1 2010-11, geii semestre 3mathématiques intégrales 1 - intégrale simple 2 - deux directions de...

12010-11, GEII semestre 3 Mathématiques

Intégrales1 - Intégrale simple2 - Deux directions de généralisation3 - Techniques de calcul4 - Intégrale multiple

Bruno Rossetto, bureau A 37, tél. 06 08 45 48 54 et 04 94 14 27 26

email : [email protected] : http://rossetto.univ-tln.fr


Somme discrète

• Distance parcourue lorsque la vitesse varie par paliers

t0 tnti ti+1

v(t)

v(ti)

h

t

di = v(ti) . h

Distance parcourue durant l’intervalle

de temps ht tavec ,t,t i1i1ii

n

1iin dD: totaleDistance

) v(t.h Dn

1iin

di est l’aire du rectangle hachuré.

Dn est la somme des aires des rectangles


Somme continue• Distance parcourue lorsque la vitesse varie de manière continue

) v(t.h lim D lim totaleDistancen

1ii

nn

n

a = t0 b = tnt t+h

v(t)

v(ti)

h

t


Intégrale simple (1)• Intégrale de Riemann : l’idée

a = t0 b = tnti ti+1

v(t)

v(ti)

h

t

n

tt

n

abh 0n

i1i tth

Aire = h . f(ti)

nn

b

a

Rlimv(t)dt Intégrale

) v(t.h R totaleAiren

1iin

L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des t et les bornes

(Rn est appelé somme de Riemann)


Intégrale simple (2)• Intégrale de Riemann : d’autres idées

a = t0 b = tnti ti+1

f(t)

f(ti+1)

h

t

n

tt

n

abh 0n

i1i tth

Aire = h . f(ti+1)

La somme de Riemann tend vers la même limite, mais par valeurs supérieures, cette fois-ci.

)f(t .h R' totaleAiren

1i1in

nn

b

a

R'limf(t)dt Intégrale

(R’n : somme de Riemann)


Intégrale simple (3)• Intégrale de Riemann : formulation mathématique

Quelles sont les conditions pour que l’intégrale de Riemann existe ?

1 – Pouvons-nous toujours pratiquer le découpage ?

Il faut que la fonction f(x) soit définie pour tout x appartenant à l’intervalle [a, b].

2 – Dans quelles conditions la limite de la somme de Riemann existe-t-elle ?

Il faut que la fonction f(x) soit continue dans l’intervalle [a, b].

D’où la définition:

Soit f(x) une fonction définie et continue dans tout l’intervalle [a, b]. On subdivise cet intervalle en n intervalles égaux de largeur h. Soit x = a + kh. On appelle intégrale de

Riemann la limite de la somme lorsque n tend vers l’infini.

L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des x et les bornes.

b

a

f(x)dxn

n kk 1

R h.f(x )


Théorème de la moyenne

a b

m

M

f(x)

x

f(c)

c c

b

a

dx)x(f ab

1 f(c)

Théorème de la moyenne : soit f une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a, b]. Il existe au moins un point c appartenant à ce segment tel que

Soit m le minimum et M le maximum de la fonction f(x) :

M f(x) m

b

a

b

a

b

a

Mdx f(x)dx mdx

abM f(x)dx abmb

a

a)M(b a)-((b f(c) a)m(b


Propriétés des intégralesLinéarité

Si A et B sont des constantes,

c

bf(t)dt

b

a f(t)dt

c

a f(t)dt

Relation de Chasles

Si a < b < c :

dtb

ag(t)

b

aB f(t) Adt

b

aBg(t)Af(t)

Permutation des bornes :

a

b

b

a

f(t)dt - f(t)dt


Calcul pratique d’une intégrale

hx

x

dt)t(f f(c)h

h

F(x)h)F(xlim

dx

)x(dF0h

)x(fdx

)x(dF

Valeur F(x) d’une intégrale comme fonction de sa borne supérieure x : (1)

Par définition de la dérivée de F(x) :

D’après le théorème de la moyenne, avec a = x et b = x+h, il existe c compris entre x et x+h tel que :

Soit :

hx

x0h

hx

a

x

a0h

f(t)dt h

1lim dt)t(ff(t)dt

h

1lim

dx

)x(dF

Lorsque h tend vers 0, c tend vers x en sorte que

F( )

xx = f(t)dt

a

. En appliquant (1), on trouve que :

F(a)F(b) dx f(x)b

a

, F(x) étant une primitive de f(x).


Simplifications• Exploiter les symétries pour simplifier

1 – Symétrie paire : f(-x) = f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’axe vertical)

L’intégrale sur un intervalle symétriquepar rapport à l’origine est égale à deux fois l’intégrale sur le demi intervalle positif.

2 – Symétrie impaire : f(-x) = - f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’origine)

L’intégrale sur un intervalle symétriquepar rapport à l’origine est nulle.

x0

f(x)

++a-a

x0

f(x)

+_

a

-a

a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

a

a

f (x)dx 0

..

.

.


Exemples• Calcul d’une valeur moyenne

Exemple 2 : calculer la valeur moyenne d’un signal redressé double alternance, qui est aussi le coefficient a0 de son DSF.

Vm

0 T t

V(t)

T

2

TT22m m m

0 00 0

2V 2V 2V2a = V(t) dt = sin(ωt) dt = cos(ωt)

T T T

Exemple 1 : on montre aisément que la moyenne d’un signal sinusoïdal calculée sur un nombre entier de fois sa période est nulle. En effet, l’aire algébrique située au dessus de l’axe horizontal, comptée positivement, est égale à l’aire située au dessous, comptée négativement.

Vm

0

T

t

V(t)

+

_

Sachant que le signal est pair, ce coefficient est donné par :

T

00

1a = V(t) dt

T

+ +

12Mathématiques

Techniques de calcul (1)• Changement de variable

Ne pas oublier de changer les bornes

• Intégration par parties

• Formes trigonométriques On linéarise.

• Fractions rationnelles On décompose en éléments simples - de première espèce - de deuxième espèce

b

a

b a

b

a

du vuvdvu

2010-11, GEII semestre 3


Techniques de calcul (2)

• Changement de variableExemple : Aire d’un cercle de rayon r, d’équation

dx xr 4Ar

0

22

-rx0

r

22 xrf(x)

r

dx r

x1r 4

r

0

2

2

r

dxdθ θ cos ,

r

xsinθ On pose

dθ θcos 4rA2

π

0

22 22

π

0

2 r π dθ 2θ cos1 2r

2 2 2x + y = r

(on n’oublie pas de changer les bornes)



• Intégration par partiesExemple : formule de Stirling. Le calcul approché de log(n!) pour n >> 1 conduit à une intégrale que l’on intègre par parties :

dx log(x) log(i))log(n!n

1

n

1i

On pose x

dxdu log(x), u x v, dvdv et

n

1

n 1

n

1

dx)log( dx log(x) xx n - log(n)n 1nlog(n)n

n

1

n 1

n

1

du v - u v dv uD’après



• Formes trigonométriques : on linéariseExemple : calcul du coefficient an du DSF d’un signal redressé double alternance,

avec n entier. Dans le cas général, ce coefficient est donné par :

Vm

0 T t

V(t)

T T2 2

mn

0 0

4V4a = V(t) cos(nωt) dt = sin(ωt) cos(nωt) dt

T T

On linéarise : 1sin(ωt) cos(nωt) = sin 1 n t + sin 1 n t

2

On distingue le cas où n est pair et impair. Si p est un entier : m2p+1 2p 2

4Va = 0 et a = -

(4p -1)

T

n0

2a = V(t) cos(nωt) dt

T

On tient compte du fait que le signal est pair :



• Fractions rationnelles (1) : on décompose en éléments simples Exemple : décomposition en éléments simples de 1ère espèce :

2 2

1 A B C = + +

(x a) (x b)(x a) (x b) (x a)

x=a1 1

A = x b a b

x=b2 2

1 1 C =

(x a) (b a)

Pour calculer B, on multiplie l’équation par (x-a) et on fait tendre x vers l’infini.

On trouve : B = - C. Les éléments simples peuvent être intégrés directement.

Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (x-a)2 (resp. x - b) et on fait x = a (resp. x = b). On trouve :



• Fractions rationnelles (2) : on décompose en éléments simples

Exemple : le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce :

2 2 2

2 2 22

b 4ac b b 4ac bax +bx+c = a x+ = a X + A , avec A x + et A =

2a 2a 2a4a

2 2 2 2

2

Xddx 1 dX 1 1 XA = = = Arctg + C, C étant une constante

a aA aA Aax +bx+c X +A X + 1

A


Application : calcul d’aires

hb2

1pb

2

1 dx px f(x)dx A 2

b

0

b

0

1 - Aire du triangle de base b et de hauteur h :

b

f(x) = px

pb = h

x0

h

r x-r

r

22 xrf(x)

2 - Aire du cercle de rayon r : équation du cercle:

dx xr 4Ar

0

22

0

dx x

1r 4r

0

2

r

r

dxdθ θ cos ,

r

xsinθ On pose

dθ θcos 4rA2

π

0

22 22

π

0

2 r π dθ 2θ cos1 2r

Equation de la droite OM définissant le triangle: y = f(x)=pxM

2 2 2x + y = r


Deux directions de généralisation

Critères de Riemann :

• La fonction devient infinie

1

f(x)

x

• L’intervalle d’intégration s’étend jusqu’à l’infini

1

f(x)

x

Critère de de Riemann :

1

dx 1 converge si 1 et vaut , diverge si 1.

-1x

1

0

dx diverge si 1 , converge si 1.

x

0


Différentielles et intégrales (1)• Résumé en utilisant la notation différentielle

F(a)F(b) dt v(t) dx xb

a

b

a

dt v(t)dx

La contribution à la distance totale de l’élément dx, situé le long de la courbe v(t), parcouru à la vitesse v(t) durant l’intervalle de temps dt, est :

La distance totale parcourue est la somme des contributions :

a = t0 b = tnt

v(t)

v(ti)

dt

t

dx

où F(x) désigne une primitive de v(t)


Différentielles et intégrales (2)• Applications

20 03 2

idl PM i rd sindBsinθ = sinθ sin

4 4PM r

��

2r0

r d

r

r dθr2

1dA 2

1 - Aire du cercle de rayon r. La contribution à l’aire du secteur de longueur r et d’angle d est l’aire du triangle de base r et hauteur rd :

Aire totale :

2 - Champ magnétique créé à la distance d par une spire de rayon r.

D’après la loi de Biot et Savart, la contribution de l’élément dl est :

22π

0

2 πrdθr2

1A

30z

siniB =

2 r

En intégrant de 0 à 2, on trouve :

r

dB��

dBsin

d

M

Pidl��

d

idl��


Différentielles et intégrales (3)• Applications

3 - Champ magnétique d’un solénoïde comprenant n spires par unité de longueur. Sur un élément de longueur dz, il y a ndz spires. On note que ndz est un nombre sans dimension. D’après ce que nous venons de trouver, la contribution de l’élément de longueur dz est :

30 sinnidzdB =

2 r

dB��

z

M

r

dz

z est relié à l’angle par l’équation

r r cos- z = ,

tg sin

2 2

2 2

- sin cos 1dz = - r d = r d

sin sin

soit

20 0 1 2

1

ni niB = sin d (cos cos )

2 2

soit, pour un solénoïde infini, 0B = ni

0

z


Intégrale multiple (1)

• Définition

δxδy ).y, f(xRn

1iiin

x

yxy

D

On divise le domaine D en n rectangles d’aire x y.

Si la suite

admet une limite finie lorsque n tend vers l’infini, alors f(x,y) est intégrable dans R. On note :

Cette intégrale représente l’aire du domaine D . Les intégrales multiples sont linéaires.

n

i iD n i 1

f(x,y)dxdy lim f(x ,y ). x y


Intégrale multiple (2)1 – Aire du triangle de base b et de hauteur h

Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx

Aire totale :

b

f(x) = px

pb = h

x0

h

hb2

1pb

2

1dxpxdxdyA 2

b

0

px

0

b

0

• Applications

2 – Aire d’une ellipse d’équation

x dxOn pose sin = , cos d = . On trouve : ab

a a

2xb 1

2a aa 2

20 y 0 0

xdxdy = 4 dy dx = 4b 1 dx

a

0

a

b

2 2

2 2

x y + = 1

a bContribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx


Aire d’une sphère

r

r sin

x

y

z

r d

r sind

r

Contribution à l’aire de l’anneau circulairede longueur r sinet de largeur r d

dA = r2 sind

Aire totale :π

2 2A = 2πr sinφ dφ = 4πr

0

• On exploite les symétries

• Intégrale doubleContribution à l’aire de l’élément delongueur r sindet de largeur r d

π 2π π2 2 2A = r dθ sinφ dφ = 2πr sinφ dφ = 4πr

0 0 0

r sin

dA = r2 sindd


r d

r sind

Volume d’une sphère

r

r sin

x

y

z

r

• Intégrale triple

Contribution au volume de l’élément de longueur : r sind de largeur : r d de hauteurdr

drdφ sinφ . dθ r Vπ

0

π

0

r

0

2

3r

0

2 πr3

4dr r4π V

r sin

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