1 ) Bosons statistique de Bose-Einstein

les particules sont indiscernables

aucune contrainte sur le nombre de particules par état

Ensemble de règles pour énumérer les états

2 ) Fermions statistique de Fermi-Dirac

les particules sont indiscernables

le nombre de particules par état est 0 ou 1

3 ) Classique statistique de Maxwell-Boltzmann

les particules sont discernables

aucune contrainte sur le nombre de particules par état

Exemple2 particules : A et B3 états : 1, 2 et 3

discernables (A ≠ B)

indiscernables (A = B)

9 états distincts

6 états distincts

3 états distincts

Plu

s re

stri

ctif

(l

e n

om

bre

d’é

tats

dis

ponib

les

pour

le s

yst

èm

e d

imin

ue)

FD < MB < BE

Probabilité que 2 particules soient…

même état

état différent=

3

6=

1

2

=3

3= 1

= 0

répulsionstatistique

attractionstatistique

Exemple2 particules : A et B3 états : 1, 2 et 3

nr : nombre de particules dans l’état quantique r d’énergie εr

Formulation statistique du problème

V, T

• N particules identiques (discernables ou non)

• On néglige toujours les interactions (gaz idéal)

Nombre moyen de particules dans l’état quantique s (ensemble canonique) :

r

Ex: 3 particules, 4 états

état quantiquedu gaz dans

son ensemble

Formulation statistique du problème

Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation

somme restreinte qui exclut l’état s

Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation

ne s’annulent pas !

ns = 0

ns = 1dépend de l’état ‘s’ exclude la sommation

Statistique de photons (cas le plus simple)

Paroichauffée

émet des photons

absorbe des photons

• Photon : boson de masse nulle (spin = 1)

• Aucune restriction sur le nombre de photons

• Statistique de photons cas particulier de la statistique de Bose-Einstein

Bose (1920)

N ≠ cte

Einstein (1925) masse non-nulle

Nombre d’occupation (nombre moyen de particules dans l’état quantique s)

Cette somme n’est plus restreinte à N

n1, n2, etc. prennent toutes les valeurs de nr = 0, 1, 2, … pour chaque valeur de r, peu importe le ns en dehors de la sommation

Statistique de photons

suitegéométrique

Distribution de Planck

Max Planck - 1900(empiriquement)

Nombre moyen de photons dans l’état s d’énergie εs

On peut aussi récrire :

Fonction de partition

(aucune restriction)

Statistique de Fermi-Dirac

• Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N

• Revenons à la définition :

ns = 0 ou 1pour les fermions

somme restreinte surtous les autres états

Énumérationdes étatspossibles

ns = 0 ou 1

n1 = pondération

(contrainte)

Énumérationdes étatspossibles

ns = 0, 1, 2, 3

Statistique de Fermi-Dirac

• Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N

• Revenons à la définition :

(contrainte)

N particules distribuées sur tous les états,excluant l’état sN – 1 particules distribuées sur tous les états,excluant l’état sN – 2 particules distribuées sur tous les états,excluant l’état s (impossible pour les fermions)

ns = 0 ou 1

Fermions →

Bosons →on cherche à relier ces 2 qtés

Si (Taylor)

Comme

représente une somme sur plusieurs états,

ne dépendra pas beaucoup de quel état « s » est exclu de la sommation :

(i.e. somme non-restreinte)

Paramètre de dégénérescence

Distribution de Fermi-Dirac

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs

1) Si εs >>, ns → 0

3) α est déterminé par

2) 0 < exp < ∞

Donc…

Fonction de partition

• Beaucoup plus compliqué que dans le cas de la statistique de photons…

• Il faut passer ici par la fonction de grande partition (PHY 3214 et section 9.6 de Reif) :

=

Statistique de Bose-Einstein

Bosons →

Vu :

Avec

Statistique de photons

→

Distribution de Planck

Distribution de Bose-Einstein

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs

Distribution de Fermi-Dirac

Distribution de Planck (Photons: bosons avec α = 0)

• Paramètre de dégénérescence α déterminé par

• Fonction de partition

+ pour Fermi-Dirac

Statistique de Maxwell-Boltzmann

Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables

Illégal en mécaniquequantique

n1 n2 n3

--------------

1 2 1A BC DA BD CA CD BB . .. . .C . .. . .D . .. . .

Ex :

N = 4 particules (A, B, C, D)

3 états

12 étatsdistincts

permutations

un état R en particulier

Fonction departition

Statistique de Maxwell-Boltzmann

Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables

Fonction departition

Formule du binôme généralisé :

Statistique de Maxwell-Boltzmann

Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables

Fonction departition

Distribution de Maxwell-Boltzmann

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs

( distribution canonique ! )

Statistiques quantiques dans la limite classique

Résumons …

Nombre d’occupation

Fonction de partition

+ Fermi-Dirac

– Bose-Einstein

Signification physique du paramètre de dégénérescence α

α est déterminé par la contrainte :

On peut aussi obtenir sa valeur en passant pas l’énergie libre de Helmholtz :

PotentielchimiqueQuiz : quel est le potentiel

chimique des photons?

Grandeur de α ?

Examinons 2 cas limites1) Densité faible

2) Température élevée

1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque

il faut donc que nr « 1 pour tous les états rpour ne pas excéder N

pour tous les états r

2) Soit N quelconque quand T »

pour tous les états r

«

• Les termes qui contribuent à cette somme (avec α fixe) sont ceux pour lesquels εr « α …

…car pour εr » α , → 0

• Si → 0 (i.e. T »), de plus en plus de termes contribuent à .

>Pour éviter que , α doit augmenter pour que chaque

terme demeure petit :

En résumé…

Concentration faible

Température élevée

c’est la limite classique

pour tous les états r

α »

pour tous les états r

Dans la limite classique :

X

On retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann

Limite classique :(α >>)

BE

FDMB

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs

Paramètre de dégénérescence

Entre0 et 1(Pauli)

Valeurs de α < 0 ou > 0

Pour α >>FD → MB

(gaz non-dégénéré)Pour α << 0ns → 1

(gaz dégénéré)

Valeurs de α > 0 (sinon ns < 0)

Pour α >>BE → MB

(gaz non-dégénéré)

Pour α+βεs = 0, ns → ∞(gaz dégénéré)

Intermédiaire entreFD et BE

Valeurs de α < 0 ou > 0 comme pour FD

ns (BE) > ns (MB)(attraction statistique)

ns (FD) < ns (MB)(répulsion statistique)

MB commenceà faire défaut ici...

Limite classique

Z dans la limite classique

« 1 (limite classique)

ln (1 + x) ~ x – x2/2 + …

nombre de permutations possibles(N particules identiques)

Statistiques quantiques aucun paradoxe

Note

En mécanique quantique, on associe une longueur d’onde à tout objet :

Longueur d’onde dede Broglie

On peut montrer que si d >> λ

distance interparticule

d

λ

1) Si α >>d

non-dégénéré

2) Si α <<d

dégénéré

ns → 1 (FD)

ns → ∞ (BE)

limite classique(problème 9.5)

Pour α+βεs = 0, ns → ∞

Condensation de Bose-Einstein

(gaz dégénéré)

Le condensat de Bose-Einstein

Prix Nobel 2001

Refroidissement par évaporation

400 nK

200 nK

50 nK