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8/17/2019 05 - 2 - Conjuntos Numéricos.pdf

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M atemática

Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral


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Conjuntos Numéricos

Conjunto Símbolo

Números Naturais Números Inteiros

Números Racionais

Números Irracionais

Números Reais


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Conjunto dos números irracionaisComo vimos, existem números decimais que podem ser escritosna forma fracionaria, e denominamos estes como númerosracionais. No entanto, existem números decimais que nãopodem ser escritos na forma fracionaria, são os decimaisinfinitos não-periódicos. Estes números são chamados de

números irracionais.Exemplo:

a) 2 = 1,4142135 … , note que não temos um valor querepete.

b) 3 = 1,7320508 …

c) = 3,1415926535 …


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Raiz Quadrada

Lembrete:


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Raiz Quadrada

Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que,elevado ao quadrado, gera o valor desejado!!!Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde aonúmero 5, pois 5² é igual a 25. Em algumas situações, descobriresse número por tentativa pode ser muito cansativo e bastantecomplicado. Para resolver tal situação, devemos utilizar umatécnica denominada decomposição de números em fatores

primos, isto é, utilizar a fatoração.


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Raiz QuadradaPropriedades

=

. = .

=

, ≠ 0 .

=

= .


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Encontrando a raiz por decomposição

Observe o exemplo a seguir:Para determinarmos a raiz quadrada do número 196 precisamosprimeiramente fatorar e unir os termos semelhantes, dois a dois.Decomposição em fatores primos :

196 | 298 | 2

49 | 77 | 71 |

2 . 7 ⇒ 196 = 2 . 7 = 2 . 7 = 2 . 7 = 14


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Conjunto dos Números ReaisOs números reais são dispostos na reta real em ordem crescente.

A relação de ordem é estabelecida por expressões que envolvemdesigualdades.Considerando a e b números reais, definimos do seguinte modoas relações de ordem entre os números a e b:

• a < b : a e menor do que b;• a ≤ b: a e menor ou igual a b;• a > b : a e maior do que b;• a ≥ b: a maior ou igual a b;

Intervalos reais são importantes subconjuntos de R e serãodefinidos a seguir.Sejam a e b números reais de modo que a < b .


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Conjunto dos Números Reais


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Conjunto dos Números Reais

Quando representamos um intervalo, na realidade queremosrepresentar todos os números existentes entre os números ae b , incluindo ou não os extremos do intervalo.Quando incluímos o extremo do intervalo utilizamos colchetes

e, para representar graficamente usamos a bolinha fechada(ou cheia): • .Quando excluímos o extremo do intervalo utilizamosparênteses e, para representar graficamente usamos abolinha aberta (ou vazia): ◦ .Os símbolos + ∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito) sãoutilizados para representar intervalos ilimitados, e como nãosão números não podem pertencer a nenhum intervalo.


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Conjunto dos Números ReaisOperações com Intervalos

Intervalos reais são subconjuntos, logo e possível obter a união,a intersecção e a diferença entre dois intervalos.

União de intervalos: A união de dois intervalos é o conjunto que

contem todos os números reais que pertencem a pelo menos umdos intervalos.Obtenha:• (−1 , 3) ∪ (3 ,+∞ ).Graficamente temos:

Assim, (−1 , 3) ∪ (3 ,+∞ ) = (−1 ,+∞ ) − { 3 }.


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Conjunto dos Números ReaisIntersecção de Intervalos: Quando calculamos a intersecção de

dois intervalos incluímos todos os números reais que pertencemaos dois intervalos ao mesmo tempo.Obtenha:

• (−∞, 2] ∩ ( , 10 ]

Graficamente temos:

Assim, (−∞, 2] ∩ ( , 10 ]= ∅


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Conjunto dos Números ReaisDiferença de Intervalos: Quando calculamos a diferença de dois

intervalos estamos interessados em todos os números reais quepertencem apenas ao primeiro intervalo, isto é, nos númerosreais que pertencem ao primeiro intervalo e não pertencem aosegundo.

Obtenha:• [1 , 5] − (3 , 7)Graficamente temos:

Assim, [1 , 5] − (3 , 7) = [1 , 3].


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Módulo de um número RealDistância deste número à origem da reta

Definição: Seja P um ponto da reta que representa um númeroreal x , definimos modulo ou valor absoluto de x a distância de Pate a origem.

Indicamos o modulo de x , colocando o x entre duas barras: |x| .⋆ Observação: Como a distância entre dois pontos e sempre umnumero positivo, segue que:


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Módulo de um número RealConsidere a ,b a,b números reais quaisquer; destacamos abaixo

algumas propriedades que o módulo oferece:

I) O resultado de um módulo sempre é positivo.| a |>0 |a|>0

II) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto.| a |=|− a | |a|=|−a|

III) O módulo do produto é o produto dos módulos.| a ⋅b |=| a | ⋅| b | |a ⋅b|=|a| ⋅|b|


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Módulo de um número RealIV) O quadrado do módulo de um número é simplesmente o

quadrado deste número; em outras palavras, elevar ao quadradofaz o módulo “sumir” .

| | =

V) (Desigualdade triangular) O módulo de uma soma é menor ouigual à soma dos módulos.

| a +b|≤| a |+| b |


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Conjunto dos números reaisPertencem ao conjunto dos reais os números naturais, inteiros,

racionais e irracionais.

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