1- Coupure d’une poutre

Alors le repère associé à la section de coupure est le repère Rs(G,

X ,

Y ,

Z ) dont l’axe

X est porté par la ligne moyenne et est orienté de la gauche vers la droite. Les axes

Y et

Z peuvent être choisis de manière quelconque, mais souvent l’axe

Y est dans le plan de symétrie de la poutre lorsque celle-ci en possède un.

1.1- Repère associé à une section

Soit une poutre E représentée ci -contre. On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section plane perpendiculaire à la ligne moyenne et de centre de gravité G.

G

2.1- Etude des actions La section S partage la poutre en 2 tronçons : Un à gauche de la section l’autre à droite de la section.

On note : E1 : Le tronçon gauche de la poutre E2 : Le tronçon droite de la poutre E : L’ensemble de la poutre

E : Tout ce qui n’est pas la poutre

Isolons la poutre {T(

E /E)} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur cette poutre

Fb

Fa

Fd

FcCa

Cb

PFS

{T(

E/E)} = {0}

X

Y

Z

1- Coupure d’une poutre 2.1- Etude des actions

Isolons le tronçon gauche de la poutre

{T(

E /E1)} : Le torseur des actions extérieures à la pou tre exercées sur le tronçon gauche de la poutre .

{T(E2/E1)} le torseur de l’action de E2 sur E1

G

Fb

FaCa

CE2/E1

FE2/E1

PFS

{T(

E/E1)}+{T(E2 /E1)}

= {0}

Isolons le tronçon droite la poutre

{T(

E /E2)} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur le tronçon droite de la poutre .

{T(E1/E2)} le torseur de l’action de E1 sur E2

G

Fd

Fc

Cb

CE1/E2

FE1/E2

PFS

{T(

E/E2)}+{T(E1 /E2)}

= {0}

Du principe des actions mutuelles on déduit que : {T(E2 /E1)} = {T(E1 /E2)}

De ces 3 dernières équations on déduit que : {T(

E/E1)} = {T(

E/E2)}

2- Torseur de cohésion

2.1- Définition Le torseur de cohésion dans une section S est le torseur de l’action du tronçon droite de la poutre

sur le tronçon gauche de la poutre : on le note {Tcoh}

{Tcoh } = {T(Droite/Gauche)}

Du paragraphe précédent on en déduit que :

{Tcoh } = {T(Ext/Droite)} = {T(Ext/Gauche)}

Le torseur de cohésion est donc égal à :

- La somme des torseurs des actions exercées sur la partie droite de la poutre - L’opposé de la somme des torseurs des actions exercées sur la partie gauche de la poutre

Ou

2- Torseur de cohésion 2.2- Composantes du torseur de cohésion

Soit Rs(G,

X ,

Y ,

Z ) le repère associé à la section S.

Soit

R et

MG les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure.

On projette ces éléments de réduction sur l’axe

X et sur le plan (

Y ,

Z ) de la section:

Tronçon gauche

X

Y

ZSection S

G

Tronçon gauche

X

Y

ZSection S

G

On définit :

N : Projection de

R sur (G,

X ) Effort normal :

N = N.

X

T : Projection de

R sur (G,

Y ,

Z ) Effort tranchant :

T = TY .

Y + TZ .

Z

Mt : Projection de

MG sur (G,

X ) Moment de torsion :

Mt = Mt .

X

Mf : Projection de

MG sur (G,

Y ,

Z ) Moment de flexion :

Mf = MfY .

Y +MfZ .

Z

N

R

TZ

TYT

Mt

MG

MfZ

MfYMf

2- Torseur de cohésion 2.2- Composantes du torseur de cohésion

Soit Rs(G,

X ,

Y ,

Z ) le repère associé à la section S.

Soit

R et

MG les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure.

On projette ces éléments de réduction sur l’axe

X et sur le plan (

Y ,

Z ) de la section:

Tronçon gauche

X

Y

ZSection S

G

Tronçon gauche

X

Y

ZSection S

G

N

R

TZ

TYT

Mt

MG

MfZ

MfYMf

On projette également

T et

Mf sur les axes

Y et

Z .

On obtient les composantes de

T et

Mf sur

Y et

Z

D’où les composantes du torseur de cohésion au centre de la section S. de la poutre :

{Tcoh} = G

N Mt

TY

TZ

MfY

MfZ

Très souvent, ayant affaire à des problèmes plans on a T z = 0 et M fy = 0 .

3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section

G

N 0

0 00 0

Traction simple

Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation

{Tcoh} =

Tronçon gaucheG X

Y

Z

N

3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section

G

0 0

TY 0TZ 0

Cisaillementpur

G

0 Mt

0 00 0

Torsionsimple

G

0 0

0 MfY

0 MfZ

Souvent : MfY = 0

Flexionpure

Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation

{Tcoh} =

Tronçon gaucheG X

Y

Z

{Tcoh} =

Tronçon gaucheG X

Y

Z

{Tcoh} =

Tronçon gaucheG X

Y

Z

T

Mt

Mf

3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section

G

0 0

TY MfY

TZ MfZ

Souvent : MfY = TZ = 0

Flexion simple

Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation

{Tcoh} =

Tronçon gaucheG X

Y

Z

TMf