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Bulletin de lInstitut Scientifique, Rabat, section Sciences de la Terre, 2004, n26, 1-10.

Analyse spectrale non itrative des oscillateurs simples

sous laction des tremblements de terre

Youssef BELMOUDEN

Ecole Polytechnique Fdrale de Lausanne, Laboratoire dinformatique et de mcanique appliques la construction (IMAC), GC G1494, ENAC-IS-IMAC, CH-1015 Lausanne, Suisse. e-mail :[email protected]

Rsum.Les tremblements de terre ou sismes constituent une activit gologique naturelle. Ils induisent des destructions importantes. Sedoter de moyens de prvention contre leurs effets tels que les codes parasismiques est une entreprise vitale. La nouvelle gnration de

codes parasismiques permet de dimensionner les structures et de vrifier la vulnrabilit des constructions existantes contre laction dessismes. Lanalyse spectrale non itrative est une procdure de dimensionnement et de vrification des structures inlastiques modlisespar des oscillateurs simples sur la base de la mthode des dplacements. Cette mthode adopte lintersection entre le diagramme de

capacit obtenu par une analyse statique monotone et le spectre de rponse inlastique convertie en format acclration-dplacement. Lamthode est gnralise pour rendre compte de leffet de lcrouissage en considrant un modle damortissement bas sur la relation entre

les coefficients de rduction et la ductilit.

Mots cls: Sismes, mthode non itrative, spectre inlastique, coefficient de rduction, diagramme de capacit, oscillateur simple.

A non-iterative spectrum analysis of single degree of freedom systems under earthquake action.

Abstract.Earthquakes are a natural geological activity. The seismic activity generates massive destructions. The aseismic codes representan efficient tool against their consequences. The seismic design methodologies for the next generation of codes, safeguards against the

damage produced by earthquakes and permits an assessment of vulnerability of existing buildings. The capacity spectrum analysis is adirect displacement-based seismic design procedure of inelastic structures modelled as single degree-of-freedom. This method uses the

intersection of the capacity diagram from a pushover analysis and an inelastic response spectrum converted to acceleration-displacementformat. The method is then extended to hardening behaviour with a damping model constructed based on relations between reduction

factors and ductility.

Key words: Earthquakes, non iterative method, inelastic spectrum, reduction factor, capacity diagram, single degree of freedom system.

INTRODUCTION

Dans les codes ou rglements parasismiques, ltude de larponse des structures des btiments aux effets des

tremblements de terre est conduite en utilisant des mthodessimplifies bases sur les spectres de rponse. Dans ledimensionnement ou la vrification parasismique desstructures soumises laction des sismes, une nouvellemthode a merg ces dernires annes et est de plus enplus utilise. La mthode consiste utiliser une procdure

de dimensionnement directe par la mthode desdplacements en dfinissant ds le dpart le dplacementlimite des btiments au lieu de les dimensionner sur la basede la mthode des forces, habituellement adopte par lescodes parasismiques.

Lanalyse spectrale non itrative est une mthode de

dimensionnement des structures non linaires sous la formedoscillateurs simples, en considrant directement undiagramme de rponse inlastique.

Dans cet article, on propose une gnralisation de lamthode spectrale non itrative aux systmes non linairesavec crouissage et suramortis. Lamortissement estconsidr variable, fonction de la ductilit et descoefficients de rduction. Enfin, une procdure de

dimensionnement et de vrification simplifie des structuresde btiments est propose.

Le sisme

Le sisme se traduit essentiellement par une rupture brutaleau sein de lcorce terrestre selon diffrents types de failleset de mcanismes, et par une mission dondes lastiques(longitudinales ou de cisaillement) dont lnergie mise en

jeu pendant le sisme est value par la magnitude. Parconsquent, les mouvements de la crote terrestre gnrentdes ruptures ayant pour consquence la mise en vibration

du sol. Aprs avoir parcouru la distance ncessaire depuis lefoyer du sisme, au cours de laquelle il y a attnuation ettransformation des signaux transmis, les ondes de surface

mettent en vibration les constructions se trouvant danslenvironnement proche de lpicentre (quelques dizainesde km).

Les consquences de ces effets seront prises en comptedans les calculs (choix des spectres par exemple), puisquilsentranent des effets directs (effets de site) sous forme demouvements forts ( proximit de lpicentre) ou demouvements faibles (loin de lpicentre), et des effetsinduits sous forme de grandes dformations conduisant

des liqufactions et des mouvements de terrain(glissements, boulements, tassements et affaissements.).

Par consquent, le sisme lchelle humaine est une

source de destruction. En effet, les btiments se trouvantdans les zones touches par un tremblement de terresubissent, selon les amplitudes et la dure d'oscillation, letype de frquence, mais aussi en fonction de leur mode deconstruction, des dgts plus ou moins lourds, jusqu'l'croulement.

Action sismique

Laction dun tremblement de terre sur une structure de

btiment (Fig. 1) se traduit par un dplacement du sol,variable dans le temps dg(t), qui implique des composantesde translation U(t) et de rotation (t) alternes (Fig. 1).Laction sismique peut tre aussi dtermine laide de

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Y. Belmouden Analyse spectrale des oscillateurs simples

2

Sol

Structure de

Btiment

xUx

yU

zU

y

z

Figure 1. Action du tremblement de terre sur une structure de

btiment.

Temps

( )sect

( )gg aoud

Figure 2. Enregistrement du mouvement du sol.

lacclration du sol (ou acclrogramme) ag(t) entranslation et en rotation. Les composantes de rotation ontgnralement des effets ngligeables. La composante de

translation verticale est plus faible que les composanteshorizontales. Le principal effet du tremblement de terre estdonc un mouvement horizontal du sol.

En sismologie, la caractrisation des tremblements de terreseffectue de diverses manires. La Magnitude (chelle deRichter) reprsente lnergie libre au foyer ; lIntensit

permet de caractriser les dgts observs suivant unechelle qualitative (Mercalli). Pour les ingnieurs, lesparamtres les plus utiles sont soit les lois de dplacements

du sol dg(t)et des acclrogrammes ag(t) (Fig. 2), soit desdonnes plus globales, appeles spectres de rponse,tablies partir de ces acclrogrammes.

ANALYSE DES STRUCTURES

SOUS LACTION SISMIQUE

Lanalyse des structures de btiment sous laction dessismes consiste dterminer les forces maximales etsurtout les dformations maximales quelles peuvent subir.

Ces informations permettent de les dimensionner afin dersister aux tremblements de terre. Diffrentes approchesexistent :

lapproche dynamique directe, base sur les loistemporelles dg(t) et ag(t) ; trop coteuse, elle est rserveaux cas de structures irrgulires et douvrages dart (art.1.2, note (b), commentaire 1.2 du RPS2000) ;

lapproche statique (quivalente), base sur les spectresde rponses ; moins coteuse, elle est adopte par les codes

et rglements de calcul parasismique dans le cas destructures courantes (structures de btiments rgulires

faible et moyenne hauteur).

PRINCIPE DE LA PARASISMIQUE

Concevoir une construction pour quelle rsiste aux grandssismes sans dommages est possible, mais un tel cas ne serani conomique, ni justifi cause de la faible probabilitdoccurrence de tels sismes. Il est donc plus sens de

calculer les structures en fonction des sismes les plusimportants de la rgion.

Les rglements parasismiques adoptent le principe qui faitappel la rigidit et la rsistance des structures auxsismes faibles, mais la ductilit (capacit subir desdformations importantes sans risque de ruine prmature)et les capacits dabsorption-dissipation des nergiesinjectes dans la structure, sont les principaux moyens dersister aux sismes moyens et forts.

Le principe de la construction parasismique peut donc sersumer par les objectifs suivants :

confrer aux ouvrages un comportement globalsatisfaisant en vue dassurer la scurit des personnes, enralisant une faible probabilit de ruine par effondrement

par le maintien de lintgrit structurale et de la capacitportante rsiduelle ;

limiter les dommages conomiques en augmentant laprobabilit de rparabilit des ouvrages (augmenter lachance de rutilisation) par la limitation des dgts(fiabilit, non fragilit).

Lapplication des rgles parasismiques rduit donc lavulnrabilit dune construction ou dune population deconstructions et par consquent le cot des dommages parrapport au cot de la construction.

Le principe des codes parasismiques est dassurer uneprotection nominale dont lefficacit se juge en fonction des

rsultats globaux observs sur un grand nombre deconstruction. La protection nominale dun ouvrage donn

parmi un ensemble de constructions situes dans une zonedtermine par un niveau dagression impos (cartesismique ou microzonage), doit prsenter :

une grande probabilit pour quil napparaisse pas dedsordre structural ncessitant rparation (sisme de faibleintensit, distance picentrale importante) (Fig. 3, d3) ;

une trs grande probabilit pour que le btiment sinistrmais non effondr soit rendu rparable, donc rcuprable(sisme de moyenne intensit, distance picentrale

moyenne) (Fig. 3, d2) ;

une probabilit encore plus grande de non effondrementgrave de telle faon que les chances de rparabilit soient

faibles, voire inexistantes, mais favorisant la sauvegarde

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3

3d

FoyerFoyer

EpicentreEpicentre

2d1d

Figure 3. Degr de protection des structures de btiments enfonction de la distance picentrale.

des vies humaines (sisme de forts intensit, distancepicentrale faible) (Fig. 3, d1).

Ceci conduit adopter les principes suivants (art. 2.2 du

RPS2000) : pour les sismes de faible intensit, on cherche limiter

les dplacements afin dviter les dommages architecturauxdans les btiments par rigidit des structures ; il sagit ducomportement lastique linaire ;

pour les sismes moyens, les structures doivent avoir dela rigidit ainsi que de la rsistance pour rester dans ledomaine lastique et limiter par consquent les dommagesimportants ; les matriaux cassants ou fragiles sont donc viter ;

pour les sismes de forte intensit (majeurs), les structuresdoivent prsenter de la rigidit, de la rsistance, mais aussi

de la ductilit densemble, qui permettront de rsister auxmouvements forts sans effondrement, en acceptant desdformations irrversibles et des destructions dlmentsnon-structuraux dans certaines limites, afin de laisser deschances de sauvetage et dvacuation des lieux ; il sagit ducomportement inlastique ou non linaire.

Lun des paramtres les plus influents dans les rglesparasismiques est larbitrage conomique, qui conduit fixer le niveau de protection en choisissant la scurit de

laction sismique contre laquelle on entend se prmunir.

Ce choix rsulte dun compromis entre des considrationsphysiques (ala sismique sur lequel il ny a aucune

possibilit dagir), des considrations conomiques (rapportdu surcot rsultant de la protection de louvrage auxbnfices que lon peut en tirer) et des considrationspolitiques (intrt accord la protection de louvrage etlintrt que lon attache sa conservation ; art. 3.2.2 duRPS2000).

NOTION DE SPECTRE DE REPONSE

Elaboration des spectres de rponse

La mise en mouvement dg(t)du sol support de la structure

dun btiment entrane sa mise en mouvement. Pour une

structure infiniment flexible, le mouvement de chaque pointde la structure est celui du sol. En ralit, pour une structureflexible, le mouvement de chaque point dpend de sarigidit globale elle-mme fonction des rigidits des

lments qui la constituent et de la distribution des massesdans la structure.

La mise en uvre des spectres de rponse est base sur leprincipe suivant :

1- La structure du btiment est modlise par un oscillateur

simple quivalent. Un oscillateur simple est un systmematriel un seul degr de libert de translation formdune masse M et li au sol laide dune tige de rigidit K(cf. Fig. 10). Ce systme est aussi caractris par sonamortissement C. En effet, selon les principes de lamcanique, lorsquune structure est sollicite par une action

dynamique, telle leffet des ondes sismiques, sa raction faitintervenir :

la distribution des masses au sein de la structure du

btiment ; de ce point de vue, leffet des masses en hauteurest plus difficile matriser que celui des mmes massesdans la partie basse ;

la rigidit locale et globale de la structure du btiment ;

la possibilit de dissiper de lnergie injecte par lesisme, par frottement et interactions entre les diffrentslments constitutifs de la structure ou entre le sol et lastructure.

Lorsquon applique ce systme un sisme sous formedun acclrogramme ag(t), lquation de mouvementdoscillations forces est la suivante (Principe fondamentalde la dynamique) :

M(t)+C(t)+KU(t)=Mag(t) (1)

o (t), (t) et U(t)sont respectivement lacclration, lavitesse et le dplacement de loscillateur simple linstant t.

Loscillateur simple est caractris par sa priode propre

T=2(M/K)1/2 (sa frquence doscillation f=1/T ou sa

pulsation =2f) et par son amortissement relatif =C/C0,avec C0 tant lamortissement critique tel que si C>C0loscillateur retourne au repos sans oscillation(amortissement important), si C

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A

DEp DD =yD

Ey ARA =

EA

o

Principe dEgalit des dplacementsPrincipe dEgalit des dplacements

y

p

D

D=

k

B D

EA

C

C

ompo

rtem

ent

lastiq

ue

Comportement

lastoplastique

Figure 7. Schmatisation du principe dgalit des dplacements

des oscillateurs simples ; AEacclration lastique maximale, Ayacclration de plastification, DEdplacement lastique maximal,

Dy dplacement de plastification, Dp dplacement inlastique

maximal.

gal 1/(Fig. 7), tant le facteur de ductilit (>1).En effet,

Dp=DEDy=DEAy/k=AE/k Ay=AE

RAE=AER=1/

principe dgalit des nergies dissipes,Aire(OCG)=Aire(OBEF), valide pour f>fc2 (oscillateurs

assez rigides). Le facteur de rductionRest gal 1/(21)1/2(Fig. 8) ; en effet, de lgalit des nergies dissipes ona

(1/2)AEDE=(1/2)AyDy+Ay(DpDy),

doAEDE=AyDy(21) (AE)2=(Ay)

2(21)

R=1/(21)1/2

principe dgalit des forces, valide pour f>33 Hz ; lefacteur de rductionRest gal lunit.

Le troisime principe nest pas toujours applicable aux

btiments. Les deux frquences de transition fc1 et fc2

dpendent de la ductilit du systme et des

caractristiques du spectre lastique. Les valeurs usuelles defc1 et fc2 sont respectivement 1,4 Hz et 2,0 Hz. Lesfrquences intermdiaires sont obtenues par interpolation.

Il est important de diffrencier entre le facteur decomportement (art. 3.3.4 du RPS2000) et le facteur deductilit. Le facteur de comportement reprsente le rapportde leffort ou lacclration que peut supporter la structuresi celle-ci tait parfaitement lastique, leffort ou lacclration effectivement supports par la structure relle

pour une mme dformation. Par contre, on dfinit la

ductilit (en dplacement) , appele aussi facteur deductilit disponible(art. 3.3.1 du RPS2000), comme tant la

capacit de la structure subir, avant la ruine, desdformations importantes qui sont la source deconsommation dnergie leve. Par consquent, plus lastructure montre un comportement ductile, plus les

mcanismes de sa rsistance toute action sismique basssur la capacit dabsorber et de dissiper lnergie induite

par sa rponse globale est efficace.

A

D

EDyD

Ey ARA =

EA

o

Principe dEgalit des nergiesPrincipe dEgalit des nergies

y

p

D

D=

k

yp DD =

B

C

D

G F

E

A

Comportement lastique

Comportement lastoplastique

Figure 8. Schmatisation du principe dgalit des nergies

dissipes par les oscillateurs simples.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Priodes T (sec)

Facteurd'amplification

dynamiqueD(T)

Site 1

Site 2

Site 3

Figure 9. Facteur damplification dynamique D(T) : spectre ducode RPS2000.

Spectre de calcul du code parasismique RPS2000

Lvaluation de laction du tremblement de terre sur une

structure de btiment, selon le rglement parasismiqueRPS2000, seffectue laide des paramtres suivants :

lacclration maximale du sol Amax obtenue partir du

zonage sismique, (art. 5.2.2 du RPS2000) : Amax= 0,01g(Zone 1), Amax= 0,08 g (Zone 2), Amax= 0,16 g (Zone 3),

avec une probabilit dapparition de 10% en 50 ans ;

un spectre de rponse en termes dacclration pour lemouvement horizontal relatif un type de site (A-T) (art.

5.2.3 du RPS2000) ;

un spectre de rponse du mouvement vertical dduit duspectre horizontal par un coefficient de 2/3.

Le spectre de rponse lastique (A-T) ou spectre de calculest dfini dans le RPS2000 pour un amortissement relatif

=5% par :A(T)=(Amax/g)D(T)ogest lacclration de la

pesanteur etD(T)le facteur damplification dynamique (art.5.2.3.3 du RPS2000). Il reprsente lamplification desacclrations dans la structure par rapport celle du sol.

Dautres paramtres interviennent dans le spectre derponse lastique pour tenir compte de leffet de site (S, art.5.2.3.3 du RPS2000), du coefficient de priorit (I, art. 3.2.3

du RPS2000) et de lamortissement (=(5/)0,4, art. 5.2.3.3note (d) du RPS2000). Le spectre de rponse inlastique estobtenu par lapplication dun facteur de rduction des

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StructureStructureModlisationModlisation

Oscillateur simple quivalentOscillateur simple quivalent

M

baseV

D

A

,K Masse enmouvement

Acclration

Dplacement

NU F

baseV

baseV

NU

A

D

DiagrammeDiagramme

de capacitde capacit

Charge statiqueCharge statique

monotone croissantemonotone croissante

yA

yD

rkStructure

de btiment

Dplacement

au sommet

k

Figure 10. Conversion du diagramme de capacit en format (A-D)pour un oscillateur simple. Dy, Aydplacement et acclration ltatlimite lastique de la structure, r, taux dcrouissage ; k, la rigidit lastique initiale (k=Ay / Dy), rk est la rigidit plastique avec

crouissage.

acclrations, appel facteur de comportement (K, art.3.3.4. du RPS2000) tel que A(T)=(Amax/g)D(T)/K(Fig. 9).

La priode de transition Tc (Fig. 5) est indique dans le

tableau 5.4 du RPS2000 : Tc= 0,4 s (Site 1) ; Tc= 0,6 s (Site2) ; Tc= 1,0 s (Site 3). Cette priode dpend de la magnitudedu sisme, de son contenu frquentiel, de sa dure, et desrapports entre les valeurs maximales des caractristiques du

mouvement (Fig. 5) : lacclration Amax, la vitesse Vmaxetle dplacement Dmax. Ces rapports varient avec la distance

entre le site et la source du sisme (commentaire 5.2.3 duRPS2000).

METHODE DANALYSE SPECTRALENON ITERATIVE

La mthode danalyse spectrale non itrative est unemthode simplifie pour lvaluation de la rponse

inlastique des structures, sans avoir recours lanalysedynamique directe non linaire (Chopra 1999, Fajfar 2000,Xue 2001). Lanalyse des structures sur la base de lamthode des forces (RPS2000), consiste tablir le spectrede rponse inlastique ou spectre de calcul (art. 5.2.3 duRPS2000), dterminer les forces agissant sur la structure

(art. 6.2.1.3 et 6.2.1.4 du RPS2000) et vrifierladmissibilit des dformations rsultantes (art. 3.1 et 8.4

du RPS2000).Si ces dformations dpassent les limites fixes, il fautrefaire les calculs en agissant sur les paramtres considrs.Par contre, dans lanalyse base sur la mthode desdplacements, le dplacement limite ou cible est considrds le dpart. Ainsi, on travaille sur un diagrammeacclration-dplacement A(D) (ou (A-D)) au lieu de

considrer un spectre en acclrationpriode A(T). Cettemthode est base sur lintersection du diagramme decapacit et du diagramme de rponse inlastique souslaction des sismes pour estimer le dplacement maximumde la structure.

Diagramme de capacit

Le diagramme de capacit est obtenu partir de la courbedplacement latral en tte de la structure (UN) - effort

tranchant la base (Vbase) (Fig. 10) sous chargementstatique monotone croissant F. Cette courbe traduit lesperformances non linaires de la structure. Elle peut treobtenue laide dune modlisation des structures par

lments finis en adoptant la technique dapproximation parlments finis multicouches (Belmouden 2003, Belmouden

& Elharif 2003a, b, c). Ces lments finis sont capables detenir compte des caractristiques mcaniques des matriauxconstitutifs des structures (dgradations, fissurations,crouissage) ainsi que les mcanismes susceptibles de se

dvelopper dans les structures (distorsions, glissementdadhrence, dcollement).

Le diagramme rsultant est ensuite converti au formatacclrationdplacement (A-D) correspondant unoscillateur simple quivalent de masse M, de rigidit K et

damortissement (Fig. 10). Enfin, ce diagramme estidalis en forme bilinaire (Chopra 1995, Chopra & Goel1999, 2001, Xue 2001, Chopra & Chintanapakdee 2003).

Diagramme de rponse inlastique

Le diagramme de rponse inlastique, pour une ductilit

donne , est une courbe en format (A-D) traduisantlacclration spectrale A en fonction du dplacementspectral D. Il est obtenu par conversion du spectre de

rponse lastique (A-T)el en format (A-D)

el laide des

relations indiques dans le tableau I et dans la figure 11. Lediagramme (A-D)elest transform ensuite en diagramme derponse inlastique (A-D)inel par des coefficients de

rduction appropris.

Formulation du diagramme de rponse inlastique

Considration de lcrouissage et de la variation de

lamortissement

Dans la dfinition du coefficient de comportement K(facteur de rduction) dans le code RPS2000, on voque la

capacit de dissipation de lnergie vibratoire de la structuretransmise par les secousses sismiques en fonction du type

de la structure de btiment et du niveau de ductilit choisi(art. 3.3.4 du RPS2000). Cette capacit est intimement lie lcrouissage et lamortissement propre la structure.

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Tableau I. Formules de conversion du spectre dacclration lastique en diagramme de rponse lastique

Points Acclration Priode Dplacement Rigidit

A Aa=Amax Ta=0 Da=0 -

B Ab=PSA Tb Db=(Tb/2)2PSA kb=(4

2M/(Tb)2)

C Ac=PSA Tc=(2/PSA)PSV Dc=(Tc/2)2PSA kc=(4

2M/(Tc)2)

D Ad=(2/Td)PSV Td=(2/PSV)PSD Dd=PSD kd=(42M/(Td)

2)

A

cD

cA

Diagramme de rponse lastiqueDiagramme de rponse lastique

en acclrationen acclration -- dplacementdplacement

bD dD

dA

C

D

B

D

A

dk

ck

bk

aA

Figure 11. Diagramme de rponse lastique en termesdacclrationdplacement(A-D)el.

Les coefficients sont donns pour les systmes non crouis(r=0) (Newmark & Hall 1982) tels que :

systme avec un amortissement =5% on a

RA=1/(21)1/2 ,RV=1/,

systmes suramortis avec 5% on a

RA=(3,210,68 ln())/2,12 ; RV=(2,31-0,41ln())/1,65

o les dnominateurs reprsentent les facteurs

damplification correspondant un amortissement de 5%.Le modle damortissement pour les systmes avec

crouissage adopt pour lvaluation de est bas sur le faitque lnergie dissipe par un systme inlastique est gale celle dissipe par un systme lastique linaire quivalent

tel que : (,r)=0.05+eq (Chopra 1995, Chopra & Goel2001) avec

eq=ED/(4ES)=2(AyDpDyAp)/(ApDp)

=2(1)(1r)/[(1+rr)]

o Dp, Ap sont le dplacement et lacclration ltatlimite de performance de la structure, Dp=Dy,

Ap=Ay+r(DpDy)=Ay+r Dy(1)=Ay(r-r+1), ES estlnergie de dformation lastique quivalent, ED estlnergie dissipe dans le systme inlastique (Fig. 12). Enadoptant ce modle, lamortissement nest plus constant, ilest donc fonction de la ductilit (dformabilit) et de

lcrouissage (rsistance) du systme.

Elaboration du diagramme de rponse inlastique

Llaboration du diagramme de rponse inlastique (A-D)inel partir du diagramme de rponse lastique (A-D)elest

base sur la formulation suivante (Xue 2001) (Fig. 13):

Point c:Ac=RAAc=RAPSA,

yD

yA

A

D

pA

pD

s

E

DEAcclration

Dplacement

r

Figure 12. Amortissement quivalent dans les systmes nonlinaires avec crouissage.

Ac=(2/Tc)VcRAPSA=(2/Tc)RVPSV

Tc=(2/PSA)PSV(RV/RA)

do Tc=(RV/RA)Tc,

Dc=(Tc/2)Vc=(Tc/2)RVPSV=((RV)2/RA)(Tc/2)PSV

doDc=((RV)2/RA)Dc,

Point d:

Vd=(2/Td)DdRVVd=(2/Td)RDDdRVPSV=(2/Td)RDPSD

do Td=(RD/RV)Td,

Ad=(2/Td)VdAd=(2/Td) (RV/RD)RVVdAd=((RV)

2/RD)Ad,

RA, RV, RDsont les coefficients de rductions spectrales ;Ac,Ac, Ad, Ad les acclrations spectrales aux points c, c, d,d; Dc, Dc, Dd, Ddles dplacements aux mmes points, et

Tc, Tc, Td, Tdles priodes correspondantes.

La prise en compte du comportement ductile seffectuecomme suit :

Point c*:Ac*= Ac=RAAc, Dc*=Dc=((RV)2/RA)Dc,

Tc*=(()0,5

RV/RA)Tc,

Point d*:Ad*= Ad, Dd*=Dd=RDDd=RDPSD,

Td*=()0,5

(RD/RV)Td,

o :Ac*, Ad*sont les acclrations spectrales aux points c*,

d*;Dc*, Dd*les dplacements aux mmes points, Tc*, Td*les

priodes correspondantes (Fig. 13).

Mthode danalyse non itrative des oscillateurs simples

sous laction des tremblements de terre

Pour un oscillateur simple modlisant une structure debtiment sous laction sismique dfini par sa masseMet sa

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8

cA

D

'c

d'd

cA

'

cA

*dD

PSA

'dD

*cDiagramme de rponse lastique

*d


*cD'cD

PSARA

Figure 13. Elaboration du diagramme de rponse inlastique (A-D)inel partir du diagramme de rponse lastique (A-D)el.

A

DPD

yA

*c

c

yD

P

K

rK


bilinaire avec crouissage

PA

cA

*c

A

Branche descendante

Diagramme de rponse lastique


Figure 14. Point dintersection P dans la branche descendante duspectre de rponse inlastique.

A

DyPP DD =

yA

*

c

c

yD

P

K

rK


bilinaire avec crouissage

P

A

cA

Diagramme de rponse

inlastique

Diagramme de rponse lastique

Figure 15. Point dintersection P sur le plateau du spectre derponse inlastique.

rigidit K, on prsente une procdure de dimensionnementet de vrification ltat limite de performance.

Dimensionnement dune nouvelle structure contre les

sismes

La procdure de dimensionnement des structures debtiments contre les sismes consiste calculer leurscaractristiques lastiques (initiales) et plusparticulirement leurs rigidits (art. 1.2 du RPS2000) :

tape 1 : on tablit un spectre de rponse lastique (PSA,PSVet Tc) en fonction du site considr, puis conversion duspectre en diagramme inlastique (A-D)inel;

tape 2 : tant donn le taux dcrouissage r, on fixe ledplacement limite admis pour la structure du btiment sous

laction des sismesDpet sa ductilit ;

tape 3 : le dplacement lastique limite Dyest dduit

partir deDpet ;

tape 4 : on superpose le diagramme inlastique (A-D)inel

et le diagramme de capacit bilinaire ; le pointdintersection peut se trouver soit dans la branche

descendante (Fig. 14) soit au niveau du plateaudacclration constante du diagramme inlastique (Fig.

15) ; on dduit lacclration limite lastique Ay ;

tape 5 : on en dduit la rigidit initiale K=AyM/Dyet la

priode doscillation de la structure T=2(M/K)1/2 ; la

priode ltat limite de dformation est T=Tp[(rr+1)/]

1/2.

Vrification dune structure existante vis--vis des

secousses sismiques

Cette procdure consiste vrifier les performances limitesde la structures de btiment existant sous laction des

tremblements de terre : tape 1 : identique celle de la procdure dedimensionnement ;

tape 2 : le diagramme de capacit tant connu (lecomportement lastique et le comportement inlastique de

la structure sont connus) : r,Ay,DyetK;

tape 3 : superposer le diagramme inlastique (A-D)inelet

le diagramme de capacit bilinaire (rsolution graphique) ;en dduire le point dintersection dfinissant ltat limite dedformation de la structure sous laction des sismesAp,Dp

et ;

tape 4 : calculer la priode au point de performance Tpet

la frquence correspondante.

APPLICATION

Pour mettre en vidence la mthode spectrale non itrative,on tudie six structures de btiments rguliers en btonarm modlises par des oscillateurs simples quivalents

sous laction du sisme dEl Centro de 1940 (PSA=2,71g,PSV=280,42 cm/s, Tc=0,66 s). On fixe pour chaquestructure le dplacement limite admis et sa ductilit (Tabl.II).

Ltude consiste calculer les caractristiques lastiquesdes oscillateurs simples quivalents aux structures. Lescaractristiques lastiques ncessaires au dimensionnementsont donc obtenues par la mthode non itrative propose etsont compares aux rsultats obtenus par Chopra & Goel

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Tableau II. Caractristiques des oscillateurs simples soumis au sisme dEl Centro de 1940.

Systmes 1 2 3 4 5 6

PD [cm] 22,30 22,30 19,46 44,61 44,61 44,61

yD [cm] 3,72 5,58 9,70 7,44 11,16 22,32

6 4 2 6 4 2

r 0c 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tableau III. Rsultats compars de la mthode itrative et non itrative.

Mthode spectrale non itrative Mthode spectrale itrative

Systme VR AR yA

(cm/s/s)

T(s)

*cT

(s)

yA

(cm/s/s)

T(s)

1 6 0,166 0,3015 586,71 0,5 0,893 588,1 0,49

2 4 0,25 0,3779 880,77 0,5 0,873 882,1 0,49

3 2 0,50 0,5773 1534,75 0,5 0,808 1532,3 0,49

4 6 0,166 0,3015 293,335 1,0 0,893 294,0 0,9

5 4 0,25 0,3779 440,38 1,0 0,873 441,0 0,9

6 2 0,50 0,5773 880,77 1,0 0,808 882,1 0,9

1999) en utilisant la mthode itrative (Tabl. III). Lexamendes rsultats obtenus montre que lcart relatif (de lordrede 2%) entre les deux rsultats est trs satisfaisant.

CONCLUSION

Dans ce travail, a t prsente une mthode danalyse

spectrale non itrative pour le dimensionnement et lavrification directe des structures de btiments sous laction

des tremblements de terre. Elle est base sur la mthodedes dplacements, en adoptant un diagramme acclrationdplacement au lieu dun spectre acclrationpriode. Laformulation dlaboration dun tel diagramme est propose.Dans le cadre de lamlioration des codes de construction

parasismique, on a aussi propos une amlioration pourtenir compte de la variation de lamortissement dans unestructure sous laction dun sisme en fonction de laductilit et de lcrouissage. Leffet de lcrouissage a t

aussi introduit dans ltude pour pouvoir considrerplusieurs types de structure de btiments. Une application

de la mthode compare des rsultats obtenus laide dela mthode itrative montre la capacit de la mthode obtenir des rsultats trs satisfaisants en vitant les calculsitratifs. La nature volutive des codes et rglements decalcul parasismique doit nous inciter constamment amliorer ces rglements et suivre les progrs dans ce

domaine tout en conservant un certain degr de simplicitdapplication.

Remerciements

Ce travail entre dans le cadre de la prparation dun projet de

recherche en collaboration avec l'Office Fdral des Eaux et de laGologie (OFEG) qui consistera tablir les courbes de

vulnrabilit sismique des btiments existants type de Suisse pourle compte de la Fondation de Prvention des Etablissements

Cantonaux d'Assurance (anne 2004/2005). Mes remerciements

vont aux membres du laboratoire dinformatique et mcaniqueappliques la construction (IMAC) de lEcole Polytechnique

Fdrale de Lausanne en la personne du Pr. Ian F. C. Smith, chefdu laboratoire IMAC, et du Dr. P. Lestuzzi chef du projet.Je tiensaussi remercier vivement MM. M. Harnafi et J. Sebbani,

enseignants-chercheurs lInstitut Scientifique de Rabat pourleurs prcieux conseils et leurs commentaires sur le prsentmanuscrit. Jexprime galement ma reconnaissance et mon amiti

Monsieur T.-E. Cherkaoui, sismologue lInstitut Scientifiquede Rabat, pour son soutien et sa disponibilit constante.

Rfrences

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Manuscrit reu le 2 janvier 2004

Version dfinitive accepte le 9 juin 2004

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