1 a-vi le dipôle Électrique il est très fréquent de trouver dans la matière tant minérale...
TRANSCRIPT
1
A-VI Le Dipôle Électrique
Il est très fréquent de trouver dans la matière tant minérale qu’organique, des couples de charges (-q , +q) très voisines l’une de l’autre par rapport aux dimensions d’observation.
De tels couples de charges s’appellent des dipôles électriques caractérisés par un moment dipolaire
La charge –q étant en A, l’autre +q en B.
Le moment dipolaire à une unité : le Debye qui vaut
ABqp
m.C 1031 29
A
B
q
q
p
A-VI.1 Définition
A-VI.2 Potentiel créé par un dipôle
Il s’agit de calculer le potentiel créé en un point M par un couple de deux charges opposées situées à une grande distance du point en question.
Potentiel des deux charges
A grande distance ce potentiel peut s’écrire O
AB-q +q
M
r
Ar
Br
a
a
ABo r
1
r
1
4
qV
3or4
r.pV
3or4
r.pV
ICI
2
3
3or4
r.pV
Établissement de l’expression dans l’approximation a << r
Soit et
Calculons soit
avec quantité << 1. On aura de même avec un calcul du même type
Un expression intermédiaire du potentiel peut être
On utilise l’approximation de linéarisation
Soit l’expression du potentiel créé par le dipôle à grande distance
arOMAOAMrA
2
22222A
r
r.a21rr.a2rr.a2ar)ar).(ar(r
2/1
A u21rr
2r
r.au
2/12/1
o u21r
1
u21r
1
4
qV
2/1B u21rr
nu1)u1( n
3
o2
ooo r
r.p
4
1
r
r.a2
r4
qu2
r4
q)u1(u1
r4
qV
arOMBOBMrB
4
Étude du potentiel du dipôle
Sous forme développée
Équation polaire des équipotentielles dans le plan
étant une constante liée à la valeur constante V du potentiel
Les surfaces équipotentielles sont de révolution
autour de l’axe du dipôle.
2or4
cos p)M(V
p
r
M
)r,p(
V22o
Ar
cos cte
r4
cos p)M(V
VA
p
Équipotentielles Plan à V = 0
Axe du dipôle
5
Potentiel électrique non approximé du dipôle
ABo r
1
r
1
4
qV
P
Pote
ntie
l éle
ctri
que
6
A-VI.3 Champ électrique créé par un dipôle
Reprenons les notations précédentes et calculons directement le champ électrique créé par les deux charges
Le calcul fait dans le cadre de l’approximation à grande distance donne dans le repère
Dans le repère polaire
3A
A3B
B
o
Mqq r
r
r
r
4
qE
pr
r
r.p3
r4
1E
23o
Mp
)r,p(
)u,u( r
OA
B-q +q
M
rAr
Br
a
a
ruu
3o
r r4
cosp2E
MqqE
3or4
sinpE
p
r
M
ru
u
E
rEE
7
Établissement de la formule du champ électrique du dipôle
Reprenons les notations précédentes et calculons directement le champ électrique créé par les deux charges
2/332/33
o
Mqqu21r
ar
u21r
ar
4
qE
arrA 2/1
A u21rr 2r
r.au
2/1
B u21rr arrB
pr
r
r.p3
r4
1a2ru6
r4
qu31)ar(u31)ar(
r4
qE
23o
3o
3o
Mqq
En réintroduisant le vecteur moment dipolaire
En coordonnées polaires
aq2p
OA
B-q +q
M
rAr
Br
a
a
ruu
)u,u( r
usinpucospp r
rurr
MqqE
3o
r r4
cosp2E
3or4
sinpE
p
r
M
ru
u
E
rEE
8
Recherche des lignes de champ du dipôle
Le vecteur élémentaire local de la ligne de champ en coordonnées polaires
doit être parallèle au champ local
La relation de proportionnalité suivante doit être satisfaite
qui avec les expressions des composantes du champ donne
après intégration
urdudrd r
uEuEE rr
sin
dcos2
r
dr Ctsin
r2
E
rd
E
dr
r
p
Lignes de champ
Surfaces équipotentielles
Les surfaces équipotentielles sont données par Ctr
cos 2
9
A-VI.4 Énergie potentielle d’un dipôle
Deux cas se présentent
L’énergie interne d’interaction du dipôle
L’énergie potentielle du dipôle dans un champ électrique extérieur.
Énergie d’interaction interne du dipôle
C’est le cas typique de deux charges ponctuelles en interaction.
A partir de la formule générale vue en A-V
Nous avons directement avec AB = 2a
Expression que l’on peut mettre sous la forme
Énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur
L’expression de cette énergie qui tient compte de la petitesse des dimensions du dipôle par rapport à l’échelle de variation locale du champ s’exprime simplement par
N
1iii Vq
2
1W
A
B
q
q
a8
q
a24
)q()q(
a24
)q()q(
2
1W
o
2
oo
3o
2
a32
pW
E.pWE dans p
E.pW
E dans p
M
Source de champ
créé par la source de champ
E
p
10
Établissement de l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur
Le dipôle a ses deux charges –q en A et +q en B qui, dans le cas général, ne sont pas au même potentiel.
Il est alors possible d’écrire pour l’énergie totale du dipôle dans le champ extérieur
La différence de potentiel entre les points A et B peut se calculer par la circulation du champ électrique
Qui se réduit compte tenu de la proximité de A et B
Le champ ayant une valeur moyenne prise là où se trouve le dipôle dont les dimensions sont telles qu’il peut être ici considéré comme ponctuel à l’échelle des variations de
Il vient alors l’expression de l’énergie cherchée
ABqp
)VV(qV)q(V)q(W ABBAE dans p
BA
B
AVVd.E
AB.EVVd.E BA
B
A
E
E
E.pAB.Eq)VV(qW ABE dans p
A
B
q
q
VA
VB
11
M
créé par la source de champ
E
p
Soit l’angle orienté entre le dipôle et le champ électrique. L’énergie potentielle du dipôle dans le champ extérieur peut s’écrire
Bien que la fonction soit censée être parfaitement connue des titulaires d’un bac scientifique (ce n’est malheureusement plus le cas aujourd’hui), il est instructif de tracer la fonction (en notation simplifiée)
Le tracé montre que l’énergie minimale –pE, situation d’équilibre (voir plus loin), est réalisée pour l’alignement dans le même sens du dipôle sur le champ.
)E,p(
cosE.pE.pWE dans p
cos
cospE)(W
)(W
0
pE
pE
+π+π/2-π/2
-π
12
A-VI.5 Force s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur
M
Source de champ
créé par la source de champ
E
p
Le calcul de cette force est plus difficile que celui mené pour l’énergie potentielle
Il est très facile de montrer que la force totale exercée sur le dipôle est nulle si le champ est uniforme: même champ sur deux charges opposées –q et +q donne
Dans le cas où le champ n’est pas uniforme, bien que les deux charges soient très voisines, cette force n’est pas nulle. Nous donnons dans la page qui suit une démonstration de la formule suivante
Dans le champ électrique le dipôle est doté de l’énergie potentielle
Il est possible de calculer la force exercée par le champ à partir du gradient de l’énergie potentielle, formulation générale de ce type d’action dérivant d’un potentiel
E dans pW
E
0EqEq
E.pgradFE dans p
E.pgradF
E dans p
E
E.pWE dans p
E.pgradWgradFE dans pE dans p
13
Qui n’est autre que la composante en x de la différence des vecteurs champs entre A et B.
La quantité peut se calculer à partir de sa valeur en M, milieu de AB = 2a par l’expression
Nous aurons de même pour l ’autre terme
Il vient pour la composante en x de la force
Un calcul identique pour les autres composantes donne pour le vecteur force
Il est aussi possible d’écrire cette force sous la forme (à montrer en exercice)
Établissement de l’expression
Cette expression est obtenue à partir de la force totale sur le dipôle, somme des forces sur les charges –q et +q.
Il faut estimer la différence sachant que les point A et B sont proches.
Pour se faire estimons la différence de la grandeur scalaire
)EE(qEqEqF ABBAE dans p
A
B
q
qAE BE
AF
BF
M
EEM
AB EE
xAxBxAB EEEE
E.pgradFE dans p
xBE
MB].E[gradEE xMxMxB
MA].E[gradEE xMxMxA
]E[grad.p MA].E[gradMB].E[grad qF xMxMxMxE dans p
k]E[gradj]E[gradi]E[grad .p F zMyMxME dans p
E.pgradFE dans p
14
A-VI.5 Couple s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur
Que le champ soit uniforme ou pas le couple des forces qui s’exerce sur un dipôle placé dans un champ est en général non nul. Calculons le moment des forces par rapport au point M centre du dipôle.
Les deux forces peuvent s’écrire et
Il est suffisant de prendre dans ces deux expressions le champ au point M pour obtenir une expression du couple au premier ordre
Le couple prend la forme
Nous obtenons le résultat à connaître
Le couple est un vecteur orthogonal à et
Sa valeur algébrique est donnée par
l’angle θ étant orienté à partir de la direction fixe du champ de telle manière que le couple soit un couple de rappel vers le champ
A
B
q
qAE BE
AF
BF
M
EEM
)M(
E dans p
AB)M(
E dans pF x MAF x MB
BB EqF
AA EqF
MB EqF
MA EqF
MMM)M(
E dans pE x pEq x MAEq x MB
M)M(
E dans pE x p
M
)M(E dans p
E x p
p
E
sinEp M)M(
E dans p
ME
p
M
)M(E dans p
MEp
M
)M(
E dans p
15
Relation entre le couple de rotation et l’énergie potentielle du dipôle.
Nous remarquons que
Le couple est nul pour
Seule la position en donne un équilibre stable.
Un écart par rapport à cette position ramène le dipôle en , dans le fond du puits de potentiel.
Dans les positions l’équilibre n’est pas stable, le dipôle a tendance à s’en éloigner vers le fond du puits.
sinpEcospE
W
et 0
0
0
)(W )(
+π/2 +π-π/2-π
0
16
A-VI.6 Interaction entre deux dipôles (Complément)
On s’intéresse ici à l’énergie potentielle d’interaction existant entre les deux dipôles.
Les énergies propres de chaque dipôle ne nous intéressent pas ici, seule l’interaction d’un dipôle sur l’autre est à considérer.
Le dipôle crée là où se trouve le dipôle le champ électrique
L’énergie d’interaction de dans ce champ s’écrit
Cette expression est symétrique par échange de et
Il est possible d’écrire
1p
2p
121
3o2p1p
prr
r.p3
r4
1E
2p
2p1p2 E.pW
2122
13
o
p.pr.pr
r.p3
r4
1W
2p
1p
)cos(coscos3r4
ppW 12213o
21
1p
2p
r1
2
-2
0
2
-2
0
2
-2-1
0
1
2
-2
0
2
1
2W
17
A-VI.7 Multipôles (Complément)
Soit une distribution discrète de N charges ponctuelles qi, aux points Mi avec
Ces charges sont voisines d’une origine O et telles qu’au point d’observation M avec
On cherche à estimer le potentiel électrique créé en M par cette distribution de charges en tenant compte des distances relatives.
q1
q2qi
qN
ir
M
r
O
Mi
ii OMr
OMr
rrrr ii
i i
i
o rr
q
4
1)M(V
Développons les quantités en puissances de en allant jusqu’au second ordre
avec et
irr
1 r
ri
2/1
i
u1r
1
rr
1 2
i2i
r
r.r2ru
22/1 u
8
3u
2
11u1
i
2
2i
2i
2i
2ii
o r
r.r2r
8
3
r
r.r2r
2
11
r
q
4
1)M(V
18
Soit Q la charge totale de la distribution
Le premier terme du développement donne potentiel équivalent à l’ensemble des charges concentrées en O.
Le terme du premier ordre qui est en est
Si on introduit le moment multipolaire total
Ce terme potentiel s’écrit équivalent à celui trouvé pour le dipôle.
i
iqQ
r
Q
4
1)M(V
oo
i
3ii
o1
r
r.rq
4
1)M(V
3i
r
r
i
iii
i rqpP
3o
1r
r.P
4
1)M(V