06-epr
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Concours National Commun Session 2006 Filiere MP
Lepreuve est composee de deux problemes independants et peuvent etre traites dans un ordre
quelconque. Dans les applications numeriques, qui ne doivent pas etre negligees, une attentionparticuliere sera pretee au nombre de chiffres a utiliser pour afficher les resultats. Ce nombre, quidepend en general du niveau de precision recherche, ne doit en aucun cas depasser le nombre dechiffres significatifs permis par les donnees. La valeur numerique de toute grandeur physique doitetre accompagnee de son unite dans le systeme international des unites (SI).
Si, au cours de lepreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur denonce, il le signale sur sacopie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amene a prendre.
On dispose dun reservoir Rde temperature constante de grande capacite, contenant un gazdiatomique
, sous une pression
et une temperature ! $ &
constantes.On admettra dans la suite que le volume de ce reservoir est tel que lon pourra lassimiler
a un generateur de gaz comprime parfait. Cest-a-dire que la pression dans le reservoir Restindependante de la quantite de gaz qui peut en sortir.
On admettra de plus dans tout le probleme que
est un gaz parfait diatomique rigide demasse molaire (
1 4 6 8 @ B D E G 4 P. On prendra pour valeur de la constante des gaz parfaits
R
1 T $ V B & 4 P B D E G 4 P
.
1ere partie
Etude dun reservoir a gaz
Un cylindre indeformable C isole thermiquement de lexterieur est separe, a laide dun piston`
a parois athermanes, en deux compartiments CP
et Ca , de volumes respectifs bP
etb
a
. Le piston`
, de masse negligeable, peut glisser sans frottement tout en restant perpendiculaire a laxe c ducylindre C(figure 1).
CP
peut etre mis en communication avec le reservoir Rpar lintermediaire dune vanne VP
etavec Ca par lintermediaire dune vanne V
P
a.
Ca peut etre mis en communication avec un autre reservoir R!
au moyen dune vanne Va .
On negligera systematiquement tout transfert thermique a travers une vanne fermee.
de d e
On note g le rapport des capacites calorifiques a pression et a volume constant et on donne,pour les gaz diatomiques rigides,
g i
.
pq p q p q
Donner un exemple de gaz diatomique.
pq p q s q
Exprimer les capacites calorifiques molaires a volume constant tu
et a pression constantet
w
pour un gaz parfait diatomique rigide en fonction deg
etR
. Application numerique.
de y e
Le piston`
est bloque. Le compartiment CP
de volume bP
constant contient le gaz
a la temperature
! $ &
et sous la pression
!
. Les vannes VPa
et Va
etant fermees,on ouvre brutalement la vanne V
P
afin de remplir le compartiment CP
avec le gaz
.
Epreuve de Physique I 1 / 8 Tournez la page S.V.P.
Premier probleme : Thermodynamique
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M.A FEKIR
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C
CP
b
P
Ca b a
c
`
VP
Va
VP
a
R
R!
Figure 1: Reservoirs relies a un cylindre a piston.
pq s q p q
Exprimer la quantite de matiere
P
du gaz contenu initialement dans le compartimentC
P
en fonction des donnees du probleme. Application numerique.
pq s q s q
Que vaut la pression P
dans le compartiment CP
a la fin de loperation ?
pq s q q
Exprimer de meme la quantite de matiere
du gaz qui passe du reservoir Rdans lecompartiment C
P
en fonction deR
, !
,
, bP
, !
et de la temperature P
du gaz contenu dans CP
ala fin de loperation.
On considere comme systeme le gaz contenu initialement dans CP
(quantite de matiere
P
) et legaz qui passe de Ra C
P
(quantite de matiere
).
pq s q q
Exprimer la variation c
de lenergie interne du systeme en fonction de
,
P
, !
, P
, get
R
.
pq s q q
Exprimer le travail
recu par le systeme en fonction de la pression
et du volume b
quoccupait la quantite de matiere
du gaz dans le reservoir R.
pq s q q
En deduire la temperature finale
P
du gaz. Pour cela on pourra appliquer le premierprincipe de la thermodynamique apres avoir montre que la transformation peut etre consideree
comme adiabatique. On exprimera P
en fonction de , ! , ! et g . Application numerique.
de e
Le piston`
etant toujours bloque et le compartiment Ca parfaitement vide, on ferme la vanneV
P
puis on ouvre la vanne VP
a . La tuyauterie est thermiquement isolee de lexterieur, mais permetlechange thermique entre C
P
et Ca quand VP
aest ouverte. On donne
b
P
etb
a A T
. Soit
a
la temperature du gaz lorsque lequilibre est atteint.
pq q p q
Comment appelle-t-on une telle transformation ?
pq q s q
En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que a
P
.
pq q q
La transformation du gaz est-elle reversible ? Determiner lexpression de la variationdentropie c
en fonction de
, b
P
, ba
et P
. On justifiera soigneusement la methode utilisee.
Epreuve de Physique I 2 / 8
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Commenter le resultat obtenu.
pq q q
Calculer numeriquement c
et commenter le resultat obtenu. On donne G
5 T 1 .
pq q q
Letat final du systeme depend-il de lordre de fermeture et douverture des vannes VP
etV
P
a ? Expliquer brievement.
de
e
Le piston`
etant bloque et la vanne VP
a fermee, le compartiment CP
de volume bP
estrempli a laide du reservoir R. La temperature du gaz contenu dans C
P
est alors ! $ &
.
Le compartiment Ca est rempli a laide dun reservoir R!
contenant un gaz parfait
! a lapression
. On donnet u $
R
la capacite calorifique molaire a volume constant de
!
et on noteg
!
son rapport de capacites calorifiques a pression constante et a volume constant.
Dans letat initial, la temperature du gaz
! contenu dans Ca est ! $ & et on note le volumeb
a
du compartiment Ca sous la forme b a
b ! ou b
C ! T et
est un parametre reelpouvant varier de a max.
Les vannes VP
a et Va restant fermees, la vanne VP
est a nouveau ouverte. On debloque le piston`
et on le bloque a nouveau des que la pression est la meme dans les deux compartiments.p
q q p q
Determiner la quantite de matiere a
du gaz
! dans le compartiment Ca en fonction de
, b
!et
!.
pq q s q
Donner lexpression du volumeb a
occupe par le gaz de Ca dans letat final en fonctionde sa temperature ainsi que de
!et b
!.
pq q q
En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que la temperature
du gaz
!contenu dans Ca est donnee par :
$"
% !
pq q q
En deduire lexpression deb a
en fonction deb
!
et
.
pq q q
Determiner la variation dentropiec
du gaz
!contenu dans Ca en fonction de , b ! ,
!
et
.
pq q q & ( ( 1 2 3 4 6 2 9 @ B @ E F G
IP
2 Q E
I
B
pq q q p q
Calculer numeriquement et c
pour
. On donne G
T S U
et G $
T
.
pq q q s q
Determiner la valeur numerique de c
pour
et pour tendant vers zero.
pq q q q
Determiner max ainsi que la valeur numerique de c lorsque max. On donne
G D X
%
1T U
.
pq q
Yq
Representerc
en fonction de
et commenter le graphique obtenu.
2eme partie
Etude dun moteur a piston
Un moteur a piston est constitue dun cylindre calorifuge de volume b`
T 1
, muni de deuxsoupapes b
P
et ba
et dun piston`
athermane pouvant glisser sans frottement le long de laxe du
cylindre (figure 2). Le cylindre est relie a laide de la soupapeb
P au reservoir a gaz Retudie en 1,rempli du gaz parfait
.
Epreuve de Physique I 3 / 8 Tournez la page S.V.P.
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`
R
b
P
ba
& b
Figure 2: Moteur a piston.
ye d e
Initialement le piston est place contre la culasse&
et le volume de gaz enferme dans lecylindre est nul. La soupape ba
etant fermee, on ouvre la soupape bP
pour mettre le cylindre encommunication avec le reservoirR. Le piston se deplace alors vers la droite jusqua ce que le volume
b du gaz enferme dans le cylindre soit egal a
. Pour les applications numeriques, on prendra
.
sq p q p q
Que vaut la pression a linterieur du cylindre a la fin de cette premiere etape ? Commentappelle-t-on une telle transformation ?
sq p q s q
Exprimer la quantite de matiere
!
admise dans le cylindre a la fin de cette etape enfonction de
, b ` , et de la temperature
P
du gaz dans le cylindre.
sq p q q
En appliquant le premier principe de la thermodynamique, exprimer
P
en fonction de
!.
sq p q q
Calculer numeriquement ! .
ye y e
A la fin de la premiere etape, alors que la soupape b a est toujours fermee, la soupape bP
seferme et le gaz enferme subit une detente adiabatique, que lon suppose reversible, jusqua ce quele volume du cylindre soit egal a
b`
.
sq s q p q
Exprimer la pression a
dans le cylindre a la fin de cette deuxieme etape en fonction
,g
et
. Application numerique. On donne
i
UT
.s
q s q s q
Exprimer le travail
a recu par le gaz au cours de cette etape en fonction de
, b ` , g et .
ye e
A la fin de la deuxieme etape, la soupapeb
a
souvre mettant le gaz contenu dans le cylindreen communication avec lexterieur ou la pression est
!
. Le piston reste dabordimmobile ( b
b` ) tant que la pression
!, ensuite il est ramene vers la culasse jusqua b
.
Un nouveau cycle peut alors commencer.
sq q p q
Tracer lallure du diagramme de WATT donnant la pression du gaz, en ordonnee, en
fonction du volumeb
quil occupe. Indiquer les points remarquables et preciser le sens de parcoursdu cycle.
Epreuve de Physique I 4 / 8
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sq q s q
Determiner lexpression du travail
! fourni au gaz par le piston au cours dun cycle enfonction de
!
,
,b `
,g
et . Application numerique.
sq q q
Quel doit etre, en regime stationnaire, le debit massique
P
du gaz pour que la puissancemecanique du moteur soit P 8 ? On donnera lexpression litterale de
P
en fonction de P, ! ,
,b `
,
!
,(
,R
,g
et et on calculera numeriquement
P
en8
@
.
sq q q p q
Calculer numeriquement la duree c
dun cycle dans ces conditions.
3eme partie
Etude dun moteur a turbine
Un moteur a turbine (figure 3) est constitue dune tuyere
calorifugee, au milieu de laquelle setrouve une turbine T. Le gaz
du reservoir Rde la partie 1, est injecte a lentree de la tuyere. Ilactionne la turbine puis sort dans latmosphere, a la pression
!
avec une vitesse negligeable. Onsinteresse au regime de fonctionnement stationnaire.
R
!
T
Figure 3: Moteur a turbine.
e d e
On suppose que le gaz
subit une detente adiabatique reversible. Soit
le travail fournia une mole de gaz par la turbine.
q p q p q
Rappeler lexpression du premier principe de la thermodynamique pour un systemeouvert.
q p q s q
En deduire que, dans le cas du modele de moteur a turbine etudie, le travail
estsimplement relie a la variation denthalpie molaire du gaz entre lentree et la sortie de la tuyere.
q p q q
En deduire lexpression de
en fonction de
!
, !
,
,g
etR
. Application numerique.Preciser le signe de
et commenter le resultat obtenu. On donne
i
T
.
q p q q
Quel doit etre le debit massique
a pour que la turbine ait une puissance P 8 ? On
exprimera a en fonction de P, et la masse molaire ( du gaz
. Application numerique.
e y e
Pour tenir compte des irreversibilites, on admet que lors de la detente adiabatique, lapression
et le volume
bsont relies par la loi polytropique :
b constante avec
T S
q s q p q
Determiner, dans ces conditions, le travail
fourni a une mole de gaz par la turbine.Application numerique. On donne
"
a$
T S
.
q s q s q
Quel est le debit massique correspondant&
a
assurant une puissance P 8
de laturbine ?
Epreuve de Physique I 5 / 8 Tournez la page S.V.P.
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4eme partie
Etude dun moteur a reaction
On utilise le reservoir Rpour faire fonctionner un moteur a reaction. Le gaz
est envoye dansune tuyere calorifugee
a la sortie de laquelle regne la pression
!
et ou la vitesse dugaz nest plus negligeable (figure 4). On sinteresse au regime de fonctionnement stationnaire et onneglige la vitesse du gaz a la sortie du reservoir.
R
!
Figure 4: Moteur a reaction.
Pour tenir compte des irreversibilites, on admet la loi devolution polytropique :
b
constante avec
T
%
e d e
En appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un systeme ouvert, exprimerla vitesse dejection des gaz en fonction de
(,
g,
R
,
!
, !
,
et
. Application numerique. Ondonne
P
P 6
% T $.
e y e
Quel est le debit massique
6
du gaz permettant davoir une puissance cinetique dejectionP 8 ?
On considere le systeme mecanique represente figure 1.
est une barre homogene de masse et de longueur
. Lextremite
de la barre est assujetie a se deplacer, sans frottement, le longde laxe materialise par
. On note
le centre dinertie de la barre repere par ses coordonneescartesiennes
T . Lorientation de la barre dans le plan
est reperee par langle
quelle fait
avec la verticale. Le champ de pesanteur est uniforme et donne par :
En plus de son poids, la barre est soumise a laction dune force de rappel appliquee au point
etschematisee par un ressort de raideur
et de longueur !
a vide. Au passage de lextremite
de labarre par lorigine
(
`
), la longueur du ressort est egale a sa longueur a vide
!.
On sinteresse aux mouvements doscillation de la barre
dans le plan
. Toute letude seramenee dans le referentiel du laboratoire suppose galileen.
On donne le moment dinertie
de la barre
par rapport a un axec
perpendiculaire a labarre et passant par son centre dinertie
:
a
$
Epreuve de Physique I 6 / 8
Deuxieme probleme : Mecanique
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`
Figure 1: Systeme mecanique.
1ere partie
Mise en equation
de d e
pq p q p q
Exprimer
en fonction de
et
.
pq p q s q
Exprimer de meme la coordonnee `
donnant la position de lextremite
de la barre,
`
, en fonction de
,
et
.
de y e
On se propose de determiner les equations du mouvement de la barre.
pq s q p q
Faire le bilan des efforts exerces sur la barre en mouvement et representer schematique-ment leurs resultantes sur une figure.
pq s q s q
Ecrire le theoreme de la resultante cinetique (TRC) applique a la barre
.
pq s q q
En deduire lexpression de la reaction
R
de laxe
en fonction de , ,
,
,
et
ainsi
quune equation du mouvement reliant
,
et
. On posera :
P
pq s q q
Ecrire le theoreme du moment cinetique (TMC) en
.
pq s q q
En deduire, a laide dune projection convenable, une deuxieme equation du mouvementde la barre reliant
,
,
et
. On posera :
a
$
2eme partie
Etude des petites oscillations de la barre
On sinteresse aux petits mouvements de la barre
. Dans ce cas,
et
ainsi que toutes leursderivees temporelles sont supposes etre des infiniment petits de premier ordre.
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ye d e
En linearisant les equations du mouvement obtenues precedemment, montrer que, dans cecas, le mouvement general de la barre est decrit par :
"
a
P
a
P
" $
a
P
"
a
a
$
a
P
ou lon a pose
.
ye y e
On cherche les modes propres doscillation de la barre sous la forme, en notation complexe :
ou
est le nombre complexe de module et dargument "
a
.
et
sont deux constantes complexes.
sq s q p q
Montrer que
et
sont solutions du systeme lineaire homogene suivant :
a
P
a
a
P
$
a
P
" $
a
P
"
a
a
a
sq s q s q
A quelle condition ce systeme admet-il des solutions non identiquement nulles ?
sq s q q
En deduire que
est solution de lequation :
%
a
P
"
a
a
a
"
a
P
a
a
sq s q q
Montrer alors que, dans le cadre des petites oscillations, le mouvement libre le plusgeneral est donne par :
P
P
"
a
a
P
P
"
a
a
et donner les expressions de
P
et
a en fonction de P
et a . On prendra
P
a . Commentdetermine-t-on
P
,
a
,
P
et
a
?
ye e
Initialement (
), lextremite
etant au repos en
, on ecarte la barre
dun angle !
tres faible par rapport a la verticale et on la lache sans vitesse initiale.
sq q p q
Determiner les constantes
P
,
a
,
P
et
a
.
sq q s q
Que vaut
? Commenter.
sq q q
En deduire lexpression de
en fonction de
P
,
a,
!
et
. Lexpression obtenuesemble-t-elle en accord avec le resultat de la question 2
B3
B2
B? Expliquer.
FI N D E LEPREUVE
Epreuve de Physique I 8 / 8 FIN