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Gnie Climatique Mcanique des fluides Mca Flu Le condenst Dynamique des fluides Dynamique BTS Domotique ( quations de continuit quations de bernoulli ) Lyce J. Jaurs Cours Cours

Lyce Jean Jaurs BTS Domotique Gnie Climatique Page 1 sur 4

DYNAMIQUE des FLUIDES quations de continuit et quations de bernoulli

1. Equations de continuit : HYPOTHESE FONDAMNTALE : Lcoulement du fluide se fait en rgime permanent tabli :

les grandeurs physiques sont constantes dans le temps (PC : mais pas ncessairement le long de lcoulement)

dans une section donne, la vitesse est invariable

1.1. Equation de conservation de la masse : m : Considrons lcoulement dun fluide dans une canalisation entre la section dentre 1 et la section

de sortie 2. A un instant t donn :

il entre une masse m1 de fluide de masse volumique 1 par la section dentre 1 daire S1. Cette masse de fluide peut tre reprsente par une longueur L1 telle que : m1 = 1 . S1 . L1

il sort une masse m2 de fluide de masse volumique 2 par la section de sortie 2 daire S2. Cette masse de fluide peut tre reprsente par une longueur L2 telle que : m2 = 2 . S2 . L2

La matire ne disparat pas dans la tuyauterie, la masse de fluide sortante est donc gale la masse de fluide entrante. Soit :

masse de fluide entrante = masse de fluide sortante m1 = m2 1 . S1 . L1 = 2 . S2 . L2

Ces quations traduisent la conservation de la masse dans un coulement.

1.2. Equation de conservation du dbit massique ( dbit masse) : qm 1.2.1. Dfiniton du dbit massique : qm (en kg/s) : Dfinition du debit massique ( dbit masse) : qm (en kg/s) : Le dbit massique qm reprsente la quantit

(PC : et non le volume) de fluide traversant une section par unit de temps. Soit :

qm = mt en kg/s

Pour un fluide masse volumique traversant une section daire S la vitesse moyenne V. Le dbit massique qm scrit :

qm = . S . V kgs = kgm . m

. ms

sortie = 2 section : S2

entre = 1 section : S1

L1 L2

fluide entrant : masse volumique : 1 masse entrante : m1 m1 = 1 . S1 . L1

fluide sortant : masse volumique : 2 masse sortante : m2 m2 = 2 . S2 . L2



1.2.2. Equation de conservation du dbit massique : Considrons lcoulement dun fluide dans une canalisation entre la section dentre 1 et la section

de sortie 2. Pendant un intervalle de temps t donn :

il entre une masse m1 de fluide donc un dbit massique qm1 = m1 / t il sort une masse m2 de fluide donc un dbit massique qm2 = m2 / t

Lquation de conservation de la masse impose que m1 = m2. Comme lintervalle de temps t est le mme entre la section dentre 1 et la section de sortie 2

alors : qm1 = qm2. En utilisant la dfinition du dbit massique : qm = . S . V, soient :

qm1 = 1 . S1 . V1 qm2 = 2 . S2 . V2

Il vient : qm1 = qm2 1 . S1 . V1 = 2 . S2 . V2

Equation de conservation du dbit massique : qm =constante :

Pendant un intervalle de temps t donn, la matire ne disparat pas dans la tuyauterie, le dbit massique sortant est donc gale au dbit massique entrant. Soit :

dbit massique entrant = dbit massique sortant qm1 = qm2 1 . S1 . V1 = 2 . S2 . V2

Ces quations traduisent la conservation du dbit massique dans un coulement.

2. Equation de bernoulli ( quation de conservation de lnergie) : HYPOTHESE : Lquation de bernoulli ( quation de conservation de lnergie) ne sapplique qu lcoulement

dun fluide parfait (donc incompressible et non visqueux pas de perte par frottement) dans une tuyauterie parfaitement lisse ( donc pas de perte par frottement sur les paroies).

Lquation de bernoulli traduit que lcoulement dun fluide entre une section dentre 1 et une section de sortie 2 se fait sans perte dnergie. Lnergie totale du fluide est conserve.

Soit ETOT = constante ETOT1 = ETOT2 Lnergie totale ETOT dun fluide est la somme de :

son nergie cintique : EC = . m . V

2

son nergie potentielle de pesanteur : Eg = m . g . z son nergie de pression : Ep = m .

fluide entrant : masse volumique : 1 vitesse moyenne : V1

fluide sortant : masse volumique : 2 vitesse moyenne : V2



V1 V2



Lnergie totale ETOT dun fluide est la somme de : nergie totale =

nergie cintique +

nergie potentielle +

nergie pression

ETOT = EC + Eg + Ep

ETOT = . m . V

2 + m . g . z + m .

Avec : m : en kg : masse de fluide considre V : en m/s : vitesse moyenne du fluide dans la section considre g : en m/s2 : acclration de la pesanteur (g = 9,81 m/s2) z : en m : altitude p : en Pa : pression statique absolue (rappel : 1 Pa = 1 N/m2) : en kg/m3 : masse volumique du fluide ETOT, EC, Eg, Ep : en J (remarque : 1 J = 1 kg . m2 / s2

En ltat cette quation est difficilement exploitable car elle utilise la masse de fluide qui ne reprsente pas bien lcoulement. On utilisera donc dautres quations calcules partir de celle-ci :

Lquation de bernoulli ( quation de conservation de lnergie) ne sapplique qu lcoulement dun fluide parfait (donc incompressible et non visqueux pas de perte par frottement) dans une tuyauterie parfaitement lisse ( donc pas de perte par frottement sur les paroies).

Lquation de bernoulli traduit que lcoulement dun fluide entre une section dentre 1 et une section de sortie 2 se fait sans perte dnergie. Lnergie totale du fluide est conserve.

Equation de bernoulli en : Energie massique :

12 . V + g . z + p = constante (en J/kg)

Pression : la plus courante :

12 . . V + . g . z + p = constante (en Pa)

En hauteur de fluide :

12 . Vg + z +

p . g = constante (en mC)

mC : mtre de colonne de fluide

Avec : m : en kg : masse de fluide considre V : en m/s : vitesse moyenne du fluide dans la section considre g : en m/s2 : acclration de la pesanteur (g = 9,81 m/s2) z : en m : altitude p : en Pa : pression statique absolue (rappel : 1 Pa = 1 N/m2) : en kg/m3 : masse volumique du fluide fluide sortant :

pression : p2vitesse : V2

fluide entrant :pression : p1

vitesse : V1



z (m) z2

z1



3. Equation de bernoulli gnralise : Lquation de bernoulli gnralise permet de dcrire lcoulement dun fluide rel dans une

tuyauterie relle en prenant en compte : la viscosit du fluide les turbulences dans les accidents de parcours la rugosit des parois de la tuyauterie

3.1. Pertes de charges : Lnergie totale nest plus conserve en raison des pertes par frottement le long de la tuyauterie et au

passage dun accident de parcours. Ces pertes sont appeles pertes de charge et elles sont notes J. Entre une section dentre 1 et une section de sortie 2, lquation de bernoulli gnralise scrit :

ETOT1 = ETOT2 + Jlin + Jsing (en J) Avec : Jlin : pertes de charge linaire (ou rgulire) : frottement le long des parois Jsing : pertes de charge singulire : turbulences dans les accidents de parcours Remarque : le calcul des pertes de charge sera vu dans un cours ultrieur.

3.2. Machines et appareils : Les machines fournissent ou prennent de lnergie au fluide :

pompes et ventilateurs : fournisseurs turbines : consommatrices

Les appareils introduisent leurs propres pertes de charges (valeurs fournies par le fabricant). Lorsque des machines et des appareils sont prsents entre une section dentre 1 et une section de

sortie 2, lquation de bernoulli gnralise en pression scrit : 12 . . V1

+ . g . z1 + p1 + Pqv = 12 . . V2

+ . g . z2 + p2 + J&'( + J)'(* + J+

Avec : P : en W : puissance des machines ( P > 0 si fournisseur, P < 0 si consommateur) qv : en m3/s : dbit volumique ( dbit volume) du fluide Japp : en Pa : pertes de charge des appareils Remarque 1 : en domotique, pas de turbine (donc pas de P < 0) Remarque 2 : les fabricants des pompes et des ventilateurs fournissent, gnralement, les

caractristiques de leur matriel en Pa ou en hauteur de fluide (mCE). en pression : P / qv p (en Pa) donc pas de problme en hauteur de colonne de fluide : Cas de la Hmt des pompes : Hmt = p / ( . g ) en mCE avec p en Pa

ETOT1 en Pa ETOT2 en Pa

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