1

2

Les étapesLes étapes• 1- Fin 2002 : Mise en cohérence des programmes des disciplines

scientifiques (commission BACH)

• 2- Eté 2004 : Parution du nouveau programme de 6ème Introduction générale / mise en œuvre : rentrée 2005

• 3- Eté 2005 : Parution des programmes de sciences du cycle central / textes sur les thèmes de convergence/ mise en œuvre : rentrée 2006 : 5ème, rentrée 2007 : 4ème

• 4- Eté 2006 : Parution des textes sur le socle commun

• 5- 2007 : Réécriture des programmes dans la perspective du socle / nouveau programme de 3ème (mise en œuvre 2008)

3

Les objectifs généraux

Comme dans les classes antérieures, l'enseignement des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou infirmer une affirmation, et en les habituant à s'exprimer clairement aussi bien à l'oral qu'à l'écrit.

4

À la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise par les élèves de plusieurs types de savoirs est visée :dans le domaine des nombres et du calcul : calcul numérique (nombres entiers, décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, proportionnalité) et premiers éléments de calcul littéral ; dans le domaine de l’organisation et la gestion de données : premiers éléments de base en statistique descriptive et en probabilité ;dans le domaine géométrique : figures de base et propriétés de configurations du plan et de l'espace ;dans le domaine des grandeurs et de la mesure : grandeurs usuelles, grandeurs composées et changements d’unités ;dans le domaine des TICE : utilisation d’un tableur-grapheur et d’un logiciel de construction géométrique.

Les savoirs visés

5

– poursuivre l’étude des paramètres de position d’une sériestatistique, – aborder l’étude de paramètres de dispersion en vue d’initierles élèves à la lecture critique d’informations chiffrées.

- approcher la notion de fonction ;- acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines - synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ;- poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique;- envisager la notion de résumé statistique ;- mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.

dans la partie “ organisation et gestion de données, fonctions ” 

6

– assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels,– amorcer les calculs sur les radicaux,– faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairagehistorique et une mise en valeur de processus algorithmiques,– compléter les bases du calcul littéral et d’approcher leconcept de fonction ;

- assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels ;- faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique ;- amorcer les calculs sur les radicaux et de poursuivre les calculs sur les puissances ;- compléter les bases du calcul littéral et d’en conforter le sens, notamment par le recours à des équations ou des inéquations du premier degré pour résoudre des problèmes ;

dans la partie “ nombres et calculs ”  

7

– compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans l’espace,- compléter l’approche des transformations par celle de la rotation,- préparer l’outil calcul vectoriel, qui sera exploité au lycée.

- compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans l'espace ;

dans la partie “ géométrie ”

8

dans la partie “ grandeurs et mesures ” :

- compléter les connaissances relatives aux aires et volumes ;- étudier des situations dans lesquelles interviennent des grandeurs composées, notamment du point de vue des changements d’unités.

9

Classe de troisième 1998 Classe de troisième 2008

Fonctions Fonctions linéaires et affi nes.Représentation graphique d’une fonction linéaire ou affi ne.

Notion de fonction Fonction linéaire (détermination, représentation). Fonction affi ne (détermination, représentation).

ORGA

NIS

ATIO

N

GEST

ION

DE

DO

NN

EES/F

ON

CT

I

ON

S

Organisation etgestion dedonnées

Approche de la comparaison de séries statistiques.Caractéristiques de position : médiane

Approche de caractéristiques de dispersion : étendue.I nitiation à l’utilisation de tableurs-grapheurs en statistique

Caractéristiques de position : médiane, quartiles Approche de caractéristiques de dispersion : étendue. Notion de probabilité

Nombres etcalcul numérique

Fractions irréductibles.Calculs comportant des radicaux.Exemples simples d’algorithmes et applicationsnumériques sur ordinateur.

Nombres entiers et rationnels : diviseurs communs à deuxentiers, f ractions irréductibles.Calculs élémentaires sur les radicaux : racine carrée d’un nombrepositif , produit et quotient de deux radicaux.

NO

MBRES

ET

CA

LCU

L

Calcul littéral Factorisation (identités).Problèmes se ramenant au premier degré.I néquations.Systèmes de deux équations du premier degré àdeux inconnus.

Ecritures littérales : puissances, f actorisation, identitésremarquables.Equations et inéquations du premier degré : mise en équation d’unproblème, résolution d’une inéquation du premier degré à uneinconnue et d’un système de deux équations du premier degré àdeux inconnues.Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits.

Figures planes Polygones réguliers.Théorème de Thalès et réciproque.Trigonométrie dans le triangle rectangle.Coordonnées du milieu d’un segment.Coordonnées d’un vecteur.Distance de deux points.

Triangle rectangle : relations trigonométriques.Théorème de Thalès.Angle inscrit, angle au centre.Polygones réguliers.

Configurationsdans l’espace

Sphère. Problèmes de sections planes de solides Problèmes de sections planes de solides.Sphère.G

EO

MET

RIE

Transformations Transformation de figures par rotation, composition desymétries centrales ou de translations.Vecteurs, somme de deux vecteurs.

….

GRA

ND

EU

RS E

T

MES

URES

Grandeurs etmesures

Grandeurs composées.Aire de la sphère, volume de la boule.Étude générale de l’eff et d’une réduction, d’unagrandissement sur des aires, des volumes.Problèmes de changements d’unités pour des grandeurscomposées.

Eff et d’une réduction, d’un agrandissement sur des aires, desvolumes.Aire de la sphère, volume de la boule.Grandeurs composées, changements d'unités.

10

Les documents d ’accompagnement en cours ou en projet

• 1- Résolution de problèmes : des procédures personnelles aux procédures expertes

• 2- Proportionnalité, fonctions

• 3- Organisation et gestion de données

• 4- Evolution des nombres tout au long du collège

• 5- Les différentes formes de calcul

• 6- Le passage du numérique au littéral

• 7- Justification, preuve, démonstration

• 8- Grandeurs et mesures

• 9- Géométrie

11

Les nombres et

le calcul numérique

12

Le calcul numérique

• Un réel problème

• Les trois formes de calcul

• Progressivité des apprentissages

• Des situations qui donnent du sens aux nombres et aux opérations

13

Le calcul littéral

14

Les différents statuts de la lettre au cours des quatre années

6ème 5ème 4ème 3ème

Variable A = l * L

I ndéterminée

k(a+b) = ka + kb

I nconnue

Paramètre

- Variation du statut en fonction de la tâche

- Variation du statut au cours de la résolution d’un même problème

15

Les expressions littérales

En 6ème En 5ème En 4ème En 3ème Utilisation d’un symbole oud’une lettre pour désigner unegrandeur variable dans uneformule

Utilisation et productiond’expressions littérales àl’occasion de l’élaboration deformules ou de la traductiond’un programme de calcul. Mise en place desconventions d’écriture bc pourb xc, 3a pour 3xa ou a x3 etdes notations a2 et a3, sansrendre leur utilisationimmédiatement obligatoire Travail sur l’aspect« structural » d’uneexpression, traduction du f aitqu’un nombre est le suivantd’un nombre, qu’un nombre estmultiple de 7… Test avec des valeursnumériques de l’égalité dedeux expressions littérales.

Réduction d’une expressionlittérale à une variable, ce quinécessite d’une part demaîtriser les conventionsd’écriture mises en place etd’autre part les diff érencesde signification d’écriturescomme a, a2 et a3

Travail sur l’aspect« structural » d’uneexpression : désignation d’unnombre impair, nombres qui sesuivent… Reconnaissance de la f ormed’une expression algébrique :somme, produit Développement d’uneexpression de la f orme(a + b) (c + d)

Distinction du rôle joué parles parenthèses dans lesécritures comme f (x) et k(a +b). Détermination del’expression algébrique d’unefonction linéaire ou affi ne. Factorisation d’uneexpression algébrique danslaquelle le f acteur estapparent. Mise en place et utilisationdes identités fi gurant auxprogrammes.

16

Deux situations d’étude

• Résoudre par l ’algèbre

• Démontrer en calcul littéral

17

Equations : Les différentes étapes au cours des quatre années

En 6ème En 5ème En 4ème En 3èmeUtilisation d’égalitésà trou.Première approchede la notion desolution d’uneéquation, notammentà l’occasion du travailsur la notion dequotient non décimal.L’emploi du motéquation n’est pasindispensable.

Notion de solutiond’une équation :tester à l’occasion dela résolution deproblèmes si uneégalité où fi gure(nt)un ou deux nombresindéterminés estvraie quand on leurattribue des valeursnumériques.

Résolution d’uneéquation du premierdegré à une inconnue.

Résolution d’unsystème de deuxéquations du premierdegré à une inconnue. Résolution d’uneéquation de la f ormeA(x).B(x) = 0 où A(x)et B(x) sont deuxexpressions dupremier degré Résolution d’uneinéquation du premierdegré à une inconnue.

18

Démontrer dans le domaine du calcul littéral

Une nécessité :

- Distorsion non souhaitable entre le géométrique et le numérique dans la mise en place de la démonstration- Souligner les cohérences internes : par exemple, prouver des résultats sur les entiers avec le calcul littéral

Exemples :- Sur un exemple générique : la somme de deux multiples d ’un nombre est un multiple de ce nombre.- La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3

- Si d divise a et b alors d divise a-b et b….

- Document d’accompagnement

19

La géométrie

20

Deux problèmes récurrents : La formalisation d’une démonstration

- La rédaction obéit à des règles strictes de structuration. (appui sur les connecteurs de langage de la langue

française)

- Pas un seul modèle admissible

- Problème des implicites (conventions liant l'émetteur et le récepteur)

Importance des problèmes de construction- Les trois géométries

21

Organisation et gestion de données Fonction

22

L'un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre.

Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires.

Les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des exemples particuliers de tels processus.

Introduction de le notion de fonction

23

Une boîte est fabriquée dans une plaque de carton carrée de côté 20 à partir du patron ci-contre (les parties vertes sont des découpes carrées de côté x). Déterminer le volume maximum que la boîte peut contenir.

20

x

Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d ’optimisation

Un classique: le volume de la boîte

Intérêts : Introduction d’une relation fonctionnelle x x (20 2x)2 Utilisation d’un calculateur-grapheur Conjecture accessible Max = 591 ….

24

x 20 - 2x V(x) =x(20 - 2x)²0 20 0

0,5 19 180,51 18 324

1,5 17 433,52 16 512

2,5 15 562,53 14 588

3,5 13 591,54 12 576

4,5 11 544,55 10 500

5,5 9 445,56 8 384

6,5 7 318,57 6 252

7,5 5 187,58 4 128

8,5 3 76,59 2 36

9,5 1 9,510 0 0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10

25

Déterminer le triangle rectangle AMB inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB dont le périmètre est maximum

Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d ’optimisation

Un autre classique: le périmètre d ’un triangle rectangle

xA B

M

1

O

h

I n t é r ê t s :

I n t r o d u c t i o n d ’ u n e r e l a t i o n f o n c t i o n n e l l e x xx 242 ( é l a b o r a t i o n d ’ u n e f o r m u l e ) P o s s i b i l i t é d e m a t é r i a l i s e r l e s l o n g u e u r s M A + M B ( p a r r e p o r t d e s s e g m e n t s ) U t i l i s a t i o n d ’ u n c a l c u l a t e u r - g r a p h e u r ( c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e n o n t r i v i a l e ) C o n j e c t u r e a c c e s s i b l e p a r l e d e s s i n e t p a r l e t a b l e u r D é m o n s t r a t i o n p o s s i b l e : a v e c u n c h a n g e m e n t d e c a d r e :

( M A + M B ) 2 = M A 2 + M B 2 + 2 M A .M B … . = A B 2 + 4 A i r e ( A M B ) .… = 4 + 2 ( h 2 )M A + M B e s t m a x i m u m l o r s q u e h e s t m a x i m u m …

26

x 2x Racine (2x) 4 -2x Racine(4-2x) L(x)0 0 0,00 4 2,00 2,00

0,1 0,2 0,45 3,8 1,95 2,400,2 0,4 0,63 3,6 1,90 2,530,3 0,6 0,77 3,4 1,84 2,620,4 0,8 0,89 3,2 1,79 2,680,5 1 1,00 3 1,73 2,730,6 1,2 1,10 2,8 1,67 2,770,7 1,4 1,18 2,6 1,61 2,800,8 1,6 1,26 2,4 1,55 2,810,9 1,8 1,34 2,2 1,48 2,82

1 2 1,41 2 1,41 2,831,1 2,2 1,48 1,8 1,34 2,821,2 2,4 1,55 1,6 1,26 2,811,3 2,6 1,61 1,4 1,18 2,801,4 2,8 1,67 1,2 1,10 2,771,5 3 1,73 1 1,00 2,731,6 3,2 1,79 0,8 0,89 2,681,7 3,4 1,84 0,6 0,77 2,621,8 3,6 1,90 0,4 0,63 2,531,9 3,8 1,95 0,2 0,45 2,40

2 4 2,00 0 0,00 2,00

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0 0,5 1 1,5 2

27

Un sauveteur, situé en S, se porte au secours d’un nageur N en difficulté. En quel point P doit-il entrer dans l ’eau pour que la durée de l ’intervention soit la plus courte ?

Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d ’optimisation

Un autre exemple : le sauvetage

S

P ? 

NVitesse sur le sable : 12 km/hVitesse dans l’eau : 6 km/hSH = 30 m NH = 10 m

H

Intérêts :

Introduction d’une relation fonctionnelle plus complexe mais accessible avec d=vt et Pythagore:

x k (x + 2 10030 2 x ) (élaboration d’une formule) Possibilité de matérialiser géométriquement différents parcours (plus difficile) Utilisation d’un calculateur-grapheur Résultat approché par le dessin et par le tableur….

28

x 30-x (30-x)2+100 Racine((30-x)2+100)) D(x) 0 30,00 1000,00 31,62 63,251 29,00 941,00 30,68 62,352 28,00 884,00 29,73 61,463 27,00 829,00 28,79 60,584 26,00 776,00 27,86 59,715 25,00 725,00 26,93 58,856 24,00 676,00 26,00 58,007 23,00 629,00 25,08 57,168 22,00 584,00 24,17 56,339 21,00 541,00 23,26 55,52

10 20,00 500,00 22,36 54,7211 19,00 461,00 21,47 53,9412 18,00 424,00 20,59 53,1813 17,00 389,00 19,72 52,4514 16,00 356,00 18,87 51,7415 15,00 325,00 18,03 51,0616 14,00 296,00 17,20 50,4117 13,00 269,00 16,40 49,8018 12,00 244,00 15,62 49,2419 11,00 221,00 14,87 48,7320 10,00 200,00 14,14 48,2821 9,00 181,00 13,45 47,9122 8,00 164,00 12,81 47,6123 7,00 149,00 12,21 47,4124 6,00 136,00 11,66 47,3225 5,00 125,00 11,18 47,3626 4,00 116,00 10,77 47,5427 3,00 109,00 10,44 47,8828 2,00 104,00 10,20 48,4029 1,00 101,00 10,05 49,1030 0,00 100,00 10,00 50,00

D(x)

0 5 10 15 20 25 30

•La précision au mètre est suffisante !

•Si la durée est exprimée en secondes, le facteur k est 3600/12000.

La fonction à étudier est :

Le temps minimum d’intervention est environ de 14 secondes

x 0,3 (x + 2 100302x )

29

Retour sur les outils disponibles au collège

• Les tableaux calculs d ’effectifs et fréquences

• Les représentations graphiques- diagrammes- histogrammes

• Les caractérisations numériques- moyennes- médianes et quartiles- étendue

Boîte de Tuckey

Statistiques

30

Comparaison des départements(diagrammes en boîtes)

418721

526707770

1407978

13071458

3012

2465 2467

1505

1977

2394

2806

0

1000

2000

3000

4000

Département

Nom

bre

d'ha

bita

nts

par

com

mun

e

Région Bretagne Source : Recensement 1999

31

Probabilités du programme de 3e

32

La nouveauté dans les programmes de 3e

les probabilités

Le programme de la classe de troisième a pour objectif de permettre : dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions » :- d’approcher la notion de fonction ;- d’acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ;- de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;- de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité ;...

33

Extrait du bandeau relatif au titre

1. Organisation et gestion de données, fonctions.

Pour les séries statistiques, l'étude des paramètres de position est poursuivie : médiane et quartiles. Une première approche de la dispersion est envisagée. L'éducation mathématique rejoint ici l'éducation du citoyen : prendre l'habitude de s'interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l'information apportée par un résumé statistique.

De même, c’est pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité.

34

Contenus

1.4 Notion de probabilité

[Thèmes de convergence]

Compétences

Comprendre et utiliser des notions élémentaires à propos des probabilités dans des contextes familiers d’expérimentation.

Exemples d’activité, commentaires

La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes).

Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquelles les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités).

35

Exemples d’activité, commentaires

La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves.

Il y aura un document d’accompagnement portant spécialement sur les probabilités et leur enseignement en 3e …

36

Les situations familières concernant les instruments produisant du hasard

P FP F P FP F

P

G

P F

P

G

37

P F

P

G

P F

P

G

G PEn lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de G et de P. Pour un petit nombre d’expériences, cette suite ne semble suivre aucune loi ; mais le résultat global laisse apparaître une régularité dans la fréquence de sortie de P et de G. Au début, la fréquence (relative) du nombre de G varie très fortement. Mais à la longue, elle tend à se stabiliser autour d’une valeur p [qui vaut à peu près 5/6].

C’est pour traduire ce fait empirique que l’on dit que la probabilité d’obtenir G est p.

Pour le lancer de la punaise, on ne peut approcher cette probabilité que par l’expérimentation.

38

En revanche, pour les jeux évoqués précédemment, on peut obtenir la probabilité d’un résultat (d’une issue) par des considérations de symétrie ou de comparaison.

P FP F

P F

P F

P

G

P F

P

G

Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles ont la même probabilité : 1/2

La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5.On a 3 chances sur 5 d’obtenir une boule rouge.

La probabilité de gagner est 1/4, …

39

Autres exemples :

P F

P

G

P

G

1

2

3

4

5

6

Chaque résultat a la même probabilité : 1/6.

P

G

1

2

3

4

5

6

1

1

1

12

2

3

3

3

4

4

5

Les résultats 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement comme probabilités :1/3, 1/6, 1/4, 1/6 et 1/12.

La probabilité d’obtenir un résultat pair est 1/6 + 1/6, c’est-à-dire 1/3.

40

13

2

3

2

1

1

1

12

2

3

3

3

4

4

5

0,5

10 9 8 7 6 5

Un tireur novice tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et 6r.

Quelles sont les probabilités pour le tireur d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?

Réponse : 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36.

13

2

3

2

1

1

1

12

2

3

3

3

4

4

5

0,5

10 9 8 7 6 5

90

Le même tireur tire parfaitement au hasard sur cette nouvelle cible. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et le carré a un côté de longueur 12r.

Quelles sont les probabilités pour le tireur d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?

Réponse : 0,022 ; 0,065 ; 0,109 ; 0,153 ; 0,196 ; 0,455.

41

Expériences à deux épreuves

R

B

1/4

3/4

1

1

2

2

3

3

1/6

1/6

1/2

1/2

1/3

1/3

Les résultats possibles sont (R, 1), (R, 2), (R, 3), (B, 1), (B, 2), (B, 3).

Chacun de ces résultats est représenté dans l’arbre ci-contre par une branche (ou chemin).

Comment évaluer la probabilité de chacun d’eux ?

B

R 1

2

22

3

3

42

Imaginons que l’on reproduise 120 (ou N) fois l’expérience.1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc il y en aura :

1

61

4120 ou

1

61

4N

soit 5 ou 1

24N

La fréquence (relative) du résultat (R, 1) est donc 5/120 (ou 1/24).

Ceci conduit à admettre que, de manière générale, la probabilité “d’un chemin” est égale au produit des probabilités “rencontrées le long de ce chemin”.

43

On peut traiter avec ces représentations en arbres les questions relatives à deux tirages successifs dans une urne, avec remise ou sans remise.

Urne avec 3 boules Bleues, 2 boules Jaunes, 1 boule RougeProbabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.

Tirages sans remise

BB

J

R1/6

1/3

1/2

J2/5

B3/5

R

J

B

1/51/5

3/5

R

J

B

1/52/5

2/5

P(E) = 1/3 . 1/5 + 1/2 . 2/5 = 4/15 27%

Tirages avec remise

1/6

1/3

1/2

1/61/3

1/21/6

1/3

1/2

R

R

J J

B

B

P(E) = 1/6 . 1/6 + 1/3 . 1/3 + 1/2 . 1/2 = 7/18 39 %

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Exemple tiré de l’article de Bernard Parzysz “Un outil sous-estimé : l’arbre probabiliste”. Bulletin de l’APMEP n° 372, pp 47-52, 1990.

ScrutinGroupe I : électeurs de moins de 35 ans ; 38% de l’ensemble des électeurs.Groupe II : électeurs de 35 à 60 ans ; 43% de l’ensemble des électeurs.Groupe III : électeurs de plus de 60 ans ;19% de l’ensemble des électeurs.

Taux de participation :Groupe I : 81%Groupe II : 84%Groupe III : 69%

On choisit un électeur au hasard. Quelle est la probabilité qu’il ait voté ?Quel est le taux de participation au scrutin ?

0,38

0,43

0,19

0,81 V

Non V

0,84

I

II

III0,69

V

VNon V

Non V

P = 0,38.0,81+ 0,43.0.84+ 0,19.0,69 0,80.