonnement thermique depend de la temperature du lament. Ainsi, pourle Soleil, la lumiere emise contient des UV et de linfra rouge, et le maximum dintensite lumineuse corresponda une couleur jaune.

Pour une lampe a lament classique, il ny a pas dUV, mais beaucoup dinfrarouges.

Optique geometrique 3/41

3.2 lampes spectrales

Une ampoule contient un gaz atomique (Sodium, Mercure, Hydrogene,...)

Le gaz est alors soumis a des decharges electriques entredeux electrodes.

Les atomes sont excites ; certains atteignent des etats denergie eleves, puis reviennent a un niveau denergieplus faible - voire le fondamental - en emettant un photon : il y a donc emission de lumiere.

La frequence des photons emis depend donc des niveaux denergie atomiques, les valeurs de ces energiesetant xees par les lois de la mecanique quantique.

Le spectre de la lumiere ainsi produite est unspectre de raies , ou spectre discret ; les raies sont caracteristiques

Application :

En determinant les frequences des raies dabsorption dun nuage de poussieres interstellaire eclaire parune etoile, on peut determiner certains des elements qu i le composent.

3.3 laser

Laser (Light Amplication by Stimulated Emission of Radiat ion) : source de rayonnement monochroma-tique (une seule frequence). Un faisceau laser presente,de plus, une faible section et une faible divergence.

Principe de fonctionnement : une onde lumineuse eectue des aller-retours dans une cavite, dans laquelleelle traverse un milieu amplicateur, qui permet dobtenir des photons de plus en plus nombreux. Cesphotons sont tous en phase, et de meme frequence, et ils constituent a leur sortie un faisceau de lumierelaser.

Le spectre dun laser monomode comporte une seule frequence.Exercice 2 : Modes propres dun laser

La cavite dun laser est analogue a une corde de Melde : les frequences laser sont fonction de la longueurL de la cavite et de la celerite de londe, ici c = 3 :108 m:s 1.1. Donner la relation liant L , c et la frequence laser , pour un mode resonnant dindice n.

3.4 Sources secondaires

rflexion

diffusionTout objet eclaire (par une source primaire, par exemplepar une lampe), est une source secondaire de lumiere : ilrenvoie de la lumiere par reexion, diusion, ...

Lavion furtif americain F-117A Night Hawk est couvertde facettes reechissant les ondes radar dans des directionsdierentes de celle du radar emetteur, qui ne peut donc pas ledetecter.Lavion est egalement recouvert dun revetement qui absorbe lesondes radar.Les F-117A volent des 1977, mais restent secrets pendant plus de11 ans.Ils participent au bombardement Bagdad en 1991 (suite a linva-sion du Kowet par lIrak).

3.5 Source a linni

Dune source placee a linni, on recoit des rayons lumin eux tous paralleles entre eux. Exemple : le Soleil(attention aux eets de perspective !)


3.6 Exemples de sources lumineuses

ponctuel ponctuel etendu etendua distance nie a linni a distance nie a linni

exemple de un pixel decran TV une etoile tube phosphorescent le Soleilsources primaires

exemple de une tete depingle une planete une bicyclette la Lunesources secondaires

4 Diraction

4.1 Premiere experience, dans le but disoler un rayon lumineux

Ssource

crandiaphragme

Ssource

crandiaphragme

Soit le dispositif experiental suivant : une source lumineuse ponctuelleS eclaireun diaphragme, derriere lequel on place un ecran.

Si le diaphragme a un diametre superieur a 1 cm :Une partie des rayons lumineux issus deS sont arretes par le diaphragme D .

On obtient une tache lumineuse sur lecran, dont le contour correspond aux rayonsrectilignes issus deS et passant sur le bord du diaphragmeD . (gure ci-contre).

Chaque point M eclaire de lecran est relie a la source S par une droite (SM ) quitraverse le diaphragme, correspondant au trajet du rayon lumineux.

Si la taille du diaphragme est diminuee an disoler un rayon lu-mineux :

il se produit un phenomene de diraction : le faisceau souvre en traversant lediaphragme.

La tache observee sur lecran est plus grande que celle predite dans le cadre delapproximation de loptique geometrique.

Ce phenomene de diraction est observe lorsque la dimension du diaphragme est de lordre de la longueurdonde de la lumiere.

Typiquement, 600 nm = 0; 6 m (jaune) est comparable a la taille dun cheveu : 1 m.

En pratique, il est impossible disoler un rayon lumineux arbitrairement n.

4.2 Deuxieme experience : diraction a linni

Une source lumineuse a linni produit des rayons lumineux tous paralleles entre eux. Experimentalement,on eclaire le diaphragme a laide dun laser.

Un ecran est place a grande distance.Observation : sur lecran, on observe des taches circulaires concentriques, appeleestaches dAiry .La tache centrale est vue depuis le diaphragme sous un angle avec :

sin = 1 ; 22d

ou d est le diametre du diaphragme.Explication.Londe lumineuse est une onde progressive sinusodale. Lediaphragme limite son extension dans lespace,

ce qui modie les proprietes de londe ; cest comme si chaque point du diaphragme reemettait londe danstoutes les directions.

La diraction de la lumiere est observee lorsque la lumier e traverse des dispositifs dont la dimen-sion est de lordre de la longueur donde de la lumiere.Si il sagit pas exemple dun diaphragme, la gure de diraction observee depend de la forme dudiaphragme ; si celui-ci est un disque, on obtient des tachesdAiry.La majeure partie de lenergie diractee lest dans un cone de demi-angle au sommet , dontlordre de grandeur est :

sin d

Figure de diraction


Exercice 3 : Dimension dune tache de diractionUn laser rouge de longueur donde = 630 nm eclaire uniformement un trou circulaire de diame tre

d = 100 m. Un ecran est place a 5 metres du trou.1. Justier quil y a diraction ; quel est le nom de la gure de d iraction observee dans ce cas ?2. Determiner le diametre de la tache circulaire principa le observee sur lecran.

4.3 Generalisation de la notion de diraction

Tout phenomene ondulatoire peut donner lieu a de la dirac tion : onde radar, onde mecanique, ondeacoustique, houle sur la mer...

5 Approximation de loptique geometrique

5.1 Notion de rayon lumineux

exercice

Dans le cadre de lapproximation de loptique geometrique, un faisceau lumineux est forme dune innitde rayons lumineux (droites). Letude de la marche de ces rayons lumineux est le but de loptiquegeometrique .Pour cela, il faut que les objets disposes sur le banc doptique aient des dimensions tres grandes devanla longueur donde de la lumiere : sinon il y a diraction .

Un laser fournit pratiquement un rayon lumineux. Neanmoin s, le pinceau de lumiere a une dimensiontransversale nie.

5.2 Principe dindependance des rayons lumineux

Dans le cadre de loptique geometrique, les rayons lumineux sont independants les uns des autres.

5.3 Propagation rectiligne de la lumiere

Un milieu est dit homogene si toutes ses proprietes physiques sont les memes en chaque point.

Denition : milieu homogene

Un milieu est dit isotrope si ses proprietes physiques sont les memes dans chaque direction.

Denition : milieu isotrope

Dans un milieu homogene et isotrope, la lumiere se propageen ligne droite ; les rayons lumineux sontdes droites .

Ce spath dislande pose sur le cours dop-tique de Bruhat est un cristal homogene etanisotrope.

5.4 Principe du retour inverse de la lumiere


Le trajet de la lumiere est independant du sens de parcours.Si un rayon part dun point A pour aller vers un point A0 en suivant un certain trajet, alors unautre rayon lumineux peut partir de A0 et suivre le meme trajet pour aller enA.

Principe du retour inverse de la lumiere

6 Reexion et refraction

6.1 Lois de Descartes

Un dioptre est une surface separant deux milieux transparents homogenes et isotropes, dindicesdierents.Si la surface de separation est plane, on a undioptre plan ; si cest une portion de sphere, on aun dioptre spherique.

Denition : dioptre

i1 i1

i2rayon

rayonincidentrayon

n1n2

n

reflchi

rfract

Soit un rayon incident, et soit I le point dincidence sur le dioptre. SoitP leplan tangent en I au dioptre, et ~n la normale en I a ce plan (voir gure). Ondesigne par les indices 1 et 2 les milieux de part et dautre du dioptre (gureci-contre).

Notons i1 langle forme entre le rayon incident et la normale ~n ; il est appeleangle dincidence.

Le rayon reechi forme un angle i01 avec la normale, appeleangle de reexion .

Le rayon refracte forme un angle i2 avec la normale, appele angle derefraction .

Le plan dincidence est deni par le rayon incident, le point I et la normale~n.

{ le rayon incident, le rayon reechi et le rayon refracte sont dans leplan dincidence.{ les angles dincidencei1, de reexion i01 et de refraction i2 verient :

i1 = i01 loi de la reexionn1 sin i1 = n2 sin i2 loi de la refraction

Lois de Descartes

On observe simultanement sur la photo ci-contre unerefraction a travers la vitre (image du paysage) et unereexion partielle sur la vitre (image du bebe).Une personne situee a lexterieur du train pourrait voir lebebe : a langle dincidence considere ici, environ 25 % delenergie est reechie et 75% est transmise.Sous incidence normale, sur du verre, 4% de lenergie estreechie, et 96% transmise.

6.2 Consequences des lois de Descartes

Lorsque la lumiere passe dun milieu a un milieu plus refringent , le rayon refracte se rapproche de lanormale.Lorsque la lumiere passe dun milieu a un milieu moins refringent , le rayon refracte seloigne de lanormale.


2 > n1n

n1

L

Figure 2 { Refraction dans un milieu plus refringent : les rayons emergent dans un cone de demi-angle ausommet .

En eet, la loi de la refraction

n1 sin i1 = n2 sin i2

implique :si n2 > n 1 alors i2 < i 1si n2 < n 1 alors i2 > i 1

i1

n12n n1

i2

6.3 Reexion totale sur un milieu moins refringent

1n

1nn2 .

Lorsque la lumiere passe dun milieu dindicen1 a un milieu moinsrefringent dindice n2 < n 1, il existe une valeur de langle dincidencei1 = pour lequel langle de refraction est i2 = = 2.

sin =n2n1

Si i1 6 , il y a un rayon refracte et un rayon reechi.Si i1 > , il ny a pas de rayon refracte : il y a reexion totale .

A.N. Pour un dioptre eau/air : = 48 ; 7

verre/air : = 41 ; 8

Application : Un plongeur qui regarde vers le haut voit un disquelumineux.

Exercice 4 : Fontaine lumineuseExpliquer, a laide dun schema, pourquoi la lumiere se p ropage a linterieur des jets deau dune

fontaine lumineuse.

Exercice 5 : Bulle dair dans leauUn faisceau de lumiere parallele se propage dans leau transparente dindicen = 1 ; 33. Elle rencontre

une bulle dair spherique de rayon R.1. Tracer le trajet dun rayon incident dirige vers le centr e O de la bulle.2. Tracer le trajet dun rayon incident rasant.3. Tracer le trajet dun rayon arrivant en I sur la bulle, avec une incidencei . A quelle condition sur i le

rayon est-il refracte ?Soit d la distance entre I et la droite parallele au rayon incident passant par O. Pour quelles valeursde d le rayon est-il refracte ?


6.4 Prisme a reexion totale (prisme de Porro)

I

J

On considere un prisme de verre, dangle droit.Un rayon incident normal a la face dentree dans le prisme (voir gure)

nest pas devie ; son incidence enI est de 45 , or 45 > pour le verre( = 41 ; 8 ) donc il y a reexion totale ; lincidence en J est egalement de45 car le prisme est droit : il y a donc a nouveau reexion total e ; le rayonest alors normal a la face de sortie, donc il nest pas devie.

Conclusion : le rayon emergent est parallele au rayon incident.Linteret dun tel dispositif, comparable a deux miroir s perpendiculaires,

est que les faces reechissantes sont inalterables et indeformables.

Prismes redresseurs : si ondispose deux prismes de Porroen vis a vis comme sur la g-ure ci-dessus, cela permet deremettre une image a lendroitlorsquun dispositif optique larenversee (systeme invente parlitalien Ignazio Porro au XIX e

siecle).Ce dispositif de Porro est utilisedans certaines jumelles ; les ob-jectifs sont alors tres ecartes.Ces jumelles sont lumineuses,solides, mais encombrantes.

II Formation des images1 Stigmatisme rigoureux. Denition

Soit (S) un systeme optique (morceau de verre transparent, miroir, ensemble de lentilles...)Un rayon lumineux est dit incident avant quil ne traverse le systeme optique (S), et emergent apres sa

traversee de (S).Lorsque le systeme optique contient un nombre impair de miroirs (systeme catadioptrique), le rayon

emergent se propage en sens inverse du rayon incident.

Un systeme optique (S) est dit rigoureusement stigmatiquepour un couple de points (A; A 0) sitout rayon lumineux incident passant par A, passe parA0 apres avoir traverse le systeme optique(S).A et A0 sont deux points conjugues par le systeme optique (S).

Denition : Stigmatisme rigoureux

2 Stigmatisme rigoureux : exemples

Les systemes rigoureusement stigmatiques sont peu nombreux, citons :


Le miroir elliptique

Un miroir elliptique est rigoureusement stigmatique pour une unique couple de points : les foyers delellipse F et F 0.

I Application : Laser a neodyme ou laser YAG.

amplicateur YAG

lampe a arc

reecteur elliptiquerayon lumineux

Dans un tel laser, le milieu amplicateur est par exemple un cristal YAGcontenant des ions neodyme Nd3+ .

YAG designe en anglais le nom du cristal (grenat dyttrium a luminium).

Un pompage optiquepar une lampe a arc permet dexciter les ions Nd3+ ,cest a dire de les amener dans des niveaux denergie eleves dou ils retombentensuite en emettant des photons : cest lemission laser.

Lamplicateur YAG est place au foyer dun miroir elliptiq ue, et la lampe aarc a lautre foyer.

Pour les lasers a neodyme, lemission laser est dans linfrarouge ( =1; 06 m) et la puissance en impulsion est tres forte. Ceci permet leur utilisa-tion dans des reactions de fusion thermonucleaire.

I Application : bombe a hydrogene.La bombe A (ou bombe a ssion) a ete mise au point par le Proj etManhattan a Los Alamos, USA, pour mettre n a la seconde guerremondiale (ssion de luramium 235 ou du plutonium 239). Puisque nous avons de bonnes chances de realiser une bombe atom-ique a ssion, pourquoi ne pas utiliser une explosion de ce type pourdeclencher quelque chose de similaire aux reactions qui ont lieu dans leSoleil ? Fermi, 1942.

La bombe A surnommee FatMan qui a detruit Nagasaki.

Cest le principe de la bombe H.

Parmi les reactions nucleaires a lorigine de lenergi e solaire, la plus facile a mettre en uvre est la reactionde fusion de noyaux de Deuterium et de Tritium, donnant un neutron et un noyau dHelium ; une forte energieest degagee :

21D +

31T !

42He +

10n

Bombe AD+T

miroir duranium 238

Cette reaction ne peut se produire qua une temperature d e 100 mil-lions de degres : on utilise lenergie degagee par une bombe A, placee aufoyer dun miroir ellipsodal duranium 238 ; le melange Deuterium+ Tritium est place a lautre foyer.Les rayons X emis lors de lexplosion de la bombe A sont reechis par ce miroir et concentres sur le melange Deuterium + Tritium, dont latemperature peut alors atteindre les 100 millions de degres necessairesau declenchement de la fusion ; celle-ci emet des neutronsqui trans-forment les noyaux duranium 238 en plutonium, qui se ssionnent aleur tour...Les recherches menees a Los Alamos conduisent a lexplosion de Mike,premiere bombe H americaine, en novembre 1951.Bibliographie :Fermi, un physicien dans la tourmente. M. De Maria. Belin Pour La Science.Encyclopedie Universalis, article Energie thermonucleaire .

Le miroir parabolique

Une source a linni est conjuguee avec le point foyer de la parabole : il y a stigmatisme rigoureux pourle couple (1 ; F ).

Applications : miroir de telescope (rotation de mercure liquide).

Antenne parabolique (radar, television).


Parabole solaire.Dans les zones a fort ensoleillement, il est interessant de recuperer lenergie solaire en utilisant une parabole(concentration du rayonnement solaire), conjuguee a un moteur de Stirling (photo ci-dessous prise a Alger).Le plus grand dispositif au monde de ce type est le four solaire dOdeillo (Font Romeu) ; construit en 1970,il fournit 1 MegaWatt.Le grand miroir parabolique (sur la photo) est xe, il tourne le dos au Soleil. Face a lui, de nombreux miroirsplans (appeles heliostats) sorientent automatiquement grace a des diodes et suivent la course du soleil. Lalumiere est alors reechie vers le grand miroir paraboli que, qui a son tour reechit ces rayons vers le foyer,situe a une hauteur de quelques dizaines de metres au-dessus du sol.

Petit four solaire, a Alger. Four solaire dOdeillo.

Le miroir plan

Un miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tousles points de lespace.Limage dun point A est un point A0, qui est le symetriquede A par rapport au plan du miroir.Ci-contre, les heliostats, miroirs plans orientables qui ren-voient la lumiere du Soleil sur la parabole dOdeillo.Lobjet (Soleil) est a linni, limage par le miroir est do nca linni. Si on considerait que le Soleil etait ponctuel , alorsle faisceau emergent du miroir serait un faisceau parallele.(Plus precisement, le Soleil est une source etendue a linni).

3 Stigmatisme approche : denition

Il y a stigmatisme approche dun systeme optique S pour un couple de point (A; A 0) si tout rayonpassant par le point objetA, passeau voisinagedu point image A0 apres avoir traverse le systemeoptique S.

Denition : Stigmatisme approche

Figure :


Ansi pour un appareil photo, limage du point A est une petite tache situee au voisinage du pointA0 : ilsut que la dimension de la tache soit inferieure a la taill e du pixel du capteur.

On dit quil ny a pas dimage si les rayons lumineux a la sortie du systeme optique partent dans nimportequelle direction.

4 Image et objet

Choisissons uneorientation horizontale arbitraire des gures : par exemple de gauche adroite.En general on place les sources lumineuses a gauche de la gure, donc la lumiere se propage de gauchea droite, dans le sens positif choisi ci-dessus.Et lorsquil y a un miroir, la lumiere se propage dans le sensnegatif apres reexion sur le miroir.

On considere un systeme optique constitue de lentilles et de dioptres, sans miroir. Tracer ci-dessous 6gures :

{ objet reel A, image reelle A0.A est un point source (led par exemple) : les rayonsdivergent a partir de ce point ; a la sortie dusysteme optique S, les rayons lumineuxconvergent vers le point A0, qui peut etre materialise sur unecran.

{ objet reel, image virtuelle.Le point virtuel A0 est determine en prolongeant les rayons lumineux reels divergeants.

{ objet virtuel, image reelle.Le faisceau incident converge vers un pointA determine en prolongeant les rayons lumineux reelsincidents au-dela de la face dentree deS.

{ denition de l espace objet reel et de lespace image reelle ;{ denition de l espace objet virtuel ;{ denition de l espace image virtuel .


5 Aplanetisme

Soit un systeme optique presentant la symetrie de revol ution autour dun axe , appele axe optique.

Il y a aplanetisme lorsque le systeme optique donne, dun objet plan perpendiculaire a laxeoptique , une image plane perpendiculaire a .

Denition : Aplanetisme

6 Approximation de Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fut un mathematicien allemand genial, qui diriga lobservatoire as-tronomique de Gottingen et contribua alors a de nombreuses recherches en astronomie et en optique.Il determine lorbite de lasterode Ceres par la met hode des moindres carres (1801).Il elabore la theorie des systemes optiques centres (1830 -), qui permet detudier les systemes optiquescomplexes. Il etudie egalement le magnetisme, et la mecanique theorique (principe de moindre contrainte).voir le numero special les genies de la Science , Pour la Science octobre 2008.

Systeme centre : systeme optique possedant un axe de symetrie de revolution appele axeoptique .Dans un systeme centre, les miroirs, dioptres, lentilles... ont tous leurs centres alignes selon cetaxe optique .Dans les conditions de Gauss, les rayons lumineux forment des angles petits avec laxe optique,et ils sont proches de cet axe : ils sont ditsrayons paraxiaux.

Denition : Conditions de Gauss

Pour realiser ces conditions de Gauss :{ les objets sont de petite taille ;{ les objets sont centres sur laxe optique , et perpendicu laires a ;{ les systemes optiques ont des petites ouvertures.

III Application : exemple des miroirs plans1 Proprietes des miroirs plans

Un miroir plan est une surface plane reechissante.Systeme optique catoptrique : systeme optique reechissant la lumiere (comprenant au moinsun miroir).Systeme optique catadioptrique : systeme optique reechissant et refractant la lumie re (com-prenant au moins un miroir et un dioptre).

Denition : Catadioptre

Remarque : une lentille est constituee de 2 dioptres.

Proprietes :{ Limage dun point objet A par un miroir plan

est un point imageA0 symetrique de A par rapport auplan du miroir.

{ Le stigmatisme est rigoureux pour tous les pointsde lespace.

{ Limage dun objet reel est virtuelle ; limage dunobjet virtuel est reelle.

Figures :Objet reel, image virtuelle Objet virtuel, image reelle


2 Deux miroirs perpendiculaires

A

A2

A1

A

O

I1

I2

Deux miroirs a angle droit M 1 et M 2, secants selon une droite .Plan de gure = plan perpendiculaire a la droite . Soit O le pointde sur la gure.Objet reel A : A1 son image parM 1

A2 son image parM 2A0 le symetrique de A par rapport a O

On considere uniquement les rayons contenus dans le plan dela gure.Un rayon issu deA peut subir 1 ou 2 reexions :1 reexion sur M 1 : le rayon reechi semble provenir de A11 reexion sur M 2 : le rayon reechi semble provenir de A22 reexions sur M 2 puis M 1 : le rayon reechi semble provenir de A0

A0 est limage deA par lensemble des 2 miroirs.Propriete : lorsquil y a 2 reexions, le rayon emergent est parallele au rayon incident (rayons contenus

dans le plan de gure, donc perpendiculaires a ).Interet : un faisceau parallele de rayons revient sur lui-meme (dans le plan de gure).Dem. 2 symetries par rapport a deux plans perpendiculaires = symetrie par rapport a la droite intersection

, donc dans le plan de la gure, symetrie SO par rapport au point O. Limage de la droite (AI 2) par lasymetrie SO est une droite parallele (propriete des symetries cent rales).

3 Trois miroirs perpendiculaires : coin de cube

M2

M3

M1

AA

A3

A

2

1

O

Trois miroirs a angle droit M 1, M 2 et M 3, secants selon un pointO. Objet reel A : A1 son image parM 1

A2 son image parM 2A3 son image parM 3A0 le symetrique de A par rapport a O

Un rayon peut subir 1, 2 ou 3 reexions sur les miroirs. Si il ya 3 reexions, le rayon emergent semble provenir deA0.

Propriete du coin de cube : Le rayon emergent est paralle le aurayon incident, et ce quelle que soit la direction incidente.

(Propriete vraie a 3D, alors que cette propriete ne val ait qua2D dans le cas precedent).

Interet : un faisceau parallele de rayons revient sur lui-memequelle que soit sa direction incidente.

Application : mesure de la distance Terre-Lune avec un laserUn panneau retroreecteur (constitue dune centaine de coins de cubes),le Laser Ranging Retroreector, a ete depose sur la lune lors des missionsApollo en 1969.Ce panneau renvoie un faisceau laser emis depuis la Terre sur lui-meme,et il est utilise depuis 40 ans pour mesurer la distance Terre-Lune.Cette mesure est eectuee par dierents observatoires (Texas, Californie,Hawaii, France, Australie, Allemagne).En France, lobservatoire de la cote dazur (station CALERN) utilise unlaser, qui emet des sequences de 3 impulsions lumineuses de 0,3 J.Sur la photo, le reecteur, Appollo 11 et les traces de pas deBuzz Aldrinet Neil Armstrong.

Un reecteur radar (photo ci-contre) est dispose au sommet du mat des voiliersde plaisance, an quils puissent etre detectes par les radars des gros navires(petroliers, ...)


Chapitre 2 { Systemes optiques simples

I Le dioptre plan1 Stigmatisme approche du dioptre plan

Si on limite la dimension du dioptre plan, donc lincidence des rayons letraversant, alors limage dun point objet par le dioptre est une tache defaibles dimensions.Il y a stigmatisme approche dans les conditions de Gauss.On constate quelques dicultes a observer les poissons dun aquariumlorsquon seloigne de lincidence normale.

2 Relation de conjugaison ; conditions de Gauss

Soit A un point objet place devant un dioptre plan njn0.(On supposen0 < n pour faire la gure.)Soit S lintersection de la normale au dioptre passant parA.S est appele sommet du dioptre .On considere un rayon incident issu deA, qui touche le dioptre en I , formant un angle dincidencei .Le rayon emergent dans le milieu dindicen0 forme un angle i0 avec la normale.Le rayon emergent est prolonge virtuellement dans le milieu dindice n : il coupe laxe (AS) en un point

A0.

SA

n n0

Soit A0 le point image du point A0 par un dioptre plan njn0.Soit S le sommet du dioptre, intersection du dioptre plan avec la droite (AA 0), alors :

n

SA=

n0

SA0

Relation de conjuguaison dun dioptre

Exercice 6 : Peche trompeuseUn pecheur dans une barque observe un poisson dans leau en dessous de lui.Il estime que le poisson est a 50 cm sous la surface de leau. Quen est-il en realite ?Il reussit a capturer le poisson, mais il est tres decu q uand il le sort de leau. Pourquoi ?


Le dioptre eau/air est symbolise par njn0 avec n = neau = 1 ; 33et n0 = nair = 1.

An jn0y A0

neauSA

=nairSA0

A.N.A

A0

eau (n = 1 ; 33)

air (n0 = 1)S

Limage A0 dun poisson est plus proche de la surface de leau que le vraipoisson A.

3 Image dun objet perpendiculaire a laxe

Soit un objet AB perpendiculaire a laxe optique, et A0B 0son image. Le grandissement transversal t est deni par :

t =A0B 0

AB

Si t > 0 limage estdroite,Si t < 0 limage est inversee.

Denition : Grandissement transversal t

Consequence : le grandissement dun dioptre plan, dans lesconditions de Gauss, est egal a 1.Le pecheur voit le poisson plus gros quil ne lest car il esttrompe sur la distance a laquelle se trouve le

poisson.

II Association de dioptres plans1 Lame a faces paralleles

i1

n12n

i1

n1

Une lame plane transforme un faiseau parallele en un faisceau parallele (vitre).


2 Mirages optiques

Si les indices varient, le rayon est devie.Par exemple, sin1 > n 2 > n 3::: langle dincidence augmente, le rayonest courbe.Pour un mirage chaud, lair pres du sol est moins dense donc dindiceplus faible.

n1

n2

Les rayons lumineux du Soleil sontrefractes par latmosphere, non ho-mogene, ce qui courbe la trajectoiredes rayons. Ainsi, le Soleil est en-core visible apres quil soit passe souslhorizon.

III Dioptre spherique (simple description)1 Refraction par un dioptre spherique

i

i0

O

On considere une boule dindicen plongee dans un milieudindice n0 = 1.Un rayon incident au point I forme langle dincidence iavec la normale au dioptre spherique enI .Langle refracte est note i0.La loi de Descartes secrit alors :

n0 : sin i = n sin i0

Cirque de St Meme, Chartreuse. Entre Souillac et Sarlat, Perigord noir.


2 Arc en ciel

Chaque goutte deau spherique du nuage disperse la lumiere du Soleil, suite a une double refraction (alentree de la goutte 1jn et a la sortie nj1).

Larc primaire, ou arc inferieur, est le plus lumineux ; il c orrespond a un cone dangle 42 .

Le rayon lumineux est refracte (a lentree et a la sorti e de la goutte) et subit une reexion totale.

Larc secondaire, ou arc superieur, presente des couleurs inversees, il est moins intense que larc primaire.

Il correspond a cone dangle 51 . Le rayon lumineux a subi deux refractions (a lentree et a la sortie de lagoutte) et deux reexions totales.

Les deux arcs sont separes par une bande moins lumineuse que le reste du ciel, labande dAlexandre .

42SoleilFormation dun arc primaire :Le faisceau parallele de lumiere venant du Soleil subit unerefraction sur la goutte avec dierents angles dinciden ce i .La portion de ce faisceau representee sur le schema ressortde la goutte en un faisceau quasiment parallele (proprietevalable au minimum de deviation) ; ceci permet une accu-mulation de lumiere dans la direction emergente correspon-dante, a 42 pour larc primaire.

Meteores, Descartes, 1637Le schema represente le trajet dun rayonlumineux subissant une reexion totale ( !arc primaire) et un autre, subissant deuxreexions ( ! arc secondaire).

r

i

D1 Exercice.Montrer que la deviation D1 secrit :

D1 = 2 i 4r +


Il y a accumulation de lumiere dans la direction de langlede deviation minimum.Parmi toutes les gouttes de pluie, celles qui donnent ladeviation minimale apparaissent brillantes a lobserva teur.Or il y a symetrie de revolution autour de laxe ( SA) (en netenant pas compte du sol). Les gouttes brillantes sont doncreparties dans un cone de sommetA.Le phenomene darc en ciel nest pas observable si le Soleilest trop haut.

Ci-contre, le trajet lumineuxdans les gouttes deau, selonquil y a 1 ou 2 reexions in-ternes.La deviation minimale na pas lameme valeur dans les deux cas :elle vaut 42; 5 pour 1 reexionet 50; 1 pour 2 reexions.Les arcs nont donc pas la memehauteur, larc superieur corre-spond a 2 reexions.

Lodre des couleurs est inverse dans les deux arcs, car il y aunereexion interne de plus dans larc superieur.


Chapitre 3 { Lentilles minces

I Description1 Denitions

Une lentille mince est constituee par deux dioptres (2 spheriques, ou 1 spherique + 1 plan), les sommetsS1 et S2 des deux dioptres etant tres proches.

L 1 : lentille biconvexeL 2 : lentille plan-convexeL 3 : menisque convergent

L 4 : lentille biconcaveL 5 : lentille plan-concaveL 6 : menisque divergent

L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 6

S1 S2O

Les lentilles convergentes sont a bords minces : L 1, L 2 et L 3.Les lentilles divergentes sont a bords epais : L 4, L 5 et L 6.Pour une lentille mince, les sommetsS1 et S2 sont quasiment confondus ; on appellecentre optique O

ce point.

Le centre optique O dune lentille mince est lintersection de la lentille aveclaxe de revolution,lepaisseur de la lentille etant negligee.Un rayon lumineux passant par le centre optiqueO nest pas devie.

Denition : Centre optique

Dans les conditions de Gauss :

{ le symbole dune lentille mince convergente est

{ celui dune lentille mince divergente est

On admet que dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux), il y a aplanetisme.

2 Foyers et distance focale ; image dun objet a linni

Foyer objet F : point objet conjugue avec une image a linni : F y 1Les rayons incidents passant parF deviennent paralleles a laxe optique traversee de la lentille.Foyer imageF 0 : point image conjugue avec un objet a linni : 1 y F 0

Les rayons incidents paralleles a laxe optique passent par F 0 apres traversee de la lentille.

Denition : foyer objet F , foyer imageF 0

Pour une lentille mince, foyer objet et foyer image sont symetriques par rapport au centreO de la lentille :

OF = OF 0


F et F 0 sont reels pour une lentille convergente ;F et F 0 sont virtuels pour une lentille divergente ;

La distance focale objetf est la valeur algebrique deOF :

f = OF

La distance focale imagef 0 est la valeur algebrique deOF 0 :

f 0= OF 0

De plus : f 0 = f .

Denition : Distances focales

Si laxe optique est oriente dans le sens des rayons incidents :

f 0> 0 pour une lentille convergentef 0 < 0 pour une lentille divergente.

Le plan focal objet est le plan perpendiculaire a laxe optique passant parF .Les foyers secondaires objets sont les points du plan focal.Un faisceau de rayons issus dun foyer secondaire objet, apres traversee dune lentille convergente,devient un faisceau de rayons paralleles entre eux, inclines dun angle sur laxe optique.

Denition : Foyer secondaire, plan focal objet

Le plan focal image est le plan perpendiculaire a laxe optique passant parF 0.Les foyers secondaires images sont les points du plan focal.Un faisceau incident de rayons paralleles entre eux, inclines dun angle sur laxe optique, con-verge en un foyer secondaire image apres traversee dune lentille convergente.

Denition : Foyer secondaire, plan focal image

II Conjugaison par une lentille1 Construction geometrique dune image

Soit une lentille L de centreO, etudiee dans les conditions de Gauss.Soit laxe optique.Soit AB un petit objet perpendiculaire a laxe optique , et soit A0B 0 son image par la lentilleL .Dans les conditions de Gauss, il y a aplanetisme : limageA0B 0 est donc perpendiculaire a .

Pour construire A0B 0, on utilise 2 des 3 rayons possibles :

le rayon par O nest pas devie ; le rayon incident par F devient parallele a laxe optique apres traversee de L ; le rayon incident parallele a laxe optique passe par F 0 apres traversee de L .


Les points situes a une distance j 2f 0 j du centre O de la lentille sont notes 2F et 2F 0. Ilscorrespondent a un grandissement egal a 1 en valeur absolue :

j t j= 1

On appelle plan nodaux les plans perpendiculaires a en 2F et 2F 0.

Points nodaux

Faire la construction de A0B 0 pour une lentille dans les cas suivants.

Objet reel a 2f 0 du centre O dune lentille convergente

O F 0F2F 2F 0

A

B

Objet reel, lentille convergente

O F 0F2F 2F 0

A

B

Objet reel entre O et F , lentille convergente


O F 0F

A

B

Objet virtuel, lentille convergente

O F 0F2F 2F 0

A

B

Lentille convergente

Objet reel 2 ] 1 ; 2F ] reel 2 [2F; F ] reel 2 [FO] virtuel 2 [O; + 1 [

Image

nature reelle reelle virtuelle reelle

sens renversee renversee droite droite

taille diminuee grandie grandie diminuee

position [F 0; 2F 0] [2F 0; + 1 [ ] 1 ; O] [OF 0]

Lentille divergente

Objet reel 2 ] 1 ; O] virtuel 2 [O; F ] virtuel 2 [F; 2F ] virtuel 2 [2F; + 1 [

Image

nature virtuelle reelle virtuelle virtuelle

sens droite droite renversee renversee

taille diminuee grandie grandie diminuee

position [F 0; O] [O; + 1 [ ] 1 ; 2F 0] [2F 0; F 0]


2 Image dun point sur laxe optique

Soit A un point de laxe optique.

Remarquons que laxe optique est un rayon particulier, qui traverse la lentille sans etre devie.

Pour determiner le point A0, on utilise un foyer secondaire :

A0 est sur laxe optique ; soit un rayon incident quelconque (AI ), qui arrive sur la lentille au point I ; le rayon parallele a ( AI ) passant parO traverse la lentille sans etre devie, et coupe

le plan focal image enF 01 : foyer secondaire image. le rayon (AI ) traverse la lentille et passe ensuite parF1. Il coupe laxe optique

en A0. On peut aussi utiliser un foyer secondaire objet.

Construire limage dun point A situe a gauche de F (resp. F 0) pour une lentille convergente (resp.divergente).

Utilisation dun foyer secondaire image -lentille convergente

O F 0F

A

Utilisation dun foyer secondaire objet - lentille convergente

O F 0F

A

Utilisation dun foyer secondaire image - Lentille divergente


O FF 0

A

Utilisation dun foyer secondaire objet - Lentille divergente

O FF 0

A

3 Formule de Newton

Rappel. Grandissement transversal : t =A0B 0

AB

O F 0F2F 2F 0

A

B

Montrer, en utilisant le theoreme de Thales, que :

t =A0B 0

AB=

OA0

OA=

F 0A0

F 0O=

FOFA

FA:F 0A0 = f f 0

Pour un miroir spherique f = f 0 et F = F 0, on retrouve bien la formule de Newton pour un miroir :

FA:FA0 = f 2


Pour une lentille mince (convergente ou divergente) :

FA:F 0A0 = f 02

Formule de Newton

Consequence : On a toujoursFA:F 0A0 < 0 Ainsi, si A est a droite de F , alors A0 est a gauche deF 0.

4 Formules de conjugaison de Descartes

Demontrer la relation de conjugaison a partir de la formul e de Newton.

1

OA+

1

OA0=

1f 0

1p

+1p0

=1f 0

Si A est un objet reel : OA < 0Si A0 est une image reelleOA0 > 0Propriete : Objet et image se deplacent dans le meme sens.Exemple : supposons la lentille xee enO. Si le point A se deplace vers la droite, alors on observe le point

A0 se deplacer egalement vers la droite.

Exercice 7 : Position dune imageDonner la nature et la position de limageA0B 0dun objet AB ainsi que le grandissement transversal

pour les lentilles (L 3) et (L 4) suivantes :1. La lentille (L 3) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le positionnement deAB est tel que

O3A = 15 cm.La position de A0 sera donnee par la valeur deF 03A

0 .Faire une gure.

2. La lentille (L 4) est divergente, de distance focale image {30 cm. Le positionnement deAB est tel queAF 04 = 20 cm.La position de A0 sera donnee par la valeur deO4A0.Faire une gure.

Solutions.1. Limage A0B 0 est reelle, droite, diminuee.

F 03A0 = 23

f 0 = 20 cm

t =F 03A0

F 03O= +

23

= 0 ; 67

2. Limage A0B 0 est virtuelle, droite, diminuee.

O4A0 = 18; 75 cm


t =O4A0

O4A= +0 ; 37

5 Lentilles minces au contact

Soit deux lentilles mincesL 1 et L 2 accolees : leurs centres optiques sont consideres commecon-fondus enO.Ce systeme de deux lentilles est equivalent a une seule lentille de centre O, de distance focaleimage f 0 telle que :

1f 0

=1f 01

+1f 02

Lentilles minces accolees

Demonstration.


Chapitre 4 { Lil humain

I Constitution physiologique

1 Description

Lil est compose de milieux transparents, centres sur le meme axe :{ la cornee, qui protege la surface de lil ;{ lhumeur aqueuse ;{ liris entourant la pupille, qui joue le role de diaphragme;{ le cristallin : il joue le role de lentille de focale variable;{ le corps vitre ;{ la retine sur laquelle se forment les images ( ecran ).

On peut assimiler ce systeme optique a un dioptre spherique, ou plus simplement a une lentille minceconvergente, de distance focale objet egale a 17 mm (lorsque lil naccommode pas).

Figure 3 { Coupe schematique de lil dans son plan de symetrie hor izontal.

2 Denitions

Lil permet de voir nettement des objets a dierentes dis tances en accomodant, cest a dire en deformantson cristallin.

punctum remotum : point de laxe que lon voit net sans accomoder (point net leplus eloigne). Ilest note P.R.punctum proximum : point de laxe que lon voit net en accommodant au maximum (point net leplus proche). Il est note P.P.

Denition : P.P. et P.R.


Un il normal, dit emmetrope , voit nettement les objets a linni sans accommoder : sonpunctum remotum est a linni ; son punctum proximum est environ a dm = 25 cm (age moyen).Resolution de lil : lil ne peut separer des objets vus sous un angle inferieur a 1 minutedarc (par exemple des objets distants de 0,1 mm situes a 25cm de lil).

Caracteristiques de lil

II Defauts de lil

1 Denitions

F

F

F

P.P

P.P

P.PP.R.

Hypermtrope

Normal

Myope

P.R. linfini

P.R. linfini

Comparaison dun il normal, dun il hypermetropeet dun il myope.F 0 est le foyer image de lil sans accomodation ; laretine est symbolisee par un ecran en pointille.Representer sur un schema les corrections de la my-opie et de lhypermetropie.

Hypermetropie : Lorsque lil naccomode pas, limage dun objet a linni se forme a larriere de laretine. Ceci est du a un cristallin est trop peu convergent (ou a un globe oculaire trop petit). LeP.P. est plus eloigne que pour lil normal.

La correction se fait avec une lentille convergente.

Myopie : Lorsque lil naccomode pas, limage dun objet a linifn i se forme a lavant de la retine (lecristallin est trop convergent ou le globe oculaire est tropgrand). Le P.P. est plus proche que pourlil normal. Le P.R. est a une distance nie.

La correction se fait avec une lentille divergente.

Presbytie : Avec lage, le cristallin se durcit et perd ses facultes daccomodation : la vision proche en estaectee, le punctum proximum seloigne ; le punctum remotum reste inchange.

La correction se fait avec une lentille convergente, quon enleve pour voir de loin.

Astigmatisme : lorsque lil na pas une symetrie de revolution, la conve rgence ne se fait pas de faconidentique dans tous les plans.

Par exemple, un il myope est corrige par une lentille de 4 (dioptries) : il sagit dune lentille divergentede distance focalef = 1=4 = 0; 25 m.

Un il hypermetrope est corrige par une lentille de +2 (dioptries) : cest une lentille convergente dedistance focalef 0 = 1=2 = 50 cm.

2 Exercices dapplication

Oeil humainExercice 8 : Determination du foyer

On considere un il modelise par une lentille convergent e de centreO (cristallin) placee devant unecran E (retine).

Le punctum proximum PP est situe a une distance connue d de la lentille. Determiner graphiquementla position du foyer imageF 0P P du cristallin lorsque lil accomode au plus pres.


E (retine)OPP

Exercice 9 : PresbytieConsiderons un il tel que la distance cristallin-retine soit egale a 15 mm.

1. Calculer les valeurs extremes de la vergence de la lentille pour un PP de 25 cm et un PR a linni.2. Lil en viellissant perd de son pouvoir daccomodation. Le PR nest pas modie, mais la vergence du

cristallin ne peut plus varier que de 4; 5 , 1 et 0; 25 respectivement a 33, 45 et 70 ans. Determinerles PP correspondants.

3. Le pouvoir de resolution de lil evolue peu avec lage . En admettant que lil peut voir des detailsangulaires de taille m = 10 3 rad, quelle est la taille du plus petit objet que lil pourra resoudre a33, 45 et 70 ans ?

4. Considerons un autre individu, tres myope. Son PR est de11 cm.Un opticien lui propose une paire de lunettes telle que la distance il-lunettes soit de 1 cm. Quellevergence faut-il choisir ?

Corrige.1. On utilise la formule de conjugaison, pour le cristallin de focalef 0 variable :

1

OA+

1

OA0=

1f 0

Lorsque le cristallin accomode au plus pres (punctum proximum PP) : A = PP

L

E en notant Ele centre de la retine.La distance minimale de vision distinctedm vaut 25 cm doncOA = dm = 25 cmLimage se forme sur la retine a 15 mm du cristallin donc OA0 = OE = 1 ; 5 cm.La relation de conjugaison permet donc dobtenir la focalef 0P P

1f 0P P

= 1

OA+

1

OA0=

1dm

+1

OE=

10; 25

+1

0; 015

Dou f 0P P = 1 ; 4 cm et la vergence :

VP P = 71

Lorsque le cristallin est au repos (punctum remotum PR) : PR1

L

E retineDonc OA ! 1 et OA0 = f 0 avec A0 = E , dou

f 0 = f 0P R = 1 ; 5 cm

VP R = 67

2. PresbytieLe PR reste le meme :VP R = 67 Le PP est tel que :VP P = VP R + avec = 4 ; 5 a 33 ans.


On calcule alors la nouvelle valeur dedm en utilisant la formule de conjugaison :PR

L

E retineEn notant VP P = 1f 0P P

la vergence du crsitallin :

1dm

+1

OE= VP P

A.N.dm = 22 cm a 33 ans, dm = 1 m a 45 ans et dm = 4 m a 70 ans.

3. Resolution de lilPour voir le mieux possible les objets, on les place le plus pres possible de lil cest a dire au PP.On voit alors lobjet sous langle :

=ABdm

avec la valeur la plus petite possible que lil peut resoud re : min = m = 10 3 rad.A.N.AB m = 0 ; 25 mm a 33 ans, AB m = 1 mm a 45 ans et AB m = 4 mm a 70 ans.

4. Correction dun il myopeLimage dun objet a linni par la lentille L 1 de correction doit etre au PR de lil myope :

1L 1y PR

Ly retine

ou L est la lentille modelisant le cristallin.Le foyer image F 01 de L 1 est donc confondu avec le PR doncL 1 est une lentille divergente de focalef 01 = 10 cm et V1 = 10 .

Exercice 10 : Oeil myopeUn il myope a son punctum proximum a 12 cm et son punctum remotum a 1,2 m. Le centre optique

de la lentille equivalente a lil est situe a 15,2 mm de l a retine.1. Entre quelles valeurs la distance focale de cet il peut-elle varier ?2. Cette myopie est corrigee par des lentilles. Determiner la convergenceC des lentilles pour permettre

une bonne vision de loin.3. A quelle distance se situe alors lepunctum proximum de lil corrige ?4. Pour corriger la myopie, on peut enlever une partie de la cornee a laide dun laser. Expliquer pourquoi

cela permet cette correction.

Corrige de lexercice : Oeil myope1. Valeurs limites de la focale du cristallin.

P.P. O

cristallin retine

15,2 mm12 cm

R

L 0

Notons R la position de la retine (qui joue le role decran),

PP la position du punctum proximum,

PR la position du punctum remotum.

Notons : d = 12 cm la distance du P.P.

D = 1 ; 2 m la distance du P.R.Le cristallin joue le role dune lentille de distance focale f variable,comprise entref 0P P et f

0P R : f

0P P 6 f 6 f

0P R

Lorsque le cristallin L 0 conjugue le P.P. et la retine, sa distancefocale vaut f 0P P : on ecrit

PP

L 0

R

Le relation de conjugaison secrit alors :

1

OPP+

1OR

=1

f 0P P

1f 0P P

=1d

+1

OR=

10; 12

+1

0; 0152= 74; 1


dou, en notant CP P la convergence du cristallin (en dioptries) :

CP P =1

f 0P P= 74; 1

et f 0P P = 1 ; 35 cm.

Lorsque le cristallin conjugue le P.R. et la retine, sa distance focale vautf 0P R : on ecrit PRL 0y R

La relation de conjugaison secrit alors :

1

OPR+

1

OR=

1f 0P R

1f 0P R

=1D

+1

OR=

11; 2

+1

0; 0152= 66; 6

dou, en notant CP R la convergence du cristallin (en dioptries) :

CP R =1

f 0P R= 66; 6

et f 0P R = 1 ; 5 cm.2. Correction de la myopie

retine

15,2 mm

R

cristallinlentille

A

L L0

1

Pour permettre une bonne vision de loin, il faut que le systeme op-tique total f lentille correctrice L + cristallin L 0 g conjugue linniavec la retine lorsque sa distance focale est maximale.Donc pour f 0= f 0P R , on a

1Ly

L 0y R

Les deux lentilles (lentille correctrice et cristallin) sont accolees, lesysteme optique equivalent est donc une lentille de convergence Ce = C + CP RLa relation de conjugaison du systeme optique total f lentille correctrice + cristallin g secrit :

C + CP R = 1

OA+

1

OA0

Limage se forme sur la retine si A0 = R ; lorsque le point objet A est a linni, alors1

OA! 0 donc :

C + CP R =1

OR=

10; 0152

donc C = 10;0152 66; 6 = 0; 83 Conclusion.Pour avoir une bonne vision de loin, la convergence de la lentille correctrice doit valoir : C = 0; 83 Elle correspond a une lentille divergente de focale de 1,2 m.Pour corriger la myopie, on utilise des lentilles divergentes (a bords epais).

3. Vision proche de lil corrigeLa convergenceCe1 du systeme total f L + L 0g vaut, lorsque le cristallin a pour focale la valeur minimalef 0P P calculee a la question 1 :

Ce1 = C + CP P = 0; 83 + 74; 1 = 73; 3

Notons A1 la position du punctum proximum du systeme optique total f lentille correctrice + cristalling.Il verie, lorsque le cristallin a pour focale f 0P P :

A1Ly

L 0y R


La relation de conjugaison secrit alors :

1

OA1+

1OR

= C + CP P

1

OA1=

1OR

Ce1 =1

0; 0152 73; 3

dou OA1 = 0; 133 mLe nouveaupunctum proximum est a 13,3 cm de lil corrige.

Il est donc plus eloigne que celui de lil non corrige : un myope a interet a enlever ses lentilles pourobserver de tres pres.

4. Operation laserLa diminution de lepaisseur de la cornee reduit sa courbure, donc rend le systeme cornee+cristallinmoins convergent : on obtient le meme eet quavec lajout dune lentille correctrice divergente.


Chapitre 5 { Instruments doptique

I Instruments de vision proche1 Denitions

Les instruments doptique servent a observer des objets soit proches (loupe, microscope), soit eloignes(lunette de Galilee, lunette astronomique). Ils peuvent aussi servir a faire des pointes ou a mesurer desdistances (viseur) ; dans ce dernier cas le grandissement importe peu.

Le grossissement dun instrument est le rapport de deux angles :

G = 0

ou 0 est langle sous lequel on voit limage de lobjet (a travers linstrument).et est langle sous lequel on voit lobjet a lil nu, a priori p lace au PP de lil :

=ABdm

ou dm = 25 cm (distance minimale de vision proche), ce qui correspond a la meilleure visionproche possible a lil nu.a priori, G depend donc de la position de lil.Le grossissement est une grandeur sans dimension, donc sexprime sans unite.

Denition : Grossissement

Souvent linstrument est regle de maniere a ce que lil de lobservateur soit au repos : limage parlinstrument est donc a linni, et le faisceau a la sortie de linstrument est un faisceau de rayons paralleles ;langle 0 est donc langle entre ce faisceau parallele et laxe optique.

Puissance :

P = 0

AB

La puissanceP est homogene a linverse dune longueur ; elle sexprime en dioptrie, notee , dans le S.I.

2 La loupe

Une loupe simple est constituee dune lentille convergente de dis-tance focalef 0 1 a 10 cm.Lobjet AB est place entre le foyer F et la lentille.Limage est virtuelle, droite et agrandie. Plus lobjet est prochede F , plus limage est grande et eloignee.On a interet a placer lil assez proche de la loupe, pour q ue lesconditions de Gauss soient realisees.

Exercice 11 : Image par une loupeUn objet reel AB est place devant une loupe ; lil E de lobservateur est situe au voisinage deF 0.

1. Construire limage A0B 0, en mettant par exemple lobjet AB au milieu de [FO].Exprimer alors en fonction deAB et dm , 0 en fonction deA0B 0 et EA 0, puis le grossissementG enfonction notamment du grandissement transversal t de la lentille.Lil est-il au repos lorsquil observe a travers la loupe ?

2. Faire la gure dans le cas ou AB est dans le plan focal objet.Exprimer alors 0, puis le grossissementG et la puissanceP .


3. Application numerique partielle : en prenant dm = 1=4 (m), exprimer G en fonction de f 0.Si f 0 varie entre 1 cm et 10 cm, entre quelles valeur varieG ?

1. Loupe : Objet reel entre O et F , lentille convergente

O F 0F

A

B

2. Objet reel dans le plan focal de la loupe

O F 0F

A

B

3. Reponses :P =1f 0

G =1

4f 0Si f 0 varie entre 1 cm et 10 cm,G varie entre 25 et 2,5.


La latitude de mise au point est lintervalle des positions de lobjet tel que limage soit vue nettepar lil : limage donc est situee entre le P.P. et le P.R. de lil.La profondeur de champ est la distance separant ces deux positions extremes de lobjet.

Denition : Latitude de mise au point

Exercice 12 : Latitude de mise au point dune loupeDeterminer la profondeur de champ dune loupe de focale f 0, lil emmetrope etant place au foyer

image F 0 de la lentille. On donne f 0 = 5 cm.La distance minimale de vision nette de lil dm vaut 25 cm.

=f

02

dm

II Instruments de vision eloignee1 Denitions

Le grossissement dun instrument est le rapport de deux angles :

G = 0

ou est langle sous lequel on voit lobjet a lil nu ;Pour des instruments de vision eloignee, lobjet est a l inni, donc et langle forme par le faisceaude rayons paralleles provenant dun point de lobjet, avec laxe optique. 0 est langle sous lequel on voit limage de lobjet (a travers linstrument).a priori, G ne depend pas de la position de lil, si linstru ment est afocal.Le grossissement est une grandeur sans dimension, donc sexprime sans unite.

Denition : Grossissement

Exercice 13 : Vision dun objet a linniUn il au repos regarde un objet etendu situe a linni, de diametre apparent .Representer limage qui se forme sur la retine. Justier alors que plus est grand, plus lil pourra

resoudre les details.

O F 0(retine)F


Un systeme optique est dit afocal si limage dun objet situe a linni, est a linni :

1 y 1

On ne denit donc pas de foyer objet, ni de foyer image, pour un tel systeme.

Denition : Systeme afocal

2 Lunette astronomique

Une lunette astronomique est constituee au moins de deux lentilles ; a lentree : l objectif , a lasortie loculaire .Par denition, le cercle oculaire est le conjugue du diaphragme douverture par le systeme.Le cercle oculaire est donc limage dudisque de la lentille-objectif L 1, qui joue le role dun objetreel, par la lentille-oculaire L 2.

Denition : Objectif, oculaire

L 1 L 2

O1

F 01

F2F 02

cercle oculaire

C

Exercice 14 : Lunette astronomique ( Ecole de lair 2000)On represente une lunette astronomique par deux lentillesminces convergentes : lobjectifL 1 de

distance focalef 01 = 80 cm, de diametre D = 60 mm, et loculaire L 2 de focalef02 = 6 ; 0 mm.

La lunette est reglee a linni (cest-a-dire quelle d onne dun objet a linni une image a linni).1. Quelle est la distanceh entre L 1 et L 2 ? Quel est linteret de ce reglage ?2. Representer sur un schema, sans respecter lechelle,le devenir dun rayon lumineux faisant un angle

avec laxe optique et emergeant sous un angle 0 dans les conditions deGauss .3. Determiner lexpression du grossissement angulaireG =

0

de la lunette en fonction def01 et f

02.

4. On a, au moment de lobservation : la distance Terre-Mars egale a 7; 0:107 km, diametre de Mars6800 km ; la distance Terre-Lune egale a 3; 8:105 km, diametre de la Lune 3400 km.Si on estime langle maximal sous lequel lobservateur voitlimage, a environ 30 , cet observateur voit-ilMars en entier dans la lunette ?Meme question pour la Lune.

5. Tous les rayons incidents qui penetrent dans lobjectif de la lunette donnent des rayons emergents qui,a la sortie de linstrument, passent a linterieur dun c ercle appele cercle oculaire .a. Etablir la relation qui lie le diametre d du cercle oculaire, le diametreD de lobjectif et le grossisse-

ment G.b. Quelle est la position du cercle oculaire par rapport a loculaire ?c. Ou faut-il placer lil pour avoir une observation optim ale ? Quelle taille maximale le cercle oculaire

ne doit-il pas depassera priori , lors dune observation visuelle ?

Lunette afocale


O1 O2F1

F 01 = F2 F02

Cercle oculaire Trace seul des rayons passant parF 01 = F2 :

O1 O2F1

F 01 = F2 F02

Trace des rayons passant parO2 et ceux par F 01 = F2 ; determination du cercle oculaire.

O1 O2F1

F 01 = F2 F02


Trace des rayons extremes, paralleles a laxe optique.

O1 O2F1

F 01 = F2 F02

3 Lunette de Galilee

Exercice 15 : Lunette de Galilee afocaleOn associe sur un meme axe deux lentillesL 1 et L 2 de centres O1 et O2 et de distances focales

f 01 = 20 cm et f02 = 5 cm.

1. Quelle est la valeur deO1O2 pour que le systeme soit afocal ? On supposera quil lest dans la suite.2. Tracer la marche dun faisceau de rayon paralleles quelconque.3. Calculer le grossissement (deni pour un objet situe a linni). Quel est linteret de cette quantite ?4. Pour cette question, la gure sera tracee avecf 01 = 4 cm et f

02 = 1 cm.

Determiner graphiquement limage dun objet frontal A0B0 situe a une distance nie, a gauche de F1,et donner le grandissement transversal. Depend-il de la position de A0B0 ?Quelle est la relation entre le grossissement et le grandissement transversal ?

Marche dun faisceau quelconque

O1

O2

F1

F 01 = F2F02

Image dun objet (a lechelle)


O1 O2F1 F 01 = F2F02A

B

Image dun objet (avec f 01 = 4 cm et f02 = 1 cm)

Tracer notamment les rayons passant par les foyersF1 et F2 = F 01 pour exprimer le grossissementG enfonction des distances focales.

O1 O2F1 F 01 = F2F02A

B


Rad

iofr

eque

nce

Mic

ro-o

nde

Infr

a-ro

uge

Visible

Ultr

a-vi

olet

Ray

ons

X

Rayons

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

1013

1014

1015

1016

1017

1018

1019

f (Hz)

(m)

10 11

10 10

10 9

10 8

10 7

10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

100

101

102

RadionavigationRadio AM

Radio CB

Radio FM

TV analogiquetelephone portablesatellite GPSWi-bluetoothFour a micro-ondesRadar de controle aerien

satellite detelecommunication

Radar de control de vitesse

Camera terahertz

Rayonnment thermique duncorps a temperature ambiante

Telecommande IRJumelle eurolaserAppareil photoPhotolithographie UV

Radiographie medicale

Rouge

OrangeJaune

Vert

Bleu

Violet

UV

IR

400

450

500

550

600

650

700

750

800

350

f (THz)

(nm)

400

450

500

550

600

650

700

750800


Table des matieres

Chapitre 1 { Bases de loptique geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I Introduction a loptique geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1II Formation des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III Application : exemple des miroirs plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chapitre 2 { Systemes optiques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I Le dioptre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II Association de dioptres plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III Dioptre spherique (simple description) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chapitre 3 { Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II Conjugaison par une lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chapitre 4 { Lil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I Constitution physiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II Defauts de lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chapitre 5 { Instruments doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I Instruments de vision proche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II Instruments de vision eloignee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

cours optique

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