02_grammaires

Theorie des langages

Grammaires

Elise Bonzonhttp://web.mi.parisdescartes.fr/vbonzon/

[email protected]

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N

Grammaires

Grammaires

Principe de baseDefinitionsArbres de derivationCaracterisation du langage genere par une grammaireTypes de grammaires


N

Grammaires

Grammaires



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Grammaires

Principe de base

Ensemble de re`gles pour generer les mots du langage

Sous la forme de re`gles de reecriture

Remplacer une sequence de symboles par une autre sequenceMots generes = mots obtenus a` partir dun symbole special appelesymbole de depart ou axiome


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Grammaires

Exemple

Considerons la phrase suivante :

La vieille dame regarde la petite fille

Peut-on construire une grammaire qui permette de generer cette phrase?

Alphabet : = { la, vieille, petite, dame, fille, regarde}Structure de la phrase :

Un groupe sujet (article, adjectif, nom)Un verbeUn groupe complement dobjet (article, adjectif, nom)


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Grammaires

Exemple

Re`gles de production

1. Phrase SujetVerbeComplement2. Sujet Groupe Nominal3. Complement Groupe Nominal4. Groupe Nominal ArticleNom5. Groupe Nominal ArticleAdjectifNom6. Article la7. Nom dame | fille8. Adjectif vieille | petite9. Verbe regarde


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Grammaires

Grammaires



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Grammaires

Grammaire

Grammaire

Une grammaire est definie par un quadruplet G = V ,,P,S ou`V est un alphabet

V est lensemble des symboles terminauxV \ est lensemble des symboles non terminauxS V \ est le symbole de depart ou axiomeP (V+ V ) est lensemble (fini) de re`gles de production

Notations :

: lettres minuscules

V \ : lettre majusculesRe`gles de production :

Signification intuitive : lelement V+ peut etre remplace par V


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Grammaires

Grammaire : exemple

Soit G1 = V ,,P,S avec = {:=, a, b, c,+, , ), (}V \ = {S , I ,E}Axiome S

8 re`gles de production :

S I := E I aI b I cE E + E E E EE (E) E I

On peut aussi ecrire I a|b|c.


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Grammaires

Grammaire : exemple

Soit G2 = V ,,P,S avec = {a, b}V \ = {S}Axiome S


S aSaS SbSS


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Grammaires

Grammaire : exemple

Soit G3 = V ,,P,S avec = {a, b}V \ = {S}Axiome S


S aSS aSbSS


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Grammaires

Grammaire hors contexte

Grammaire hors contexte

Soit G = V ,,P,S. G est dite hors contexte (context-free) si tousles re`gles sont de la forme

A ou` A V \ (symbole non terminal), et V


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Grammaires

Derivation

Derivation en une etape

Soit G = V ,,P,S, u V+ et v V . G permet de deriver v deu en une etape, note u

Gv , si et seulement si

u = xuy

v = xv y

u v est dans P

Derivation en plusieurs etapes

G permet de deriver v de u en plusieurs etapes, note uG

v , si et

seulement si k 0 et v0, . . . , vk V tels queu = v0

v = vk

vi G

vi+1 pour 0 i < k


N

Grammaires

Derivation

Derivation en une etape

Soit G = V ,,P,S, u V+ et v V . G permet de deriver v deu en une etape, note u

Gv , si et seulement si

u = xuy

v = xv y

u v est dans P

Derivation en plusieurs etapes

G permet de deriver v de u en plusieurs etapes, note uG

v , si et

seulement si k 0 et v0, . . . , vk V tels queu = v0

v = vk

vi G

vi+1 pour 0 i < k13 / 27


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Grammaires

Langage genere par une grammaire

Mots generes par une grammaire

Soit G = V ,,P,S.Les mots generes par G sont les mots v (symboles terminaux)qui peuvent etre derives a` partir de laxiome : S

G

v .

Langage genere par une grammaire

Soit G = V ,,P,S.Le langage genere par G , note L(G ) est lensemble des mots generespar G .

L(G ) = {v |S G

v}


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Grammaires

Grammaire : exempleSoit G3 = V ,,P,S avec

= {a, b}V \ = {S}Axiome S


S aSS aSbSS

On veut montrer que aaba L(G )S

G3aSbS

G3aSbaS

G3aSba

G3aaSba

G3aaba

G3aaba

Seconde derivation possible :

S G3

aSbS G3

aaSbS G3

aabS G3

aaba G3

aaba


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Grammaires




S aSS aSbSS

On veut montrer que aaba L(G )

S G3

aSbS G3

aSbaS G3

aSba G3

aaSba G3

aaba G3

aaba


S G3

aSbS G3

aaSbS G3

aabS G3

aaba G3

aaba


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Grammaires




S aSS aSbSS

On veut montrer que aaba L(G )S

G3aSbS

G3aSbaS

G3aSba

G3aaSba

G3aaba

G3aaba


S G3

aSbS G3

aaSbS G3

aabS G3

aaba G3

aaba


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Grammaires

Derivation la plus a` gauche

Derivation la plus a` gauche (LPG)

Soit G = V ,,P,S, et w SG

w est une derivation la plus a` gauche (LPG) si, a` chaque

etape de la derivation, cest la variable la plus a` gauche qui est derivee.Donc, si w1, . . . ,wn tels que

S = w0 G

w1 G. . .

Gwn

Gwn+1 = w , et

i , 0 i nwi = uiAivi ,wi+1 = uiivi etAi i

alors ui (ui est un symbole terminal, et ne contient donc pas devariable).


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Grammaires

Grammaires



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Grammaires

Arbres de derivation pour une gram-maire hors contexte

Arbres de derivation

Soit G = V ,,P,S une grammaire hors contexte. Un arbre D estun arbre de derivation pour un mot w a` partir de laxiome S si :

La racine de D est etiquetee par S (laxiome)

Les feuilles de D sont etiquetees par des elements de (symbolesterminaux)

Letiquette dune feuille est le mot vide seulement si la feuille est filleunique

Les nuds de D qui ne sont pas des feuilles sont etiquetes par unsymbole non terminal (V \ )Pour tout nud, si Y est letiquette du nud, et si Z1, . . . ,Zn sont lesnuds de ses fils, dans cet ordre, alors Y Z1 . . .Zn est une re`gleLe mot des feuilles de D, cest-a`-dire le mot obtenu en concatenantles etiquettes des feuilles de la gauche vers la droite, est le mot w


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Grammaires

Arbres de derivation : exemplea := a + b a L(G1)

S

I

a

:= E

E

I

a

+ E

E

I

b

E

I

a


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Grammaires

Arbres de derivation : exempleaaba L(G3). Il existe deux arbres de derivation differents pour ce mot.

S

a S b S

a S

a S

S

a S

a S b S

a S

La grammaire est ambigue.


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Grammaires

Grammaires ambigues

Ambiguite

Une grammaire G est ambigue sil existe un mot de L(G ) qui a aumoins deux derivations LPG a` partir de S (et donc deux arbres dederivation).Dans le cas contraire G est non ambigue.

G1 est ambigue.


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Grammaires

Grammaires ambigues

Theore`me

Etant donne une grammaire G , un mot est genere par G (SG

w) si

et seulement si il existe un arbre de derivation qui gene`re w .

Langage ambigue

Un langage est ambigue de facon inherente si toutes les grammairesqui lengendrent sont ambigues.On dira quun langage est non ambigue sil nest pas ambigue de faconinherente.

Lemme de Parikh

Il existe un langage ambigue de facon inherente.

L = {apbqc r |p = q ou q = r avec p, q, r 1}


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Grammaires

Grammaires



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Grammaires

Caracterisation dun langage

Proble`me

Soit une grammaire G qui gene`re le langage L(G ).Soit L une caracterisation du langage genere.On veut prouver que L = L(G ).

Grammaire G3

1. S aS2. S aSbS3. S

L = {w X |w prefixe de w alors |w |a |w |b}

On doit montrer legalite de ces deux langages, on proce`de par doubleinclusion.

L(G3) L. On proce`de par induction sur le nombre dutilisation desre`gles 1. et 2.

L L(G3). On proce`de par induction sur la longueur des mots de L.


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Grammaires

Caracterisation dun langage

Proble`me

Soit une grammaire G qui gene`re le langage L(G ).Soit L une caracterisation du langage genere.On veut prouver que L = L(G ).

Grammaire G3

1. S aS2. S aSbS3. S

L = {w X |w prefixe de w alors |w |a |w |b}

On doit montrer legalite de ces deux langages, on proce`de par doubleinclusion.

L(G3) L. On proce`de par induction sur le nombre dutilisation desre`gles 1. et 2.

L L(G3). On proce`de par induction sur la longueur des mots de L.24 / 27


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Grammaires

Grammaires



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Grammaires

Types de grammaires

Type 0 Pas de restriction

Type 1 Grammaires contextuelles (ou sensibles au controle)(Context-sensitive)

, || ||, V+

Type 2 Grammaires hors-contexte (Context-Free)

A

Type 3 Grammaires regulie`res (ou lineaires a` droite)

A wB A,B V \ non terminauxA w w terminaux


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Grammaires

Types de grammaires

T0

T1Context sensitive

Machine de Turing

T2Context Free

Automate a` pile

T3Reguliers

Automate fini


N

GrammairesPrincipe de baseDfinitionsArbres de drivationCaractrisation du langage gnr par une grammaireTypes de grammaires

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